（动力工程及工程热物理专业论文）先进能源利用系统多目标优化方法研究及应用.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 i 摘 要 科学和工程技术问题中经常会遇到多目标最优化问题，并且逐渐成为工程领 域的一个难点和热门的研究问题。对于多目标最优化问题，由于各目标之间相互 制约、相互影响，对其中某一个目标进行优化时必须以牺牲其它目标作为代价， 难以求得令人满意的决策方案，因此，需要采用多目标最优化技术。多目标最优 化技术可以权衡各个目标函数，求得最佳方案，具有重要的科学意义和应用价值。 随着能源消费的日益增加，污染问题也变得越来越严重，传统的能源利用系 统已经无法适应当今社会对高效、清洁、经济、安全的能源体系的要求，成为制 约人类社会可持续发展的重要因素。为此，世界各国政府都在寻找可持续发展的 先进能源利用系统，以满足不断增长的能源需求，同时又要达到减少污染的目的。 先进能源利用系统的性能评价体系包括技术、经济、环境和社会等多项指标，其 重要性各不相同，因此，先进能源利用系统的优化是典型的多目标优化问题。 本文在探讨研究多目标优化问题求解方法的基础上，建立一种先进能源利用 系统（sofc-gt 混合发电系统）的多目标优化求解策略。分别采用传统多目标优 化方法和遗传算法对其进行多目标优化，寻求系统的最佳工况点，以达到整体最 优化。论文具体工作内容如下： 分析传统的多目标优化问题求解方法，指出其不足之处。 鉴于传统多目标优化求解策略的不足和局限，本文进一步研究了一种进化 多目标优化算法-遗传算法，以及其改进型-nsga-算法。并借鉴动态罚函数的 思想，构建适合于求解约束多目标优化问题的惩罚函数。最后，通过一个算例， 有力地证明了 nsga-算法的有效性。 在对固体氧化物燃料电池进行理论分析的基础上，建立了 sofc 发电系统 多目标优化的数学模型，并进行优化求解。通过多目标优化，电池堆的输出电压、 系统发电效率以及净输出功率分别为 0.84v、53.65%、1 608.10103w。优化结果 表明：通过多目标优化可以均衡系统的各项性能指标，求得系统的最佳工况点。 根据 sofc 排气温度较高这一特点，提出一种改进方案，即建立 sofc-gt 混合发电系统多目标优化的数学模型，并分析了工作温度、燃料流率以及燃料利 用率等参数对目标函数的影响。分别采用传统多目标优化方法和遗传算法对其进 行多目标优化，并对结果进行比较分析。优化结果表明：1）增加 gt 可以进一步 提高系统的发电效率；2）与传统优化方法相比较，nsga-算法更适合于多目标 优化问题，能够高效地求得均匀分布的 pareto 解集。 关键词关键词：多目标最优化，遗传算法，固体氧化物燃料电池，微型燃气轮机 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 ii abstract there are many multi-objective optimization problems in science and engineering areas, and the multi-objective optimization is becoming a research focus as well as difficult problem in the area of engineering. for the multi-objective optimization problem, it is difficult to find a satisfactory solution because that the objects mutually restricted and influenced with each other, and optimizing one of them must at the expense of the sacrifices of others. the multi-objective optimization technology with important scientific significance and application value can balanced both objects and find the tradeoff solution. coupling with the growth of energy consumption, pollution problems have become more and more serious. then the conventional energy utilization system has been unable to meet the current requirements of the advanced energy system, which is highly efficient, nopollution, economic and safety, and has become an important