（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）计及粘性耗散的自由面频域格林函数研究.pdf

j c l a s s i f i e di n d e x ： u d c ： ad is s e r t a ti o nf o rt h ed e g r e eo fm e n g s t u d y o nf r e e - s u r f a c ef r e q u e n c yd o m a i n g r e e nf u n c t i o nw i t hv i s c o u sd i s s i p a t i o n c a n d i d a t e ：s h e nj i n g s u p e r v is o r ：q i nh o n g d e a c a d e m i cd e g r e ea p p l i e df o r ：m a s t e ro fe n g i n e e r i n g s p e c i a l i t y ：d e s i g na n dc o n s t r u c t i o no fn a v a l a r c h it e c t u r ea n do c e a ns t r u c t u r e d a t eo fs u b m i s s i o n ：f e b r u a r y ，2 0 1 0 d a t eo fo r a le x a m i n a t i o n ：m a r c h ，2 0 1 0 u n i v e r s i t y ：h a r b i ne n g i n e e r i n gu n i v e r s i t y 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 ，d 年弓月心日 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可囱在授予学位1 2 个月后 口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇 作者( 签字) ： 巾静 导师( 签字) ： 日期：2 0 d 年弓月膳日5 0 t o 年弓月盯日 哈尔滨r ：程人学硕士学位论文 摘要 自由面格林函数方法在求解船舶或海洋平台在波浪中运动的辐射和绕射 问题中有着广泛的应用。在无粘势流理论框架下，由于忽略水的粘性，没有 计及流体粘性导致的能量耗散作用，传统的自由面频域格林函数方法无法完 善地处理多浮体干扰、水池边壁效应等问题。本文基于粘性势流理论，采用 计及粘性耗散的线性自由面条件，改进了浮体在波浪中运动的辐射和绕射问 题的计算模型，首次给出了计及粘性耗散的开阔水域自由面频域格林函数， 并基于点源镜像法构造了计及粘性耗散的水池格林函数。 本文推导了计及粘性耗散的开阔水域自由面频域格林函数的积分表达 式，给出了含粘性参数的色散方程的摄动解，并基于连分式和级数和的转换 关系给出了该格林函数的级数表达式，将之分解为近场项和远场项的和并讨 论了粘性的影响。与传统的无粘格林函数相比，由于考虑了流体粘性的能量 耗散作用，本文给出的计及粘性耗散的开阔水域格林函数以更快的速度按指 数因子衰减。计及粘性耗散的格林函数的这一快速衰减的远场特性无论对于 单浮体还是多浮体的辐射绕射问题都具有广阔的应用前景。 本文基于点源镜像法构造的计及粘性耗散的水池格林函数可用于对边壁 效应进行估计以指导水池模型试验。其中用截断的无穷级数定义的渐进部分 可化为含两个单积分的和，对该单积分的解析分析表明，与传统无粘势流理 论中的情形对比，由于粘性耗散的作用，该积分中增加了一个指数衰减因子， 从而对应于水池横向波浪共振频率时，该积分不再是奇异的，而是变为一个 有晁值。该特性将在本质上改进水池格林函数方法用于边壁效应估计时的有 效性，可用于修正、指导水池模型试验。 关键词：开阔水域格林函数：粘性耗散：水池格林函数：边壁效应 哈尔滨丁程火学硕十学位论文 i i a b s t r a c t f r e e - s u r f a c eg r e e nf u n c t i o nm e t h o di sw i d e l yu s e di ns o l v i n gt h er a d i a t i o n o rd i f f r a c t i o np r o b l e m sd u et oas h i po ro c e a ns t r u c t u r eo s c i l l a t e so nt h ew a v e s i n t h ec o n t e x to fi n v i s i d p o t e n t i a lf l o w , t h eh y d r o d y n a m i cp r o b l e ms u c h a s m u l t i b o d yi n t e r a c t