（应用数学专业论文）双模糊论域及其刻画.pdf

北方 ：业大学硕士学位论文 摘要 本文是在文献【1 】所定义的l 厂f i 亿万偏序集上，( 本文中所涉及的格为完全分配格) ，建 立了一种l 双模糊论域的基本理论框架，并使用文献 2 5 】中给出的四种截集思想，得到 其一系列等价刻画此外，本文还定义了l 广b i 缸互：) r 连d o m a i l l l - b i 舭勾r 代数d o m a i l l ，并 证明了它们是通常的连续d o m a i n 和代数d 哪a i l l 的推广 本文主要工作有： 第一章：介绍了模糊集及论域理论的发展背景及相关知识 第二章：本章对文献 1 】中定义的l 广f i 坯秒映射和文献【6 中定义的l f i 亿z ) ，映射的像 与逆像的有关性质进行了扩充此外，在此基础上给出l 厂b i 缸乙万单调映射的概念，并对 其进行了一系列等价刻画 第三章：本章引入了l b i 丘】z z ) r 定向子集，定向并，【广b i f i l z z yd o m a i n ，l 广b i 丘正乙拶下集， l - b i 如z z y 理想等概念并对此做了相应的刻画证明了它们与在各种截集下得到的经典定 向子集，定向并，d o m a i l l ，下集，理想等具有等价关系此外还给出了l - b i 矗k 刁，理想的例子予 以说明 第四章：本章分为两部分，第一部分是在第三章定义的l 广b i 舵z ) ，d o m a i l l 基础上，给 出了l 广b i 缸z ys c o t t 闭子集，l 广b i 钇z ) rs c o t t 余拓扑，l 厂b i 舵z ys c o 仕连续映射以及l 广 b i 缸到s c o t t 余拓扑连续映射并证明了它们与其相应的经典情况具有等价关系，此外还 证明了【厂b i 缸乙可s c o t t 连续映射与l 广b i 缸乙万s c o t t 余拓扑连续映射等价第二部分给出了 l b i 钇z y 逼近序的概念，并讨论了其相关性质定义了l 广b i 缸冯r 连续d o m a i n 和l b i 缸到代数d o m a i l l 关键词：l b i 缸强秒单调映射，l 广b i 舭互可定向子集，l 广b i 舭互：) rd o m a i n ，l - b i 舭弦7 下集，l 广 b i 缸掣逼近序 北方工业大学硕士学位论文 a b s t l a c t h 1t h i sp a p w ee s t a b l i s ha 缸n e w o d ( o f m e o 巧o fl - b i 丘坯万d c i m a i l la n d0 _ 比血 m a n yo q u i v a l e n tc h 硼似e 血a t i o i l sa ：b o u tl b i 血z z ) rd ) m 血锄dr e l 批t i o i l sb ym el e v e lc u t s e t si n 2 】一 5 】t 1 1 r o u 曲i 1 1 仃o d u c i n gaf 讧冽p 删a lo r d e ro f l 删c ev a l u ed e 缅e di i l 【1 】( w e d e n o t eb yl 1 ec 0 m p l e t e l yd i s t r i b u 石v el a t t i c e ) f 、l r c l l e n n o r e ，m el b i 如z z yc o n t 曲u o u sd o m a 访 锄dl 广b i 允z 巧a l g e b 忸d o m a i l la r ea l s od e 6 n e d ，t 1 1 e nw ep r o v et l l a t 1 e ya r et h ep m m o t i o no f g e n e r a lc o m m o u s d o m a i f l 锄da l 咎枷cd o m 血 t h em 血“；s u l t sa r ： i i lc l l a p t c ro n e ，w e 砷d u c em eb a c k 伊d u n d 锄dt l l e 刚i m i l l 如舢1 e d g eo f l 广岫 s e t2 m di o m a i l l h l a p t c r 铆o ，s o m e 刚e s0 f m e u z 巧m 蛳n g 删证【1 】a 1 1 d i t si l l l a 拳 a n d 埘吼a d ，h a g ea r e 百v 肌ha d d i t i o 玛、阳d e 血el b i 丘1 z z ym o r l o t o n o l l sm a p p m ga n d o b t a i l las 舐懿o f e q u i v a l 肌tc h 硪衙捌。