factor of the constraint on the sustainable development of human society. for this reason, governments around the world are looking for sustainable and advanced energy utilization systems to meet the growing need of energy and reduce the environment pollution. the performance evaluation system of advanced energy utilization systems included technical object, economic object, environmental object and social object, etc. and the importance of them were different from each other. therefore, the optimization of this advanced energy utilization systems was a typical multi-objective optimization problem. in this thesis, a mathematical model of multi-objective optimization for the hybrid solid oxide fuell cell and gas turbine power generation system was established on the basis of studying the method for solving the multi-objective optimization problems. in this thesis, the multi-objective optimization for the hybrid solid oxide fuell cell and gas turbine power generation system were performed, using the traditional multi-objective optimization method and genetic algorithms respectively, in order to find the best work point of the power generation system. the main contents are as follows: studying the traditional method for solving multi-objective optimization problems and analysing the shortcomings of them. on account of the shortcomings and limitations of the traditional strategies for 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 iii solving multi-objective optimization problems, this thesis studies a multi-objective optimization evolutionary algorithms - genetic algorithm, and its improved model - nsga-. and borrowed the ideas from the concept of dynamic penalty function, this thesis building a penalty function which suitable for solving constrained multi-objective optimization problems. finally, an example strongly illustrated the effectiveness of the nsga-. in this thesis, the basic concept and theories of solid oxide fuel cells are reviewed and analyzed. on this basis, the mathematical model of multi-objective optimization for the solid oxide fuell cell power generation system was established. and then, the multi-objective optimization problem