（声学专业论文）夹心式纵弯振动换能器特性研究及有限元仿真.pdf

夹心式纵弯振动换能器特性研究及有限元仿真 原林 摘要：关于超声换能器多模态耦合振动的研究，一直是声学领域里的热门话 题。因为耦合振动既是换能器设计中影响其输出性能的负面因素，又是实现一些 特殊要求换能器的方法之一。现阶段，对于单体的多种振动模态的相互耦合，很 多学者做了大量的研究，如圆棒的纵径勰合，纵弯耦合，大尺寸振动体的多维藕 合等等。本文的目的是对多体的两种振动模态的耦合进行研究，分析其耦合后的 振动特性。 本文主要是利用纵振换能器前端加载一薄圆盘，通过纵振激励圆盘的弯振， 来实现纵弯振动换能器的设计。 ( 1 ) 首先利用薄板弯曲振动理论，对圆盘弯曲振动频率方程进行推导，计算 了材料为铝时的各阶频率根值r n ，再利用频率方程计算给定尺寸圆盘弯曲振动的 各阶频率。发现各阶频率间距很大，尤其是高阶间距达到上百千赫兹。接着推导 出其等效质量，和单阶共振时的等效弹性常数，画出等效电路图。 ( 2 ) 然后再对纵振换能器加以分析，利用等效电路法设计出与圆盘弯振基频 相同的纵振换能器，并利用频率方程计算其高阶振动频率。发现各阶振动频率间 距很大。 ( 3 ) 利用夹心式换能器的设计理论，将纵振换能器与薄圆盘作为整体进行分 析，做出复合换能器的等效电路图，推导圆盘弯振的等效弹性常数的通式，进而 得到复合换能器的共振频率方程。按照前面给定的换能器尺寸，利用计算机计算 出了其各阶共振频率。并与前面的单独振动体的频率间距作以比较，发现通过两 种振动模态的耦合，大大拉近了各阶振动频率峰值的间距。利用a n s y s 模拟实验 进行了验证。 ( 4 ) 简单介绍了利用a n s y s 模拟设计换能器的方法，对换能器前端辐射圆 板进行尺寸优化，多组仿真数据表明加大圆盘的半径或减小圆盘的厚度，可进一 步拉近基频与高阶振动频率的问距。 通过以上研究分析，说明纵弯振动的耦合可拉近基频与高阶共振频率的距离， 再对辐射头的尺寸进行优化，即可得到频率间距合适的多频振动，甚至有可能实 现频带的拓宽。希望本文能够对多频乃至宽频换能器的设计理论有所帮助。 关键词：圆盘弯曲振动耦合振动共振频率等效电路 c h a r a c t e r i s t i c so fs a n d w i c h l o n g i t u d i n a l - f l e x u r a lv i b r a t i n g t r a n s d u c e r sa n di t sf i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s y h a n l i n a b s t r a c t ：m u l t i m o d ec o u p l e dv i b r a t i o nr e s e a r c ho fu l t r a s o n i ct r a n s d u c e rh a s b e c o m eah o tt o p i ci nr e c e n ty e a r s b e c a u s ec o u p l e dv i b r a t i o nh a sb o t hd i s a d v a n t a g e si n t r a n s d u c e ro u t p u tc h a r a c t e r i s t i c sa n da d v a n t a g e si nt r a n s d u c e rd e s i g n a t i o n r e c e n t l y , m a n yp e o p l eh a v ed o n eal o to fw o r ko nm u l t i m o d ec o u p l e dv i b r a t i o nr e s e a r c h ，s u c ha s l o n g i t u d i n a l r a d i a lc o u p l i n g a n dl o n g i t u d i n a l - f l e x u r a l c o u p l i n g o fc y l i n d e ra n d m u l t i d i m e n s i o n a lc o u p l e dv i b r a t i o no fb i gs i z ep e n d u l u m t h ea u t h o rh a sd o n es t u d i e s o nt w ok i n d so fv i b r a t i o nc o u p l i n go fm u t i - p e n d u l u ma n da n a l y z e d i t sv i b r a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s t h ea u t h o rl o a d e dat h i nd i s ko nt h ef r o n to