（基础数学专业论文）几类高阶非线性抛物方程解的存在性与渐近性.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文主要研究几类高阶非线性抛物方程f 组) 解的存在性和长时间渐近行为本质性 困难是作为通常工具所使用的二阶抛物方程的最大值原理和比较原理在高阶情形不再 有效所讨论的问题包括广义薄膜方程解的长时间性态，具有梯度项主部的非线性四阶 抛物方程解的存在性和长时间渐近极限，以及粘性量子流体动力学模型解、粘性流体动 力学模型解的指数衰减性首先考虑一个具有零边界流的非线性四阶抛物方程广义薄 膜方程利用熵泛函的方法证明了解在时间趋于无穷大时趋近于对应的定态问题解的结 论，并讨论了带二阶扩散项的薄膜方程解的存在性和正性然后关注一类具三阶退化项 的四阶抛物方程解的存在性与渐近极限最后研究粘性双极量子流体动力学模型，粘性 项对能量耗散速率的影响是：耗散随粘性增大而增大 第1 章概述本文所研究问题的物理背景和国内外发展状况，并简要介绍本文的主要 工作 第2 章首先关注一类四阶抛物型方程：魂= 一v ( u w a u + q 钆红一1 a u v u 十 z u _ 2j v u t 2 v u ) 解的长时间行为此方程可以理解为薄膜方程毗+ ( u 靠) z = 0 的 推广方程由润滑近似法推导而来，描述粘性薄膜的演化及蔓延传播情况。函数让表示 薄膜的高度对于n e u m a n n 初边值问题我们分别得到一维问题解在己o 。范数意义下以 代数速率衰减到其初值的均值高维问题解在l 1 范数意义下以指数衰减速率收敛到其 初值的均值主要技术思想是构造相应的熵泛函，对熵进行两方面的运算，一是建立熵 泛函微分的( 与熵有关的) 负上界，二是证明熵泛函具有汐范数的下界( 0 p 死时，得到弱意义下解的存在性，以及参 数扎的值对解的正性的影响最后证明，问题的古典解在t _ o 。时以指数速率收敛于其 初值的均值 第3 章致力于一类非线性四阶抛物方程地+ v ( 1 v a u l p 一2 v a u ) = 厂( u ) 第一初边 值问题解的存在性和渐近极限的研究通过不动点理论结合半离散方法，分别得到定态 情形和发展方程解的存在性与一般以往文章方法不同之处是：我们构造两类不同的逼 近解分别处理关于时间变量和空间变量的一致估计，再由必要的先验估计和紧性讨论 进一步证明这两类逼近解收敛于同一个函数也就是所求问题的解另外利用熵泛函 方法还得到解在时间趋于无穷大时收敛于其一个常定态解的结论最后，我们指出当参 数p _ 。时解让恰好趋于初值函数7 1 , o 第4 章考虑粘性量子流体动力学模型解的长时间行为共振穿隧等量子效应可由微 几类高阶非线性抛物方程解的存在性与渐近性 观模型表示，例如w i g n e r 方程和s c h r s d i n g e r 系统这些微观模型又可以由宏观变量，如 流密度、电子密度、温度等来描述这个模型是经典的流体动力学模型经量子作用的修 正，由w i g n e r b o l t z m a n n 方程利用矩方法或者由s c h r s d i n g e r 方程导出这里，我们用熵 泛函方法和一系列先验估计，得到一维和高维两种情形下粘性量子流体动力学模型解的 指数衰减，且在t _ 。时，解收敛于一个定态解此外，还得到粘性流体动力学模型解的 衰减性 关键词：薄膜方程；四阶抛物方程；非线性扩散；定态；n e u m a n n 边界；渐近行为；大时间 行为；熵方法；指数衰减；代数衰减；存在性；半离散；逼近解；紧性；量子流体动力学 大连理工大学博士学位论文 e x i s t e n c ea n dl o n gt i m eb e h a v i o rt os o m eh i g h - o r d e r n o n l i n e a rp a r t i a lp a r a b o l i ce q u a t i o n s a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t he x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rm u l t i - n o n l i n e a rh j g h o r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) t h es u b s t a n t i a ld i f f i c u l t yi st h a t t h eg e n e r a lm a x i m u mp r i n c i p l ed o e sn o th o l da n ym o r ef o rt h eh i l g ho r d e rc a s e s t h e t o p i c si n c l u d et h el a r g et i m eb e h a v i o ra n dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rag e n e r a l i z e d t h i nf i l me q u a t i o na n dan o n l i n e a rf o u r t h - o r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hg