粥 h 1c h a p t e rt h i i e e ，【广b i 昀( 1 的c t e ds u b s e t ，d i r e c t e du 血。玛【厂b i 缸乙z ) 7d 咖a 虹l b i 血z z ) r 1 0 w e rs e ta n dl 广b i 如z 巧i i e a la r e 砷r o d u c e 也a n dt h e 计c h 戤衙嘶蒯o n sa r e 孚v e n m o 哟v m ee q u i v a l e n tr d a t i o nb e 咐e e l ll b i 龟z z yc 0 n c 印t sa n dc l a s s i c a lc o n c 印t sa r ep m v e d t h e 玛w e 酉v ea ne x 锄p j eo f i 广b i 缸乙i d e a l h c 1 1 a p 衙南ut 1 1 i sc h a p t e ri sd i v i d c di i l t ot 、) i r op a i t s i i l 吐l c 矗r s tp a n ，l b i f k z ys c o t t d o s e ds u b s e t l 广b i f u z z ys c o t ti n v e r s et o p o l o g m 【广b i f - u z z ys c o t tc o n t i r i u 0 几l sm a p p m ga n dl ，- b i 缸冽s c o t t 鲫俪m o u sm a p p i n go fi n v e r s et o p o l o g ya r ed e 矗n e d 叽m eb 猫so fl 广b i 勉y d o m 血百v e l l i nt 1 1 ec h a p t e rt h r e ea n dm ec r r e s p o n d i n gc h a r a c t 甜z 撕o i l sa r eg o t m o r v e r w e p r o v em ee q u i v a l e m r c l a t i o nb e 咐e e l ll 广b i f l j z z ys c o t tc o n t i n u o u sm a p p i n g 觚dl 广b i m z z ys c o t t c o n t i n u o u sm 印p 访go fi n v e r s et o p o l o g 弦h ls e c o n dp a n l 广b i m z z ) rw a y - b e l l o wr e l a t i o ni s d e f - m e da n di t sp 聊e r t i e sa r ed i s c u s s i o n t h 锄l b i 血z z yc o n t i i i u o u sd o m a i l la n d 【广b i f i 忽y a _ l 誉舡面cd o m a i na r e d e f m e d k e yw o r d s ：i 广b i 舵z ym o n o t o n e 眦p p i n 舀i 广b i 舵z yd i r e 删s u b s 哪，b i 舵z yd o m i n l b i 缸田7l o w e rs e t i 广b i f h z z yw a y b e u o wr e l a t i 叩 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j e 友王些太堂或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名罂轴签字日期：游j 月彩日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解i 竖友互些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权j 匕友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：佟望佃 签字日期：沏辟岁月蜘 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师虢妈壶 签字日期耖湃期卫归 电话： 邮编： 北方工业大学硕士学位沦文 1 1 引言 第一章引言及预备知识 1 9 6 5 年，美国控制论专家、数学家罗特夫扎德( z a d e hla ) 教授在i n f o 咖a t i o na 1 1 d c 0 n t r o l 杂志上发表了论文”f u z z ys e t s ”【7 】，标志着模糊数学这门学科的诞生模糊集合 这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合 