i o na n dt a n ks i d e w a l le f f e c tc a l l tb ew e l lt r e a t e db a s e do nt h e t r a d i t i o n a lf r e e - s u r f a c ef r e q u e n c yd o m a i ng r e e nf u n c t i o nm e t h o d ，i nw h i c ht h e w a t e rv i s c o s i t yi so m i t t e da n dt h ee n e r g yd i s s i p a t i o ne f f e c ti sa b s e n t i nt h i sp a p e r , t h eo p e n - s e ag r e e nf u n c t i o nw i t hd i s s i p a t i o ni sp r e s e n t e dw i t h i nt h et h e o r yo f v i s c o - - p o t e n t i a lf l o w , t h e nt h es o c a l l e dt a n kg r e e nf u n c t i o nw i t ht h es i d e - w a l l e f f e c ti nw a v et a n k si sf o r m u l a t e da saf o r m a ls u mo fo p e n s e ag r e e nf u n c t i o n s r e p e s e n t i n gt h ei n f i n i t ei m a g e sb e t w e e nt w op a r a l l e ls i d ew a l l so ft h es o u r c ei nt h e i nt h i sp a p e r ，t h ei n t e g r a le x p r e s s i o no ft h eo p e n - s e ag r e e nf u n c t i o n 、析t i l d i s s i p a t i o ni sf o r m u l t e d ，t h e ni t ss e r i e sr e p r e s e n t a t i o ni so b t a i n e db a s e do nt h e p e r t u b a t i o ns o l u t i o no ft h ed i s p e r s i o ne q u a t i o na n dt h et r a n s f o r m a t i o no fp a r t i a l f r a t i o nt oi n f i n i t es e r i e s t h eg r e e nf u n c t i o nw i t hd i s s i p a t i o ni sd e c o m p o s e di n t oa s u mo ft h en e a r - f i e l dt e r ma n dt h ef a r - f i e l dt e r m ，c o m p a r i n gt ot h et r a d i t i o n a l i n v i s i dg r e e nf u n c t i o n ，t h ef a r - f i e l dt e r md e c r e a s e sm u c hf a s t e rw i t hae x p o t e n t i a l d e c a y f a c t o ri n t r o d u c e d b yt h ef l u i dv i s c o s i t y , w h i c hm u s tb ep a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n gi nt h es o l u t i o no fw a v er a d i a t i o na n dd i f f r a c t i o na r o u do n eo rs e v e r a l f l o a t i n gb o d i e s t h et a n kg r e e nf u n c t i o nw i t hd i s s i p a t i o nc o n s t r u c t e dw i t hs i n g u l a r i t yi m a g e s c a nb eu s e do ne v a l u a t i o no fs i d e w a l le f f e c ta n ds u p e r v i s i o no ft h et a n km o d e l t e s t t h ea s y