（计算数学专业论文）不可压缩渗流驱动问题的稳定化间断galerkin方法.pdf

四川大学硕士学位论文 不可压缩渗流驱动问题的稳定化间断g a l e r l d n 方法 计算数学专业 研究生：梁庆乐指导老师：冯民富教授 摘要 2 0 世纪7 0 年代开始出现一种使用间断逼近空闯的间断g a l e r k i n ( d g ) 方 法，亦称内罚函数法 1 0 ，3 1 。b r e v i e r e 和m f w h e e l e r 3 2 ，3 3 使用带内罚 函数的间断g a l e r k i n ( d g ) 方法研究高维情况下非线性抛物型方程，该方法也 被称作n i p g 方法。s u n 将这个结果与混合有限元相结合应用到多孔介质渗流驱 动问题中，由此获得d a r c y 速度和浓度的最优误差估计 3 4 在文 3 5 中，s u n 和w h e e l e r 针对渗流问题中的浓度方程给出了n i p g 和s i p g 方法，两种方法都 获得了浓度的最优误差估计。间断6 a l e r k i n 方法( d g ) 对网格的j f 则性高求不 高，不需要考虑一般有限元方法中连续性的限制条件，并且能构造高阶元获得 高阶精度，推出赢阶并行算法，故而被广泛地应用。 不可压缩渗流驱动问题包含流体的输送( 浓度) 和流动( 压力) 两个子问 题。其数学模型常常是一组耦合的、非线性的发展型偏微分方程。本文对不可 压缩驱动问题提出了一种新的稳定化间断g a l e r k i n 方法。对浓度方程在时间上 进行了一阶和二阶离散，采用间断有限元格式；对压力方程提出了一种混合稳定 化间断g a l e r k i n 格式，给出了关于浓度和压力的最优误差估计。 关键词：问断g a l e r k i n 方法先验误差估计不可压缩渗流驱动问题 四川大学硕士学位论文 as t a b i l i z e dd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o rt h e i n c o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t eq i n g l el i a n g a d v i s o rm i n f uf e n g a b s t r a c t i nt h e1 9 7 0 , g a l e r k i nm e t h o d su s i n gi n t e r i o rp e n a l t i e sf o re l l i p t i ca n dp a r a b o l i c e q u a t i o n sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yd o u g l a s ，d u p o n ta n dw h e e l e r 1 0 ，3 1 1 b r e v i e r e a n dm ew h e e l e r 3 2 ，3 3 1u t h en i p gm e t h o df o r t h en o n l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s u nc o m b i n e dt h em e t h o dw i t hm i x e df m i t ee l e m e n tm e t h o df o rt h e m i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e mi np o r o u sm e d i a 3 4 s u na n dw h e e l e r 3 5 a l s o a n a l y s e dt h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o nb yu s i n gt h en i p ga n ds i p gm e t h o d , a n d b o t i l m e t h o d so b t a i nt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e n 圮d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( d g ) m e t h o d a l l o w sm o r eg e n e r a lm e s h e sc o n s t r u c t i o na n dd e g r e eo fn o nu n i f o r m i t yt h a n p e r m i t t e db yt h em o r ec o n v e c t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d , i ti se a s yt oc o n s t r u c t h i 曲e ro r d e re l e m e n tt oo b t a i nh i g h e ro r d e ra c c u r a c ya n dt od e r i v el l i g l l l yp a r a l l e l a l g o r i t h m s b e c a u s eo ft h e s ea d v a n t a g e s ，t h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i np g ) m e t h o d h a sb e c o m ea v e r ya c t i v ea r e ao f r e s e a r c h 1 1 他c o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m c a nb ed e s c r i b e da san o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ss y s t e m o fe q u a t i o n sw h i c hc o n t a i n st r a n s p o r t e q u a t i o n ( o rc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o n ) a n dc o n t i n u i t ye q u a t i o n ( o rp r e s s u r ee q u a t i o n ) i n t h ep a p e r an e ws t a b i l i z e dd i s c o n t i n u o n sg a l e r k i nm e t h o di sp r o p o s e dt os o l v et h e i n c o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m n 嵋f i r s to r d e ra n d t h es e c o n do r d e r o ff h l l vd i s c r e t ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n ts c h e m e sa r ep r o p o s e df o rt h e c o n c e n t r a t i o n e q u a t i o n f o r t h e p r e s s u r ee q u a t i o n , w e d e v e l o p m i x e d ，s t a b i l i z e d ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nf o r m u l a t i o n w e 咖o b t a i nt h eo p t i m a l o r i o r ie s t i m a t e sf o rt h eb o t hc o n c e n t r a t i o na n dp r e s s u r e k e y w o r d s ：d i s c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o d ；a p r i o r i c r 】l o r e s t i m a t e s ； i n c o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n t 四川i 大学硕士学位论文 1 引言 渗流力学研究流体在多孔介质内的运动( 即渗流) 规律及其应用的流体力 学分支。渗流理论是从h 一p 一g 。达西1 8 5 6 年发表水通过均质砂层渗流的线性 定律开始发展的。起先主要用于地下水开发和水的净化等工程；从2 0 世纪2 0 年代起在石油、天然气开采等工程中应用。6 0 年代后，渗流力学迅速发展，应 用范围日益广泛，除地下渗流外，还研究工程装置和工程材料中的渗流问题， 逐步形成工程渗流力学；此外，渗流力学与医学、生物学和生理学等交叉渗透， 发展出生物渗流力学。 液体渗流理论研究承压条件下均质液体的渗流规律。根据是否考虑多孔介 质和流体的弹性又分为弹性渗流和刚性渗流。早期的地下水和石油开发工程以 及水工建筑等工程都需要了解地下液体渗流规律和计算方法，刚性渗流理论因 而得到发展。以后发现地层岩石和液体的弹性对流体运动和生产状况产生不可 忽视的影响，弹性渗流理论得到不断发展。 带自由面渗流理论研究非承压条件下均质液体的渗流规律。当液体的最上 部不受隔水顶板的限制，存在一个其上任意一点的压强为大气压强的自由液面 时，多孔介质中的液体流动称带自由面渗流或无压渗流。含水层中的潜水向开 采井方向汇集，河道或水库里的水透过河堤或土坝向下游渗流以及石油在地层 中向生产井自由渗流等均属无压渗流。水文地质、水利工程和石油开采等生产 部门的需要，促使无压渗流理论不断发展。 气体渗流理论研究气体在多孔介质中的流动规律。气体的组成可能是单一 的，也可能是组分恒定的多组分混合物。气体渗流具有压缩性特强、渗流定律 非线性、渗流过程非等温性以及存在滑脱效应等特点，是比较复杂的渗流问题。 混气液体渗流理论研究相互掺混的液体和气体在多孔介质中的运动规律。 混气液的液体为连续相，气体为离散相。这一理论是低于饱和压强下开发油田 的理论基础，也是地下热能开发工业和与土壤水运动有关的部门所需要的理论。 二相液体渗流理论研究一相液体驱替另一相不与前者混溶的液体的流动规 律。这一理论是天然水力驱动油田的开发工程和广泛应用的人工注水开发油田 技术的理论基础。 四川大学硕士学位论文 非饱水土渗流理论研究土壤孔隙未被水充满条件下的流体运动规律。灌溉 排水条件下或作物根系吸水作用下的土壤水运动，入渗、蒸发和地下水位变动 条件下潜水面以上土层( 包气带) 内的水分运动均属非饱水土渗流。这一理论 是农田水利和水文地质等部门的一项理论基础。 双重介质渗流理论研究流体在裂缝一孔隙介质中的运动规律。双重介质系由 裂缝系统和岩块孔隙系统组成的特殊多孔介质。