（系统分析与集成专业论文）微分方程解析解及解析近似解的符号计算研究.pdf

摘要 自然界中的很多现象都可用非线性微分方程来描述非线性微分方程解析解的 研究对洞察事物内部的结构，剖析事物之间的关系，并应用于解释各种物理现象都 超到至关重要的作用高性能计算机豹诞生，极大地摊动了菲线性微分方程领域的 符号计算研究，涌现如了许多构造非线性微分方程解析解的方法和算法。本文以非 线性微分方程为研究对象，借助于非线性代数系统m a p l e ，研究了多种构造非线性 微分方程精确解及解析近似解的方法和算法主要工作如下： 第一部分研究构造菲线性演化方程精确解的方法和算法，其体包括两方面的内 容： 对已有的构造非线性演化方程精确行波解的几种代数方法，如r i c c a t i 方程方 法、耦合的r i c c a t i 方程方法、缎设法、形变映射法等进行了推广和黧合，提浅了椭 圆方程方法”。并结合吴消元法的思想和方法，在计算机代数系统m a p l e 上编写了推 导鼍线性演化方程精确行波解的软件包r a e e m ，该软件包可鲁动推导出输入方程 一系列可能的精确行波解，其中包括多项式群、有理鍪数髂、指数龋数解、三角醢 数解、双曲函数解及j a c o b i 椭圆函数解、w e i e r s t r a s s 椭圆函数解等。 b l i c k l u n d 变换研究对非线性微分方程的可积性及精确解的求解都有十分重要 的意义特别是，一旦从b i i c k l u n d 变换推导出解的菲线性叠加公式，则仅通过代数 运算就可构造微分方程的新勰。我们借鉴已有的构造b i i c k l u n d 变换的方法，提出了 构造1 + 1 维嚣线性演化方程一类自b g i c k l u n d 变换的机械化算法，并结合吴文俊数学 机械化思想，在计算机代数系统m a p l e 上实现了该算法，其中的软件包a u t o b t 不仅 可自动推导斑输入方程的可能的特定类型的自b i i c k l u n d 变换及相虞的参数约束条 件，还可自动推导出解的非线性叠加公式 第二部分研究嚣线性微分系统解析近似解的求艉方法和算法同伦分析方 法是近几年发展起来的构造鼍器线性系统解柝远似解十分有效的方法。与摄动方 法不同，同伦分析方法的有效性与所考虑的非线性问题是否含有小参数无关此 外，不同于所有其它传统的摄动方法和非摄动方法，如人工小参数法，6 展歼方法 和a d o m i a n 分解方法等，同伦分析方法本身提供了一种方便韵途径来控制和调节解 级数的收敛速度和收敛区域。同伦分析方法已被广泛应用予求孵应用数学和力学中 的许多润题。 复合介质在物理学和工程领域随处可见，因此，复合介质的实验与理论研究受 到了广泛的重视摄动方法是求解弱非线性复合介质离题的有效工具求解强非线 性复合介质阀题仍然菲常困难，同伦分褥方法的提出为强非线性闻题的求解提供了 有效的工具文 8 5 】和 8 6 】分别应用同伦分析方法构造丁强鼍暑线性复合介质问题的 解析近似解，然而，为了计算简单，他们酋先应用模式展开法将原系统简化为常微分 系统，且只截取到第一模式项，这使所得的常微分系统与原系统之间存在较大的误 差为了提高解的精度，本文选取线性算子为线性偏微分方程，直接应用同伦分析方 法构造原系统的解析近似解所获结果明显优于已有的摄动解及同伦分析解另外， 本文也将同伦分析方法推广应用到分数阶微分方程情形 关键词：非线性微分方程，符号计算，算法，解析解，解析近似解，贝克隆变换， 非线性叠加公式 a b s t r a c t m a n yp h e n o m e n ai nn a t u r ec a nb ed e s c r i b e dw i t hn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h es t u d yo fa n a l y t i c a ls o l u t i o n st on o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp l a y sav e r yi m p o r t a n t r o l ei np e n e t r a t i n gt h ei n n e rs t r u c t u r e ，i na n a l y z i n gt h er e l a t i o n s h i po ft h i n g sa sw e l la si n i n t e r p r e t i n gv a r i o u sp h y s i c a lp h e n o m e n a t h en a i s s a n c eo fh i g hp e r f o r m a n c ec o m p u t e r g r e a t l yp r o m o t e st h es t u d yo ns y m b o l i cc o m p u t a t i o no fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h e nc o m i n gf o r t ha b u n d a n ta l g o r i t h m sa n dm e t h o d st oc o n s t r u c tt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a r m e dw i t ht h ec o m p u t e ra l g e b r a i cs y s t e m m a p l e ，t h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e n t r a t e so