（理论物理专业论文）宇宙的量子起源中若干问题的研究.pdf

摘要 本文第一、二章综述了宇宙学的形成过程及其背景知识，概述了当前主要的宇 宙学摸型和量子宇宙学观点以及观测证据，讨论了宇宙的起源问题及其对应的量子 宇宙学。评述了标准宇宙模型、高温修正效应的暴胀宇宙模型、混沌暴胀宇宙模型 和超对称暴胀宇宙模型等当前主要的宇宙模型。 通过综述可见：量子宇宙学研究宇宙的量子创生的问题，宇宙波函数描述宇宙 量子状态，宇宙波函数满足宇宙动力学方程，即w h e e l e r - - d e w i t t 方程；确定边界条 件，可以定量地研究宇宙创生的问题；宇宙所有历史可以奇点收缩到零，即奇点定 理；宇宙可能是从一无所有经隧道效应创生出来的，宇宙大爆炸发生在隧道效应后； 用路径积分定义宇宙量子态的理论可以解释宇宙结构的起源。 第三章研究了w h e e l e r d e w i t t 方程的求解、隧道效应和势阱效应以及给出了 解的讨论。“二次放松鞋”的方法利用宇宙标度因子a 和标量场中分别依次作用的 方式来讨论w h e e l e r d e w i t t 方程，可以克服只考虑隧道效应的量子宇宙诞生的“大 场困难”，即利用心的势阱效应，提供太场的截断。势阱作用有力压缩了m ，克服 了大场困难。 本文联立宇宙标度因子a 和标量场来求解w h e e l e r 一一d e w i t t 方程，将宇宙标 度因子a 的隧道效应和标量场叩的量子势阱效应联系起来，由此给出了基于w h e e l e r d e w i t t 方程的宇宙创生的模型。a 与中可同时变化，克服了“二次放松鞋”方法中， a倒j叫 先固定m ，即令兰= 0 ，然后再固定a ，即芸= o ，而致使a 与中人为的分离的不足。 彻出 通过求解w h e e l e r 一一d e w i t t 方程，确定宇宙诞生概率分布，获得了随宇宙标 度因子a 增大，而标量场随之减小，宇宙诞生于暴胀。得到了w e e l e r d e w i t t 方 程解的隧道效应和势阱效应。 第四章获得了约束系统的y r ie d m a n n 宇宙的w h e e l e r - d e w i t t 方程的解。对一般 意义下的约束系统的f r i e d m a n n 宇宙的w h e e l e r d e w i t t 方程进行了求解，并对v 为不 同函数形式进行了求解，对所得解给出了详细的讨论。 关键词：w h e e l e r d e w i t t 方程量子宇宙宇宙暴胀 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ec h a p t e r s1a n d2i nt h e t h e s i sg i v et h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g ea n dt h ed e v e l o p i n g p r o c e d u r eo ft h ec o s m o l o g i c a lt h e o r y ，s u m m a r i z et h ev i e w p o i n t s i nt h ec o s m o l o g i e a lm o d e l s s u c ha ss t a n d a r di n f l a t i o n a r yc o s m o l o g i c a lm o d e l ，h i g h - t e m p e r a t u r er e v i s e di n f l a t i o n a r y c o s m o l o g i c a lm o d e l ，c h a o t i ci n f l a t i o n a r yc o s m o l o g i c a lm o d e l ，s u p e r m m e t r i ei n f l a t i o n a r y c o s m o l o g i c a l m o d e i t h e p r o b l e m h o wt h eu n i v e r s es t a r t e dc a nb es o l v e db yq u a n t u m c o s m o l o g y i c a lw a v ef u n c t i o n t h a ti ss a t i s f i e dw i t h c o s m o l o g i c a lw h e e l e r d e w i t te q a t i o n c o s m o l o g i c a l w a v ef u n c t i o na l s o s a t i s f i e sm o m e n t u mr e s t r a i n i n ge q u a t i o n m o m e n t u m r e s t r a i n i n ge q a t i o