（基础数学专业论文）本原奇异数的一些研究.pdf

本原奇异数的一些研究 基础数学专业 研究生：尹友展指导老师：洪绍方教授 。y9 9 乏9 7 7 摘要：近几年来，由于在数论，特别是在整数矩阵的理论研究上的需要，寻 找本原奇异数受到了许多数学家的关注h o n g ，s h u m 和s u n 【1 0 】证明t h o n g 的一 个论断：1 8 0 是第一个本原奇异数( 即最小的本原奇异数) 本文则证明了h 0 n g 的 另一个论断：2 7 0 是第二个本原奇异数( 即第二个最小的本原奇异数) 。我们还证明 了：若别黾g c d 封闭的，且对所有的1 lsn 有以 2 7 0 及1 8 0 ，则定义在s 上 的l c m 矩阵是非奇异的同时本文还研究了形如2 姆r 的本原奇异数，并且给出了 所有的最大素因子不超过1 0 0 0 的形如2 p q r 鬟j 本原奇异数。 关键词： 最大型因子，奇异数，本原奇异数，l c m 矩阵，算术基本定理 o np r i m i t i v es i n g u l a rn u m b e r s m a j o r i n g ：m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：y o u z h a n y i n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rs h a o f a n g h o n g a b s t r a c t ：r e c e n t i yt h e r ea r et r e m e n d o u si n t e r e s ti nf i n d i n gp r i m i t i v es i n g u l a r n u m b e rd u et oa p p l i c a t i o n si nn u m b e rt h e o r ya n di ni n t e g r a lm a t r i xt h e o r y i n 1 0 ， h o n g ，s h u ma n d s o np r o v e dh o n g bc l a i ms a y i n gt h a t1 8 0i st h el e a s tp r i m i t i v es i n g u l a r n u m b e r i nt h i sp a p e r ，w ep r o v ea n o t h e rc l a i mo fh a n g s t a t i n gt h a t2 7 0i st h es e c o n d l e a s tp r i m i t i v es i n g u l a rn u m b e r w ea t s os h o wt h a ti fsi sa g c d - c l o s e ds e ts a t i s f 舛n g 毛 ：9 ( d ) ，( l 1 ) d l z k # t o 爿- 胡飘 并且函数9 的定义为g ( m ) = 鬲1 d l 。咖( d ) p 是m s b i u s i i 数。并且他们猜想：定 义在9 谢封闭集s 上的l c m 矩阵是非奇异的h o n g 在 4 1明b o u r q u e - l i g h 猜想 在n 7 的时候是正确的，但当n28 时却不正确。本文则继续这一工作，证明存 在一系列奇异的l c m 矩阵。 由b o u r q u e 和l i g h 的上述公式可以看出：定义在9 甜封闭集s 上的最小公倍数 矩阵的非奇异性可转化为判断对集合s 中的每个元素以，对应的吼是否为零但 是这个公式在实际计算中比较复杂。h o n g ：i 噩过引入最大型因子这一概念。简化 了公式( 1 1 ) 并使得实际计算变得容易可行。 对s 中任意两个元素a ，b ，其中 6 ，如果口1 6 ，并且由条件o i c 陋和c s 可 得c 8 ，6 ，则称a 是6 在r 中的最大型因子。9 c d ( a 表示正整数有限集合a 中 所有元素的最大公因子。令g s ( z ) 表示z 女在集合s 中的所有最大型因子构成的集 合。h 0 n g 【4 j 证明了如下的简化公式： - - m ( - 1 、i j l 驴，。色。) 翔。 ( 1 2 ) h o n g 8 弓l 进了奇异数和本原奇异数这两个概念。设。为一个正整数，如果存 在整数7 , 8 和一个9 磁t 闭的集合s = 伽t ， ，其中1 z l z 。= 。， 使得q ( ，t n ) = 0 ，则称如此的正整数z 为一个奇异数，否则称z 为一个非奇异 数。