（电子科学与技术专业论文）方向估计和张量投票算法及X射线成像的研究.pdf

a b s t r a c t t b i sp a p e ra n a l y z e st h ea l g o r i t h m so fo r i e n t a t i o ne s t i m a t i o na n d | e n s o rv o t i n g ， a n dp r e s e n t sa l la l g o r i t h mf o rc o n t o u ri n t e g r a t i o nc o m b i n i n gt h et w o m o r e o v e r , t h e s a l i e n c ym e a s u r ef o ri u n c t i o nd e t e c t i o ni si m p r o v e d i tt a k e st h ef r a g m e n t e de d g e f r o ml o wl e v e le d g ee x t r a c t i o na l g o r i t h ma si n p u t ，a n dg i v e ss m o o t hc o n t o u r a so u t p u t i t i sr o b u s tt on o i s e ，a n dt h ev a l i d i t yi sp r o v e db yt h eg i v e ne x p e r i m e n t s d i g i t a lx r a yi m a g i n gd i a g n o s i s i s c u r r e n t l y o fg r e a ti n t e r e s tc o m p a r e dt o t r a d i t i o n a ls c r e e n - f i h ns y s t e m al a r g ea r e a ，f i a t - p a n e l ，d i r e c td i g i t a lx - r a yi m a g i n g d e t e c t o r , w h i c hu s e sa m o r p h o u ss e l e n i u mf d s e la l l o yl a y e rf o rd e t e c t i n gx - r a y sa n d t h i nf i l mt r a n s i s t o r ( t f t ) f o rr e a d i n go u ts i g n a l ，s t a n d so u ta m o n gd i g i t a lx r a y i m a g i n gd e t e c t o r s t h ea n a l y s i so ft h i ss y s t e mi sa l s oi n c l u d e di nt h i sp a p e l 【k e yw o r d slo r i e n t a t i o ne s t i m a t i o n ，t e n s o rv o t i n g ，xr a yi m a g i n g 一_ 一 讹1 1 灭 图目录 剀2 一l 简单局部及其傅立叶变换 圈2 2 二滤波器的引导向鼙 幽2 3 网滤波器的引导向甜 图2 4 四滤波器的兄一种引导向苗分布 幽3 1 投票点椭圆表示幽 倒3 2 曲线延伸示意幽， 【矧3 3 两曲线连接示意幽 幽3 4 扩胜域方向和强度示意幽 图3 5 实验采j l j 的合成图像 削3 6 实验步骤 幽3 7 仿真实验一 蚓3 8 仿真实验二 h3 9 仿其实验二 1 9 2 0 2 0 2 4 2 5 2 5 2 6 2 8 2 8 2 9 2 9 ，3 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：刍鱼丝丛垂! 垒墨堡基篁堡! 圣堑堂堂麴易 学位论文作者签名：勘哑3 车 日期：们9 悼j 1 月妇 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以呆用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目 童! 兰蔓翌羔塑受戛堡垒羔垦垫! 