nt h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd om u c h r e s e a r c ho nv a r i o u sa l g o r i t h m sa n da p p r o a c h e st oc o n s t r u c te x a c ts o l u t i o n sa n da n a l y t i c a l a p p r o x i m a t i o no n e s o u rm a i nw o r k sa r es u m m a r i z e db e l l o w p a r tii sd e v o t e dt os t u d yt h ea l g o r i t h ma n dm e t h o dt oc o n s t r u c te x a c ts o l u t i o n so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ed or e s e a r c hf r o mt h ef o l l o w i n gt w oa s p e c t s w ei m p r o v ea n di n t e g r a t es e v e r a la l g e b r a i cm e t h o d so fc o n s t r u c t i n gt h ee x a c ts o l i t a r yw a v es o l u t i o n st on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ss u c ha st h er i c c a t ie q u a t i o nm e t h o d ， t h ec o u p l e dr i c c a t ie q u a t i o nm e t h o d ，t h ed e f o r m e dm a p p i n gm e t h o d ，a n dt h ea n s a t sm a k - i n gm e t h o da n dt h e np r o p o s ea na p p r o a c hn a m e d e l l i p t i ce q u a t i o nm e t h o d b a s e do n w ue l i m i n a t i o nm e t h o d ，w ep r o v i d ea l ls o f t w a r ep a c k a g er a e e mi nc o m p u t e ra l g e b r a i c s y s t e mm a p l e f o rs e e k i n gf o re x a c tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n st on o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ，w h i c hc a no u t p u ta u t o m a t i c a l l yas e r i e sp o s s i b l ee x a c tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sf o r i n p u t t e de q u a t i o ni n c l u d i n gt h ep o l y n o m i a lt y p es o l u t i o n s ，r a t i o n a lf u n c t i o ns o l u t i o n s ，e x - p o n e n t i a lf u n c t i o ns o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rf u n c t i o ns o l u t i o n s ，h y p e r b o l i cf u n c t i o ns o l u t i o n s ， j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n sa n dt h ew e i e r s t r a s se l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n se t c t h es t u d yo fb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o di sv e r yi m p o r t a n ti nt h es e n s eo fi n t e g r a b i l i t ya n dt h es o l v i n go fe x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e s p e c i a l l y , o n c et h en o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l ao fs o l u t i o n si so b t a i n e ds t a r t i n gf r o mt h e b i i c l d u n dt r a n s f o r m a t i o n ，o n ec a nc o n s t r u c tn e ws o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so