na n dw h e e l e r d e w i t te q u a t i o na r eq u a n t u mg e o m e t r i c a ld y n a m i c a le q u a t i o n z e r oe n e r g ys c h r o d i n g e re q u a t i o nh 甲= 0c a nb ed e c o m p o s e di n t om o m e n t u mr e s t r a i n i n ge q a t i o n a n dw h e e l e r - d e w i t te q u a t i o n t h eu n i v e r s ec a nb ec r e a t e df r o mz e r ob yg o i n gt h r o u g ht u n n e l t h eb i gb a n go c c u r sa f t e rt h et u n n e l i n g t h et h e o r yt h a tc o s m o l o g i c a lq u a n t u ms t a t ec a nb e d e s c r i b e db yt h er o u t ei n t e g r a lc a ne x p l a i nt h eo r i g i no ft h eu n i v e r s e t h et h ir dc h a p t e rs t u d i e st h es o l u t i o no ft h ew h e e l e r d e w i t te q u a t i o n ，t h et u n n e l i n ge f f e c t a n dt h ep o t e n t i a lw e l le f f e c t ，a n dg i v e st h ed i s c u s s i o no ft h es o l u t i o n t h e “t w i c el o o s e ds h o e m e t h o dt r i e st od i s c u s sw h e e l e r d e w i t te q u a t i o nb yf i x i n gt h ec o s m o l o g i c a ls c a l a rf a c t o raa n d t h es c a l a rf i e l d 中i nt u r n t h i sm e t h o dc a l lc o n q u e rt h eg r e a tf i e l dd i f f i c u l t yc a u s e db yo n l y c o n s i d e r i n gt h et u n n e ll i n ge f f e c to ft h eb i r t ho ft h eq u a n t u mu n i v e r s e t h ep o t e n t i a lw e l le f f e c t o ft h ef io l d 巾p r o v i d e st h ep r o b a b i l i t yt r u n c a t i o n t h ep o t e n t i a lw e l le f f e c tc o m p r e s s e st h e f i e l dos ot h a ti to v e r c o m e st h eg r e a tf i e l dd i f f i c u l t t h i st h e s i sc o n n e c t st h et u n n e l l i n ge f f e c to ft h ec o s m o l o g i c a ls c a l a rf a c t o raa n dt h e q u a n t u mp o t e n t i a lw e l io ft h es c a l a rf i e l d o i tp r o v i d e st h em o d e lo ft h ec o s m o l o g i c a lb i r t h b a s e do nt h ew h e e l e r d e w i t te q u a t i o n b e c a u s et h eu n i v e r s em a yo r i g i n a t ef r o mt h ed e c a yo f t h es c a l a rf i e l d t h ee a r l yc o s m o l o g i c a lr a d i u sd e p e n d so nt h e s c a l a rf i e l d 由s ow ec a n a s s u m ea = 口。