考研高数全册小结论--陈文灯老师.pdf

考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 文登精编的高数小结论文登精编的高数小结论 1 1 1 1 等价无穷小（等价无穷小（x x x x0 0 0 0） 2 (1).sintan1ln1sinarctan 1 (2).1 cos 2 (3).(1)1 (4).1ln (5).11 (6). 11 (7).log (1) ln x a x n n a xxxexarcxx xx xax axa x x n x x n x x a + + + + 2 2 2 2 2 00 | 22 1 sintan1 cos 2 xx xxxxx 0)y=sinwx(w0)y=sinwx(w0) 它的半个周期与它的半个周期与 x x x x 轴围成的面积为轴围成的面积为 s=2s=2s=2s=2/w/w/w/w 把它的半个周期分成三等分把它的半个周期分成三等分, , , ,中间的那部分面积为中间的那部分面积为 s s s s =1/w=1/w=1/w=1/w 显然显然 s=2ss=2ss=2ss=2s 0 3 2 3 2 sin 1 sin w w w Swxdx w Swxdx w = = 11.11.11.11. 定积分部分定积分部分 （1 1 1 1）如果函数）如果函数 f f f f（x x x x）在）在-a,a-a,a-a,a-a,a上连续上连续 0 0 0(f( ) ( ) ( )() 2( )( ) aa a a x f x dxf xfx dx f x dxf x =+= 如果为奇函数 如果为偶函数 （2） 2 2 cos0 sin0 (cos) (sin) kxdx kxdx kxdx kxdx = = = = 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 (3) , cossin0 coscos0 sinsin0 k lNkl kxlxdx kxlxdx kxlxdx + = = = 设且则 (4). 设设 f(x)f(x)f(x)f(x)是以周期为是以周期为 T T T T 的连续函数的连续函数 2 0 2 0 (1).( )( )( ) (2).( )( ) T a TT T a a nTT a f x dxf x dxf x dx f x dxnf x dx + + = = (5). 特殊积分特殊积分 2 0 0 22 0 22 0 0 2 1 (0) sin(0,0) cos(0,0) sin x 2 u ax pt pt edu edxa a w ewtdtpw pw p ewtdtpw pw dx x + + + + + = = = + = + = (6). 关于三角函数定积分简化关于三角函数定积分简化( ( ( ( 注意：注意：f(x)f(x)f(x)f(x)是定义在是定义在0,10,10,10,1上的函数上的函数) ) ) ) 2222 0000 22 000 22 000 0 2 0 (1)(sin)(cos)(sin)(cos) (2)(sin)2(sin)2(cos) (sin)2(sin)2(cos) 0() (3)(cos) 2(cos) (4)(sin nn nnn n n fx dxfx dxxdxxdx fx dxfx dxfx dx xdxxdxxdx n xdx xdx = = = = 特 别 的 特 别 的 为 奇 数 （ n为 偶 数 ） 2 0 2 0 2 0 2 0 22 00 2 0 0() ) 4(sin) 0() (5)(cos) 4(cos) (6)(sin)(cos) 1352 (7)(sin).() 243 1351 .() 242 2 ( n n n n nn n n xdx xdx n xdx xdx xdxxdx nnn xdxn nnn nnn n nnn = = = = = 为 奇 数 （ n为 偶 数 ） 为 奇 数 （ n为 偶 数 ） 为 正 奇 数 为 正 偶 数 00 8)(sin)(sin) 2 xfx dxfx dx = 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 11.11.11.11. 图像分段的函数不一定是分段函数（如图像分段的函数不一定是分段函数（如 y=1/xy=1/xy=1/xy=1/x） 分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如 y=|x|y=|x|y=|x|y=|x|） 12.12.12.12. 如何证明一个数列是发散的？如何证明一个数列是发散的？ （1 1 1 1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值）只要找到的两个子数列收敛于不同的值 （2 2 2 2）找一个发散的子数列）找一个发散的子数列 13.13.13.13. 必记极限必记极限 0 0 ! (1)lim0 (2)lim1 (3) limln0 (4) lim1 (5)lim0 ! n n n n x x x n n n n n xx x a n + + = = = = = 14.14.14.14.函数函数 f(x)f(x)f(x)f(x)在在a,ba,ba,ba,b有定义，且有定义，且|f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|在在a,ba,ba,ba,b上可积，此时上可积，此时 f(x)f(x)f(x)f(x)在在a,ba,ba,ba,b上的积分不一定存在上的积分不一定存在 列如：列如： 1 ( ) -1 x f x x = 为有理数 为无理数 15151515 注意注意 ( )0( )(, )( )( ) ( ,)( )( );( ) faf xaxaaf xf a xa af xf af xU 若，只能得到结论：在 点严格增加。