（基础数学专业论文）动力系统中伪轨跟踪性的研究.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 伪轨跟踪性研究的是一个映射下的伪轨能否被真轨跟踪，它与系统的稳定性有 着密切的联系，在动力系统的定性理论中起着重要的作用，在数值分析上也有着广 泛的应用，因而引起了人们的极大关注人们关于伪轨跟踪性本身的性质，伪轨跟 踪性在具体空间上的等价刻划，伪轨跟踪性与稳定性的关系，与混沌拓扑熵和遍 历性等概念的联系等方面做了大量的研究，得到了许多好的结果本文主要研究伪 轨跟踪性本身的性质，与等度连续和d i s t a l 关系以及其它几种跟踪性的性质 全文由三章组成，在第一章，我们对伪轨跟踪性研究的历史背景和一些成果做 了简单介绍 在第二章，我们研究了伪轨跟踪性本身的一些性质以及与等度连续和d i s t a l 的关 系2 2 节证明了：对于紧致度量空间上的自同胚，若它有伪轨跟踪性且是膨胀的， 则它在链分支上保持伪轨跟踪性如果它还是正向膨胀的，则链分支中不存在真闭 子集保持伪轨跟踪性当这个自同胚既有伪轨跟踪性，又是等度连续的时，它在周 期点集的闭包上保持伪轨跟踪性2 3 节证明了紧致连通的度量空间上的等度连续自 映射不具有伪轨跟踪性2 4 节给出了紧致度量空间上的d i s t a l 自同胚不具有伪轨跟 踪性的一个充分条件，并给出了区间上和圆周上d i s t a l 同胚的等价刻划 第三章研究了其它几种跟踪性，给出了它们的一些性质，并讨论了它们与伪轨 跟踪性的关系3 2 节讨论了平均跟踪与伪轨跟踪的关系，并给了有平均跟踪的自同 胚是极小的一个充分条件3 3 节讨论了极限跟踪与伪轨跟踪的关系，证明了有极限 跟踪自同胚的链回归集与其极限点集相同；有双向极限跟踪性的自同胚在链分支上 保持双向极限跟踪性3 4 节研究了弱伪轨跟踪性及强跟踪性，给出了弱伪轨跟踪性 转化为伪轨跟踪性的一个充要条件，并证明了强跟踪性在链分支上的保持性，最后 证明了有限强跟踪性蕴涵着强跟踪性 关键词伪轨跟踪性，等度连续，d i s t a l 同胚，链分支 1 浙江大学博士学位论文 a b s t r a e t i fa p s e u d oo r b i tu n d e r as e l f - m a p p i n go fac o m p a c tm e t r i cs p a c ec a nb et r a c e db ya t r u eo r b i t ，t h e nw es a yt h i sm a ph a st h ep s e u d o o r b i tt r a c i n gp r o p e r t y ( p o t p ) p o t pi s c l o s e l yr e l a t e dw i t l lt h es t a b i l i t ym a dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h eg e n e r a lq u a l i t a t i v e t h e o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m s t h e o r yo fs h a d o w i n gw a sd e v e l o p e di n t e n s i v e l yi nr e c e n t y e a r sa n d h a sal o to f d e e pr e s u l t s t h i s 血e s i sc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ri ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n ds o m ek n o w nr e s u l t sa b o u tt h ep o t r i nc h a p t e ri i ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e so ft h ep o t pa n dd i s c b s sr e l a t i o n sb e t w e e n t h ep o t pa n do t h e rn o t i o n s i ns e c t i o n2 2 i ti s p r o v e d t h a ti fa n e x