中，t h ec o s m o l o g i c a ls c a l a rf a c t o raa n dt h e s c a l a rf i e l dmc a nc h a n g ea tt h e s a m et i m ei to v e r c o m et h ed e f e c tt h a tl e a d st oaa n d 西s e p a r a t i n gm a n - m a d e l yi nt h e “t w i c e l o o s i n gs h o e ”m e a n so ff i r s tf i x i n gm ，n a m e l yo r d i n g 卯，锄= o ，a n dt h e nf i x i n ga ，n a m e l y o r d i n g 辨 8 d = o u s i n gt h e m e t h o do fs o l v i n gw h e e l e r - d e w i t te q u a t i o n w eo b t a i nt h e p r o b a b i l i t y d is t r i b u t i o n o f t h eu n i v e r s e sb i r t h t h es c a l a rf i e l d 毋d i m i n i s h e sw i t ht h e a u g m e n t a t i o no ft h ec o s m o l o g i c a ls c a l a r f a c t o ra t h eu n i v e r s ei sb e r r i e df r o mt h ei n f l a t i o n ，i e t h ee x t r e m e l yq u a n t u me x p a n s i o n ，t h e r em a yb e t h et i n yq u a n t u ms t i rl e f t ，a n di te n t e r st h e c l a s s i c a lb i gb a n gs t a g e t h ef o u r t hc h a p t ero b t a i n st h es o l u t i o no ft h ew h e e l e r d e w i t te q u a t i o no ft h er e s t r i c t i o n s y s t e mi n f r i e d m a n nc o s m o l o g y ，a n do b t a i n st h es o l u t i o n sf o rt h ed i f f e r e n tf o r m so fv ( 妒) ， f u r t h e rg i v e st h ed e t a i l e dd i s c u s s i o no ft h es o l u t i o n s k e yw o r d ：w h e e l e r d e w i t te q u a t i o n ，q u a n t u mc o m o l o g y ，i n f l a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的 学位或证书丽使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：翁铟导师签名 ：瑾! 墨弘 第一章暴胀宇宙模型 标准宇宙模型成功地解释了从太爆炸后到现在( 1 0 ”年) 的宇宙演化。包括元 素起源( 如氦丰度) ，星系光谱的宇宙红移，2 7 e 微波背景辐射，星系计数和大尺 度均匀各向同性等。但它还存在未解决的难题，尤其是早期t = o 至r l l 0 。os ( t ) i g e v ) 的宇宙演化细节仍有需研究的问题。暴胀宇宙模型可以解决磁单极问题、视界疑难 ( 均匀性疑难) 和平直性疑难。 量子宇宙学希望解决宇宙创生的问题。宇宙波函数描述了宇宙量子状态，宇宙 波函数满足宇宙动力学的方程，w h e e l e r d e w i t t 方程。确定边界条件，可以定量 地研究宇宙创生的问题。w h e e l e r d e w i t t 方程是一个零本征值的薛定谔方程 1 ， 确定宇宙的边界条件就是要确定基态波函数的积分路径。量子力学路径积分就是要 对历史求和，即相当于解薛定谔方程。量子宇宙学中，求解宇宙波函数就是要求解 其历史，即解w h e e l e r d e w i t t 方程。 当今的宇宙在大尺度上各向同性、均质且几乎平直。这是由于宇宙早期经历了 极高温且极高物质密度的暴胀 2 ，暴胀使温度下降，物质变稀疏。经标量场衰变再 次加热宇宙，使宇宙按热大爆炸的方式演化，爆炸后过l o “s 进入大统一时期，即强 、弱和电磁相互作用统一时期。由于c p 破坏形成重子数比反重子数多，正物质比反 物质多。