fl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nt r a n s d u c e r l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nm a d et h ed i s kf l e x u r a lv i b r a t e t h e nt h el o n g i t u d i n a l - f l e x u r a l c o u p l i n gv i b r a t i o nt r a n s d u c e rh a sb e e nd e s i g n e d ( 1 ) a tf h s t ，t h ef r e q u e n c ye q u a t i o no fd i s k sf l e x u r a lv i b r a t i o nw a sd e d u c e du n d e r t h et h e o r yo ft h i nb o a r d sf l e x u r a lv i b r a t i o n r nh a sb e e nc a l c u l a t e dw h e nt h em a t e r i a li s a l u m i n u m t h e nu s i n gf r e q u e n c ye q u a t i o n ，t h ea u t h o rc a l c u l a t e dv a r i o u sf r e q u e n c i e so f l o n g i t u d i n a l f l e x u r a lv i b r a t i o nd i s kw h i c hh a sc e r t a i ns i z e t h er e s u l ts h o w st h a tt h e f r e q u e n c i e so fv a r i o u ss t a g e sa r eq u i t ed i f f e r e n t i nt h i sr e s e a r c h ，e q u i v a l e n tm a s sa n d e q u i v a l e n te l a s t i cc o n s t a n tw e r cd e d u c e d ，a n dt h ee q u i v a l e n tc i r c u i td i a g r a mw a sd r a w n a s w e l l ( 2 ) l o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nt r a n s d u c e rw a sa n a l y z e d u s i n gt h ee q u i v a l e n td i a g r a m ， t h ea u t h o rd e s i g n e dl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nt r a n s d u c e rw h i c hh a dt h es a m ef r e q u e n c ya s t h ef u n d a m e n t a lf r e q u e n c yo fd i s k sf l e x u r a lv i b r a t i o n t h eh i g hs t a g e s f r e q u e n c i e s w e r ea l s oc a l c u l a t e du n d e rf r e q u e n c ye q u a t i o n t h er e s u l ts h o w st h a tv a r i o u s f r e q u e n c i e sh a v ev e r yl a r g ed i f f e r e n c e s ( 3 ) u s i n gt h et h e o r yo fs a n d w i c ht r a n s d u c e lt h ea u t h o ra n a l y z e dt h ec o m b i n a t i o n c o u p l i n gv i b r a t i o no fl o n g i t u d i n a lv i b r a t i o nt r a n s d u c e ra n dt h i nd i s k t h ee q u i v a l e n t c i r c u i td i a g r a mo ft h i sc o u p l e dt r a n s d u c e rw a sd r a w n t h ee q u i v a l e n te l a s t i cc o n s t a n t w a sd e d u c e da n dt h e nt h