即有 有但不能得到结论：在 （a, ）内单调增大 16161616 2 1,2 设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0 应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x -3x+2)的可导的点 显然为 17171717. . . .函数取得极值的第二充分条件函数取得极值的第二充分条件 (1) 00000 ( ) 0 ( ) 00 ( ) 00 0 ( )()()()()0 ()0(2) (1)2()0() (2)2()0() () n n n n f xnffff fn nkff nkff f xxxxx x xx xx x = = 设在处 阶可导，且 且为极大值 且为极小值 (3)n=2k+1不是极值点 18181818. . . .拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件 0 (1)( ) 0000 00 ( ) ()()()0()0 (,() nn f xn ffff f x xxxx xx = 设在处 阶可导（n2且为奇数） 若， 则为拐点 19191919 . . . .用求导法判断数列的单调性用求导法判断数列的单调性 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 1 21 21 212 (),( ) (2) ( ) nnn n n nn f AAIf xI AAA AAA f xI AA + = 设A若在区间 上单调递增 则：(1) 注意：若在区间 上单调递减 则：与两数列具有相反的单调性 20202020. . . .( )0( )fxfx题目中如果出现单调 21212121 2 ln(1)(0)xxxx+ 22222222 无穷小小谈无穷小小谈 0 (1)0() (2)0()()() () (3)0() () (4),0()() ()()() mn mnn m m n n mnm n mnm n x nmxo x nmo xo xo x o x nmo x x o m nxo xo x o xo xo x + + = += = = i i 当时，有 当 当 当 注意：两个不可以相除 当 23232323 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？ 11111 lim()1() 0(,1,2,3) ! 1 2 3( !) 1 !( !) n n nnnnn n nnnnn k nk n nn n n nnn += = = 哈哈！显然都是NO 之和：其中有无穷多个 之积：取其中 显然 24242424反三角反三角 1 (1)arctanarctan 2 ,0 2 (2)arcsin(sin ) , 2 x x tt t tt += = 25252525 2 1 2 12 min12 ( )| 1 ( )() 24 a a A bxb dx aa Abaa = + = 求的最小值 结论：当b时 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 26262626. . . .()0 2 b a ab xdx + = 27272727 1 0 ln1xdx= 28282828 11 00 11 99 00 (1)(1) (1)(1) mnnm xx dxxxdx xx dxxx dx = = 作用：这下就好求了 29292929 00 00 ( )() 1 ( ) ( )() 2 0 ( )() 1 ( ) ( )() 2 bb aa bb aa bb bb f x dxf abx dx f x dxf xf abx dx a f x dxf bx dx f x dxf xf bx dx =+ =+ = = =+ 若f(x)在a,b上可积 则 特别的当时，有如下推论： （1） （2） 30303030 22 000 , 11111 ( )( ) ( )( ) 2 f x dxfdxf xfdx xxxx + =+ 若f(x)在a,b上可积 则： 31313131 2( ) ( )( ) 2 fx f x fx dxC=+ 32323232连续函数必有原函数且原函数连续，若连续函数必有原函数且原函数连续，若 f f f f（x x x x）是不连续的分段函数，则）是不连续的分段函数，则 f f f f（x x x x）的原函）的原函 数就一定不存在数就一定不存在 33333333 有极限连续 可微偏导连续 有定义偏导存在 34343434对对 2 00 (sin )2(sin ) ( )0,1(0,1,2.) fx dxfx dx f xabnn = += 进行推广： 设在上连续，且 有以下结论： 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 (sin )(sin ) 2 (cos )(cos ) 2 (sin )(sin ) 2 (cos )(cos ) 2 bb aa bb aa bb aa bb aa n xfx dxfx dx n xfx dxfx dx n xfx dxfx dx n xfx dxfx dx = = = = （1）n为奇数 n为偶数 （2）若f(x) 为偶函数，则 35353535 线、面积分中的对称简化线、面积分中的对称简化 2 y 0 2 ( , )2( , ) ( , )0 L L L L x f x y dsf x y ds f x y ds = = （1）对弧长的曲线积分 设连续且分段光滑的平面线弧L关于 轴对称，函数f(x,y)在L上有定义 且连续， 为的半个区域，则： 若f(-x,y)=f(x,y) 若f(-x,y)=-f(x,y) 222 222 2 223 2 0 3222 33 =(), =()02 2cos 2 (), ()=+=0+0=0 L L LLL L LLL Ixyx ds Lax xyx dsxydsx dsx ds aada Ixy ds LxyR Ixy dsxdsy ds + +=+=+ = =+= =+ 例一为y= 解：I 例二为 解：（自己体会一下，为什么？） 