p a n s i v e h o m e o m o r p h i s m o fac o m p a c tm e t r i cs p a c eh a v et h ep o t p , t h e ni th a st h ep o t pi ni t s b a s i cs e t s w es h o wt h a ti ffi sp o s i t i v e l ye x p a n s i v ea n dh a st h ep o t p - t h e nt h e r ei sn o p r o p e rn o n e m p t yi n v a r i a n ts u b s e to f b a s i cs e t si nw h i c hfh a st h ep o t p m o r e o v e r , i ff h a so n l yo n eb a s i cs e t ，t h e n 也i sb a s i cs e ti st h ew h o l es p a c e i nt h ee n d ，w eg i v ea s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rf h a v i n gt h ep o t pi n 也ec l o s u r eo f p e r i o d i cp o i n t ss e t i ns e c t i o n 2 3 i ti sp r o v e dt h a ta e q u i c o n t i n u o u ss e l f - m a p p i n go fac o m p a c ta n dc o n n e c t e dm e t r i c s p a c ec a nn o th a v et h ep o t p i ns e c t i o n2 4 ，as u l t i c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf o rad i s t a l h o m e o m o r p h i s m n o th a v i n g 钮1 ep o t pi nt h ee n do ft h i ss e c t i o n w ed e s c r i b et h ed i s t a i h o m e o m o r p h i s m so f i n t e r v a l sa n d c i r c l e s i nc h a p t e ri i i ，w es t u d ys o m eo t h e r s h a d o w i n gp r o p e r t i e s i ns e c t i o n3 2 ，i ti sp r o v e d t h a ti fah o m e o m o r p h i s m f o nac o m p a c tm e t r i cs p a e ew i t ht h ep o t pi sd i s t a l t h e n f d o e sn o th a v et h ea v e r a g es h a d o w i n gp r o p e r t y as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf o ra h o m e o m o r p h i s mw i t h t h et h ea v e r a g es h a d o w i n g p r o p e r t yt ob em i n i m a l i ns e c t i o n3 3 ， w ep r o v et h a ti f f h a st h ep o t pa n di se q u l c o n t i n u o u s ，t h e n f h a st h el i m i ts h a d o w i n g p r o p e r t y w ea l s og i v es o m ep r o p e r t y so f t h el i m i ts h a d o w i n g p r o p e r t y i ns e c t i o n3 4 ，a n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf o rc o