若z 为奇异数并且z 的所有的正真因子都是非奇异数，则称z 为本原奇异数。由 公式( 1 2 ) ，判断定义在g c d 封闭集s 上的最小公倍数矩阵是否奇异就转化为判断集 合s 中是否有奇异数或者本原奇异数。h o n g ，s h u m 和s , m 1 0 证明- j h o n g 8 所指出 的一个论断：1 8 0 是最小的本原奇异数。由此可知：若s 为弦硅 闭集合，并且s 中 的每个元素都是小于1 8 0 的，则定义在s 上的最小公倍数矩阵是非奇异的 本文则继续利用h o n g 名e 文【4 ，6 ，7 ，8 l 中提出的方法，分析了2 1 0 ，2 4 0 以及2 5 2 的 所有可能的最大型因子集合，证明t h o n g 8 l 中的另一个论断：2 7 0 是第二个本原 奇异数。我们还证明了：若s 是g o d 封闭集，且对所有1 i n 有而 2 7 0 及以 1 8 0 ，则定义在s 上的最小公倍数矩阵是非奇异的。另外，本文还研究了形如2 p a r 的 本原奇异数，通过分析2 p q r 的所有可能的最大型因子集合得出2 p 叮r 是否为奇异数 的一些条件，并给出了弘q ，r 均小于1 0 0 0 时的所有形如2 p q r 的本原奇异数。 2 定义和预备引理 在本节中，我们陈述几个已有的重要定义和引理。在下一节证明主要定理时 我们需要这些定义和引理。 定义2 1 ：( h o n g 【4 i ) 设z ； 盈，魂) 为一个由七个正整数构成的集合，则 定叉在z 上的函数凤如下： k - 1 11 触，锨) 瓦+ 善( 。1 ) r 。乏静1 丽 ( 2 。1 ) 。 r = l 1 i i ( l r 蔓k 一 q l 1 r 。， 其中( 。，铒，z h ) 表示磊”，和的最大公因子 显然，若协， 一1 ) 是 l ，k - 1 的- - 个置换，则我们有凤( 锄，- 钆) = 风( 以，z k l ，魂) 定义2 2 ：( h o n g 【4 】) 设t 为一个由正整数构成的集合对r 中任意元素口，b ， 其中d b ，我们称n 是b 在t 中的最大型因子，如果n 1 6 并且由条件o l c l 6 和c s 可 得c f d ，” 命题2 3 ：( h o n g 【4 】) 设s 为妒耐闭的，并且对于1 ksn ，m 的定义同 于一 设g 警( 钆) = 瓠1 ，挑 ) 表示z 在s 中的最大型因子集合，其中弧1 瓤厶则我们有如下等式 a 鼍= 疡。+ l ( 可知。1 ，l 陪j 。，z ) 在如下的3 个引理中，我们设g s ( ) 一 肌，表示在s 中的最大型因 子集合，其中玑 若m 之2 ，则对任意满足2 r m 的整数r ，我们有定 义膨仇) = ( 玑。，玑，) 1 1 i l i ，m ，其中( ，) 表示玑，纵的 最大公因子令m ( “) = u ：膨。因为( 玑，) m ( ，所以有im ( 呻1 2 1 。 引理2 4 ：( h o n g 【4 1 ) 设m52 则风+ l ( 玑，) 0 引理2 5 ：( h o n g 4 1 ) 设m 3 若im ( ”i = 1 ，则风+ l 觚，y m ，如) 0 引理2 6 ：( h o n g 4 1 ) 若im ( 3 j 3 ，则风( l ，抛，y s ，) 0 32 7 0 是第二个本原奇异数 本节中我们主要证明2 7 0 是第二个本原奇异数。 在下面的几个引理以及下一节中，z 。m 1 ) 总是表示一个固定的正整数 由f 8 】中最后所给的一个注记，我们可设n 8 对任意的正整数lsz l x n - l 使得z 。1 以及集合s = 扛l ，一l ，) 是9 c d 封闭，记 g s ( x 。) = 玑，) 为在集合s 中的所有的最大型因子集合，其中p 1 弧则 应用命题2 3 后，我们有 a 。( x l ，而。一1 ，。) = f 轨l ( l ，h ，。) ( 3 1 ) 引理3 1 设卫。= p q r s ，其中p ，q ，7 1 s 是互不相同的素数则列- p ；2 ，g = 3 ，r = 5 ，8 = 7 ， ( o l ，- l ) 0 证明首先，我们注意到 g s ( ) p ，g ，r ，岛p q ，p r ，p s ，q r ，q s ，r j ，p q r ，p q 8 ，p r s ，q r s ) 若ms2 ，由引理2 4 和( 3 1 ) ，结论显然成立放下设m 3 。 情形( i ) ：p ，g ，r 8 中至少有一个属于g s ( x 。) ，不妨设p g s ( $ 。) 。在此情形中。 则有加，p r ，p s ，p q r ，p q s ，p r s 譬g 台( ) 从而g s ( ) 包含于剩下的元素中。 