（力学专业论文）模糊随机有限元方法和疲劳损伤的混沌机理.pdf

摘要 对模糊有限元，模糊随机有限元方程解法的研究和对材料疲劳损伤演化中混沌 机制的探讨，都是理论和工程实际中的重要问题。本文对上述两个问题做了如下工 作。 ( 1 ) 提出在单源模糊数下，线性、非线性模糊静态有限元方法和模糊随机有限元 用摄动法和纽曼法求解列式。通过本文的推导证明，其计算量仅相当于求解 普通的随机有限元方程。 ( 2 ) 给出了用 截集法计算模糊随机有限元时，近似计算其概率密度函数和模糊 隶属函数的表达式。 ( 3 ) 根据模糊数学中的有关定义，本文提出在考虑模糊因素影响时，利用 一截集 法将模糊随机结构的极限状态方程转化为普通的随机集上的极限状态方程， 然后用响应面方法确定结构失效模式的新方法。计算与分析表明，该方法的 求解范围比一般的随机有限元方法广，而且几乎可以不加限制地与其它算法 例如有限元，边界元，有限差分法等相结合。因而具有较好的应用价值。心 ( 4 ) 先分析了用 截集法求解模糊动态有限元和模糊随机动态有限元的问题，指 出将得到一个普通的动态有限元和随机有限元的区间平衡方程。( 在满足一定 条件例如l i p s c h i t z 条件下，利用区间数和模糊分解定理，该方程将得到唯一 的最大、最小的两个解，即一个解的区间。当迸一步用单源模糊数和它的运 算法则，对于不含阻尼项的模糊动态有限元和模糊随机动态有限元的平衡方 程可转化为两类方程，一种是模糊数方程，另种是普通的动态有限元或动 态随机有限元平衡方程。这时该方程的计算量几乎等于普通的动态有限元或 动态随机有限元方程的计算量。 ( 5 ) 根据现代非线性动力学理论，本文从疲劳损伤的经验或半经验公式出发，探 讨材料疲劳损伤可能出现的分翁混沌现象。( 根据二级加载的非线性公式和短 裂纹行为，用计算机模拟试验，发现分岔、混沌现象。从此看出，现有的疲 劳损伤的经验和半经验公式，由于是通过大量试验和实践经验而得到的，因 此它们可以较好地反映客观实际情况。研究它们之间各个参变量与疲劳损伤 的关系，仍可找出材料在疲劳损伤过程中可能出现得分岔和混沌现象木 ( 6 ) 根据疲劳寿命试验具有难度较大，其实验数据具有分散性强的特点，如果直 接用灰色预测模型( g m ( 1 ，1 ) ) 作预测，其预测值与真实结果的误差较大。 故提出一种试验仿真的新方法。首先将数据处理成对数序列，以降低其数据 分散性；然后再用灰色预测模型进行预测。( 实验表明，经过这样处理后，由 试验数据所得到的累加序列具有更好的规律性。这时再用g m ( 1 ，1 ) 模型可 以得到较好的预测结果。l 关键词：模糊，随机，有限元方法? 疲劳损伤；混沌 a b s t r a c t i ti si m p o r t a n ti nt h e o r ya n de n g i n e e r i n go fr e s e a r c ho nt h es o l u t i o no ff u z z ys t o c h a s t i c f i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h ec h a o t i cb e h a v i o ro ft h ef a t i g u ed a m a g ee v o l u t i o ni n m a t e r i a l s t h i st h e s i sc o n s i s t so f t w op a r t sa sf o l l o w s ( 1 ) b yt h em o n o s o u r c ef u z z yn u m b e r s a n dt h e i ro p e r a t i o n s ，i ti sp r o v i d e dt h a tt h es o l u t i o n s o ff u z z y1 i n e a ra n dn o n l i n e a rs t a t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n df u z z ys t o c h a s t i cs t a t i c f i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hp e r t u r b a t i o na n dn e w r n a nm e t h o d s i nt h ep a p e r , i tc a nb e p r o v e dt h a tt h ea m o u n to ft h es o l u t i o ni sn e a r l ya sm u c ha st ot h a to ft h eg e n e r a l s t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( 2 、w i t ht h er e s u l t so ft h e c u t t i n gm e t h o dt os o l v i n gf u z z ys t o