（应用数学专业论文）期权在依赖时间参数下的跳扩散定价模型的研究.pdf

期权在依赖时间参数下的跳扩散定价模型的研究 摘要 金融数学是一门新兴学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视。未 定权益的定价是金融数学研究的核心问题之一，它涉及现代金融学的资产定价 理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析、随机控制、优化理论等学科。 要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的估价，如何确定 金融衍生证券的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键。由于金融市场发 展的需要，不断有新型期权出现，期权定价也越趋复杂，本学位论文主要致力 于金融学中若干期权定价问题的研究，运用鞅论、随机分析等数学工具建立跳一 扩散过程的期权定价数学模型，推导出了股票再装期权、幂型支付的期权及交 换期权的跳一扩散定价 再装期权是一种变异的欧式看涨期权，它允许期权的持有者在到期日之前 的特定日期执行欧式看涨期权，且保证期权在执行时是处于实值状态，然后获 得一个到期日不变、执行价格为执行日股票价格的新的欧式看涨期权，但是股 票数量变为被执行期权的执行价格与执行日股票价格之比。本文在假设本节在 假设股票价格的跳过程为p o i s s o n 过程，在无风险利率r ( f ) ，股票波动率仃( f ) ， 股票预期增长率4 t ) 为时间的确定函数的条件下，给出了股票价格服从非齐次 p o i s s o n 跳一扩散再装期权的定价公式幂型支付的期权也是一种新型期权，幂 型支付的看涨期权的到期支付函数为敞( s ( d ) 一足r ，其中致力= 护( 口 0 ， 为常数) ，k 为执行价格，t 为到期日。假设股票价格服从跳扩散过程，并且参 数为时间函数的条件下，利用等价鞅测度变换方法得到了幂型支付的欧式期权 的定价公式。并且将其推广到有n 个独立跳跃源的定价模型中。本文还考虑了 资产权重不同的欧式交换期权的定价问题，即期权多头在到期日有以b 份标的 资产l 换a 份标的资产2 的权利。假设两种股票的价格过程都服从跳一扩散过程， 并且股票跳过程为非时齐p o i s s o n 过程，在股票预期收益率和波动率均为时间 函数的情况下，利用公平保费原则和价格过程的实际概率测度得到了交换期权 的定价公式 关键词：p o i s s o n 过程；幂型期权；再装期权；交换期权；期权定价 t h e s t u d yo fo p t i o np r i c em o d e l u n d e r j u m p d i f f u s i o np r o c e s s w i t ht i m e - d e p e n d e n tp a r a m e t e r s a b s t r a c t f i n a n c i a lm a t h e m a t i c si san e wd e v e l o p i n gb r a n c ho fs c i e n c e ，i ti sn o wb e i n g p a i dc l o s e a t t e n t i o nt oi nt h ed o m a i no fi n t e r n a t i o n a lf i n a n c ea n da p p l i e d m a t h e m a t i c s u n c e r t a i np r i c i n gi so n ec o r eo ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c ss t u d y , i t i n v o l v e st h et h e o r i e so fm o d e r nf i n a n c es u c ha sa s s e tp r i c i n gt h e o r y 。