此理论的建立主要是由于在世 界范围内发现和开发一系列裂缝性油气田，它是这种类型油田、天然气田和地 下水层的储量计算和合理开发的理论基础。 渗流基本定律描述流体在多孔介质内运动的基本规律，亦即渗流过程的宏 观统计规律。它是研究渗流力学的基础。在一定雷诺数范围内，牛顿流体在 不可变形多孔介质内的运动遵循达西渗流定律。此定律可表述为：单位时间 流过砂层的体积流量q 与横截面面积a ，测压管两端水头差h i 一见成正比，与 测压点间的管长成反比，即o = 纽墨兰，式中= v 为渗流速度； 竺= j 为水力坡度；肭渗透系数( 与砂层结构和流体性质有关的实验 常数) 。由量纲分析知k = k p 譬，式中妫多孔介质的渗透率，p 为流体密 度，崩重力加速度，为流体粘性系数。因此渗流定律也可写为f = ( k ) p g 厂。由于渗流速度与水力坡度呈线性关系，所以达西渗流定律是线性 渗流定律。 本文研究的不可压缩渗流驱动问题可以被看作由浓度的对流扩散方程和 d a r c y 方程祸合而成。对于求解此问题，d o u g l a s 和r o b e r t s 在文 1 0 中对可 压缩的驱动问题提出了混合有限元法。对于o a r e y 方程，m a s u d 和h u g h e s 1 9 在标准混合格式的基础上加入加权残差，得到了一个稳定化格式： h u g h e s f r a n c a 1 8 ，将文 1 9 的方法推广到间断有限元法的框架。最近文 1 4 的数值实验表明了将间断有限元法应用到渗流驱动问题的可行性。本文 对不可压缩驱动问题提出了一种新的稳定化间断g a l e r k i n 方法。对浓度方程 在时间上进行了一阶和二阶离散。采用间断有限元格式；对压力方程提出了一 种混合稳定化间断6 a l e r k i n 格式，给出了关于浓度和压力的最优误差估计。 四j 大学硕士学位论文 2 有限元空间的基本理论 l e b e s g u e 空间：对于函数f ，我们定义l e b e s g u e 积分 i h i 旷( n ) ：= ( l l s c , o l 出) 石其中l p 当p = o o 时 l i ：1 1 p ( n ) # 哪s u p l ，( x ) i ：x e q ) 定义l e b e s g u e 空间如下：f ( q ) i - ：i 工，( n ) 定理2 1 ( m i n k o w s k i 不等式) 当i s p s ，g e ( q ) 时 i i 厂+ 占l 扩。，- f i i 矿。+ b l l 矿。n ) 定理2 2 ( h o l d e r 不等式) 当l - p ，g s ，l 2 + ，如果 f p ( q ) ，g f ( q ) ，则店e f ( q ) 且 i l ：g l l 蜘8 州脚) + h g l l 舢， s o b o l e v 空问：k 是个非负的整数，函数f 是局部可积的，弱倒数p ：厂存 在，我们定义s o b o l e v 范： i l f l l 嗜。，引| i d ：州，。锄) 石其d ：l p o o ，i a i 站 当p = o o 时0 厂0 啦啦_ 2 孥8 彤卅i r m 定义s o b o l e v 空间如下 嘭( q ) ：= 谁州如t q ) o f ，留 = ( p + + 一) ，p 】= + 胆+ + 一 很显然，在p l 上，根据定义有：“p ) = p ，h u h = 二二，其中二是勰上的外 法向肇。 下面我们用s o b o l e v 空间中的标准记号定义： 日。( t ) = v l 2 ( q j ：y i 膏h ( 足) k t h ( 4 1 ) 我们定义间断有限元空间： d ，( l ) = v e r ( q ) ：v i r 只( k ) k t ( 4 2 ) 其中，只( 足) 是k 上次数小于或者等于r 的所有多项式的集合，其范数记为： 对于任意正整数m ， 删e = 0 ，m 0 ( 4 3 ) 肌n 为q 上的s o b o l e v 范数的标记 1 下面给出截断算子m 的定义： m ( c ) ( x ) = m i n ( c ( x ) ，m ) ， ( 4 4 ) m ) ( x ) = 确陆1 s m m 二x x 枷 “_ 动 引理3 1 ( 算子m 的性质) 如上定义的截断算子m 是一致l i p s c h i t z 连续的： i 即( c ) 一m ( ) 0 工( o ) l p n ，8 矿( ，v c 上。( q ) ，口，酽( q ) 忡( 二) 一m ( 吼册矿p k 。矿，v 二( r ( 回) 4 ，；e ( r ( q ) ) 4 由 1 7 中的方法，我们可推出一有用的逆不等式： 假设k l ，；只( x ) ，h 。是k 的直径，则存在一个与；和h 。无关的c ，有： 6 四川大学硕士学位论文 一阶格式 首先我们引进线性形式b ( c ，；品) 和线性函数l ( m ；u ，c ) ( 4 6 ) b ( 伽；二) 2 ( d ( u ) v h c , v c o ) + f d ( 讽功 【c 】恼一 d ( 二) v c ) 出 + c l 一删【p 】协+ ( 二v 一伽) 一l c q 一础 ( 4 7 ) l ( 甜；二，c ) = h g + 础 ( 4 8 ) 其中q + = m a x ( q ，0 ) ，q 。= m i n ( q ，0 ) 令口( c ) = a ( c ) 一，对于压力方程，我们定义如下的形式： a ( u ，嵋c ) = 0 ) 虬v ) ( 4 9 ) b ( p ，v ) = ( p ，v v ) 一【 p 【v 】幽 ( 4 1 0 ) e ( p ，妒) = 【c i l p l l 妒l l d s ( 4 1 1 ) 这里 印氍嚣警名蚴 其中( k + ，k 一) 定义如下： ( k + ，k 一 ： 办如果m p 甜小“a k n a ) = o ( 4 1 3 ) 7。 