（工程力学专业论文）纤维波能耗散结构混凝土的研究.pdf

摘要 摘要 混凝土是一种脆性材料，具有较低的抗拉强度、韧性和抗冲击能力。目前， 如何增强混凝土结构抗震耗能性能，并使之应用到土木工程领域的研究日益受国 内外学者的关注。已有研究表明在其中加入能提高其抗拉强度、韧性和抗冲击能 力的增强材料，这些材料包括纤维、橡胶等，能大大提高构件的抗震耗能能力。 因此，研究纤维波能耗散结构对纤维增强复合材料工程应用具有深远意义。 材料的能量耗散与材料的粘弹性和界面的不均匀性等因素有关。本文的研究 成果主要有：( 1 ) 基于前面的研究成果，本文从多个力学角度分析耗能现象成因， 并建立了材料参数与耗能关系公式，探讨材料参数对耗能的影响。研究的结果不 但对工程抗震应用有意义，也对波动传播耗散、粘弹性动力耗能等相关学科有积 极的指导意义。( 2 ) 针对两个系列的纤维混凝土进行理论建模和实验分析，包括 波纹纤维混凝土系列与纤维格栅混凝土系列，总结优化出纤维结构耗能的最佳布 置形式。( 3 ) 提出针对加速度、速度、位移等时程信号测量结果而计算结构耗散 因子的方法，为相关仪器的应用提供了一个新方案。 针对纤维阻尼层复合材料耗能，本文总结材料参数对耗能能力的影响。首先 合理调整纤维层结构，采用高弹性模量纤维及混凝土从而提高综合模量是最为有 效的方法。其次，提高纤维层厚度或采用多层复合，也能对耗能能力提供一定帮 助。最后，尽管粘性系数对耗能有重要影响，但实际中不能随意改变材料的粘性， 而且粘性系数与其他材料参数会相互影响，所以当材料确定后，材料的粘性是次 要的控制参数。另外，对于波动耗能，本文研究结果指出粘性、柔性越高，波动 传播耗散能力越强。 关键词：纤维增强混凝土；纤维结构；能量耗散；粘弹性动力。 广东工业大学工学硕士学位论文 a bs t r a c t c o n c r e t ei so n eo ft h eb r i t t l em a t e r i a l s ，w h i c hh a sl o wt e n s i l es t r e n g t h ，p o o r t o u g h n e s sa n dp o o ri m p a c tr e s i s t a n c e a tp r e s e n t ，r e s e a r c h e sa b o u th o wt oi m p r o v e t h ee f f e c to fc o n c r e t es t r u c t u r eo nw a v ee n e r g yd i s s i p a t i o na n db r i n gi ti n t ot h e a p p l i c a t i o no fc i v i le n g i n e e r i n ga r ep a i dc l o s e a t t e n t i o nb yi n t e r n a la n df o r e i g n r e s e a r c h e r s s o m er e s e a r c h e sa l r e a d ys h o wt h a ti ft h ec o n c r e t ei sm i x e dw i t ht h e r e i n f o r c e dm a t e r i a l ss u c ha sf i b e ra n dr u b b e r , w h i c hc a ni m p r o v et h et e n s i l es t r e n g t h ， t o u g h n e s sa n di m p a c tr e s i s t a n c eo fc o n c r e t e ，w o u l dr a i s et h ee f f e c to fc o m p o n e n to n w a v ee n e r g yd i s s i p a t i o n s o ，r e s e a r c h i n gw a v ee n e r g yd i s s i p a t i o no ff i b e rs t r u c t u r ei s s i g n i f i c a n tt ot h ea p p l i c a t i o no ff m e rr e i n f o r c e dc o m p o s i t e i nc i v i le n g i n e e r i n g t h ee n e r g yd i s s i p a t i o no f m a t e r i a li sr e l a t e dt os o m ef a c t o r ss u c ha st h e v i s c o e l a s t i c i t y a n dt h eh o m o g e n e i t yi ni n t e r f a c e t h i st h e s i sh a st h ef o l l o w i n g r e s e a r