r a d i e n tp r i n c i - p a lp a r t ，a n dt h ee x p o n e n t i a ld e c a y sf o rav i s c o u sb i p o l a rq u a n t u mh y d r o d y n a m i cm o d e l w i t hs p e c i a lt h i r d - o r d e rt e r m s f i r s t l y , w ec o n s i d e rag e n e r a l i z e dt h i nf i l me q u a t i o nw i t h z e r o - b o u n d a r yf l u x e s t h ed e c a yo fs o l u t i o nt o w a r d si t sm e a ni sg i v e nb ye n t r o p yf u n c - t i o n a lm e t h o d e x i s t e n c ea n dp o s i t i v i t yo fs o l u t i o n sa r es t u d i e df o rat h i nf i l me q u a t i o n w i t has e c o n d - o r d e rd i f f u s i o nt e r m s e c o n d l y , w ec o n c e r nt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i c b e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o ran o n l i n e a rf o u r t h - o r d e rp a r a b o h ce q u a t i o nw i t hd e g e n e r a t e t h i r d - o r d e rd e r i v a t i v et e r m s f i n a l l y , w es t u d yt h el a r g e - t i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o ra v i s c o u sb i p o l a rq u a n t u mh y d r o d y n a m i cm o d e l t h ev i s c o s i t ya f f e c t st h es p e e do fe n e r g y c h a n g e ，a n ds p e c i f i c a l l yt h eb i g g e ro n ey i e l d st h ef a s t e rd i s s i p a t i o n c h a p t e r1i st os u m m a r i z et h eb a c k g r o u n do ft h er e l a t e di s s u e sa n d t ob r i e f l yi n t r o - d u c et h em a i nr e s u l t so ft h ep r e s e n tt h e s i s c h a p t e r2i sf i r s t l yc o n c e r n e dw i t ht h el o n gt i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n st oac l a s s o ff o u r t ho r d e rn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ： 饥= 一v ( 乱n v a u + o u n - 1a u v u + p u n - 2 i v 1 2 v u ) t h ee q u a t i o nc a nb er e g a r d e da sag e n e r a l i z a t i o no ft h et h i nf i l me q u a - t i o n 魂+ ( 矿站) 。= 0w h i c h i sd e r i v e df r o mal u b r i c a t i o na p p r o x i m a t i o na n dm o d e l st h e e v o l u t i o no ft h i nv i s c o u sf i l m sa n ds p r e a d i n gd r o p l e t s t h ef u n c t i o nur e p r e s e n t st h i c k n e s s o ft h ef i l m f o rt h en e u m a n np r o b l e m ，w ep r o v et h ea l g e b r ad e c a yo fs o l u t i o nt o w a r d si t s m e a ni nl o o n o r i nf o rt h eo n e - d i m e n s i o n