n l y b ya l g e b r a i cc o m p u t a t i o n b e n e f i t i n gf r o mt h ee x i s t e dc o n s t r u c t i n gb i i c k l u n dt r a n s f o r - m a r i o nm e t h o d , w ep r o p o s ea l lm e c h a n i z a t i o na l g o r i t h mt ob u i l dak i n do fs e l f - b l i c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n sf o r1 + 1n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s 。s i m i l a r l y , u t i l i z i n gt h ei d e ao f w uw e n t s i i nm e c h a n i z a t i o n ，w eg i v eac o r r e s p o n d i n gi m p l e m e n t a t i o ns o f t w a r ep a c k a g e a u t o b ti nm a p l e ，w h i c hc a r ln o to n i yo u t p u tt h es e l f - b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n so fa l l p o s s i b l es p e c i f i e dt y p e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gp a r a m e t e r sc o n s t r a i n t s ，b u ta l s oc a no u t p u t t h en o n l i n e a rs u p e r p o s i r i o nf o r m u l ao fs o l u t i o n s u 1 p a r ti ii sd e v o t e dt os t u d yt h e a l g o r i t h ma n dm e t h o dt oc o n s t r u c tt h ea n a l y t i ca n d 印一 p r o x i m a t i n gs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d i se f f e c t i v ei nc o n s t r u c t i n gt h ea n a l y t i ca n da p p r o x i m a t i n gs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r - e n t i a ls y s t e m s ，w h i c hi sd e v e l o p e di nr e c e n ts e v e r a ly e a r s d i f f e r i n gf r o mt h ep e r t u r b e d m e t h o d ，t h ee f f e c t i v e n e s so ft h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o di si n d e p e n d e n to fw h e t h e r o rn o tt h ec o n s i d e r i n gn o n l i n e a rp r o b l e mh a v i n gs m a l lp a r a m e t e r m o r e o v e r , i ti sd i f f e r f r o ma l lo t h e rt r a d i t i o n a lp e r t u r b e da n du n p e r t u r b e dm e t h o d s ，s u c ha st h em a n u a ls m a l l p a r a m e t e rm e t h o d ，t h e6e x p a n s i o nm e t h o da n dt h ea d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o de t c t h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o di t s e l f p r o v i d e sak i n do fc o n v e n i e n tt o o li nc o n t r o l l i n ga n d a d j u s t i n gt h ec o n v e r g e n c es p e e da n dr e g i o no ft h es o l u t i o ns e r i e s t h i sm e t h o dh a sb e e n w i d e l yu s e di ns o l v i n gm a n yp r o b l e m so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s t h ee x p e r i m e n t a la n dt h