c h a s t i ef i n i t ee l e m e n t e q u a t i o n s ，t w on e w m e t h o d st oa p p r e c i a t et h ef u n c t i o n sa b o u tp r o b a b i l i s t i cd e n s i t ya n d f u z z ym e m b e r s h i pa r eg i v e n ( 3 ) a c c o r d i n gt ot h ef u z z yt h e o r y , t h er a n d o mi n t e r v a ll i m i ts t a t ef u n c t i o ni so b t a i n e db y 一l e v e ic u t t i n gt h ef u z z y r a n d o m1 i m i ts t a t ef u n c t i o n b a s e do nt h er e l a t i o n so f v a r i a b l e st ot h ep r o b l e m t h er a n d o mi n t e r v a ll i m i ts t a t ef u n c t i o ni st r a n s f o r m e di n t o s o l v i n gt w ok i n d so fg e n e r a ll i m i ts t a t ef u n c t i o n s t h e nar e s p o n s es u r f a c e ( r s l m e t h o d w h i c hi sc o m p o s e do fp o l y n o m i a lf i t t i n gm e t h o d ，r a c k w i t z 、f i e s s l e rm e t h o d a n dm o n t e - c a r l os i m u l a t i o nm e t h o d i sp r o p o s e dt os i m u l a t et h el i m i ts t a t es u r f a c ei n a c t u a le n g i n e e r i n g i nc o n j u n c t i o nw i t ht h er sm e t h o di ns t r u c t u r a lr e l i a b i l i t ya n a l y s i s t h es t a t i o n a r ya n dd y n a m i cs t a t el a r g es t r u c t u r a la n a l y s i sp r o g r a m ss u c ha sf i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，f i n i t ed i f f e r e n t i a t em e t h o da n db o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dc a nb eu s e d w i t h o u tm o d i f i c a t i o nt os o l v et h ep r o b a b i l i t yp r o b l e mi nt h el a r g ec o m p l e xs t r u c t u r a l ( 4 ) w h e nt h eg e n e r a lo rr a n d o mi n t e r v a ld y n u m i ce q u i l i b r i u me q u a t i o n si so b t a i n e db y x l e v e lc u t t i n gt h ef u z z y ( o rf u z z y s t o c h a s t i c ) d y n a m i cf i n i t ee l e m e n te q u i l i b r i u m e q u a t i o n s ，a n di fi ts a t i s f i e ds o m ec o n d i t i o n ss u c ha sl i p s c h i t zc o n d i t i o n t h ep r o b l e m c a nb es o l v e db yt h er e s o l u t i o no fi n t e r v a ln u m b e r sa n df u z z yr e s o l u t i o nt h e o r e m i ti s p r o v e d t h a tt h e p r o b l e mh a st o ws o l u t i o n s u p p e ra n dl o w e rl i m i t s