was solved. by optimizing, the sofc power generation system can achieve an actual potential of 0.737(v), a system electrical efficiency of 53.65% and a net output work of 1 608.1103(w). the optimization results shown that the best work point of this power generation system can be obtained through the multi-objective optimization system for sofc. according to the characteristics that the temperature of exhaust gas of sofc was very higher, this paper also presented an improved program, the mathematical model of multi-objective optimization for the hybrid solid oxide fuell cell and gas turbine power generation system, and analyzed the effects of the main parameters such as the fuel utilization rate, the cell temperature and the fuel flow rate on the objective functions. in this thesis, the multi-objective optimization for the hybrid solid oxide fuell cell and gas turbine power generation system were performed, using the traditional multi-objective optimization method and genetic algorithms respectively, and the results of both methods were compared. the optimization results shown that the integration into a more complex gt cycle of a pressurised sofc can result in a further improvement of the system electrical efficiency firstly. and it also shown that comparing with the traditional method, nsga- algorithm was more suitable for multi-objective optimization problem, and can efficiently obtain the uniformly distributed pareto set. key words: multi-objective optimization，genetic algorithm，solid oxide fuel cell， micro turbine 重庆大学硕士学位论文 1 绪 论 1 1 绪 论 1.1 多目标优化概述 人们在工程实践和科学研究中经常会遇到最优化问题，其中又以多目标最优 化问题居多。对于多目标最优化问题，因为各目标之间通过决策变量相互制约、 相互影响，对其中某一个目标进行优化的同时必须以牺牲其它目标作为代价，而 且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标优化问题最优解的优 劣性。多目标最优化问题与单目标最优化问题的本质区别在于：多目标最优化问 题的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，集合中元素被称为 pareto 最优解 或非劣最优解1,2。 一般的， 多目标优化问题的最优解可以分为三种： 绝对最优解、 有效解 （pareto 解） 、弱有效解（弱 pareto 解）3。如何获得最优解成为求解多目标优化问题的一 个难点，目前还没有非常成熟和实用性较好的理论，国内外常采用的传统的求解 策略是把多目标最优化问题转化成一个（或一串）单目标最优化问题，然后采用 单目标最优化的求解方法进行求解。常用的多目标最优化问题求解方法主要有以 下几种：降维法、顺序单目标优化法、评价函数法，而常用的评价函数法又分为 理想点法、虚拟目标法、平方加权法、线性加权和法等3,4。 虽然传统多目标最优化方法可以比较方便地解决一些工程问题，但是仍存在 一些缺陷。