n t i n u o u ss e l f - m a p p i n g so fc o m p a c t m e t r i c s p a c e sh a v i n gt h e p o t p i nt h ee n d , w eg i v es o m ep r o p e r t i e so ft h e s t r o n g s h a d o w i n g k e y w o r d sp o t p , e q u i c o n t i n u i t y , d i s t a l ，c h a i nc o m p o n e n t 2 浙江大学博士学位论文 第一章引论 伪轨跟踪研究的是一个映射下的伪轨能否被其真轨跟踪“伪轨”不是真正的轨 道，它是带有误差的映射迭代下的“轨迹”，如计算机上的函数迭代由于每一步迭 代都可能含有误差，这样的一个轨迹能否反映原映射的性质，能否被一个真正的轨 道跟踪，是人们所关心的近年来，伪轨跟踪性得到了更深入集中地研究，已成为 动力系统定性理论中一个有意义的部分，吸引了越来越多的人的注意 1 1 伪轨跟踪性质( p o t p ) c o n l e y 在文献【6 中给出了“伪轨”和链回归集的概念伪轨的概念在动力系统 的定性理论中起着非常重要的作用( 2 4 ，【2 5 】) 关于伪轨跟踪性( p o t p ) i 拘早期工作 可见【2 8 】一 3 1 1 p o t p 与稳定性有非常密切的联系，在 8 1 6 e ，w a i t e r s 证明了： 定理1 1 1 设x 是一个紧致度量空间，厂是工上的一个自同胚若厂是有 p o t p 的膨胀同胚，则，是拓扑稳定的 定理1 1 2 设x 是一个维数2 的紧致流形，是上的一个自同胚若是 拓扑稳定的，则f 有p o t p 在文献1 2 6 中，b o w e n 证明了 定理1 1 3 设m 是一个紧致流形，庐是盯上的一个微分同胚若，是下的一 个双吐集，则西在，的一个邻域中有p o t p 关于区间上有p o t p 的自映射，已有一些成果 定理1 1 4 阱1 设厂： o ，1 斗 0 ，l 】是一个连续自映射且其不动点只能在端点处， 则f 有p o t e 浙江大学博士学位论文 对于区间上的帐篷映射，有下述结论： 定理1 1 5 2 ”设正： 0 , 2 斗【0 , 2 】，2 s s 2 ， 正= s x ( o z 1 ) ， = s ( 2 一x ) ( 1 x 2 ) 则( i ) 对几乎所有的参数，工有p o t p , ( i i ) 使得正不具有p o t p 的参数集合是局部不可数的 ( i i i ) 给定一个参数s 和 0 ，j 占 0 和参数f s 使得六的任j 伪孰都能被， 的某一真轨跟踪 定理1 1 6 m 1 设，是紧致区间，上的一致分段线性连续自映射，c ( 厂) 是厂的 所有转折点的集合，则厂有p o t p 当且仅当c ( f ) 在厂下有l i n k i n g p r o p e r t y 定理1 , 1 7 m 1 设，是紧致区间i 上的连续自映射，厂的拓扑熵h ( f ) = 0 ，则f 有p o t p 当且仅当，是一个非退化s h r i n k 映射 定理1 1 。8 1 3 4 设，是紧致区间上的连续自映射，p e r ( f ) = f i x ( f ) ，且 胁( ，) 无处稠密n t n 条件等价： ( 1 ) 若3 x i 使得，“( x ) 收敛到一个不动点p 且存在p 的一个n o n t r a p p i n g 邻域 ，n x c x 的所有邻域q ，对比 + ，3 n 使得 + c f ”( 仇) ( 2 ) ，有p o t p 一般地，对一个给定的空间，给出具有p o t p 的系统的刻划，是比较困难的但 是在某些情况下，我们可以根据空间的拓扑性质，判断一个系统是否具有p o t p 定理1 , 1 8 设肖是有无限个点的紧致连通度量空间，厂是盖上的一个自同胚 则下列条件成立： 4 浙江大学博士学位论文 ( i ) 若，是极小的，则厂不具有p o t p ( f l 】) ( 2 ) 若，是d i s t a l 的，则厂不具有p o t e ( 1 】) ( 3 ) 若，是正向或负向回归的，则不具有p o t p ( 【2 】) ( 4 ) 若，的任一个轨道的闭包都是极小集，则，不具有p o t p ( 2 】) ( 5 ) 若爿= c ( ，) ( c ( ，) 是，的同宿点的集合) ，则，不具有p o t e ( 2 ) ( 6 ) 若厂有一个正向( 或负向) 稳定点且非游荡点集是一个非平凡连通集，则，不具 有p o t e ( 【3 5 ) 定理1 1 9 设是有无限个点的紧致度量空间，是z 上的连续满射 则下列条件成立： ( 1 ) 若五连通，逐点回归，则f 不具有p o t e ( 【1 o 】) ( 2 ) 若z 连通，对v 月n ，厂”链可迁且厂有一个稳定点，则，不具有p o t e ( 3 】) ( 3 ) 若局部连通，厂链可迁且点态稳定，则f 不具有p o t p ( 3 ) ( 4 ) 若x 链连通，极小，则厂不具有p o t p , ( 4 7 1 ) 在本文的第二章2 3 - 2 4 节，我们也将给出一些不具有p o t p 的条件 关于伪轨跟踪与其它概念的联系，文献 3 讨论了伪轨跟踪与混沌的关系，文献 4 6 和 4 7 分别讨论了伪轨跟踪与一致正熵，伪轨跟踪与唯一遍历之间的关系主 要结论如下： 定理1 1 1 0 1 ”设z 是一个紧致度量空间，是上的一个连续满射且有p o t p 则 ( 1 ) 若x 局部连通，厂极小，则，是r u e l l e - t a k e n s 意义下混沌的 ( 2 ) 若厂的出极限集o j ( f ) 连通，则厂是r u e l l e - t a k e n s 意义下混沌的 ( 3 ) 若z 连通，链可迁，则( i ) 厂是r u e l l e t a k e n s 意义下混沌的；( i i ) 厂是拓扑混 合的；( i i i ) ，具有性质p ( 4 ) 若连通且厂的周期点集在x 中稠密，则( i ) 厂是r u e l l e t a k e n s 意义下混 浙江大学博士学位论文 沌的；( i i ) 厂是拓扑混合的；( i i i ) 厂具有性质p 定理1 1 1 1 1 设石是一个紧致度量空间，是x 上的一个连续满射且有 p o t p , 则( 1 ) 下述条件等价：( a ) 厂是拓扑混合的；( b ) ，是拓扑弱混合的；( c ) 厂是链混 合的；( d ) ，具有性质p ；( e ) 厂有一致正熵；( f ) ，是链可迁的且对于任意占 0 ，存在两 周期互质的周期占链 ( 2 ) 若f 有一致正熵，则厂是r u e l l e t a k e n s 意义下混沌的 定理1 1 1 2 【4 7 】设工是一个紧致度量空间，是z 上的一个连续满射且有 p o t p , 则 ( 1 ) f 是唯一遍历的当且仅当厂是严格遍历的； ( 5 ) 若z 链连通，则厂不是唯一遍历的； ( 3 ) 若，可达，则j r 不是唯一遍历的 设x 是一个紧致度量空间，厂是z 上的一个白同胚当，具有p o t p 时，有 什么特殊的性质呢? 在文献【1 中，当厂有p o t p 时，c r ( f ) = q ( ，) 在【2 】中，作者进一步证明了： 若紧致度量空间上的自同胚，有p o t p , 则c ( f ) = q ( ，) ，其中c ( f ) 是，的同宿点 的集合 在文献【2 1 中，o m b a c h 证明了：当，有p o t p 时，如果，还是膨胀的，则 瓦万= c r ( f ) 在文献 7 中，s m a l e 证明了： 定理1 1 1 3 如果f ：c r ( f ) 斗c r ( f ) 是膨胀的且有p o t p , 则c r ( f ) 可表示为 c r ( f ) = u 乞五，其中r 。是厂的链分支，且厂i 。是拓扑可迁的 定理1 , 1 1 4 1 3 6 设x 是紧致度量空间，厂是x 上的连续满射若，有p o t p , 则下列条件等价： ( 1 ) 存在正整数 f ，使得，有伪移位不变集； 6 浙江大学博士学位论文 ( 2 ) c r ( f ) r ( ，) ； ( 3 ) r ( f ) a p ( f ) 推论1 1 1 5 p 6 1 设z 是紧致度量空间，厂是上的连续满射若，有p o t p 且 拓扑熵h ( f ) = 0 ，则 ( 1 ) c r ( f ) = a p ( f ) ； ( 2 ) f 是链可迁的当且仅当，是极小的 有些时候，在逆极限空间上研究映射的性质更方便一些文献 2 7 】研究了逆极 限空间上p o t p 的保持性 定理1 1 1 6 m 1 设爿是紧致度量空间，f 是= 5 f 上连续满射设( 工，j ) 是 ( x ，d ) 的逆极限空间，盯，是( ，d ) 上的位移同胚则下列条件等价： ( 1 ) 厂有p o t e ( 2 ) 盯，有p o t e ( 3 ) 厂有渐近伪轨跟踪性 ( 4 ) 