（应用数学专业论文）一般经济均衡模型中的偏前序及无序偏好关系.pdf

内容提要 1 9 世纪末期，以w a l r a s 和p a r e t o 为代表的经济学家创立了数理经济学派，提 出了一般经济均衡学说的构想 a r r o w 和d e b r e u 于1 9 5 4 年完成了其严格的数学 证明一般经济均衡模型中总假设消费者的偏好关系是全序关系并且是连续的，从 而能被效用函数表示a r r o w 和d e b r e u 就是通过对效用函数性质的一些假设来 证明均衡的存在性但在实际的经济活动中，对偏好关系而言，这样的假设是颇为 苛刻的本文对一般经济均衡模型中消费者的偏好关系的假设作了修改，以切合实 际经济行为 第一部分，对具有生产的纯交易经济模型，假设消费者的偏好关系是偏前序关 系，即偏好关系只满足自反性和传递性，不具备完备性并且假设偏好关系只是下 半连续的这样偏好关系就不能被效用函数表示如此，就使这个经典的经济模型 更切合实际经济行为利用不动点定理证明均衡的存在性，并对证明过程中的各种 紧性条件作了比较，说明本文重点应用的紧性条件是文献中出现的紧性条件中最 好的一个 第二部分，对纯交易经济模型，假设消费者的偏好关系是无序关系，即不满足 自反性，传递性和完备性这样的偏好关系同样不能被效用函数表示，文中对偏好 关系添加了单调性和边界行为的假设，并给出了这两个假设的经济解释接着分析 了均衡的一些性质，最后以映射度为工具证明了均衡的存在性 关键词：生产；偏好关系；均衡：偏前序；紧性条件；无序偏好；边界行为 a b s t r a a t a tt h ee n do f1 9 t hc e n t u r y ，t h ee c o n o n f i s t sr e p r e s e n t e db yw a l r u sa n dp a r e t o e s t a b l i s h e dt h em a t h e m a t i e me c o n o m i c s ，a n dp r e s e n t e dt h eg e n e r a le c o n o m i c a le q u i l i b r i u mt h e o r yw h i c hs t r i c t l yp r o v e db ya r r o wa n dd e b r e ui n1 9 5 4 t h ep r e f e r e n c e s o fc o n s u m e rw e r ea l w a y sa s s u n l e dt oh ec o m p l e t eo r d e r i n gr e l a t i o n sa n dc o u l db e r e p r e s e n t e db ya nu t i l i t yf u n c t i o n a r r o wa n dd e b r e ud e m o n s t r a t e dt h ee x i s t e n c e o ft h ee q u i l i b r i u mw i t hs o m ea s s u m p t i o n so fu t i l i t yf u n c t i o n b u ti np r a c t i c e ，t h e s e a s s u m p t i o n so ft h ep r e f e r e n c e sw e r er a t h e rh a r s h i nv i e wo ft h i s w ep o s i t e ds o m e a s s u m p t i o n so ft h ep r e f e r e n c e st oa p p r o p r i a t et h ea c t u a l i t y i nt h ef i r s tp a r t ，w es u p p o s e dt h a tt h ep r e f e r e n c e sw e r ep a r t i a lp r e o r d e rr e l a t i o n s ， n a m e l y , t h ep r e f e r e n c e sw e r er e f l e x i v e ，t r a n s i t i v ea n di n c o m p l e t e a n dw es u p p o s e d t h a tt h