如果m 4 ，我们容易得到g 0 ( ) = p ，q ，r ，s 或者 p ，矿，q s ，r s 。对于g s ( ) 的这两种可能情形，分别由引理2 5 和命题2 3 可知，对p = 2 ，q = 3 ，r = 5 ，8 = 7 。 有( z l ，t n - - l ，。) 0 。 如果m = 3 ，则我们有g s ( x 。) = 切，q ，r 或 p ，口，8 或 p ，r ，s ) 或扫，q r ，q d 或扫，帆r 5 或 p ，舔r s 或佃，r 驴) 或 a s ，q r 或 p ，q s ，r s 对这几个情形，由 引理2 6 ，结论成立。 情形( i i ) ：所有的p ，g r ，8 均不属于g s ( ) 。在这个情形中，6 台( ) 伽，p r ，p s ， 妒，q s ，r 8 ，p q r ，p q 8 ，p r s ，q r s 。通过对p q r ，p q s ，p r s ，q r s 在g s ( ) 中出现的数日进 ! ! ! ! 叁芏堡芏垒丝查 4 行分类，可得：g s ( x 。) = t p q ，g e s ，妒s 或t p 3 ，p q r ，妒s 或伽，埘8 ，q r s 或t 鼋r ，p q s ， p r s ，或 q s ，p q r , p r s 或 r s ，p q r ，p q s 或 p q ，p r ，p s ，q r s 或t 舶，q r ，q s ，p r s ) 或 肼q r ， 7 8 ，m s 或 p s ，q s ，7 8 ，p q r 或 册，玑卵，q r q s ，r s 并且对上面g 名( ) 的可能情形 中，在元素个数超过3 的集合中删除一些数可得如下的一些新的情形：g s ( ) = 加，p r , 矿8 ，( 卿，p s ，q r s ， p r ，p s ，叮r s ，( 瑚，q r , g e s ， p q ，q s ，p r s ， 妒，q s ，p r s ， g r ，g r ，p 驴， 玑r 8 ，p q s ， g r ，r s ，m s ，( ”，q s ，p 叮r ，t 妒，r s ，p 口r ) ， 庐，r s ，p q r ，( p 口， t r r , p s ，叮r ，驴，t 舶，v r ，p s ，q r , r s ，t 期，p r ，p s ，q s ，r s ，t 册，p r ，q r , q s ，r s ， p g p s ，旷， q s ，r s ，忉，p s ，g r ，q s ，r s ，伽，q r , q s ，r s ) ，饥q r , q s ，r s ，协，q r ，q s ，r s ，伽，m q s ， r s ， p r , p s ，g r ，邶) ， p r ，p s ，口r ，驴 ，( 册，q r , q s ，r s ) ， 册，p s ，q s ，r s ，t 卿，p s ，q r ，r s ， p q ，p s ，q s ，矿 ，t w ，p r , p s ，q r ，t 粥，p r ，矿，r s ， p 口，p r , q r , q s t p q ，p n p s ，r s ， 卿， p r , p s ，q s ， p 口，p r ，p s ，妒 ， 口r q s ，r s ， p s ，q s ，r s ， p g ，g r , p s ，t 粥，p r , 叮r ，( p 口，p r ， q s t ， 卿，p r ，r s ， p 口，p s ，e r ， 册，p s ，驴) ，d 玑p s ，r s ， t r r , p s ，口r ，( p r i p s q s ，( 粥 p s ，似 ，t 册，q r , q s ， 粥，q r ，r s ， 瑚，q s ，r s ， p r q r , q s ，( m 口r r s ，帆口s ，r s ， t p s ，g r , q s ，伽8 ，q r , r s 。对于如上列出的g s ( ) ，由命题2 3 可以直接对p = 2 ，q = 3 ，r = 5 ，s = 7 计算得知任l ，一1 ，z 。) 0 于是结合情形( i ) 和( i i ) ，有( z 1 ，一l ，) = ( z l ，茁。一l ，2 1 0 ) 0 即：2 1 0 非本原奇异数 引理3 2 设；p 4 叮r ，其中p ，q ，r 是互不相同的素数则对p = 2 ，q = 3 ，r = 5 有 嘶。 l ，。一1 ，3 k ) 0 证明首先，我们注意到： ( b ( ) d ，q ，r , p q ，p r ，口r 矿，p 2 玑p 2 r ，p 2 口r ，p 3 ，p a q ，p 3 r , p 3 q r ，p 4 ，p 4 q ，p 4 r 若m 2 ，类似于引理3 1 ，由引理2 4 和( 3 1 ) 可知结论显然成立。