i n v e s t m e n t c o m b i n a t i o nt h e o r ya n di ti n v o l v e st h e o r i e so fm o d e r nm a t h e m a t i c s ，s u c h a s s t o c h a s t i ca n a l y z i n ga n do p t i m i z i n gt h e o r yt o o e f f e c t i v em a n a g e m e n to fr i s k o c c u p i e st h er i g h te v a l u a t i o no fd e r i v a t i v es e c u r i t i e s t h ec r i t i c a lt h i n gi st h a tt h e f i n a n c i a ld e r i v a t i v es e c u r i t i e se x i s tr e a s o n a b l ya n dd e v e l o pp r o p e r l yi sh o wt o v a l u ei t sf a i rp r i c e a sf i n a n c i a im a r k e td e v e l o p ，m o r ea n dm o r en e wo p t i o na p p e a r a n dt h eo p t i o np r i c i n ga l s ob e c o m ec o m p l i c a t e ，t h i sd i s s e r t a t i o ni si n t e n d e dt o s t u d yo p t i o np r i c i n gp r o b l e m s ，s oa st oe s t a b l i s ht h em a t h e m a t i cm o d u l eo fo p t i o n p r i c i n gw i t hj u m p - d i f f u s i o np r o c e s sb ym e a n so fm a t h e m a t i c a lt o o l ss u c h a s m a r t i n g a l et h e o r ya n ds t o c h a s t i ca n a l y s i s ，t od e d u c er e l o a do p t i o n 、o p t i o nw i t h p o w e rp a y o f f s a n d e x c h a n g eo p t i o np r i c i n g w h e ns t o c k p r i c e d r i v e n b y j u m p d i f f u s ep r o c e s s r e l o a do p t i o ni s0 1 1 1e x o t i ce u r o p e a nc a l lo p t i o n ，t h eh o l d e r0 0 , 1 1 o p e r a t et h e o p t i o no nag i v e nd a yb e f o r ee x p i r a t i o nd a t e ，a n dw h e no p e r a t ei t ，t h eo p t i o ni si n t h em o n e y , t h es t r i k ep r i c ea n dt h eo p t i o nn u m b e ra l lc h a n g e t h ep a p e ra s s u m e s t h a tt h es t o c kp r i c ep r o c e s sd r i v e rb yn o n - h o m o g e n e o u sp o i s s o nj u m p - d i f f u s i o n p r o c e s s ，a n dt h ee x p e c tr a t e z ( t ) ，v o l a t i l i t y o r ( t ) a n dt h er i s k l e s sr a t e ，( 力a r e f u n c t i o no ft i m e ，u n d e rr i s kn e u t r a lp r i c i n gm o d e l ，w eo b t a i nt h ep r i c eo fr e l o a d s t o c kp r i c i n gf o r m u l a o p t i o nw i t hp o w e r p a y o f f si sa l s oe x o t i co p t i o n ，i t sp a y o f f f u n c t i o ni s 