盯，有渐近伪轨跟踪性 在本文第二章2 1 节，我们也讨论了具有p o t p 自同胚的一些性质 1 2 等度连续 等度连续性是动力系统中一种较强的稳定性形式，它在研究映射的初始条件 的敏感性，映射的拓扑可迁性以及映射的极小集等中具有非常重要的作用 在文献【3 7 】中，c o n o 证明了： 定理1 2 1 设，c o ( i ) 是等度连续的，则f 的周期点集p ( 厂) 是连通的而且， 如果j d ( 厂) 是非退化的，那么fl p o 、是恒等映射 文献 3 8 $ t i 3 9 给出了区间上等度连续自映射的刻划 定理1 2 2 设，c o ( ) 是等度连续的当且仅当厂2j 憾。，( ，) = 纠( 恒等映射) 在文献 4 0 中，v a l a r i s t o s 讨论了圆周s 1 的等度连续的自映射的性质，得到了 浙江大学博士学位论文 定理1 2 3 设厂c o ( s 1 ) ，则，是等度连续的当且仅当，满足下列条件之一： ( 1 ) f 拓扑共扼于一个旋转 ( 2 ) f ( 厂) 只含两个点且f ( 厂2 ) = s 1 一，( ) ( 3 ) f ( 厂) 只含一个点且f ( f 2 ) = n ：，“岱1 ) ( 4 ) f ( 力= n ：。，“( s 1 ) 在本文第二章2 _ 3 节中，我们讨论了等度连续和p o t p 的关系在2 2 节，3 2 节和3 3 节中，也有一些结果与等度连续性有关 1 3d i s t a l 同胚 d i s t a l 流和d i s t a l 同胚是一类很重要的动力系统，对此概念的研究由来已久，在 4 1 ；f 1 1 1 4 2 ，e l l i s ，r 和f u r s t e n b e r g ，h 分别给出了有关d i s t a l 变换群和d i s t a l 流的一 些结果。在 1 中，a o k i 介绍了d i s t a l 同胚的概念，并给出了d i s t a l 同胚的性质 定理1 3 1 m 设x 是紧致度量空间，是x 上的自同胚若厂是d i s t a l 的，则 z 中任一点是几乎周期点 定理1 3 2 设z 是紧致度量空间，是上的自同胚若，是d i s t a l 的，则 对v x e x ，0 ，( x ) 是厂的一个极小集 本文在第二章2 4 节中，给出了d i s t a l 同胚在区间，圆周上的刻划及逆极限空间 上d i s t a l 同胚的一个等价条件，还给出了d i s t a l 同胚不具有p o t p 的一个充分条件 1 4 其它几种跟踪性 根据不同的研究目的，研究者们给出了不同的跟踪性定义 在 1 3 】中，b l a n k 给出了平均伪轨和平均跟踪的概念与p o t p 不同的是，平均 跟踪关心的不是每一步的跟踪误差，而是若干步的平均误差文献 18 ， 4 3 】和【4 4 ， 进一步研究了平均跟踪的性质主要结论如下： 定理1 4 1 【1 4 1 若，是光滑闭流形上的公理a 自同胚，人是厂的一个基本集， 则厂i 有平均跟踪性 浙江大学博士学位论文 定理1 4 2 【4 3 1 设m 是一个紧致连通无边界流形，厂是m 上的微分自同胚 记m 上所有微分自同胚的集合为d i f f ( m ) ，m 上有平均跟踪的微分自同胚的集合 为a s ( m ) 则a s ( m ) 在d i f f ( m ) 中的c 1 内部是m 上的所有a r j o s o p 微分自同胚所 构成的集合 定理1 4 3 4 4 1 。设彳是紧致度量空间，是工上的自同胚若厂是 l h y p e r b o l i c 的( s 0 有p o t p 的膨胀同胚) ，则下列条件等价： ( 1 ) 有平均跟踪性； ( 2 ) ，是拓扑可迁的 定理1 4 4 m 1 若紧致度量空间上的自同胚，有平均跟踪性，则v x x 是链 回归点而且，只有一个链分支，这个链分支就是整个空间 本文在第三章3 2 中，讨论了平均跟踪与p o t p 的关系，并给出了有平均跟踪 性的自同胚是极小的一个充分条件 在【1 5 】中，e i r o l a 给出了极限跟踪的概念，并证明了： 定理1 4 5 设厂是i r ”上的一个微分自同胚，a 是，的一个双曲集，则存在a 的邻域使得，在矿上有极限跟踪性 从数值分析的角度来看，极限跟踪有不断提高的跟踪精度，当时间趋于无穷时 从函数迭代得到的伪轨趋于一个真轨当我们不关心“瞬时”的轨迹，而是想知道 轨迹的长期性状时，这种跟踪性的研究就有了意义 在第三章3 3 节中，我们将讨论极限跟踪与伪轨跟踪的关系，并给出极限跟踪 