温度从1 0 9 k 降至1 0 8 k 时形成原子核，如氮核和氘核。量子宇宙学的任务之 一是确定宇宙初态的几率分布，初态可依赖于标量场中 3 6 。 混沌暴胀理论中 7 ，宇宙量子诞生概率密度为p 8 。当中最大时，p 可能趋 于无穷宇宙极度膨胀，中场的势能不再滚下。因此，需要大场截断，即有大场困 难。 1 1宇宙学原理 宇宙学原理认为：在大尺度上，任何时刻的三维宇宙空间是均匀和各向同性的， 包括星系分布、射电源数目和微波背景辐射都是如此。宇宙中一切位置都是等同的， 任星系和星系团都是构成宇宙的元素，没有优越的位置或优越的方向。均匀未必 要求各向同性，而各向同性必然要求均匀。 1 2 标准宇宙模型( f ri e d m a n n 方程) 由于我们现在观测到的宇宙是在大尺度上均匀各向同性的，故e i n s t e i n 一建立 广义相对论就把得到的物质与曲率耦合的张量方程r , , v - - 孚r = 8 万g t ，( r 为曲率 张量，g ，为时空摩规张量，t ，为物质的能量动量张量，g 为引力常数，r ，为r i c c i 张量) 和宇宙学原理用到宇宙学的研究中，得到了一个静态的宇宙模型。后来 f r i e d m a n n ，r o b e r t s o na n dw a l k e r 先后沿着e i n s t e i n 的研究思路，得到了标准宇宙 模型。 描述均匀各向同性空间的宇宙模型称为标准宇宙模型。该模型可由f r w 度 规下的e i n s t e i n 场方程描述，也有人简称为f r i e d m a n n 方程 盖2 + k _ 8 f g p r 2 ，3 薹= 一4 z g ( p + 3 p ) r ( 1 1 1 ) 其中k 为时空曲率因子，r ( t ) 为宇宙半径( 宇宙标度因予) ，p 为物质密度，p 为压强， g 为引力常数。 哈勃定律的数学表示为 z = h 。d + ( 1 十拿) h 。2 d2 + ，d = ( to - - t 。) ( 1 1 2 ) 其中h 。= r ( t 。) r ( t 。) 为哈勃膨胀系数，即哈勃常数 q 。= 一r ( t 。) ( r ( t 。) h 。2 ) 减速参数( 因子) 红移zo c 光源与固有坐标系观察者的距离。观测表明宇宙中任何两颗恒星( 或 星系) 都在相互退行，即宇宙在膨胀。 尽管标准宇宙模型成功解释了从大爆炸后到现在的宇宙演化，但大尺度上，宇 宙均匀性各向同性是如何形成的? 这还是未解决的难题，尤其是视界疑难( 均匀性 疑难) ：均匀性是宇宙物质相互作用、相互制约的结果，均匀区应在视界范围内。 平直性疑难：甚早期宇宙相对于平直宇宙的偏离l q ( f ) 一l l 将随着宇宙的膨胀而 被极度放大 ( 2 一卜4 l o ”( 三) 1 m e v 密度参数q ：一p o p 。 其中岛是现在宇宙的物质密度，t 为温度，以= 百3 h 0 2 ，r ( t ) 为宇宙半径，m e v 为兆 电子伏特。然而，在p l a n k 时刻t ，t = 1 0 ”g e v ，有q ( t ) 2 l o ( 1 0 _ 5 8 ) ，宇宙平直 疑难。 第一章暴胀宇宙模型 i i 皇i i i i i 宣i 11 1 1 1 | 1 | i i i i i i i i i 皇皇i i i i i i j i i i i | i i i i i s = s r3 1 0 “，( s 熵，s 熵密度) 又称熵疑难。 奇点问题：据e in s t e i n 引力理论，宇宙学原理，哈勃定律，强能量条件( p + 3 p ) o 必然导致：宇宙必存在一个内禀的过去类空奇点( 时间t = o ，曲率半径r = o ) 温 度极端高，能量极端大，物质密度为o o ，这时物理规律失效。 磁单极问题：磁单极是联结不同h i g g s 场真空平均值的拓扑结( 拓扑孤子) ，在 真空简并r 一或出现畴状真空( 真空泡) 时，在不同真空泡交接处要出现磁单极。磁 t 单极密度n ，音，n 。n ，的理论计算值比观测的大1 0 ”以上。 l 暴胀宇宙模型可以解决磁单极问题，视界疑难( 均匀性疑难) ，平直性疑难。 量子宇宙学讨论宇宙的( 奇点) 创生问题。 1 3暴胀宇宙模型 暴胀宇宙模型：( 麻省理工学院a l a n k ：o ，( i r ) 2 = ；g 即，当t t 时， r3 h o u t h 提出 9 ，后来l i n d e 改进 1 0 ) ( 墨) ：= 墨g 即= 墨g z a t4 c = h 2 (131)r3 。 3 r ( t ) = r ( 1 0 “s ) e ”= r ( 1 0 4 5s ) e = r ( 1 0 “s ) 1 0 4 3 ( 1 3 2 ) 其中h ( 强相互作用破缺相变) = 1 0 “s 。时，真空能密度为主；1 0 3 5s o l 0 。3 3s 时 相变，即假真空妒= 0 跳变至妒= 真真空，宇宙在1 0 “j 时，半径非常小，接着发 生指数暴胀到1 04 3 倍( 其余正常膨胀1 0 ”倍) 。 