e o r e t i c a lr e s e a r c h e sc o n c e m i n gc o m p o s i t em e d i ah a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o nb e c a u s eo ft h e i rp o t e n t i a l l yw i d ea p p l i c a t i o n si ne n g i n e e r i n ga n d p h y s i c s t h ep e r t u r b a t i o nm e t h o di sap o w e r f u lt o o lf o rd e a l i n gw i t hw e a k l yn o n l i n e a r p r o b l e m so fc o m p o s i t em e d i a h o w e v e r ，i ti ss t i l lv e r yd i f f i c u l tt os o l v es t r o n g l yn o n l i n e a rp r o b l e m so fc o m p o s i t em e d i a t h en e wh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o di sa p o w e r f u lt o o l f o rs o l v i n gs t r o n g l yn o n l i n e a rp r o b l e m s t h ea u t h o r si n 【8 5 】a n d 8 6 】h a v ec o n s t r u c t e d t h ea n a l y t i ca p p r o x i m a t i n gs o l u t i o n so fs t r o n g l yn o n l i n e a rc o m p o s i t em e d i ab yt h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d h o w e v e lf o rt h es i m p l i c i t yo fc o m p u t a t i o n ，t h e yf i r s tp r e d i g e s t t h eo r i g i n a ls y s t e mi n t oa no r d i n a r ys y s t e mw i t ht h eh e l po ft h em o d ee x p a n s i o nm e t h o d a n d j u s tk e e pt h ef i r s tm o d e ，t h i sm a y e v o k eg r e a te i t o r sb e t w e e nt h eo r i g i n a ls y s t e mw i t h t h er e d u c e do r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m t og e tt h eh i g h e rp r e c i s i o n ，i nt h i sp a p e rw e c h o o s el i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sl i n e a ro p e r a t o r s ，a n dd i r e c t l yc o n s t r u c tt h e h o m o t o p ya n a l y s i ss o l u t i o n sf o rt h eo r i g i n a ls y s t e m o u ro b t m n e ds o l u t i o n sa r eo b v i o u s l y s u p e r i o rt ot h ek n o w no n e s a n o t h e r i n n o v a t i o ni st h a tw ee x t e n dt h eh o m o t o p ya n a l y s i s m e t h o dt os o l v i n gf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，a l g o r i t h m ，a n - a l y t i cs o l u t i o n ，a n a l y t i ca n da p p r o x i m a t i n gs o l u t i o n ，b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，n o n l i n e a r s u p e r p o s i t i o nf o r m u l a i v 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的 研究成果。对本文的研究傲繇重要贡献的个入和集体，均已在本文中作了明确的说 明并表示谢意 作一：盥啤 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使焉学位论文的规定，学校有权保镶学 位论文并向园家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要出版。