er e s o n a n tf r e q u e n c ye q u a t i o no fc o u p l e dt r a n s d u c e rw a s d e d u c e d r e s o n a n tf r e q u e n c i e so ft h et r a n s d u c c rw h i c hh a st h em e n t i o n e ds i z ew e r e c a l c u l a t e db yc o m p u t e r t h i sr e s o n a n tf r e q u e n c i e s d i f f e r e n c ew a sc o m p a r e dw i t ht h a to f s i n g l ep e n d u l u m t h er e s u l ts h o w st h a tt h ef r e q u e n c i e sd i f f e r e n c e so ft h i st r a n s d u c e r a r e m u c hl e s s ( 4 ) t h et h e s i si n t r o d u c e dt r a n s d u c e ri m i t a t i o nd e s i g n a t i o nb ya n s y s w h e nt h e r a d i u mo ft h ef r o n td i s kw a se n l a r g e do rt h et h i c k n e s so ft h ed i s kw a sr e d u c e d ，t h e s i m u l a t e dd a t as h o w st h a tt h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nf u n d a m e n t a lf r e q u e n c ya n dh i g h s t a g ef r e q u e n c i e sw e r ef u r t h e rr e d u c e d t h er e s u l ts h o w st h a tl o n g i t u d i n a l f l e x u r a lc o u p l e dv i b r a t i o nc a nd i m i n i s ht h e d i f f e r e n c e sb e t w e e nf u n d a m e n t a lf r e q u e n c ya n dh i g l ls t a g ef r e q u e n c i e s w h e nt h es i z e o fr a d i a t i o nh e a di sc h a n g e d ，m u l t i f r e q u e n c yc a l lb er e a l i z e da n dt h eb a n d w i d t hm a y e v e nb ee n l a r g e d t h ea u t h o rh o p e st h i st h e s i sm a yh a v es o m eh e t pt ot h ed e s i g n a t i o no f m u l t i f r e q u e n c yo rb r o a d b a n dt r a n s d u c e l k e yw o r d s ： f l e x u r a lv i b r a t i o n so fd i s k c o u p l e dv i b r a t i o n r e s o n a n c ef r e q u e n c y e q u i v a l e n tc i r c u i t i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期： 学位论文使用授权声明 5 ， 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名： 日期：巡厂 第一章绪论 1 1 夹心式压电陶瓷超声换能器简介 在功率超声领域，压电陶瓷换能器得到了最为广泛的应用。与超声检测以及 医学超声等其他应用中的超声换能器不同，功率超声换能器大部分工作在低频超 声范围，对换能器的功率、效率以及振动位移的要求较高，而对于其他性能参数， 如灵敏度、指向性以及分辨率等参数则要求不是很严格。 根据压电陶瓷振子的振动模式分析，压电陶瓷圆片或圆环振子的纵向和厚度 振动模式的机电耦合系数比较高，因此为了得到比较高的电声转换效率，在功率超 声领域，压电陶瓷换能器的换能元件基本上采用轴向极化的压电陶瓷圆片或圆环。 