1 1 建立在大统一理论基础上的暴胀宇宙学己涉及到1 0 4 6 秒的极早期( 方励之 1 2 1 4 ，极早期宇宙( 1 0 “s 1 0 。5s ) ，宇宙超高能( 1 0 ”1 0 ”g e v ) ，此时强、 电磁和弱相互作用统，为只含一个耦合常数的基本相互作用。大统一理论g u t 的 s u ( 5 ) 对称性破缺为s u ( 3 ) x s u ( 2 ) u ( 1 ) ，原因在于真空的对称性破缺( 真 空即h i g g s 场的基态) 。妒= 0 假真空态，按大爆炸模型r tz 演化。其中亚稳态形成 低温破缺态泡，跃迁至真真空( 通过量子隧道贯穿势垒) 。宇宙尺度从r 1 0 1 0c m ， 经滚动相( t 10 3 2s ) 后，到r 1 0 “c m ，滚动相时，t 1 0 _ 3 2s ，其后来真空泡半径大 于目前可观测宇宙半径即目前可观测的宇宙位于一个真空泡，解决了磁单极问题。 宇宙创生的结果是 h i g g s 粒子斗规范粒子、重子、( 重子数不守恒) 和y 光子 真空能一物质能( 辐射能为主) 指数暴胀r e “- - 现在加速的膨胀r f l + 8 似 o ，r ，r 口f ” o ) t 。t 。= t 。，宇宙总熵来源，解决平直疑难。 由d = 2 c t 视界距离，有( d r ，) 3 = 1 0 “z 3 ，r 为t = 1 0 。3 9s 时的宇宙半径。视界距 离大于宇宙半径，解决了视界疑难。 此后，场绕真真空阻尼振荡，真空能耗散，指数膨胀停止，宇宙按标准模型演 化。热化机制解释为阻尼振荡中产生的粒子间相互作用。 假真空向真真空过渡只能通过量子隧道效应 9 ，要求泡产生率低，则泡产生 率低要求热化过程延迟到重子，核合成时期，这不合理。宇宙尺度按指数增长只出 现在泡形成前，形成后泡壁光速膨胀，真空能转化为泡壁动能。 泡碰撞是热化机制，假真空指数增长。如真真空泡不按指数增长，则存在小 于可观测宇宙的泡，泡碰撞破坏了宇宙物质分布的均匀性，使t h o o f t 磁单极大量 出现，与观测不符。 l in d e 修正的暴胀宇宙模型：采用c 0 1 m a r l w i n b e r g 势 1 5 1 8 ，认为宇宙泡经 隧道效应后，沿势的平坦部分慢滚下来，即暴胀与对称破缺相变同时发生。可解决 上述不均匀性产生的磁单极与热化过程延迟的缺点。且有 堕 兰型0 ，有效势平坦，妒( t ) 妒p 佩( h t ，( l 3 3 ) 仃p0 其中真真空时妒的值为盯，为势垒最高处妒的值，p 。是宇宙由假真空态跃迁 至真真空( 量子隧道贯穿势垒) 放出的潜能，t 。泡出现的时间。 泡在平坦区演化方程。泡由1 0 。2 0 c m 增至r ( t ) 1 0 2 8c m ( 现在可观测宇宙半径) 。 宇宙处于一个泡内。此后，场绕真真空阻尼振荡，宇宙按标准模型演化，阻尼振荡 产生的粒子相互作用产生热化机制。 h a w k i n g 和m o s s 1 9 考虑到引力与h i g g s 场的耦合，在c o l e m a n w e i n b e r g 势上 又加上几项，包括含m 的项和尹场与曲率的耦合项。当温度降为t 。时( 霍金温度) ，质 量项可以忽略。有效势退化为c 0 1 e m a n w e i n b e r g 势，此时势垒很低，量子胀落就足以 使妒场从对称真空过渡到不对称真空。 1 4混沌暴胀宇宙模型 混沌暴胀宇宙模型克服了高温修正效应暴胀宇宙模型驰豫时间困难，对有效势 的高温修f 增加了p 的有效质量项，妒的质量由负质量变正质量，导致对称性恢复。 宇宙时t 芸各r * ；，即t s 等，m ，为p l a n k 质量 ( 1 5 1 ) 空间畴指数膨胀比温度降至等早，空间畴指数膨胀导致畴内温度指数下降。 所以，高温修正不存在，即使t f ，指数式急剧下降，也超过高温修正。因此，每 个畴暴胀静，不会发生高温相变。标量场伊在定取值内，时空可形成宇宙泡，每 个泡暴胀后超过可观测宇宙尺度，人们处在其中的一个宇宙中。 混沌暴胀宇宙模型： 妒在初始时可取一系列值，空间不同区域妒取m 。石中任一值，9 场运动方程 妒+ 3 h 妒2 一五p 3 ， h 2 ( 詈以) 2 妒2 mf ， ( m ，为p l a n k 质量) ( 1 5 1 ) 妒：e x p 一 丑z 1m( 6 0 万) ；) t ， t 堕二衰减时间 (152)p 妒= e x “一 ( 6 0 万2h ， t 盖衰减时间 ( 1 5 - 2 ) 丑1在a t t p 玄时间内宇宙指数膨胀。膨胀后的半径为 r ( a t ) r o e ”“ro e x p ( 2 m p 0 2 m 。2 ) ( 1 5 3 ) 用使膨胀后的宇宙大于可观察的宇宙就要求 e ”“ e x p ( 6 5 ) ( 1 5 4 ) 于是按( i 5 3 ) 式和量纲限制条件有3 m 。( 系数兄s 1 0 2 ) 。因此，妒场在宇 宙的不同空间区域具有混沌的初始值，任意一个满足3 m 。( 系数五1 0 。