o l u t i o n s f u r t h e r m o r e ，b yt h em o n o s o a r c ef u z z yn u m b e r sa n dt h e i ro p e r a t i o n s ，t h ef u z z y ( f u z z y s t o c h a s t i c ) d y n a m i cf i n i t ee l e m e n te q u i l i b r i u me q u a t i o n s ( w i t h o u tt h er e s i s t a n c e ) c a nb e d i v i d e di n t ot w ok i n d so fe q u a t i o n s o n ei sf u z z yn u m b e re q u a t i o n sa n o t h e ri sg e n e r a l ( s t o c h a s t i c ) d y n a m i cf i n i t ee l e m e n te q u i l i b r i u me q u a t i o n s s ot h ec o m p u t i n gq u a n t i t y o ft h i ss o l u t i o ni sa l m o s te q u a lt o t h a tt h eg e n e r a lf s t o c h a s t i c ) d y n a m i cf i n i t ee l e m e n t m e t h o d ， ( 5 ) w i t ht h ef a t i g u ef o r m u l a sw h i c hh a v eb e e nc o n d u c t e do nm a n ym a t e r i a l s ，s u c ha st h e f o r m u l a t i o nt oe s t i m a t et h ef a t i g u el i f e t i m ei nt w oo rm u l t i 1 e v e l1 0 a d i n ga n di ns h o r t f a t i g u ec r a c kb e h a v i o r s ，t h ef a t i g u ee x p e r i m e n ti ss i m u l a t e db yc o m p u t e r b ya d v a n c e d n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mi nm e c h a n i c sa n dp h y s i c s ，t h eb i f u r c a t i o na n dc h a o si s d i s c o v e ri nt h ep r o c e d u r eo fc o m p l e xl o a d i n gt e s t i nf a c t ，t h o s ee m p i r i c a lf o r m u l a si n t h ef a t i g u ed a m a g et h e o r i e sw e r ef o r m u l i z e do nt h eb a s i so f m a n y e x p e r i m e n t s s ot h e y c a nb ea p p l i e dt oe n g i n e e r i n gp r o b l e ma c c u r a t e l y t os t u d yt h e m ，t h eb i f u r c a t i o n p h e n o m e n o na n dc h a o t i cm o t i o nm a ya l s ob ef o u n di nt h ep r o c e d u r eo f f a t i g u ed a m a g e 1 j ( 6 ) b e c a u s et h et e s to ff a t i g u el i f e i sd i f f i c u l ta n di t sr e s u l t sa l em a n ys c a t t e r s ，an e w m e t h o dt os i m u l a t et h et e s ti sp r o p o s e d t h em e t h o dt a k e st h el o g a r i t h m i cs e r i e st o r e d u c ei t ss c a t t e r , t h e nu s e sg r e y f o r e c a s t i n gm o d e l ( g m ( 1 ，1 ) ) t oe x p e c tf a t i g u el i f e f i n a l l y , t