的一些性质 文献 1 7 】给出了强跟踪性的概念，与前面几种跟踪性不同的是，它关心是整个 跟踪过程误差的总和 关于强跟踪性的研究结果还不是很多我们将在第三章3 4 节中给出强跟踪性 的一些性质 浙江大学博士学位论文 我们还研究了弱伪轨跟踪性文献 2 2 1 2 8 1 , 1 ：1 1 4 5 研究了区间上的这种跟踪性 弱伪轨跟踪性比p o t p 的概念弱，它考虑的是一个映射下的伪轨能否被其“邻近” 映射的真轨跟踪 1 5 预备知识 在这一节中，我们介绍本文用到的一些基本概念 设z 是紧致度量空间，是x 上的自同胚 ( 1 ) 周期点集 x x ，若存在正整数 使得，”( x ) = x ，厕j , g x 为f 的周期点 最小的这样的正整数称为x 的周期厂的所有的周期点的集合称为厂的周期点集 记为p ( f 1 当工的周期为1 时，称x 为f 的不动点，的所有不动点的集合称为f 的不动点集， 记为f ( f ) ( 2 ) 极限点集 国( x ) 和a ( x ) 分别是x 的正向极限集和负向极限集 o ( x ) = y 。r ：3 n + 。，h ( x ) y ( k + 0 。) ) a ( x ) = y j ：3 n 女斗+ o o ，f ”( x ) - - - ) y ( k _ + ) ) 厂的正向极限集和负向极限集分别为c o ( f ) = u 。c o ( x ) ，口( ，) = u ，。口( x ) 厂的所有的极限点的集合记为丑( ) ( 3 ) 回归点集 x 称为厂的回归点如果对聋的任一邻域u ，j z 使得f ( x ) u x 称为，的正向( 负向) 回归点如果对x 的任一邻域u ，存在非负( 非正) 整数使得 ，。( x ) u 的所有的回归点的集合称为，的回归点集，记为r ( f ) 回归点是周期点的一种推广，周期点是在映射的有限次作用下，仍返回原处 1 0 浙江大学博士学位论文 回归点在映射的作用下未必能返回原处，但能返回到原处的“任意邻近处” ( 4 ) 同宿点集 c ( f ) = x x ：x c o ( x ) n 口( x ) ) 显然，同宿点是一种特殊的回归点它既是正向回归点又是负向回归点 ( 5 ) 非游荡点集 x 称为f 的非游荡点如果n x 的任一邻域u ，存在整数i j ，。( x ) ，厂7 ( x ) u ，的所有非游荡点的集合称为厂的非游荡点集，记为q ( 厂) 菲游荡点是回归点的一种推广，它要求x 的任意邻近都有点经过映射的有限次作用 后、返回x 的邻近 ( 6 ) 链回归点 设置y x ，x ，y 称为占一链等价的如果存在，的占周期伪轨 = x ，- ，坼= y ，y o = ”y ，。y = x ( 女和，是非负整数) ，x ，y 称为链等价的如果 对v 占 0 ，x 和y 是j 一链等价的x 是链回归点如果z 与自身是链等价的厂的所 有链回归点的集合称为链回归集，记为c r ( f ) 链回归点是非游荡点的推广，它在回复的过程中允许有迭代误差 ( 7 ) 几乎周期点集 点x x 称为几乎周期点如果对任一包含x 的开集u ，存在正整数n = n ( u ) 满足 条件：若，“( x ) e u ( m 0 ) ，则存在整数七( 0 七兰忉使得，”( x ) u f 的所有几乎周期点的集合称为f 的几乎周期点集记为a p ( f ) 由上面的定义可以看出： p ( f ) c ( f ) c r ( f ) c z ( 厂) r - f 2 ( f ) c c r ( f ) 1 6 本文的主要结果 定理1 6 1 设互是紧致度量空间，是x 上有p o t p 的自同胚则下列条件 成立： 浙江大学博士学位论文 ( 1 ) 若厂膨胀，设r ，是厂的一个链分支，则，在五；上有p o t p ( 定理2 2 7 ) ( 2 ) 若厂正向膨胀，设月，是的一个链分支，k 是基本集弓中的非空闭不变集，若 ，i 。有p o t p , 则k = r 。( 定理2 2 9 ) ( 3 ) 若，只有一个链分支r 。，则x = c r ( f ) = r ，( 定理2 2 1 1 ) ( 4 ) 若，等度连续，, l j f i 而有p o t p ( 定理2 2 1 2 ) ( 5 ) 若，等度连续，则厂有极限跟踪性( 定理3 3 2 ) 定理1 6 2 设( ，d ) 是一个紧致流形， 是x 上的有p o t p 的膨胀自映射， f ( i = 1 , 2 ，) 是x 上的膨胀自映射且z 一致收敛于 ，则对v 占 0 ，j 正整数n 使 得对v n 1 和刀的任一不动点a o ，瓢”的不动点口，使得d ( a ，a o ) 0 ，j 占 0 使得对v k n ，若 ，x ”，) 满足艺d ( ，( t ) ，h ，) 万，则孔z 使得圭d ( 厂”( z ) ，) 0 ，若序列 x t ) 。