塑堕易 学位论文作者签名 作者指导教师签名 逊皇 塾牡_ r 。寸一 日期：印丫年i1 月i ，日 日期：o 一审年f f 月，日 第一章序论 1 1 方向估计和张量投票 如似从含噪的图像数据一p 提取矬要的结构特征是汁算机视觉研究的重要闽题之一。 边界轮廓就是一种显要的图像结构特征，边界轮廓的准确提耳父尤论对图象分割还是目标 识刖都具有关键性的作用。然而，一般情况下边缘提取算法得到的结果通常鄙不是理想 的边界轮廓，而是一些离散点( 包括噪声) 和边缘碎片组成的不连续的轮廓，显然，这 种处理结果无法满足高层处理和识刖的需求。 张量投票方法就是gm e d i o n i 等针对这一问题提出的一种鲁棒性很强的方法，它 可以从二维【jj - 2 兰维1 2 i 图像数据中提取出角点、曲线、区域和表面等结构特征，并可以 任意扩腱到继空间。张星：投票方法为计算机视觉提供了一个普遍适用的计算框架，可 以应片jj 二图像结构特征提取、立体视觉、运动分析等许多领域。然f 町，张最投票方法的 十关文献中并没有提供有关算法预处理的线索。 水文研究了方向估计| j 4 j 和张量投票的算法，并将二者结合，对底层边缘提取得到的 结果进行处理，得到一种。1 丁以克服噪声影【向并提取连续边界轮廓的方法，从而便于高层 的处理祁识别，同时改进了张量投票方法中的曲线交汇点的显要性度量，使得噪声的影 响进一步减小。 1 2x 射线透视成像 论文这一部分内容是基于校预研项目一数字式x 光成像系统中的传感器机理的初步 研究及嘲像质量改善。论义对x 射线透视成像的历史以及最新授术进行了探讨。 白18 9 5 年伦琴发现x 射线以来，x 射线在无损检测，特别在医学诊断成像方面获 得了广泛应用，并形成了专门的x 射线放射诊断学，为人类自身的医疗保健做出了重要 贡献。x 射线透视成像是最常用的医学渗断成像千段，x 射线透视成像系统具有重要的 研究意义和广泛的应j j 前景。 随着微电子技术、数字计算机技术，特别是囤勋；互连i 删络的迅速发展，信息数字化 l 成为当今科技不i l ，阻挡的发展洲流。医疗事业中建立【延院信息管理系统( h i s ) 及图像存 档和f 输系统( p a t s1 成为紧迫的发展要求，医学图象数字化足其中的重要内容，数字成 像系统成为发展的主流。传统的胶片成像即屏胶系统动态范围小、线性范围很小，足非 实日、j 、非数字化的成像方法，不能进入p a c s 资源浪赞严重。x 射线影像增强器摄像管 系统是文h 寸数字化的成像方法，但光电多级转化使分辨率降低，存在像面畸变，系统复 杂；影像增强器届真空器件，不符合成像器件固体化、f 板化的发展方向。 以非d 6 硒为代表的光电导+ 薄膜晶体管( t f t ) 直接数字平板实时成像系统性能优越， 分辨牢高，仓咖满足成像器件固体化、数字化、i f 极化的发展趋势，是最具竞争力、最 仃前途的x 射线透射成像方式 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 1 。本论文刈此系统进行了一定的研究。内容包 括非d 硒吁x 射线的柑且作h j 、非品硒器件的空问分辨率、j f 品硒对x 射线的灵敏度和 量子探测效率以及薄膜晶体管的一些性质。 全文共分叫章，各章内容安排如下： 第一章足本文j ：作的简单介绍。 笫二章分析了方向估计算法。其中对张量做了介绍，说明了为什么方向能够用张量 表示，并泌明了表示的优点，给出了相应的算法，为后来的张量投票提供输入，也为张 量投票提供了一些理论基础。 第三章分析了张量投票算法。对算法的原理进行了分析，给出了算法过程。这罩用 到了上一章中的张量表示方向的知识。 第四章介绍了x 射线透视成像的技术，重点分析了非晶硒成像板+ 薄膜晶体管( t f t ) 这个系统，给出系统的物理性能。 了呵页一 第二章方向估计 2 。1 引言 本章所采用的方法主要是基于滤波技术和张量表示方法。我们采用多个正交滤波器 1 5 7 【划像进行滤波，每个滤波器只对一个方向敏感。i f 交的性质说明滤波器的输出是复 数值，包含幅度和柏位信息。相位可以描述图像的对称特性，而输出的多个幅度信息则 组成局部方向的张量表示。 2 1 1 局部方向 局部力向信息是多维数据重要的局部特征。图像梯度的方向包含了图像理解需要的 艇人一邦分信息。i 且，局部力r 向x , jf 大多数邻域自+ 着u 月确的定义。因为大多数邻域满 足局部简单的假设，这个假设主要是越于，在很多的情况下，图像梯度方向的变化，相 刈f 图像本身的变化，是一个慢变化。 