i o k n 赦内部，其他情况 e a _ k v ；和v ；在各单元置瓦上分别等于v ；和v ；。q 。是与网格剖分无关 的常数。 坷 坷 吲砘 归矿 叫蛳 k m d d 0 j 四川大学硕t 学位论文 我们的混合日j 断g a l e r k i n 方法是建立在以下的弱形式上： ( 躬，。) + b ( c ，c o ；u ) = 上( 甜；“，c ) ，v c o h ( t d 口( 二，；c ) 一b ( p ，；) = o ，v ；( 何h ( t ) ) 。( 4 1 4 ) b ( c p ，“) + p ( p ，妒) = ( 留，矿) ，v 妒h 。( t ) 上式又可记为： 色，! + b ( 删；“) 。? ；叩) ，v 国e 日( l ( 4 1 5 ) 【4 ( “，v ；p ，妒；c ) = ，( 妒) ，v ( n 伊) ( 日1 ( l ) ) d h ( t ) 其中： a ( u ，v ；p ，妒；c ) = a ( u ，y ；c ) 一b ( p ，v ) + 6 ( 妒，) + e ( p ，矿) ， ( 4 1 6 ) ，( 妒) = ( 鼋，妒) ( 4 1 7 ) 稳定化弱形式如下： ( 如，竺二b ( c ，国；“) = 三( 白；“，2 ，v 国日( l )( 4 1 8 ) 【彳枷( “，v ；p ，矿；c ) = ，j 柚( 妒) ，v ( v 尹) e ( 日卜1 ( l ) ) 4 h ( t ) 其中： a , m b ( t d ，v ；p ，尹；0 = 彳 ，v ；p ，妒；c ) + ( c ) ( 矗( c 如+ v p ) ，( c ) v + v 伊) ) ( 4 1 9 ) ，埘( 妒) = 1 ( 妒) ( 4 2 0 ) 令n 为一正整数，垃2 万1 ，t n = n a t 我们对q 在f = t n + l 处可以用向前差分格式 逼近，则方程( ；1 ) 一( ；2 ) 的间断6 a l e r k i n 格式逼近可描述如下： 求解p s w 枷( o ，t ；d 一i ( 瓦) ) ，“w 协( o ，t ；q 1 ( l ) ) ，满足 ( 声笠删“；硝m ( 痂扪( 4 2 1 ) l一 + i 【爿“( ，v ；钟“，办m ( 簖“) ) = ，瞄 ) 这垦搿= m ( 掣) 。 其中二，= 一口( m ( c ) ) v p ；“，工k ，k e l 我们定义“稳定化”范数： 四川大学硕士学位论文 h 。= 焉弘弧+ p 和必恤峨 其中： 屯= c t t p l l p l l d s 慨p u e ，l 陋l l ：善 二阶格式( 利用! 量专著来逼近q 在f = f “处) 求解见w 扣( o ，t ；d f 1 ( t ) ) ，“抽( o ，t ；d k l ( 瓦”，满足 j ( 妒! ! n * 三l 云 n - | ，) + 口( c ：“，m ；二：) = 三( 珊；品：1 ，c ：“) 【4 。( 品：“，最群+ 1 ，影。【“n “) ) ：，。( 妒) 5 误差估计 一阶格式的误苹估计： 在估计误差之前，我们介绍几个重要的引理： 引理4 1 ( 稳定性) 令( 1 , p ) 是方程( 3 1 ) p el 2 ( 0 ，t ；h 。( l ) ) ，t ( l 2 ( 0 ，t ；h “( 瓦) ) ) 4 则有： 彳。( 云，二；p 垆悖；) n 这个引理可以由爿“( ，e ；e ，；) 的定义得出。 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 一( 3 2 ) 的解，假设 ( 5 1 ) 引理4 2 ( 相容性) 如果( u ，c ) 是方程( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解。且本质有 界，截断算子m 中的m 充分大，则有： l ( 妃，m ) + 8 ( c ，；“) = l ( m ；u ，c ) ，v 国d h ( t )，：0 、 【( “，v ；p ，仍f ) = ，“( 妒) ，v ( v ，妒) ( d ，2 ( e ) ) 4x d t l ( 瓦) 下面介绍一个重要的投影； 定义一个有限元空间巩一。( w d x ( d l 一2 ( l ) ) 。x d t 1 ( 瓦) 上的投影： 9 四川大学硕士学位论文 口( 云，；c ) 一6 ( 多，西= o v ；( q ：( l ) ) 一 b ( c p ，舀) + e ( ，矿) = ( g ，妒) ，v 伊ed ，一l ( l ) ( 5 3 ) ( 孑一c ，0 3 ) = o ，v 见i ( l ) 接着定义插值误差，有限元解误差及辅助误差： 一 - 一 - 一 磊= 万一u h ，岛= 荭一，e 。= 甜- u h = 点一参 叩l = 芦一p ，7 2 = 声一p ， e p = p p = r l r 2 f l = f - “，f 2 = 亭一c ，p c = c c = f 1 一f 2 我们有以下结论：对任意t j 。存在常数c ，有 m n 叻： 1 1 1 1 ：工, - o 在q 上一致，则d ( “) 在q 上是一致正定的 四川大学硕士学位论文 d ( ；) v c v 2 屯1 v c 1 2 ( 5 7 ) 引理4 4 ( d ( 二) 的一致l i p s c h i t z 连续) d ( 二) 的定义如上， 叱o ) 0 ，4 ( x ) o ，4 ( x ) 0 是非负的函数，x q ，吐o ) 和4 ( 功是一致有界， 如果4 ( x ) s 吖，吐( 功s 西，则 陋) 一d 吼m 炉，k p 弘。