ep r e f e r e n c e sw e r el o w e rs e m i c o n t i n u o u so n l y , t h e r e f o r et h ep r e f e r e n c e sc o u l d n o tb er e p r e s e n t e db yk nu t i l i t yf u n c t i o n w ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u m b yt h ef i x e d p o i n tt h e o r e ma n dc o m p a r e dt h ec o m p a c t n e s sc o n d i t i o ni nt h i se x i s t e n c e r e s u l tw i t ho t h e rc o m p a c t n e s sc o n d i t i o n s i nt h es e c o n dp a r t lw ep o s i t e dm o n o t o n i c i t y , l o c a l l yn o n - s a t u r a t i o na s s u m p t i o n s o nt h ep r e f e r e n c e s t h i sk i n do fp r e f e r e n c e sw e r er e p u t e da sn o n o r d e r e dp r e f e r e n c e r e l a t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ed e s c r i b e dt h eb o u n d a r yb e h a v i o ro ft h ep r e f e r e n c e s a n d t h e nw ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i u mb yt h em a p p i n gd e g r e et h e o r y t h u s j t h ee x c h a n g ee c o n o m i cw i t hn o n - o r d e r e dp r e f e r e n c e sh a dw a l r a se q u i l i b r i u m k e yw o r d ：p r o d u c t i o n ；p r e f e r e n c er e l a t i o n s ；e q u i l i b r i u m ；p a r t i a lp r e o e r d e r ；c o r n p a c t n e s sc o n d i t i o n ；n o n - o r d e r e dp r e f e r e n c e ；b o u n d a r yb e h a v i o r 2 1 引言 数理经济学是数学方法在经济学方面的应用，是根据经济的实际问题，从经济 假设出发，将经济活动抽象成具有经济机理的数学模型，并应用数学理论和方法求 解模型，形成经济理论，最后在实践中验证理论。应用它指导经济运作 数理经济学基本上是以经济均衡理论研究为主线发展和成形的1 9 世纪末 期，以w a l r a s 和p a r e t o 为代表的经济学家创立了数理经济学派，提出了一般经济 均衡学说的构想一般经济均衡理论是对市场经济中均衡配置的定性分析理论， 是由生产经济联系不同的市场结构提出的是整个数理经济学的逻辑基础和框架 自w a l r a s 后，人们一直试图严格证明一般经济均衡的存在性，1 9 4 1 年k a k u t a n i 给出了上半连续的集值映射的不动点定理( 见【1 】1 1 4 2 页) ，而这样一个纯数学结果 的最成功的应用就是在数理经济学方面1 9 5 0 年，n a s h 将这个结论应用于对策 论，证明了多人非合作对策的均衡局势的存在性( 见 1 ，1 4 4 页) 这个均衡局势就是 著名的n a s h 均衡数理经济学家将竞争经济纳入对策论的框架加以研究，在多人 对策模型中引进“可行性”概念，从而得到社会系统而许多经济模型都可以归结 为社会系统，这将数理经济学的研究带入了一个崭新的方向1 9 5 2 年d e b