a lp r o b l e m ，a n dt h ee x p o n e n t i a ld e c a yo fs o l u t i o n t oi t sa v e r a g ei nl l n o n nf o rt h em u l t i - d i m e n s i o n a lc a s e r e s p e c t i v e l y t h em a i nt e c h n i c a l i d e ai st oc o n s t r u c tr e q u i r e dd i s s i p a t i v ee n t r o p i e s w es h o wt h a tt h ed e r i v a t i v eo fe n t r o p y h a san e g a t i v eb o u n dr e l a t e dt oi t s e l fa n df o ra n o t h e rt h ee n t r o p yh a sal p - n o r ml o w b o u n d ( 0 礼，e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s i so b t a i n e di naw e a ks e n s e p o s i t i v i t yo fs o l u t i o n si sc o l l e c t e d ，w h i c hi sd e p e n d i n go n 礼 f i n a l l y ，w es h o wt h a tt h ec l a s s i c a ls o l u t i o n sa l s oc o n v e r g et ot h e i rm e a n a ta ne x p o n e n t i a l r a t ea st h et i m e 亡一。 c h a p t e r3i sd e v o t e dt os t u d y i n gt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s t oan o n l i n e a rf o u r t h o r d e rp a r a b o f i ce q u a t i o n ：磁+ v ( i v a u p - 2 v a u ) = ，( 髓) i nq cr 川 w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o nu = a u = 0a n di n i t i a ld a t au 0 t h es o l u t i o n sa r eo b t a i n e df o r b o t ht h es t e a d y - s t a t ec a s ea n dt h ed e v e l o p i n gc a s eb yt h ef i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h e s e m i - d i s c r e t i z a t i o nm e t h o d u n l i k et h eg e n e r a lp r o c e d u r e su s e di nt h ep r e v i o u sp a p e r so n t h es u b j e c t ，w ei n t r o d u c et w of a m i l i e so fa p p r o x i m a t es o l u t i o n sw i t hd e t e r m i n i n gt h eu n i f o r mb o u n d so fd e r i v a t i v e sw i t hr e s p e c tt ot h et i m ea n ds p a c ev a r i a b l e s ，r e s p e c t i v e l y b y ac o m p a c t n e s sa r g u m e n tw i t hn e c e s s a r ye s t i m a t e s ，w es h o wt h a tt h et w oa p p r o x i m a t i o n s e q u e n c e sc o n v e r g et ot h es a m el i m i t ，i e ，t h es o l u t i o nt ob ed e t e r m i n e d i na d d i t i o n ， t h ed e c a y so fs o l u t i o n st o w a r d st h ec o n s t a n ts t e a d ys t a t e sa r ee s t a b l i s h e dv i at h ee n t r o p y m e t h o d f i n a l l y 。