论的基础自此模糊集合理论引起了学术界的高度关注许多生产过程中的安全和控制问 题都可以应用模糊集合的理论来分析、研究、设计、控制在众多模糊数学的专著中，集 合套思想贯穿始终，其作用及重要性是众所周知的，它使许多模糊概念变得直观，同时 使模糊集合理论更严密且更系统化但专著中给出的集合套仅适用于稠密的完备格，给 其应用带来不便和局限史福贵教授早期在完全分配格上，借助极小集和极大集，引入 了集合套【2 】、素元集合套【3 】、和分子集合套【4 】，从而建立了集合套思想在l f u z z y 代数 和l f u z z y 拓扑等方面有很好的应用赵杰在史福贵教授定义的l f u z z y 关系【5 】基础上给出 了l f u z z y 集合中l 厂f u z z y 偏序【l 】的定义 自从d s s c o t t 的开创性工作以来，d o m a i n 理论的研究十分活跃d o m a i n 理论中的主要研 究对象均是带有某种特殊序结构的集合，该集合中的元素通常被解释为可以进行某些抽 象计算的量( 例如，这些量可以是作为程序输入或输出的各种数值类型或其他数据结构 等) 而d o m a i n 中的元素之间的关系被解释为该元素所含有的计算信息它们可以为顺序式 编程语言和演算提供数学模型同时，其涉及到多种全新数学对象和复杂结构，也为现代 格 二拓扑学提供了丰富的研究问题源泉从语义学一面，计算机语言的形式语义学研究一 直是计算机语言研究的重要部分，并且在应用软件与编译技术等方而有重要的实际意义 d o m a i n 理论也为函数式语言提供了一种形式语义学一指称语义学把各种d o m a i n 指派给 一个语言中的各种类型，并称为相应类型的指称，把d o m a i n 的元素指派给语言中的项通 过对这些d o m a i n 和s c o t t 连续映射的研究，即对d o m a i n 范畴的研究，可获得原来语言的 性质这样，d o m a j n 理论为函数式语言提供了语义学模型但是，经典d o m a i n 理论有不少 局限性例如，d o m a i n 中的序仅是二元序关系，它一般难以体现计算量之间的数量差别。对 非顺序性编程语言( 如非确定性语言，分布式或并发语言) 来讲，序d o m a i n 模型未免过于简 单尽管使用比较复杂的幂d o m a i n 理论也可以描述一些简单的非确定性语言，但是对于并 发语言就显得非常困难了因此，关于并发语言的语义学研究多集中在操作模型，演算或 进程代数等方面，并发语义的d o m a j n 模型研究方面尚没有非常满意的体系尽管如此，受 到并发语言研究的影响，在与经典d o m a i n 理论相关的领域中还是出现了许多新的研究方 向，特别值得指出的是，各种新型结构的引入不但使d o m a i n 理论的应用范围日益扩大， 而且也导致了程序语义学研究中一些久而未决重大问题的突破 格上拓扑学研究拓扑结构与序结构的融合体，其思想及方法对数学以及理论计算机科学 的若干分支产生了深远影响d o m a i n 理论是程序语言指称语义学的数学基础，由于其丰 富的拓扑和序结构，以及与计算实践的紧密联系，从7 0 年代d s s c o t t 和a e r s h o v 的开创性 北方工业大学硕士学化论文 工作以来，一直受到计算机科学和数学领域内诸多学者的密切关注由于在d o m a i n 中，拓 扑，序，逼近( 计算) 和逻辑的概念和思想可以互相转换和统一，因此它也成为格上拓扑 学的一个受到特别重视的研究方向随着计算机科学的飞速发展，有关计算机科学的数学 基础研究越来越受到人们的重视，已成为数学与计算机科学研究者共同感兴趣的领域由 于d o m a i n 理论有着丰富的序结构和拓扑结构而且与计算性紧密联系，它也成为格上拓扑 学的一个研究热点 1 2 预备知识 在本文中上为完全分配格j 为非空分明集，映舭：x _ l 称为l f u z z y 集，简称 集，其全体 记为m ( l ) 为l 中所有非零并既约元之集，p ( l ) 为l 中所有非零单位素元之集此外，本文 中还要求极大集保并交，记功= l 一 o ) 记x 上的全体正则，集a ，( x ) 为正则，集当且仅 当丑x 使似( j ) = 1 ) 为( ) ，卧的定向子集s 记为s d a 本文中所涉及的f 集都属 于( p ) 对币l ，约定八争= 1 ，v 咖= 0 定义1 2 1 【l l 设x 为非窄集合，a ，a o ，若尺满足下列条件：( 1 ) 坛a f 0 1 ，尺( x ，工) = a ) ；( 2 ) 尺。