（信号与信息处理专业论文）contourlet变换及其在图像处理中的应用研究.pdf

安徽大学硕士学位论文 摘要 c o n t o u r l e t 变换的主要目的是为了获得含有线和面奇异的图像的稀疏表示， 它不仅继承了小波变换的多分辨率时频分析特征，而且拥有良好的各向异性特 征。c o n t o u r l e t 变换是由塔形方向滤波器组( p d f b ) 把图像分解成各个尺度上的 带通方向子带，c o n t o u r l e t 变换的最终结果是用类似线段的基结构来逼近原图像。 c o n t o u r l e t 变换是一种灵活的多分辨率、多方向性的变换，它允许每个尺度上有 不同数目的方向。c o n t o u r l e t 能够很好地表示图像的各向异性特征，更好地捕获 图像边缘信息，在图像处理应用中能比小波变换更好地表示图像的边缘及纹理特 征。 本文对c o n t o u r l e t 变换及其在图像去噪与多聚焦图像融合上的应用进行了较 为系统的研究，主要研究内容和成果如下： 1 详细研究了二维可分离小波变换的原理与实现算法，以及小波变换在图像处 理中的成功与不足。详细研究了c o n t o u r l e t 变换的原理与实现算法，并就相 关实验说明了c o n t o u r l e t 变换对小波变换的超越。 2 详细研究了基于小波变换的图像阈值去噪算法的原理，以及阈值去噪中阈值 函数的设计、阈值的确定。提出了一种基于c o n t o u r l e t 变换的图像去噪算法， 运用c o n t o u r l e t 变换良好的方向性和各向异性进行阙值去噪。由于c o n t o u r l e t 变换能比小波变换更好地表示图像的边缘特征，所以能更好地保护图像的边 缘特征和纹理信息，使去噪后的结果图像视觉效果更佳。 3 详细研究了基于小波变换的多聚焦图像融合算法的原理，以及多聚焦图像融 合中融合规则的设计与选择。提出了一种基于小波c o n t o u r l e t 变换的多聚焦 图像融合算法，利用小波c o n t o u r l e t 变换良好的方向性与各向异性进行多聚 焦图像融合，利用小波良好的去相关特性避免c o n t o u r l e t 变换第一级中l p 变 换对融合效果的影响，使融合后图像的视觉效果更佳。 4 由于c o n t o u r l e t 变换与小波c o n t o u r l e t 变换中下采样的存在，c o n t o u r l e t 变换 与小波- c o n t o u r l e t 变换都缺乏平移不变性。本文引入递归c y c l es p i n n i n g 与 安徽大学硕士学位论文 c o n t o u r l e t 变换及其在图像处理中的应用研究 c y c l es p i n n i n g 来有效地抑制在处理过程中由于变换缺乏平移不变性而产生 的各种视觉失真。实验结果显示，该方法能显著改善处理效果，显著提高结 果图像视觉效果。 关键词：c o n t o u r l e t 变换：小波变换：图像去噪：图像融合；c y c l es p i n n i n g 。 i i 安徽大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo fc o n t o u r l e tl r a n s f o r mi st oo b t a i ns p a r s ep r e s e n t a t i o no fi m a g e s ，i t i n h e r i t sw a v e l e t s l o c a ls u p p o r t i n ga n dt h em u l t i r e s o l u t i o np r o p e r t y b e s i d e s ，i th a s a n i s o t r o p yp r o p e r t y c o n t o u r l e t t r a n s f o r md e c o m p o s e si m a g e si n t o b a n d - p a s s d i r e c t i o n a ls u b b a n du s i n gp d f b c o n t o u r l e tt r a n s f o r ma p p r o x i m a t e si m a g e su s i n g c o n t o u r l e t s c o n t o u r l e tc a np r e s e n te d g e sa n dt e x t u r eo fi m a g e sm o r ee f f e c t i v e l yt h a n w a v e l e tt r a n s f o r m c o n t o u r l e tt r a n s f o r ma n di t sa p p l i c a t i o