【而( s ( z 一k 】+ u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a ts t o c k sp r i c ep r o c e s sd r i v e n b yp o i s s o nj u m p - d i f f u s i o np r o c e s s ，a n dp a r a m e t e r sa r ef u n c t i o no ft i m e ，b a s e do n t h et h e o r yo fe q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r et r a n s f o r m a t i o n ，w eg e tt h ep r i c i n g f o r m u l a so fe u r o p e a no p t i o n sw i t hp o w e rp a y o f f s w ea l s od i s c u s s e dt h eo p t i o n p r i c i n gw i t hm u l t i p l es o u r c e so fj u m p s a tl a s tw ea l s od i s c u s st h ep r i c i n go f e x c h a n g eo p t i o nt h a tt h ea s s e t sh a v ed i f f e r e n tw e i l g h t a s s u m e st h a tt h et w os t o c k p r i c ep r o c e s s e sa r ej u m p - d i f f u s i o np r o c e s s ，u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ee x p e c t e d r a t ea n dv o l a t i l i t ya r ef u n c t i o no ft i m e ， u s i n gp h y s i c a lp r o b a b i l i s t i cm e a s u r eo f p r i c ep r o c e s sa n dt h ep r i n c i p l eo ff a i rp r e m i u m ，w eo b t a i nt h ep r i c i n gf o r m u l ao f e x c h a n g eo p t i o n s k e yw o r d s ：p o i s s o np r o c e s s ；o p t i o nw i t hp o w e rp a y o f f s ；r e l o a do p t i o n ；e x c h a n g e o p t i o n ；o p t i o np r i c i n g 表禾1 。 表5 - i 。 表5 - 2 。 表格清单 ：! ! i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金壁王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：沈签字日期：0 7 年r 彤。日 | 。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金理王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权金目垦王些盔堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 靴敝储鹳；沈嘶 签字隰跏户，月细 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 彩侈红 签字日期：叼年j 1 ；。日 电话： 邮编： 致谢 本文是我的硕士研究生学位论文，也是我硕士学习成果的一次总结，在我 的硕士学习期间和论文写作期间，得到了许多老师、同学和好友的帮助，他们 的悉心指导和热情帮助令我终生难忘 本论文是在我的导师杜雪樵教授的悉心指导下完成的，老师的严谨求实的 治学态度、广博的学识和朴素的作风给我留下了深刻的印象，为我树立了学习 的榜样，这些将使我终生受益。 