（应用数学专业论文）用算子定义的解析函数类的研究.pdf

用算子定义的解析函数类的研究 摘 要：第一章中，作者引入了解析函数，( 名) 的n 阶n 0 0 r 多重积分算子露，p ，( z ) ， 并应用微分从属和微分超属的方法得到了这个算子的一些性质，所得结果推广了早期一 些作者的结果 在第二章中，作者利用推广了的s 五1 五g e a n 算子在右半平面内的凸区域d 上定义了一 个几一螺型函数类，并得到了这个函数类的一些性质，所得结果推广了一些作者的相关结 果 关键词：解析函数；n 0 0 r 积分算子；多重变换；从属关系；超属；中间定理；单叶：佗一 螺型函数；h w w i t z k i r c hz e t a 函数；h a d 锄a r d 乘积 t h e i i l v e s t i g a t i o no fa n a l y t i cf u n c t i o n sc l a s so n t h eo p e r a t o r a b s t r 卵t ：i 芏lc h a p e ro n e ，l en o o r - m u l t i p l i c ri n t e g m lo p e r a t o r 鬈，p 厂( z ) o fn 一lo r d e r0 f 厂( 名) i si n 昀d u c e d ，a i l ds o n l ep “) p e n i e so ft l l i so p e r a t o ra r ep r o 、，i d e db ya p p l y i i l gt 1 1 em e m o d s b a s e do nm ed i 虢r e m i a ls u b o r d i i l a t i o na j l dd i 虢r e n t i a ls u p e r o r d i n a t i o n ，n l er e s u l t so b “n e d g e n e r a l i z es o m er e s u l t so fe a r h e ra u m o r s i nc h 印e r 觚o ，ag e n e m lc l a s s0 fn s p i r a l n k ef h n c t i o n sw i mr e s p e c tt 0ac o n v e xd o m a i n dc o n t a i n e di n l er i g h th a l f - p l a n ei si i l 仃o d u c e db yu s i n gag e n e r a l i z e ds a l a g e a i l0 l e r a t o r ， s u f j 丘c i e n tc o n d i 石o n ，i n c l u s i o nr e l a t i o na n d i n t e g r a lo p e r a t o rp r o p 嘶e so ft ：h i sf u n c t i o nc l a s sa r e p r o v i d e db ya p p l y i n g 1 em l 山o do fd i 丘醯m i a ls u b o r d i n 撕o n ，w l l i c he x t e i l dm ec o n _ e s p o n d i n g r e s u n so fe a d i e ra u t h o r s k | e y w o r d s ：a n a l 舛cf u n c t i o n s ；n o o ri n t e g r a l 叩e r a t o r ；m u l t i p l i e rt r a i l s f o m l a t i o n ；s u b o r - d i n a t i o n ；s u p e r o r d i n a t i o n ；s a l l d w i c ht h e o r e m ；u n i v a l e n t ；n s p i r a l l i l 汜f u n c t i o n ；h u n v i t z l c i r c h z e