nt oi m a g ed e - n o i s i n ga n di m a g ef u s i o na t e s y s t e m i c a l l ys t u d i e di nt h i sp a p e r i n c l u d i n g ： 1 n l et h e o r y , i m p l e m e n t a t i o no f2 - ds e p a r a b l ew a v e l e ta n di t sa p p l i c a t i o no n i m a g ep r o c e s s i n g w a sp a r t i c u l a r l ys t u d i e d n l ec o n t o u r l e tt r a n s f o r m st h e o r ya n d i m p l e m e n t a t i o nw a sp a r t i c u l a rs t u d i e d w es h o wt h ec o n t o u r l e t s e x c e e d i n gt ot h e w a v e l e t st h r o u g hs o m ee x p e r i m e n t s 2 t h et h e o r yo fi m a g ed e n o i s i n gb yt h r e s h o l d i n gb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m t h es e l e c t i o no ft h r e s h o l d i n gf u n c t i o na n dt h et h r e s h o l dw a sp a r t i c u l a rs t u d i e d a m e t h o df o ri m a g ed e - n o i s i n gb a s e do nt h ec o n t o u r i e tt r a n s f o r mw a sp r o p o s e dt a k i n g a d v a n t a g eo f t h ec o n t o u r l e t s g o o dd i r e c t i o n a l i t ya n da n i s o t r o p y 3 t h et h e o r yo fm u l t i - r e s o l u t i o ni m a g ef u s i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma n d t h ed e s i g no ft h ef u s i o nr u l ei sp a r t i c u l a rs t u d i e d am e t h o do fm u l t i r e s o l u t i o ni m a g e f u s i o nu s i n gt h ew a v e l e t - b a s e dc o n t o u r l e tt r a n s f o r mw a sp r o p o s e dt a k i n ga d v a n t a g e o ft h e c o n t o u r l e t s g o o dd i r e c t i o n a l i t y a n d a n i s o t r o p y a n dw a v e l e t s g o o d d e c o r r e l a t i o n 4 d u et ot h ed o w n s a m p l i n gc o n t o u r l e tt r a n s f o r ma n dw a v e l e tb a s e dc o n t o u r l e t t r a n s f o r mw a ss h i f tv a r i a n c e i nm ys t u d y , c y c l es p i n n i n ga n dr e c u r s i v ec y c l e s p i n n i n gw a si n t r o d u c e dt os u p p r e s st h ea r t i f a c t sd u et ot h es h i f tv a r i a n c eo ft h e t r a n s f o r m e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o dc a nn o t a b l yi m p r o v et h ev i s u a l e f f e c t ，a n dr e t a i nt h ei m a g e sd e t a i l sa n dt