保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：辨导师签名： 日 期：2 1 基：i ： 日期- 型2 ：i ：l 第一章绪论 我们的宇宙具有很强的非线性性，非线性科学贯穿着数理科学、生命科学、空 间科学和地球科学等，成为当代科学研究重要的前沿领域近几十年来，随着高性能 数字计算机的诞生和不断发展，各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的 兴趣和重视特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题，归根结底都依 赖于某些特定的非线性方程的求解所以无论在理论研究方面，还是在实际应用中， 非线性方程的求解都占有非常重要的地位特别是求解非线性方程的解析解，相对 于数值解，这些解可以帮助人们理解物理参数对解的影响，以便作进一步的理论分 析，从而弄清所研究问题的实质 1 1 研究背景 符号计算是随着计算机科学理论与技术的发展而产生的一种新型计算技术，它 主要探讨以符号、公式为对象的算法研究国际上在上世纪8 0 年代就积极推进基 于符号的计算机处理方法、发展利用计算机进行分析演算与推理的理论和实践我 国在符号计算领域的基础研究走在世界的前列，上世纪7 0 年代吴消元法的提出，是 中国当代数学发展中一个引人瞩目的具有中国传统特色的新里程碑该机械化工作 被国际数学和计算机科学界普遍称之为吴方法和吴原理【l 】目前，该方法已在物理 规律的发现、机器人学、计算机视觉以及促进现代数学研究等重大高科技的前沿领 域实现了成功的应用。 近二十年来符号计算在各个学科中的应用蓬勃发展，国际上在微分方程解析 解及解析近似解的推演方面也出现了很好的工作，例如，es c h w a r t z 将符号计算与 微分方程李群分析相结合，编写了微分方程对称计算的符号计算软件包m 【q j w h e r e m a n 借助指数函数的级数展开提出了利用计算机推导非线性发展方程孤波解 的符号计算方法p 】在微分方程摄动分析等领域甚至还出现了有关符号计算方法的 专著 6 5 1 1 6 门我国尽管在符号计算的基础研究方面走在世界的前列，但应用研究起 步较晚，特别是在微分方程领域的符号计算研究，几乎是随着符号计算系统的不断 发展及吴消元法在符号计算系统上的机械化实现，才逐步掀起了国内微分方程领域 1 1 研究背景 符号计算研究的热潮发展出了很多构造非线性微分方程解析解的直接代数方法及 机械化算法有关这些方法和算法我们将在第二章详细阐述李志斌瞄o ，别1 在国内 首次尝试非线性微分方程解析解的计算机自动推导，取得了较好的效果戴世强【门， 胡星标8 ，楼森岳吼范恩贵【1 1 1 等也在各自所从事的研究方向作了开拓性的工作 构造微分方程的解析解固然重要，然而真正能构造出有效解析解的方程只是很 少数一部分求解一般的非线性微分方程仍然非常困难因此，构造非线性微分方 程的解析近似解是非常重要且有意义的工作摄动方法1 6 5 1 _ 【6 7 1 是一种被广泛地应 用于求解非线性问题解析近似解的工具之一摄动方法成功地解决了很多非线性问 题，揭示了许多有趣而重要的非线性现象和性质，其本身也在不断发展和完善但 是摄动方法具有局限性首先，摄动方法无法突破对小参数或者大参数的依赖但 不是所有的非线性问题都含有小参数或者大参数，这大大限制了摄动方法的使用范 围其次，对强非线性问题，摄动方法往往不再有效 基于拓扑学中的同伦这一基本概念，廖世俊发展出了一种求解非线性问题解析 近似解的新方法，即同伦分析方法【7 0 l “，1 1 与摄动方法相比，同伦分析方法具有以下 几个优点： 1 ) 同伦分析方法不考虑方程中是否含有小参数或者大参数同时，同伦分析方 法对强、弱非线性问题都有效 2 ) 同伦分析方法本身提供了一种方便的途径来调节和控制解级数的收敛区 域和收敛速度廖世俊【7 0 1 通过在同伦中引入辅助参数h ，使所获得的解级数中含 有h 该参数可调节和控制解级数的收敛区域及收敛速度 3 ) 同伦分析方法提供给我们很大的自由度来选择基函数列，辅助线性算子及 初始假设这使得同伦分析方法的使用更为方便和有效另外，廖世俊给出了两个 有效的法则，即解表达式法则和各态历经法则这两个法则可指导我们选取基函数 列，线性算子和初始假设等这两个法则的提出完善了同伦分析方法，同时使同伦分 析方法的使用更加简单、易行同伦分析方法已被成功应用于求解很多应用数学和 力学中的非线性问题 计算机代数和计算机代数系统的飞速发展，为非线性科学的研究提供了十分强 有力的工具我们的许多工作都是基于m a p l e 平台完成的目前，在计算机代数系 统m a p l e 8 及以上的版本中，就微分方程领域，提供了一些专用的软件包，如处理常 微分方程和偏微分方程的常用软件包d e t o o l s 及p d e t o o l s ；处理经典l i e 对称软件 包l i e s y m m ；化简超定方程组的d i f f a l g 和m 软件包等这些处理微分方程专用软件 包的出现，极大地丰富了计算机代数系统的功能，使广大学者能抽出更多的时间做 创造性的工作 2 1 2 本文的选题和主要i 作 1 2本文的选题和主要工作 随着计算机代数和计算机代数系统的不断发展，构造非线性微分方程解析解及 解析近似解的计算机处理方法越来越受到广大学者的青睐，相继诞生了许多新的求 解方法及算法本文在前人工作的基础上，以符号计算及数学机械化思想为指导，主 要研究了非线性微分方程解析解及解析近似解的构造方法和算法具体工作如下： 1 ) 将r i c c a t i 方程方法，耦合的r i c c a t i 方程方法，三耦合的r i c c a t i 方程方法，假 设法和形变映射方法等进行整合，发展成统一代数方法，我们称之为“椭圆方程方 法”通过该方法可推导出非线性演化方程一系列不同类型的精确行波解，其中包 