c hr e s u l t s ：( 1 ) b a s e do nr e s u l t sa h e a d ，t h i sp a p e rm a k e sa n a l y s i so fc a u s e sa b o u t e n e r g yd i s s i p a t i o ni nv a r i o u sp o i n to fv i e w so fm e c h a n i c s ，a n dd e d u c e sf o r m u l at o r e l a t et h em a t e r i a lp a r a m e t e r sa n de n e r g yd i s s i p a t i o n ，t oe x p l o r em a t e r i a lp a r a m e t e r s i m p a c to ne n e r g yd i s s i p a t i o n 。t h er e s e a r c hr e s u l t sa r en o to n l ys i g n i f i c a n tt ot h e a p p l i c a t i o no fe a r t h q u a k er e s i s t a n te n g i n e e r i n g ，b u ta l s oa r ep o s i t i v eg u i d e l i n e s f o r r e l a t e ds u b j e c t so fw a v ea t t e n u a t i o n ，v i s c o e l a s t i c i t yd y n a m i cd a m p i n g ( 2 ) m a k e a n a l y s i so ft h e o r e t i c a lm o d e la n de x p e r i m e n t i na l l u s i o nt ot w os e r i e so ff i b e r r e i n f o r c e dc o m p o s i t em a t e r i a l ，i n c l u d i n gw a v yf i b e rs t r u c t u r ea n df i b e rg r i ds t r u c t u r e ， t os u m m a r i z ea n do p t i m i z et h eb e s ta r r a n g e m e n tf o r mo ff i b e rs t r u c t u r ee n e r g y d i s s i p a t i o n ( 3 ) s u g g e s tam e t h o do fc a l c u l a t i n g l o s sf a c t o rb yh a v i n gt h et i m eh i s t o r y s i g n a lm e a s u r e m e n t r e s u l t ss u c ha sa c c e l e r a t i o n ，v e l o c i t ya n dd i s p l a c e m e n t ，p r o v i d i n g an e w p l a nf o rt h ec o r r e l a t i v ei n s t r u m e n t s a p p l i c a t i o n i na l l u s i o nt oe n e r g yd i s s i p a t i o no ff i b e rd a m p i n gl a y e r sc o m p o s i t em a t e r i a l ，t h i s p a p e rs u m m a r i z e sm a t e r i a lp a r a m e t e r si m p a c to nt h ee f f e c to fe n e r g yd i s s i p a t i o n f i r s to fa l l ，a d j u s t i n gt h ef i b e rl a y e r ss t r u c t u r ei nr e a s o n ，a d o p t i n gt h ef m e ra n d c o n c r e t ew h i c hi sw i t hh i 。