r e u 在 n a s h 所得结论基础上证明了社会系统存在均衡态( 见 1 j ，1 4 5 页) n a s h 的这个结 论也成为a r r o w 和d e b r e u l 9 5 4 年证明纯交易经济模型经济均衡存在性的关键( 见 1 】1 4 8 页) 而这个均衡就是a r r o w - d e b r e u 均衡纯交易经济模型考虑的是完全竞 争的市场，其中有大量的买主和卖主，他们都是价格的接受者任何个体的购销行为 对市场价格都不产生影响，不同的卖主所持有的同种商品是同质的在这个模型中 总假设消费者的偏好关系具有自反性，传递性，完备性，和连续性即能被效用函数 表示消费者的偏好关系可以说是整个经济活动之所以能抽象成数学模型的基础， 事实上一般均衡理论中关于偏好关系是垒序关系及连续的假设是比较苛刻的在 实际经济活动中消费者的偏好关系是复杂的偏好关系不可能总满足完备性，甚至 有可能并不具备传递性或不能被效用函数所表示，所以研究只是偏前序关系( 满足 自反性及传递性) ，无序关系( 不满足自反性，传递性和完备性) ，或是半连续的偏好 关系是十分必要的本文对一般经济均衡模型中消费者的偏好关系的假设作了修 改，以切合实际经济行为 在第一部分中，本文将偏好关系是偏前序关系，半连续的假设应用于具有生产 的经济中，并对其添加了适当的紧性条件 g a l e ，d 和m a s c o l e l l ( 1 9 7 5 ，1 9 7 9 ) 证明 了下半连续的集值映射的不动点定理( 见 2 i ， 3 】) 2 0 0 2 年n i z a ra l l o u c h 应用这一理 论证明了在卖空交易中当消费者的偏好关系只是个偏前序关系时拟均衡的存在 性( 见【4 ，【5 】) ，并对证明过程中偏好关系的各种紧性条件的假设做了比较本文同 样应用集值映射的不动点定理证明了拟均衡的存在性；对各种紧性条件作了比较， 证实了本文中重点应用的紧性条件是所有条件中最弱的一个在这部分中还对文 献中出现的三种不同均衡：w a l r a s 均衡，自由处置均衡和竞争均衡作了比较 在第二部分中，本文将偏好关系是无序的假设应用于纯交易经济模型对偏好 关系添加了单调性和边界行为的假设，以映射度为工具证明了均衡的存在性映射 度在经济数学中的应用回答了一直困扰经济数学家的问题，发展出正则经济理论 及均衡价格稳定性理论并且在不完全市场中也有广泛的应用 消费者的偏好关系作为整个经济活动之所以能抽象成数学模型的基础，对于 各种经济模型均衡存在性的研究是很重要的在实际的经济活动中，消费者的偏好 关系可能受到各种因索的影响而变化，如初始占有，心理因索等这样的偏好关系 称为随机偏好关系( 见【6 】) 对随机偏好关系的研究，将是我们今后努力的方向 2 5 2 具有生产的经济中的偏前序偏好关系 2 1 市场模型及符号 考虑一个具有生产的经济模型( 见【1 ) 参与经济活动的经纪入分为消费者和 生产者，他们分别组成集合f = t l ，2 ，m 】和j = 1 ，2 ，n ) 将r 取作商品 空间 对于消费者i i ，其消费集合为x icr 岛x i 为初始占有向量_ - 5 i 是其在x 。上的偏好关系； ，表示关系。：! i 研，但非奶z ：对于所有 的z 置，定义最( ) = 。：置旧! i 。：) 表示所有偏好比乱好的策略集及 只汹) = z ：x d * i 0 ，且满足 ( a ) 对所有的t ，有z ：鼠+ ) 且p 4 ( x ：) n & ) = 0 ( b ) 对所有的j j ，有p 。蝣= q ( p + ) = m a x d - z l z k ( j ) z ：酊+ e i i = i j = l i = l 定义2 1 3 ”1 经济的一个竞争均衡是一个配置与价格的组合( 矿，矿，p + ) xx yx 舭，使得p + 0 ，且满足 ( 口+ ) 对所有的 i ，有矿s 矿珩+ p e i ，虽对于最( 。：) ，有 p + - 戤 4 ( c ) z ：= 蚶+ e i t = t j = t t = l 几点说明： 1 ) 具有生产的经济的一个w a l r a s ( 或自由处置) 均衡显然是它的一个w a l r a s ( 或自由处置) 拟均衡下面的附注说明在一定的条件下，的一个w a l r a s ( 或自 由处置) 拟均衡实际上就是它的w a l r a s ( 或自由处置) 均衡 附注2 1 1 经济的e 每个w a l r a s ( 或自由处置) 拟均衡( z ，+ ，p + ) x x y x r 。 