i ti si n t e r e s t i n gt oo b s e r v et h a tt h es o l u t i o n sj u s tt e n dt ot h ei n i t i a ld a t a u oa 与po p u - c h a p t e r4d e a l sw i t hl a r g e - t i m eb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rav i s c o u sb i p o l a rq u a n t u m h y d r o d y n a m i cm o d e l g e n e r a l l y , q u a n t u me f f e c t s ，f o re x a m p l e ，r e s o n a n tt u n n e l i n g ，a r e p r e s e n t e dv i am i c r o s c o p i cm o d e l s ，s u c ha st h ew i g n e re q u a t i o na n dt h es c h r b d i n g e rs y s t e r n t h e s em i c r o s c o p i cm o d e l sc a nb ed e s c r i b e db ym a c r o s c o p i cv a r i a b l e sl i k ec u r r e n t d e n s i t i e s e l e c t r o nd e n s i t i e sa n dt e m p e r a t u r e s q h dm o d e l ，b e i n ga st h ee x t e n s i o no f t h ec l a s s i c a lh y d r o d y n a m i ce q u a t i o n sw i t hq u a n t u mc o r r e c t i o n s ，c a nb eo b t a l n e df r o m t h ew i g n e r - b o l t z m a n ne q u a t i o nb ye m p l o y i n gt h em o m e n tm e t h o do rt h es c h r s d i n g e r s y s t e m b ya p p l y i n gt h ee n t r o p ym e t h o d 、w ep r o v et h ee x p o n e n t i a ld e c a y so fs o l u t i o n s t o w a r d st h ec o n s t a n ts t e a d ys t a t e sf o rt h eo n e - d i m e n s i o n a la n dt h em u l t i d i m e n s i o n a l c a s e s t h ea r g u m e n ti sb a s e do nas e r i e so fap r i o r ie s t i m a t e s a sab y p r o d u c t ，t h ed e c a y o fs o l u t i o n sf o rt h ev i s c o u sh y d r o d y n a m i cm o d e li so b t a i n e da sw e l l k e yw o r d s ：t h i nf i l me q u a t i o n ；f o u r t h - o r d e rp a r a b o l i c ；n o n l i n e a rd i f f u s i o n ；s t e a d ys t a t e ； n e u m a n nb o u n d a r y ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；l a r g e t i m eb e h a v i o r ；e n t r o p ym e t h o d ；e x p o n e n - t i a ld e c a y ；a l g e b r ad e c a y ；e x i s t e n c e ；s e m i d i s c r e t i z a t i o n ；a p p r o x i m a t es o l u t i o n ；c o m p a c t h e s s ；q u a n t u mh y d r o d y n a m i c s i v 独创性说明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本 论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学 位或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均 已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：世墓壶堕习圭盎逛逊垒壁叠盈盔垄蝗圭迸堑蝗 作者签名： 鎏遮日期：一型仝年上月4 日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 一6 9 日 