m p t o t i cp a r td e f i n e db yt h et r u n c a t e di n f i n i t es e r i e si st r a n s f o r m e d i n t oas u mi n c l u d i n gt w os i n g l ei n t e g r a l s t h ea n a l y s i so ft h es i n g l ei n t e g r a la n d i t sa n a l y t i c a le x p r e s s i o ns h o w st h a ti ti sf i n i t ed u et ot h ed c a yf a c t o ra s s o c i a t e d w i t ht h ed i s s i p a t i o n ，u n l i k et h ec l a s s i c a lt g fw h i c hi s s i n g u l a ra tt h ew a v e n u m b e r sa s s o c i a t e dw i t ht h er e s o n a n c eo ft r a n s v e r s a lw a v e sb e t w e e n t w op a r a l l e l k e yw o r d s ：o p e n s e ag r e e nf u n c t i o n ，v i s c o u sd i s s i p a t i o n ，t a n kg r e e nf u n c t i o n ， s i d ew a l le f f e c t 哈尔滨r 程人学硕十学位论文 目录 第l 章引言l 1 1 本文研究的目的和意义1 i 2 自由面频域格林函数方法研究进展2 1 3 水池格林函数方法研究进展4 1 4 本文主要工作6 第2 章浮体在波浪中运动的粘性势流理论8 2 1 概述“8 2 2 计及粘性的线性自由面条件8 2 2 1 线性不可压缩流体的n s 方程9 2 2 2 傅里叶一拉普拉斯变换11 2 2 3 计及粘性的无因次化线性自由面条件1 2 2 2 4 计及粘性的线性自由面条件1 4 2 3 浮体在波浪中运动的辐射和绕射问题1 4 2 4 本章小结“1 6 第3 章计及粘性耗散的开阔水域格林函数1 7 3 1 计及粘性耗散的格林函数积分表达式1 7 3 2 色散方程及其摄动解一1 9 3 2 1 计及粘性耗散格林函数的色散方程1 9 3 2 2 计及粘性耗散格林函数奇异点摄动解2 l 3 2 3 计及粘性耗散格林函数摄动解实虚部关系2 3 3 3 计及粘性耗散的格林函数级数表达式2 5 3 3 1 计及粘性耗散格林函数近场远场项分离2 5 3 3 2 计及粘性耗散格林函数近场远场项化简2 8 3 4 计及粘性耗散的无限水深格林函数3 6 哈尔滨丁稃大学硕十学位论文 3 4 1 计及粘性耗散无限水深格林函数积分表达式3 6 3 4 2 无限水深格林函数色散方程及其摄动解3 8 3 5 本章小结3 9 第4 章水池格林函数4 0 4 1 计及粘性耗散的水池格林函数4 0 4 2 开阔水域格林函数快速计算4 3 4 2 1 开阔水域格林函数积分表达式4 3 4 2 2 开阔水域格林函数数值计算4 5 4 3 远场项的积分表达式及算法”4 6 4 。4 本章小结“5 0 结论5l 参考文献5 3 攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果5 6 致谢“5 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章引言 1 1 本文研究的目的和意义 为了指导船舶或海洋平台的设计和保证其安全运营，需要分析船舶或海 洋平台在波浪中运动的水动力性能，计算波浪作用在船体或海洋平台结构上 的水动力载荷。为解决上述问题，通常把船舶或海洋平台视为具有指定几何 形状和重量重心分布的刚性浮体，采用水池模型试验手段或势流理论方法进 行研究。 在势流理论中，忽略水的粘性的影响，引入摄动展开，浮体与波浪相互 作用的稳态问题可化为频域内辐射和绕射流场速度势的一阶和二阶边值问 题。该速度势边值问题通常采用边界积分方程方法求解，即应用格林第二定 理，引入格林函数，将流场速度势表达为格林函数和源强的积在浮体平均湿 表面上的一个积分，源强的大小通过令速度势满足物面条件来确定。这一自 由面频域格林函数方法在解决单体问题时十分成功，可以较为准确的预报单 个浮体在波浪上的运动响应与水动压力，但在处理多浮体在波浪中相互作用 问题时遇到困难，原因是没有计及水的粘性导致的能量耗散作用，从而无法 准确的预报相邻浮体间水体的运动。 上述困难的解决办法之一是依然采用自由面频域格林函数方法，但在描 述流体运动的动量方程中引入人工阻尼来计及水的粘性耗散的影响。这一做 法确实可以部分解决问题，但缺点在于该人工阻尼系数的取值只能靠尝试， 不具备普适性。