h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h em e t h o dc a nm a k eap r e d i c t i o no ff a i l u r el i f e p r e c i s e l yb yaf e wo f t e s td a t a k e y w o r d s ：f u z z y , s t o c h a s t i c ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f a t i g u ed a m a g e ，c h a o s i l l 1 绪论 本文分两部分组成，第一部分是有关模糊有限元和模糊随机有限元方程的求解 问题：第二部分是结合国家自然科学基金项目”疲劳损伤的混沌机制研究”( 1 9 6 7 2 0 5 1 ) 做的部分工作。下面将分别论述。 1 1 模糊有限元与模糊随机有限元方法的进展 可靠性理论已在实际工程领域得到了广泛的应用，但在实际情况中常常会遇到 这种情况，即在做结构可靠性分析过程中，有些数据由于人们对其认识上的模糊性， 因而用某个数值来精确表达是很困难的，例如结构或构件的安全或失效状态，结构 的许用应力，描述材料性质参数的确定，以及对某些外载荷等级的划分等等，这时 可考虑用模糊数学的方法来处理。这种把可靠性理论与模糊数学相结合而形成的理 论称为模糊可靠性方法或广义可靠性方法。 在结构可靠性分析中引进模糊集理论，是一种能更加接近描述结构真实工作行 为的新的分析方法l 。e l i s h a k o f f 教授总结了1 9 9 8 年以前的有关工作，论述了有关 模糊、随机有限元方面的研究进展和应用情况”1 。r a o 在研究了模糊有限元方法的理 论和方程式之后，提出用区间数求解模糊有限元方程的方法，并给出了若干的算例 1 6 , 7 。v a l l i a p p a n 在前人工作的基础上，提出用于土壤基础分析的模糊有限元的工程 方法1 ”。h a l d a r 则认为对于在役结构的剩余寿命进行评估时，应该同时考虑模糊和 随机因素的影响，提出利用熵作为一个中间量处理结构模糊随机有限元的计算问题 9 1 。国内吕恩琳、禹智涛，王彩华等也对模糊有限元，模糊随机有限元的计算方法 进行了大量的工作 1 0 - 1 3 】。扬缘峰，李桂青”“，提出基于二阶摄动法的模糊有限元方 法，此法可以避开求解区间方程的麻烦。纵观目前的有关研究成果可以发现，模糊 变量多采用l r 型模糊数，而 截集法是目前采用的最多的一种求解方法。 1 2 模糊随机有限元的 截集法 模糊随机有限元的 截集法，是以区间数的运算法则和模糊分解定理为基础， 采用 水平截集的方法将结构的模糊随机有限元基本方程转化为区间方程，然后根 据区间数的运算规则和区间数的分解求解区间方程，最后利用模糊分解定理由区间 解得到模糊解 1 0 - 1 3 1 。 具体做法是，选择一个合适的设防水平 值( 【0 ，l 】) ，用 截集将模糊随 机结构的有限元基本方程 痢i ) ：( 声 ( 1 1 ) 转化为只含随机变量的区间方程组 丝，雨。乜：) 。= p ，_ ) 。 分析整理后得到如下两个普通的随机有限元基本方程 【k 一】 一) = p 一) i 【k + 】扣+ = p + i ( 12 ) ( 1 3 ) 利用随机有限元法求解式( 1 3 ) ，可以得到与入有关的位移和应力等的上、下限 解的均值和方差。在实际求解模糊随机结构有限元方程时， 的取值是人为确定的， 因此往往需要多次对 取不同值，反复求解相应的区间数方程，计算量也将大幅度 增加。 可见，这种方法对结构和模糊随机参量几乎没有什么限制，故其使用范围较广。 但是它的运算量比普通的随机有限元法的运算量要大。如果还想要知道计算结果的 隶属函数时其运算量将更大。另外，目前还很少见到有关求解模糊随机动态有限元方 法的报道。 当用 截集法把模糊随机有限元方程转化为随机有限元方程后，可用蒙特卡罗有 限元法，摄动随机有限元法，纽曼随机有限元法 15 - 1 7 i 。此外利用响应面法可用普通的 有限元方程计算随机结构的可靠性m 。2 q 。但是还没有关于直接用响应面法求解模糊 随机结构方面的报道 1 3 材料疲劳损伤机理研究的进展 疲劳损伤作为工程上常见的失效破坏问题，长时间被人们所关注。以前人们用 确定性的观点进行研究，用实验数据的均值总结出描述材料疲劳损伤的经验或半经 验公式。忽略了其分散性的特点。因此不能描述疲劳损伤过程中的不确定性即分散 性大的特点。 最近的研究表明 2 9 - 3 6 】，疲劳失效现象是依赖于时间的损伤过程，其裂纹萌生、断 裂、松弛、畸变受偶然和必然协同作用控制，材料微观结构、工艺状态、环境和负 载的随机涨落，损伤演化过程伴随固有的分散性。所以，确定性仅描述了材料疲劳 损伤共性的一面，而实验结果的分散性则表明了疲劳损伤的特殊性的一面。考虑到 材料微观组织由于承载过程的几何非线性、物理非线性及迟滞效应等因素而导致其 疲劳损伤呈现非线性特征，并且其疲劳损伤是一种不可逆的耗散过程。因此必须用 非线性数学模型来描述其疲劳损伤的演化过程。然而，非线性疲劳损伤系统会出现 分岔，特别是全局分叉在许多情况下会导致混沌运动。