下设m 3 。 情形( i ) ：p g s ( ) 在此情形中，显然g s ( ) 只能是 p l q ，r l 。对此情形， 因为j m ( 3 i = 1 ，从而由引理2 5 可知结论正确。 情形( i i ) ：p 2 g s ) 在此情形，g s ( 。) = 舻，q ，r ，扩，g ，舻，r ，册 ， 矿，p 叮，- t r r , 妒 ， 矿，p q ，口r ) 或者驴，p q ，p r 当g s ( ) = 矿，p q ，p r 叮r 时。由命 题2 3 对于p = 2 ，q = 3 ，r = 5 ，n i ( z l ，“) 0 对其他的可能，结论可由 引理2 6 推得。 情形( i i i ) ：p 3 g s ( ) 在此情形中，g 备( ) 可能为 矿，q ，r ， 矿，q ， ， p 3 ， r ，埘，扩，矿扩，r ) ，驴，矿g ，计，扩，p 2 吼计，扩，p 2 r ，p q ，妒，p q ，p r , g r ，扩， 口p 2 r ，舻，矿r q r ，舶 ，扩，p 2 r ，矿口口r ，扩，p 2 口，p r ，g r ) ，仞3 ，r p 2 口) ，伊，儿 妒 或 矿，p q ，p r ，若g s ( j e 。) ； p 3 ，p q ，口r 或 矿，p 2 r 妒，p 口 或 矿，矿r , f q ，妒 或，p 2 q ，g r ，e r ，对这4 种情形，由命题2 3 通过计算可知，对于p = 2 ，q = 3 ，r = 5 ，0 l ，一l ，z 。) 0 对其他情形，可由引理2 6 推得同样的结论。 情形( i v ) ：p 4 g s ) 在此情形下，岛) = ，q ，r ) ，口，) ，r 脚，p q ，矿r ) ，p q ，矿r ，铲，g r i p 2 口 ， p 4 ，m 幽 ，p r ，矿q ， g r ，p 3 口) ，g r , 矿g ，q r , 矿卯2 口，口r ，毋，( p 4 ，口r ，p 3 r ，叮r ，p 3 q ， 一 ，p q ，g r ，矿 ，q l p 2 r ，扩，口，矿r ， r p 2 q ， p 4 ，玑妒) ，p c ， 妒 ， 矿，口，p 3 r ，r 矿订或 矿，肿，p r 。对上面的这些g s ( ) ，由命题2 3 通过 计算可知对于p = 2 ，q = 3 ，r = 5 ，( $ 1 ，一l ，) 0 情形( v ) ：p ，护，p 3 ，p 4 簪( b ( ) 。可知g s ( ) 的所有可能情形是( 钾，q r ，r ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 或 p r ，q r , p q ，i = 1 ，2 ，3 ，4 或 q r ，矿q ，p i r ) ，i = 2 ，3 ，4 或 口r ，p 2 r 口 ，i = 2 ，3 ，4 或舻q r ，p ，r ，c q ，i = 3 ，4 ，j = 3 ，4 对这些情形，同样由命题2 3 通过计算可 知对于p = 2 ，q = 3 ，r = 5 ，0 “，“靠) 0 。 综合上述5 种情形可知，0 l ，一1 ，。) = 0 1 ，。一l ，2 4 0 ) 0 。即： 2 4 0 非本原奇异数 引理3 3 设= p 2 q 2 r ，其中p q ，r 为互不相同的素数则对p = 2 ，q = 3 ，r = 7 ，有 ( z l ，礼) 0 。 证明首先，我们注意到 a s ( z , ) d ，q ，r ，p 2 ，p 2 q ，矿r ，p q 2 ，g r ，妒，q 2r ，p 2 矿，矿，p 2 9 r ，p q 2 r ，p q r ，册 情形( i ) ：r g s ( x 。) 。在此情形下，g s ( a e 。) 的可能情形为 r ，弘口 ， r ，矿，p 矿 ， r ，9 2 ，p 2 口) ， r ，矿，q ， r ，p ，9 2 ，n 矿，粥 ，n 口2 ，朋 或 r , p q 2 , p 2 q 。对以上的 这些g s ( ) ，由引理2 6 可知对p = 2 ，q = 3 ，r = 7 ，有( z 1 ，一l ，) 0 。 情形( i i ) ：r 譬g s ( 霉。) 