矿 ( 5 8 ) 这里：( 7 + 6 矸) d 是一固定的数( d = 2 ，3 是区域q 的维数) 定理4 2 ( 输送的误差估计) ，令( 二，p ，0 为方程( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解，假设 p l 2 ( 0 ，t ；h ( t ) ) ，二( l 2 ( o ，t ；h h ( 瓦) ) ) 。，c r ( o ，t ；h 。( l ) ) ，p ，印，c 和v c 为本质有界的，且截断算子m 中的m 和罚参数充分大，则存在于h 无关 的常数c 。有： 肌k c 善址舻眦。刮h 比剞d ， c ( f + h 一+ - 1 ) ( ，和瓦1 f ，唪雾，蒯莹 嘎哆式相减并且令功= r ? “得： 其中： ( 5 9 ) ( 妒鲨稍州一搿) = 喜i ( 5 1 0 ) 州等+ 1 ) 讹爿+ 1 ) 四川大学硕士学位论文 t 2 刈华彳1 ) t 3 = ( dc u 一”u + 1 ) v f ：+ 1 ，v f 。n + 1 ) t ( ”u m “r 2 “，t i u m v “)t “1 ”1 ) l = q 一吒n “，彳“) 1 t 6 = l d ( u u ) v 。玎”) 【才“】忙 t 7 = 一【“d ( 二：1 ) v 。f ，1 【f ? “】凼 t 。= 【c l 。【f y 】【f 】凼 _ h + 1- n + 1 i 9 = ( ( d ( u u ) 一d ( u ) ) v c n + lv r l “) t l 。= “一二“) v h c n c ( u uc n + l , f ? “)t o =一“) vf ) 玉。= 一f f ( d ( 甜) 一晒”1 ) ) v 。f “”】协 t 1 ：= 上( ；，n + - ) t 2 = 上( 彳；“ ， + 1 ； ，c + 1 ) 分别对e 面各式进行估计易得出定理的结论。 二阶格式的误差估计： 定理4 3 令( “，p ，c ) 为方程( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解，假设p r ( 0 ，t ；h 。( 瓦) ) ， ；( l 2 ( 0 ，t ；h “( 瓦) ) ) 4 ，c e l 2 ( o ，t ；h ( t ) ) ，p ，印，c 和v c 为本质有界的， 且截断算子m 中的m 和罚参数充分大，则存在于h 无关的常数c ，有： 肌刮即+ c 善t = n 出妒( _ f m 一讲缈卅勘 s c ( f 2 + | i l - 1 + 矗- 1 ) ( 5 1 1 ) 四川大学硕士学位论文 此时： ( 妒兰专扪2 砉“拈_ ) - ( n i 牛1 ) ) 利用t a y l o r 公式有。 卜c n + l ：_ _ 出c n - i j l 础2 其余部分的估计类似定理4 2 ，最后易得定理4 3 的结论。 ( 5 1 2 ) ( 5 1 3 ) 四川大学硕士学位论文 参考文献 i r a a d a m s ，s o b o l e vs p a c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，s a nd i e g o ，c a ，1 9 7 5 2 7d a r n o l d ，f b r e z z i 。b c o c k b u r na n dd m a r i n i ，u n i f i e da n a l y s i so fd i s c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o d sf o re l li p t i cp r o b l e m ，s i a mj n u m e r a n a l 3 9 ( 2 0 0 2 ) 1 7 4 9 - 1 7 7 9 3 】f b a s s i 。s ，r e b a y ，d i s c o n t i n o u sf i n i t ee l e m e n th i g ho r d e ra c c u r a t en u m e r i c a l s o l u t i o no ft h ec o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ，i np r o c e e d i n g so ft h e c o n f e r e n c e “n u m e r i c a lm e t h o d s f o r f l u i dd y n a m i c sv ”k m o r t o ne t a 1 e d ，o x f o r d ：c l a r e n d o np r e s s ，a p r i l3 - 61 9 9 5 ，2 9 5 3 0 2 4 f b r e z z i ，g m a n z i n i ，d m a r i n i p p i e t r aa n d 九r u s s o 。