在满足以下条件时是的一个w a l r a s ( 或自由处置) 均衡 i ) x i 是凸集， i i ) 只( z ：) 是x 中的一个开集 i i i ) i n f p x i lz t x d p e ，+ s u p p y j jy j 巧) ，= 1 ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，一，n 2 ) 具有生产的经济的一个w a l r a s ( 拟) 均衡显然是它的一个自由处甓( 拟) 均 衡下面的附注说明在一定的条件下，的一个自由处置( 拟) 均衡实际上就是它 的w a l r a s ( 拟) 均衡 附注2 1 2 如果集合y 是自由处置的，即( 一r ) c y ，那么经济的每个自 由处置( 拟) 均衡( z + ，旷，p + ) xx yx r 是的一个w a l r a s ( 拟) 均衡 3 ) 具有生产的经济的一个w a l r a s 均衡显然是它的一个竞争均衡下面的附 注说明在一定的条件下，的一个竞争均衡实际上就是它的w a l r a s 均衡 附注2 1 3 经济的每个竞争均衡( 。+ ，+ ，p ) xxy r 在满足以下条 件时是的一个w a l r a s 均衡 1nt n i ) ( 非饱和性) 对所有满足条件z ；= 蝴+ 毛的( z ，) xxy ，只( 粕) 是非空集 i i ) ( 自由处置) ( 一r ) cy 为了更好的研究均衡的存在性，对模型作以下假设：对所有的i i ， 假设a 1x i 是r 中的闭凸集 假设a ，1 是对消费集合的假设假设a1 与a r r o w 和d e b r e u 在一般经济均衡 模型中消费集合非空凸紧的假设相比少了消费集合有界的假设 假设a 2 偏好三。是甄中的一个偏前序关系，即! i 只具有自反性及传递 5 性且r 。( c ，) 是r o 中的闭凸集( 其中r i ( e i ) = x d e i 玉瓢”， 假设a 2 只假设偏好是个偏前序关系，不具备完备性这样的偏好关系是不 能被敷用函数表示的 假设a 3 ( o p e nl o w e r 截面) 对所有的盈兄( e ) ，集合耳一1 ( 以) = 。 x “，戤) 是x 。中的开集 假设a 4 ( 弱凸性) 对所有的嗣r i ( e ；) ，有z 。g c o p i ( 黝) ，其中c o p i ( 蜘) 表示 只( 粕) 的凸包 假设a 3 假设偏好关系是仅是下半连续的，降低了对偏好关系的要求假设 a 4 对应于一般经济均衡模型中效用函数拟凹的假设但是假设a 4 比效用函数是 拟凹的假设更弱一些 以下是对生产集合k 的假设； 假设b 1 对于所有的je 正o 巧，且巧c r l 是凸紧集 由于巧c r 。u j ) 是凸紧集，则在价格向量p r 下，函数，) = p 协 在巧上有最大值即存在如巧，使得p 鲂= q 0 ) 从而髟= a r g r j ( p ) o 且易证e 是y j 中的闭凸集，综上所述马是非空凸紧集令矿= 前露，那么可 以在x p r 中考虑均衡的存在性 下面再定义整体合理珂达配置集， t nnm 且= ( p ) x p = 鲥+ e i ，且冗( e ) ，v i j ，j ) i = 1j ；】仁：1 令a 是4 在x i y 上的投射，也就是： 4 i = 耳x d x , f 某些x j i ；( x l ，x r n ；) a ) 再添加一个假设： 假设a 5 ( 非饱和性) 对所有的( x i ；y ) a ，集合只( q ) 是非空集 假设a 5 的经济解释是对整体合理可达配置中的任一个商品束而言总存在偏 好比其好的商品束在一般经济均衡模型中也能找到对效用函数相应的假设 对g 托# ，) 定义增广偏好曩： 只0 i ) = ( 1 一a ) 款+ a 是 o i n f px 7 j = l 所以研扫) 在p 点是下半连续的( 见【1 】 8 8 页) 这样由p 的任意性，b ，扫) 在世上是下半连续的 i i ) 其次证明啦( p ) 在p # a ：处连续由p g 麟，有霹( p ) = 0 ，钟( p ) = e i ) o ) 对每个p 直+ + ( o ，1 ) ，( e 。；0 ) 前( p ) 从而世下半连续 2 i ) 对每个i = 1 ，2 ，m ，集合 m c f = # ；p ) 1 i x t y 豆”( o ，1 ) l ( 如；# ) b ；妇) ) 8 叮 e m 一 蜥 。