e x t u r e t 丌 安徽大学硕士学位论文c o n t o u r l e t 变换及其在图像处理中的应用研究 k e yw o r d s ：c o n t o u r l e tt r a n s f o r m ，w a v e l e tt r a n s f o r m , i m a g ed e - n o i s i n g ，i m a g e f u s i o n , c y c l es p i = n n i n g 安徽大学硕士学位论文c o n t o u r l o t 变换及其在图像处理中的应用研究 插图清单 图2 1 空间关系示意图9 图2 2b a r b a r a 图像的小波系数1 l 图2 3 不同基结构对曲线的表示1 3 图3 1c o n t o u r l e t 变换1 8 图3 2b a r b a r a 图像经过c o n t o u r l e t 变换后的各方向子带1 8 图3 3l p 变换1 9 图3 4 扇形滤波器的设计原理2 0 图3 5q u i n c u n x 滤波器组2 1 图3 6 方向分解2 2 图3 7 d f b 的前2 级一2 3 图3 8 小波c o n t o u r l e t 变换2 4 图3 9b a r b a r a 图像经过小波c o n t o u r l e t 变换后的各方向子带2 4 图3 1 0 利用m 个最重要系数进行c a m e r a m a n 图像逼近对比2 5 图3 1 14 0 9 6 个最重要系数重建小波对比2 6 图4 1 小波阈值去噪。3 l 图4 2 阈值处理函数3 2 图4 3 噪声口= 3 5 的b a r b a r a 图像去噪后局部结果4 0 图5 1 小波图像融合4 3 图5 2 融合规则示意图4 5 图5 3 用不同方法得到的融合结果( p e p s i ) 5 2 图5 4 用不同方法得到的融合结果( d i s k ) 5 4 v 安徽大学硕士学位论文 插图清单 f i g 2 1 f i g 2 2 f i g 2 3 f i g 3 1 f i g 3 2 f i g 3 3 f i g 3 4 f i g 3 5 f i g 3 6 f i g 3 7 f i g 3 8 f i g 3 9 f i 昏3 1 0 f i g 3 1 i f i g 4 1 f i g 4 2 f i g 4 3 f i g 5 1 f i g 5 2 f i g 5 3 r i g 5 4 i l l u s t r a t i o nl i s t s k e t c h m a p o f s p a c er e l a t i o n 9 t h e w a v l e tc o e f f i c i e n t o f i m a g e b a r b a r a 1 1 c u r v er e p r e s e n t i n g u s i n g d i f f e r e n t b a s i s 1 3 c o n t o u r l e t t r a n s f o r m 1 8 t h ec o n t o u r l c tt r a n s f o r mo f t h eb a r b a r ai m a g e 18 l pt r a n s f o r m 1 9 t h e p r i n c i p l eo f f a nf i l t e r 2 0 q u m c u n x f i l t e r b a n k s 。2 1 d i r e c t i o n a ld e c o m p o s i n g 2 2 t h ef i r s t t w os t a g eo f d f b 。2 3 w a v e l e t b a s e d c o n t o u r l c t t r a n s f o r m 2 4 t h e w a v e l e t b a s e dc o n t o u r l e t t r a n s f o r m o f t h e b a r b a r a i m a g e 2 4 c o n t r a s to fa p p r o x i m a t i o n sa b i l i t yo ft h ec a n l e r a l t l a ni m a g eu s i n gm m o s ts i g n i f i c a n t c o e f f i c i e n t s 2 5 c o n t r a s to fa p p r o x i m a t i o n sa b i l i t yo ft h ew a v e l e tc o n t o u r l e ta n dw b c t t r a n s f o r mu s i n g4 0 9 6m o s ts i g n i f i c a n tc o e f f i c i e