但是对于纯粹的压电陶瓷元件来说，要得到共振频率在5 0 k h z 以下的振子，沿其极 化方向的厚度应为4 c m 以上这样厚的振子，内部阻抗太高，而且烧成和极化工艺较 困难为了克服这一困难，在大功率超声和水声领域，常采用一种在压电陶瓷圆片 的两端面夹以金属块而组成的夹心式压电陶瓷换能器，或称复合压电陶瓷换能器， 见图卜1 所示由于这种结构的换能器是由法国物理学家郎之万提出来的，因此有 时也称为郎之万换能器。在这种复合换能器中，压电陶瓷圆片的极化方向与振子的 厚度方向一致，压电陶瓷圆片或圆环通过高强度胶或应力螺栓与两端的金属块连 接在一起，整个振予的厚度等于基波的半波长这种换能器结构的优点在于既利用 了压电陶瓷振子的纵向效应，又得到了较低的共振频率。另一方面，由于压电陶瓷 本身的特点，即抗张强度差，在大功率工作状态下容易发生破裂，通过采用金属块 以及预应力螺栓给压电陶瓷圆片施加预应力，使压电陶瓷圆片在强烈的振动时始 终处于压缩状态，从而避免了压电陶瓷片的破裂。 图i - i 夹心式压电陶瓷换能器结构示意图 由于压电陶瓷属于一种绝缘性材料，因此其导热性能很差，在大功率状态下极 易发热，从而造成能量的转换效率下降”。在夹心式压电陶瓷换能器中，由于使用了 金属前后盖板，换能器的导热性能会得到很大的改善。只要金属材料与压电陶瓷的 材料的厚度以及横向尺寸选择适当，压电陶瓷材料弹性常数的温度系数可以由金 属材料弹性常数的温度系数加以补偿，因此夹心式压电陶瓷换能器的频率温度系 数可以做得很小，其温度的稳定性也较好。 另外，在夹心式压电陶瓷换能器中，通过改变压电陶瓷材料的厚度和形状以及 前后会属盖板的几何尺寸和形状，可以对换能器进行优化设计，来获得不同的工作 频率和其他一些性能参数，以适应不同工作环境和应用场合。除了上述特点以外。 由于夹心式压电陶瓷换能器制作简单方便，因此在功率超声技术以及其他技术中 得到了广泛的应用”。 1 2 本文选题背景和目的 多种振动模态的耦合，是近年来声学界讨论的热门话题，由于耦合理论还没 有具体的成型，关于耦合的各种研究也是层出不穷。大多数的研究都是围绕单体 的两种振动形式的耦合，例如圆棒的纵径耦合，纵弯耦合，大尺寸压电体的多维 耦合等等，林书玉等人在这方面做了大量的研究工作睁埔j 。而多体间不同模态振动 的耦合理论还不够完善。早在二十世纪八十年代，j o h nl b u t l e r 等人就提出了辐 射头弯曲振动对换能器的振动特性有一定的影响f 1 7 l ，贺西平等人也对喇叭头弯曲 振动对换能器的影响作了大量研究“”1 ，本文就是对这种多体的多模态振动的耦合 特性进行分析，采用纵振换能器前端加薄圆盘作辐射头，分析计算换能器纵振和 圆盘弯振耦合后产生多阶振动频率的效果，实现多频换能器的设计方法。按照文 献 2 1 - 2 4 的说法，甚至有可能实现宽频带换能器的设计理论。 1 3 研究多频换能器的意义 多频超声换能器可应用于超声清洗。超声清洗是功率超声技术中最广泛也比 较成熟的一种应用，由于具有清洗速度快、清洗质量高、自动化程度高、绿色环 保等优点，它己广泛地应用于机械、电子、国防、化工、医疗器械等领域，并且 日益向各行业渗透。自5 0 年代出现第一台超声清洗设备以来，超声清洗发展很快， 应用面遍及国民经济各个部门，特别是高精尖产品的清洗已离不开超声清洗工艺。 声场分布的均匀性是衡量清洗效果的一项重要指标，由于超声清洗设备普遍采用 平底式清洗槽以及单一频率的换能器，在清洗液中容易形成驻波场，使得处于声 压波谷处的工件得不到充分清洗，而处于声压波峰处的工件有可能被严重腐蚀， 从而使工件得不到均匀充分的清洗。为了改善声场的均匀性，可以采取以下的措 施：1 、调频清洗技术。但是通常用的超声换能器频带窄，因此可调频率范围小， 对提高整机效率不利。2 、利用多组不同频率换能器组合，这种方法需要增加激励 设备，成本也相应增加。3 、利用双频超声波清洗，它不能完全消除驻波效应，所 以这些方法都存在一定的局限性。如果在超声清洗设备中用多频换能器就能解决 2 以上问题，多频换能器各频率交替工作，就可以消除清洗盲区，改善声场的均匀 性，提高清洗质量。 多频超声换能器也可应用于超声化学。超声化学是声学与化学相互渗透而发 展起来的一门新兴的边缘交叉学科，是声学和化学的前沿学科之一。超声化学主 要是利用超声加速和控制化学反应提高反应产量降低反应条件以及引发新的化学 反应等。在声化学反应中，频率是影响化学反应的重要因素。为了研究频率对化 学反应的影响，比利时u n d a t i mu l t r a s o n i c s 公司研制出多频声化学反应器，这 种化学反应器配有2 0 k h z ，4 0 k h z ，6 0 k h z 和8 0 k h z 的四种探头，用于研究频率对化 学反应的影响。何北星、林仲茂等人研制用于声化学研究的大功率超声系统1 ， 由参数可调节的超声发生器配合不同频率的换能器工作，并用它组合成杯式声化 学反应器。以上两种声化学反应器，它们的不足之处在于其中使用的换能器为单 一频率的换能器，这样系统需要配置多个换能器，在每次改变频率都需要装卸换 能器探头，给使用带来不便。而且由于探头的差异，必然引入系统误差。所以， 在化学反应器中用多频探头，使用将更为方便。 多频超声换能器亦可应用于超声无损检测。