例如，有些方法对 pareto 前沿比较敏感，当 pareto 前沿是凹的或者不 连续时，这些方法将失效；有些方法要求目标函数和约束条件可微；有些方法每 次运行只产生一个解，求多个解时需要运行多次，效率较低5。另外，在求解多目 标最优化问题时，传统多目标最优化方法包含了许多不确定因素，这些因素需要 由精通相关工程问题的专家和有着丰富经验的决策者确定，若确定不妥，将得不 到满意的效果，对工程优化设计、决策、管理等方面产生严重的负面影响。为此， 多年来国内外专家、学者以及从事这方面研究的科研工作者，在多目标最优化的 理论、求解方法以及在工程上的应用等方面进行了大量的探索，并取得了新的成 果。其中，法国经济学家 v.pareto 在经济学领域最早提出了 pareto 解集的概念。 pareto 解集的概念符合多目标最优化问题本身的特点， 在多目标最优化方法的研究 过程中具有里程碑的意义。近年来发展起来的多目标最优化方法，绝大部分是基 于 pareto 概念的多目标进化算法。进化算法(evolutionary algorithm ,ea)由于其具 有并行性、不需要求导或其它辅助知识、一次产生多个解和简单易于实现等优点， 被视为求解多目标最优化问题的有效方法。 将进化算法用于求解多目标最优化问题，被称为进化多目标优化(evolutionary 重庆大学硕士学位论文 1 绪 论 2 multi-objective optimization，emo)。目前研究人员已经提出了多种用于求解多目 标最优化问题的进化算法(multi-bjective evolutionary algorithm, moea)6。早在 1967 年， r.s.rosenberg 就在其博士论文提出了使用遗传算法解决多目标最优化问 题（mop）的方法，然而他当时并没有建立实际的多目标优化算法，mop 被表述 为单目标问题，并用遗传算法求解7。david schaffer 是第一个设计多目标进化算 法的人，其方法称为向量评价遗传算法(vector valuated genetic algorithm , vega)8。一般认为，moea 发展到今天经历了两个阶段9：第一阶段从 20 世纪 80 年代中期到 90 年代中期，这一时期的 moea 以简单为特征，称为第一代进化 多目标优化算法，主要包括非劣支配排序遗传算法（nondominated sorting genetic algorithms， nsga） 、 基于 pareto 支配的遗传算法 （niched pareto genetic algorithm， npga） 、多目标遗传算法(multi-objective genetic algorithm ,moga)等10；第二阶 段从 20 世纪 90 年代中期至今，这一时期的 moea 以效率为特征，以精英保留策 略为实现机制， 称为第二代 moea， 主要包括 strength pareto evolutionary algorithm (spea)、spea2、pareto archived evolution strategy(paes)、nsga-ii、pareto envelope-based selection algorithm (pesa)等。 我国学者在多目标最优化问题方面也取得了一些研究成果。文献11中探索了 一种基于 pareto 的多目标遗传算法的具体流程，阐述了计算过程中小生境技术等 关键技术，并给出了算例和结果分析。文献12和13中阐述了遗传算法的起源、 历程和主要研究方向，介绍了遗传算法的基本原理，并对遗传算法的收敛性进行 了分析，最后给出了一组典型的性能测试函数。文献14给出了一种带精英策略和 变异操作的改进 pso 算法，测试结果表明，改进算法同时具备较强的全局探索能 力和局部开发能力， 能够在保证算法较快收敛的前提下， 有效地提高精度。 文献15 中将模拟退火算法和遗传算法相结合，应用于多目标规划，其收敛性优于单纯的 遗传算法，可以求得一个较好的 pareto 解集，但其计算量较大。文献16中提出并 实现了一个并行 pareto 多目标演化算法。在这个算法中，采用了并行演化算法中 常用的全局并行模型和粗粒度并行岛模型。该算法能够使找到的解集快速收敛到 pareto 非劣最优区域，并且解集沿着 pareto 非劣最优域有很好的扩展性。文献17 中为解决简单遗传算法收敛速度较慢和可能收敛于局部最优解的缺点，提出了一 种具有自识别交叉算子和动态变异算子的改进遗传算法，前者保证了父代的优良 模式遗传到下一代，从而加快了算法的收敛速度；而后者扩大了搜索范围，增强 了算法跳出局部最优解的能力。 文献18中进行了最优保存策略和群体多样性的研 究，并在此基础上提出了基于 pareto 最优解数据仓库的多目标优化遗传算法，该 算法利用数据仓库来保存每代所产生的 pareto 最优解个体，并淘汰数据仓库中相 同或相似的个体，提高了算法性能，能够获得均匀分布的 pareto 最优解。文献19 重庆大学硕士学位论文 1 绪 论 3 中，对遗传算法进行了详细介绍，并对遗传操作算子进行了改进，提高了遗传算 法搜索全局最优解的能力。