n t s 2 6 w a v e l e ts h r i n k i n gd e n o i s i n g 3 1 t h r e s h o l d i n go p e r a t o r 3 2 c o n t r a s t o f t h e l o c a lr e s u l t o f d e n o i s e d i m a g e 4 0 w a v e l e t i m a g e f u s i o n 4 3 f u s i o no p e r a t o r 4 5 r e s u l to f d i f f e r e n tf u s i o n m e t h o d ( p e p s i ) 5 1 r e s u l t o f d i f f e r e n t f u s i o n m e t h o d ( d i s k ) 5 3 v i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安徽大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：沆欲 签字日期：年3 - 月9 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安徽大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权安徽大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：治敏导师签名： 强妣 签字日期州年f 月7 日签字日期洲年r 月7 日 学位论文作者毕业去向 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 安徽大学硕士学位论文 c o n w u r l e t 变换及其在图像处理中的应用研究 第一章引言 1 1 选题背景及研究目的 视觉信息的高效表示是图像处理中最重要的任务，例如：图像压缩、图像 滤波、特征提取等。将感兴趣区域内的重要信息进行稀疏表示的能力是衡量图 像表示方法的重要标准。对于图像压缩与基于内容的图像检索，表示方法的效 率直接意味着压缩文件的紧密性与数据库中每幅图像的索引。在实际应用中， 表示方法还必须有快速并且有效的算法。 对于一维分段光滑信号，小波变换是最合适的工具，因为在某种意义上， 小波能为一维分段光滑信号提供最优表示，并且小波变换拥有方便的树状分解 快速算法，这些都是小波变换在许多信号处理中成功的重要原因。 然而，自然图像并不同于一维分段光滑信号，它的不连续点( 比如边缘) 是沿着曲线( 比如轮廓线) 进行排列的。二维可分离小波变换能有效地捕获这 些不连续的边缘点，但是却不能有效地表示出这些点之间的排列关系。在二维 图像中，方向信息是非常重要的特征，但是二维可分离小波变换只拥有有限的 方向表示，不能很好地表示图像中的方向信息。这些缺点都表明小波变换并不 是最适合图像处理稀疏表示方法。 c o n t o u r l e t 1 - 3 1 变换是2 0 0 2 年d o m n 和v e t c e r l i m 提出的一种“真正”二维 图像表示方法，这种方法可以很好地抓住图像的几何结构。c o m o u r l e t 变换是由 塔形方向滤波器组( p d f b ) 把图像分解成各个尺度上的带通方向子带，它由两 级实现：子带分解和方向变换。首先，用l p 4 - s ( l a p l a c i a np y r a m i d ) 变换对图 像进行多尺度分解以“捕获”奇异点，然后由方向滤波器组【6 ( d f b ) 将分布 在同方向上的奇异点合成为一个系数。方向滤波器组是能把图像分解为2 的任 意次幂个方向的临界抽样滤波器组。c o n t o u r l e t 变换提供了一种灵活的多尺度、 局部的、方向性的分析方法。它是一种二维分段光滑信号的稀疏表示方法。 鉴于此，本文对c o n t o u r l e t 变换的原理与实现及其在图像处理中的相关应 安徽大学硕士学位论文第一章引言 用进行了研究，目的是希望探索出新的、更好的基于c o n t o u r l e t 变换的图像处 理算法。 1 2 相关研究内容 图像去噪 现实中的图像在采集、转换和传输中，常常受到成像设备与外部环境噪声 干扰等影响，产生降质，大多数的现实图像都是带噪图像，图像噪声对图像分 析、图像压缩的影响很大，因此图像去噪是图像预处理阶段最重要的任务之一。 图像去噪的常用方法有空域和频域两类方法。空域方法主要采用各种平滑 函数对图像进行卷积处理，以达到去除噪声的目的，如邻域平均、中值滤波、 几何滤波、s i g m a 滤波，g r a d i e n t i n v e r s e 滤波等都属于这一类方法。还有对 s p e c k l e 统计的基础上的l e e 滤波、k u a n 滤波等。频域方法主要是根据图像噪 声频率范围，选取适当的频域低通滤波器进行滤波处理，如采用理想低通滤波 器、巴特沃斯低通滤波器、指数低通滤波器进行滤波处理。