皿 一 m 是开集由于在集合畔上有西= 磷，且由1 的证明可知磷是下半连续的，所 以妒在上是下半连续的 现在证明妒在点慨；9 i p ) 讲处下半连续设u 是群y 中的开集，使得 u n 妒；( 面；贡p ) d 因为s t ( p ) n 或是一个具有开图的对应和一个下半连续的对应的交集，所以 磷( p ) n 曩是下半连续的从而存在( 2 ；口；p ) 一个的开邻域v ，使得若( 。；y ；p ) v ， 有u n ( 钟扫) n 只) 0 注意到黠( p ) n 豆c 落( p ) ，即u n 谐( p ) 0 所以当( $ ；p ) ev 时， u n l p ；( i ；口；p ) 0 从而l p 下半连续 i i ) 对i = m + 1 ， 口景+ 1 取值凸集且它的图 mmnm g ( 1 p + 。) = “z ；p ) 1 - i x y 豆+ + ( o 1 ) f ( q p ) ( 戤一鲫一e 1 ) o ) = 1i = i = i = l 是开集所以妒袅+ ，下半连续 在证明过程中还要用到以下的不动点理论 定理2 2 2 【3 | 对每个k ：1 ，2 ，k ，设n 是某个有限维欧氏空间的一个非 空凸紧子集，且设t = 兀死对每个女，设饥是一个下半连续的，从t 到n 的对 应，那么存在t + = ( t ：) t 使得对每个，或者t ；e c o ( t + ) 成立，或者圣 ( 矿) = 口 成立 由定理2 2 2 可以得到存在( 一；y k ；矿) 矗x 驴豆+ ( o ，1 ) ，使得 l 盎1 z ：磷，且磷o ) n 囊( 矗) x p ) = o ，i = i ，2 ，m ( 1 ) mnm 一矿) ( 甄一y i 一e ) o ，v p 丘( o ，1 ) ( 2 ) l = 1 j = l = l 命题2 2 1 对于足够大的，有( 扩；矿) 4 成立 证明显然对于所有的i ，有z ? 鼠他) 只须证以一辨一e l = 0 若 不然。由( 1 ) 可以得到。 耻因此有 t nm 矿( 而一协一e t ) 0 且l f 硎= 1 ( 3 ) 9 但是，由( 1 ) 可以得到对每个i = 1 ，2 ，m ，z ；雕因此 p 。2 7 p 。饵+ ”jc p ) j = l 由前面的论述知道- j ( p ) = p 9 ；，所以( 4 ) 式可转化为 将所有的不等式相加得到 p z ? s p k + p k - 谚 矿- z ；p t ：e 岛+ p k i = l 1 = 1 由假设曼= 1 ，这样( 6 ) 式可化简为 t = 1 mnm p 。( 缸一鲫一e i ) 0 = 1 j = l 仁：l ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 与( 3 ) 式矛盾，所以0 ；y ) a 成立 因为经济满足c p p 条件，那么存在子序列 ( z 。n ；口n ) ) ，元素c ；y ) a 及 ( 。7 n ；i n ) ) x p 收敛于( z ；) ，使得( z ；) 豆( 。：n ) p ，v i ，v k 。不妨设 p k 觇p “ 命题2 2 2 对所有的i = 1 ，2 ，m ，有桫| | = 1 且p + 。暑p ：+ p + 如 证明由于。n 2 n ) 是收敛予列，那么存在k 。使得 ( 。n ) n ( o ，k n 。) 矿c b ( o ，k ) 矿，v k 。 由( 1 ) 可得 p n 8 n p “馈+ p h 对不等式的两边取极限得到 疗“十( 1 一咿”i i ) n 矿。：p + q + p e 日越+ ( 1 一l i 矿l | ) ，= 1 ，2 ，m t = a 将所有的不等式相加并化简后得到 p e z ：p e i + p + 1 0 正+ m - ( 1 一l i p + i i ) j = l p 。m m 占 。似 由( z ；口) a ，因此l i p i i = 1 且p - z ：= p + + p 4 虻，v i = 1 ，2 ，m 成立 命题2 2 3 对所有的i = 1 ，2 ，m ，有霹( 矿) n 最( ：) y = 0 证明( 反证法) 设( “；s ) 只( 。：) xp 由假设a 3 及截断性，存在k ，使得 ( “；8 ) 最( $ ) p ，且t b ( o ，k ) ，v k k 。， 由于z ，曩( z ? 一) ，再由假设a 6 或( 且a 7 ) ，有z 卜皿( z ：“) 因此如只( s ：“ 由( 1 ) ，可以得到 p k “t 。