尺尺( 3 ) ，y a ( o ) ，尺( 工，y ) 八尺( ) ，工) o 石= y 则称尺为a 一卜的l - f u z z y 偏 序 注：若尺为a 上的l - f u z z y 偏序，则称( a ，r ) 为上厂b i f u z z y 偏序集 定理1 2 1 v a ，r a a 的上广f i l z z y 关系，则下列条件等价： ( 1 ) 尺为a 上的l f u z z y 偏序； ( 2 ) 讹b ，尺i 口1 为a 【口】上的偏序； ( 3 ) 妇肘( l ) ，月【口i 为a m 上的偏序； ( 4 ) 讹a ( 0 ) ，尺h 为a 【口】上的偏序； ( 5 ) 讹a + ( o ) ，尺【口】为a 【d 】上的偏序； ( 6 ) v 口p ( l ) ，尺( 口) 为a ( 口) 上的偏序 定义1 2 2 【2 】设a 且口l ，规定 a | 口1 = 石xa ) 口) ； a ( ) = 工xi 订j b ( 4 0 ) ) ) ； a p j = 工xl 口ga 似o ) ) ) ； a ( 口) = 厶xia ) 菇口) 显然，口卢( 6 ) 兮a c a ( 口) c a 【口】且口口( 6 ) 号a 【口】c a ( 6 ) c a 【剀 特别地：当l = 【o ，l 】时，a ( 口) = a ( 引，a h = a m 定理1 2 2 【2 4 1 对每个l f u z z y 第4 ，有下 面结论： ( 1 ) a = v ( 口八a | 口1 ) =v( 口八a | 口1 ) ； 口l 。 口 f f l ) 2 北方工业大学硕士学位论文 ( 2 ) a = v ( 口八a m ) =v ( n 八a 【口j ) = v ( 口八a ( 口) ) =v ( 口八a ( 口) ) ； 口l 口p ( ) 口 口尸( l ) ( 3 ) b 么厶a 【口1 =na f 纠=na f 6 1 ； 。 6 卢( 口) 6 卢+ ( 口) ( 4 ) 妇厶a m =na 嘲=na ( 6 ) =n a ( 们 口a ( 6 )口a ( 6 )口口+ ( 6 ) ，6 j p ( l ) 定义1 2 3 【3 】 设( 只) 是d c p o ，而) ，p ，若凇d f rp ，) ，ts ，则存在n s ，使得j 口，则称j 逼 近于) ，记作j ) ，当工j 时，辄是p 的紧元( 或有限元) p 上的二元关系通常称为逼近序 或w 叫一6 讲d w 关系 设) 是d c p o ，s p ，工p 规定 拈工= ) ，p i ) ，工) 介s = u 介i 口s ) 介工= ) ，p i 工) ，) 足( p ) = 缸p k z ) 命题1 2 1 1 3 j 设( d ，) 是出p d ，则对于任瓤，鹑d ，有 ( i ) z ) ，号工冬) ，； ( i i ) j ) ，s ) ，7 = 争 命题1 2 2 1 3 】 设p ，) 是d c 妒，曰d ，若坛d ，存在d 的定向子集s 毋= u j n b ，使 得工= v t s 则称b 是d 的一个基 命题1 2 3 【3 】设( d ，s ) 是d c p d ，若d 有基，则称d 是连续d o m a i n ；若d 有可数基，则称d 是一连 续d o m a i n ；若d 有一个紧元构成的基，则称d 是代数d o m a i n ，若k ) 是的d 的可数基，则 称d 是一代数d o m a i n 定义1 2 4 【5 】a ，b ，：a _ 曰的l f u z z y 关系，若厂满足下列条件，即m ( l ) ，丘1 ： a 【口l _ b h 的映射则称，：a b 为l f u z z y 映射记为厂：a _ 曰 定理1 2 3 【5 】a 寥，a e 则下列条件等价： ( 1 ) 厂：a b 为l f u z z y 映射； ( 2 ) 妇p ( l ) ，( 口) ：a ( 口) 一b ( n ) 为映射； ( 3 ) v 口a + ( 0 ) ，【口j ：a 【口j _ b 为映射 定义1 2 5 【6 】( 1 ) 砒丑l y ，且厂：a b ，对于c a ，规定，( c ) = v ( 口八几1 ( 1 ) ) 那么，( c ) 叫做c 在，下的像 ( 2 ) 龇月，且厂：a 叶e 对于d e 规定厂一1 ( d ) = 口澎l ) o 八幅1 ( d h ) ) - 那么，一1 ( d ) 叫 做d 在厂f 的逆像 定理1 2 4 1 6 1 讹口，且厂：a b ，对于c a p b 有： ( 1 ) m ( ) ，儿l ( ) 厂( c ) m ； ( 2 ) v 口p ( l ) ，( 口) ( c ( 口) ) = ，( c ) ( ) ； 3 北方工业大学硕士学位论文 ( 3 ) 厂( c ) =v 八，( 口) ( c ( ) ) ) ； 口p ( ) ( 4 ) 妇肘( ) ，幅1 ( d m ) 厂一1 ( d ) 【口】； ( 5 ) 尸( l ) ，( ，( 口) ) 一1 ( d ( 口) ) = ，一1 ( d ) ( 口) ； ( 6 ) ，( d ) 一1 =v0 八( 厂( 口) ) 