真诚的感谢导师杜雪樵教授在我整个研究生学习阶段悉心的关怀和指导， 感谢他的言传身教和谆谆教导衷心的感谢凌能祥老师、惠军老师等老师的辛 勤培养和教诲，是他们的教育使我顺利的完成硕士学习还要感谢赵杰、倪金 林等同学的帮助和关怀。 最后，感谢并祝福所有帮助和曾经帮助过我的人l 作者：沈明轩 2 0 0 7 年5 月 第一章绪论 本章主要对现代金融学的研究范围及期权的发展历史给予介绍，首先介绍 现代金融学研究的范围及金融理论的核心；接着介绍期权的发展。 1 1 现代金融学 现代金融学的研究范围包括公司财务管理、家庭财务管理、金融中介、资 本市场、微观投资理论和其他不确定性经济学现代金融学的研究范围广泛， 学科的界定也不清楚，而且在理论研究与实际应用之间存在着广泛的相互影响， 这也是金融学研究的特点金融理论的核心是研究在不确定的环境下，如何在 时间上最优配置资源，以及分析经济组织在配置过程中的作用。现代金融理论 是金融学中大量运用数学工具来研究风险的预防与控制，各种各样的经济金融 的数学模型占据着重要的地位。在现代金融市场上，金融衍生工具由于其强大 的避险与保值功能而大受欢迎，在这些金融衍生工具中，期权是重要的一种。期 权定价模型又是金融学中的重要的数学模型。 1 2 期权定价的发展 现代期权定价理论的历史，开始于1 9 0 0 年，法国数学家路易斯巴舍利耶 ( l o u i sb a c h e l i e r ) 在他的投机理论中最早提到期权定价模型，这一理论认 为股票价格服从布朗运动，巴舍利耶的投机理论被认为是资产定价理论诞生的 标志。只是巴舍利耶的模型存在缺陷，之后斯普里克尔( cms p r e n k l e ) 、萨缪尔 森( pas a m u e l s o n ) 、卡苏夫( k a s s o u 0 等分别建立起不同的期权定价模型，直到 1 9 7 3 年布莱克( f i s c h e r b l a c k ) 和斯科尔斯( m y r o n s c h o l e s ) 在他们的期权与公司 财务的定价l l j 中提出了著名的b s 模型，期权定价理论才有了重大的突破。 b s 模型的问世标志着期权定价领域的研究框架基本完成在此之后期权定价 理论得到不断的推广斯科尔斯( s c h o l e s ，1 9 7 6 ) 考虑了税收对期权价格和复制投 资组合策略中股票和债券的指定的混合物产生的影响后，就对基本的b s 的模 型进行了调整。康斯坦丁尼德斯( c o n s t a n t i n i d e sa n ds c h o l e s ，1 9 8 0 ) 和英格索尔 ( i n g e r s o l l ，1 9 8 4 ) 也分析了税收对证券的影响，他们通过在有个人所得税的背景 下，推导出了投资者期权的价值。利兰( l e l a n d ，1 9 8 5 ) 、菲格利维斯基 ( f i g l e w s k i ，1 9 8 9 ) 、霍奇斯和纽伯格( h o d g e sa n dn e u b e r g e r , 1 9 8 9 ) 、博伊尔和沃斯 特( b o y l ea n dv e r s t ，1 9 9 2 ) 以及本赛德、莱内、帕格斯和沙因克曼( b e n s a i d 。l e s n e a n ds c h e i n k m a n ，1 9 9 1 ) 研究了存在交易成本条件下的期权定价和不完全套期保 值的风险。吉尔斯特和李( g i l s t e ra n dl e e ，1 9 8 4 ) 、巴伦和詹森( b a r t o na n d j e n s e n ，1 9 9 0 ) 以及伯格曼( b e r g m a n ，1 9 9 1 ) 推导出了无风险借贷利率之间存在利差 时的期权定价 对于带跳跃过程的期权定价，默顿( m e r t o n ，1 9 7 6 ) 推导了标的资产服从扩散 过程和泊松驱动随机组合过程的期权定价公式。考克斯、罗斯( c o x ，r o s s ，1 9 7 6 ) 、 琼斯( j o n e s ，1 9 8 4 ) 、托尔斯( t o r o u s ，1 9 8 5 ) 等研究了价格服从具有随机方差率扩散 过程的期权的期权定价格斯克( g e s k e 。1 9 8 4 ) 利用布莱克和斯科尔斯方法推导出 复合期权的价格，利用他的方法可以求出支付股息时的股票期权价格的解。马 格雷贝( m a r g r a b e ，1 9 7 9 ) 研究了交换期权的定价公式。斯塔里茨解决了支付两个 风险资产价值的最大值或最小值的期权定价问题，约翰逊( j o h n s o n ，1 9 8 7 ) 将其方 法推广到了n 个资产的情形 对于许多期权其微分方程得不到闭式解。