p n “+ 一q + ( 1 一l i p 。- i i ) ，w = 1 2 ，m j = l 对不等式两边取极限得到 n p 。- t i p + t l - t - p + 0 s j ，v i = l 2 一，m ，= i 因此对每个i = 1 ，2 ，m ，有霹妒) n p d z d p ) = d 由于哥c y ，所以对每个i = 1 ，2 ，m 有蹬) n 最( $ ：) y ) = 口 由命题2 2 2 及命题2 2 3 得到( z ；g ；矿) 是经济的一个拟均衡 2 3 各种紧性条件及比较 在这个部分给出几种紧性条件的定义，并将它们与c p p 条件进行比较，说明 它们之间的关系在这个部分中将说明c p p 条件比其它同样定义在整体合理可 达配置集a 上的紧性条件要弱其中的一个紧性条件称为c o m p a c t l yd o m i n a t e d f e a s i b i l i t y ( c d f ) 条件 定义2 3 1 当经济满足条件：存在4 的一个紧子集五使得对每个配置 ( z ；y ) a ，存在( 2 ；口) 五且( j ；口) 弱p a r e t o 控制( z ；g ) 也就是黝昆( 口。) 那 么就称经济满足c d f 条件 为了获得更多关于偏前序关系的一些紧性条件，笔者要用到回收锥的概念将 回收锥的技术引入一般均衡理论的是d e b r e u ( 1 9 5 9 ) 设s 是r 中的一个凸子集如果对所有的实数t 0 和$ s ，有z + t y s 成立( 其中”r ) 则称”是s 的一个回收方向s 的所有回收方向组成的集合 1 1 称为s 的回收锥，用o + ( s ) 表示如果对所有的实数t 和$ s ，有z + t y s 成 立( 其中9 r l ) ，则称目是s 的一个l i n e a l i t y 方向s 的所有l i n e a l i t y 方向组 成的集合称为s 的l i n e a l i t y 空间，用l ( s ) 表示 由回收锥的定义显然有l ( s ) = 0 + ( s ) n 0 一( s ) 从现在起，为了简化符号 记： 冗；= 0 + ( 硬( e i ) ) 且l ，= l ( 风( e ；) ) 定义p o s i t i v es e m i - i n d e p e n d e n c eo fd i r e c t i o n so fi m p r o v e m e n t ( p s i ) 紧性条件 它是p a g e ( 1 9 8 7 ) 在研究期望效用模型时提出的本文对它做了一些修改 w ln 定义2 3 2 当经济满足条件：如果x i = 蜥，v i i ，q 忍，则有 z i _ 驰= 0 ，v i 那么就称经济满足p s i 条件 h a r t ( 1 9 7 4 ) 提出了另一个紧性条件w e a kp o s i t i v es e m i - i n d e p e n d e n c eo fd i r e c t i o n so f i m p r o v e m e n t ( w p s i ) 条件同样本文也对它做了一些修改 定义2 3 3 当经济满足条件：如果a = 蚰，v i j ，x i 忍，则有 = 1 j = l 吼厶，v i 那么就称经济占满足w s p i 条件 下面添加以下假设： 假设a 8 ( 弱一致性) 对所有的( 乩，“；) 忍( 8 1 ) x 厶，有戤5 孔+ u t 假设a 8 是关于l i n e a l i t y 空间一致性的假设，比回收锥一致性的假设要弱 证明以上四个紧性条件的关系时要用到下面的引理 引理2 3 1 对于一个非空凸闭集s ，以下论断成立 1 ) 0 + ( s ) 是一个包含原点的闭凸锥 2 ) 若卫o + t y s ，对某些。s ，及v t 0 ，则y o + ( s ) 3 ) s 有界 = = 0 + ( s ) = o ) 4 ) 设m 是1 5 的向量子空间，则0 + ( s n m ) = 0 + ( s ) n m ， 下面就是说明这四个紧性条件之间关系的命题 命题2 3 1 在假设a 1 一a 3 及a 7 下，以下论断是正确的 1 ) 集合4 是紧集甘经济满足p s i 条件 2 ) 经济满足p s i 条件 经济满足w p s i 条件 如果满足假设a 8 ( 或) 集合( 厶) 鐾。