括多项式形式解、有理函数解、指数函数解、三角函数解、双曲函数解、j a c o b i 椭 圆函数解及w e i e r s t r a s s 椭圆函数解等并在计算机代数系统m a p l e 上编写了推导非 线性演化方程精确行波解的软件包r a e e m ，该软件包不仅可自动推导出输入方程 一系列可能的精确行波解，同时还可自动推导出相应的参数约束条件 2 ) b i i c k l u n d 变换方法也是构造非线性演化方程精确解的一种十分有效的方法 因为我们可从已知的解出发，利用b i i c k l u n d 变换去构造其他方程或同一方程的新 解，如此反复进行，可获得非线性演化方程的一系列解本文发展了已有的变分方 法，提出了构造非线性演化方程一类自b i i c k l u n d 变换的机械化算法并在计算机代 数系统m a p l e 上进行了实现，其中的软件包a u t o b t 不仅可推导出输入方程可能的 自b l i c k l u n d 变换，还可推导出解的非线性叠加公式 3 ) 同伦分析方法是近几年发展起来的构造非线性系统解析近似解的一种十分 有效的方法本文将该方法推广应用到分数阶微分方程的求解之中；另外，本文将 同伦分析方法推广应用到非线性微分方程组的求解之中，用它求解经典的非线性复 合静电边值问题，所获结果明显优于已有的摄动解而且，摄动解仅对弱非线性系 统有效，而我们求出的同伦分析解，不仅对弱非线性系统有效，且对强非线性系统有 效 3 第二章构造非线性演化方程精确解的 一般原理 在非线性微分方程中，有一类描述随时间而演变的过程的非线性模型通常 被称作非线性演化方程或非线性发展方程非线性演化方程的求解，始终是偏 微分方程研究中十分重要的课题，长期以来一直受到数学家和物理学家的高 度重视他们已提出并发展了许多求解非线性演化方程的方法和技巧，如反散 射方法( i s t ) 【啪，h 的t a 方法【1 6 1 ，对称约化方法吼d a r b o u x 变换和b ；i c k l u n d 变换方 ：法1 1 9 1 ，【2 0 1 ，混合指数方法【5 】，齐次平衡方法【2 1 1 ，函数展开方法【2 2 】一1 2 4 1 等 吴消元法i l 】的提出，为非线性演化方程的求解提供了十分强有力的方法和手 段国内基于吴消元法发展出了许多构造非线性演化方程精确行波解的直接代数 方法和算法f 1 0 ，1 1 ，2 6 ，3 6 ，4 1 1 并由此获得了许多非线性演化方程的精确解，所得结果 除涵盖已知的解外，还发现了许多新的解及形式更为一般的解纵观这些方法和算 法，它们的基本原理是一致的，都是利用低阶微分方程( 组) 及其解来构造高阶更复 杂方程的解下面我们简要介绍这些方法和它们的基本原理为了简单起见，我们 以1 + 1 维单个的非线性演化方程为例，对高维的和耦合的非线性演化方程可类似 地处理 考虑非线性演化方程 h ( u ，地，u 霉，乱武，让z 霉，) = 0 ， ( 2 1 ) 其中让= 钍( z ，t ) ，日为其变元的多项式低阶微分方程基的代数方法的基本原理为： 步骤1 作行波变换= k x w t ，将非线性演化方程约化为常微分方程( 如果 方程本身为常微分方程，该步省略) ，我们仍表示为 日( u ( ) ，v ( n ，u ( 2 1 ，u ( 引，) = 0 ， ( 2 2 ) 其中u ( ) = u ( k x 一叫亡) ，u g ) 表示u ( 专) 关于的j 阶导数 4 步骤2 确定解的阶数这是一个关键步骤，关于如何确定解的阶数? 目前还没 有统一的理论来解决它在实际应用中，人们都是通过平衡方程中线性最高阶 导数项与最高非线性项的“阶数”来确定解的阶数 步骤3 作先验假设，令u ( ) = f ( ，妒，) ，其中西，妒等是某些低阶微分方 程砂( t ) = g 1 ( ，妒，) ，妒( ) = g 2 ( ，妒，) ，的解这里要求这些方程的 通解或特解已知 步骤4 将阶数确定的先验假设解代入常微分方程( 2 2 ) 中，并利用，矽，所 满足的低阶微分方程，得到关于，妒，及其代数式的多项式方程考虑到 方程中各项是相互独立的，则得到关于未知参数的非线性代数方程组 步骤5 如果非线性代数方程组存在非平凡解，那么根据变换u ( ) = f ( ，妒，) 和低阶方程的解来表示原方程的解 因非线性演化方程的精确解( 包括孤波解，周期解和双周期解等) 一般是由双曲 函数，三角函数，指数函数，j a c o b i 椭圆函数等组成的n g t _ k 述基本原理中的低 阶常微分方程可选择具有这些函数的解的方程，如r i c c a t i 方程，耦合的r i c c a t i 方 程，s i n e g o r d o n 约化方程，椭圆方程等根据上述基本原理，下面提出若干求非线性 演化方程精确行波解的构造性算法 2 1r i c c a t i 方程方法 该方法( 算法) 的基本步骤如下： o 步骤1 作行波变换= k x w t ，将原偏微分方程约化为常微分方程( 如果原 方程本身是常微分方程，该步省略) o 步骤2 因为解的阶数决定于方程中的最高次幂项，故令u ( ) = m ( ) ( 注：这 个假设只用于确定解的阶数，不能用于后续的处理) ，其中( ) 满足r i c c a f i 方 程 7 ( ) = n 1 + p 2 ( ) 】， ( 2 3 ) 其中r = 4 - 1 ，肛= 4 - 1 从r i c c a t i 方程( 2 3 ) 中可看出， d ( 掣) _ 0 ( m 州，咿掣) - 。