另外作者还对遗传算法的并行实现进行了研究，提高 了算法的全局进化效率。 一般的，性能优越的多目标优化算法，其求得的非劣解集具有以下特征20： 与真实非劣解集的距离应尽可能的小； 分布均匀； 具有较好的扩展性，即非劣解集的端点应尽量接近单目标极值。 但是，目前己有的算法还不能很好的满足这些要求。为此，开发能够有效地 求解实际工程应用领域中所遇到的多目标最优化问题的优化方法是一个具有重要 意义的研究课题。 1.2 燃料电池-燃气轮机混合发电装置概述 能源是人类社会发展的动力，是发展国民经济和提高人民生活水平的重要物 质基础，也是经济发展的一个重要制约因素。可以预见，随着经济和社会的发展、 人口的增长、人民生活水平的提高，能源消耗必将成倍增长。当今时代，能源技 术已经成为衡量一个国家经济发展水平与生活水准的重要指标。人类的发展历史 雄辩地证明，每一次能源技术的进步，都极大地促进了社会的繁荣与发展，这也 证明了能源科技本身所具有的内涵和活力。 与此同时，由于过度开采和挖掘，目前，人类赖以生存的煤、石油等化石类 能源正在逐渐减少，而环境污染却日益严重。例如，巨大的能源消费直接导致了 全球气候的变化，据统计，导致温室效应的二氧化碳有一半以上来自于全球的能 源消费，并且正以每年 3%的幅度增长21。因此，科学合理的利用能源已经成为制 约人类社会可持续发展的重要因素，并影响着世界各国的能源决策和科技导向。 可以肯定的是，传统的能源结构及其利用方式越来越难以适应人类生存和发展的 需要，二十世纪所建立的以石油、煤等化石原料为燃料的能源系统已经无法适应 当今社会对高效、清洁、经济、安全的能源体系的需求，能源发展正面临着巨大 的挑战。面对经济发展与环境保护的严峻挑战，世界各国政府都在致努力寻找能 够替代传统能源利用模式的可持续发展的能源利用新模式，以满足不断增长的能 源消费的需要，同时又要达到减少污染的目的。而一种高效、清洁的能源利用途 径就是燃料电池发电技术。 燃料电池（fuell cell）是一种通过电化学反应，将储存在燃料中的化学能直 接转换为电能的发电装置。其最大特点是反应不经过热机过程，因此其能量转换 效率不受“卡诺循环”的限制，理论上，能量转换效率可高达 90%，目前，各种燃 料电池的实际电能转换效率在 40%60%之间22，固体氧化物燃料电池的效率将更 重庆大学硕士学位论文 1 绪 论 4 高23。另外，它还具有环境效益好、燃料多样化、排气干净、噪音低、可靠性高、 运用灵活及发展潜力大等优点，被誉为二十一世纪继火电、水电、核电之后的第 四代清洁发电方式。可以预言，燃料电池必将成为未来的主流发电技术。因此， 近年来，燃料电池技术的发展倍受各国政府、研究机构重视，已经有二十多个国 家的上千家公司和科研机构制订了多项相关计划，投入巨资进行开发研究。到二 十世纪末，无论是基础研究，还是商业化应用方面，都已经取得了突破性进展， 燃料电池技术已经相当成熟，并且基本达到了实用化阶段。 我国政府已将燃料电池技术列入国家科技攻关计划之中。1994 年 4 月，由中 国电子技术学会、电子部天津电源研究所组织，在天津召开了发展我国燃料电池 事业的技术讨论会，会议决定将燃料电池技术作为一项系统工程集中力量攻坚。 2004 年 5 月，由科技部、中国科协和国际氢能协会在人民大会堂举办了第二届国 际氢能论坛，这充分显示了我国政府对燃料电池技术的重视与支持。 燃料电池的种类相当多，而且分类的方式也各有不同，常用的分类方式有按 电解质的性质分类和按其工作温度范围分类两种。按照工作温度的范围，燃料电 池可以分为低温燃料电池、中温燃料电池和高温燃料电池。高温燃料电池包括熔 融碳酸盐燃料电池(mcfc)和固体氧化物燃料电池(sofc)。基本上，燃料电池的工 作温度影响了燃料电池所使用的催化剂和燃料。在高温情况下工作时，可以不必 使用铂等昂贵的催化剂； 并且当工作温度超过 600时， 燃料电池具备内重整能力， 天然气、煤气、石油气、沼气等都可以被用作燃料，而且转换效率高。 固体氧化物燃料电池工作在 800100024，在这样高的温度下，燃料能迅速 氧化，而不必使用贵金属催化剂，显著地降低成本，并且固体氧化物燃料电池是 全固态装置，用氧化物离子导电陶瓷材料作电解质，比其它燃料电池简单之处就 是只有两相（固相、气相） ，没有保持三相界面的问题，也没有淹没电极微孔，覆 盖催化剂等问题，无需进行严格的电解质管理。另外，其排气温度较高，高品位 的排气可以循环再利用，这将使它能够与燃气轮机等其它发电装置组成联合发电 系统，进一步提高能量的利用效率，因此具有广阔的应用前景。 燃气轮机（gas turbine）是以连续流动的气体为工质，把热能转换为机械功的 旋转式动力机械。燃气轮机具有热效率高、污染少，耗水少甚至不耗水的优点， 因此燃气轮机可以提供清洁、安静和高效的动力。然而长期以来，小型发电机组 市场却一直由内燃机发电机组占领，微型燃气轮机几乎没有立足之地。这主要是 因为微型燃气轮机单机循环效率低，无法与内燃机相比，而且微型燃气轮机转速 较高，通常要采用齿轮减速器降速后才能与发电机相连，而让人遗憾的是，笨重 的减速器和低速发电机把燃气轮机结构轻巧的优点给抵消了。