但是实际应用中信 号和噪声谱是重叠的，因为图像的细节对应的频率成分也分布在高频区域，而 有些噪声是均匀分布于整个频带上，如高斯噪声，所以，频率域图像去噪中的 问题是如何在去除噪声的同时尽可能保留细节。传统的低通滤波方法将图像的 高频滤除，虽然能够达到降低噪声的效果，但也破坏了图像细节。 1 9 9 2 年，d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出了小波阈值萎缩方法( w a v e l e ts h r i n k a g e ) 7 i ，同时还给出了小波萎缩阈值五= 盯2 l n ，并从渐近意义上证明了它的最优 性。但是d o n o h o 和j o h n s t o n e 给出的阈值有严重的“过扼杀”小波系数的倾向， 因此人们纷纷对阈值的选择进行了研究，并提出了多种不同阈值确定方法【8 d 叭。 但是由一维小波通过张量积而形成的二维可分离小波变换( s e p a r a b l ew a v e l e t ) 只具有有限个方向，不能“最优”地表示含线或者面奇异的二维图像。近年来 针对小波变换这种缺陷，各种高维多分辨率分析不断被提出0 1 - 3 , 1 1 - 15 ，各种去噪 方法不断被提出1 击18 1 。 本文提出了一种基于c o n t o u r l e t 变换的图像去噪算法，运用c o n t o u r l e t 变换 2 安徽大学硕士学位论文c o n t o u r l o t 变换及其在图像处理中的应用研究 良好的方向性和各向异性进行变换域阈值去噪，由于c o n t o u r l e t 变换缺乏平移 不变性，直接进行c o n t o u r l e t 系数阈值去噪会产生伪吉布斯现象( 导致图像失 真) 。本文引入递归c y c l es p i n n i n g 来有效地抑制这种图像失真。实验结果显示， 与小波递归c y c l es p i n n i n g 图像去噪方法相比，该方法明显改善了图像视觉效 果，显著提高了图像的p s n r 值。 多聚焦图像融合 图像融合是指对经过利用不同传感器得到的同一目标图像进行一定的处 理，形成一幅满足特定需求的图像的技术，从而提高对图像信息分析和提取的 能力。图像融合技术在医学、遥感、计算机视觉、目标识别等领域有着广阔的 应用前景。 本文的图像融合的实现算法是在图像的像素级上实现的，所以这里只介绍 像素级图像融合技术的典型算法，像素级图像融合的算法大致可分为二类：基 于数学，统计学的算法，如加权平均、比值变换、主分量分析( p c a ) 1 1 9 高通 滤波等；基于多分辨率分析的算法阻纠，如基于金字塔式分解算法，基于小 波变换【2 5 2 7 1 算法。就各种算法实际效果来看，加权平均的融合算法会降低图像 的对比度；主分量分析算法要求被替换的和替换的数据之间有较强的相关性， 通常情况下，这种条件并不成立；而多分辨率分析算法是当前比较流行的融合 算法，也是在图像融合的效果和性能上较好的，因此多分辨率分析方法是目前 图像融合处理中的研究热点之一。具有多分辨率分析特征的小波变换方法之所 以能在图像融合领域得到如此广泛地应用，主要是因为具有如下特性：其精确 重构能力保证图像分解过程中没有信息损失；能够把图像分解到不同尺度上， 便于分析源图像的近似信息和细节信息；小波分解过程与人类视觉系统分层次 理解的特点非常类似。 由于小波在方向性和各向异性上存在缺陷，近年来，各种基于高维多分辨 率分析图像融合算法【2 8 之9 1 不断被提出。 本文提出了一种基于小波c o n t o u r l e t 变换的多聚焦图像融合算法，利用小 波c o n t o u r l e t 变换良好的方向性和各向异性特征进行图像融合，并引入c y c l e s p i n n i n g 改善小波- c o n t o u r l e t 变换的平移不变性。对比实验结果表明，与其他 安徽大学硕士学位论文第一章引言 多聚焦图像融合算法相比，该方法算法显著减小了融合图像的r m s e 值，明显 提高了融合图像的视觉效果。 1 3 论文组织结构 c o n t o u r l e t 变换拥有比小波变换更好的方向性与各向异性，更适合应用在图 像处理的各种算法中。为此，本文对c o n t o u r l e t 变换及其在图像处理中的应用 进行了研究，主要包括：( 1 ) c o n t o u r l e t 变换和小波c o n t o u r l e t 变换的基本原理； ( 2 ) 基于c o n t o u r l e t 变换的图像去噪算法；( 3 ) 基于小波c o n t o u r l e t 变换的多 聚焦图像融合算法。本文的组织结构如下： 第一章：简要介绍了论文的选题背景及研究目的，对相关研究一图像去噪与图 像融合进行了分析，最后对论文的研究内容与组织结构进行了说明。 