线性独立，那么 1 2 所以 3 ) 经济满足w p s i 条件= = 经济满足c d f 条件 如果满足假设a 5 ，那么 4 ) 经济满足c d f 条件= j 经济满足c p p 条件 证明1 ) 因为 。 mm n o + ( ) = f o ；”) i i r t p i 筑= 蜥) 由引理2 3 13 ) 又因为4 是闭集，所以 p s i 条件成立错o + ( a ) = o ) o + ( 4 ) = 0 ) = ： a 有界 p s i 条件成立 = = a 是紧集 2 ) 由p s i 条件及w p s i 条件的定义即可得到 3 ) 先用归纳法证明：存在l ：cl 。，使得登l f 苗l ： 1 = l = l 考虑a 的一个子集 则五是非空闭凸集 进一步证明且是紧集事实上 设( z ；y ) o + ( ) ，由w p s i 条件，有 n仇 # ，+ e ，且甄皿( e ) ，i = 1 ，2 j = 1 仁= l 跏厶，y j = 0 ，v i j ，j j 因为以工：所以孔皿n 三+ l ：又由曼戤：萎蜥，蜥：0 ，及三：的线性无 _ 1 j ；1 关性，有孔= 0 ，v i j 因此有 d + ( 一4 ) = o ) 1 3 m y x l+ 上。 l n r m 掣 o ( = 五 鲍 。似 | i z m yl + 上， l n 磁 m 9 z i i 五 d 即且是紧集 现在考虑配置( z ；y ) a ，设z = t + u ，其中“见n l ，且“，厶由前 面证明的归纳结果曼l ；：舀工：，可以得到曼u ；：曼“：，其中u ：这表明 t + “。a 注意到假设a 8 且( 或) ( l ) 坠l 是线性独立的，所以t + 弱p a r e t o 控 制t + “ 4 ) 设 ( 一；y k ) ) 是a 中的任意一个可行配置序列，那么存在一个序列 ( 扩；矿) 五，使得g ；! 。? ，v i i 因为a 是紧集，所以存在( ( i ；矿) ) 的一个子序列 ( ( i 6 n ；口。n ) 收敛于( i ；口) a 由非饱和性的假设a 5 ，存在 再由截断性，存在。，使得 z l 只( 黾) ，v i i z ，只( i ：“) ，y k 。k 。 设 i ? ”= ( 1 一寺) ( z ? ”) 十i 1 ( ) 亘( 才“) c 豆( 守k ) 则有 ( i ：“；毋“) 收敛于( i i 口) ，且：1 只( i ：”) 由上证，经济满足c p p 条件，证毕 命题2 3 1 说明在四个紧性条件中c p p 条件是所有条件中要求最弱的一个 并且在一定的条件下四个紧性与整体合理可达配置集a 是紧集等价 2 4 可由效用函数表示的偏好关系 在这节研究可由效用函数表示的全序偏好关系对效用函数添加u i ( e 。) = o 的 假设，定义经济的个人合理效用集： “= ( 吨) r ? i j ( 叫y ) a ，s t 0 q u i ( z i ) ，v i 毋 应用假设a 3 和a 4 于这种情形，得到以下假设 假设a ，3 效用函数u 是上半连续的 假设a 4 效用函数m 是严格拟凹的 1 4 显然在假设a 4 下，对所有的x i ，p ( z i ) = 毋( 甄) 命题24 1 在假设a 1 ，”2 ，”，3 及a 5 下，经济满足c p p 条件当且仅当 “是紧集 证明首先证明当甜是紧集时，经济满是c p p 条件考虑序列( z ”；矿) a ， 由“是紧集得到，存在( z ；y ) 一4 ，s 0 骢蛳( z ? ) su i ( 戤) ，v i i ， ( 7 ) 由非饱和性的假设a 5 ，存在( 盏) 只( z i ) ，对每个正整数有 ( z ：9 ) = ( ( 1 一；( 以) 十k ( z i ) ；y k ) 只( 粕) p ，v i j 注意到( $ ；y 。) 收敛于( z ；) ，而且由假设a + 4 及( 7 ) ，得到 0 骢( z ? ) s 啦( 戤) 叭( z ) v i j ，v k 那么对每个k ，选择n ，使得 “；( ? ) ( “。( z ? ) ，v i i 即对a 的每个序列0 “；y n ) ，存在子序列( z “- ；y “* ) ，元索( 。；y ) a ，及( 一；y 6 ) xx p 收敛于( z ；) ，使得( z ；) 曩( 。r ) p ，v i j ，v n 因此经济满足c p p 条件 其次证明经济满足c p p 条件时吖是紧集设( ”) 是“中的一个序列，那 么存在一个序列( 扩；y “) a ，使得 。