很多学者为发展这类微分方程近 似解的数值方法进行了大量研究。布伦南和施瓦茨( b r e n n a na n ds c h w a r t z ，1 9 7 7 ) 使用差分方法求出了美式看跌期权的价格。帕金森( p a r k i n s o n ，1 9 7 7 ) 用数值方 法的二项式、三项式方法解决了美式看跌期权的定价问题。博伊尔( b o y l e ，1 9 8 8 ) 等发展了依赖多元随机变量的期权定价计算方法。 2 第二章预备知识 2 1 期权相关知识 2 1 1 期权定义及特点 期权【刈( o p t i o n ) 亦称选择权，期权的基本含义是买卖特定商品或有价证 券的合约，并在合约到期时由合约的买方决定是否执行这一合约，是一种金融衍 生工具，其持有人有权在未来一段时间内( 或某特定日期) ，以一定的价格购买 或者出售一定数量的指定资产，但是没有此义务期权的特殊之处在于合约的 持有者只拥有这种权利而没有义务执行合约。这是期权与一般合约的不同期 权的卖方( s e l l e r ) 又称为立权人( w r i t e r ) ，授予期权的买方( b u y e r ) 或成为持 有者( h o l d e r ) 这种权利，期权的买方为取得这种权利需要支付一定的费用 ( o p t i o np r e m i u m ) 即期权的价格( o p t i o np r i c e ) 。期权规定的交易物称为标的 资产( u n d e r l i n ga s s e t ) ，期权规定的到期日的日子执行日期称为到期日或期满 日( e x p i r a t i o n d a t e ) 期权合约中约定的商品价格称为执行价格( e x e r c i s e p r i c e ) 也称为敲定价格( s t r i k ep r i c e ) 。 从期权的定义可以看出其具有如下特点： ( 1 ) 期权交易的对象是买进或卖出某种商品的权利，而这种权利具有一定 的时间期限，一旦超过合约规定的期限，期权的拥有者就会失去这种权利。 ( 2 ) 期权的买卖双方享有的权利或义务存在明显的不对称性，期权的买方 享有在规定的时阈内执行合约或者不执行的权利，而没有义务必须执行。期权 的买方一旦决定执行期权，卖方就必须无条件地履行合约所规定的义务。买方 所承担的最大风险就是期权费，获得的利益却是可能无限的。而卖方的最大利 润就是权利金，理论上的损失却可能是无限的 ( 3 ) 期权的买方须事先支付期权费，卖方因为有履行合约的义务，因此要 交纳保证金期权交易是一种零和游戏，期权的买方的盈利就是卖方的亏损， 期权的卖方的盈利就是买方的亏损 ( 4 ) 期权的价格是一个变量，它随时间的变化而变化，而敲定价格是事先 确定并记载于合约中的，在合约的有效期内不会发生改变。 2 1 2 期权的分类 ( 1 ) 期权的两种基本类型是：看涨期权( c a l lo p t i o n ) 、看跌期权( p u t o p t i o n ) 。 看涨期权又称买入期权，此合约给予持有者在规定的时间内( 规定的日期) 以 约定的价格从卖方购买一定数量的特定商品看跌期权又称卖出期权，看跌期 权的持有者在某确定的日期以确定的价格出售标的资产还有一种期权是双向 期权( d o u b l eo p t i o n ) 是合约的持有者拥有在规定的日期按确定的价格从卖方 处买入或卖出事先规定的特定商品的权利。 ( 2 ) 按履约时间的不同可以分为欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 和美式期权 ( a m e r i c a no p t i o n ) 欧式期权是仅在到期日才可以执行，美式期权可以在到期 日内的任何日期执行在交易所内交易的期权大多是美式期权。 ( 3 ) 期权还可以按交易的场所划分为场内期权和场外期权。场内期权是在 集中性的期权市场交易的标准化合约，其交易数量、敲定价格、到期日以及履 约时间均由交易所规定而场外期权是非标准化的期权合约，其交易数量、敲 定价格、到期日以及履约时间均可由交易双方自由协议。按交易的标地资产可 以分为商品期权、股票期权、外汇期权、利率期权、指数期权、期货期权等。 2 1 3 期权的价值 期权的价值主要由内在价值和时间价值构成。 期权的内在价值( i n t r i n s i cv a l u e ) 定义为零和期权立即执行时所具有的价 值这两者中的最大值。