第二章：详细叙述小波变换的原理及实现算法，以及小波变换在图像处理中应 用的成功与不足；简要介绍了几种就小波的不足之处而提出的变换。 第三章：详细介绍c o n t o u r l e t 变换与小波c o n t o u r l e t 变换的原理及实现算法， 并通过相关实验直观显示它们的优越性。 第四章：较为深入地研究了c o n t o u r l e t 变换在图像去噪中的应用，介绍了一种 基于c o n t o u r l e t 变换与递归c y c l es p i n n i n g 3 0 - 3 h 的图像去噪算法。由于 c s n t o u r l e t 变换缺乏平移不变性，直接进行c o n t o u r l e t 系数阈值去噪会 产生伪吉布斯现象( 导致图像失真) 。为此，引入递归c y c l es p i n n i n g 来有效地消除这种由于c o n t o u r l e t 变换缺乏平移不变性而产生的图像 失真。实验结果显示，与小波递归c y c l es p i n n i n g 图像去噪方法相比， 该方法明显改善了图像视觉效果，显著提高了图像的p s n r 值。 第五章：较为深入地研究y d , 波c o n t o u r l e t 3 2 。3 1 变换在图像融合中的应用，介绍 了一种基于小波c o n t o u r l e t 变换的图像融合算法，利用小波c o n t o u r l e t 变换良好的多尺度性和多方向特征进行图像融合，并引入c y c l e s p i n n i n g 改善小波c o n t o u r l e t 变换的平移不变性。实验结果表明，与其 他用于多聚焦图像融合的算法相比，该方法算法显著减小了融合图像 4 安徽大学硕士学位论文c o n t o u r l e t 变换及其在图像处理中的应用研究 的r m s e 值，明显提高了融合图像的视觉效果。 第六章：对本文的工作进行了总结，并对今后的工作进行了展望。 安徽大学硕士学位论文第二章从小波变换到x - i d 第二章从小波变换到x - l e t 在变换域图像处理中，变换对图像的表示效率是影响图像处理效果的最重 要的因素。近二十年，小波以其时频局部性与多分辨率性在图像处理中取得了 广泛的应用，并取得了很大的成功。但是小波基缺乏方向性，不能很好地表示 图像中的曲线奇异，在图像表示效率上不是最优的。针对小波变换的缺点，各 种高维多分辨率分析不断被提出。 本章中，详细叙述了小波分析的原理及实现算法，分析了小波分析在信号 处理中的成功与不足，并介绍了几种就小波的不足之处而提出的变换。 2 1小波变换 小波分析是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定不变但其形状可改变，时间 窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率 分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率，所以被誉为“数学显微镜”。正是这种特性，使小波变换具有对信号 的自适应性。 小波分析由于具有良好的时频局部化性能，已经在信号分析、图像处理、 语音合成、故障诊断、地质勘探等领域取得一系列重要应用。其多分辨率分析 不仅应用于数字信号处理和分析、信号检测和噪声抑制，而且各种快速有效的 算法也大大促进了小波分析在实际系统中的应用，使得小波及相关技术在通信 领域中的应用也得到了广泛的研究，己逐步用于通信系统中的信号波形设计、 扩频特征波形设计、多载波传输系统等。 设y ( f ) r ( r ) ( r ) 表示平方可积空间，即能量有限信号空间) ，其傅 立叶变换为甲( ) ，当甲( ) 满足允许条件 q = 晔 ( 2 1 ) 安徽大学硕士学位论文c o n t o u r l n 变换及其在图像处理中的应用研究 称矿( r ) 为小波母函数。将母函数y ( f ) 经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序 列。 对于连续的情况，小波序列为 圳2 丽1y ( 等 咄删包2 ， 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于离散的情况，小波序列为 甲”( f ) = 2 叫2 甲( 2 t k ) j , k z ( 2 3 ) 对于任意的函数，( r ) r ( r ) 的连续小波变换为 其逆变换为 啪，6 ) = ( 肌，a ) 埘i1 ” 矿呼卜 眨4 ， 巾) = 专了吉如! 嘶，6 ) 老少( 等) 动 s ， 由连续小波变换的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分 变换。同傅立叶变换相似，我们称町( 口，b ) 为小波变换系数。由于小波基不同 于傅立叶基，因此小波变换与傅立叶变换有许多不同之处，其中最重要的是， 小波基具有尺度口，平移b 两个参数，因此，将函数在小波基下展开，就意味 着将一个时间函数投影到二维的时间尺度相平面上。