日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章首先概述本文所研究问题的实际背景和国内外的发展现状，然后简要介绍本文 的主要内容 1 1问题的背景及发展现状 关于二阶偏微分方程的研究现已有了较为成熟的体系和方法，现在正有越来越多 的学者开始关注高阶偏微分方程的研究工作典型高阶偏微分方程包括c a h n - h i l l i a r d 方 程、薄膜方程、以及半导体相关的流体力学等类型的方程，等等它们来源于物理学、 生物学等领域或其它自然现象，常用来描述诸如热力学中的扩散现象 i - 4 、种群的竞争 与排斥1 5 j 、流体流过物体表面的扩散过程( 6 】等，也可用于量子半导体装置如共振空穴二 极管f 7 ，8 】等 薄膜方程可用来描述很多实际的自然现象或物理过程，尤其是近来的研究特别强调 表面张力所起的重要作用：表面张力可驱使薄膜流动，典型的例子如雨水流过窗户逐渐 变干的油漆层，以及在物体表面上液体的扩散情况等薄膜发展变化的过程可用一个四 阶非线性抛物方程来描述【6 】： 甏+ 杀( 等( c k 嚣一6 b k e o sa+bs i n a ) + 么百h x + 警九2 ) = o ， 其中函数h ( x ，t ) 表示薄膜的高度或厚度，6 表示高宽的比值，q 是流体倾斜的角度( 与水 平面的夹角) ，流体在斜面的扩散情况如图： 图1 1 斜面上的薄粘性流 f i g 1 1 t h i nv i s c o u sf l o w so v e ra i ri n c l i n e dp l a n e 1 - 几类高阶非线性抛物方程解的存在性与渐近性 方程中的系数c 是逆毛细管数，等于表面张力与粘性力之比；b 为b o n d 数，为重力与粘 性力之比；a 是v a nd e rw a a l s 项，m 是m a r a n g o n i 数，它们是表面张力梯度与粘性力之 比 薄膜方程的数学工作始于b e r n i s 和f r i e d m a n 【9 对四阶抛物方程 饥4 - ( u n u z x x ) z = 0 第二初边值问题的研究，他们得到了一类h s l d e r 意义下弱解的存在性，并讨论了参 数亿取不同值时解的正性情况后来，l 6 p e zf 1 0 】等人利用伸缩变换结合熵泛函的方 法【1 1 - 1 5 】，得到解在l 1 范数意义下以指数速度衰减到其初始值的均值( 问题本身具有质量 守恒性质，故初始值的均值与解的均值是相等的) 对于c a u c h y 问题，c a r r i l l o 【1 6 】等人给 出解在l 1 范数意义下的长时间衰减结果c a r l e n 1 7 】等人的研究更进一步，得到n = 1 时 解在l 意义下的长时间行为，其后续工作【1 8 中表明c a u c h y 问题日1 范数意义下的衰 减成立，但此时解的衰减速率是t - 阶与f 9 1 不同，b e r t o z z i 【1 9 】等人给出了分布意义下 弱解的定义，并利用能量泛函的方法获得在此定义下弱解的存在性b e r e t t a 2 0 】等人采 用 9 中提及的正则化方程：饥4 - ( 厶( u ) u z x x ) 。= 0 ( 其中五( s ) = 咿8 n + + 4 剐，研究了解的正性， 解的支集关于时间变量的单调性，以及所谓零接触角条件( 即，u ( ，t ) c 1 ) 类似的数学 工作还可见文献2 1 3 8 1 ，有关模型分析或综述参见f 3 9 _ 4 7 】 带二阶扩散项的四阶抛物方程 妣+ ( t 上n u z 黜) z 一( 矿。) = 0 也是诸多数学家关心的问题b e r t o z z i 【4 8 】等人证明了1 2 且卫亭 佗 0 ，q = ( 一q ，n ) ，q = q ( 0 ，+ o 。) ，f = q ( 0 ，+ o 。) 我们主要关心低阶项 对于解的渐近行为的影响本章结论表明，当相关系数满足一定关系，且0 扎 4 ， 0 死的条件下，对类似于文献f 9 定义的弱解，我们得到解的存在 性，还给出了解的正性与仇的关系，并利用构造熵泛函的办法证明古典解当亡_ 。时以 指数速率收敛于其初值的均值 第3 章致力于具梯度项主部的非线性四阶抛物方程解的存在性和长时间渐近分析 一4 大连理工大学博士学位论文 首先关注其定态问题 v ( i v a u l p - 2 v a u ) = ，( u ) ，z q ， 铭= a u = 0 ，z a q ， 其中qcr n 为有界区域，且a q c 1 ，p 1 右端函数i ，( s ) f 尬h m + 尬( 其中m 1 与定态情形类似，在对f 的同样要求下， 发展方程至少存在一个弱解进一步，若，为线性函数，则解还是唯一的证明思想源于 二阶抛物方程的半离散方法需要对发展方程关于时间变量t 进行离散化利用已有的定 态问题解的存在性定理去求解半离散问题，即求解非线性椭圆问题，然后构造两类逼近 解，并对逼近解做所需要的范数估计，通过紧性讨论获得逼近解的极限，这个极限就是所 要找的解最后，给出了光滑解当参数p o g ) 时的渐近行为 第4 章首先着眼于一维粘性量子流体动力学模型 瓮一i 佗e x x 坝正o ， 譬以扩砌。( 警) 2 + ( 笔倒) 2 = 吼k 一老， 鬻叫z + 五z - 0 ， 警嘞一t ( 等) 2 + ( 笔圳，) 。一吡一j a 兀， a 2 = 佗e n i c ( x ) 的初边值问题。