因此，看涨期权的内在价值为m a x ( s x ，o ) ，( 其中s 是 股价，x 为执行价格) 看跌期权的内在价值为m a x ( x s ，o ) 具有内在价值的 期权又叫实值期权( i nt h em o n e y ) ，内在价值为零的期权为叫两平期权( a tt h e m o n e y ) ，当期权立即执行时持有者有负的现金流则期权为虚值期权( o u tt h e m o n e y ) 。一个处于实值状态的美式期权的价值一定大于或等于其内在价值。 期权的时间价值( t i m e v a l u e ) 是指期权价值高于它内在价值以上的价值。 基础资产未来值的不确定性意味着期权价值通常不同与内在价值。一般期权价 值都具有内在价值和时间价值，但是虚值期权只具有时间价值。一般期权有效 期越长，时间价值也越大，当期权临近到期日时，在其他条件不变的情况下， 其时间价值下降速度加快，并逐渐趋于零，当达到到期日时，期权的时间价值 为零。 2 1 4 影响期权价格的因素 由于期权的价值由内在价值和时间价值构成，则决定内在价值和时间价值 的因素就是决定期权价值的因素。而内在价值主要由标的资产的价格和期权的 敲定价格决定，而时间价值则可能由多种因素决定。 1 ) 基础资产价格和执行价格 如果看涨期权被执行，则收益为基础资产和执行价格的差额。随着标的资 产价格的上升，看涨期权的价值也就越大，随着执行价格的上升，看涨期权的 价值就越小反之，看跌期权的价值随着标的资产价格的下降和执行价格的上 升而减小。 2 ) 到期期限 当期权的有效期限增加时，美式期权无论是看涨还是看跌期权的价值都会 增加。考虑其他条件相同但是只有到期日不同的两个期权，因为美式期权在到 期日之前的任何时期都可以执行，所以有更多的机会获利所以有效期长的期 权的价值只会大于或等于有效期短的期权欧式期权的看涨或者看跌期权的价 值并不一定随着有效期的增加而增加，这是因为有效期长的期权不一定包含有 效期短的期权的所有执行机会如果没有股利等因素的影响，有效期长的期权 的价值会比有效期短的期权价值。 3 ) 波动率 股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率 的增加，股票上升的很高和下降很低的机会也随着增加，对于股票持有者来说， 这两种趋势将相互抵消而对于期权的持有者来说，股票价格上升看涨期权的 持有者将获利，股票价格下降看跌期权的持有者将获利基础资产价格的波动 率对期权价格具有重大的影响，波动率越太，期权价格就越高 4 ) 利率及红利 当其他变量保持不变的条件下，一般利率与看涨期权正相关，与看跌期权 负相关当利率上升对，看涨期权的价格增加，看跌期权的价格减少。这是由 于当整个经济中的利率上升时，股票的预期收益也将增加，而期权持有者的未 来现金流格减少股票在除息日后，红利将减少股票的价格，由于股票价格的 减少，看涨期权的价值也将减少，看跌期权的价值将增加。所以看涨期权的价 值于红利的大小成反向变动，看跌期权的价值与红利的大小成正向变动 2 2 随机过程相关知识 2 2 1 泊松过程 定义2 1 一随机过程 ( f ) ，t o 称为时齐的泊松过程，若满足； ( 1 ) 是一记数过程，且n ( t ) = o ； ( 2 ) 是独立增量过程，即任取o g t 2 o 和充分小的a t 0 ，有 j p n ( t + a t ) - n ( t ) = 1 】= , a a t + o ( a t ) 【p n ( t + a t ) 一n ( t ) 2 】= o ( a t ) 其中a 0 ( 称为强度常数) ，口( 血) 为高阶无穷小 定义2 2 一计数过程 ( f ) ，t 0 ) ，称它为具有强度函数的非时齐泊松过程， 若满足【9 】： ( 1 ) ( 0 ) = 0 ； o ，有p n ( t + h ) - ( f ) = l 】= 力( f ) j l + d ( j 1 ) ， ( 4 )p 【o + 一( f ) 2 】= “矗) 2 2 2 鞅 定义2 3 设( f ) ，t 刁为随机过程，如果 ( 1 ) 硎x o ) | 】 ，t r ( 2 ) 对r 中的任意参数f l f 2 0 ，e 【i 以i 0 ，x 0 + f ) 一z ( s ) n ( o ，c 2 t ) ，即x o + f ) 一x o ) 是期望为0 ，方 差为c 2 t 的正态分布； ( 3 ) x ( t ) 关于r 是连续函数。 