t a 缸1 c t i o n ；h a d 锄a r dp r o d u c t 绪论 为行文需要，介绍定义符号如下： 令为开单位圆盘u = 名c ； 1 ) 内的全体解析函数所成的函数类，并且令 a ( p ) 为皿中形如 化) = 护+ 口知 p n = 1 ，2 ，3 ，) ) ( 0 o 1 ) 七= 叩+ 1 的函数所形成的函数类特别地，记a = a ( 1 ) ，即a 为形如 ，( z ) = 名+ 夕 ( o o 2 ) j = 2 的函数类 令咒( u ) 为在u 内正规的函数类，纸( u ) = _ ，h ( u ) ，在u 中单叶) 对于形如 0 0 ( o o 1 ) 的厂( 名) 和g ( z ) = 扩+ 夕的“h a d 锄砌 乘积，记为( 厂，i cg ) ( z ) ，满足： 如卜卜1 ( 厂水夕) ( z ) = 矿+ d 知k 少= ( 9 木似名) 缸印+ l 在本文中讨论的函数都是定义在单位圆盘u 内的，因此我们忽略条件( z u ) 如果，( 名) 和夕( 名) 都在u 内解析，并且存在s c h w a r z 函数加( 名) ，即叫( 名) 在u 内解析， 叫( o ) = o ，i 加( z ) i 1 ，使得厂( z ) 兰夕( z ) ) ，那么称厂从属于夕，记， 9 或者厂( z ) 一 夕( z ) 特别地，若函数夕( z ) 在u 内单叶，则上述从属关系等价于 ，( o ) = 9 ( o ) ，( u ) c 夕( u ) 令妒：c 3 u c 并且九( z ) ，p ( z ) 在u 内解析如果p ( z ) 和咿( p ( 名) ，( 名) ，名2 p ，( 名) ；名) 在u 内单叶，且满足( 二阶) 微分超属 九( 名) 妒( p ( z ) ，刁，( z ) ，z 2 p ( 名) ；z ) ， ( o 0 3 ) 那么函数p ( z ) 被称为微分超属( o o 3 ) 的一个解对于u 内的解析函数g ( 名) ，如果对任意 满足式( 0 0 3 ) 的p ，都有q 。 则掣 一弘6 酞，p n 和函数9 ( z ) a ) ，我们引入函数9 ( 名) 的多重变换： 霹g ( z ) = 矿+ 萎，( 毫) 钳， ，1 2 p 十l k u n u n a r 、t 觚e j a 和r a v i c h a n d r a n 在文献【2 】中研究了类似算子 定义函数，( 名) = 磐a ，并记 霹弛) ：掣：z + 壹( 容易得到霹厂( 名) a ，础厂( z ) = 厂( z ) ， z 【霹，( z ) 】7 = ( c + p ) 霹一1 ，( 名) 一( c + p 一1 ) 霹，( z ) 特别地，当p = 6 = 1 ，c = o 时，研，( z ) = 后华出 记d q ：a _ 斗a ，定义算子d a ，( z ) ，使 d a 化) 5 南州巩。 _ 1 ， 其中“：l ； 是h a m a r d 乘积。即 研( z ) ：坐掣，n ：nu o ) i 水三艇吣 显然，当口= o 时，就是通常的星形函数类，记作酽 令d 竹：a _ a ，n n 是s 五l a g e a n 微分算子 3 】，定义如下： d o ，( z ) = 厂( z ) 和d 1 ，( z ) = d 厂( z ) = 名厂7 ( z ) ，d n ，( 名) = d ( d n _ 1 厂( 名) ) 如果，( z ) = 名+ 哟夕a ，那么d n 厂( z ) = z + 歹“夕m o b o u d i 在中【1 0 】对s 五l 五g e a n 算 子进行了如下推广： 令扎n = o ，l ，) 和入 0 我们定义算子刃癸：a _ a 如下： 巩，( 名) = ( 1 一入) 厂( z ) + a 名厂7 ( z ) ，d 2 厂( z ) = ，( z ) ， 曰贾厂( 名) = d a ( 曰蛩一1 厂( z ) ) ，佗n + = 1 ，2 ，) 在上面的定义中取a = 1 ，我们得到s 己l a g e a n 微分算子，也就是，d 兰d 竹显然，磁是 一个线性算子，且对于，( z ) = z + 哟( 名u ) ，我们有 j = 2 职化) = z + ( 1 + 一1 ) 入) 几夕 ( o o 8 ) 3 2 0 0 8 年m u g u r 在文献【1 2 】中，对于，( z ) a ，定义函数类s 域( g ) ( 具体参考文献【1 2 】) s e ( g ) 是这样定义的： 令口( 名) 于乙( u ) ，g ( o ) = 1 ，g ( u ) = d ，此时d 是一个包含在右半平面内的凸区域， 礼n 和入o 如果，( z ) a ，且零；瞥 o 如果 口( p ( z ) ) + ( 名) 妒( p ( z ) ) _ p ( g ( z ) ) + 名9 7 0 ) 矽( q ( z ) ) ， 则p ( 名) 一 o 如果p ( 名) 是u 内的解析函数，且 咖( 名) + 7 万( z ) 矽q ( z ) + 7 石9 7 ( z ) ， 则p ( 名) o 如果 p ( 名) 口( z ) ，1 】n q ，p ( 名) + ，y 印7 ( z ) 是在u 内的单叶函数，且 g ( z ) + 7 z g ，( z ) p ( z ) + 7 ( z ) ， 则g ( 名) 一 o 若p ( z ) 皿【g ( o ) ，1 nq ，p ( u ) d 且秽( p ( z ) ) + 桫( z ) 妒 ( 名) ) 在u 内单叶，满足 谚( g ( z ) ) + z q 7 ( 名) 妒( q ( z ) ) _ 谚( p ( z ) ) + ( 名) 妒0 ( z ) ) ， 则g ( z ) 一 p ( z ) ，且g ( z ) 是最佳从属 5 1 2 解析函数的从属关系 足理1 2 1 设g ( z ) 在u 内单叶，a c 且o q 1 假设g ( z ) 满足 叩+ 搿+ 要b 。 ( 1 2 1 ) 如果厂a ，满足露巾，( z ) o ( 名u o ) ) 和从属关系： ”叫( 掣卜入错( 掣卜+ 挑地固 其中的幂函数取主值( 下同) ，则 ( 掣) 黼 且g ( z ) 是最佳控制 证明令 p ( z ) ：( 掣) a ， 则由假设得，p ( 名) 是u 内的解析函数利用( o o 7 ) 式，由上式可得 搿一qc 错叫， 于是由定理1 2 1 的条件( 1 2 2 ) ，可得如下从属关系： 北) + 会川名) 北) + 会可( 巩 所以根据定理1 2 1 的条件( 1 2 1 ) ，应用引理1 1 2 得，( 堕掣) 口一 g ( z ) ，且g ( z ) 是最佳控 制证毕口 在定理1 2 1 中取竹= 1 ，得到如下推论 推论1 2 1 令g ( 彳) 在u 内单叶，入c 且o q o ，且 【掣 q a n q ( 1 3 1 ) 令( 1 一n a ) ( 堕掣) a + 几入每劳等( 堡掣) q 在u 内单叶解析如果厂满足： 啦) + 轫小( 1 叫( 掣hn 入锗( 掣卜 ( 1 3 2 ) g ( z ) ( 掣) 口， 且g ( z ) 是最佳从属 证明令 p ( z ) ：( 掣) 口 则由( 1 3 1 ) 知p ( z ) 是u 内的解析函数，于是直接计算可得 比) + 挑) _ ( 1 删掣h n a 锗( 掣严 由式( 1 3 2 ) 和引理1 1 3 ，定理得证口 类似于定理1 3 1 的证明，我们得到下面的定理 定理1 3 2 令g ( z ) 是在u 内的凸单叶函数，且q ( o ) = 1 ，入c 和0 p 1 假设 厂a 且满足 堡丝堡丛害型越】a a nq 定义函数： 矽c仃，p，6；名，=1+a塑二=一旦竺笺二坐!竺毛三芋骞冬麦丢妄手字丢舞三笔云手尘!型) ( 1 3 3 ) 如果砂( 佗，卢，6 ；z ) 在u 内单叶，且 1 + a 搿删邮惩巩 则 g ( 名) o ，、7 c ，y o ，且鲁乎在u 内是星像函数如果厂a ，篱a n q ， 且满足乜驾磬辫+ 7 1 + 辫一驾磬辫) 在u 内单叶，如果下面从属： 北搿 a 哿州1 + 氅器一鼍辫， 成立，则 出， 豁， 且g ( z ) 是最佳从属 9 证明 定义函数p ( z ) = 豁，经过计算得： 型：】+ 监竺型l 驾趔型， p ( z ) 【露，p ，( 名) 】7联，p 厂( z ) 由己知条件知： 北m 搿 吡m 群， 令p ( 伽) = q 叫，妒) = 云o ) 很容易知道p ( 叫) 在c 内解析且妒( 似) 在c o ) 内解析， 且当伽c _ o ) 时，妒) 0 另外， r 。