虽然可以采用回热 的方式来提高循环效率，但常规回热器的体积和重量通常比燃气轮机本身还要大， 重庆大学硕士学位论文 1 绪 论 5 而紧凑式的回热器制造成本又很高，所以微型燃气轮机一直无法在市场上打开局 面。九十年代初期，出现了不用减速齿轮而由燃气轮机直接带动高速交流发电机 的燃气轮机发电机组，大大简化了结构，使发电机组的尺寸明显减少，重量减轻， 再加上在回热器上取得的进展，微型燃气轮机才重新得到重视。现代微型燃气轮 机具有结构简单紧凑、重量轻、体积小；振动低、噪音低、运行成本低；运动部 件少，机组寿命长，效率高；无需润滑油或只需少量润滑油，可使用多种燃料且 燃料消耗率低、排放低等优点25。因此我们应该大力发展微型燃气轮机技术。 随着燃料电池和燃气轮机技术的发展，燃料电池和然气轮机联合循环发电技 术也得到了迅速发展。这种联合循环发电装置的发电效率可以高达 80%，并且氮 氧化物的排放、硫氧化物及二氧化碳的排放远远低于传统的发电方式，具有极其 重要的环保意义和应用价值。 1.3 本课题的研究背景、意义及主要研究内容 1.3.1 本课题的研究背景、意义 本文所提出的“先进能源利用系统多目标优化方法研究及应用”具有重要的科 学意义和应用前景。 一方面，从工程实际中抽象出来的问题往往涉及多个目标，因此，对实际工 程问题的优化求解大多数是多目标优化问题，对于先进能源利用系统来讲，由于 系统具有复杂性、非线性等特征，其性能评价体系包括技术、经济、环境和社会 等多项指标，且重要性各不相同，因此，先进能源利用系统的优化是典型的多目 标优化问题。而传统的优化方法往往将这些目标割裂开来，以其中某一目标函数 为主进行研究，即单目标优化研究，因而存在不可忽视的缺陷，难以获得可靠的 结论。本文选择一种先进的能源利用系统（固体氧化物燃料电池燃气轮机混合 发电系统）为研究对象，所采用的多目标优化策略将同时考虑电池堆的输出电压、 系统发电效率、系统净输出功率等多个目标函数，能够综合考虑系统的多个方面， 其优化结果能比较真实的反应实际问题。 另一方面，构建和谐社会及实现经济社会的可持续发展对能源的科学开发与 利用提出了全面而严峻的挑战，迫切需要加快发展清洁能源。而在由固体氧化物 燃料电池 （sofc） 与燃气轮机 （gt） 组成的混合发电系统中， 燃料电池 （fuell cell） 通过电化学反应， 将燃料的化学能直接转换为电能， 不经过热机过程， 因此不受“卡 诺循环”的限制，能量转换效率可高达 60%80%，另外，它还具有环境效益好、燃 料多样化、噪音低、可靠性高、运用灵活及发展潜力大等优点；其高品位的排气 在燃气轮机中得到进一步利用， 系统发电效率可达到 60%-75%24。 因此， sofc-gt 混合发电系统日益受到各国政府和科研机构的高度重视。文献25对 sofc-gt 的 重庆大学硕士学位论文 1 绪 论 6 稳态全工况进行了分析，并讨论了运行参数对系统性能的影响；文献26以 aspen plus 为平台，分别研究了 5 种加压方案，并对结果进行了对比分析；文献27以 matlab/simulink 为平台，对 sofc-gt 的动态特性进行了研究；文献28中提出了 一种部分载荷模型，该模型中只有一部分燃料进入电池堆发生电化学反应，其余 的燃料直接进入燃烧室燃烧，仿真结果表明，系统发电效率超过 60%。 虽然已有很多学者对 sofc-gt 系统进行了大量的研究， 但是大多侧重于系统 性能分析，有关系统优化的文献还不是很多，且其中绝大多数为针对某一指标的 单目标优化，如文献29中仅针对系统效率这一目标提出了两种优化方案。另一方 面，由于 sofc-gt 系统的不同性能指标的变化规律不同，并且相互影响，难以同 时达到最优值，因此单目标优化并不能保证系统的整体性能最优，因此，对其进 行多目标优化具有重要的现实意义。 综上所述， 本文所提出的“先进能源利用系统多目标优化方法研究及应用”具有 重要的科学意义和应用前景。 1.3.2 本课题的主要研究内容 本文在探讨研究多目标优化问题求解方法的基础上，建立一种先进的能源利 用系统（sofc-gt 混合发电系统）多目标优化的数学模型，分别采用传统多目标 优化方法和遗传算法对电池堆的输出电压、净输出功率以及系统发电效率等多个 目标进行优化，寻求系统的最佳工况点，以达到整体最优。具体工作内容如下： 探讨研究传统的多目标优化求解方法，并分析其不足。 鉴于传统多目标优化求解策略的不足和局限，进一步研究一种进化多目标 优化算法-遗传算法，以及其改进型-nsga-算法。并借鉴动态罚函数的思想， 构建适合于求解约束多目标优化问题的惩罚函数。最后，通过一个算例，有力的 证明了 nsga-的有效性。 对固体氧化物燃料电池进行理论分析，并在此基础上，建立 sofc 发电系 统多目标优化的数学模型，并对电池堆的输出电压、系统发电效率以及净输出功 率等多个目标进行优化求解，寻求系统的最佳工况点。 根据 sofc 排气温度较高这一特点，提出一种改进方案，即建立 sofc-gt 混合发电系统多目标优化的数学模型，并分析了工作温度、燃料流率以及燃料利 用率等参数对目标函数的影响。