则称 x o ) ，t 0 是布朗运动或维纳过程( w i e n e r p r o c e s s ) 当c = l 时，称 x ( f ) ，t 0 为标准布朗运动，此时若x ( o ) = o x ( f ) ( o ，f ) 记标准布朗为 ( f ) ，f o ) ，它在r 时刻的概率密度函数为： z 2 去一 由上述定义可知，标准布朗运动具用下述性质： ( 1 ) ( 正态增量) 形( f ) 一形0 ) ( o ，f s ) ，即矿( f ) 一形o ) 服从均值为0 ，方 差为t - 0 的正态分布； ( 2 ) ( 独立增量) w ( f ) 一( ( o ，t - s ) 。独立于过程过去的状态 形( ，0 ”s j ； ( 3 ) ( 轨道连续) 对v q ，w ( t ) 是t 的连续函数。 2 2 4 伊藤随机过程及伊藤定理 定义2 5 设随机过程x = o ) ，t o 满足如下的伊藤积分：v 0 岛 f k 等价于 f f 盯( s ) a w ( s ) + 粤i = oh ( 1 + 略) l i l 誊一m 沪馋) 口一吾盯2 协 于给定的疗 r 邢) 训卅喜l i l ( 1 川础( 1 + d 一：2 月刃+ r 砍s ) 妁 令 z = 鹦 z n 岭，q 于是 r 仃( s ) d 驴( s ) + 喜l i l ( 1 + 钙) = z l ：j i ：五：i ：孑一( 甩1 1 1 ( 1 + d 一 胛刃) 1 0 岛i o x p u u s ( ) e r a ( s + ) 窆，。i n o 堋唁蚺栅小栅峥 = 寻翥ie x p r 仃 抑7 + 喜b ( 1 + 磊跏乞 刮州m 啪孙埘亡去监霉比 = e x p 山( 1 + 三r 盯2 0 ) 出) ( 西) 其中西：竺鬯型譬坐坐型竺 f 盯2 0 ) d s + 丹刃 = 一瓜丽面 由全期望公式有 岛卜卜胁郴( r 铷一咖一争旧j ：竺! 二兰望塑! ! 丝! ： 筋 n ! e x p 一f r 。) 凼) c x p r 一i 1 盯2 ( s ) d s e x p 胛i n ( 1 + d + i 1r 仃2 。) d d n ( d 3 = e x o 卜删n ! 删s ( 1 + 目) 一c x p 小口幽) ( 铂 同理可求得 卜卜阳凼毋咖k 小。删峥删棚j ：薹壁丝等坐型唧 - 阳出) 剧( ) 综上可得跳扩散欧式期权的定价公式为： a 墨乃：妻竺丛：! ! 竺! 掣壁盟竺 ：习 打! = s o + o ) e x p - 五( s ) o d s n ( a 3 一e x p - f ，( s ) a s k n ( d 3 同样可以得到跳扩散欧式看跌期权的定价公式 啦呐：薹壁丝攀 = k e x p - f ，( s ) a s n ( - a d s o + d “e x p 卜f 五o ) 鼬) h ) 】 4 1 引言 第四章跳扩散股票再装期权的定价 随着金融市场的不断发展，标准期权已经不能满足市场的需要。为满足市 场的需要和丰富可用于风险管理的金融工具，涌现出了各种各样的新型期权 根据瑞纳( e r i cr e i n e r ) 和鲁宾斯坦( m a r kr u b i n s t e i n ) 的分类法，新型期 权可分为打包期权、非标准美式期权、远期开始期权、复合期权、任意期权， 障碍期权、亚式期权、回望期权等。当然这种分法，也并没有将所有的期权包 含在内本章主要介绍一种奇异期权的定价问题，这种期权为股票再装期权。 由于奇异期权在条件要求或性能方面较标准期权发生了或多或少的变化、变异， 其非标准性决定了对该类期权定价的复杂性。本文对这类期权在股票价格服从 跳一扩散过程的假设下，讨论了它们的定价问题。 4 2 跳一扩散股票再装期权的定价 在上一章中介绍了跳扩散欧式标准期权的定价模型及结果，本节在股票价 格服从微分方程( 3 - 1 ) 的条件下，讨论一下再装股票期权的跳一扩散定价模型。 再装期权是一种变异的欧式看涨期权，它允许期权的持有者在到期日之前的特 定日期执行欧式看涨期权，且保证期权在执行时是处于实值状态，然后获得一 个数量为被执行期权的执行价格与执行日股票价格之比、到期日不变、执行价 格为执行日股票价格的新的欧式看涨期权。若在特定日，期权处于非实值状态， 则此时不予执行期权，则此期权就变为一个标准欧式期权。假设欧式看涨期权 在到期日之前只有一个确定的再装日，若期权的基础资产股票的价格为墨，期 权的到期日为r ，再装日为石，且o f 五 x ，执行原欧式 v 看涨期权，同时获得一个数量为叁，到期日仍为t ，但是执行价格为最的新 的欧式看涨期权 一般关于期权的定价都是假定股票价格服从连续扩散过程，由于实际分析 股票价格行为过程，发现股票价格不总连续后来就有了股票价格的跳扩散模 型。对于再装股票期权t i a n 给出了股票服从连续扩散过程的解冯广波【1 3 】等给 出了在各种参数为常数且股票价格跳跃信息只有一类的跳扩散再装期权的定 价。