混沌指确定性系统中出现的 一种有限范围的状态变化。这种状态变化类似于随机过程，对初值极端敏感，即初 值有微小的变化，经过很长时间后，状态可能相差很远，这意味混沌具有不确定性， 可以把它视为确定的随机性。“确定的”是因为它有内在的原因而不是外来的干扰所 产生，即过程是严格确定性的；而现象确是不规则的，不能预测的。混沌提供了把 复杂的行为理解为有目的和有结构的某种行为的方法，而不是理解为外来的和偶然 的行为。 目前，运用热力学，混沌学，随机和统计理论研究材料疲劳损伤机理是一大热 点，有关这方面的文章很多。文献【3 3 】研究了疲劳损伤过程中微裂纹的形成变化， 认为微裂纹数的密度演化过程满足l o g i s t i c 映射，当载荷达到一定数值时，出现混 沌现象。文献 3 7 3 8 运用分形理论研究裂纹扩展中的分形效应，文 3 9 4 1 】把力学与 统计物理学及非线性科学以及计算机模拟技术等结合起来研究材料损伤和破坏机 理。这些研究充分表明，疲劳损伤演化过程中存在着分岔，混沌现象。 1 4 展望 综上所述，当前计算受模糊，随机因素影响的工程结构问题，通常是根据模糊 集理论和区间数法则，把模糊集转化成为一个区间范围内的普通集合后，再取其范 围的上下限，然后利用普通的有限元法或随机有限元法计算出该问题结果的上下限 值。这种方法的优点是应用面较广，缺点是其计算量是不含模糊因素的两倍以上。 而且最终无法得到计算结果与模糊集相应的精确的隶属函数。另外，到目前为止，还 没有见到有关模糊随机动态有限元算法的报道。因此，有必要找出一种能够简化计算 量，计算隶属函数的方法和处理模糊随机动态有限元的方法。 对于含模糊因素的工程结构，在很多情况下模糊因素可化为单源模糊数【l ”，考 虑到在单源模糊数情况下，一个模糊数可以分解成为一个实数和一个单位模糊数。 所以建立一种在单源模糊数下的求解模糊随机有限元的方法，先把模糊因素从问题 中分离出来，然后再按常规有限元方法求解，最后将得到含有模糊因素的结果，这 样做不仅可以减少以往先化模糊集为普通集合所需要的大量的工作量，而且更便利 于工程技术人员对于该结构的分析，设计和研究。 对于工程上的一个模糊随机结构问题，尽管可以用随机有限元法计算。但是目 前在我国，随机有限元的计算程序还很不普及，此外有些随机有限元方法对随机变 量的变异系数有很强的限制叫1 。这时用响应面法1 7 2 - 2 8 1 计算该问题就成为一种较好的 方法，目前还没有关于如何用响应面法解决结构广义可靠性问题的报道，因此，提 出一种考虑在模糊因素影响时，用响应面方法确定结构失效模式的新方法也是必须 的。 尽管，许多学者已发表了许多有关疲劳损伤分岔，混沌方面的研究报道，但是上 述研究的角度大多是从材料微观角度出发，重新找出疲劳损伤的演变规律，揭示其分 岔，混沌现象。但是能否从前人用大量实验数据中得到的经验，半经验公式中，发 现疲劳损伤演化的混沌现象，仍值得探讨。此外建立一种以分岔，混沌新观念的， 应用于工程实际问题的，疲劳损伤演化关系也值得尝试。 参考文献 王光远，王文泉抗震结构的模糊可靠性分析力学学报，1 9 8 6 ( 5 ) ：4 4 8 4 5 5 2 】王光远，王文泉，段明珠具有多种失效模式的抗震结构的模糊可靠性分析力学学 报1988 ；20 ( 3 ) ：278 28 2 【3 】k l a i b e rma n d h i e n td ，t h es t o c h a s t i cf e m ：b a s i cp e r t u r b a t i o nt e c h n i q u ea n dc o m p u t e r i m p l e m e n t a t i o n j o h nw i l e y s o n s ，n e wy o r k ，1 9 9 2 【4 】赵雷，陈虬随机有限元动力分析方法的研究进展力学进展，1 9 9 9 ( 2 9 ) ：9 - 1 8 5 i s a a ce l i s h a k o f r ，t h r e ev e r s i o n so ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o db a s e do nc o n c e p t so fe i t h e r s t o c h a s t i c i t y ，f u z z i n e s s ，o ra m i - o p t i m i z a t i o n ，a p p l i , l e c h r e v 1 9 9 8 ( 3 ) 2 0 9 2 1 8 6 r a os sa n ds a w y e r ，f u z z yf i n i t ee l e m e n ta p p r o a c hf o r t h ea n a l y s i so fi m p r e c i s e l y d e f i n e ds y s t e m s a i a a 1 9 9 5 ( 3 3 ) ：2 3 6 4 2 3 7 0 7 r a ossa n db e r k el a n a l y s i so fu n c e r t a i ns t r u c t u r a ls y s t e m su s i n gi n t e r v a l n a l y s i s a i a a 。