兰”? s 啦( $ ? ) ，v i i 由c p p 条件，存在一个子序列( z n - ；9 n - ) ，元素( 茸) a ，及序列( z n t ；n t ) x 矿收敛于( 。；p ) ，使得 。( 。p ) 毗( z “) ，v iej 于是有 0 0 ，1 兰i n ) 若x 是r n 的一个子集，贾是它的闭包 界，c o x 是它的凸包 r 0 = 。r “1 黝0 ，1 兰i n ) i n t x 是它的内部，o x 是它的边 设d 是中的一个有界r “开子集，y r ”设，( d ，r “，y ) 是从d 到r n 的所有取值非空凸紧集的上半连续的集值映射构成的集合并且7 ( d ，r n ，y ) 中的 元素使得y 不在0 d 的象集内映射度是从7 ( b ，r “，y ) 到整数集的一个映射设 f 是，( 西，y ) 中的元素，d e g ( f ，d y ) 0 表明f _ 1 ( y ) 0 假设d 是一个 有界开凸集，f 芦( 西，r ”，y ) 且对所有的。a d ，有f ( x ) n 一( z ) = 0 那么 d e g ( 只d ，y ) 0 。其中d ( z ) 是d 在z 处的法锥( 见【8 】) 1 3 2 市场模型及符号 考虑纯交易经济模型( 见 8 ) 设有f 种商品。商品空间为r l m 个经纪人构成 了经纪人集合i = t l ，2 ，n ) 对于每个经纪人i ，其消费集合为r 0 其偏好关 系为 ，对于每个r k ，用只( 鳓) = 。：er l + + 旧 t 。0 表示所有偏好比趴 严格好的策略集设经纪人i 的初始占有为e r 0 + ，记e = ( 岛) 坨，这样便构成 了一个由初始占有决定的经济系统 最= 只，q ) 讵， 设规一化价格集为s = p r 0 1 p = 1 ) ，其中1 是r 2 中各分量都为1 的 向量在某个价格p s 下经纪人交易商品，实现商品的再分配，第i 个经纪 人获得商品束q 衅+ n 元商品束组z = ( z l ，z 2 ，z 。) r 被称为经济 系统& 的一个配置对每个z r n f + ，也可将只看成从r 鼻到r i + 的对应， 1 7 而p i ( x ) cr l + 则是当其他消费者的商品束是( z ，) j 却时偏好比甄严格好的配置 集设a 是s 的仿射包，即a = p r l l l p = 1 ) 定义3 1 1 对每个e r 盘，经济系统岛的一个w a l r a s 均衡是配置和价格的 组合( z ，矿) r 强xr l ，使得p 0 ，满足如下条件： ( n ) 对所有的i i ，有z ：b d p + ) 且只( z ) n 鼠( p + ) = 口； nn ( b ) 。：= ee i 其中b i ( p ) = 孔r o i p x i p q ) 是经纪人在给定价格p r l 下的预算集 合，p 4 和分别称为经济系统& 的均衡价格和均衡配置 对每个e r 弭，w ( e ) cr 各s 表示经济的所有具有规一化均衡价格的 均衡所构成的集合也可将w 看成从r 到r s 的对应，称其为w a l r a s 对 应下面给出关于偏好关系的基本假设 对所有的l i ，有： 假设1 对所有的z r 锋，b ( z ) 是r l + + 中的开凸集 假设2 对所有的z r 啦，戤# 只( z ) ，越扇( z ) 假设3 ( 单调性) 对所有的。r 冉，t r i ，有跏+ t 最( z ) 假设4 ( o p e n l o w e r 截面) 对所有的盈r + ，集合可1 ( z 1 ) = z r 啦旧- 4 兹) 是r 辨中的开集 nn 假设5 ( 非饱和性) 对所有满足条件z ：= e l 的r h ，e i ( x i ) 是非空 l = 1 = 1 集 假设6 ( 边界行为) 对每个序列( z 6 ) cr 冉，若有一收敛于z r 辨，且 x i a r ，那么对于所有的矗r 舟，当k 足够大时，6 只如) 假设1 ，假设4 和假设5 与5 2 中的假设a 1 ，a 3 和a 5 基本类似假设3 是 对偏好关系单调性的假设假设6 说明了偏好关系的边界行为，每个正的商品束 6 的偏好比消费集合边界上的商品束严格好其经济解释是消费者宁愿大量交换 自己拥有的商品也不愿细微地增加自己没有的商品的数量 5 2 中，假设偏好关系是偏前序关系，即偏好关系具有自反性和传递性而在 这部分中，假设2 说明偏好关系是非自反的，且没有传递性的假设，而偏好关系更 不具备完备性这样的偏好关系称为无序偏好关系与偏前序偏好关系相同的