由于参数不一定总为常数，而且股票价格也不会简单的只有一类跳跃信息， 本节就针对这种情况，给出了参数依赖时间的情况下，股票价格服从非齐次 p o i s s o n 跳扩散再装期权的定价公式这里为了计算的方便，假设在再装期权到 期之前只在石( f t 1 o 是 0 ，o o ) 专r 上的可积函数，分别为瞬时漂移率，瞬时 波动率及瞬时无风险利率。表示股票在 o ，t 】内的跳跃次数，是参数为名 烈力0 ，为_ j 积函效) 的非齐次p o i s s o n 过程妒为表不每次跳跃高度的随 机变量，且1 1 1 ( 1 + 力n o n ( 1 + d i 1 ( ，2 ，刃) ，a z 为1 1 1 0 + 扔的方差，护为妒的无 条件期望同样假设矿( f ) ，n ( t ) 三者相互独立。 定理4 1 对于开始时刻为t ，执行价格为x ，到期日为t ，股票价格过程 服从非齐次p o i s s o n 跳扩散过程再装期权的定价公式为 g = c ( x ，t 。) + e x p - i r ，o ) 凼) 占( 兀：+ n j 其中c ( x ，五) = e x p - rr ( s ) d s e ， m a x ( s r x ，o ) 】 ：竺兰! 兰竺! 竺! ! ：兰竺! 竺! ： 磊 m ! i s , e x p - f 2 ( s ) 鼬，( 1 + 口) “n ( d o x e x p - i r l ，( j ) ( b ) ( z 也) 】 口：争竺! 二兰! 望堡兰! 竺! ：! ! 堂! ： m 一= om ! n ! n l = x e x p 焉爿( s ) 凼+ 焉 仃2 ( j ) 埘( 1 + 口) 以 n ( h + 以巧2 十e 口2 0 ) 凼) ( ) 一剧( 日) ( ) 1 4 n ：= s t 似p f a ( j ) 凼+ 后o r 2 ( s ) 凼一詈z ) ( 1 + o ) m + 玎，( x ) ( 屯十r ) d x x 争( 吒+ 月) 厂( j ) 幽 证明：这里假设到时刻五有m 次跳跃，在到时亥日r 共有m + ，1 次跳跃。由于 为每次跳跃高度的随机变量且办独立同分布( i = 1 , 2 ，) 故 胛+ m l i l ( 1 + 旃) = 1 1 1 ( 1 + 谚) + l n ( 1 + 破) ( 4 1 ) i - - 9 i = 0i = o 令 工= y = 则彳一n ( o ，1 ) y n ( o ，1 ) 为计算方便，我们记 一( 哆= ，( j ) 一元( s ) p 一睾盯2 ( j ) = + 乒丽 d ，l l 。 l n 睾( 1 + 口) ”一 甩巧2 + r 彳( s ) 凼 d 也= d 愧+ 而 r ：生堕：! 二竺垒型竺：坐兰 疗刃+ f 盯2 0 ) 凼 日：r , a ( s ) ；d s ：+ n l n ( 1 ：t 2 刀刃+ r 粕油 由再装期权定义在五时刻期权支付为m a 】【( & 一x ，0 ) ，在到期日丁支付为： 聃删- 舞端0 譬 则再装期权的价格 g = e x p - f 1 ，( 力丞 毛【m a x ( 品一x ，o ) 】 + e x p 卜ir ( s ) d s e r f ( s r ，彳) 】 由引理3 2 可知，欧式期权在股票价格过程满足随机微分方程( 3 - 1 ) 的 条件下，对于开始时刻为t ，执行价格为x ，到期日为互，无红利支付的欧 式看涨期权的定价公式为 c ( x ，五) = 既p - f ，( s ) , s e d m a x ( s ，一置o ) 1 一e x p _ r i a ( s ) 出) ( r i 名( s ) 出) ” 厶m = o m ! s , e x p - ：a ( s ) o d s o + o ) ”( 屯) 一j e x p - r ，o ) 埘( 吒) 】 于是g = c 五) + e x p - f r ( s ) d s e r f ( s r ，s t , ，石) 】 卯c 鹕俐：薹型塑唑笋巫丝 他毒辑一批抛，蚴+ 也c 墨- x ) f ( x ) f ( y ) 螂， l l| ，膏 = 占( n ：+ n ：) 其中丑：薹竺丝驾竽坐丝 晔0 专专一鼍，妫 崎 由( 3 - 2 ) 知 s ( d = s ( f ) , x p i f 【r o ) 一烈s ) p 一三口2 0 ) 】凼+ f 口o v 形+ 善1 n ( 1 + 羁皓 ( 4 2 ) s ( 石) = s ( 力e x