超声波在被检测材料中传播时， 材料的声学特性和内部组织的变化对超声波的传播产生一定的影响，通过对超声 波受影响程度和状况的探测了解材料性能和结构变化的技术称为超声检测。超声 检测涉及国民经济的各个方面，它对于控制产品质量、改进生产工艺过程、节约 原材料、保证产品或零件的可靠性以及提高劳动效率起着极为关键的作用，是发 展现代工业技术不可缺少的一门学科，它已经被广泛应用到材料工业、机械制造 业、石油化工、水文、地质、电力、运输业以及矿山勘探和开采等各个领域。在 超声检测中，超声波的频率对检测缺陷的大小及材料厚度有直接影响，频率越高， 能检测到的缺陷越小，但是频率越高，介质对声波吸收将越大，使检测厚度变小， 所以对于不同的材料和不同的检测要求需要选择不同的频率换能器，在这种情况 下，应用多频换能器就非常合适。另外，在超声加工和超声焊接中，振动频率也 是影响加工质量和焊接效果的重要因素，将多频超声换能器应用于这些领域，对 于寻求最佳的实验条件也具有一定的现实意义。 由此可见，多频超声换能器在超声清洗、超声化学、超声无损检测以及其它 方面都有着广泛应用，然而目前国内外对此进行专门研究的还很少，所以对多频 超声换能器做进一步的深入研究，具有一定的现实意义。 1 4 换能器实现多频常用的方法 1 、用厚度不均匀的压电晶体激发振动。b h a g a v a n t a m 和b h i m a s e n a c h a r 采用楔 形的按x 轴定向的石英片，在x 轴方向上，晶片的厚度随长度改变，只有在激发 3 电压的频率和晶体的厚度满足丘= 击三( p ，y ，d 分别为石英晶体的密度、杨氏 d , avp 模量和厚度) 的地方，才被激发强烈的振动( 对于石英晶体厶= 2 8 5 0 0 d ) 。在此情 况下，低频取决于楔块的最大厚度，而高频则取决于高频发生器的功率和晶体的 击穿电压。利用这样的石英楔，可以制作频率范围在1 4 5 m h z 的换能器，而利用 电气石楔，甚至可以覆盖2 5 一l l m i - i z 的频率范围。另外，l e v ie 和p h i l i ph j 制成 供测量用的频率可以均匀地调节的换能器，在这种换能器内，垂直于轴线定向的 厚度均匀的石英片粘贴在楔形的黄铜板上，由于振动石英与底层是牢固连接在一 起的，这类换能器的固有频率就取决于石英与底层的总厚度，同样实现频率的均 匀调节。 按照上述方法实现的多频换能器， 小部分激发振动，这种设备功率很小， 功率超声中。 由于在每一给定的频率上，只是晶体的一 可以应用于超声测量，但是不能应用于大 2 、通过改变压电振子的长度改变换能器的频率。w j h a l l 和f r y w f 用这种 方法研制出具有可变长度的液柱压电换能器1 。图1 2 所示为h a l l 和f r y 提出的 换能器结构。压电晶体k ，固定在用香脂树制的容器b 的前壁内，容器的后壁做 成可动活塞形状( r ) ，其反射面覆盖上同样的木材。整个容器灌满水银( 这里的液体 只能是水银，其声阻抗等于1 9 x 1 0 6 9 s c m 2 ) ，当活塞移动时，水银可以通过侧面 小孔o 挤入辅助容器v 。如果迫使这种换能器在晶体一液体系统的固有频率上工 作，则改变液柱的长度，即可在所要求的范围内改变振动的固有频率。为了使这 种装置具有尽可能大的声效率，必须首先使由于声波从晶体进入液体以及声波辐 射入盛有液体的容器壁而引起的耗损减到最低限度，因此就要解决液体与晶体表 面间的最佳藕合，以及减少液体与容器壁耦合的问题。为了消除液体和晶体之间 的空气层，在晶体表面上贴上一层厚0 0 5 毫米的金属箔m ，并且采取特别措施使 胶内没有空气泡。金属箔采用银钯合金( 6 0 a g 和4 0 p d ) ，这时即形成良好的 水银与箔片的汞齐次式化合物，从而不再发生箔片材料溶入水银的情况。为了强 烈限制晶体与液体的内部耦合，可沿晶体的边沿用电解法涂复一层镍，镍层同时 也盖住箔片。这种由h a l l 等人制造的换能器可在4 0 8 0 k h z 的频段内工作，其辐射 面积为1 5 1 2 毫米2 。在上述的频率范围内，换能器输出的声功率相当于具有同 样辐射面积和同样电压下的同一晶体中的基本振动时产生的功率。用这种方法实 现的多频换能器，具有功率大，频率调节范围较宽的优点，但是由于机械结构复 杂，制造难度大，成本高，仍然难以推广应用。 4 图l 一2 可变长度的液柱压电换能器 3 、利用多组压电振子的夹心式换能器”删。林书玉等人设计了一种具有两组 压电振子的复频换能器，如图1 - 3 所示，应用到超声清洗中，以提高清洗质量。换 能器由三段金属盖板和两组压电振子组成，换能器具有半波及全波两种振动模式， 因此是一种复频换能器。如果在换能器中增加压电振子的数目就可以得到多频换 能器，然而增加振予给换能器设计计算增加了难度。 图1 - 3 具有两个共振频率的复频换能器 1 5 本论文的研究内容 考虑到本论文设计的换能器主要应用于大功率超声，例如超声清洗、超声焊接、 超声加工等，要求换能器有较大的功率和较高的效率。根据i j i 面的介绍，夹心式 换能器具有功率容量大、声能密度大、机电转换效率较高等优点。