g he l a s t i cm o d u l u st oi m p r o v et h ec o m p o s i t em o d u l u si st h e m o s te f f e c t i v ew a y s e c o n d l y , i m p r o v i n gt h ef i b e rl a y e r st h i c k n e s so ri n c r e a s i n gt h e h 摘要 l a y e r s n u m b e r , a l s oc a nh e l pt h ee f f e c to fe n e r g yd i s s i p a t i o nt or i s e f i n a l l y , a l t h o u g h t h ev i s c o s i t yc o e f f i c i e n ta f f e c tt h ee n e r g yd i s s i p a t i n gw e i g h t i l y , b u tc a nn o tc h a n g et h e v i s c o s i t yo fm a t e r i a lo p t i o n a l l yi nf a c t m o r e o v e r , t h ev i s c o s i t yc o e f f i c i e n ti n t e r a c t w i t ho t h e rm a t e r i a lp a r a m e t e r s ，t h e r e f o r ew h e nm a t e r i a l sa r ed e t e r m i n e d ，t h ev i s c o s i t y o ft h em a t e r i a li so n eo ft h el e s s e rp a r a m e t e rt ob ec o n t r o l l e d m o r e o v e r , f o rw a v e a t t e n u a t i o n ，t h i st h e s i s sr e s e a r c hr e s u l t sp o i n to u ta st h ev i s c o s i t yo rf l e x i b i l i t yi s h i 曲e r , t h ew a v ea t t e n u a t i o nw i l lb es t r o n g e r k e y w o r d f i b e rr e i n f o r c e dc o n c r e t e ；f i b e rs t r u c t u r e ；e n e r g yd i s s i p a t i o n ；v i s c o e l a s t i c d y n a m i c i i i 独创性声明 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包 含本人或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究工作所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论 文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 论文作者签字： 纬文博 指导教师签字：八巾阢l 譬 力村年占月心e t 第一章绪论 第一章绪论 1 1 概述 引起结构振动原因包括自然振动和环境振动，自然振动包括地震、风振；环 境振动包括交通振动、设备振动和机械振动等。其中环境振动在日常生活中经常 遇到，直接影响着结构的耐久性和人民大众的生活质量。这几种振动在物理学角 度可统称为波能振动，表示振动过程是具有动态性质的。目前应用广泛的钢筋混 凝土结构中的混凝土本身是脆性材料，在波能振动中耗散或吸收能量的能力低， 所以研究改善混凝土结构耗能抗震的方法是当前工程技术应用研究的热点。 目前应用于增强混凝土结构抗震能力的方法主要分为传统抗震结构体系和 耗能减震结构体系。传统抗震结构体系主要通过增强结构自身的刚性、柔性、延 性等性能来抵抗振动荷载。但由于实际环境中振动的不确定性，采用传统抗震方 法难以合理地优化结构构件配置，既不安全也不经济。耗能减震结构体系则是通 过提高构件的耗能减震能力或通过设置具有减震能力的控制机构从而提高结构 减震耗能性能。 近二十年来，结构振动控制在理论研究、工程实践等方面都得到长足的发展， 其在结构工程领域也是最具前沿性的研究方向之一。作为结构振动控制的其中一 个重要分支，纤维增强混凝土结构的耗能能力也日渐得到重视，其在抗震、减噪 等方面的应用前景也是显然易见的。 纤维增强混凝土结构之所以在工程应用领域具有较其他减震材料优越的条 件，是因为纤维作为一种新兴增强材料与混凝土结合后具有以下几个优点： ( 1 ) 纤维具有高强度的优势，能保证与混凝土复合后的强度。 纤维的制造过程是十分小心地控制以减少缺陷尺寸的，令材料的强度不会因 制造的分散性而产生杂质、裂缝等缺陷。例如通过以非常快的速度将熔融的玻璃 拉伸成约1 0 z m 的微细纤维，纤维表面没有微观缺陷，直径也很小，以至于玻璃 本体内也不会含有缺陷，刚制造而成的玻璃纤维的强度可达到5 g p a 。至于其它 的纤维类型的杨氏模量也大都达到甚至超过2 0 0 g p a ，可见纤维与混凝土组成复 合材料后能保证混凝土的强度、杨氏模量等基本力学参数不变甚至改善之。 