， 1 4 中间定理 比较微分从属和微分超属的结论，我们可以进一步得到如下中间定理 定理1 4 1 令9 1 ( 名) 在u 内是凸单叶函数和9 2 ( z ) 在u 内是单叶函数，且g l ( o ) = 眈( o ) = 1 ，入c 且o a o 且口2 ( 名) 满足式( 1 2 1 ) 如果式 ( 1 3 1 ) 成立，( 1 一扎入) ( 堕掣) 口+ 佗a 萼巷群( 堡掣) a 在u 内单叶若 “卅知小”酬( 掣h n 入锗( 掣卜必) + 知名) ， 则 “小( 掣h 枞 且q 1 ( 名) ，9 2 ( z ) 分别是最佳从属和最佳控制 定理1 4 2 令9 1 ( 名) 在u 内是凸单叶函数和9 2 ( z ) 在u 内是单叶函数，且9 1 ( o ) = 9 2 ( o ) = 1 ，q 、a o c 且o 卢1 假设q 2 ( 名) 满足式( 1 2 3 ) ，令厂a ， ( 坠堡堕丛害型迦】a anq 定义函数妒( 钆，p ，6 ；z ) 为式( 1 3 3 ) 且在u 内是单叶 的如果： 1 + 会搿训邶惩小1 + 7 搿， 则 如 o ，且9 1 ( o ) = 啦( o ) = 1 假设鲁等( i = 1 ：2 ) 在u 内 1 0 是星像的，且，a ，等毒辫a nq 如果q 豁+ 7 1 + 饼一豁) 在 u 内单叶，且 “卅搿 口豁州1 + 豁一豁h 嘶m 搿 成立，则 州小氅群吲z ) 且9 1 ( z ) 、9 2 ( z ) 分别是最佳从属和最佳控制 ，注1 4 1 在定理1 4 3 中取n = p = 0 f = ，y = 1 ，6 = 0 ，便得文献【1 0 】中的相应结果 注1 4 2 本章内容取自文献2 2 1 第二章用推广的s 画l 画g e a n 算子定义的仡一螺型函数类 2 1 定义和引理 定义2 1 1 令g ( z ) 冗u ( u ) 且对于某个口( 一三，詈) 和g ( u ) = d 有q ( o ) = e 诅，此 时d 是一个包含在右半平面内的凸区域，竹n 和入o 如果，( z ) a ，且e a 蓦孚 g ( z ) ，名u 则称函数厂( 名) 是一个在u 内的礼一螺型函数，并用兮l 住，a ( g ) 表示全体钆一螺型函 数所成的类 注2 1 1 当口：0 时，我们得到【1 4 】中的扎一星函数的定义同时，当佗= 0 时，就得到了 经典的螺型函数 注2 1 2 一个函数，( 名) 兮厶即( g ) 当且仅当e 缸；瞥包含在右半平面的凸区域d 内 注2 1 3 对于9 1 ( z ) o 和佗是一个 正整数如果 p ( z ) = 夕( o ) + 扩+ 是在u 内全纯的函数且 p ( z ) + c z ，( 名) _ 九( z ) ， 那么p ( z ) o ，名u 如果p 是在u 内解析 的，而且p ( 0 ) = 九( o ) 和p 满足b r i o t b o u q u e t 微分从属 北) + 毫岛州巩 另b 么p ( 名) 一 危( z ) 引理2 1 3 【1 4 】设九( z ) 是u 内的凸函数，且危( o ) = a ，1 o 和r e 7 o 如果p ( z ) = 口+ a 竹z n + n 钆+ 1 名n + 1 + 和 p ( z ) + 掣 ( z ) ， 那么 p ( z ) g ( z ) 一 o ，且厂a 满足 弘鬻+ 竿 鬻一( 搿) 2 】州巩删o ( 2 2 1 )。磁，( z ) 。入。口妥，( z )、磁，( 名) 川”队叫”一一“二“p “7 则厂( z ) g l n ，a ( g ) 证明令 北) e 诅搿“唧z 坳2 + ， 则p ( z ) 在u 内是解析的，并且 由( o o 8 ) ，得到 名( 职“，( z ) ) 7 = z + 因此 同样地，可得 。