在此情形，通过对集合伽，q ，r ，护，p 2 q ，p 2 r ，p q 2 ，p r ，q r ，口2 r 矿矿，q 2p 2 口r ，p q 2 r ，瑚r w 中元素的方幂进行分类，可得g s ( ) 的所有可能如 下：切，矿，妒 ，( q ，矿，p r ，舻，g ， ，( 9 2 ，p ，旷 ，( 矿，矿，p q ，p r ，q r ) ， 矿，矿，p r , 矿 ， q 2 ，p 2 ，p q ，口r ， q 2 ，护，p q ，p r ，t q 2 ，p 2 ，p r ， q 2 ，p 2 ，册 ， q 2 ，p 2 ，妒) ，舻，p r , 口r ， q 2 ，p r ，g r ， 矿，x ，妒 ，f q 2 ，p q ，q r ， q 2 ，p 2 ，口r ， p 2 ，p r ，触 ， 9 2 ，p q ，p r ，舻， 斗r , p q ，e r ，扩，p q r , p q 2 ，咖 ，舻，砰，q 2 r ，舻，砰，阿 ，扩，口2 r ，t o r t ，舻， p q 2 ，矽，矿，t p 2 ，q 2 r ，p r ，加 ，舻，p r ，计，舻，矽棚 ， 矿，口r ，舶) ，妒，砰，卅， 四川是擘硕士擘往论文6 p 2 ，p c l 2 ，g r ， 矿，弘册 ， q 2 ，p c l ，q r ， ， 口2 ，p 2 q ，w r ，p 2 r ， q 2 ，p 2 q ，矿r ，( q 2 ，矿口， p q r ， q 2 ，p 2 r ，册r ， q 2 ，p 2 口，矿，p r ， q 2 ，p 2r q r ，p 口 ， q 2 ，p r ，口r ，册 ， 矿口2 ，矿r q 2 r p q r ，舻q 2 ，p 2r ，口2 r ，舻q 2 ，矿r , p q r ，舻q 2 ，q 2 r , p c r ，舻矿，矿n 埘2 r ，舻q 2 ，q 2 r p 2 卅， p 2 9 2 ，p r , q r ，舻矿，肌q 2 r ，舻口2 ， 叮r ， p q 2 r ，护吼矿r ，d 口r ，矿口，砰， 口2 r ，p 2 r ， p e r , 矿口，矿r 矿r ， p e r , p q 2 ，口2 r ) ， p q r q 2 r ，p 2 r ， p e r , 矿q ，瑚2 ，q 2 r ， p q r ，矿吼砰，p 2 r ， p a r ，p 2 吼砰) ， p e r , p 2 吼卉 ，舻g p 口2 ，9 2 r ，p 2 r ) ， 9 2 r 矿口， 砰 ， 口2 r p 2 r ，砰) ，扩口，砰，p 2 r t 。舻q ， p r ，舻口，p q 2 ，p r ) ，伽，q r , p r 。对 上面的这些g 譬( ) ，由命题2 3 通过计算可知对于p = 2 ，口= 3 ，r = 7 ，有( z l ， x n 一1 ，靠) 0 。 综合情形( i ) 和( i i ) ，可知对p = 2 ，g = 3 ，r = 7 ，o ( z z ，善，1 ，) = ( z l ， 一1 ，2 5 2 ) 0 。即：2 5 2 非本原奇异数 定理3 42 7 d 是第二个本原奇异数 证明由算术基本定理，我们可知，对于1 8 0 $ 2 7 0 ，除了2 1 0 ，2 4 0 ，2 5 2 这3 个数之外，z 的标准分解只能为如下几个类型( 其中p ，q ，r 为互不相同的素数，f 是 正整数) ：( i 如= p i 矿o = 0 ，1 ，2 ) ；( i i 如= p 叮r ；( i i i 净= 矿q r ；( i v 净= 矿q r 设z 。= z 为一个满足1 8 0 嚣 2 7 0 的固定的整数。并r n 8 。设1 z 1 一l 为任意的满足一l 和s = z l ， 卵础t 闭的整数。对于情 形( i ) ，由【6 ，8 1 可得o 。( z l ，) 0 对于情形( i i ) 一( i v ) ，可由【1 0 1 中的引理3 1 - 3 3 得( 。l ，) 0 。再由本文中的引理3 1 3 3 可知：2 1 0 ，2 4 0 ，2 5 2 都不是奇 异数从而断言2 7 0 是第二个本原奇异数得证。 定理3 5设s = z 1 ， 为对于所有l i n 均满足丑 2 7 0 及黾 1 8 0 的一个9 耐封闭集则定义在s 上的最小公倍数矩阵是非奇异的 证明由引理3 1 3 3 及定理3 4 ，对1 后，l ，我们有锨；瓯( z l ，霉女_ l ) 0 故d e t s l ；：l 口k 0 ，即最小公倍数矩阵【司是非奇异的。结论得证a 本节内容发表于文 1 5 1 4 最大素因子不超过1 0 0 0 的形如2 m r 的本原奇异数 在本节我们主要讨论形如2 p q r 的本原奇异数，其中“q ，r 都是奇素数且p 口 r ，并给出一些这样的本原奇异数。 若。