广东工业大学工学硕士学位论文 ( 2 ) 纤维受外界环境影响较小，在混凝土内能体现耐腐蚀的特点。 相比于其他的减震材料，纤维在能够独立地置于混凝土中并充分结合。这样， 一方面由于混凝土基体防止了外界环境湿热、腐蚀等不利因素对内部纤维的入 侵，另一方面由于纤维本身具备耐腐蚀的优点，总体来说纤维增强混凝土能保证 抗震能力的稳定发挥。 ( 3 ) 纤维用量不多，与钢筋结合使用能达到体现经济性。 以纤维格栅混凝土为例，纤维在混凝土中的体积用量不到3 ，由于自重轻， 并考虑纤维材料耐腐蚀所带来的低维护费用，采用f r p 材料的综合经济效益是 值得重视的。1 9 8 6 年建成的重庆交院桥，采用玻璃纤维增强箱梁，建造成本比 钢桥低5 0 。美国的短跨桥梁f r p 结构的日常维护费仅为钢筋混凝土结构的1 5 ， 改造维修费仅为钢筋混凝土结构的1 2 。由于f r p 材料的应用规模日益扩大，其 成本必将越来越低，纤维与钢筋充分结合使用，将越来越能体现经济效益。 以上的优点说明纤维增强材料在抗震耗能方面的应用将会极具价值。除了抗 震耗散的直接所用，纤维也能通过能量的加速耗散，使积聚在混凝土内部的能量 释放出来。振动的动态能量若在混凝土体内过多过长时间地滞留，必然会转化为 对构件不利的能量，如微裂缝扩展的塑性断裂能，长期下去会降低构件的耐久性。 纤维的加强耗散作用可令混凝土在长期受冲击情况下实现构件的耐久性。 2 研究目标与意义 综观纤维混凝土能量耗散作用的研究是极具科研学术、工程应用价值，但目 前针对性对纤维所发挥的真正作用作研究的缺很少，而材料的耗散理论也来得不 够具体清晰，令研究的进一步发展受阻。的确，能量耗散的本质涉及到许多跨专 业甚至跨学科的知识。例如我们谈一个系统的能量越来越少了，能量的转化可能 是热能、塑性势能甚至是电磁能之间的转化，而光是探讨塑性势能就可能牵涉到 分子晶界位错、化学能变化等跨学科的知识。这样那样的困扰令研究的进展存在 不明朗、不确定的因素。 一直以来，以姚立宁教授为首的课题组，在国家自然科学基金项目“纤维混 凝土中纤维结构构成的耗能作用研究 ( 编号：5 0 4 7 8 1 2 3 ) 、广东省自然科学基金 2 第一章绪论 项目“具有智能耗能结构的纤维混凝土与应用研究”( 编号：0 0 0 0 3 7 ) 和“混 凝土介质中纤维结构的阻尼耗散仿真研究 ( 编号：0 3 4 7 9 4 ) 的资助下开展了理 论和试验等多方面的研究工作。本文作为姚立宁教授为首的课题组研究工作的其 中一个组成部分，研究的基础也是立足于材料实验、结构仿真，并作出有导向性 的理论推导分析。 一由于相关课题在科研领域上尚处于归纳整理阶段，目前在相关算法方面还不 成熟，所以实验的结果将显得不可缺少。而在实验的基础上总结、推导相关理论 公式去反映揭示耗能与材料参数的关系，也将是本文主要目标。另外，本文将探 讨纤维应用于混凝土结构的应用前景。 3 广东工业大学工学硕士学位论文 2 1 引言 第二章振动耗能数理分析 许多相关振动耗散的研究均集中在阻尼效应上，大部分产生耗散的原理都可 以通过阻尼效应描述。实际运动过程中总伴有不同类型的阻尼力，产生这种阻尼 力的因素可归结为两个方面：一是外部介质的摩擦阻尼力，二是结构内部变形时 的内耗。阻尼力的性质很复杂，是目前振动力学中尚未很好解决的问题。为了进 行计算，通常对阻尼力作出很多假定，目前除了两种应用较多的线性阻尼理论外， 其余几乎都引起非线性的力学问题，给计算带来麻烦。 线性阻尼理论之一是粘滞阻尼理论，于1 8 9 2 年由w v o i g h t 通过对衰减运动 观察基础上提出的，认为固体材料内部摩阻力与粘滞流体相似，假定阻尼力与变 形速度成正比，方向与速度方向相反。尽管这与实际情况不符，但由于方程的线 性有助于计算方便，也不难于通过调整阻尼系数得到较准确的结果描述，所以该 理论目前得到十分广泛的应用。 线性阻尼的另一个理论为复阻尼理论，也称线性滞变阻尼理论。复阻尼理论 假定阻尼力与变形成正比，用复数的形式来表示，阻尼力与变形的相位相差一个 角度。虽然它解决了粘滞阻尼理论存在的问题，但出现了考虑阻尼后频率略为提 高的错误结论。当然这同样可以通过调整阻尼系数的到较准确的结果。 以上两种阻尼理论都需要根据实验或现实经验去调整系数，不利于直接地总 结结构耗散与材料参数之间的数理关系。而经过实践研究的结论和相关资料的研 究分析，笔者总结出几个能量耗散的根本原理，以下简要介绍结构振动能量耗散 主要成因： ( 1 ) 构件于外界阻尼介质碰撞接触，形成动能转移。外界阻尼与环境因素 有关难以人为控制，结构方面可以通过调整结构的刚度与振动频率，因为振动频 率提高了，单位时间内构件接触阻尼介质的次数也上升了，传播的能量也就越大。 不过相关研究及本文后面的研究显示，外部阻尼产生的影响只占总体阻尼影响不 到5 ，而且加大结构刚度去实现快速衰减本身就不是一种经济可行的方法。 ( 2 ) 构件内部的材料成分具有能量耗散性质。例如，纤维、橡胶等粘弹性 4 第二章振动耗能数理分析 材料具有时滞性，在振动过程中能将动能转化为时滞应变能，最终以热能形式耗 散到外界。