本文是要通过 纵振换能器前端加载一个可弯曲振动的薄圆盘，进而使纵振激励弯振，实现多模 态的共振，以得到多阶共振频率。本论文的研究任务主要包括以下四个部分： 1 利用薄板弯曲理论，推导出薄圆板自由边界条件下的共振频率方程，通过 频率方程对弯曲振动的多阶频率进行计算。 2 利用夹心式换能器设计理论，推导出纵振换能器的频率方程，并计算其高 阶振动频率。 3 将薄圆盘当作辐射头加载到纵振换能器的前端，推导这时纵弯复合振动的 等效电路，并推导其频率方程。计算其多阶振动的频率大小，对比这三种条件下， 多阶共振频率之间间距改变，分析多模态振动的耦合效果。利用a n s y s 模拟进行 试验仿真。 5 4 利用a n s y s 模拟，通过改变前盖板的尺寸，讨论其对基频和高次谐频的 拉近有一定的效果。利用这一特点，通过尺寸的优化，对实现多频换能器的设计 理论有一定的作用。 6 第二章薄圆盘的弯曲振动 2 1 薄板的弯曲振动理论 2 1 1 基本概念和基本假设 板在工程上分为薄板与厚板所谓薄板，通常是指满足下列条件的板，我们令 板的厚度为h ，板较小的边长为b ，则应满足 p 土) 业s ( 三一i 1 1 0 0 b )8 058 板是一种主要抗弯扭的结构单元厚度很小的薄板，其抗弯扭的能力很低，可 以认为其抗弯强度等于零，而横向外荷载由轴向力与中面剪力来承担：当板的厚度 足够大时，其内部任一点的应力状态与三维物体类似，难以采用较多的简化措施， 所以厚板的分析要复杂得多” 当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板的中性面，而中面内各点在横 向的( 即垂直于中面的) 位移，称为挠度当板的挠度远小于它的厚度时，称为小挠 度 薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的( 这些假定已被大量的实 验所证实) 。取薄板的中面为x y 面，这些假定如下所示： ( 1 ) 垂直于中面的正应变，极其微小，可以不计取f ，一0 ，则由几何方程可得 一o w ；0 ，从而得 a z w ；w b ，y ) ( 2 1 ) 这就是说，在中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移w 也就是挠度 ( 2 ) 应力分量f 。，f 。和盯：远小于其余三个分量，因而是次要的，它们所引起的 形变可以不计( 但它们本身却是维持平衡所必须的，不能不计) 因为不计f 。， z y 和吒所引起的形变，所以有 y 。= 0 y 。；0 于是由几何方程得 一o u 丝。0 把缸 业+ 竺。o 砂 把 从而得 7 ( 2 - 2 a ) ( 2 - 2 b ) 塑一a w ( 2 3 a ) 一一 驴吾h 一哪) s ，一吾p ，一吒) ( 2 4 ) r ，。掣 ( 3 ) 薄板中面内各点帮零有平行于中面的位移，即 烙。 ( 2 - 5 ) ( v ) ：。一0 7 因为q 。石a u ，2 万，岛一面a v + 万o u ，所以由上式得出 ( q ) ：。t0 b ，l 。= 0 “= 一量2 + g ，y ) 。：一， 卜詈抖珧y ) 8 l ；一丝。 i 缸 1舢 i v - 一2 于是可以把应变分量，用w 表示如下 ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) 在这里，由于挠度w 是微小的，弹性曲面在z 坐标方向的曲率及扭率可以近 似地用w 表示为 a 2 w 乜一萨 扎一娑 ( 2 1 0 ) z y 矿 q a 2 w x ”一i 万 所以式( 2 9 ) 也司改写为 x 。x x z s ，- ) y z ( 2 一i i ) 7 口一2 x 口z 因为曲率以，z ，和扭率完全确定了薄板所有各点的形变分量，卫醚连三者 就称为薄板的形变分量 其次，将应力分量盯，d ，z ，用w 来表示由物理方程( 2 4 ) 求解应力分量，得 吒，土- ，+ i z e y ) 吒。f 7 忆 q 与- ，+ z t x ) ( 2 1 2 ) 盯，。f 7 p ， 。p e 。互酊刁 将( 2 - 9 ) 式代入( 2 - 1 2 ) 式。即可得所需的表达式 9 q 一寺( 軎+ 芬) 旷一号( 守+ 害) & 0 2 w f w 。一1 + 4 & r o y 注意w 不随z 变化，可见这三个应力分量和z 成正比 再其次，将应力分量k 及用w 来表示在这里， 有x = y 一0 ，而平衡微分方程中的前二式可以写成 a t 。a o 。d t f 把缸 鲫 蔓。一堕一生 o z o y 8 x 将表达式( 2 1 3 ) 代入，并注意k 一，即得 篮： 8 z a k o z a w ”i 孬 a 3 w 。碲 ( 2 一1 3 ) 因为不存在纵向荷载，所以 ( 2 1 4 ) 。乙旦v ：h ， 1 一“缸 ( 2 - 1 5 ) 。t 旦v ：w 1 一p 2o y 驴j 同e z 2 面0 v 2 w + f , ( 2 _ 1 6 ) 一互同e z 2 万ov 2 w + f 2 0 ，_ ) ，) 但是，薄板的下面和上面，有边界条件扛“) ，。