d i s c o n t i n u o u s6 a l e r k i n a p p r o x i m a t i o nf o re l l i p t i cp r o b l e m s ，n a m e r m e t h o e d s p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s1 6 ( 2 0 0 0 ) 3 6 5 3 7 8 5 b c o c k b u r n ，c w s h u ，t v br u n g e k u t t al o c a lp r o j e c t i o nd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rc o n s e r v a t i o n l a w s ：g e n e r a l f r a m e w o r k 。m a t h c o m p ，5 2 ( 1 9 8 9 ) ，4 1 1 4 3 5 6 b c o c k b u r n ，s y l i n ，t v br a n g e k u t t al o c a lp r o j e c t i o nd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rc o n s e r v a t i o nl a w s ：o n e - d i m e n s i o n a l s y s t e m s ，j c o m p p h y s ，8 4 ( 1 9 8 9 ) ，9 0 - 1 1 3 7 b c o c k b u r n ，c w s h u ，i w br u n g e k u t t al o c a lp r o j e c t i o nd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n f i n i t e e l e m e n t m e t h o df o r c o n s e r v a t i o n l a w s v ：m u l t i d i r e n s i o n a l s y s t e m s ，j c o m p p h y ，1 4 4 ( 1 9 9 8 ) ，1 9 9 - 2 2 4 8 b c o c k b u r n ，g k a n s c h a t ，d s c h5t z a na n dc s c h w a b l o c a ld i s c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o d sf o rt h es t o k e ss y s t e m 。s i a mj n u m e r a n a l ，4 0 ( 2 0 0 2 ) ，3 1 9 3 4 3 9 b c o c k b u r n ，g k a n s c h a t ，d s c h g t z a u ，al o c a l l yc o n s e r v a t i v el d gm e t h o df o rt h e i n c o m p r e s s i b l en se q u a t i o n s ，m a t hc o m p 。，7 4 ( 2 0 0 4 ) ，1 0 6 7 1 0 9 5 1 0 j d o u g l a s ，j r ，j r o b e r tf ，n u m e r i c a lm e t h o d s f o rm o d e lf o rc o m p r e s s i b l e m i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a 。m a t hc p ，4 1 ( 1 9 8 3 ) 。4 4 1 4 5 9 1 4 四川大学硕士学位论文 1 1 m i n f uf e n g ，l u p a n ，d i a n z h iw a n g ，f i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sf o r t h er l we q u a t i o n ，j n u m e r m a t h c o m p a p p l ，2 5 ：4 ( 2 0 0 3 ) ，3 7 - 4 7 1 2 m i n f uf e n g ，p i n g b i n gm i n g ，r o n g h u iy a n g ，a b s o l u t es t a b l eh o m o t o p yf i n i t e e l e m e n tm e t h o d sf o rc i r c u l a ra r c hp r o b l e ma n da s y m p t o t i ce x a c t n e s sp o s t e r i o r i e r r o re s ti m a t e ，j c o m p m a t h ，2 0 ( 2 0 0 2 ) 。