2 1 2 方向和局部傅立叶变换 怎样得到局部方向信息呢? 这可以通过研究局部傅立叶变换来得到。如果图像的某 个局部是简单的( 也就是说近似由几条等耿度的平行线组成) ，那么其傅立叶变换有一个 很重要的特，i i ，就足其频域的能量集中在一个很窄的细长区域内( 或者蜕近似为一个线 冲激) 。这个局部的变化越小，线冲激的近似程度越高。 在这个细长区域内部能量的变化，反应的是平行线之划灰度的变化。这类似于一维 傅立u | 变换。 图2 1 简单局部及其傅立叶变换( 1 ) 2 2 张量简介 随着数据维数的增加，数掘的处理需要更快的运算速度和存储容量，而且，数据分 析的方法也应该有一定的影响。事实f ：，标量和矢量在高维数据处理中并不像低维处理 巾那么方便。这呼，我们在矢碴的魑础上介绍其扩展概念一张最。 张键n 勺阶数是我们要介绍的另个概念。阶数的一个随观解释足张量的复杂程度， 比如零阶张巳就是枷i 量，一阶张量就是矢量，而二阶张量足矢量空问到矢量窄问的线 性映射。在本章中，二阶张量用加粗的大写字母表示，比如t ，矢量用加粗的小写字母 表示，比如x ，标量用斜体的小写字母表示，如x 。 本节只给出张量的一个简单介绍，并介绍了对偶空问的概念，旧时省略了大郫分冗 长的理论推导。在本节中提到的矢量空l - 日j 均为实的矢量空i i 口j 。 2 2 1 张量 我们来考虑个实际生活中的例了，比如一个人的身t 岛，我们可以c 兑这个人的身高 是1 7 5 c m ，或者1 7 5 m ，或者换算成i n c h 、f e e t 等单位，但是这个人的身高是定的，只 足随着单位的不川，有不问的数值描述。身高可以是，。1 k p 哽i l 的一个例子。张量是不依赖参 考系的选择而变化的个量。但是由于参考系选择的小同，张量的具体数值描述可以随 其变化。 一阶张量就是一个矢量，不随参考系的选择而变化的一个矢量。如果我们选择了 个参考系，定义一个欠量空间的一组基底，那么就给出了这个矢量的一个具体数值描述， 即，坐标。参考系选择的不同，基底定义的不同，矢量的数值描述( 即坐标) 也不同。 所以，这罩要严格区别矢量本身和矢量的坐标之| h j 的区别：矢量是不随参考系的选择而 变化的，足一阶张量，而矢量的坐标是随着参考系的选择而变化的。矢量的坐标只是它 的一个数值描述，和矢量本身是不同的。 _ 阶张量刈应矢量空f h j n 本身的线性映射，即，它把矢量空问的一个矢量映射成另 + 个矢最。下面是一个例子。给定一条直线，考虑一个映射，它将任何一个矢量绕这条 f 艟旋转个刚定的角度。这个线性映射的定义如上，它小依赖于任何参考系的选择。 便 足“j 我们研究这个问题的时候，必然要在某个世标系f 研究，这个旋转映射的描述就 是一个矩阵，丽上上随着坐枷i 系选择的不j l 司，这个矩阵的数值也不同。类似一阶张量，我 们总结如卜，矩阡足二阶张量的一个具体数值描述，随着参考系的选择而变化，而二阶 张量足4 i 随参考系的选择而变化的。 2 2 1 1 张量和方向 对力阳的讨论是样的。图像【1 1 的一条线或一条边界部有特定的方向，所且这些方 f 塑丝： ：茎越盔厶：兰! f ! 【2 f ：i ：望j ：丝奎 - 址小依赖j i 参考系的。但实际处理问题的时候，总煺选定一个参考系，得剑方向的数 位捕述。 n l 我们将会厅到，方向可以表示成一个：阶张量，并且是二阶对称张量。给定一 个坐标系，这个_ 阶张量的数值描述是一个矩阵，所以，方向可以用对称矩陴来表示。 必须州确的是，这个矩阵是由方向本身和使用的坐标系同时决定的。后者的选择有很大 的任意性，而选择不同的坐标系，矩阵的具体数值就会变化，所以这个表述的矩阵也有 。定的任意。阡。吲此虽然在实际应用中，当选定了个坐标系后，二阶张量和拙述矩阵 仃散大的笑系，也不能将它们混淆。 为了让下面的表述简沽具体，我们做如下几个假设。首先，我们已经选定了一个合 适的坐标系，这样，我们就不必把二阶张量和矩阵做特别的区别；其次，在矢量空问中 定义内私 ，并默认基底足标准正交的。这样，每个矢量x 部有个坐标，元素为置，每 个张量t 都对应个矩阵，其尢素为t 。这样矢量x 在映射t 下得剑的矢量的坐标可 表示成 2 2 2 张量和矢量 t x = 巧x 所有的矢最( 一阶张量) 构成了矢量空间v ，所有的二阶张量也构成一个矢量空间。 阿个线性映射t 、u 之和构成一个新的线性映射t + u ： t + u x = t x + u x 埘任意的x ev 部成芷。