分别采用传统多目标优化方法和遗传算法对其进 行多目标优化，并对结果进行比较分析。 重庆大学硕士学位论文 2 多目标最优化问题简介 7 2 多目标最优化问题简介 工程实践中经常会遇到最优化问题，并且随着技术的发展，最优化问题越来 越受到人们的重视。因此，研究最优化问题具有重要的现实意义和应用价值。一 般的，工程中遇到的优化问题可以归结为如下数学模型： xx xf)(min 或 xx xf)(max （2.1） 称)(xf为目标函数， t n xxxx),( 21 l=为决策变量，x为约束区域。 当 n ex = 时，称为无约束优化；当 n ex 时，称为约束优化；当)(xf为向量函数时，称为 多目标约束优化。本章将简要介绍最优化理论的基础知识。 2.1 无约束最优化方法简述 无约束最优化问题的数学模型可以描述为： n ex xf)(min 或 )(minxf， t n xxxx),( 21 l= （2.2） 一般的，无约束最优化问题通过构造一个序列 k x，使其满足： n exk k xfxfxf =)(min)()(lim * （2.3） 称 * x为最优解， * ()f x为最优值，称 k x为极小化序列。其构造方法一般采用 逐步构造法，即取： kkkk pxx+= +1 ， l, 2 , 1 , 0=k （2.4） 称 k p为 k x处的搜索方向， k 为沿方向 k p的步长。构造的一般原则是：从 k x 出发， 沿着方向 k p， 能够找到步长 k ， 使 1kkkk xxp + =+至少满足)()( 1kk xfxf + 。 因此，求解无约束最优化问题的关键在于构造搜索方向 k p，以及确定沿着搜索方 向 k p的搜索步长 k 。不同的构造方法对应着不同的算法，常用的、著名的算法包 括：最速下降法、牛顿法、简化牛顿法等，另外，根据搜索步长的变化与否又可 分为定步长和变步长两类。如果取步长为固定值，则为定步长法；如果步长用最 佳步长方法获取，则为变步长法。 2.2 约束最优化方法简述 约束最优化问题的数学模型为 n exx xf)(min 或 n exx xf)(max （2.5） 重庆大学硕士学位论文 2 多目标最优化问题简介 8 其中，约束区域为 = = = i ,1,2,i0,(x)g j ,1,2,j0,(x)h |x i j l l x ；常改写为如下形式： min( ) ( )0,1,2, . . ( )0,1,2, j i f x h xjj st g xii = = l l （2.6） 称)(xf为目标函数，)(xhj、)(xgi为约束函数。目前，国内外求解约束最优 化问题的方法一般可以归纳为以下三类3： 通过构造一个（或一串）无约束最优化问题的最优解，去逼近（或取代） 原约束问题的最优解，例如内点罚函数法、外点罚函数法等。 在原约束区域内部，构造可行下降方向，从而生成序列 k x和序列)( k xf， 分别逼近原约束最优化问题的极小点和极小值，例如条件梯度法。 构造一串特殊优化问题的最优解，去逼近原问题的最优解，例如序列二次 规划法（sqp）等。所谓序列二次规划算法，就是将在迭代式 kkkk dxx+= +1 中寻 找搜索方向 k d的问题归结为求解一个相对应二次规划问题的k-t点，sqp算法是 求解非线性最优化问题的一类非常重要的方法，是拟牛顿法在约束优化问题中的 推广，已经成为求解中小型优化问题的最有效方法之一。 2.3 多目标优化问题简述 无论是在自然学科领域还是在社会科学领域，经常会遇到多目标优化问题， 例如用最小的成本付出获取最大的经济效益，而同时考虑最小化成本和最大化效 益，这就构成了一个典型的多目标优化问题。工程实践中的方案设计，社会发展 与国民经济中的规划与决策，大都可以视为多目标优化问题。采用多目标优化方 法，可以对这些问题中相互冲突的目标进行很好的权衡，给出满意的结果，从而 提高人类改造自然、改造社会的能力。为此，研究多目标优化方法，并将其应用 于工程实践，是十分必要的，这一点在先进能源利用系统的概念设计、综合、集 成以及日后的经济、环保运行中尤为重要。 多目标优化问题的数学模型为（min也可以换为max） ： 1 2 min( ) min( ) min( ) ( )0,1,2, . . ( )0,1,2, p j f x fx fx h xjj st gi xii = = m l l 或 n p exx xf xf xf )(min )(min )(min 2 1 m （2.7） 其中， t n xxxx),( 21 l=称为决策变量，若 n ex=，称为无约束多目标优化 重庆大学硕士学位论文 2 多目标最优化问题简介 9 问题；若 n ex， = = = i ,1,2,i0,(x)g j ,1,2,j0,(x)h |x i j l l x，称为约束多目标优化问题。 从工程实际中抽象出来的多目标优化问题，各个目标及其相应的约束函数所 代表的工程、物理、几何意义等一般都互不相同，量纲也不一样，数量级可能相 差很大，放在一起难以进行分析比较，因此，需要对每个目标和约束函数进行无 量纲化处理，缩小各个量在数值上的差异，常用的处理方法是对每个量除以这个 量绝对值的最大值。 