2 ) 的 空间区域( 空间畴) 都将作指数膨胀，经过时间址后形成比演化中的可观测宇宙大 的微宇宙泡，我们现在所处的宇宙就是由这无数个微宇宙泡中的一个演化而来的， 即为混沌暴胀宇宙模型。混沌暴胀宇宙模型只要求局部微宇宙均匀各向同性，但其 困难在于得不到能量密度涨落合理量级 望l o 一4 p ( 1 5 5 ) 暴胀宇宙真空平均值 ( 嘉( t t 0 ) ，t t 0 k j i 波函数 e x p 卜嬖 指数衰减，对应于欧氏经典解。 2 5 a = o 处规则条件大a 处衰减的w h e e i e r - d e w i t t 方程 为了满足解在a = 0 处规则条件，大a 处衰减。引人坐标x = a s i n h ，y = a c o s h 矿 对应的w h e e le r d e w i t t 方程为 c 嘉一等一y 2+x2 m 。 解甲= l ( x ) l ( y ) 为两谐振子波函数的乘积。 l ”) = l ( z ) = ( 2 ) 一h 。( x ) e x p ( 一姜) 1 ) = 二。c 。( k ) l n ) 奇异的k 本征态是无限多规则谐振子解的迭加。 加。谐振子解是经典解的相干杰。 2 6 含有共形不变标量场的小超空间模型 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) 谐振子解是不同k 本征态的迭 含有共形不变标量场的小超空间模型，存在谐振子解的类似的不连续谱。其 w h e e l e r d e w i t t 方程为 ( 罢一芸o + 喜2 ) t ：o ( 2 6 1 ) 2a f 2 。 其中乒= 口有a 和f 的谐振子解。 建立耦合于引力的共形标量场和最小标量场之间的等价性，做度规的共形变换 ；= a f 矿，= a r c t a n h 矿 ( 2 6 2 ) 则w h e e lo r d e w i t t 方程和最小无质量标量场一样了，有本征态解。 解在a = o 处奇异，其奇异性是解析延拓了的欧氏虫洞瞬子中a = o 处的奇点。在 = 1 处，解奇异。 2 7 耦合的均匀标量场半径a 的f r w 三维球几何 w h e eie l 一d e wit t 方程 对于耦合的均匀标量场，半径a 的f - r w 三维球几何，w h e e l e r d e w i t t 方程为 a 未口未一孑0 2 _ a 4 + 2 a 6 u ( 妒) 帅棚2 。 ( 2 7 1 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 构造零级w k b 近似e x p f i ) ，i ( a ，西) 是经典欧氏解作用量。为使解是渐进 欧氏的，必须使= 0 处，u = 0 。 w e b 波函数 甲= c ( a ，) e x p ( i ) = e x p ( h - i )( 2 7 2 ) 如果c 有界，在无限远不象e x p ( i ) 一样很快发散，则甲= c ( a ，) e x p ( 一i ) 1 有界，无限远衰减。u = 妻m2 矿2 适合这一条件。 小时，u = ；m2 2 ，作用量有好解，处处为正。在a = o ，妒= o 有限。 2 8开暴胀 近来的微波背景辐射观测倾向于支持低密度的开暴胀模型 3 0 - a 1 。 无边界宇宙可以给出宇宙的开暴胀。对暴胀势没有特殊要求，暴胀宇宙模型很 好地解释了关于现在宇宙尺度、平直性、均匀性和涨落起源机制。但暴胀是否发生 依赖于暴胀的初始条件。无边界初始条件可以避免这一困难。 通常，各模型均要求暴胀势有一亚稳的极小值一一假真空，有一个慢滚动相， 使之能创生一个具有量子胀落的d es i t t e r 空间。这个场能通过量子隧道效应，产 生众多泡泡。泡中，滚动会慢下来，到真最小 3 1 ，内部是无限开放的宇宙。调整 慢滚时间+ ，可以使空间曲率与哈勃半径一致 3 2 。 暴胀宇宙模型要求量子胀落足够小，要求势足够小。开暴胀要求势有一个假 真空，有泡解。若假真空中标量场质量太大，则泡只内部适合d es i t t e r 哈勃半径。 开暴胀需要的标量势只是对单场模型设计的。二场模型( a d l in d e 3 3 3 6 ) 仍要求 假真空。可以不要求假真空暴胀过程，量子胀落是用延拓场和欧氏扰动来计算的， 宇宙是由初始空间的微小胀落开始的。 2 9 闭宇宙开宇宙 具有0 ( 4 ) 不变性的解的度规为 d s2 = d 盯2 + b2 ( 仃) ( d 妒2 + s i n 2 d q ；) ( 2 9 1 ) 延拓到开宇宙，从欧氏空间延拓到洛仑兹空间，在欧氏空间延拓到洛仑兹空间， 从。到三，p 2 三+ ir ，则有 d s2 = d 盯2 + b2 ( 口) ( d f 2 + c o s h 2 fd f l i ) ( 2 9 2 ) 足空问不均匀的类d es i t t e r 度规，半径b ( 盯= o ) = o ，仃= i t， f = 三i z + z ，a 第二章量子宇宙学与w h c c | e r d e w w i t t 方程 ( t ) = 一ib ( i t ) 则 d s2 = 一d t2+a2 ( t ) ( d z 2 + s i n h 2 zd 噶) ( 2 9 3 ) 是膨胀的开放宇宙。 