( 礼m + m 州 将上述假设式和r i c c a t i 方程代入常微分方程( 2 2 ) 中，通过平衡方程中线性最 高阶导数项与最高非线性项的“阶数”，即可确定解的阶数 5 步骤3 将阶数确定的解的假设式u ( ) = a o + 0 1 妒( 毒) + + 妒( ) 代入常 微分方程( 2 2 ) 中，并反复利用r i c c a f i 方程( 2 3 ) ，得到关于( ) 的多项式方程 令方程中不同次幂项的系数为零，得到关于未知参数的非线性代数方程组 步骤4 利用吴消元法并结合计算机代数系统m a p l e ，求解所得到的非线性代 数方程组，可得关于o t 0 = 0 ，仇) ，k ，伽等的可能的非平凡解 步骤5 返回原来的变量，即可生成原方程的精确解 我1 ij 汪葸剑，当r = 士1 ，弘= r 盯，刀崔( 2 3 ) 具伺周期解 绯，= ! 拦戡 亿4 ， 当r = 4 - 1 ，p = 一r 时，方程( 2 3 ) 具有孤波解 北，= 盏蒜姑 亿5 ， 因此利用r i c c a f i 方程方法，不仅可构造出非线性演化方程的正则孤波解和奇 异孤波解，还可构造出周期解需要强调的是，双曲正切方法是上述r i c c a t i 方程方 法的特例，即只考虑孤波解的情形 例1 考虑耦合的b o u s s j n e s q 方程【3 1 】 舰+ + u u z + s 钆z z 2 o ， ( 2 6 ) i 仇+ ( 乱u ) z + r 噶+ p u z z z = 0 ， 、。 其中u = 乱( z ，t ) ，口= v ( x ，t ) ，p ，8 ，r 为常量 作行波变换= kx wt ，则方程( 2 6 ) 简化为如下常微分方程 w u ，+ 彬7 + k u u + s k 2 - 0 ，( 2 7 ) 1w v 7 + e ( u v ) 7 + r k 2 u + p k 3 u = 0 ， 、。 其中u ) = u ( k x w t ) ，y ) = v ( k x 一伽t ) 。 令u ( ) = 妒- ( ) ，y ( ) = 妒2 ( ) ，将其代入方程( 2 7 ) 中，并利用r i c c a t i 力 程( 2 3 ) ，通过平衡方程中线性最高阶导数项与最高非线性项的阶数，我们得到 或 2 m 1 + 1 = m 2 + 1 ， 7 7 7 , 1 + m 2 - i - 1 = m 2 + 2 2 m 1 + 1 = 霄f 1 + 2 ，? 7 , 1 + 仇2 + 1 = m 1 + 3 6 求解得m 1 = 1 ，仇2 = 2 作先验假设 戡b o ：篇，+ b 2 。， 亿8 ， 【y ( ) = + 6 1 ( ) +2 ( ) ， 、 其中a o ，a 1 ，b o ，b 1 ，b 2 为待定常数将解( 2 8 ) 代入方程( 2 7 ) 中，并利用r i c c a t i 方 程( 2 3 ) ，得到关于( ) 的多项式方程组，令每个方程中不同次幂项的系数为零， 我们得到如下非线性代数方程组： 2b 2r 尼p + a 1 2r 七p + 28 a lk 2 = 0 ， r ( 8 r6 2r 七2p b l 叫p + a ob 1 七p + a l 七b op + 3 a lkb 2 + 8 p a l 尼3 ) = 0 ， r ( 2 rb 2rk 2 + a o b lk b 1 训+ 2 p a lk 3p + a 1 尼6 0 ) = 0 ， ( b a l 伽+ b lk + 七a oa 1 ) r = 0 ， 肛( - a lw + b l 七+ 尼a oa 1 ) r = 0 ， ( 2 9 ) 2b 2r k + a 1 2r 七+ 28a 1 卢尼2 = 0 ， 2r p ( a lk b l b 2 叫+ rb lr pk 2 + a o b 2 尼) = 0 ， 2r ( a lkb l b 2 叫+ rb lr pk 2 + a ob 2k ) = 0 ， 3r 老p ( 2rb 2r 尼p + a l b 2 + 2 p a lk 2 ) = 0 求解非线性代数方程组( 2 9 ) ，得到两组非平凡解 r ，4 尼4p 2 矿+ 4k 2 # p b o + b 0 2 + 2 7 2 砰k 2b op 2rr kb op t泸蕊甄而x膨一01。一k2丽)-2#r 2 k b o 2 b o r ( 2p p + ) 七2 1 b l = 0 ，w = a ok ，6 2 = p 6 0 ) ， n2 k 4 r # r 2 s 一2 k 4 r 2 p 彤+ 4 # k 4 s 2 + 9 a 0 2 k 2 r 2 1 8 w a o k r 2 + 9 w 2 r 2 t d o2 矶歹乒一， 2 “kf 8 + r 2r ) 2r 4t 2 5s 砰r + 25 2 0 12 一l f 一，p 。一虿页可一， 6 。= 二三等垒型二堡熹幽，6 2 = 一竺二! 兰二! 凳委 型 根据解( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，当r = 士1 ，弘= r 时，我们获得原方程六组周期解： 1 无参数约束条件时，有解 f 乱 ，芒) = 冗【二堡堡! 尘生 刍等竺； ；产t ( k x - w t ) + 考】，( 2 。) 【口 ，亡) = k 2 ( s r 一2 p r 2 + b ) 【t ( 七z 一叫亡) 2 + 1 】， 其中b = 可f i 呸= i 爵研，s ，p ，r ，凫，w 是任意常量 2 当满足参数约束条件p = 一塑三掣时，有解 u ( z ，亡) ：一型兰坐t ( k x - - w x们i + 。s u(z亡)2芋篡三耋三一竺兰三兰竺二!，t。忌z一叫。，c2，-， 2 七48r - - 2 七4r 2 9 4 k 舻2 s 2 + 9 挑。2 _ 1 8 五i + 群 9k 2 其中a o ，k ，w ，r ，8 为任意常量 在上述六组解中当r = 1 时，t = t a n ；当r = - 1 时，t = c o t 类似地，当r = 4 - 1 ，p = 一r 时，我们获得原方程六组孤波解：