满足d ( f ( x ，) ，k ，) 0 使 得，的任一占伪轨被x 中某点s 跟踪 x 的子集a 称为，的不变集如果f ( a ) 。a 设，有p o t p , a 是，的不变集 v 0 ，设占 0 满足厂的p o t p 设k ) 是4 中的一个万伪轨，则砂j 跟踪 这个伪轨值得注意的是，跟踪点y 未必在a 中 我 f i n n 道，链回归集c r ( f ) 和非游荡集o u ) 都是，的闭不变集在【4 】中，a o k i 证明了：若，有p o t p 则厂i o 蛹- p o t p 因为当f p o t p 时，c r ( f ) = q ( 厂) ， 所以这时， 。( r ) 也有p o t p 在【2 】中，作者证明了：若紧致度量空间上的自同胚， 有v o a v , 则c ( f ) = n ( f ) ，其中c ( f ) 是，的同宿点的集合 综上，若，有p o t p , $ 1 j f l 州，) ，f l 吼伊f 1 而，1 而， 丽及厂j 而都有 p o t p , 本文继续这方面的研究，在2 2 节中讨论了在链分支上和在虿j 上的保 持性 关于等度连续与p o t p 的关系，文献【3 】给出了下述定理 定理2 1 2 ( i ) 设x 为有无限个点的紧致度量空间，是x 上的连续满射若 v n n ，f ”链可迁且厂有一个稳定点，则，不具有p o t e ( i i ) 设z 为有无限个点的局部连通的紧致度量空间，是j 上的连续满射若 ，是链可迁的且是点态稳定的，则，不具有p o t p 我们在2 - 3 节中继续讨论等度连续与p o t p 的关系，证明了连通度量空间上的 等度连续自映射不满足p o t p 4 浙江大学博士学位论文 在 5 】中，a o k i 证明了： 定理2 1 3 设x 是有无限个点的紧致连通度量空间，是x 上的自同胚，若 _ 厂是d i s t a l 的，则，不满足p o t p 在2 4 节中，我们给出了紧致度量空问中的d i s t a l 同胚不具有p o t p 的一个充分 条件，还给出了d i s t a l 同胚在区间和圆周上的刻划 2 2p o t p 在一些不变集上的保持性 在本节巾，我们讨论p o t p 在一些不变集上的保持性，在这一节的最后，还给 出了p o t p 的一个性质 设x 是紧致度量空间，是x 上的自同胚 定义2 2 1 【“当占伪轨“) 有限时，称为占链设x , y x ，x ，y 称为占- 链等 价的如果存在f 的周期j 链 z 。= z ，x 1 ， = ，y o = 弘m ，y l = 斟( 七和联 非负整 数) ，x ，y 称为链等价的如果对v 艿 0 ，x 和y 是占- 链等价的z 是链回归点如果x 与自身是链等价的_ 厂的所有链回归点的集合称为链回归集，记为c r ( f ) 定义2 2 2 t ”c r ( f ) 的子集】，称为链可迁的如果】，中任两点是链等价的】，称 为，的一个链分支如果y 是链可迁的且任一真包含y 的子集都不是链可迁的 命题2 2 3 f 的任一链分支是，的一个闭不变集且链分支之问是互不相交 的 、 定义2 2 4 【l 】f 称为是膨胀同胚如果存在常数c 0 使得v x ，y x ， d ( f ”( 工) ，f ”( y ) ) 0 使得 当x ，y z ，d ( f ”( 功，f ”( y ) ) 0 ，j j 0 使得若 ，坼) 是，的一个占伪轨，则 3 x xs 跟踪这个有限万伪轨 定理2 2 7 设z 是紧致度量空间，是x 上有p o t p 的膨胀同胚设r 是， 的一个链分支，则，在r ，上有p o t p 证明设，是石上有p o t p 的膨胀同胚由命题2 2 5 ，有有限个链分支令 五= m i n a ( r ，r ，) ，i ) 对v 0 s 0 满足厂的p o t p 设 0 甜 0 和一个女，+ k 2 周期万伪轨慨) 使得 x i = ：f + 1 2 ) ，z h = z l + ( t 1 “2 ) i ( v i z ) - 令k = k 。