2.3.1 向量函数的比较 设有两个同维数的向量函数 t m t m xgxgxgxg xfxfxfxf )(,),(),()( )(,),(),()( 21 21 l l = = 在 n ex 上有定义，这两个向量在x上的大小比较按如下规则进行3032： )()(xgxf 如果对任意的xx，)(xf的每一个分量都严格小于相对应的)(xg的分量， 即xx都有不等式mjxgxf jj , 2 , 1),()(l=成立，则)()(xgxf。 )()(xgxf 如果对任意的xx， )(xf 的每一个分量都小于或等于相对应的 )(xg 的分量， 并 且 至 少 存 在 一 个 分 量 严 格 小 于 相 应 的 分 量 ， 即xx都 有 不 等 式 mjxgxf jj , 2 , 1),()(l= 成立， 且至少存在 mj, 2 , 1 0 l ， 使得 )()( 0 0 xgxf jj 成 立，则称在x处， )()(xgxf 。 ( )( )f xg x = 如果对任意的xx，)(xf的每一个分量都小于或等于相对应的)(xg的分量， 即xx都有不等式mjxgxf jj , 2 , 1),()(l=成立，则称在x处( )( )f xg x = 。若 上述不等式均为等式，则称( )( )f xg x或( )( )f xg x=。 2.3.2 三种最优解集的定义 利用向量函数之间的上述关系，可以给出多目标优化常用的三种最优解的定 义31,32，为求解多目标最优化问题提供理论依据。 绝对最优解 设xx * ，若对任意的xx，都有 * f(x )f(x) = 成立，则称 * x是多目标优化问 题的绝对最优解，由这些解构成的集合记为 * ab r。由此定义易知， * x是单目标优化 , j minf (x), j=1,2,p xxl的最优解，但是在多数情况下，不存在绝对最优解。 有效解（或称为pareto解） 设xx ，若不存在xx，使得f(x)f( x) 成立，则称x是多目标优化问题的 有效解（或称为pareto解） ，由这些解构成的集合称为pareto解集（或非劣解集） ， 重庆大学硕士学位论文 2 多目标最优化问题简介 10 记为 * pa r。由此定义易知，绝对最优解必是有效解，但有效解未必是绝对最优解。 弱有效解 设xx ，若不存在xx，使得f(x)f( x) j ，且 1 1 p j j = = ） 。 （2.15） 其缺点是：权系数（权因子）和每个目标估值的确定需要具有丰富的工程实 际经验。若取值不当，所求得的多目标优化问题的最优解将失去意义。 4）线性加权法 线性加权法是对平方加权法的简化，既不需要对每个目标的理想值进行估计， 也不需要求出每个单目标优化问题的最优解，直接给每个目标函数乘上一个不同 的权系数，构造成单目标优化问题。其评价函数直接取为： 重庆大学硕士学位论文 2 多目标最优化问题简介 13 1 ( ( ) p jj j= h f x=f (x) （2.16） 其中，权系数的取法同平方加权法。通过求解单目标优化问题 1 ( ( )min p jj x xx x j= minh f x=f (x) （2.17） 其最优解可近似为原问题的有效解或弱有效解。其缺点是：权系数（权因子） 的确定需要丰富的工程经验。若取值不当，所求结果将失去意义。 2.4 本章小结 最优化问题根据有无约束条件可以分为两大类，而二者的求解都可以归结 为求解极小化序列 k x，使其满足 = （约束最优化） 无约束最优化 )(min )()(min )()(lim * xf xf xfxf xx ex k k n 根据极限理论，只要序列满足上述条件，当k足够大时，就可以求得最优解， 而序列的产生一般采用构造法，即 kkkk pxx+= +1 。对于无约束最优化问题，搜 索方向 k p需满足)()( 1kk xfxf + ；对于约束最优化问题，搜索方向 k p除了需满足 )()( 1kk xfxf，则以进化过程所得到的具有最大 适应度值的个体作为问题的最优解，输出并终止计算。 3.1.4 遗传算法的应用 遗传算法提供了一种求解多目标优化问题的通用框架，它不依赖于问题的具 体领域，计算时不依赖于梯度信息或其它辅助知识，而只需要影响搜索方向的目 标函数和相应的适应度函数，具有很强的鲁棒性，应用广泛，简要介绍如下： 函数优化。 函数优化是其经典应用领域，也是对其进行性能评价的常用算例，对于各种 复杂的非线性、多模型、多目标的函数优化问题，遗传算法可以得到较好的结果。 组合优化 随着问题规模的增大，组合优化问题的搜索空间也急剧增大，有时在目前的 计算机上难以用枚举法求解。对这类问题，人们已经意识到应把主要精力放在寻 求其满意解上，而遗传算法是寻求这种满意解的最佳工具之一。例如遗传算法已 经在求解旅行商问题、 背包问题、装箱问题、图形划分问题等方面取得成功。 生产调度问题 许多情况下，人们所建立的关于生产调度问题的数学模型都难以精确求解， 现实生产中需要靠一些经验进行调度安排，而遗传算法作为一种全局随机搜索优 化算法，能够有效解决生产规划、车间调度、任务分配等问题。 自动控制 遗传算法在自动控制领域的应用日益增加，