一1 ( d ( 口) ) ) 口j p ( l ) 定义1 2 6 【8 l 设p 是集，是尸上的二元关系，如果满足 ( i ) 自反性：坛p ，石z ； ( i i ) 传递性：坛，m z p ，x ) ，) ，z 兮z z ； ( i i i ) 反对称性：，y p ，工弘) ，工号工= ) ，： 则称为尸上的偏序关系，称( p ，) 为偏序集 如果从偏序集的定义中除去反对称性条件( 3 ) ，得到所谓的准序集或拟序集的概念若在除 去自反性条件( 1 ) ，得到的是传递关系一般来讲，沿街这些表面看来较弱的概念不会对整 个d o m a i n 理论太大的影响，因为在实际中，必要时总可以应用一个标准的过程从传递关 系或拟序集过滤到偏序集 设( p ，) 是一个拟序集，a 尸记 ta = ) ，p i 丑a ，工) ，) ，la = ) ，p i 五a ，) ，x ) 定义1 2 7 【8 1 设( p ，墨) 是一个拟序集，如果ta a ，即工a ，y 只工) ，号y a 贝u 称a 为p 的上 集当( 尸，) 是一个偏序集时，这个条件等价于ta = a 下集的情形是对偶的 定义1 2 8 8 j 设( 只) 是偏序集，acp ，口p 口u l 1 故a 的上界，若坛a ，x 口靴有一最 小上界d ，即口是a 的上界且m 的任一上界易总n 易，则称订为a 的上确界，记作订= s u 脚a 简 记s u p a 或v a 对偶地，可以定灿的下界与下确界i n 助a 简记j n f a 或八a 定义1 2 9 【8 1 设( p ，) 是偏序集，若p 的每个子集a 都有上确界以及下确界，即v acp ， s u p a 与i n f a 恒存在，则称x 为完备格 定义1 2 1 0 i8 】设是格，口厶 ( 1 ) 以叫素元，若对l 的任意面与) ，当工八) ，口时有j 口或) ，口； ( 2 ) 以叫交既约元，若对l 的任意冠与) ，当工 y = 口时有j = 口或y = 口； ( 3 ) 口叫余素元，若对l 的任意冠与) 7 ，当口工 ) ，时有口工或a ) ，； ( 4 ) 口叫并既约元，若对的任意而与) ，当口= 石 ) ，时有订= 工或口= ) ， 定义1 2 1 1 【8 】设p 是偏序集，口，易p ( i ) 若垤p 都辄口，则称口是p 的最大元； ( i i ) 若坛p 都有6 j ，则称易是p 的最小元； 4 北方工业大学硕士学位论文 ( i i i ) 若坛p ，口工号n = 工，则称以是p 的极大元； ( i v ) 若坛p ，工易号易= j ，则称口是p 的极小元 定义1 2 1 2 【8 j 设( p ，1 ) ，( q ，2 ) 都是偏序集，：尸_ q 是映射 ( i ) 若妇，易p ，日1 易兮厂( 口) 2 ，( 易) ，则称，是单调映射， ( 单调映射也称保序映射或序同态) ； ， ( i i ) 若v ssp ，( v s ) = v ，( s ) ，则称，是保任意并映射，简称保并映射； ( i i i ) 若凇p ，厂( 八s ) = ，( 5 ) ，则称，是保任意交映射，简称保交映射 定义1 2 1 3 ( 8 j 设( 只) 是偏序集，若尸关于有限并与有限交都封闭，则称偏序集( 只) 为 格 定义1 2 1 4 【8 l 设( 只) 是偏序集，s p ( i ) 若s 妒，并且s 中的任意二元在s 中都有上界，即妇，6 s ，有c s ，使得n c ，易c ，则 称s 是定向的或为p 的定向子集； ( i i ) 若s 妒，并且s 中的任意二元在s 中都有下界，即，易s ，有c s ，使得c n ，c 6 ，则 称s 是余定向的或为p 的余定向子集 定义1 2 1 5 【8 1 设( 只) 是偏序集，若对于p 的任意定向子集s ，v 5 p 都存在，则称偏序 集( 只) 有定向并，或称( 只) 是定向完备的 定向完备的偏序集也称d c p o ，或者称为d o m a i n 定义1 2 1 6 【8 】设d 和e 都是d c p o 厂：d _ e 是映射若，是单调的，且对d 的任意定向子 集a ，有厂( v t ) = 厂7 似) ，则称厂是s c o t t 连续的 用d e 记从d 到的所有s c o t t 连续映射构成的集合，并逐点赋以序关系则d _ e 也成为 一个d c p o 以d c p o 为对象，s c o t t 连续映射为态射形成一个范畴d c p o 定义1 2 1 7 【8 j 设( 只) 是偏序集，与，都是尸的非空子集 ( i ) 若，是定向的下集，则称，是偏序集) 的理想； ( i i ) 若f 是余定向的上集，则称丁是偏序集( 只) 的滤子 偏序集( 只) 的全体理想作成的集，记作i d l ( p ) ；全体滤子作成的集，记作f i l ( p ) 定义1 2 1 8 【9 】 设l 是完备格，口厶曰c 厶如果口s u p 丑，则称b 为n 的复盖，如果口= s u p 口，则称曰为口的恰当复盖。