一个线性映射乘以一个实常数a 构成一个新的映射a t ： a t x = a ( t x ) 这蚺二阶张量构成的矢量空n u 表示为俨。 在下瓜的小节中，我们用“矢量”这个词指一阶张量，即空l h jy 中的元素；“张量” 指二阶张量，即空间俨中的元素。y 的维数为n ，妒的维数为。 2 2 3 内积和范数 我f f j 钥：欠七t 空l u jv 卜定义一个内积。x 和y 的内积汜做 ，儿具有以f 性质： ：y y 斗r 2 十 = d = 0 ，等弓当且仅当x = 0 的时候成、z ( 2 i ) 这业x ，y ，z k 。是一个实数。 人部分悄况下，v 的丛底足标准i i i 交( o n ) 的。这样两个矢量的内i l “尤可以用它们 的坐标的内积来计算，即： = 薯只2 x t y f - i 这1 弘x i 和j ，。分剧足x 和y 的坐枷1 表示转置。 “j 欠最的标最积可以诱导出矿上的一个范数： | | x f | 也可以由x 的坐标写成： 2 2 4 特征值和特征矢量 j x | | 2 = # = x x 给定个线性映射t ，如果非零矢量c 满足下面的式子 t e 2 九e ( 2 2 ) 这单的九足实数，那么e 就是t 的特征矢量，九就是t 的特征值。 如果一个欠星e 是t 的特征矢量，则a e 也足t 的特征矢量，这里口为非零实常数。 所以，对于t 的+ 个特征值，对应一个子空间，这个子空间的维数至少为1 。如果e 1 和 e 2 为特征值九刈应的两个线性无关的矢量，则它们的任意线性组合也是其特征矢量，它们 的线性组合构成了一个二维的予空间。所以，对于每一个特征值，都定义了一个子空间， 这个子空间坦的欠量郜是 这个特征值对应的特征矢量，子空问维数至少为1 。 需要醅明的是，特征值和其埘应的特征矢量，都是张量的不变性质，即，如果c 是 t 对应于九的特征矢量，那么小论参考系如何选择，这都足成立的。当然，e 的坐标会随 参考系的选择两变化，丽标量x 贝j j ：q c 会。 矩阵t 的特征值町以通过以下的特征方程求得： d e t ( t 九i ) = 0 这卑i 是单位映射。这足一个九的q 阶多项式方程，所以应该有”个根，即t 有n 个特 筘：值。即使特征乃程仃亚根，我们仍然认为t 有胛个特征值。 2 2 5 划称张量 如果张量t 满足 2 v x ，y c v 我们就称张量t 对称。在具4 奉的数值描述上，这表示矩阵t 只自卜- 面的性质 丽百面一 t i 2 t j ， 即t 足一个剥称矩阵。山线性代数的知讨 可以知馗，对于对称矩陴t ，存在它的特征矢 i 连 ；， j 以组成欠遍空问的标准n i 变基。从而t 可以写成 t = ；， ( 2 3 ) 这啦九是；，刈+ 应的特征值。其逆命题也是成立的：如果t 可以以上面的方式分解，其中 屯 是标准正交基，则它们就是t 的特征矢量，h 就是对应的特征值。 下血的章节只讨论对称张量。我们将对称张量组成的空问叫做s u m ( v 2 ) ，空间里的 任f u 张遗都可以按照式( 2 3 ) 分解。空间s y m ( 酽) 的维数为”( + 1 ) 2 。对称特性保证 了t 的特a l ：值都足实数，找们将特征值九i ，h ，k 排序，如下，找们在卜面的章节 巾郜这样使用 - 丑， t 的非零特征值的个数成为t 的秋。因此，如果t 的秩为1 ，那么tu r 以写成 t = 丑6 6 7 这娶九足ti 性的非零特征值，；足对应的归一化特征矢量。 2 2 6 迹 v t s y m ，由下式给出 = 九，q ( 8 ，i ， 2 ( 2 5 ) 可以i f f - l f j j ，这个定义符合标量穆 的血条性质。如果埘筒! 阳：的形式，可以得到下衙的表示 = 乃 ( 2 6 ) 这个定义还叮以表示成其他的形式。比如： = t r ( t 7 u )( 2 7 ) 这咀矢量和j 乏最的内积我们用了同一个表示式， 。尽管不是很严格，因 为两个标硅私 足定义在4 i 同的空f 日j 中，但是这样的表示很方便，所以我们仍然采用。 这样，疵定义了标量积之后，我们可以定义张量的范数，如下式所示 旧旷2 这个表达式还可以写成： | | t i | 2 = 砰 ( 2 8 ) 2 = 巧 ( 2 9 ) i i t i l 2 = t r ( t 7 t ) ( 2 1 0 ) l i k 。旦r ! i 的范数实际 ：就足矩阵的f r o b e n i u s 范数。 