盯= 盯。+ i t是均匀的类d es i t t e r 空间。时间依赖于空间截面，则 d s2 = 一d t2 + b2 ( 口) ( d f2 + c o s h2 f 拯j )( 2 9 4 ) 闭合的暴胀宇宙。 闭宇宙比开宇宙年轻得多。可以计算，开宇宙1 5 0 亿年时，闭宇宙8 0 亿年，开 宇宙空间上无限而闭宇宙有限。观测到的星系数目是决定因素。开宇宙是最可能 的，可以给出无限大的星系数。最可能的开宇宙：物质一一辐射发生在红移1 0 0 ， 相应于退耦之后，视界尺度2 5 0 0h 。m 。，对于纯重子宇宙，物质扰动能谱从这 个尺度下降到s 儿k 阻尼尺度是不变的，数量级比较小。 确定宇宙的量子态有两种方法。第一种，霍金的欧氏几何路径积分方法：第二 种方法，宇宙在d es i t t e r 空间自发成核，沿暴胀线演化，类似于穿过势垒的量子 隧道方法。即v i le n k i n 的隧道效应方案 3 7 - 4 5 。 2 1 0 小超空间闭合均匀且各向同性的宇宙w h e e i e r - d e w i t t 方程 在超空间，在隧道效应方案中，宇宙形成是非奇异的事件，势垒下传播对应于 虚时间里的演化，量子隧道由欧氏场方程的规则解( 瞬子) 描述。在成核点此解与 洛仑兹解符合，宇宙以非奇异方式开始，在未来会出现奇异性( 如黑洞，或大挤压) 。 超空问的非奇异边界为3 维几何，仅有切割4 维几何产生的奇异性。还有超空间 的奇异边界。波函数甲的隧道边界条件为在超空间的奇异边界，甲只包括出射模式。 超空间的经典路径可以在超空间的奇异性边界终结，但不能出发。 对半经典波函数甲= c 。e x p ( i s ，) ，每个s 。都定义了一个超空间的经典路径， s 。是迅速变化的波函数，满足超空间哈密顿一一雅可比方程 ( vs 。) 2 + 6 u = 0( 2 1 0 1 ) 规则性条件： l 甲l ( 。( 2 1 0 2 ) = f 【内， d o e x p 一。( g ，) 致密4 维几何可以看作位于一点 的量子隧道效应，y 。是实的。 “无”和有限3 维几何之间，掣。给出从无到有 对闭合均匀和各向同性的宇宙，有 d s2 = 盯2 ( n2 ( t ) d t2 一a2 ( t ) d q ；)( 2 1 0 4 ) n ( t ) 为任意的时移函数，n ( t ) = 1 时其经典解为d es i t t e r 空间，d q ：为3 维球 上的度规，标度因子a 为自由度，其w h e e l e r d e w i t t 方程为 。一一昙口，昙一u ( 。) 甲= o o 口o o 其中u ( a ) = a2 ( 1 - h2 a2 ) ，量子的初态是d es i t t e r 恒定真空态。 2 1 1小超空间线性扰动模型的w h e e i e r - d e w i t t 方程 小超空间线性扰动模型的w h e e l e r d e w i t t 方程为 等伽未一( 1 - h 2 a 2 ) 一莓嗡一( n 2 - 1 ) 扪。2 + ，2 6 删 设 掣= e x p ( is )( 2 】1 2 ) 闭宇宙必然要重新收缩，则宇宙将热化，在有限长的时间内到达大挤压状态。若 考虑标量场的量子胀落，这结论就会改变。 暴胀宇宙预言平直宇宙，近来观测倾向于低物质密度。 2 1 2 开暴胀宇宙单场模型开暴胀宇宙双场模型 开暴胀宇宙单场模型 v ( ) 势有一亚稳的假真空，经过一尖锐势垒和一段平坦的慢滚到真真空( 不 合理) 暴胀首先发生在处于假真空，庐隧道贯穿势垒形成泡，庐漫滚向真真空。泡 成核有紧致0 ( 4 ) 不变的瞬子描述，瞬子是欧氏场方程的一解，泡内部是开宇宙，泡均 匀各向同性。 丌暴胀宇宙双场模型 场a 隧道贯穿，场慢滚动，在泡内不均匀。只有大于普朗克质量区才暴胀。 瞬子的解析延拓给出有膨胀泡的闭合宇宙。 2 13 有质量标量场模型的w h e e i e r - d e w i t t 方程 含暴胀标量场模型 有质量标量场模型 x = a s h 庐 ， y 2 a c h 其w h e e le r d e w i t t 方程为 等当+ v c ，vc x ，炉。 第二章量子宇宙学与w h e i c r - - d e w w i l t 方程 其中势v ( x ，y ) = x2 一y2 + m2 ( x2 - y2 ) a r c t h2 ( x y ) ( 2 1 3 3 ) 边界条件为 甲= 1 ，当y = ，a 2 0 v o ，甲振荡，w k b 近似 y = c e x p 伽) 含暴胀标量场模型 州卜丢川q 肠筹一圭，申硝 其中 口，九= c o n s t 。 ( 2 1 3 6 ) ( 2 13 7 ) 2 1 4 整体转动模型的w h e e l e r - d e w i t t 方程高维模型。 