并且，由于小波基本身 所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的本质特征。从 时频分析的角度来看，小波变换具有如下特点： 小波变换可看为一个s t f t ，任意函数在某一尺度日，平移b 上的小波系数， 实质上表征的是在6 位置处，时间段口f 上包含在中心频率为盟、带宽为垒竺频 口口 窗内的频率分量大小。随着尺度口的变化，对应窗口的中心频率羔笪及窗口宽度 7 安徽大学硕士学位论文第二章从小波变换到x - l c t 垒竺也发生变化。而s t f t 的窗口是固定不变的( 即不随的变化而变化) 。 口 因此，与s t f t 本质不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法。 当分析低频( 对应大尺度) 信号时，其时间窗很大，而当分析高频( 对应小尺 度) 信号时，其时间窗减小。这恰恰符合实际问题中高频信号持续时间短，低 频信号持续时间较长的自然规律。因此，同固定时窗的s t f t 相比，小波变换 在时频分析领域具有不可比拟的优点，因而，目前正被广泛地应用于时频联合 分析及目标辨识领域。 2 2离散小波变换与多分辨率几何分析 2 2 i 多分辨率分析 多分辨率分析是在r ( r ) 函数空间内，将函数，描述为一系列近似函数的 极限。每一个近似都是函数的平滑版本，而且具有越来越精细的近似函数。这 些近似都是在不同分辨率上得到的，多分辨率分析由此得名。 严格地说，多分辨率分析的思想是： ( 1 ) 一致单调性：e ( r ) 内一系列嵌套子空间巧，j z ， k ( 2 2 kc v oc c ( 2 6 ) ( 2 ) 渐近完全性：i 。v ，= o ) ，望巧= p ( r ) ( 2 7 ) 2* 2 ( 3 ) 伸缩规则性：，( f ) 巧，( 2 t ) z o ( 2 8 ) ( 4 ) 平移不变性：厂( r ) j f ( t - n ) r o ，对所有h z ( 2 9 ) ( 5 ) 正交基存在性：存在妒，使得 妒( f 一栉) ) 。是的正交基，即 = s p a n g j ( t - n ) ，伽一n 厮鬲勋= 瓯， ( 2 1 0 ) r 安徽大学硕士学位论文 c o n t o u r l e t 变换及其在图像处理中的应用研究 2 2 2 小波函数与小波空间 由上述分析司知，多分辨翠分析的一系列尺度至lb j 是由同一尺度函数征小 同尺度下张成的，也即一个多分辨率分析 巧k ：对应一个尺度函数a 虽然有 。v v , = r ( r ) ，但是由式( 2 6 ) 知， 巧) 脚空间相互包含，不具有正交性。因 此它们的基力 ( f ) = 2 1 ( 2 一卜| i ) 在不同尺度空间不具有正交性，也即 谚，( r ) ) 。：不能作为r ( r ) 空间的正交基。 为了寻找一组r ( r ) 空间的正交基，定义尺度空间 巧) 。的补空间如下： 设既为圪在圪一，中的补空间( 如图2 1 ) ，即 。= 圪0 ，上 ( a ) 闭子空间 巧 懈相互包含关系 ( b ) 小波空间示意图 ( 2 1 1 ) 图2 1空间关系示意图 f i g 2 1s k e t c hm a po f s p a c er e l a t i o n 显然，任意子空间与是相互正交的，由式( 2 6 ) 与( 2 7 ) 知： r ( r ) 2 j 。e z 矽j ( 2 1 2 ) 因此， ) 脚构成了r ( r ) 的一系列正交子空间。并且有： = k 0 彤= k o o 彤= = 0 0 0 0 彤 ( 2 1 3 ) 9 澎澎 安徽大学硕士学位论文第二章从小波交换到x 1 吐 若令乃巧代表函数，r ( r ) 在分辨率为2 一。的逼近( 即函数厂的低频部 分) ，而嘭代表逼近的误差( 即函数，的高频部分或“细节”部分) ，则 有： 五= 石+ d ：= 五+ 蟊+ d ：= = 厶+ 如+ + 吐+ 吐 ( 2 1 4 ) 令f = f o ，上式可缩写为： 厂= 厶+ d ( 2 1 5 ) 由式( 2 1 7 ) 可得，任何函数，r ( 胄) 都可以根据分辨率为2 “时，的低频部分 和分辨率为2 一( 1 ，n ) 时厂的高频部分完全重构，这正是m a l l a t 塔式重构思想 1 3 4 。 2 2 3 图像的二维小波变换 由于图像是一种二维信号，上述的一维小波基是无法处理图像的，构造二 维小波基最常用的方法是张量积的方法。 设在r ( r ) 中已给定一个多分辨率分析： 0 ) k e 1 r ( 胄) ( 2 1 6 ) 及相应的尺度函数( 工) ，定义，尺度下的二维尺度空间彤为 学。巧。巧= g ( x ) ，( y ) ) 吲；附( ，m j e z ( 2 1 7 ) 其中固表示空间相乘，则 吃，( x ) 力，( y ) 。：是彬的标准正交基。 謦。= 巧一，o 巧一。= ( 巧o ) o ( 巧。) = ( 巧圆巧) 。( 。巧) 。( 巧o ) 。( 。) ( 2 1 8 ) = 蜘哟。