；4 0 ，b 1 毛。o ( f 是板的厚度 应用这些条件求出e g ，y x e g ，y ) 以后，即得表达式 。南) 扣 浯m ：f 7 , 7 1o_t v z w z y 。嘲l z 2 - - 4j 妙v w 最后，将应力分量盯：也用来表示利用平衡微分方程，取体力分量z = 0 ，得 堡；一生一生 ( 2 一1 8 ) o zo x o y 如果体力分量z 并不等于零，我们可以把薄板每单位面积的体力和面力归入薄板上 面的面力，一并用疗表示，即 1 0 m一舻挑一矿 ，i、， 旦叫旦叫 一1 1 1 1 口= 仨) ：一；+ 仁) z 毛+ 庄z d z ( 2 1 9 ) 这只会对最次要的应力分量口：引起误差，对其他的应力分量则毫无影响。这样 的处理和材料力学中对梁的处理相同 注意f ，t f 。，f f 一，将表达式( 2 1 7 ) 代入( 2 1 8 ) ，得 鲁一南降2 ) 去v ( 2 - 2 0 ) 对z 进行积分，得 吒一桶降妒w 吲训， 协2 。 但是，在薄板的下i l i i ，有边界条件 p ；) z - 0 将式( 2 - 2 1 ) 代入，求出只g ，_ ) ，) ，再代回式( 2 2 1 ) ，即得表达式 q 。蠢阶删正种w 伢：。， 一而( 矧( - + 护w 现在来导出w 的微分方程在薄板的上面，有边界条件 ( 吼) 。一! 一一口 其中q 是薄板每单位面积内的横向载荷，包括横向力及横向体力，如式( 2 1 9 ) 所示 将表达式( 2 2 2 ) 代入，即得 南矿”目 2 3 幻 或 d v 4 w 一目 ( 2 2 3 b ) 其中的。一匹南，称为薄板的弯曲刚度 方程( 2 - 2 3 b ) 称为薄板的弹性曲面微分方程，是薄板弯曲问题的基本方程 求解薄板的小挠度弯曲问题时，须按照薄板侧面上( 即板边上) 的边界条件， 由这个微分方程求出挠度w ，然后就可以按公式( 2 - 1 3 ) 至( 2 - 2 2 ) 求出应力分量 2 1 3 薄板的自由振动 设薄板在平衡位置的静挠度为峨= k g ，y ) ，这时薄板所受的横向静荷载为 q = 口g ，y ) 按照薄板的弹性曲面微分方程，我们有 d v 4 w e ；口 ( z z 4 ) 上式( 2 - 2 4 ) 表示：薄板每单位面积上所受的弹性力d v 4 雌和它所受的横向载荷口 平衡 设薄板在纵振过程中的任一瞬时f 的挠度为tw 。b ，y ，t ) ，则薄板每单位面积 上在该瞬时所受的弹性力d v 4 嵋，将与横向载荷q 及惯性力q i 平衡，即 d v 4 彬一q + 吼 ( 2 2 5 ) 注意薄板的加速度是等争，因而每单位面积上的惯性力是 鬲芏鉴 ( 2 2 6 ) 目j 2 嘲亨 ” 其中丽为薄板每单位面积内的质量( 包括薄板本身的质量和随同薄板振动的质 量) ，则式( 2 - 2 5 ) 可以改写为 删叫卜等1 防z ， 将式( 2 一- 2 7 ) 与( 2 2 4 ) 式相减，得到 册4 ( w ，一心) 一一面可0 2 w , ( 2 - 2 8 ) 由于峨不随时间改变，罢等o ，所以上式可以改写为 d v 4 ( w ，也) i 一丽参吧) - 2 吣 在以下分析中，我们把薄板的挠度不从平面位置量起，而从平衡位置量起- 于 是薄板在任一瞬时的挠度为w 一嵋一w 。，而由式( 2 1 9 ) 得到 d v 4 w 而4 或 v w + 互垡。0 ( 2 3 0 ) 这就是薄板自由弯曲振动的微分方程 2 1 4 薄圆盘的自由振动 对于薄圆盘的自由振动，在极坐标中薄板的自由振动微分方程仍然是( 2 - 一3 0 ) 但其中w = w ( p ，0 ，f ) ，而 v 4 ；( 笔o p + 三p 旦o p + 丢p 爿0 0 ( 2 - 3 1 ) 2 j 1 2 现在，仍然把自由弯曲振动微分方程的解答取为无数多简谐振动的叠加，即 w ；芝= - 。c 。s 吖+ b 。s i l l f k ( p ，口) ( 2 3 2 ) 其中为各个简谐振动的角频率，而既为相应的振形函数 为了求出各种振形函数h 0 ，以及与之相应的角频率，我们取 w 一c o s 0 9 1 + 以s i i l 甜耽( p ，0 ) ( 2 - 3 3 ) 代入微分方程( 2 3 0 ) ，仍然将得出振形微分方程 v 4 w 一兰翌。0 或 v 4 w t4 w 一0 ( 2 3 4 ) 微分方程可改写为 ( v 2 + y 2 i v 2 一r2 矽。0 ( 2 3 5 ) 也就是 ( 吾+ 吉告+ 砉鲁) ( 吾+ 吉专+ 专著p 一。( 2 - 3 6 ) 显然，微分方程 (普+土p2旦002)一。(2-37)ptp【矿+ 一一吖j - o 的解，都将是微分方程( 2 - 3 6 ) 的解，因而也是微分方程( 2 - 3 4 ) 的解 取振形函数为如下的形式： w f ( p ) c o s n o ( 2 3 8 ) 其中以。