o 歹( 1 + g 一1 ) 入) n + 1 夕 歹= 2 = z + ( 1 + o 一1 ) 入) n + 1 呦夕+ o 1 ) ( 1 + o 一1 ) a ) n + 1 夕 歹= 2j = 2 掣北) + 妻薹( 1 舶_ 1 ) h ) ( 1 怕_ 1 ) 妒+ 1 夕 = 职+ 1 ，( z ) 一( 口；+ 1 ，( z ) 一名) + ( 磁+ 2 ，( 名) 一名) 、 = 吠+ 1 ，( z ) 一职+ 1 ，( 名) + 职+ 2 ，( z ) = ( ( 入一1 ) 职+ 1 ，( z ) + 磁+ 2 ，( z ) ) z ( 刃妥，( z ) ) 7 = ( ( a 一1 ) 磁，( 名) + 磁+ 1 ，( z ) ) ( a 一1 ) 矽r 1 厂( z ) + 职+ 2 ，( z ) a 刃妥“厂( z ) 1 3 ( a 一1 ) d 癸，( z ) + 刃r 1 厂( 名) a 磁，( z ) 删鬻群 也就是说， 由( 2 2 1 ) ，得到 一1 刃妥+ 2 ，( z ) 刃r 1 ，( 名) a 【口r 1 ，( z )磁，( z ) j 批) = 安【鬻一( 搿) 2 】， p ( z ) + 7 ( 名) o ( z u ) 那么 s l n + l 芦( g ) c5 n 4 ( g ) 证明 任取厂( z ) s 厶。+ 1 ，口( g ) ，令p ( 名) = e 缸蒡静，则p ( 名) 在u 内解析，p ( o ) = e t a = g ( o ) ，且 e i 黧 o ( z u ) 和a o ，根据引理2 1 2 ，得到 p ( z ) 口( z ) ， 或 萨鬻删 即，( z ) s l 竹，a ( g ) 口 推论2 2 1 令竹n + ，a = 1 和川 o ( 名u ) 如果f ( 名) s 厶，a ( q ) ，那 么厂( 名) = l n f ( z ) g l 舭( g ) ，此处l o 是( 2 1 1 ) 中定义的l i b e r a p a s c u 积分算子 证明 由( 2 1 1 ) 得到 和利用线性算子z 发+ 1 ，得到 因此 或者 ( 1 + o ) f ( z ) = n ，( z ) + 名厂7 ( z ) ， ( 1 + o ) 职+ 1 f ( z ) = 。 们暌+ 1 ，( 名) + 磁+ 1 ( z + 歹夕) = n 磁“，( z ) + 名+ r、， 由定理2 2 1 中的证明，得到 o 。 名+ j = 2 0 0 j = 2 ( 1 + 0 1 ) 入) 舛1 歹呵夕 j ( 1 + o 一1 ) 入) 州哟夕= 妻( ( 入一1 ) 磁+ 1 他) + d 妥+ 2 他) ) ( 1 + 口) 职+ 1 f ( z ) = 口职+ 1 ，( z ) + 妻( ( 入一1 ) 磁+ 1 ，( z ) + 磁+ 2 ，( z ) ) = ( n + 字) 磁+ 1 m ) + 妻职+ 2 m ) 入( 1 + 口) 磁+ 1 f ( z ) = ( ( n + 1 ) 入一1 ) 口爻+ 1 ，( 名) + 刃妥+ 2 ，( z ) 同样地，可得 a ( 1 + q ) 职f ( z ) = ( ( o + 1 ) a 一1 ) 口妥厂( z ) + 口殳+ 1 厂( z ) 1 5 洋 那么 得到 由条件 幽兰2 ：塑：塑些型鲨 磁f ( 2 ) 餐辫+ ( 口+ 1 ) 入一l 比) _ e 缸鬻，邢) = e 证， 沙型型：塑型坠1 2 全二! 型 。 口癸f ( 名)缮+ ( o + 1 ) 入一1 严糊刊+ 筹 因此，得到 。丝：兰! 兰2 ：查型( 兰2 翌( 兰2 生二：望! 兰2 ! ! 竺! ! 垒二! ! j 。 刃妥f ( 名)e a ( z ) + ( 口+ 1 ) a 一1 = p + 鬲杀糯 因为f ( 名) 琴l 竹，口( 口) ，有 p ( 名) + 苫= 夏i ；i ：；之主 o ( z u ) ，则 厂( z ) = 己d f ( z ) 岛，a ( q ) ， 此处l a 是l i b e r a - p a s c u 积分算子，且记文，a ( g ) 为从属于g ( z ) 的q 型竹一螺型函数构成函数类 注2 2 2 在定理2 2 3 中取q = 0 ，我们得到【1 2 1 中的定理3 2 定理2 2 4 如果h ( 名) 是单叶的而且 ( u ) 是凸函数，满足九( o ) = e 诅，a ( 一三，三) 如 果厂a ，且7 0 ，r e ，y 0 ，佗n ，a 0 ，满足 e 诅鬻+ 等 鬻一( 搿) 2 】州牝u ( 2 2 3 )。