1 9 9 7 ( 3 5 ) ：7 2 7 7 3 7 8 v a l l i a p p a nsa n dp h a mtd f u z z yf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so faf o u n d a t i o no na l le l a s t i c s o i lm e d i u m i n t j n u m e r i c a la n da n a l y t i c a lm e t h o d si ng e o m e c h a n i c s ，1 9 9 3 ( i 7 ) ： 7 7 1 7 8 9 9 h a l d a r a n dr e d d yr k ，ar a n d o m f u z z ya n a l y s i so f e x i s t i n g s t r u c t u r e s ， 1 9 9 2 ( 4 8 ) ：2 0 1 2 l o 1 0 吕思琳模糊随机有限元平衡方程的摄动解法应用数学和力学，1 9 9 7 ( 7 ) ：6 3 t 一6 3 8 【1 1 】吕恩琳结构模糊有限元平衡方程的一种新解法应用数学和力学学报，1 9 9 7 ( 4 ) ：3 6 1 3 6 6 【1 2 禹智涛，吕恩琳，王彩华结构模糊有限元平衡方程的一种解法重庆大学学报，1 9 9 6 ( 1 ) ：5 3 5 8 f 1 3 】王彩华，朱恒山基于l r 型模糊数运算法则的一种结构模糊方程的解法模糊分析设计 的理论与应用，第三届全国模糊分析设计学术会议文集，北京：中国建筑工业出版社 ( 1 9 9 3 ) ：3 5 3 8 【1 4 】扬缘峰，李桂青基于二阶小参数摄动法的模糊有限元工程力学( 增刊) ，1 9 9 8 ：1 6 3 1 6 7 【1 5 】董聪，刘西拉非线性结构系统可靠性理论及其模拟方法土木工程学报，l9 98 ： 31 ：33 43 f 1 6 r 0 宁，吕泰仁随机有限元及其工程应用力学进展，1995 ；25 ( 1 ) ：114 一l2 6 】7 j 南宫自军，汪亮，张择结构可靠度计算的一种新方法西北工业大学学报，1 9 9 8 ( 4 3 ：5 9 9 6 0 2 【1 8 】王柏生单源模糊数及运算模糊系统与数学，1 9 9 8 ( 2 ) ：4 9 5 3 【1 9 m i n gm a ，m e n a h e mf r i e d m a n ，a b r a h a mk a n d e l ，n u m e r i c a ls o l u t i o n so ff u z z yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f u z z ys e t sa n ds y s t e m s 1 0 5 ( 1 9 9 9 ) ：1 3 3 - 1 3 8 【2 0 l 欧进萍，王光远，王培庄模糊过程与模糊微分方程的解法模糊系统与数学，( 5 ) 1 9 9 1 ：1 1 0 2 1 】周智，于朝霞模糊微分方程及其运算模糊系统与数学，9 ( 1 9 9 5 ) ：4 9 5 3 【2 2 f a r a v e l l ir e s p o n s e - s u r f a c ea p p r o a c hf o rr e l i a b i l i t ya n a l y s i s e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s ，a s c e ， 1 9 8 9 ；1 1 5 ：2 7 6 3 2 7 8 1 2 3 j b u c h e rcg ，b o u r g u n du af a s ta n de 蛹c i e n tr e s p o n s es u r f a c ea p p r o a c hf o rs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y p r o b l e m s s t r u c t u r a ls a f e t y , 1 9 9 0 ；7 ：5 7 - 6 6 2 4 r a j a s h e k h a rmr ，e l l i n g w o o dbr an e wl o o ka tt h er e s p o n s es u r f a c ea p p r o a c hf o rr e l i a b i l i t y a n a l y s i ss t r u c t u r a ls a f e t y , 1 9 9 3 ；1 2 ：2 0 5 2 2 0 2 5 k i msh ，n asw r e s p o n s es u r f a c em e t h o du s i n gv e c t o rp r o j