的标准分解式为2 w r 的形式，则在引理3 1 中我们讨论并得到了所有g s ( ) 的分类，并且由引理2 4 可知，当i g s ( ) i 3 时才可能需要我们通过计算去判 断靠的奇异性从而类似地，对于形如细r 的数，g s ( ) 可能需要计算的情形 如下： 7 2 q r ， 2 q ，p q ，q r , 缈) ， 2 r , p r , q r ，2 p q ， 2 r , p c ，p r ，q r ， 2 q ，p q ，p r , 旷， 2 q ，p q ，p r , 旷 ， 2 r ，2 q ，m a r ， 2 q ，2 r , p q ，q r ， 2 q ，2 r , p q ，p r ， 助，p q ，p r , 叮r ， 2 p ，2 r , p r , q r ， 2 p ，2 r , p q ，口r ) ， 2 p ，2 r , p r , p q ， 2 p ，2 q ，2 r ，钾 ， 2 p ，2 q ，p q ，口r ， 2 p ，2 q ， p q ，p r ， 2 p ，2 q ，2 r ，妒， 2 p ，2 q ，2 r , p r ， 2 p ，2 q ，2 r , p q 。 情形( i i i ) g s ( ) = 2 p ，2 q ，2 r , p q ，p r ， 2 p ，2 q ，2 r , p c ，q r ， 2 p ，2 q ，2 r ，p r , 口r ， 2 p ，2 q ，p q ，p r , 叮r ， 2 p ，2 r ，p q ，p r , 矿 ， 2 q ，2 r ，p q ，p r , 矿 情形( i v ) g s ( z ) = 2 p ，2 q ，2 r ，p q ，p r , 妒 。 由引理2 4 ，我们对上述的情形( i ) ，对其中需要计算的利用公式( 2 1 ) 计算如 下： 反( q r ，2 p q ，2 p r ，2 p q r ) = = 五万1 一孑1 一面1 鬲一磊1 孑+ ；1 + ；1 + 历1 1细rg r 细劢。r 。r 。劫 ! ! = 型! 笙二! 二：1 2 o 。 2 p q r 。 p 4 ( p r , 2 p q ，2 叭2 p q r ) = 丽1 一万1 一丽1 一丽1 + ；+ ；1 + 葡1 1 = 坚娑 。， 风咖，2 觚2 p q r ) = 而1 一面1 一面1 一面1 + ；1 + ；1 + 磊1 1 = 坚芈掣 。， 反( 2 口，p 口r ， = 鬲；1 孑一面1 一面1 鬲一五孑1 + 互1 + ；1 + 万1 2 p q 2 p q r ) 一l 反( 2 口，p 口r ， 2 五鬲；一瓦一夏鬲一面；+ 互+ ；+ 磊一1 ：l ! = 型! ! 二1 2 o ， 2 p q r 。 ! ! ! ! 垄兰塑芏垒堕墨 8 肪( 2 r ，细，p q r , 2 p q r ) = 丽1 一万1 一万1 一丽1 + 互1 + i 1 + 面1 一l 0 ， z t ( 2 p ，2 眠p g r ，2 p 妒) = 而1 一历1 一丽1 一鬲1 + 互1 + p 1 + 孑1 1 ：f ! 二笙! 塑= 1 2 o 。 2 p q r z 4 0 r , q r , 2 p q ，栅) = 丽1 一万1 一石1 一丽1 + i 1 + i 1 + i 1 1 = ( 1 - r ) ( 2 ( p 面q - f p - q ) + 1 ) 。， f i ：4 ( 2 r , q r ，细，细r ) = 丽1 一万1 一孑1 一丽1 + i 1 + 互1 + 石1 1 = 些学 。， 尻( 2 r 肌细，印q r ) = 丽1 一万1 一万1 ：( 1 - - r ) ( q ( p - 2 ) 一一1 + ；1 + 互1 2 p q+ ；一1一一+ ；+ 互+ ；一1 业 o 。 反( 2 口 旷，2 , 2 p q r ) = 丽1 一瓦1 一而1 一万1 + i 1 + 互1 + 石1 1 ：( 1 - q ) _ ( p - ( r - 2 ) + 一1 ) 0 ， z p q r 角( 2 q ，埘，2 p r , 2 p q r ) = 丽1 一面1 一面1 一丽1 + 石1 + 互1 + 每1 1 = 坚学 。， 反，m 2 a t , 2 p a r ) = 而1 一面1 一万1 一丽1 + i 1 + i 1 + ；一1 = ( 1 - p ) ( 2 ( q 丽r - f q - r ) + 1 ) 。， ! ! ! ! 苎芏塑芏堡i ! 圭9 a ( 2 p ，2 旷，劫q r ) = 而1 一历1 一万1 一面1 + ；+ 互1 + ；1 1 一( 1 一p ) ( q ( r 一2 ) + 1 ) 风( 2 p ，川，幻r ，2 p q r ) = 0 ， 丽1 1 1 1 + i 1 + _ 1 + ；1 2 p p q2 q r2一l枷 口。p l ! 二业鱼二型1 2 o 。 