唠。哟 ! 0 安徽大学硕士学位论文 c o n t o u r l o t 变换及其在图像处理中的应用研究 其中叻= o 巧，磅= 巧。髟，彬= o 分别称为二维小波空间。图2 2 给出t b a r b a r a 图像经过二级小波变换后的各个子带。 2 3x 1 e t 图2 2 b a r b a r a 图像的小波系数 f i g 2 2 t h ew a v l c tc o e f f i c i e n to f i m a g eb a r b a r a 2 3 1小波变换在图像处理中的缺陷 对于一维分段连续信号，小波变换能够很好地进行分析，因为小波在某种 意上能够最优地表示这种信号。所以小波变换被广泛地应用于各种信号处理中。 遗憾的是，小波分析在一维信号时所具有的优异特性并不能简单地推广到 二维或更高维。由一维小波张成的可分离小波基只具有有限的方向，不能“最 优”地表示含有线或面奇异的高维函数。而事实上具有线或面奇异的函数在高 维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体 现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。 安徽大学硕士学位论文 第二章从小波变换到x - l e t 据生理学家对人类视觉系统的研究结果和自然图像统计模型，一种“最优” 的图像表示法应该具有如下的特征【3 5 】： ( 1 ) 多分辨率：能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即“带 通”性： ( 2 ) 局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的； ( 3 ) 方向性：它的“基”应该具有“方向”性，不仅仅局限于二维可分 离小波基的3 个方向。 图2 3 ( a ) 表示了用二维可分离小波来逼近图像中奇异曲线的过程。由一 维小波张成的二维小波基的支撑区间是正方形的，在不同的分辨率下，它的支 撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线，最终表现为用“点” 来逼近线的过程。当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现 了大量不可忽略的系数，最终表现为不能“稀疏”地表示原函数。图2 3 ( b ) 所示的为某种我们所希望的变换，这种交换为了能充分利用原函数的几何正则 性，基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲 线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称这种基具 有“各向异性( a n i s o t r o p y ) ”。我们所希望的这种变换，就是所谓的“x - l e t ” 思想川。 ( a ) 小波对曲线的表示( b ) x - l e t 对曲线的表示 图2 3不同基结构对曲线的表示 f i g 2 3c u r v er e p r e s e n t i n gu s i n gd i f f e r e n tb a s i s 1 2 安徽大学硕士学位论文 c o n t o u r l e t 变换及其在图像处理中的应用研究 2 3 2x - l e t 图像的x - l e t 分析方法分为自适应和非自适应两类。自适应的方法以p e n n e c 和m a l l a t 提出的b a n d e l e tr e p r e s e n t a t i o n 3 7 1 为代表。自适应方法一般先进行边缘 检测，再利用边缘信息对原函数进行表示。 在x - l e t 分析的概念诞生以前，人们发展了多种“自适应”方法希望对图像 进行“稀疏”表示。1 9 8 8 年，c a r l s s o n s 提出了一种基于边缘的图像表示方法【弼1 ， 这种方法先检测图像边缘，再利用边缘信息通过计算边缘与边缘间的图像灰度 值来逼近原图像。基于类似的思想，人们提出了许多其他的方法，它们使用不 同的边缘检测算法，再利用阶跃模型沿着边缘去逼近原图像。在这些模型的基 础上，人们又提出了基于小波模极大值p 9 】的多尺度边缘表示方法和边缘自适应 方法。同时，还发展了基于非完备正交基的表示方法，如f o v e a l 小波和w a v e l e t f o o t p r i n t d o ，用来逼近图像中的主要边缘。 2 0 0 0 年p e r m e c 和m a l l a t 提出了b a n d e l e t 变换。b a n d e l e t 变换是一种基于边 缘的图像表示方法，能自适应地跟踪图像的几何正则方向。p e n n e c 和m a l l a t 认 为：在图像处理任务中，若是能够预先知道图像的几何正则性，并充分予以利 用，无疑会提高图像变换方法的逼近性能。p e n n e c 和m a