本文的研究工作提出了一种新的处理方法，通过改造速度势 满足的自由表面条件，引入真实的流体粘性参数，推导出计及了粘性耗散影 响的自由面频域格林函数。这一计及粘性耗散的自由面频域格林函数可用于 处理多浮体在波浪中相互作用的问题。该计及粘性耗散的开阔水域自由面格 林函数还可用于构造水池格林函数，以对水池模型试验中边壁效应进行估计， 指导水池模型试验。 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 1 2 自由面频域格林函数方法研究进展 在势流理论中，浮体或潜体在规则波中做稳态摇荡运动的问题可转化到 频域内进行求解，基于摄动展开，其一阶速度势的求解归结为满足拉普拉斯 方程和线性自由表面条件、物面条件、底部条件及无穷远辐射条件这些边界 条件的边值问题。这一速度势边值问题通常采用边界积分方程方法求解，即 引入一个满足除了物面条件之外的所有边界条件的拉普拉斯方程的解，称为 自由面频域格林函数，应用格林第二定理，将流场内任一点处的速度势表达 为该自由面格林函数与分布在物面上的点源强度的乘积在浸湿物面上的积 分。通过对浸湿物面做某种形式的离散( 通常离散为一系列四边形或三角形 单元，称为面元) ，进一步假定在每个面元上分布点源的强度不变，可把速度 势满足的边界积分方程转化为分布点源强度满足的代数方程组进行求解1 1 2 1 。 为应用上述面元法求解任意几何形状浮体在波浪中运动的辐射和绕射问 题，有三个数值问题必须予以解决。第一个问题是对浮体浸湿表面的离散必 须能够正确地反映浮体的几何形状。对于典型的船体湿表面形状或海洋平台 浸湿表面形状，通常需要采用几百到数千个面元进行离散，一般来说，这一 面元的数目越大，所形成的湿表面网格就越准确地代表了浮体真实几何形状。 第二个问题是分布点源强度满足的代数方程组的求解。这是一个线性代 数问题，目前已经有很多成熟的算法和计算程序可供采用。该代数方程组的 维数对应于用于离散浮体湿表面的面元数，湿表面网格数越大，求解该代数 方程组耗时越长。 第三个问题是自由面频域格林函数及其导数的准确快速计算算法。给定 浮体湿表面网格后，针对某一波浪遭遇频率，每对面元组合需要做一次自由 面频域格林函数及其导数的数值计算，计算次数为面元数的平方，计算量巨 大。例如，对一典型船舶，假定湿表面网格数为1 0 3 ，计算1 0 0 个遭遇频率 工况，则需要对格林函数及其导数做1 0 8 次计算。由此可见，自由面频域格 林函数及其导数的准确快速计算是面元法必须克服的主要困难。 自由面频域格林函数是一复杂的数学函数，w e h a u s e n 和l a i t o n e 整理收 2 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 集了其标准表达形式【3 j ，为含贝塞尔函数的一个半无限柯西主值积分。这一 标准形式的主要缺点是对其进行数值计算十分耗时。为给出自由面频域格林 函数的准确快速计算算法，很多学者开展了相关研究，至今为止，形成了四 类不同的计算方法：直接数值积分方法、级数渐进展开方法、子域划分加多 维乞比雪夫多项式逼近方法、预先制表加线性或二次曲线插值方法。 直接数值积分方法即通过对自由面频域格林函数的标准积分表达式做进 一步解析推导，将原本半无限的柯西主值积分表达为一有界定积分与某种形 式贝塞尔函数的和，该有界定积分可应用龙贝格算法等进行直接数值积分 4 1 。 这一方法编程工作量最小，但计算耗时。该方法尽管计算效率低，但可较容 易的得到指定精度的格林函数及其导数值，可用于构造其他高效数值算法， 也可用于校验其他算法的准确性。 级数渐进展开方法即通过将自由面频域格林函数积分形式表达为级数 和形式来改善数值计算效率。对于有限水深情形，j o h n 通过有理函数连分式 与级数和的转换关系，将自由面频域格林函数表达为含h a n k e l 函数的级数和 形式1 5 j 。对于无限水深情形，n o b l e s s e 将格林函数定义域划分为几个不同的 区域，在不同区域内给出了格林函数的升幂级数形式、渐进展开形式等更高 效的计算表达式 6 1 ，基于这一分析t e l s t e 和n o b l e s s e 进一步将之划分为5 个 区域，在每个区域内给出了级数渐进展开表达式，并给出了f o r t 凡蝌程序 【7 j 。n e w m a n 给出了在整个定义域内收敛的无限水深格林函数的升幂级数表 达式，这一表达式在源点和场点距离不大时计算效率较耐8 1 。 基于子域划分加多维乞比雪夫逼近的方法目前被认为是最有效的格林函 数快速计算算法。n e w m a n 系统地讨论了三维和二维、频域和时域格林函数 的快速算法，提出将格林函数的定义域划分为多个子域，在每个子域内采用 乞比雪夫多项式进行逼近的算法【9 】【1 0 j 【l ，大幅提高了格林函数的计算效率。 c h e n 将有限水深格林函数分解为无限水深格林函数和两项代表底部效应的 规则函数的和，将格林函数定义域划为多个子域，每个子域内采用乞比雪夫 多项式进行逼近，系统讨论了子域划分的方式和多项式项数的取值【1 2 】。 