这种情况产生的耗能是很显著的，有研究指出，加入阻尼材料的构件 在地震模拟中振动效应可减少4 0 6 0 。当然，有些材料成分还能将动能转化为 电能、磁能等高流动性能量，如压电材料等，这些材料总体上可归纳为内部耗散 复合材料的范畴，可以用本文提供的方法行进研究。 ( 3 ) 实际情况下材料内部的不均匀性令能量在突变处耗散。以混凝土来说， 水化后产生的微裂缝在构件振动时提供了一个摩擦耗能的界面。本文往后的实验 研究显示，混凝土这种敏感的不均匀性将在耗能过程中发生较大的影响。尽管如 此，依靠裂缝的发展实现能量耗散对结构本身是弊大于利的，本文将探讨如何安 置阻尼材料以达到提高耗能率的同时控制裂缝影响的效果。 本文将尝试通过材料的本质参数去建立耗散方程解决以上难题。本章分析最 基本的振动与耗能现象，并推导出一般结构状态下两者的数理关系式。 2 振动与波动方程推导 2 2 1 振动与波动方程简介 振动是指各质点随时间变化沿固定点作周期往复运动的性质；波动是指能量 随空间变化而沿介质质点传播的性质。一般振动与波动是同时进行，密不可分的， 所以本节先将两者一起集中研究，在后几节再对其不同表征的参数独立分析。本 章探讨振动与波动方程形式的目的在于求取相应的振动频率表达式，但并非所有 结构模型都能简单地实现这个目标。对于各向异性弹性介质，波动控制方程为 誓；p 蚝o o ( 2 1 a ) 一= z i a ， 呶 式中p 是材料密度。根据胡克定律有 吼= ( 2 1 b ) 上式为材料弹性常量张量，下标按张量方式展开，见 2 7 】。 联立( 2 1 a ) f f l ( 2 1 b ) 得 广东工业大学工学硕士学位论文 p u j co ，h j | 根据应变位移方程，有 一云1 “朋+ 。) 联立( 2 1 c ) 和( 2 1 d ) 得 p 远一三帆拥帆瑚) 假设波的形式为平面简谐波，令 峨= 4 f ( t t 。一耐1 注意由各向异性材料的对称性，有 c i k l m ；一 c 姒。p 孵强| c 漱3 t k l u 。 引入 一 2 c a d m n k n t 毛= k n l 珥为波前法向量的方向余弦，c 为相速度。进一步可得到特征方程 ( 2 1 c ) ( 2 1 d ) ( 2 1 c ) ( 2 1 f ) ( 2 1 酚 ( 2 1 h ) ( 2 1 i ) ( 2 1 j ) ( 2 1 k ) ( i 乏踟一p c 2 屯) 比。= 0 ( 2 11 ) 使关于系数矩阵行列式为零 i k 一胪2 6 拥l = 0 ( 2 1 m ) 若给定了弹性常数与方向余弦，可以确定c 2 值并代n ( 2 11 ) 可通过七，表示h 。，代 入边界条件后可求得关于振动频率的表达式，但过程是十分复杂的。 对于( 2 1 a ) ，一般情况下很难得出任意结构的解析解。工程中根据实际结 构及振动波动方向等不同情况还需要另外再简化并建立振动波动平衡方程的 模型，如柔性弦、一维杆、弯曲梁等。尽管不同的结构形式都具有不同的控制方 程，但只要能求出解析解，其振动频率表达形式是相近的。本文实验采用的是梁 结构横向振动模型，下节将分析其频率表达形式。 6 第二章振动耗能数理分析 2 2 2 梁结构横向弯曲自由振动分析 由经典的弯曲振动欧拉伯努利梁，并考虑阻尼力的作用，得到平衡方程： e io u o x 。+ c 塑o t + p 粤o t = o( 2 2 ) _ 。 其中m ( x ，t ) 是梁的扰度。利用分离变量法，设“o ，f ) = 妒 ) y o ) ，代回上式 得到 盟；一( 三! + 旦当。a 一 ( 2 3 ) 妒 ) 、e iye 1y 7 这样形成两条独立的方程： 妒( x ) 一a4 驴( x ) 一0 ( 2 4 ) 和 矿( f ) + l y ( f ) + e i a 4 y ( f ) ：0 ( 2 5 ) 令倒= 石c ，2 一丛p ，最后解得 k o ) ；4 i e 一- fs i n ( 。t + q 9 。) ( 2 6 ) 和 妒( x ) = 4 s i na x + 4 c o s z x + 鸽s i n h a x + 4 c o s h g x( 2 7 ) 若是悬臂梁，将边界条件矽( o ) = 0 ，妒( o ) 一0 ，妒。o ) = 0 ，妒。( f ) = o 代回上式， 可得前三阶频率为： q a 竿詹一( 4 6 9 4 1 ) 2 1 2一( 7 8 5 4 8 ) 2 1 2 f f - 手，8 ， 往后n 阶频率为： 7 广东工业大学工学硕士学位论文 = 等竽詹 汜9 ) 将上面几式连同边界条件，最后可得振型函数如下： ( x ) ；4 陋s h m c o s 刀一_ c o s _ a i 筹+ c o s h ( s i n h x x s i n 肌) 】( 2 1 0 ) s 1 n i l l + s 1 n n a l 根据线性微分方程的原理，振动过程可理解为各阶频率、振型的线性叠加， 实际位移即可表示为： “。( 石，f ) = 驴。( x ) l ( f ) ( 2 1 1 ) 这样得到的物理量如位移、速度等都存在复杂的谐振现象，而往后要分析的实验 数据也明显表现出谐振性。