初边值条件为 n 。( z ，0 ) = 礼e ，( z ，0 ) = 礼i j ，九( z ，0 ) = j 。j ，五( z ，0 ) = 盔j于q ， 几。( o ，亡) = 佗。b ，礼i ( o ，亡) = t e i b ，v ( o ，亡) = 0 ，k ( 1 ，t ) = 0 ， 九= 0 ，五= 0 ，礼。z = 0 ， 化= 0于a q ， 其中q = ( 0 ，1 ) ，讯b ( k = e ，i ) 为正常数，靠，y ，r ，c ( k = e ，i ，d 表示空间维数) 分 几类高阶非线性抛物方程解的存在性与渐近性 别表示半导体的电子流密度、粒子密度、电势、压强、d o p i n gp r o f i l e 参数6 ，a 和 亿( 七= i ，d ) 分别表示p l a n c k 常数，d e b y e 长和松弛时间，z 是粘性常数通过引入非负 的熵泛函e ( t ) = ：e ，；( 厶羲血+ f ah k ( n k ) d x + 譬如( 凡i ) ：出) + 萼厶眨出，得到 在s o b o l e v 空间范数意义下的指数率收敛性_ n 南b ，j 七一0 ，v _ 0 ( k = e ，i ) 容易验 证( 礼e b ，0 ，啦b ，0 ，0 ) 是一组定态解，即，发展问题的解随着时间的增长，趋于其定态问题 的解 第二部分关注一个具三阶项的高维j ；7 题 譬一仉+ 出v 歹。：0 ， 卺一咄搿川( 舰v ( 警) + v 酬= n 。v v - 毫， _ t l - b i u a n t + d i v j t = 0 ， 譬川五- 6 2 n i v ( 觚；v ( 警) + v 酬= - n t v v - 粪， 入2 y = n 。一n i c ( z ) ， 初边值条件为 扎。( z ，0 ) = 佗。j ，n i ( x ，0 ) = ? l i i ，歹。( z ，0 ) = j 。j ，五( z ，0 ) = j i j 于q ， 佗。= 礼。b ，= n i b ，j 。= 五= 0 ， v=0于a q ， 其中q 为础中的有界连通开集，且a q c 1 ，b ( k = e ，i ) 为正常数对应的熵泛函 g ( 亡) = 七l ( 矗凰( n ) 出+ 譬厶i v n k 2 d x + 矗襞出) + 学如i v v l 2 d x 利用这个泛 函，类似于一维的情形，对维数d 6 ，得到长时i n 收敛性n 七一礼七b ，j j c _ 0 ，v 一0 其 中( 佗。b ，0 ，啦目，0 ，0 ) 也是一组定态解若令占= 0 ，则此模型成为经典的粘性流体动力学 模型。在d 0 ，q = ( - a ，口) 他们得到了某种意义下非负弱解的存在性，其弱解定义如下： 定义2 1 称函数u 为方程( 2 1 ) 的弱解，如果其满足下列性质： ( 1 ) 乱c ( 一q r ) ，啦，钆，z ，u z 船，z c ( p ) ，i u f n u 。l 2 ( p ) ， 其中p = 瓦( 钍= 0 ) u 扛o ) ) ； ( 2 ) 对于任意的检验函数妒l i p ( - q r ) ，且在t = o t = t 附近妒= 0 ，有 以t 卸删t + 以m k c x d x d t = 0 ； ( 3 ) 钆( z ，0 ) = 咖( z ) ，z q ； ( 4 ) 当芒_ o 时，在l 2 ( q ) 意义下有强收敛u ( ，亡) 一u 晚，在u o 的地方钆满足边界条件 b e r e t t a 等人的工作【2 0 】表明方程( 2 1 ) 解的正性与竹有关系，结论如下： 命题2 1 ( 非负性) 在假设 f 厶il o gu o l d z 0 0 ，n = 2 ； 厶谣哪d x 。， 2 n 0 ，n 4 下有 ( 1 ) 若1 n 0 为待定常数这个泛函的优点是具有己o o 范数的下界c a r l e n 等人f 1 7 】证得此 泛函具有代数衰减的速率，并进一步证得解在l 意义下的长时间行为 命题2 2 假设钆是方程( 2 1 ) ( 礼= 1 ) 的一个正古典解，且耳( 咖) 0 ， 心( z ，0 ) = 铷( z ) ，z r ， 的一个古典解，且初值适当光滑，则对于所有的t 0 均有 1 一扎 出c t 一， 其中让o o = 云( 2 一x 2 ) 车是其唯一定态解，常数w 由初值确定 本章首先研究一类四阶退化抛物方程： 地= 一v ( u n v a u - t - q 钆n 一1 a u v u - i - p u n 一2 1 w i 2 v u ) ， 其中口和p 是常数在流体力学和材料科学方面，此方程描述薄膜的发展变化情况【，0 8 1 ， 未知函数u 表示薄膜的高度非负解的存在性工作可以参考文献f 1 0 9 从方程及边界条 件可知总质量守恒： 面= 南上u 出= 高上嘶肚 文献f 1 0 8 曾研究上述方程的一维情形： 饥= 一( “n + q 矿- 1 正+ p 扩一2 u ：) z 为得到解的衰减结果，我们采用1 7 中的熵泛函： 砷，= 上缸 一8 大连理工大学博士学位论文 经复杂的计算可得估计警一c h 3 ，从而由g r o n w a l l 类型的不等式，可以得到代数衰 减h ( u ) c ( t + 1 ) 一j 另外，熵泛函h 具有下界| l u 一硎p ( q ) 因此，我们获得衰减性结 果l | u 一面l | 工一( q ) c ( t + 1 ) 一j 类似地，对于高维问题，引入相应的熵泛函 ， e ( 乱) = u p d x i q f 瑶 ，n 这个熵泛函具有三1 范数的下界和指数衰减的速率，进而，当t _ + 时，问题( 2 1 ) 的解 在三1 范数意义下以指数速率收敛于它的均值，即i i 乱一刮l c e c t 本章最后，我们研究一类带“多孔介质 项的薄膜方程初边值问题： 撕+ ( ，( 乱) t 如) z 一( u m ) 。