+ k ：因为厂有p o t p , 所以砂x 使得a ( f ( y ) ，z ，) e ( v i z ) ，因而 a ( f k i + j ( 力，= ，) 0 使得若d ( f ”( x ) ，k ) ( v n n ) ，则x k 其中b ( k ，e f ) = 抄：3 x k ，a ( x ，y ) ) 证明( b ) ( c ) 等价显然 。) j ( c ) 设c 是，的膨胀常数- 对；，j 占 0 n n k 中任一+ d 伪轨被k 中某 浙江大学博士学位论文 点；跟踪由，的一致连续性， 4 o 使得d ( 工，y ) 一号d ( ，( n ，( 力) 言令 = m i n 唔，4 ，丢) 假设对讹x ，d ( f ”( n 置) - e r ( v n e ) ，则对v ”e ， 3 y 。k 使得d ( f ”( x ) ，y 。) e k ，所以 d ( ，( 儿) ，y 。) d ( ，( n ) ，f ( f ”( 曲) ) + d ( f “1 ( x ) ，y 。) 李+ 害= 万 因而。 。是k 中一个艿伪轨，由( a ) ，a y 置昙跟踪 y j 。即 d ( f ”( y ) ，y 。) 2 ( v n )又由d ( ，”( n n ) 詈，得 d ( f ”o ) ，”( 力) d ( ，”( x ) ，y 。) + d ( y 。，” ) ) 詈+ ； c ( v h ) 因为，正向膨胀，所以x = y 因而z k ( c ) j ( a ) v 0 0 满足j r 的p o t p 设 x m 是k 中的一个占伪轨， 由的p o t p , h xs 跟踪这个伪轨所以d ( f ” ) ，x 。) 占 e 。( v n n ) ，因为 工。) mc k ，所以d ( f 4 0 ) ，k ) 0 关于占和，l r 满足p o t p 令 占= r a i n a , ，疋) 设托 兰是x 中一个艿伪轨因为晨，链可迁，所以存在从_ y 到 x 。的万链 z 。= y ，o = ) ，则 = y ，毛= x o ) u 缸，) 蔷是置中一个j 伪轨，所 以s t o 置占跟踪它即d ( f7 ( ，( t o ) ) ，薯) s o 使得，的任一周期j 伪轨都能被c ( f ) 中某点s 跟踪 定理2 2 1 1 设是紧致度量空间，是x 上有p o t p 的自同胚若，只有一 个基本集r ，则x = c r u ) = r ， 证明假设x c r ( f ) ，取工ogc r ( f ) 设0 s 0 使得，的任一周期艿伪轨被c u ) 中某点8 跟踪因为 c o ( x 0 ) c c r u ) ，a ( x 。) c c r ( f ) ，所以3 n n 使得d ( f ”( ) ，c r ( ，) ) d ， d ( f 1 0 0 ) ，c r ( f ) ) 占，因而3 x 。，t 。c r ( f ) 使得 d ( 】。，f ”( x 。) ) 0 使得p ( ，) 中任一有限伪轨都能被 某个周期点s 跟踪 因为，等度连续， 所以对v s 0 ，3 0 艿 占使得 浙江大学博士学位论文 d ( t 力 8 d ( f ”( 曲，”( y ) ) 。满足，的p 。e 设 融) = ，五，x n ) 是可万中的一个4 伪轨，由f 的p o t p , 砂x 使得 d u 。( 办_ ) o ，”) 因为瓦万，所以却e p 盯) 使得d ( p ) 害，又 因为d y , x o ) 害，所以d ( y ，p ) 占，故d ( ，”( y ) ，”( p ) ) 詈。z ) 因为 d 盯坳) ，小害( 。，驯 且 a ( f ，八跏 扣z ) ，所 以 d 盯( p ) ，x ，) o 满足断言设 x ) 当是，在可万中的点伪轨，对任意取 定的整数以 0 ，以 ：。是一有限最伪轨，则3 z 。_ 尸( 厂) 使得 d ( f ( 乙) ，一) 主( 一”i 0 使得若g 是x 上的任一自同胚且孑( g ，) 0 使得若g 是x 上的一个连续自映射且a ( g ，) 占，则存 在x 上的连续自映射h ，h g = 乃且d ( h ，i d ) s 。因为，一致收敛于 ，所以对上 述巧，驯n 使得f n j d ( x ) ，o ( 砷) 8 ( v x x ) 。由 的拓扑稳定性，存在 x 上的连续映射啊，鼻= 厶h t f l d ( h ，| ，i d ) s 。因为x 是紧致流形且z 膨胀，由 引理2 2 1 4 ，啊是双射。设是片的不动点，令4 。= 玎1 ( 。) ，则 _ ，：”h , - 1 = 盯片j ”( 口，) = q 因为 d ( 啊( x ) x ) 8 ( v x x ) ，所以 a ( a ，a o ) e ( v i n ，v n 1 ) 2 3p o t