一般来说，谐振的影响随着阶数n 的增大而减少，所 以为方便分析往往只取有限阶级数。 3 粘弹性本构关系 蠕变和松弛是粘弹性材料的主要力学行为。蠕变是在应力不变时，粘弹性材 料的变形随时间逐渐增加的一种现象。松弛则是在应变不变时，粘弹性材料的应 力随时间逐渐减小的一种现象。而建立基本的粘弹性本构模型，一般可通过弹簧 与粘壶的串并联组合实现。弹簧模型满足应力与应变成正比的关系 仃一e e( 2 1 2 ) 式中，仃、占分别为正应力、正应变，e 为拉压弹性模量；而粘壶模型遵循牛 顿粘性定律 仃= r 占 ( 2 1 3 ) 式中，r 为粘性系数，；表示应变对时间的导数。两种模型的示意图如下： 8 第二章振动耗能数理分析 图2 1 a 弹簧 f 谵2 l a s p r i n g 图2 1 b 粘壶 f i g 2 l b d a s h p o t 简单地串联或并联两种模型并不能很好地表示标准固体的特征，如下图地将 弹簧和粘壶结合成为三元件固体模型才能全部地体现瞬态响应、蠕变、松弛等粘 弹性性质。这样的三元件固体模型也广泛地应用在实际建模中。 e 1 图2 - 2 三元件固体模型 f i g 2 2 t h r e ee l e m e n t ss o l i dm o d e l 材料参数下标1 、2 为相应的串、并联部分，根据前人推导三元件固体模型有如 下关系 2 1 + 2 o r 一巨占1 + r h 1 ( 2 1 4 ) 仃= e 2 e 2 再从上式整理后，注意 可得 s 1 = g 一酬e 2 ( 2 1 5 ) 9 广东工业大学工学硕士学位论文 ( 巨+ 易) 口+ ，7 1 仃一e 1 e 2 e + 仇e 2 ( 2 1 6 ) 引入 a 一雨) 7 1 ，吼一丽e i e 2 ，吼一雨7 1 e 2 ( 2 1 7 ) 可得以下方便以后作拉氏变换的表达形式 c r + p l o = q o e + 口1 占 ( 2 1 8 ) 类似地，所有的粘弹性本构模型都可以用微分型粘弹性本构方程表示如下 口+ aa + p 2 仃+ - q o e + 吼e + q 2g + ( 2 1 9 ) 引入微分算子 p = 荟m 仇矿d * ，q = 蒸吼万d k ( 2 2 。) 微分型粘弹性本构方程的一般形式为 鼢= q 占 ( 2 2 1 ) 在t 一0 时，突加应力仃o ) 一a o h ( t ) ，其拉氏变换为 代回( 2 1 9 ) 式，得 进行拉氏逆变换，得 孑；0 0 s ，矗= s 孑= ( 2 2 2 ) a o s + p l c r o = q o e 一+ 吼s e 一 ( 2 2 3 ) ) 2 薏+ 晋( 1 _ e - l 咖1 ) ( 2 2 4 ) 这就是粘弹性材料的蠕变方程。参数巨、e 2 ，则可通过蠕变实验测出t = o 及f = 0 0 时的应变值，代回上式找出巨、e 2 的关系式，最后联合三元件固体模型的综合 模量公式 e ；盟 ( 2 2 5 ) 巨+ e 2 z ，。一1 0 具体值。至于粘性系数叩。，由于时间参数前面存在系数墨，7 。，可见巨越大 第二章振动耗能数理分析 或仇越小时，蠕变速度越快。具体计算过程及参数分析将在第五节中介绍。 在研究粘弹动力时，先假设材料应变、应变随时间作简谐振动，并采用复数 形式表示如下 o ) 一$ 0 e 妇= ( c o s t o t + i s n o x ) ( 2 2 6 a ) 口o ) 一d e 妇 ( 2 2 6 b ) 将上式代入( 2 2 1 ) 得 荟n ( f ) 仃p 妇2 q k q ) 护蛔 ( 2 2 7 ) 引入 p ( i w ) 。p t o ) ，q o ) 2 荟吼o ) ( 2 2 8 ) f = 6 将上式代回( 2 聊，得动力响应 盯o ) 。q ( i w ) e o e , 耐。_ q ( i w ) 占( f ) 。y ( f ) o ) ( 2 2 9 ) p ( i w ) p ( i w ) y ( f ) = x ( ) + i y 2 ( w ) ( 2 3 0 ) 将y o 御) 定义为动态模量或复模量，它是频率的函数。以三元件固体模型为例， 将其微分型粘弹性本构方程的各参数表出y ( f ) ，得 y = 而q o + q l i t o = 氅1p 样1 2 0 ) + z 1 警 、7 1 + 阢f + + 阢2 、 动态模量的实部、复部表示如下 荆一群簪州叻一譬秽 力 2 4 粘弹性复合材料耗能方程的建立 关于粘弹性材料如何体现能量耗散的特征，将是本节要解决的问题。尽管粘 弹性所转化的能量既有可能是分子内部结构势能，也有可能是内部相体的热能， 广东工业大学工学硕士学位论文 0 ：m y ( f 咖m 隔( 咖姒雌m 搿 ( 2 3 3 ) 式中p ，o ) 一p k ( i t o ) ，q q t o ) 一吼o ) 删= f a y d y = 争+ 仔岬+ 。帆謦 q 亿】，+ 。+ 厶y 6 j 可0 4 u + p 万t 9 2 u d x = o ( 2 3 5 ) d f 一 ，0 ) i 却“。