哈尔滨：t = 程大学硕十学位论文 n e w m a n 和c h e n 的算法分别在流行商用程序w a m i t 和h y d r o s t a r 中采用。 预先制表加线性或二次曲线插值方法由d e l h o m m e a u 提出【b 】，基本思想 是将频域格林函数的定义域细分为多个区域，预先给出每个有序区域节点上 的指定精度的格林函数值，程序中采用查表加多维线性或二次曲线插值的方 法得到任一点处的格林函数及其导数的值。这一算法需要较大的内存存储空 间，计算效率取决于查表效率。 经典的自由面频域格林函数方法已是用以解决单体与波浪相互作用问题 的成熟计算方法，可以较为准确的预报单个浮体在波浪上的运动响应与水动 压力，为多个船级社和研究机构发布的商用研究程序所采用。然而，在处理 多浮体在波浪中相互作用问题时遇到困难，原因是没有计及水的粘性导致的 能量耗散作用，从而无法准确的预报相邻浮体间水体的运动。本文将针对这 一问题开展相应研究工作。 1 3 水池格林函数方法研究进展 与开阔水域自由面频域格林函数方法用于分析浮体在开阔水域波浪中的 运动问题不同，水池格林函数方法是用于分析浮体在矩形截面水渠中波浪上 的运动问题，或用于分析造波水池中船模的运动性能，其主要特征是计及了 两个侧壁对浮体运动的影响。 将浮体的缩尺模型放置于一定宽度和水深下的造波水池中，试验目的是 为了模拟真实浮体在开阔水域中波浪上的运动，二者之间除了显见的尺度差 异外( 可通过几何相似和动力相似进行模拟) ，水池的两个侧壁和底部也一定 会对试验结果造成影响。 在水池试验中测量船舶与海洋结构物一阶二阶波浪载荷时发现，其测量 结果与期望的开阔水域情形相比呈现一定的分散现象，这即是来自水池边壁 对波浪的反射而造成的边壁效应。一般来讲，当水池内产生的波浪频率远离 水池自身的共振频率时，所测得的某些一阶物理量是符合试验精度要求的。 c 1 6 m e n t 1 4 】表明，在水池中测量一截断圆柱的水平波浪载荷与m c i v e r 1 5 】所得 4 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 到开阔水域中截断圆柱所受水平载荷解析结果相比误差不大于1 0 ，而垂向 载荷的测量结果则误差较大；二阶慢漂力因为依赖于一阶流场和物体的一阶 运动响应，其测量结果误差更大。边壁效应是导致水池试验中一阶物理量和 二阶慢漂力测量结果与实际不符的主要原因。 为在求解浮体在波浪上运动的辐射和绕射问题时计及边壁效应对一阶和 二阶水动力的影响，许多学者开展了研究工作1 1 6 】【2 2 】。这些解析的或半解析的 方法( 特征函数展开法或多极展开法) 确实能用于定性或定量的估计边壁效 应，但其主要缺点是仅限于分析简单几何形状的物体在水池中的运动，如垂 向圆柱的情形。出于工程实际需要，应发展一种可用于任意几何形状浮体在 水池中运动的边壁效应的计算方法。 自由面格林函数方法是求解任意几何形状浮体在波浪上运动的边值问题 的一种有效方法。如果能够构造出一个满足除了物面条件之外的所有边界条 件的格林函数，即可以应用格林第二定理将流场速度势表示为一个关于物面 上分布点源强度的边界积分方程。这里，为分析边壁效应，构造一个所谓的 水池格林函数，该函数为满足线性自由表面条件、水池底部条件和壁面条件 的拉普拉斯方程的解。水池格林函数可用于求解任意几何形状浮体在波浪水 池中运动的辐射和绕射问题。这一方法的主要困难在于水池格林函数的准确 高效数值计算。 事实上，水池格林函数可看作是水池内一源点关于池壁发生无穷映像后 的映像点所对应的开阔水域格林函数之和。不难发现，表示为无穷项开阔水 域格林函数和的水池格林函数的收敛性是十分缓慢的。在无限水深情况下， k a s h i w a g i 2 3 j 将水池格林函数用一个可数值计算的半无限域的双重积分进行 了替代。而事实上水池的深度通常是有限的，这个对于无限水深的水池格林 函数在其适用范围上就显得非常受限。相应地，l i n t o n l 2 4 】得到了有限水深的 水池格林函数的表达式，该式是由一个满足流体在水池两边壁上的静止条件 的傅里叶级数和一个包含修正的贝塞尔函数的积分式组成，而傅里叶级数的 系数则是由自由面和水池底部条件确定。这个包含无穷级数的水池格林函数 哈尔滨t 程人学硕十学位论文 虽然收敛性很好，但是级数中的每一项形式都非常繁琐难于计算，并且当计 算场点与源点同时靠近自由面时，函数的收敛性将变差。 c h e n 【2 5 1 给出了理想流体有限水深水池格林函数的形式，该形式包括两部 分，一部分是开阔水域格林函数有限项之和，令一部分是被看作无穷级数和 剩余项的渐进部分，该部分可表示为被积函数的积分变量呈指数衰减的两个 单重积分之和。水池格林函数能够这样处理的前提是基于开阔水域格林函数 的快速计算及渐进展开部分的快速收敛性。x i a 2 6 】开展了类似的研究工作。 