z = 0 ，( z ，t ) q r ， = 让正z z = 0 ，( z ，t ) f ， u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，x q ， 其中，( 让) = 钆n ，m ，几( 0 ，+ 。) ，u o 0 ，q = ( - a ，n ) ，q t = q ( 0 ，t ) ，f = a qx ( 0 ，丁) b e r t o z z i 【4 8 】等人证明了在1 m 2 时分布意义下弱解的存在性及解的大时间行 为： 命题2 4 假设非负初值u o ( x ) h 1 ( q ) 且1 仇 2 时，存在非负解钍l ( o ，t ；h 1 ( q ) ) 满足定义 以。钆a + 主以。，( 咖：+ 主以。八咖：九年儿。伽心 = 见。( 让晰 ( 2 ) 当1 0 ，q = ( 一口，n ) ，q = q ( 0 ，+ o 。) ，r = q ( 0 ，+ 。) 长时间行为结论如下： ( z ，t ) q ，( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 定理2 1 f k i 殳h ( u o ) = 止等d x 0 0 ，0 n 4 ，且常数 d ( 礼，p ，q ，3 ) = 一( 垒遁竺二j 2 二詈攀一垒学+ p ( 佗一2 ) p + 丝_ 攀+ 2 霹一坐趟卜o ，( 2 - 5 ) 5 1 5一。z j 。 。7 那么问题( 2 2 ) - ( 2 4 ) 的解满足估计： | j 乱一面i l l 。c ( c t + ( 日( ) ) 一2 ) 一 ， 其中取p 位于( 0 ，警) 里，面= 南矗让( z ，亡) 出= 南矗? a o ( x ) d z ，k l 和知2 满足 j 庇1 = 一三6 1 = 一p + j q ， l 奶= 孙1 弓2 研一6 2 + b 3 ) = ( ；p 2 + p 一；印+ 舌2 + 2 ) ， 常数b 1 ，6 3 仅依赖n ，q ，p 和p ，其确z _ g 将在( 2 1 0 ) 给出 附注2 1 满足( 2 5 ) 的参数确实存在，例如，当钆= 1 ，q = 0 ，p = oa ，取p = ，相 应地，d ( 1 ，互1 ，0 ，0 ) 0 0 6 2 其次考虑高维问题： 饥= - v ( ? a n v u + q u 驴1 a u v ? a + z u n 一2 1 w 1 2 v u ) ，( z ，t ) q ， v 钆z ，= v a ? a = 0 ，( z ，t ) r ， 乱( z ，0 ) = ( z ) ，z q ， ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中qcr 为有界区域，q = q ( o ，+ 。) ，r = q ( 0 ，+ 。) ，a q c 1 长时间行为 的结论如下： 一1 0 大连理工大学博士学位论文 定理2 2 假设妒( q ) ，i q 1 ，存在p 使得 1 0 n 1 ， jp 2 一死， l 0s 南 1 ， 【 ( n + p 一2 ) ( 佗+ p 一2 一) + 矽0 成立，那么问题( 2 6 ) 一( 2 8 ) 的解具有估计： u 一一 c e n i l lc a ) c e 一优 u s 一 ( 2 9 ) 上述定理2 1 的结论蕴含了文献 1 7 中已有的结果此前，关于高维情形的长时间 分析尚未见报道 定理2 1 2 2 的证明将在接下来的两节中分别给出 2 2 2 定理2 1 的证明 定理的证明分成如下三个引理首先说明熵泛函关于时间的微分是负的 引理2 1 ( d h 的运算) 假设定理2 ，1 的条件成立，则 警一。上一 扭6 证明亘援的计算表明 等一z ( 考) 嚣让k 出一p 上( 鲁) 2 矿出 + 2 z ( 豢) 。( c r u n - 1 扎z 2 + p u n - 2 u z 3 ，出 + p 上嘉( q 矿以z + 触n - 2 ，u 3 王) z 妇 = 一2 矿- p 如出+ p ( 死一2 ) p 矿p - 4 乱：出+ a u n - p - 1 选出 ，n，q，q + 4 p 2 ，_ p + 1 u u 船让z z d x + ( a 印一p 0 + 1 ) ) 乱n p 一2 t 3 u z z z d x + ( 2 c e ( n 一1 ) + 6 卢+ q 猡一a ( n p 一1 ) ) 矿- p - 2 2 ，“2 2 2 d x + ( 2 z ( n 一2 ) + a ( 凡一1 ) p + 3 励) “n 呻一3 u 4 u = x d x 磐一2 上矿一p 妇+ p ( n 一2 功z 矿p - 4 缸p z + q 上扩呻1 钆3 z 出，n，q，q + b l j l + + b 4 i , 1 1 1 ( 2 1 0 ) 几类高阶非线性抛物方