又设占与c 是的任二子集，如果垤曰，劫c 蚀) ，则 称b 是c 的加细。 定义1 2 1 9 【9 】设l 是完备格，口厶bc 厶如果( i ) 曰是口的恰当复盖；( i i ) b 加细口的每个复盖 那么，称b 是口的极小集 定义1 2 2 0 【9 l 设l 是完备格，口l 口cl 如果( i ) i n f a = 口；( i i ) 若ccl 且i n f cs 口，则协 a ，存在) ，c 使y j ，则黼为口的极大集 5 北方工业大学硕士学位论文 设l 是完备格，口l 则口的若干个极小集( 极大集) 的并仍是日的极小集( 极大集) ，从而若口有 极小集( 极大集) ，则必有一最大极小集( 极大集) ，记作p ( 口) ( a ( 口) ) 同时记：卢4 ( 口) = m ( l ) n p ( 口) ，a + ( 口) = p ( l ) n 口( 以) 定义1 2 2 1 【l o l 一个范畴够是由： ( 1 ) 一族对象曲汐 ( 2 ) 任意一对对氦4 毋，对应一个集合够似，b ) ，其元素称为态射，使得当a a 或者b 时，够( a ，b ) 与够( a ，曰) 不交满足下列条件： ( a ) 复合运算律：若a ，b ，c 够，够( a ，b ) ，g 够，c ) ，则存在唯一的g o 厂够( a ，c ) ，称 为，与g 的复合； ( b ) 结合律：若a ，曰，c ，d 够j 够似，口) ，g 够( b ，c ) ，| l 够( c ，d ) ，则有 ( g o 厂) = ( o g ) ，； ( c ) 单位态射：每一个对瓤，存在一个态射l 够( a ，a ) ，使得对任意的厂够( a ，b ) 及g 够( c ，a ) 有厂ol = l ao g = g 本章对文献【1 】中定义的l f u z z y 映射和文献【8 】中定义的l f u z z y 映射的像与逆像的有关性质 进行了扩充此外，在此基础上给出了l b i f u z z y 单调映射的概念，并对其进行了一系列等 价刻画 6 北方工业大学硕士学位论文 第二章l - b i f u z z y 单调映射 本章对文献【l 】中定义的l f u z z y 映射和文献【8 】中定义的l f u z z y 映射的像与逆像的有关 性质进行了扩充此外，在此基础上给出了l b i f u z z y 单调映射的概念，并对其进行了一系 列等价刻画 2 1l f u z z y 映射的有关性质 定理2 1 1 a ，b ，a 召，则下列条件等价： ( 1 ) ，：a _ b 为l f u z z y 映射； ( 2 ) v 口，丘】：a m _ 丑【口】为映射； ( 3 ) 妇a ( o ) ，【a 1 ：a 【口】_ 曰| 口】为映射 证明( 1 ) 号( 2 ) ( i ) 妇，坛a 【口】，则对于坳m ( l ) 且6 口有工a 纠由( 1 ) 可知砂b 【纠， 使得0 ，) ，) 圻纠又凶为 b ( ) ，) v 易1 6 订，6 m ( l ) ) = 口 和 厂o ，) ，) v 易i 易口，易m ( l ) ) = 口， 所以对协a h ，砂b m ，使得( j ，_ ) ，) 儿】( i i ) 若虫b m ，使得( j ，z ) 圻司，则 ( 工，) ，) ，( 工，z ) 儿】 对帕m ( l ) 且6 以，有o ，) ，) ，( x ，z ) 以6 i 由( 1 ) 知) ，= z 因此v n b ，舶：a 口1 _ b 【口】为映射 ( 2 ) 号( 3 ) ( i ) 妇a ( o ) ，坛a ，即口ga ( a ( j ) ) 令 易= a ( x ) 则石a m 且订ga ( 6 ) 由( 2 ) 知| y b 使得( 工，) ，) 以叫因为口ga ( 易) ，所以 ) ，吼叫b m ，0 ，) ，) 圻纠厂m 即坛a 【l ，母b 【口1 ，使得o ，) ，) ，【口】 ( i i ) 若| z 召【训，使得( 工，z ) 厂陋】贝0 0 ，) ，) ，o ，z ) ，【口】令6 = ， ，) ，) 八，( 工，z ) ，贝u 厂o ，) ，) 6 ，( z ，z ) 扫即 o ，) ，) 圻纠，0 ，z ) 邝】， 由( 2 ) 知) ，= z 所以比a ( o ) ，厂h ：a 【口】一b h 为映射 ( 3 ) 令( 1 ) 由( 3 ) 知讹a + ( o ) ，厂【口】：a 纠_ b 【口】为映射由定理1 2 2 知，厂：a _ 曰为l f u z z y 映 射 7 北方工业大学硕士学位论文 定理2 1 2 龇，b ，且，：a _ b ，对于c a ，d b 有： ( 1 ) 比肘( ) ，屈】( q 】) = 厂( c ) h ； ( 2 ) 沌b ，正口】( c 【口1 ) = ，( c ) 【口】； ( 3 ) 厂( c ) = y ( 口八粕( 】) ) ； ( 4 ) v 口a ( o ) ，【口】( c 陋】) = ，( c ) 【口1 ； ( 5 ) ，( c ) =v ( 口八，【口】( c 【】) ) ； 口a ( 0 ) ( 6 ) a + ( o ) ，眦c 哟= ，( c ) m ； ( 7 ) ，( c ) =v a 厂【口1 ( c 【口】) ) ； 口a + ( o ) ( 8 ) v 口m ( l ) ，幅1 ( 1 ) = 厂1 ( d ) 【n 】； ( 9 ) v 口，届1p h ) = 广1 ( d ) 【口】； ( 1 0 ) ，( d ) 一1 = v ( n 八( ，( ) ) 一1 ( c ( ) ) ) ； 口幻 ( 11 ) v a a ( o ) ，( 厂陋j ) 一1 ( d 陋j ) = ，一1 ( d ) 陋j ； ( 1 2 ) ，( d ) 一1 =v ( 口八( 厂【口1 ) 一1 ( d 【口】) ) ； n a ( o ) ( 1 3 ) v 口a + ( o ) ，( ，【口】) 一1 ( d ( 口) ) = ，一1 ( d ) 【口1 ； ( 1 4 ) 厂( d ) 一1 =v( 口八( 厂【口1 ) 一1 ( d 【口】) ) 口a 4 ( 0 ) 证明( 1 ) m ( l ) ，由定理1 2 4 知 几】( c 【口】) ，( c ) ” 反之，设y ，( c ) 【口】，则，( c ) ( ) ，) 口由 ，( c ) = v ( 口舶( c 【川) ) 口 f ( ) 可知存在易m ( l ) ，使得易n 且圻纠( q 纠) ( ) ，) = 1 于是存缸c 例c 【口l 使得 ，y ) 如】几】 勘几j ( q j ) 得证几j ( q j ) 2 厂( c ) ”因此几j ( j ) = ，( c ) ” ( 2 ) ，设) ，正口】( c 【口】) ，则圻口】( 】) ( y ) = 1 于是存极1 ( 从而c ( j ) 口) 使得( z ，) ，) 儿】，即厂( 工，y ) 口所以c ( 工) 八厂( 石，_ ) ，) 口则对坳肘仁) 且6 口，有 c ( j ) 八，o ，) ，) 易 所以工唧l 且 ，) ，) 舶这表明) ，铂( ) 由( 1 ) 知邝】( ) = ，( c ) 例，即 ，( c ) ( ) ，) = v ( 口八几1 ( c 【口】) ) ( ) ，) 6 口肘( l ) r 北方工业大学硕士学位论文 从而 ，( c ) 0 ，) v 易旧肘( l ) ，6 口) = 以 即) ，( c ) 孙得证几1 ( c 【口1 ) ，( c ) ”反之，设y ，( c ) 【口】，则厂( c ) 0 ，) 口从而对帕m ( l ) 且易日，有厂( c ) ( ) ，) 6 由 ，( c ) = v ( 口八以口】( c 【口】) ) 4 肘( l ) 可知存在c m ( l ) ，使得c 易且圻。l ( c 【。】) ( ) ，) = 1 于是存缸c 【c 】c 【6 i ，使得( 工，) ，) 确柏 从而 c ( 工) v 6 1 6 m ( l ) ，6 口) = 口， 且 ， ，) ，) v 6 i 扫肘( 己) ，6 口) = 口 即) ，几1 ( c 【口1 ) 得证正口】( c 【口】) 厂( c ) ”因此几】( c 【口】) = ，( c ) ” ( 3 ) 由( 2 ) 和定理1 2 1 可得 ( 4 ) a ( o ) ，设) ，【口j ( c m ) ，则厂【口j ( c 口j ) ( ) ，) = 1 于是存在 石c 【口】= n c ( 扪， 口a ( 6 ) ，6 尸( l ) 便得 o ，) ，) 厂m =n 严) 口a + ( 6 ) ，6 j p ( l ) 即对坳p ( ) ，口口+ ( 6 ) ，辄c ( 西) 且 ，y ) 厂( 们这表明y 厂( 扫) ( c ( 6 ) ) 由定理1 2 4 知 产( c ( 6 ) = ，( c ) ( 们， 则y 厂( c ) ( 扪，从而 ) ， n ，( c ) ( 6 ) = 厂( c ) 【口】 口a + ( 6 ) ，6 j p ( l ) 即，【口1 ( c 陋1 ) 厂( c ) h 反之，设 ) ，( c ) i 口1 =n，( c ， 口a ( 6 ) ，6 j p ( l ) 则对v 6 p ( l ) ，口a + ( 6 ) ，有) ，( c ) ( 扪由定理1 2 4 知 所以) ，厂( 6 ) ( c ( 6 ) ) 因此 严( c ( 6 ) = ，( c ) ( 扪， ) ，n严( c ( 6 ) = ，( c 哦 口a ( 6 ) ，6 尸( l ) 9 北方工业大学硕士学化论文 ，( c ) m 厂【j ( c 【口| ) 得证从而厂( c ) 【口j = ，h ( c 【口】) ( 5 ) 由( 4 ) 和定理1 2 