+ 4 e 1 甜+ a 3 e “+ a 4 e ”。 ( 2 3 8 ) b 1 s i no 【x + b ，c o sc c x + b 1 s i n ho 【x + b 。c o s ho 【x 州) ；2 b m l ：堕型粤安黑掣。 以a f + e 刊) ( - ，) 墨：端“口f ) qe 啦o b ：些盟铩- i ) ( 瓮e 高e 嵩e 萼e 攀一 ( + 1 8 ) + ( 。一一驯) 1 2 第二章振动耗能数理分析 u ( 1 ，t ) = e 妇f ( z ) = e - o 吃t e 叫( 五+ 皈)( 2 4 0 b ) 对上式引入欧拉公式再进行拆项化简，可得 u ( 1 ，t ) = e - 吲( c o s t o l t + i s i n t o l t ) ( f 1 + 皈) = e 一啄( c o s m l f 一厶s i n q f ) + 跑一啄( 厶c o s q f + s i n q f ) ( 2 4 0 c ) 上式得到的便是粘弹性欧拉梁动力位移的基本表达式，当然将其对t 求导就 可继续求得速度、加速度等。至于欧拉梁的结构形式是悬臂梁或是简支梁等，都 可以通过边界条件解出对应的小，2 来确定，现在先不讨论其具体数值。从位移 具体形式可以归纳以下结论： ( 1 ) 在粘弹性作用下位移、速度等物理量分为实部与虚部。尽管在实域世 界中虚部并没有物理意义且检测不到，但在运用了复数这种数学工具情况下，可 以认为现实世界只能观测到实轴，而虚轴只具数学意义，仅代表着数与数之间的 联系。在上面表达式中位移解出实部和虚部，就相当于在物理量在复平面上有实 数值和虚数值，而我们只能观测到并应用到物理量实部的数值，虚部的数值暂不 作考虑。 ( 2 ) 从实部表达形式可以看出，由于e 一啄项的存在，即使是要将位移求导 后才能得到的速度、加速度都可用谐振频率的正虚部纰来描述物理量随时间衰 减情况。下文将纰定义为粘弹动力效应衰减频率，简称为“衰减频率”。另外， 正实部q 则可以用来描述周期物理量的频率。将q 定义为粘弹动力效应振动频 率，简称为“振动频率 。 下面就要设法求出q 、与材料参数之间的关系式。由上面推导可知， z ；攀( 2 4 1 a ) 旷2 7 式中c 为频率振型常数，根据阶数的不同而异，一般只取前面有限阶。e 、i 、p 分别为材料弹性模量、惯性矩、密度。现在假设要计算由粘弹性材料梁的衰减效 应，将e 代之以动态模- 量y ( i t o ) ，得 1 3 广东工业大学工学硕士学位论文 2 = y ( i t o r ) i c 4 将三元件固体模型的各参数代入上式，化得一个关于频率l o 的方程如下 ( 2 4 1 b ) 办曹1 一石q 1 叩i c 4 。) t 0 2 - i t o 饼一而( q 0 1 ) c = 。 ( 2 4 2 ) 整理各项系数，令 p ；上一丝。亟垒：2 l e * 2 i c 4l p ：p 1 4 p lr l l p l 。 f ) ：一( q l - p l q o ) i c 4 。一e 2 2 i c 4 y p 1 4 p 1 2r 1 1 p 1 4 r 。一垡q 壁；一e 1 e 2 ( e 1 + e 2 ) i c 4 将t o = q + f 代回上面四次方程便得到 ( 2 4 3 a ) q 4 + 4 6 鸭2 2 + 4 i t o l t 0 2 ( t o a 2 一2 ) + p ( q 2 + 2 i w 0 2 一2 ) + q ( f q 一) + 尺= 0 ( 2 4 3 b ) 注意到上面方程是具有实部与虚部的，当然实部与虚部都必须同时为o ，得到以 下方程组 q 4 + 鸭4 6 q 2 2 + p l o l 2 一2 一q 吐+ 尺= 0 4 t 0 2 ( q 2 一吐2 ) + 2 p r 0 2 + q = 0 由( 2 4 4 b ) 得 小牮 ( 2 4 4 a ) ，( 2 4 4 b ) ( 2 4 4 c ) 代回( 2 4 4 a ) 得 6 4 t 0 2 6 3 2 p 1 0 2 4 + 4 p 2 2 1 6 r t 0 2 2 一q 2 = 0 ( 2 4 4 d ) 令2 一x ，得到一个关于x 的一元三次方程 x3一!既2+(土p21r)x一三q2-0(24421 646 4 e ) 、。 一般可用计算机方法对上面方程进行求解，但这样不方便找出衰减频率吡与 材料参数p 、q 、r 之间的数理关系。鉴于一元三次方程是存在解析式的，以下 1 4 第二章振动耗能数理分析 将求解上面方程，得到衰减频率的物理表达式。 令 代回( 2 4 4 e ) ，得 式中 p 扣y + i 乌 ) ，。+ p y q p 。