考研数学三命题人考点结构图.pdf

37 考研数学三命题人归纳每章知识结构图考研数学三命题人归纳每章知识结构图 第一部分第一部分 高等数学高等数学 第一章第一章 函数、极限与连续性函数、极限与连续性 函数极限与连续性 函数 函数的概念 反函数，复合函数 常见的几种函数形式 （初等函数、 分段函数、 隐函数、 由参数确定的函数， 由变限积分确定的函数，由级数确定的函数） 函数的四种特性：单调性、奇偶性、周期性、有界性 连续性与间断点的定义 连续函数的性质 判断连续性与判别间断 点类型的方法 定义与性质 判别极限存在与否的方法 未定式 “ 0 0 ”型式“ ” 洛必达法则、变量替换与重要极限、泰勒公式、 等阶无穷小因子替换 未他未定式（转化为“ 0 0 ” ，或 “ ” ） 直接运用法则 分别求左右极限 （四则运算、幂指数运算、代入法） 函数 极限 数列 极限 递归数列 1 () nn xf x + = n 项和的数列 （恒等变形，夹逼法，化为定积分，级数求和） n 项积的数列 （恒等变形，转化为 n 项和） 一般情形（转化为函数极限，恒等变形，夹逼法） 求极限的方法 连续性 极限 38 第二章第二章 导数与微分导数与微分 奇偶性与周期函数的导数性质 隐函数与反函数求导法 分阶函数求导法 含参数方程所确定的函数的求导 对数求导法幂指数求导法 高阶导数 基本求导法则 高阶导数的定义 极大值、极小值 几种微分中值定理 （费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公定、柯西定理） 导数的简单应用 函数单调性与极值的判别 函数图像的凹凸性与拐点的判别 曲线的渐近线与函数作图 微分中值定理与 导数的应用 导数的计算与高 阶导数 导数与微分的定义 相互关系 几何意义与物理意义 基本导数表 导数与微分的四则运算法则 复合函数的求导法则 基本求导法则 （一阶微分形式不变法） 可微可导 连续 导数与微分 洛必达法则 39 第三章第三章 不定积分不定积分 定义 几何意义 原函数存在性 基本概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 常用的凑微分 常用的变量替换 换元积分法（第一，第二换元积分法） 分部积分法 积分法则 有理函数的积分 三角函数乘积积分 按函数类的积分 简单无理函数积分 （待定系数法） 基本积分法 及各类函数 的积分方法 不定积分的概念与性质 不定积分 40 第四章第四章 定积分的计算及应用定积分的计算及应用 定义 几何意义 函数的可积性 定积分的基本概念 反常积分 基本公式 无穷积分 牛顿莱布尼茨公式 变限积分所定义的函数的连续性、可导性及可导公式 分项积分法 换元积分法 分段函数的积分 积分的计算 反常积分 分段积分法 凑微分 变量代换 积分法则+极限运算法则 反常积分的敛散 平面图形的面积 旋转体的体积 函数的平均值 定积分的应用 定积分的计算 定积分的计 算及应用 41 第五章第五章 多元函数微分学多元函数微分学 全微分四则运算法则 微分法则 应用 复合函数求导法与 一阶全微分形式不 变性 求初等函数的偏导数与全微分 多元函数 微分计算 二元函数、二元函数的极限、二元函数的连续性 基本概念之间的联系 偏导数、全导数及全微分 基本概念 两个偏导函数 连续 可 微 连续 函数存在偏 导数 求带函数记号的复合函数的全微分 及一、二阶偏导数 求隐函数的一、二阶偏导数或全微分 二元函数极值的判别法 最值问值 简单极值问题的解法 条件极值问题的解法 多元函数微分学 42 第六章第六章 二重积分二重积分 基本概念与基本性质 二重积分 线性、区域可加性、比较定理、估值定理、中值定理、对称性定理 计算 在直角坐标系中化二重积分为二次定积分公式 二重积分的极坐标变换 二重积分 43 第七章第七章 无穷级数无穷级数 幂级数收敛性的特点 求幂级数收敛域的方法 幂级数和函数的性质 幂级数 幂级数求和与求函数 的幂级数展开式 幂级数的应用 直接法 间接法 数值级数求和 定义 性质 敛散性的判 别方法 常数项级数 求和法 按定义 由 敛 散 的 必要条件 按定义转化幂级数求和 利 用 收 敛 性 的判别法 正项级数 变号级数 收敛条件，比较判别法 交错级数(莱 布尼茨法则) 一般情形 绝对收敛 条件收敛 （幂级数展开的充分条件与充要条件） （几个简单函数幂级数展开式、求导法、变量替换分解法） 无穷级数 44 第八章第八章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 解法 一阶微分方程 二阶微分方程 性质 基本概念（解、阶、通解、特解、初值问题） 常微分方程 基本概念 （差分，差分方程） 一阶线性差方程 通解的结构 求解的方法 一阶差分方程 解的叠加原理 通解（有解）的结构 可化为求解微分方程的情形（含变限积分的方程） 基本类型 可化为的基本类型 变量可分离的方程 一阶线性微分方程 齐次方程 齐次 非齐次 齐次方程 非齐次方程 常微分方程与差分方程 45 第九章第九章 微积分在经济中的应用微积分在经济中的应用 基本概念与公式 最大利润的条件 充分条件 必要条件 微积分在经济中的应用 （函数的变化率、函数的相对变化率、需求函数与供 给函数、成本函数、收益函数、利润函数） 46 第二部分第二部分 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 三角（上三角，下三角）形法 公式法 归纳法 代数余子式 展开公式 展开式 递推法 用行列式的性质 用矩阵的性质 计算 基本概念 1 n ijij j Aa A = =（第 i 行展开） 1 n ijij i Aa A = =（第 j 行展开） 性质（五大性质+1 推论） 数字型 抽象型 用特征值（ 1 n i i A = =）及相似性质 行列式 47 第二章第二章 矩阵矩阵 定义 性质 初等矩阵 求法 分块矩阵 伴随矩阵 定义法 初等变换法 分块矩阵法 定义 运算法则 逆矩阵 矩阵的秩 概念 重要公式与结论 