2 y 0 2 ( , )2( , ) ( , )0 L L L L x P x y dxP x y dx P x y dx = = （2）对坐标的曲线积分 A.设连续且分段光滑的平面曲线弧L关于 轴对称，函数P(x,y)在L上有定义 且连续， 为的半个区域，则： 若P(-x,y)=P(x,y) 若P(-x,y)=-P(x,y) 有向 22 222 222 2222 (), :()00() , 0 L LLLL L Ixy ydxxdyLyRx Ixy ydxxdyxy dxx ydyx ydyB Ix ydyL I = = = = = 例一其中 为方向为从左到右 解这要用到下面 的结论 例二其中 为双纽线的右半支：(x +y ) =a (x -y ),x0的逆时针方向 解：由于图像关于x轴对称，则 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 1 .y ( , )0() ( , )2( , ) L LL B P x y dy P x y dyP x y dy = = 设连续且分段光滑的平面曲线弧L关于 轴对称，函数P(x,y)在L上有定义 且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则： 若P(-x,y)=P(x,y)上面讲到的就是用的这个结论 若P(-x,y)=-P(x,y) 注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反 对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是 有向 一个道理！一定要把A,B好好的比较 看看两者之间的区别与联系 2 |,(1, 1)(1,1) xy , | + | x L ABCD ABCDABCD Ix y dxxAB L dxdy I xy dxdy I xyxy = + = + = + 例一其中L为y上从到的一段弧 解： 关于 轴对称且方向相反且被积函数x|y|为 的偶函数 故I=0 例二其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为 顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向 解： 第一部分积分：曲线关于 轴对称，且方 1 | y xy+ 向相反，而函数 是 的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0 故I=0 2 (3) ( , , )0 2 ( , , )0 ( , , )=2( , , ) , yozf x y zx f x y z ds f x y z dsf x y z ds zox xoy = 对面积的曲面积分 设分片光滑的曲面关于平面对称，在上连续，是中的一半 则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时， 当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时 对于关于的平面对称有类似的性质 2222 22 2222 4 (), ,() (),2 64 2 15 Ixyz dsxyzazhha yoz xozIzdsa ah Ixyyzzx dszxyxyax xozIzxdsa =+= 设满足：在区间上连续 在区间内可导 则：使得 38.38.38.38.需要记忆的反例需要记忆的反例 2 00 2 00 (1)( ) |0 (2)( )10 ( )000 (0)0,( )0 (1 cos )(1) ( )lim( )lim (sin )(2 )( ) ( )lim()lim h hh hh f xxx f xx f xxx ff xx fhfe AB hh f hhfhf h CD hh = = = = 在处不可导 在点不可导 应用：设则在点处可导的充分必要条件为: 存在存在 存在存在 用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B 39.39.39.39. ,lim1 ()() ,lim1 ()() + (1)若且 则： (2)若且 则： 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 40.40.40.40.特别要注意的地方特别要注意的地方 0 0 ( )(,)( ) ( )( ) ( )( ),( ) ( )( ) ( )( )0( ) (5) x T f xxf x f xf xx f xf xf t dt f xxf x f xf x dxf xx + = 设为上的连续，函数F( )为的一原函数，则： (1)为奇函数任意原函数F( )为偶函数 (2)为偶函数的原函数只有一个是奇函数 即为 (3)任意原函数F( )为周期函数为周期函数 (4)以T为周期的函数且任意原函数F( )以T为周期 函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系 41.41.41.41.几个极限之间的关系几个极限之间的关系 12 12 1 1 1.limlim 2.lim0lim 3.lim0lim lim0lim 2() =3() n n nn n nnn nn n n nn nn n n n nn nn n n aaa aaa n aaaa aaa a aaaa a a aaaa a an n + = = = = = 若则 若且则 若且则 但要注意：若且，不能推出 反例：为偶数 为奇数 42.42.42.42.函数与其反函数图像交点问题函数与其反函数图像交点问题 1 1 (1)( ) (2)( ) 2, f xfx yx f xfx yx yx = = = + 函数与其反函数图像交点有如下两个结论： 设是增函数，其反函数为( )，如果这两个函数图像有交点，则交点 必在函数上 设是减函数，其反函数为( )，如果这两个函数图像有交点，则交点 不一定都在函数上 例如：其反函数就是其本身 43阶乘不等式阶乘不等式 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 (1) ! lim0 ( ) ! 