d 冀，( z ) 。a 。职厂( z )、刃爻，( z ) 川v 吖 一。 一 1 6 l 那么 此时g ( z ) = 署九( ) 一1 出 证明令 ，( 名) s k ，a ( g ) ， 北) - e 缸鬻“唧z 协2 + ，名u 由式( 2 2 3 ) ，我们得到 p ( z ) + 7 ( z ) 九( 名) ， 此时，y 0 ，舭7 0 如果 ( z ) 是单叶的且 ( u ) 是凸的，由引理2 1 3 得 p ( z ) 一 g ( z ) ( z ) ， 此时g ( z ) = 7 后 ( t ) t 7 1 出 显然，g ( o ) = 九( o ) = e 沲，g ( u ) 是凸的因此 此时g ( 名) = 署岳九( ) 一1 出口 ，( 彳) s l 竹，a ( g ) ， 1 7 参考文献 【1 】s r i v a s t a v ah m a n dl a s l l i na y ，s o m ea p p l i c a t i o n so fm eb r i o t - b o u q u e td i f 绝r e n t i a ls u b o r d i n a - t i o n j 】，j i n e q u a l p l l r e 强da p p l m a t l l ，2 0 0 5 ，6 ( 2 ) ：a n i c l e4 l ，1 7 【2 】k l 眦a r s s ，t 觚e j ah c 锄d r a v i c h 锄出蛆v ，c l a s s e s o f 咖l t 砌e n t f u n c t i o n s d c 丘n c d b y d z i o k s i v a s t a v al i n e a ro p e r a t o ra i l d 枷l t i p l i e rt r 孤s f o m a t i o n 【j 】，k y u n g p o o k m a m j ，2 0 0 6 ，( 4 6 ) ：9 7 1 0 9 【3 】n 0 0 rk i ，o nn e wc l 嬲s e so fi n t e g r a lo p e r a t o r s j 】，j n a t g e o m ，1 9 9 9 ，1 6 ( 1 2 ) ：7 l 一8 0 【4 】c h on e ，t h en o o ri n t e g r a lo p e r a t o r 觚ds 仃o n g l yc i o s e t 0 一c o n v e xf u n c t i o n s 【j ，j m a t l l a n a l a p p l ，2 0 0 3 ( 1 ) ，2 8 3 ( 1 ) ：2 0 2 - 2 1 2 5 】m i l l e rs s 锄dm o c a n up t d i 旋r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n s ：，i - t l e o r e y 锄da p p l i c a t i o n s m 】，p i l r ea n d a p p l i e dm a t h e m a t i c s ，n o 2 2 5 ，m a r c e ld e k k e r n e wy 0 r k ( 2 0 0 0 ) 6 】s h a n m u g 锄t n ，s i v a 鲫b m m a n i ns a n ds i l v e 珊a nh ，o ns a n d w i c ht h e o r e m sf o rs o m ec l a s s e s o fa n a l 如cf u n c t i o n s 叨，i n b e rjm a n lm a t hs c i ，2 0 0 6 ，( 2 9 6 8 4 ) ：1 一1 3 【7 】s h 姗u g 锄t n ，r a v i c h a n d 础va n ds i v a s u b 舢a n i 觚s ，d i 能r e n t i a ls a n d w i c ht h e o r e m sf o r s o i n es