整体转动模型 w h e e le r d e w i t t 方程 三 上旦( 口，昙) - a2 + hz a 一一竺+ 4 b2 + f2 a 甲( a ，b ) ：o 2 口0 a 、。082 。 高维模型 d s2 = 一d t2 + a2 ( t ) d f 2 ；- b2 ( t ) d q j 半经典近似下 甲= no a ，e x p ( 一b 。) 2 1 5 量子引力的w h e e io r - d e w i t t 方程。 ( 2 1 4 1 ) 内部空间坍缩时，量子引力效应起重要作用，半经典近似失效。奇异性是一切 非类空短程线不可延拓的边界。宇宙奇点是宇宙演化的起点或终点，无因果联系。 不合理。考虑早期宇宙物质场真空的量子单圈修正，宇宙奇点可以避免。宇宙基态 v ( f ) 一i t de g ， e x p ( 一i g 。， ) 普朗克时期时空拓扑结构：r 1o s “0 t 。 ，r l 为时间维，s “为d 维球，t ”为d 维 环，其度规为 d s2 = 一d t2 + a 2 ( t ) d q ；+ b2 ( t ) d q j ( 2 1 5 2 ) 在普朗克尺度附近，由于物质场的量子胀落，将使得时空在小尺度上具有多连 通的泡沫结构。时空的泡沫结构在q e d 中产生新的顶角恰好可以抵消q e d 中三种最原 始的发散。 有效拉氏量 北京工业大学理学硕士学位论文 l 彬( ) 2 l 。( ) + l ，( 庐) ( a ? + a ，) ( 2 1 5 3 ) l 。( 庐) 为母宇宙中拉氏量，a 。，a ；分别为第i 个虫洞、半虫洞和子空间的湮灭算 符和产生算符。 虫洞只是一种时空流形的拓扑分岔，在母流形中未出现新物质场。所以，对母 流形中场论的影响只表现为各种新的自作用项( 或顶角) 。 半经典的b r a n s d i c k e 理论的有效拉氏量 l = 6 ( ：+ a ) 妒一卵口：；2 + 3 a ( 旦) 一甜( 旦) t k = l 的r o b e r t s o n w a l k e r 度规 d s2 = 一c 2d t2 + a 2 ( t ) d q ： 其中d 噶= ? + r 2 ( d 臼2 + s i n2 鲫妒2 ) 量子引力w h e e l e r - d e w i t t 方程 _ g 掣去+ ? “( 哪( h ) + 2 a + 8 巩( j 毒棚) ) = 。 弱、电磁和强相互作用理论在某一大质量尺度下结合为统一的杨一m i l l s 理论， 如s u ( 5 ) 大统一规范理论。只要知道耦合常数是如何依赖于质量的，知道低能时 弱、电磁和强相互作用值，就可以确定统一发生时质量尺度。统一发生在10 , 9 c e v ， 标量场妒换成s u ( 5 ) 中h ig g s 场妒。在没有其它物质场存在下，在h i g g s 场处的宇宙 仍可从无到有经量子轨道过程而创生，创生几率仍遵守普朗克分布。 第三章宇宙量子演化的w h e e i e r d e w i t t 方程的 求解、势阱和隧道效应以及解的讨论 3 1 引言 当今的宇宙在大尺度上各向同性、均匀且几乎平直是由于宇宙早期经历了极高温 和极高物质密度的暴胀，暴胀使温度下降，物质变稀疏。爆胀后过1 0 “s 进入大统一时 期，即强、弱和电磁相互作用统一时期。由于c p 破坏形成重子数比反重子数多，正物 质比反物质多。温度从1 0 9 k 降至1 0 8 k 时形成原子核，如氦核和氘核。量子宇宙学的任 务之一是确定宇宙初态的几率分布，初态可由标量场。表征。 混沌暴胀理论中，当中最大时，量子宇宙诞生概率p 可能趋于无穷，宇宙极度膨 胀，中场的势能不再滚下。因此，需要太场截断，即有大场困难。 量子宇宙学的基础由w h e e l e r 和d e w i t t 在1 9 世纪6 0 年代确立。至今量子宇宙学的 基本研究工具是宇宙波函数w ( h 。，o ) 的w h e e l e r d e w i t t 方程。 ，是三维空间矩阵， ar彳、 中是物质场。当半= 0 时，w h e e l e r d e w i t t 方程是静止态下s c h r od i n g e r 方程。它描 讲 述了在超空间，v 是所有三维矩阵瞳的空间中的函数，不是超对称理论的标量场。 其拉氏量为 地。排一篆+ 如凯脚) 在封闭f r i e d m a n n 宇宙中，有无穷小线元的平方 d s 2 = n ( t ) d t 2 d 2 ( t ) d n ； ( 3 1 2 ) 其中n ( t ) 是辅助函数，地；= d x 2 + s i n 2x ( a2 0 + s i n d 2 m ) 是三维空间中长度元素。为得 到依赖于a ( t ) 和西o ) 的有效l a g r a n g i a n ，必须在作用量s ( g ，币) 中包含i ，2 2 d 3 。 由于- t - 宙是封闭的，没有边界，可得出只包含a 和口，不包含a 的有效l a g r a n g i a n m = 一竿( 窨删+ 2 7 r 2 a 3 n ( 熹川嘞 ( 3