本文中将采用c h e n 【2 5 j 的方式给出计及粘性耗散的有限水深水池格林函 数的形式，并对其渐进展开式中的单重积分的计算方式进行进一步的改进， 以便提高水池格林函数的计算效率。其形式也包括两部分，一部分是有限开 阔水域格林函数项之和，另部分是考虑了粘性耗散作用的两个包含误差函 数项的表达式。 在水池格林函数研究中发现，函数被分解的两部分事实上分别对应的是 近场项的扰动及外传波的影响。而试验模型的测量结果对由水池边壁反射所 造成的近场扰动非常敏感，而无限的时间测量系统则将导致结果受外传波反 射影响。可见，水池格林函数的研究能够为水池宽度的选取和有效的测量时 间界定提供一个显式的判断衡准，其原则是以尽力避免近场反射扰动来确定 水池宽度，以控制外传波反射来判断试验有效测量时间。 1 4 本文主要工作 本文基于粘性势流理论，在速度势的自由表面条件中考虑水的粘性影响， 给出的计及粘性耗散的自由面频域格林函数可用于处理多体干扰问题和水池 模型试验的边壁效应问题。主要研究内容如下： ( 1 ) 对速度势的边值问题进行适当的修正，通过改造速度势满足的自由 表面条件，计及了水的粘性影响，将流体运动的粘性耗散作用引入到浮体水 动力问题之中，改进了浮体在波浪中运动的辐射和绕射问题计算模型； ( 2 ) 推导了计及粘性耗散的开阔水域自由面频域格林函数的积分表达 6 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 式，给出了含粘性参数的色散方程的摄动解，基于连分式和级数和的转换关 系给出了该格林函数的级数表达式，将之分解为近场项和远场项的和并讨论 粘性的影响： ( 3 ) 基于点源镜像法构造了计及粘性耗散的水池格林函数，并将其分解 为计及粘性耗散的开阔水域格林函数的截断级数部分和以两个单积分表达的 渐进部分分别计算。粘性对代表波浪近场项作用的截断级数部分的影响可忽 略，进而可采用子域划分加多变量乞比雪夫多项式逼近的方法快速计算。通 过对受粘性作用影响较大的波浪远场项渐进部分的两个单积分的性态进行解 析分析，也给出了其快速计算算法。 本文的创新点如下： ( 1 ) 首次给出了计及粘性耗散的开阔水域自由面频域格林函数，推导了 其积分表达式和级数表达式，并讨论了粘性对于近场项和远场项的影响； ( 2 ) 首次给出了计及粘性耗散的水池格林函数，并将其分解为计及粘性 耗散的开阔水域格林函数的截断级数部分和以两个单积分表达的渐进部分， 分别讨论了其准确、快速的计算算法。 7 哈尔滨下程大学硕十学位论文 第2 章浮体在波浪中运动的粘性势流理论 2 1 概述 如前文所述，应用势流理论处理多体干扰问题和水池试验边壁效应问题 时，由于没有计及流体粘性带来的能量耗散作用，部分物理量的计算结果与 实际情况相比误差很大。如果能够在势流理论基础上进一步把流体粘性的能 量耗散效应考虑进去，将大大拓展势流理论的应用范围。 c h e n 介绍了一种将粘性耗散计入到势流理论中的方法【1 1 ，称为相当理想 流体理论，其主要思想是在势流场中附加一项与流动速度成比例但方向相反 的人工耗散项，以模拟真实流体中粘性带来的能量耗散作用。该方法确实可 以部分解决多体干扰水动力问题，但缺点在于该理论没有指明人工阻尼系数 的取值大小，只能靠经验尝试选取，不具备普适性。 近年来，d i a s 、c h e n 等提出了能够计入流体真实粘性影响的粘性势流理 论【2 7 】【3 0 】，通过采用f r o u i e r - l a p a l a c e 变换对线性不可压缩n s 方程的分析， 在自由表面条件中引入了流体粘性和表面张力的影响，是对经典的无粘势流 理论的一种改良。 本文中拟采用粘性势流理论将流体的粘性耗散作用引入到自由面频域格 林函数中，以期为更好地处理多体水动力干扰、水池试验边壁效应等问题提 供更为有效的计算工具。本章将基于粘性势流理论推导计及粘性的线性自由 面条件，构造计及粘性耗散的浮体在波浪中运动的辐射和绕射问题。 2 2 计及粘性的线性自由面条件 根据经典粘性流体力学理论，采用粘性流体压力满足的质量守恒定律以 及依据广义的牛顿内摩擦定律得到的纳维尔斯托克斯方程( n s 方程) ，进 而得到计及粘性影响的线性自由面条件。 哈尔滨工稃大学硕士学位论文 2 2 1 线性不可压缩流体的n s 方程 在流体与空气的交界面处建立笛卡尔坐标系，砂平面与静水面重合，z 方向垂直水面向下。在重力作用的流体域内设变量如下，相对长度三，重力 加速度g ，流体密度p 。在坐标系( x ，y ，z ) 中分别对变量时间t ，流体的速度 厅= ( 甜，v ，c o ) ，速度势，水动压力p 及外力f 以( 三，矛i ，瓦，“歹， p g l ，p g l 3 ) 进行无因次化。 由质量质量守恒的连续方程： v 厅= 0( 2 1 ) 动量方程 玩= 一v p + 刃2 厅 ( 2 2 ) 这里s = ( p d g e ) ，是流体的动力粘性系数。 这里水动压力p 包括两部分，一部分是动压力p 和静水压力z 。即 p = p + z 在自由面z = r ( x ，y ，) 上，按微幅波的线性边界条件在自由面z = 0 处重 合，则 r , = 缈 ( 2 - 3 ) 已知在自由面上x 、y 方向上的剪应力为零。