6 5 3 - 6 7 2 1 3 v g i r a u l t ，b r i v i e r ea n df w h e e l e r ，ad i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o dw i t h n o n o v e r l a p p i n g d o m a i nd e c o m p o s i t i o nf o rt h e s t o k e sa n dn a v i e r - s t o k e s p r o b l e m s m a t h c o m p 7 4 ( 2 0 0 4 ) 5 3 - 8 4 1 4 b r i v i e r e ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nf i n i t ee l m e n tm e t h o d sf o rs o l v i n gt h e m i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e mi np o r o u sm e d i ap h d t h e s i s ，t h eu n i v e r s i t yo ft e x a s a ta u s t i n ，2 0 0 0 1 5 c h s c h w a b ，p - a n dh p f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，t h e o r ya n da p p l i c a t i o n si ns o l i d a n df l u i dm e c h a n i c s ，o x f o r ds c i e n c ep u b l i c a t i o n s ，o x f o r d ，1 9 9 8 1 6 s s u n ，b r i v i e r e ，m f w h e e l e r ，ac o m b i n e dm i x e de l e m e n ta n dd i s c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o df o rm i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e mi n p o r o u sm e d i a ，i n ：r e c e n t p r o g r e s si nc o m p u t a t i o n a la n da p p l i e df d e s 。c o n f e r e n c ep r o c e e d i n g sf o rt h e i n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c e ，z h a n g j i a j i e ，j u l y2 0 0 1 ，3 2 1 - 3 4 8 1 7 s s u n ，m a r yf w h e e l e r ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d sf o rc o u p l e df l o wa n d r e a c t i v et r a n s p o r tp r o b l e m s ，a p p l n u m e r m a t h 。5 2 ( 2 0 0 5 ) ，2 7 3 2 9 8 1 8 t j r h u g h e s ，l p f r a n c aa n dm b a l e s t r a ，as t a b i l i z e dm i x e dd i s c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o df o rd a r c yf l o w ( i np r e p a r a t i o n ) 1 9 】丸m a s u d 。t j r h u g h e s ，as t a b i l i z e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rd a r c y f l o w c o m p u t m e t h o d sa p p l m a c h e n g r g 。1 9 1 ( 2 0 0 2 ) ，4 3 4 1 - 4 3 7 0 2 0 】h r e e da n dt r h i l l ，t r i a n g u l a rm e s hm e t h o d sf o rt h en e u t r o nt r a n s p o r t e q u a t i o n t e c h n i c a lr e p o r tl a u r _ 7 3 4 7 9 。l o sa l a m o ss c i e n t i f i cl a b o r a t o r y ( 1 9 7 3 ) 2 1 x i uy e ，d i s c o n t i n u o u ss t a b l ee l e m e n t sf o rt h ei n c o m p r e s s i b l ef l o w a d v a n c e s c o m p m a t h ，2 0 ( 2 0 0 4 ) ，3 3 3 - 3 4 5 四川大学硕士学位论文 2 2 t i a n x i a oz h o ua n dm i n f uf e n g ，al e a s ts q u a r e sp e t r o v - g a l e r k i nf i n i t ee l e m e n t m e t h o df o rt h es t a t i o n a r yn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s m e t h c o m p 6 0 ( 1 9 9 3 ) 5 3 1 5 4 3 2 3 r e e w i n g ，m a t h e m a t i c a lm o d e l i n ga n ds i m u l a t i o nf