2 ,0 lim0 22 lim0() ! 0 | 0,0 | |( )() ! | 0,() !( ) 0 lim 2 n n n nnnnn n n n n nnn n n n n n n n n e neen n nnn a a n a aea e aa nnn a nn ne e ea e n nn = = = = = 。 。 。 一些不常用的，可以记忆玩玩 1设p2且p为实常数，则 2当时， 当时，则 44444444中值定理中值定理 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 ( ): (1) (2) (3) ( )( ) ( )0 ( ), lim( )lim( ) ( )0 xaxb yf x a b a b f af b a bf yf xa bf xf x a bf + = = = = = 满足 在区间 , 上连续 区间( , )内可导 在区间( , )内至少存在一点 使得 注意：该定理的条件只是充分的，本定理可以推广为： 在区间( , )内可导 在区间( , )内至少存在一点 使得 罗尔定理 ( ): (1) (2) ( )( ) ( ) yf x a b a b f bf a a bf ba = = 满足 在区间 , 上连续 区间( , )内可导 在区间( , )内至少存在一点 使得 拉格朗日定理 ( )( ): (1) (2) (3)( )0 ( )( )( ) ( )( )( ) f xF x a b a b a bF x f bf af a b F bF aF = 及满足 在区间 , 上连续 区间( , )内可导 区间( , )内 在区间( , )内至少存在一点 使得 柯西定理 45454545需注意的地方需注意的地方 1. 2. 1 1. ( )( ),(0,) 2. ( ) , ( ) f xf xx x f xa bf x =+ 可积与连续之间的关系 的连续函数一定是可积的； 可积函数不一定是连续的，但是一定有无穷多个处处稠密的连续点 可积与存在原函数之间的关系 存在原函数，但其不一定可积，例如 在上可积，但不一定存在原函数 闭区间上 ，例如： 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 46464646用泰勒公式分解既约分式用泰勒公式分解既约分式 12 12 1122 12 1212 111222 11 111222 12 ( ) ( )() ()() , ( ) ( ) ( )()()()()()() ( )() r i nnn r nn nnnn ii n ii P x Q xxaxaxa Q x bbbbbbP x Q xxaxaxaxaxaxa bb xaxa =+ + 用泰勒公式分解既约真分式(以下只给出结论) 设是既约真分式，在复数范围内可以分解为则 其能唯一分解为： 1112 12 11 1 (1) 1211 2 ()()()() (1,2, ;1,2,) ()( ) ( ), () ()()()()(1)! 3 (1)(1) ir irr iir nn irrr nnn rrr j ii j j ii ii nnnnn iir bbbb xaxaxaxa bir jn faP x f xb xaxaxaxaxaj x xx + + + = = + 其中都是待定的常数 设且 例一将分成部分分式 解：令 11 2 222 22 11 22 33 33 ( ),(1) (1)4 333 ( ),( 1),( 1) 142 33121 = (1)(1)41(1)1 27 (1)(3) 277 ( ),(0) (1)(3)3 279 ( ),(1) (3)4 271 ( ),( 3) (1) x f xf x x fxff x x xxxxx x x xx x f xf xx x fxf x x x fxf x x = + = = + + + + + = + + = + + = 则 则 例二将分成部分分式 解： 32 4 32 11 4 32 2 222 2 3 12 27791 = (1)(3)34(1)12(3) 92448 (1)(2) 92448 ( ),( 1)1 (2) (2)92448 ( ),(2)24,(2)12,6 (1)2! (2) 1 3! 924 x x xxxxx xxx xx xxx f xf x fxxx fxff x f xx + + + + + + = + = + = 由此可见此法对分母都是一次时特别简单 例三将分成部分分式 解： 2 4432 481241261 (1)(2)1(2)(2)(2)2 x xxxxxxx + = + + 考研真相 阅读基础 90 篇 考研圣经 写作 160 篇 考研英语 3+1 特种试卷 47474747求不定积分的几种特殊技巧求不定积分的几种特殊技巧 0 2 2 1. ( )()( )() 22 2. ( ) ( )( )0 ( )( )2( ) ln(1) ( )()ln(1 ( ) 2 a a aa a x f xfxf xfx f x f xf x dx f xf x dxf x dx xe dx f xfxx x + = = + = 求定积分的几种特殊技巧 定义在对称区间a,b上的任何函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和 表示偶函数，表示奇函数 定义在对称区间a,-a上 为奇函数时， 为偶函数时， (1)求定积分 2 2222 2222 2222 2 2 0 2 1 2 1 2 2 )ln(1)1 ln(1) 22 1111 ln(1)=ln(1) ln(1) 2222 8 0 3 ln(1) (2) 1 ln(1) 1 3. xx x xxx exe xex xe dxxexx dxxex dxx dx x dx xx dx x xx x + =+ +=+ =+= + + + + 表示奇函数