由广义牛顿定律，可得流 体质点满足的运动学条件如下： 6 ( u ：+ 吐) = 0 ( 2 - 4 ) 占( 屹+ q ) = o ( 2 5 ) 压力方程满足： 岛= q + r - o 2 ( + ) + 2 咝 ( 2 6 ) 式中见是大气压力，盯= 丁( 雕) ，其中丁是空气与流体交界面处的 表面张力。此外，速度初始条件可表示为水压力与自由面升高关系。 下面将速度历线性分解为无旋运动和一个有旋运动的矢量和的形式。即 9 “：= 船+ “： ( 2 1 4 ) 屹= 中归+ 吃 ( 2 1 5 ) q = 0 。+ ( 2 1 6 ) 哆= 秒+ 蟛 ( 2 1 7 ) 于是，在自由面z = o 上边界条件( 2 3 ) ( 2 5 ) 由( 0 ，u t ) 可重新表示为 下面形式： r , - ( 0 ：+ 国7 ) = 0 2 0 。+ “；+ 群= 0 = 2 0 矽+ + + 7 7 一仃2 ( + ) + 2 占( 。+ 衫) = o 注意，这里对应的大气压力= 0 。 1 0 ( 2 - 1 8 ) ( 2 一1 9 ) ( 2 2 0 ) 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 2 2 2 傅里叶拉普拉斯变换 分别对( 刁，厅7 ) 函数中的空间坐标( x ，y ) 进行傅里叶变换，时间变量，进 行拉普拉斯变换，则有： 矛= f 衍咖班酗h m 叫出 ( 2 2 1 ) 面= j c o 础e 方o e k z e i ( a x + p y 卜盯d x ( 2 2 2 ) 存7 = f 出e 砂菇p 匕2 p f 一川叫出 ( 2 2 3 ) 这里，为方便计算，现引入新的变量，其形式如下： 。2 ( x ，y ，z = o ，f ) ( 2 2 4 ) t = 材7 ( x ，y ，z = o ，) ( 2 2 5 ) k 2 = 口2 + 2 ( 2 2 6 ) 鬈= s g + k 2 ( 2 2 7 ) 将( 2 - 2 1 ) - ( 2 - 2 3 ) 两侧同时进行如同( 2 1 9 ) 式中的傅里叶一拉普拉斯 变换，则有 2 i k a o + t 历7 + 地面r = o = 2 琥肺+ t 谚7 + f 膨7 ( 2 2 8 ) 又由于( 2 8 ) 中的v u7 = 0 ，可知 f 口疗7 + f 矿+ t 面r = 0 ( 2 2 9 ) 由( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 式可得 2 k 3 西= 一( + 七2 ) 面7 ( 2 3 0 ) 类似地，对( 2 一1 8 ) 式进行同样的处理，则有 s 巧一硒一面7 = 0 ( 2 3 1 ) 再将( 2 - 3 0 ) 代入到( 2 3 1 ) 中，可知 又由( 2 - 3 2 ) 与( 2 - 2 0 ) ，可得到新的动力学条件形式： ，+ r - c r 2 ( + ) + 2 和。= o ( 2 3 4 ) 式中舍去了含d ( s 2 ) 的高阶项。 2 2 3 计及粘性的无因次化线性自由面条件 由2 2 2 中，我们得到了计及粘性流体的运动学条件( 2 3 3 ) 和运动学条 件( 2 - 3 4 ) 。下面将流体的运动学和动力学条件合并为计及粘性流体的无因次 化线性自由面条件的形式，其过程如下： 首先由运动学条件( 2 3 3 ) 式有 仇= ：+ 2 s ( 弦+ ) = ：+ d ( g ) ( 2 3 5 ) 于是 = 。+ d ( 占) 。 ( 2 3 6 ) = 朋+ d ( 占) ( 2 3 7 ) 又有速度势控制方程 v 2 = 0 ( 2 3 8 ) 于是： 1 2 下面采用动力学条件( 2 3 4 ) 式有 于是 ，72 仃2 ( + r r ) 一2 s q ) 。一， ( 2 - 4 4 ) = 仃2 ( + ) 。一2 神一一删 ( 2 4 5 ) = 0 - 2 ( + ) 拶一2 和聊一 ( 2 4 6 ) 2 占( + ) = 2 盼2 ( + l + ( + ) 一拈2 ( 。+ ) 。+ 2 和蹦 ( 2 4 7 ) 舍去含有d ( 仃4 ，0 - 2 s ，占2 ) 的高阶项。于是可化简为 2 s ( + ) = 2 和翻 ( 2 4 8 ) 最终可得计及粘性流体的无因次化线性自由面条件： “一：+ 盯2 。+ 4 面曩= o ( 2 - 4 9 ) 1 3 哈尔滨t 程人学硕+ 学位论文 注意，该式中舍去了所有含有d ( 盯4 仃2 s ，占2 ) 项的作用。 2 2 4 计及粘性的线性自由面条件 由2 2 3 部分中的计及粘性流体的线性自由面方程条件，现不考虑表面张 力的作用下，其无因次化线性自由表面条件形式如下： “一：+ 4 e - q ) 翻= 0 ( 2 5 0 ) 由固专咖i 厨，zj zf l ，s j 弘人p 届、，t j t 瓜 将其转化为有量纲线性自由面条件如下： 九+ 娩+ 丝允：o ( 2 5 1 ) p 将空间与时间变量分离。