1 可得 ( 6 ) 由( 4 ) 可得 ( 7 ) 由( 6 ) 和定理1 2 1 知 ( 8 ) 妇m ( l ) ，由定理1 2 4 知 幅1 ( d m ) 厂1 ( d ) ” 反之，搬，一1 ( d ) f 口1 ，则，- 1 ( d ) ( 工) 口由 ，1 ( d ) ) = v ( 口入届1 ( d 【口】) ) o ) 可知存在易m ( ) ，使得6 n 且圻6 i ( d 【6 1 ) ( ) ，) = 1 于是圻纠( 工) d 【叫d ”从而存在y d 【口】使 得o ，) ，) 抽厢托( 几】) - 1 ( 1 ) 得证 ，叫( d ) 矧( 肛】) - 1 ( d | 口】) 因此m ( l ) ，幅1p h ) = 厂一1 ( d ) 【口1 ( 9 ) v 口b ，魄辐1 ( d 【口】) ，则犯l ( 工) d ”故存在) ，d 【口l ( 从而d ( ) ，) 口) 使得( 工，y ) 犯】 即，) ，) 口，所以 d ( ) ，) 八，( 工，) ，) 口 则对肘( l ) 且厶口，有 d p ) 入，( 工，) ，) 易 所以) ，q 纠且o ，) ，) 抽这表明工而1 ( d 【纠) 由( 8 ) 知自1 ( d 【6 j ) = ，一1 ( d ) 例，即由 ，_ 1 ( d ) ( 工) = v ( 口八届1 ( d 【口】) ) ) 易 口m ( l ) 可知 厂一1 ( d ) ( 工) v 易i 易m ( l ) ，65 口) = 口 从融，一1p ) ，得证 1 p 矧) 厂1 ( d ) ” 反之，协，一1 ( d ) 【口l ，则厂一1p ) ( z ) 口从而对m ( l ) 且易口，有厂( d ) ( ) ，) 易由 厂( d ) ( 石) = v0 八五口】( d 【口】) ) 口 f ( l ) 可知存在c m 仁) ，使得c 6 且圻。】( d ) = 1 于是存在) ，q 。1 d 阶使得 ，) ，) 粕柏 1 0 北方工业大学硕士学位论文 从而 d ( ) ，) 2v 易眵m ( l ) ，易口) = 口，厂( j 【，) ，) v 6 i 易m ( l ) ，6 口) = 口 即工厢1 ( d m ) 得证俪1 ( d i 口】) 2 厂一1 ( d ) m 因此畅1 ( d 【4 】) = ，一1 ( d ) 同 ( 1 0 ) 由( 7 ) 和定理1 2 1 可得 ( 1 1 ) 妇a ( o ) ，魄( ，【口】) 一1 ( d 【口】) ，则( 厂【口】) 一1 ( d 【口】) ( 工) = 1 于是存在 y 洲=n d ( 们， 口a + ( 6 ) ，6 p ( d 使得 0 ，) ，) 厂m =n 严) 口a + ( 6 ) ，6 j p ( l ) 即对坳p ( l ) ，口0 c + ( 易) ，旬d ( 6 ) 且0 ，y ) ，( 们这表明 j ( ，( 口) ) 一1 ( d ( 口) ) 由定理1 2 4 知 ( ，( 6 ) ) 一1 ( d ( 6 ) ) = 厂1 ( j d ) ( 们， 贝l j j ，一1 ( d ) ( 6 ) ，从而 工 n 厂1 ( d ) ( 6 ) = 厂1 ( c ) 【训 口a + ( 6 ) ，6 尸( l ) 即( ，m ) 一1 ( c 【口】) ，一1 ( c ) 【口】反之，设 工厂1 ( d ) h = n 厂1 ( d ) ( 们， 口口( 6 ) ，扫j p ( l ) 贝u 对v 易p ( l ) ，口o c + ( 6 ) ，有) ，( d ) ( 6 ) 由定理1 2 4 知( 厂( 6 ) ) 一1 ( d ( 6 ) ) = ，一1 ( d ) ( 6 ) ，贝u z ( 严) 一1 ( d ( 6 ) 因此 工 n( 严) 一1 ( j d ( 扫) = ( ) 一1 ( 洲) 口a ( 6 ) ，6 p ( l ) ( ，【口1 ) 一1 ( c 【口1 ) 2 ，一1 ( c ) 【口】得证从而( ，【1 ) 一1 ( c 【口】) = 厂一1 ( c ) 【口】 ( 1 2 ) 由( 9 ) 和定理1 2 1 可得。 ( 1 3 ) 由( 9 ) 可得( 1 4 ) 由( 1 1 ) 和定理1 2 1 可得 2 2l b i f u z z y 单调映射及其等价刻画 定义2 2 1 似，尺) ，p ，q ) 为l b i f u z z y 偏序集，厂：a b 为l 如z z y 映射，若妇l ( o ) ，邝l ：a 【口j _ b 【口】为单调映射，则称，：a b 为l b i f u z z y 单调映射 1 1 北方工业大学硕士学位沦文 定理2 2 1 ，尺) ，( b ，q ) 为l b i f u z z y 偏序集，则下列条件等价： ( 1 ) ，：a _ 曰为l b i f u z z y 单调映射； ( 2 ) 妇b ，圻口】