u b c l a s s e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，a u s t r a l j m a m a n a l a p p l ，2 0 0 6 ，( 8 ) ：1 1 1 【8 b u l b o a c at ， s u b o r d i n a t i o no fd i f 绝r e n t i a l s u p e r o r d i n a t i o n s 【j 】，c o m p l e xv 撕a b i e s ，2 0 0 3 ， 4 8 ( 1 0 ) ：8 1 5 8 2 6 【9 】b u l b o a c at ，c 1 觞s e so ff i r s t - o r d e rd i f 昆r e n t i a ls u p e r o r d i n a t i o n s 【j 】d e m o n s 仃m a t l l ，2 0 0 2 ，3 5 ( 2 ) ： 2 8 7 2 9 2 1 0 】a l ir m ，r a v i c h a n d r a nv ，h u s s a i nm k a n ds u b r a m a n i a ng ，d i 虢r e m i a ls a n d w i c ht h e o r e m f o rc e r t a i na n a l y t i cf u n c t i o n s j 】f a re a s tj m a t h s c i ，2 0 0 4 ，1 5 ( 1 ) ：8 7 9 4 1 1 】舢o b o u d if m ，o nu i l i v a l e n tf u n c t i o n sd e f i n e db yag e n e r a i l i z e ds a l 五g e a no p e r a t o r j 】i n t e rj m a t hm a t hs c i ，2 0 0 4 ，( 2 5 2 8 ) ：1 4 2 9 1 4 3 6 【1 2 】a c um u g u r o nac l a s so fn s t a r l i k ef u n c t i o n s 【j 】1 a i w a n e s ej o u r a lo fm a m e m a t i c s ，2 0 0 8 ， l2 ( 2 ) ：2 9 3 3 0 0 【l3 】m i l l e rs s ，m o c a n up t ，o ns o m ec l a s s e so ff i r s t o r d e rd i f ! f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n s j 】m i c h i g 锄 m a t hj ，1 9 8 5 ，( 3 2 ) ：1 8 5 一1 9 6 1 8 ，itllt。 【1 4 】m i l l e rs s ，m o c a i l up t ，d i 航r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n st h e o r ya n da p p l i c a t i o n s 【m 】m a r c e ld e k k e r i n c ，n e wy o r k ，2 0 0 0 1 5 】a 1 d n t a so ，i 咖a kh o w asa i l ds r i v 觞t a v ah m ，c o e f j f i c i e n t sb 0 0 u n d sf j d r 伽i l i l i e s0 fs t a i m 汜 a n dc o n v e xf u n c 矗o n sw i mc o i n p l e xo r d c r 咖1 m a t t l l e t t ，2 0 0 7 ，( 2 0 ) ：1 2 1 8 - 1 2 2 2 1 6 】d e n gq i n ，c e n a i ns u v c l 髂so f 觚a l y t i cf u n c t i o n s