0 , 1 , 2 ，相应于n 一0 ，振形是轴对称的相应于n 一1 及厅一2 ，薄板的环向 围线将分别具有一个及两个波节，也就是薄盘的中面将分别具有一根或两根经向 节线，以此类推将式( 2 - 3 9 ) 代入式( 2 - 3 7 ) ，得常微分方程 堡砉纠妒一种一。(2-39)dre一+ 石万+ r 一7 j f | o 或引用无因次的变量x 一护而得 z 2 窘+ 工警+ ( x 2 - - i , 1 2 ) f - o 浯a o ， 这一微分方程的解答是 f c 1 j g ) + c ：匕g ) + c ，。b ) + c 。k 。0 ) ( 2 4 1 ) 其中，。0 ) 及k g ) 分别为n 阶第一类及第二类贝塞尔函数，l 0 ) 及k g ) 分别为虚 宗量n 阶第一类及第二类贝塞尔函数将式( 2 - 4 1 ) 代入( 2 3 8 ) ，即得振形函数如 f ： w 。 c l j 。b ) + c ：k 0 ) + c ，。b ) + c 。k 。( x ) c o s n o ( 2 4 2 ) 如果薄盘具有圆孔，则在外边界及孔边各有两个边界条件利用这四个边界条 件，可得出c ，c ：，c ，c 。的一组四个齐次线性方程命这一方程组的系数行列式等 于零，可以得出频率方程，从而求得各阶的自然频率 如果薄盘无孔，则在薄盘的中心x = 印一o ) ，k g ) 及k 。g ) 成为无限大为了 使w 不至于成为无限大，须在( 2 - 4 2 ) 式中取c ，一c 。一0 于是式( 2 4 2 ) 简化为 w = 【c ，j 。0 ) + c ，。b ) 】c o s 开口 ( 2 4 3 ) 利用板边的两个边界条件，可以得出c 1 及c ，的一组两个齐次线性方程令方程组 的系数行列式等于零，也就得出自然频率的方程 2 2 薄圆盘的弯曲振动频率方程 令弯曲振动圆盘的厚度以及半径为h 和a 在下面的分析中，假定弯曲振动圆 盘的横向位移很小，并且圆盘的厚度远小于其半径在这种情况下，线性弹性理论 以及薄板的弯曲振动理论可以应用，并且板中的剪切以及扭转惯性可以忽略对于 薄板的小振幅弯曲振动，其轴对称的弯曲位移y ( p ，f ) 为 y ( p ，f ) = l u o ( 女p ) + b i o ( k p ) j e x p ( j t o t ) ( 2 4 4 ) 式中j c ( 印) 和i o ( 印) 是零阶贝塞尔函数， k 4 一p 。h t 0 2 d ， d e h 3 1 2 ( 1 一盯2 ) ， e 是杨氏模量，d 是板的刚度常数，p 。是密度，盯是泊松比是角频率a 和b 是待 定常数，由圆盘的边界条件确定“蚓 在自由边界情况下，弯曲振动圆盘边界处的弯矩以及横向剪力皆为零 弯矩m p l p o = - d ( 害+ 号乳。一。 剪力g i p - a - d 立o p 怛 o p 2 + 吾孔，。 由此可得以下二式 4 m 一掣+ 掣h - b 。蚺掣+ 掣 = 。 a s ， 1 ) + b 1 1 怕) = 0 ( 2 4 6 ) 由上面两式，可以得出边界自由圆盘弯曲振动的共振频率方程为 妇l ，。蛔) ，。恤) + ，。晒l ，。) 】= 2 ( 1 一盯v 。恤阢) ( 2 4 7 ) 令上式得根等于r ( n ) ，可得 1 4 k a r ( n 1 ( 2 - 4 8 ) 不同的r l 值对应不同的振动模式，由此可得薄圆板第n 阶弯曲振动共振频率， 为 t 警砑尚加鼢一( 2 - 4 9 ) 圆盘弯曲振动的总位移应为所有本征振动模式的线性叠加，即 y ( p ，f ) 一 4 厶( 吒p ) + e ，o ( k p ) e x p ( j t o f ) ( 2 5 0 ) 在自由边界条件下，取圆盘材料为铝，其泊松比盯一0 3 4 ，由方程( 2 4 7 ) 解出频 率方程根值如下表2 1 所示 表2 1 弯曲振动圆盘自由边界条件下的频率方程根值 l234567 r n 3 0 1 5 06 2 0 7 19 3 7 1 91 2 5 2 61 5 6 7 51 8 8 2 22 5 1 1 2 我们利用式( 2 - 4 9 ) 和表2 - 1 ，定出一阶共振频率为2 0 k h z 的弯曲圆盘，其尺 寸为h - 0 0 1 6 m ，a 一0 0 4 2 3 m ，并计算出其多阶的共振频率为表2 2 所示( 前4 阶) 表 2 弯曲振动圆盘各阶振动频率 l l234 i 共振频率( h z ) 2 0 0 0 08 4 7 7 4 1 9 3 1 5 6 3 4 5 2 3 4 2 3 弯曲振动圆盘的等效电路 研究弯曲圆盘的共振特性，利用集中参数系统的概念比较直观。根据上式， 弯曲圆盘第n 次本征振动模式的动能为 e 一唧，_ i l 砰e x p ( 2 j o t ) e 审；( 吒p ) + 群露( k p ) + 2 a b 。( k p ) l o ( kp ) p d p ( 2 5 1 ) 利用柱贝塞尔函数的性质及，慨) + b 1 ，( 妇) 一0 ，可以得出 e 一- z a 2 p h t o 。酬x p z 州【掣+ 紫一警 ( 2 - 5 2 ) 设弯曲圆盘第一次本征振动模式的等效质量为m 。，等效参考点在圆盘中心，则由 圆盘中心振动