e c t e ds a m p l i n gp o i n t s s t r u c t u r a l s a f e t y , 1 9 9 7 ；1 9 ：3 - 1 9 【2 6 l i uyw m o s e seas e q u e n t i a lr e s p o n s es u r f a c em e t h o da n di t sa p p l i c a t i o ni nt h er e l i a b i l i t y a n a l y s i so f a i r c r a l ts t r u c t u r a ls y s t e m s s t r u c t u r a ls a f e t y 1 9 9 4 ；1 6 ：3 6 4 6 2 7 朱静一种新的结构可靠性计算方法一响应面法上海交通大学学报，i9 95 ：29 ( 2 ) ： 26 31 f 2 8 1 佟晓利，赵国藩一种与结构可靠度分析几何法相结合的响应面法土木工程学报，19 9 7 ；30 ( 4 ) ：5l 一57 2 9 朱照宣非线性动力学中的混沌力学进展，1 9 8 4 ( 2 ) ：1 2 9 1 4 6 3 0 】杨培才湍流运动与非线性科学理论力学进展，1 9 9 4 ( 2 ) ：2 0 5 - 2 1 9 【3 1 1 郭友中，周焕文分叉、怪引子，阵发性与混沌力学进展，1 9 8 4 ( 3 ) ：2 5 5 。2 7 4 3 2 】芦春生，白以龙材料损伤断裂中的分形行为力学进展，1 9 9 0 ( 4 ) ：4 6 8 4 7 7 3 3 】董聪，何庆芝微裂纹演化过程中分叉与混沌现象的描述及若干问题探讨力学进展，1 9 9 4 ( 1 ) ： 1 0 6 1 1 6 3 4 熊峻江混沌疲劳与随机疲劳北京：北京航空航天大学博士学位论文1 9 9 5 【3 5 】孙道恒低周疲劳裂纹演化的实验研究与数值模拟成都：西南交通大学博士后研究工作报 告1 9 9 9 4 3 6 1 刘先斌随机力学系统的分叉行为与变分方法研究成都：西南交通大学博士学位论文1 9 9 5 p 7 】谢和平分形力学的数学基础，力学进展，1 9 9 5 ( 2 5 ) ：1 7 4 - 1 8 5 3 8 】谢和平动态裂纹扩展中的分形效应力学学报，1 9 9 5 ( 2 7 ) ：1 8 - 2 7 3 9 】芦春生，柯孚久，白以龙，夏蒙棼演化诱致突变的计算机模拟中国科学，a 辑，1 9 9 5 ( 2 5 ) ：5 4 6 0 ( 4 0 】夏蒙棼，韩闻生，柯孚久，白以龙统计细观损伤力学和损伤演化诱致突变( i ) ：力学进展， 1 9 9 5 ( 2 5 ) ：1 4 0 4 1 】复蒙棼，韩闻生，柯孚久，白以龙统计细观损伤力学和损伤演化诱致突变( i i ) ：力学进展， 1 9 9 5 ( 2 5 ) ：1 4 5 - 1 7 3 4 2 黄国君，段祝平，王文标单晶易滑移阶段位错结构形成的动力学分析力学学报，1 9 9 8 ( 3 ： 6 5 - 7 4 【4 3 陈立群控制混沌的研究状态与展望上海交通大学学报，1 9 9 8 ( 3 2 ) ：1 0 8 11 3 4 4 张伟机械系统中的非线性动力学问题及其研究进展中国机械工程，1 9 9 8 ( 7 ) ：6 4 - 6 9 4 5 】肖林，顾海澄z r 及z r - 4 合金的循环耗散能、分形维数与疲劳寿命的关系金属学报，1 9 9 8 ( 3 4 ) ： 7 0 5 7 1 2 【4 6 】中国力学学会办公室，中国科学院力学研究所l n m 开放实验室材料和结构的不稳定性北 京：科学出版社，1 9 9 3 ( 4 7 1 j ；$ 道恒，孙训方，唐华平疲劳过程的时空混沌性与微观研究方法疲劳与断裂，航空工业出 版社，1 9 9 8 1 2 ：3 8 9 - 3 9 4 4 8 1 $ 道恒，孙训方，金尧，刘先斌，陈虬，l c r l 8 n i 9 t i 疲劳裂纹群体演化特征的实验研究疲劳 与断裂，航空工业出版社，1 9 9 8 1 2 ：3 8 5 3 8 8 4 9 p o o k lp o nf a t i g u ec k l a a t h s i n t e r n a t i o n a lj o u r n a to ff a t i g u e 。1 9 9 5 1 7 ( 1 ) ：5 - 1 3 【5 0 j a ng m v a nm i e r ，b e r n a r d i n om c h i a i a ，a d r iv e r v u u r t n u m e r i c a ls i m u l a t i o no f c h a o t i ca n ds e l f o r g a n i z i n gd a m a g ei nb r i t t l ed i s o r d e r e dm a t e r i a l s c o m p t m e t h o d s a p p l m e c h e n g r g1 9 9 7 ( 1 4 2 ) ：1 8 9 2 0 1 2 模糊随机结构有限元方法和响应面法 2 1引言 目前，可靠性理论已在工程上得到了广泛的应用，但在实际情况中常常会遇到 这种情况，即在做结构可靠性分析过程中，有些数据由于人们对其认识上的模糊性， 因而用某个数值来精确表达是很困难的，例如结构或构件的安全或失效状态，结构 的许用应力，以及对某些外载荷等级的划分等等，这时可考虑用模糊数学的方法来 处理。