设：矽= c e 一姒 式中 彩波浪遭遇频率 空间单位速度势 ，时间 于是，得到计及粘性的量纲化线性自由面条件： 九一竺矽一f 丝屯：o ( 2 5 2 ) gp g 。 2 3 浮体在波浪中运动的辐射和绕射问题 在线性势流理论中，浮体在波浪中运动的水动力学分析通常分解为辐射 和绕射问题进行求解。所谓辐射，即假定浮体在平静的水中围绕某一平均位 置做强迫振荡，从而向外辐射波浪。所谓绕射，即假定浮体固定不动，由于 浮体的存在，入射波浪绕过物体传播。众所周知，在规则波中自由运动的刚 性浮体线性运动问题可以分解为入射波的绕射问题和6 个基本速度势的辐射 问题【2 】。 1 4 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 无航速浮体在规则波作用下作6 个自由度的运动，取笛卡尔直角坐标系 o x y z 与未扰动的水平面重合，z 轴垂直向下并通过浮体平均位置的重心。基 于粘性势流理论，假设流场内的流体质点速度为矿= v ，( x ，y ，z ，f ) 是流场 速度势，它同时满足拉普拉斯控制方程，计及粘性耗散的自由面条件，物面 条件，底部条件及远方条件。 在频域分析中，流体的运动随时间圆频率国做简谐运动。现将速度势 ( x ，y ，z ，t ) 作时间空间的变量分离。 中( x ，y ，z ，f ) = r e ( 矽( x ，y ，z ) e 枷) ( 2 - 5 3 ) 式中r e ( ) 为取实部的含义。随时间简谐运动的速度势( x ，y ，z ) 可表达 变量和的形式。 矽( x ，y ，z ) = - j 切乃力+ 口o ( 唬+ 磊) ( 2 5 4 ) 这里，( j = 1 ，2 ，6 ) 对应的是6 。个自由度运动的单位辐射速度势， a j ( ，= 1 ，2 ，6 ) 是对应运动幅值，唬是入射波单位速度势，其形式为 死：一墨型掣剁x 淄p + y m p ) ( 2 - 5 5 ) 这里办是由幅值嘞入射波引起的单位绕射势。其中是波的入射角， 是满足色散关系的波数。 t a n 舭o h = 万= 彩2 g ( 2 5 6 ) 由流场速度势条件可知，计及粘性的辐射势，( j = 1 ，2 ，6 ) 和绕射势殇速 度定解条件如下： v 2 ，= 0( = l ，2 ，7 ) 流体域内 ( 2 5 7 ) 誓一譬等等= 帅乩2 ，7 ) 刎 协5 8 ， 娑：o( j f ：l ，2 ，7 ) z ：一办 ( 2 5 9 ) 善= 乃( _ 1 ，2 ，6 ) 盟o n = 一豢物面 ( 2 _ 6 0 ) 嗡刃：浜i 样大宇坝十字何论文 办却l 专沙p j ( 川，2 7 ) 远方条件 ( 2 - 6 1 ) 由格林第二定理 = 皿协卜；6 巳乃+ g + 丸 协6 2 ， 办2 f m d s c r ：g ( 2 - 6 3 ) 将( 2 6 3 ) 式进行梯度运算，有 v 矽= 皿幽卜；6 乃巳+ 吗 v g + a o v 死 协6 4 ， 这里乃是满足( 2 6 5 ) 式物面边界条件分布源强。 2 玛+ j ：l d s c r j g , = ，1 答 协6 5 ， ( 2 - 6 5 ) 式所定义广义矢量( m ，吃，n 6 ) 如下： 元= ( 惕，也，伤) ，f x 元= ( n 4 ，n 5 ，n 6 ) ( 2 6 6 ) 上式中尹- - ( x x o ，y - y o ，z - - z 0 ) ，i a 里o ( x o ，y o ，z o ) 是转动参考点。 2 4 本童小结 本章基于粘性势流理论，根据粘性流体力学中以流体压力表示的n s 方 程结合粘性流体运动方程，通过傅里叶拉普拉斯变换等一系列数学推导， 得到了计及粘性耗散的线性自由面条件。本章将计及粘性耗散的自由面条件 引入到浮体在波浪中运动的辐射绕射问题中，可用于更好地解决多体水动力 干扰问题。 1 6 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 计及粘性耗散的开阔水域格林函数 程领域预报浮体在波浪上的运动响应与水动压力的一个重 由面频域格林函数来求解流场。这一方法在解决单体问题 处理多浮体在波浪中相互作用问题时因没有计及水的粘性 导致的能量耗散作用而无法准确的预报相邻浮体间水体的运动。针对上述情 况，本章基于粘性势流理论和计及粘性耗散的线性自由面条件，得到计及粘 性耗散的开阔水域格林函数表达式，并对该函数性质进行分析。 3 1 计及粘性耗散的格林函数积分表达式 根据粘性势流理论，采用粘性流体压力满足的质量守恒定律以及依据广 义的牛顿内摩擦定律得到的纳维尔一斯托克斯方程( n - s 方程) ，进而得到计 及粘性自由面格林函数的线性自由面条件。 根据粘性势流理论，引入2 2 4 中计及粘性作用的线性自由面条件，设 场点坐标为p ( x ，y ，z ) ，单位强度点源源点坐标q ( ，) ，z ，) ，则计及粘性耗散 的有限水深自由面格林函数g ( p ，q