rpp r 蹬 p 一石一百g 面+ 百+ 嵩 引入算子，令 一口2 + 万4 p 3 进一步代入p 、q 表达式，即 再令 得 ( 2 4 4 0 ( 2 4 4 9 ) ( 2 4 4 h ) ( 2 4 4 i ) ：_ p 4 r + p 2 r 2 + 堕一r 3 一p 3 q 2 i p r q 2 ( 2 4 4 j 4 - 1 ) ，、= 一一+ 一 一 i - 6 9 1 28 6 44 0 9 64 3 22 7 6 4 87 6 8 、7 调节a 、b 取值使 此时 y a + 6 ( 3 a b + p ) ( 口+ 6 ) 一q 一( 口3 + 6 3 ) 3 a b 一一p ，a 3 + 6 3 = q 口3 ；里+ 否， 2 b 3 ；里一否 2 得到口、b 值再解出y ，然后求出x 及衰减频率哆如下 o ) 2 2 = x = a + 6 + 詈=痧+ 面 州痧+ 痧 1 5 + 爷 ( 2 4 4 k ) ( 2 4 4 1 ) ( 2 4 4 m ) ( 2 4 4 n ) + ! ( 2 一4 1 4 0 )+ 一 i 1 6 、7 ( 2 4 5 ) 广东工业大学工学硕士学位论文 ( 2 4 5 ) 就是衰减频率的物理表达式。式子揭示了粘弹性材料性质对能量耗散的 直接关系，从数学上说明粘弹性的滞后损失将消耗一定的能量。衰减频率的物理 表达式是相当复杂的，但最终都是由臣、e 2 、r h 三个物理参数控制。下章将给 出一个算例，探讨各参数对衰减效应的影响。 需要说明的是，( 2 4 5 ) 只是( 2 4 4 d ) 的实数解，正规的做法要先对一元三 次方程的判别式进行计算，以判别根的情况。但实际的工程参数范围内，( 2 4 4 d ) 将会只有一个实数解。具体分析见附录a 1 。 上面的推导过程立足于振动学说的，式( 2 3 8 ) 中的口是实数而非复数，则 口不能表示随x 的衰减性，只能针对空间位置x 固定而观察该点处随时间的衰 减。如果要考虑波动的吸收现象，则需要采用下节所叙述的波动学相关理论。 2 5 粘弹性复合材料波动衰减原理 上节提到粘弹性动力学求解方法是针对空间固定点及固定振型的时间衰减 性进行分析的，并没有涉及能量传播过程中随空间变化所产生的吸收现象，亦则 空间上的衰减。但实际中物质的振动肯定形成波动传播，而在传播过程中肯定会 随传播距离x 的增加而衰减。下面进一步深入研究这种材料的空间波动动态耗 能。 已知弯曲波动方程： c 0 2 r 2 窘+ 軎= 。 他4 6 ， 式中c 0 = 塑p 尘是纵向弹性波波速，r = 丢是截面对中性轴的回转半径。假设、f ya 有解 u ( x ，t ) = a e 叭h ( 2 4 7 a ) 式中为振动频率，因不分析时间衰减性，假定为实数。k = 白+ i k ：，k ：为波动 衰减因子。 这时( 2 4 7 a ) 可表示为 1 6 第二章振动耗能数理分析 u ( x ，t ) 一彳p 一z x e 似却 ( 2 4 7 b ) 同2 4 定义的衰减频率一样，波动衰减因子七：表示波动随传播距离x 的增加而呈 指数形式衰减的情况。 将( 2 4 7 a ) 代回( 2 4 6 ) ，可得 儿丢r c n 按复变函数的求幂方法，9 沣弓l a y ( t o ) - y , + i y 2 ，可得 式中 ( 2 4 8 ) 七2 ( 焉卜竿挑n 0 + 4 2 n , w 都 4 旺4 9 ， 咖拈赢一 之一 ( 2 5 0 ) 根据往后分析，一般日= e ，这时s i np = 一1 3 ，而口一一1 9 4 7 。为了将k 放大， 取n 一1 ，可得 s i n 0 + 2 n a t ；s i n ( 旦+ 刍：s i n 8 5 r ；0 9 9 6 ( 2 5 1 ) 4 、42 7 g 贝, s i n 0 可近似取值为1 ，这样( 2 4 9 ) 进一步提取波动衰减因子七：得 咖i i 晰p a c + 驴2 亍) 4 还是假定e = e ，进一步引入综合模量，得 将( 2 5 3 a ) 代回( 2 5 2 ) 得 疋= 器；孚 ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 a ) 咖防( 爰篙嚣瓮尝) - ( 2 5 3 b ) 1 7 广东工业大学工学硕士学位论文 根据实验所得数据，取一1 0 0 0 h z ，一0 6 g p a ，代回( 2 5 3 b ) ，可以绘出 波动衰减因子与综合模量的关系曲线。取= 1 0 0 0 h z ，e 一1 5 0 g p a ，同样可绘 出波动衰减因子与粘性系数的关系曲线。当然，这种直接取材料物理参数的方法 是略欠严谨的，计算出来的结果可能不够精确，但是用这种方法大致确定材料物 理参数对波动衰减的影响是可行的。 由下一章分析可知，粘性系数越小则材料的蠕变现象越明显，越能体现粘性。 同样，综合模量越大，则材料刚度越大。针对这一结论来观察两种关系曲线可见， 材料刚性程度越大，而且粘性程度越小，则波动衰减因子就越小；相反，材料柔 性程度越大，而且粘性程度越大，则波动衰减情况越明显。 图2 - 3 波动衰减因子七2 与综合模量巨关系图 f i g 2 3 r e l a t i o ng r a p ho fw a v ea t t e n u a t i o nf a c t o rk 2a n dc o m p o s i t em o d u l u se 1 8 第二章振动耗能数理分析 图2 - 4 波动衰减因子k