2 p q r 尻( p 口 口r 2 p r , 2 p 口r ) = 而1 一面1 一万1 一万1 + ；+ 石1 + ；1 1 风( 2 q ，2 r , p q r , 2 p q r ) = ( 1 - q ) ( 2 ( p r - p - r ) + 1 ) o 。 2 p q r + 而1 1 1 1 + ；1 + 一1 2 q 2 r p q r2 + ：一 2 p 口r 。r 。 口 1 ( 1 - 2 ) ( p ( q r 芒- q - r ) + 一1 ) o ， 咖r a ( 2 p ，2 r ，枷) = 而1 一历1 一万1 一万1 + ；1 + ；+ ；1 一l ( 1 - - 2 ) ( q 0 1 r 芒- - p - - r ) + 一1 ) o ， 2 p 口r 、 屈( 2 口，2 p ，w r ，2 p g r ) ；瓦1 孑一瓦1 一历1 一面1 + ；1 + 互1 + i 1 一l = ( 1 - 2 ) ( 砌面q - 歹p - q 一) + 1 ) 。， 风( 2 q ，2 r ，q r ，2 p q r ) = 111 11 1 2 p q r 一瓦一2 rq r + ；+ i ! ! 二望! 翌! ! 二2 ) ( q r 一口一r ) + 三一1 口 0 ， z , ( 2 p ，2 r ，p r , 2 v q r ) 2 丽1 一历1 一万1 一万1 + i 1 + 互1 + ；1 1 = ( i - - 2 q ) + q ( 1 丽- f 2 ) ( p r - - p - - r ) 。， ! ! ! ! 垄兰塑茎竺堡圭1 0 角( 劬，2 9 ，删，助g r ) = 而1 一面1 一瓦1 一面1 + ；1 + 互1 + 石1 1 ；(1-2r)+r(1-2)(pq-p-q)fo 2 p q r 。 对上述情形( i i ) ，除了g 0 ( ) = 2 p ，2 q ，2 r 矿 和g 名( ) = 2 p ，2 q ，2 r , p r z 外，其他的g 0 ( z n ) 通过( 2 1 ) 并注意到2 p 口 r ，计算如下： 风( 2 r ，p r ，仉咖，2 p 旷) = 历1 孑一万1 一万1 一孑1 一丽1 + ；2 + ；+ ；+ ：一2 ：( 1 - r ) ( q ( p - - 2 i ) + ( q - - 1 ) 2 p 一+ 1 ) 。， 口，o o n 一、 1 1111 112 岛( 2 p 幻 舶，枷) 2 p q r 历一面一面1 一孑1 + 互1 + ；1 + ；一1 = p ( 3 r - q r - 1 2 面) + l + 一r ( q - - 2 ) 。， 2一pd一 2一qd一 # 矗一# 。一幼胁一 ，一轨坳一 一一一 一一一 一 + 一妒 一 + 一矿 。w讣一枷。粥讣一枷 一 二 一 二 。一幻嘶一 。幻咖一 。幻一 。幻一一 一i 枷卜一 上枷卜一 风( 2 p ，2 r , p r , q r ，2 p g r ) = 丽1 一历1 一万1 一万1 一孑1 + i 2 + ；1 + ；一1 ! f ! 二型鱼! = 翌! ! o ， 2 p q r 、。 屁( 助，w ，m q 2 p q r ) = 历1 石一面1 一面1 一万1 一石1 + ；+ ：+ 1 ，一1 = 1 + ( 2 p - q r ) 1 - i - ( 丽2 p - - 2 ) ( q + r 一- q r ) 。， 风( 2 叮，2 r ，p 叮，p r , 2 p a r ) ；而1 一瓦1 一万1 一面1 一万1 + 石1 + ；1 + ；1 + ；一1 ；! 鱼= 型! ! ! 二竺2 o 。 2 p q r 风( 2 r ，2 q ，p q ，q r , 2 p q r ) =而11111+呈+一12r 2 qp qq r q 2 + ；一-细r 。r 1 1 2 r + p + 3 r 一2 一口r ) 2 p q r 生翌掣 o 。 二丽产型钏 屁( 2 r ，2 q ，p r ，q r 2 p q r ) = = 11111+；2+1口+一12pqr 2 q 2 r q r p r 2 一l 。r 。口。 兰二鱼+ p ( 3 q + r 一2 一q r ) 2 p q r 坐皆 。， ! ! ! 苎芏堕主芏竺丝圭 1 2 口 一。 、 1111 121 1(2 风q , p q , p r , 叮r ，印叮r ) = 而一瓦一面- _ _ p r孑+ 石+ ；+ ；一1 风( 2 r , p q ，p r ，q r ，2 p 旷) = = 1 + ( p - 2 ) ( q + r - q r ) + p ( r - 2 - q r ) 2 x r o ， 1一三一三一三一三+一2+一1+!一12p q r 2 r p qp r q r 。