单位矩阵 对称矩阵 列矩阵 特殊矩阵 反对称矩阵 行矩阵 正交矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 概念 mn 个数排成 n 行 n 列的数表 运算 A+B，kA，AB，AT 矩阵的概念及运算 共轭矩阵 求法 定义法 初等变换法 利用矩阵的秩的有关结论 矩阵 48 第三章第三章 向量向量 求法 概念 极大线性无关组 矩阵的秩 向量组的秩 基 概念 n维向量空间 坐标 过渡矩阵 规范正交基 施密特（Schmidt）正交化 维 向 量 组 与 矩阵的秩 齐次方程组（1，2，s）x=0 有 0 解 r（1，2，s）=S 充要条件 某i（i=1，2，s）可由其余 s-1 个向量线性表出 n+1 个 n 维向量 多数向量可由少数向量表出 充分条件 判别 概念 线性相关 运算 加法、数乘、内积 定义 任意向量i不能由其余向量表出 r（1，2，s）=S 充要条件 齐次方程组（1，2，s）x=0 有 0 解 阶梯形向量组 充分条件 判别 概念 线性无关 向量组的线性相关 与线性无关 向量 49 第四章第四章 线性方程组线性方程组 概念 克莱姆法则 初等行变换 线性方程组解的结构与判定 解的结构 列向量组线性相关 解的判定 齐次线性方程组（有非零解） 非齐次线性方程组 关系 Axb=有惟一解Ax= 0只有零解 Axb=有无穷解Ax = 0有非零解 自由变量 特解、通解 解的性质 若是齐次线性方程组Ax = 0的解，则k也是它的解 ( )r An 增广矩阵A满足( )()r Ar A= Axb=有解( )( )r Ar A= 若 12 是齐次线性方程组Ax = 0的解， 12 也是它的解 线性方程组 50 第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 矩阵的特征值与特征向量 定义 性质 求法 不同特征值的特征向量线性无关 k重特征值至少有k 个线性无关的特征向量 特征值 实对称矩阵 定义法 特征多项式0EA= 111 , nnn iiii iii aA = = 基础解系法0EA= 定义法 特性 特征向量 与对角矩阵相似 可用正交矩阵对角化 定义 性质、必要条件 EAEB= 11 nn iiii ii ab = = ( )( )r Ar B= AB= 可对角化 充要条件 充分条件 A 有 n 个线性无关的特征向量 A 是实对称矩阵 A 有 n 个不同的特征值 A 是实对称矩阵 () ii rEAnn= PAPB= 相似 51 第六章第六章 二次型二次型 合同 定义 充要条件 充分条件 T C ACB=，C可逆 T x Ax与 T x Bx有相同的正负惯性指数 AB 二次型及其矩阵表示 T x Ax 二次型的秩 惯性定理 正、负惯性指数 化标准形 配方法 正交变换法 特征值 相似 规范形 标准形 二 次 型 和 它 的标准形 定义 判定条件 性质 ( T x Ax0（0 x ）) 正惯性指数 0 x T C ACE=，C可逆 特征值都大于 0 存在可逆矩阵C， T AC C= 顺序主子式全大于 0 可逆 1 , Tmx AAAA kA 都是正定矩阵 若B也为n阶正定矩阵，A+B为正定矩阵 正 定 二 次 型 与正定矩阵 二次型 52 第三部分第三部分 概率论与数理统计初步概率论与数理统计初步 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 随机事件 随机事件的概念叙述 基本事件、样本空间、必然事件、不可能事件 独立 定义 概率 性质 定义 公式 非负、有界、单调不减、有限可加 加法公式、减法公式、求逆公式 概念 性质 包含、相等、互不相容、对立、完备事件组 关系 运算 形式 法则 条件概率 概型 公理化定义、统计定义、古典定义、几何定义 (乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式) 等可等概型 几重伯努利概型 古典概型 几何概型 随机事件与概率 53 第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 定义 分类 随机变量 基本型 混合型 (基本型的线性组合) (离散型、连续型) 分布函数 概率分布 离散型的概率分布 连续型 函数的分布 常见分布 定义 充要条件与性质 定义 充要条件与性质 定义 充要条件与性质 定义 求法 （分布函数法） 离散型 连续分布均匀分布、指数分布、正态分布 0-1 分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布 定义 求法 随机变量及其概率分布 54 第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布 多维随机变量 基本概念 主要类型 相互独立性 二维、多维随机变量 定义 充要条件 离散型 连续型 性质 离散型 连续型 概率分布 常见分布 分布函数 连续分布 离散分布 两个随机变量函数分布 二维均匀分布、二维正态分布 边缘分布函数 联合分布函数 定义 充要条件与性质 边缘密度 条件密度 边缘密度 条件密度 求法 和分布、积分布，max(x,y)分布，min(x,y)分布 分布函数 公式法 多维随机变量及其概率分布 55 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 常用数学特征 数学期望 方差，标准差 相关系数 协方差 矩 中心矩 计算方法 定义法 性质法 由随机变量的分布直接定义公式计算 常用线性化简后再计算 原点矩 定义与性质 随机变量的数字特征 56 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 大数定律 大数定律和中心极限定理 切比雪夫大数定律 伯努力大数定律 辛钦大数定律 依概率收敛（P-收敛） 性质 定义 中心极限定理 列维林德伯格定理 棣莫弗一普拉斯中心极限定理 57 第