这种把可靠性理论与模糊数学相结合而形成的理论称为模糊可靠性方法或广 义可靠性方法。 目前处理含有模糊，随机因素的工程实际问题，常常是着眼于用区间数的解法， 先把含有模糊因素处理成为一个区间范围内的普通集合，取其范围的上下限，然后 利用普通的有限元法或随机有限元法计算出该问题结果的上下限值。这种方法的优 点是应用面较广，缺点是其计算量一般是不含模糊因素的两倍以上。而且最终无法 得到计算结果与模糊集相应的精确的隶属函数。针对这种情况本章在第三节和第四 节分别探讨了如何能够简化计算量和计算隶属函数的方法。 对于含模糊因素的工程结构，在很多情况下模糊因素可化为单源模糊数，考虑 到在单源模糊数情况下，一个模糊数可以分解成为个实数和一个单位模糊数。所 以在求解这类模糊有限元问题时，若先将模糊因素分离出来，然后再按常规有限元 方法求解，最后将得到含有模糊因素的结果，这样做不仅可以减少以往先化模糊集 为普通集合所需要的大量的工作量，而且更便利于工程技术人员对于该结构的分析， 设计和研究。 利用单源模糊数的运算法则，来减少模糊随机有限元方程的计算量。将通过本 章的推导证明，其计算量仅相当于求解普通的随机有限元方程。为了更好地适应现 代工程设计的需要，还进一步提出利用模糊随机有限元方程计算结果求结构模糊失 效概率的近似方法。 对于工程上的一个模糊随机结构问题，尽管可以用随机有限元法计算。但是目 前在我国，随机有限元的计算程序还很不普及，此外有些随机有限元方法对随机变 量的变异系数有很强的限制。这时用响应面法计算该问题就成为一种重要的方法， 目前还没有关于如何用响应面法解决结构广义可靠性问题的报道，因此在第五节根 据模糊数学中的有关定义，提出在考虑模糊因素影响时，利用 截集法将模糊随机 结构的极限状态方程转化为普通随机集上的极限状态方程，然后用响应面方法确定 结构失效模式的新方法。计算与分析表明，该方法的求解范围比一般的随机有限元 方法广，而且几乎可以不加限制地与其它算法，例如有限元，边界元，有限差分法 等相结合。因而具有较好的应用价值。 2 2 单源模糊数定义和运算规则 根据文献 4 】，单源模糊数定义如下 定义1 ：设r 是实数论域， 彳r f ： 则称 t 是r 上所有模糊数组成的集合 ro 月： 6 乙= 矧百；，( j ) ，占e r 为单源模糊数集；称j 为乙的模糊源；称i 为7 j 上的单源模糊数，记为 并且 根据这个定义有， 定理l ：设乙是单源模糊数集， 彳为乃的模糊源 s u 一面- r k 。毛l l k e r = k ，口川 则模糊源j 可用单位模糊数7 表示 ( 1 ) 当oes u p p j 时，j = o5 ( 口i + d ) ( 2 ) 当o s u p 彳时，j = o 5 扣i + 口4 a o ) 7 + 2 a o 。 单源模糊数的运算规则如下： 设c ，x ，y 为任意实数， ( 3 ) jy 7 = gy ) 7 2 ，x f p = t oj = 0 ( 4 ) f , ( y - f ) = ( 形) f ( 2 ，1 ) ( 2 2 ) j ) ( y i ) = 形 瞄殇) = ( 班吣。) ( 当m 0 ，或n o 时，x 0 ) 根据这些定义和运算法则，下面就可以给出模糊有限元平衡方程的解法。 2 3 模糊有限元平衡方程 2 3 1 单源模糊数下的模糊有限元平衡方程 如果在工程结构中，材料的性能参数，边界条件和载荷等是单源模糊数时，该 结构的模糊有限元平衡方程可表为 k p ) ：仁 、 ( z 3 ) 这时其刚度矩阵，载荷向量，节点位移向量等都是模糊的。 目前大多数计算方程( 2 3 ) 的方法是利用模糊理论中有关区间数的运算法则， 把式( 2 3 ) 化为两个以上的普通有限元方程，例如用 截集将方程( 2 3 ) 化为其 上，下限的有限元平衡方程。然后进行求解。这样将得到有关该结构问题的一个区 间解( 解的上，下限) 。其实质上等于处理两个以上同类的有限元方程。其计算量是 同类题目的两倍以上。如果结合有限元理论和工程实际情况可发现，在许多情况下， 可以用几乎与解普通有限元法的工作量来解决。 例如：在杆系结构中，当弹性模量e ，杆的几何尺寸( 例如杆长1 ，横截面a ) 以及外载荷p 为模糊变量时，如果它们可以处理成为满足如下条件， 可视上述单位模糊数经过运算后的模糊数，仍是一种新的单源模糊数。即 8 me ，卜，i l西， 1 1 t二，一= 4 外载荷满足 f = 只7 这时，根据有限元理论，式( 2 3 ) 可表为 妙) = k i 一- p i 忙) = 阱p ) 。 扫 = 【d 】 s l 妙 。i 7 。= 7 彳x 7 r = 7 8 7 “ 7 a ：7 0 7 8 7 。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 这时式( 2 4 ) 与普通的有限元