r q p 1 1 - 2 r - 2 q + 2 q r + p ( 3 q - 2 + 2 r - 2 q r ) 2 p q r l + p ( 3 _ - - 2 p ) ( q 一- 2 ) o 。删， 对上述的情形( i i i ) 和( i v ，分别计算如下； 屁( 2 口，2 r p 口，m g r ，细r ) 2 而1 一万1 一万1 一面1 一万1 一孑1 + ；+ i 2 + ；1 + ；一2 ：( q r - q - r ) ( i 2 - 3 p ) + ( i - 一2 p ) o ， 风( 卸，2 r 加，矾q r 2 册r ) ；而1 一历1 一万1 一面1 一孑1 一孑1 + ；+ i 2 + ；1 + 互1 2 ：( r p - r - p ) ( = 2 - 3 q ) + ( 1 - 一2 q ) o ， 风( 劫，2 口，册，p r , q r , 2 p a r ) = 瓦1 孑一历1 一11 一1 1 + 呈+ ；+ ；1 + 一1 2 q p qp r q rp 2 一。 。口r 。 ；(pq-q-p)(2-3r)+(1-2r)o， 2 p e r 、” 风( 2 p ，幻，2 r p r q r , 2 p q r ) = 1一三一三一三一三一一1+一2+三年三一12p q r 2 p 2 q 2 r p r q r 。r p q l + q r - - 2 q + p ( r + 3 口一2 2 妒) 2 p q r l + 2 ( q - 1 ) ( p - r ) + q r ( 1 - p ) o ， 2 p q r 、” 风( 2 p , 2 q , 2 r , 朋，q r , 2 p q r ) = 丽1 一历1 一万1 一万1 一面1 一孑1 + ；+ p 1 + 1 ，一1 1 + q r - 2 r + p ( q + 3 r - 2 - 2 q r ) 2 p q r l + 2 ( r - 1 ) ( p - q ) + q r ( 1 - p ) o ， 2 p q r 、。 = 生毫笋型 首先我们考虑不定方程1 一鲈+ 霉( + z 一2 ) = 0 断言：不定方程l 一护+ x ( y + z - 2 ) ；0 有无穷多整数解，其中z y z 。事实上。设= x + a ，z = x + b ， 其中口 3 时，上式 0 当p ；3 时，风( 2 p ，2 q ，2 r , p r ，2 p q r ) = ! 尝磬。只要素数q ，r 满 足2 q = r + l 时，风( 印，2 q ，2 r p r ，2 p q r ) = 0 。故形如6 q r 的奇异数的个数等于满 足2 q 专r + 1 的素数对( 口，r ) ，q r ，的对数。这就产生了一个问题：是否存在 无穷多个素数m 使得2 m 一1 也为素数此问题类似于孪生素数问题。据我们所 知，此问题至今仍未解决。设d ，b 为互素的正整数，d i r i c h l e t 定理告诉我们算术级 数 帆一6 ) 器，中含有无穷多个素数一个更为深刻的问题是当n 跑遍所有的素数 时，序列 a p 一6 p 是否包含无穷多个素数。如下我们给出p g r 在1 0 0 0 以内的素 数解： 2 p q r 2 3 7 1 3 = 5 4 6 2 3 1 9 3 7 = 4 2 1 8 2 3 3 1 6 1 = 1 1 3 4 6 2 3 3 7 7 3 = 1 6 2 0 6 2 3 7 9 1 5 7 = 7 _ 4 4 1 8 2 3 1 3 9 2 7 7 = 2 3 1 0 1 8 2 3 1 5 7 3 1 3 ；2 9 4 8 4 6 2 3 1 9 9 3 9 7 = 4 7 4 0 1 8 2 3 2 1 1 4 2 1 ；5 3 2 9 8 6 2 p q r 2 3 2 2 9 4 5 7 = 6 2 7 9 1 8 2 3 2 7 1 5 4 1 = 8 7 9 6 6 6 2 3 3 0 7 6 1 3 = 1 1 2 9 1 4 6 2 3 3 3 1 6 6 1 = 1 3 1 2 7 4 6 2 3 3 3 7 6 7 3 = 1 3 6 0 8 0 6 2 3 3 6 7 7 3 3 = 1 6 1 4 0 6 6 2 3 3 7 9 7 5 7 = 1 7 2 1 4 1 8 2 3 4 3 9 8 7 7 = 2 3 1 0 0 1 8 2 3 4 9 9 9 9 7 = 2 9 8 5 0 1 8 如上计算得到一系列本原奇异数由本原奇异数的定义，我们可以构造出一 系列g 甜封闭集s ，使得定义在s 上的l c m 矩阵旧是奇异的。 四j 叶太学礓士擘住论文 总结上述讨论即得本节中的主要结果 定