2 2 8 基和对偶基 给定v 中的一个基s 菌( e i ( 这里塾底是指一个可以张成v 的线性无关集) ，v 巾的任 意元素x 郜u j 以写成基底的线性组合： x = x , e ( 2 1 i ) 这q ! x ，足x 订：挂 e 矗卜i 的坐标。定义了v 卜- 的内秋后，琏 e i 的刈偶丛悔) ，可以山下e 定义，h 对偶基是唯一的 q 一 碱= 慧； 亿t z ， 欠毓x 订：，链f e i 卜的班标出下式给出 置= ( 2 1 3 ) 所以，要汁算矢量x 在基 e 0 下的坐标，酋先要计算的是基 e 矗的对偶基跨 ，然后通过 汁锥欠：矗x 和对偶基 i ， 的内秘就可以得剑其举标。如果v 的基底足标准1 1 i 交( o n ) 的， 那么j 埘偶丛就足自身。 对空j h js y m ( 护) 的讨论是一样的。s y m ( 旷) 中任何能张成整个空问的线性无关 集 b ， ，鄙可以作为s y m ( 俨) 的基底。这样，对于跏”( 俨) 中的任意张鐾t ，都可 以写成 月f t + 1 1 ，2 t = ，b ， ( 2 1 4 ) = l 这q ! 是张量t 住肇 b 矗f 的 睦标。定义了跏m ( 萨) - f t j 内积之后，就可以确定 b j ) 的对偶基t 址做 豆， ，如下式 _ 瓯 ( 2 15 ) 对心的啦枷i 为 ，= 这样我们可以得到 l j ，+ 1 1 1 2 t = 丘， ，= i 如果把 蠹0 作为基， b f 作为刈偶基，那么t 也町以表示为 h f ，f 4 1 1 ，2 t = b ， ( 2 1 6 ) - l 虽然，( 2 1 5 ) 给出了基和对偶基的关系，但是并没囱- 给出对偶基的求法。在矢量空问 维数有m 对偶基口丁以通过卜i 面的方法求出。我们先定义埘称矩阵p ，如下式 p k i = ( 2 i7 ) 然后按照卜式求f 埘偶嬉 丘，= b 。鳓 ( 2 1 8 ) 这怛q 1 = p 。所以，先求基张景之问的内积，得到矩阵p ；然后，以其逆矩阵q 的兀素 作l j 系数水j 基的线性绍合得到对偶荩。 2 2 9 框架和对偶框架 我们考虑下嘶的情形：张量t 表口：成集合f 取 线性纠l 合，这个集合可以张成整个矢 量空i h j ，但这个集合不一定是线性无灭的。这单，我们称这个集合为一个框架，基是框 架的一种特殊情况。和对基的研究一样，我们希望得到这个线性组合的系数。在框架的 情况下，很容易理解线性组合的系数不足唯一的。这咀，类似丁- 基的情形，我们定义对 偶框架 或 ，然后系数可以通过卜式水f u l 十= ( 2 1 9 ) 这蚺我们不深入讨论对偶框架的推导，而卣接给出对偶框架的求法。 框架中的张量，都可以用一个对称矩阵来表示，我们先将矩阵重组成一个行向量， 但要保证行向量的范数和矩阵的范数相等，且向量张成的空间和矩阵张成的窄问的维数 相等。我们把，? 个对角线上的元素和盯( n 1 ) 1 2 个上三角( 或下三角) 元索以固定的顺 序排列成行向量，为了保持范数，我们将每个不在对角线上的元素乘以2 。这样，我 们将个胛x 胛的对称矩阵重组成一个l h ( 肿1 ) 1 2 的行向最。 框架r f - 每个张量b k ，经过上面的重组都变成一个行向量。这些行向量组成一个矩阵 f ，我们将其成为框架算符。对偶框架算符雪由下式给出： f = f ( f f ) 。( 2 2 0 ) 帝的行向甚就足埘偶框架的矩阵的重组向量，我们只需将对应的j ，向量做相反的变换( 注 意要先将1 e 对角线元素除以2 ，对偶框架矩阵也是对称的) 。 2 3 方向的表示 首先必须说明，方阳只是信号的局部性质。实际中的信号一般不会表王见出一个统一 的方向，比如一幅图像l 卜j 会有很多局部结构，每个结构会有不同的方向和类型。比如线、 边缘等等，邻近的两个局部会包含相似的结构特征。 为了明确描述信号局部的方向信息，我们首先要确定哪些局部何明确的方向信息。 比如，在一个局部，只有一条边缘线，那么有一个明确的方向来描述这个局邡；相反， 如果个局部信噪比太小，或者有多个相交的边界( 线段) ，则这个局部没手j 个明确的 力向术描述。 对j 二个珂维信号，如果一个局 | ；有明确的方向信息，我们称这个局部是简币内。 我们将一个简单的局部区域表示成卜- 面的式子： k x ) 鼍( ) 彳( x 。x o ) ( 2 21 ) 再可兀r 一 = l 蔓笾型：j 三丝坐厶：业筮：芒垃迨奎 这nx 址j j 0 郜跚u | 标矢受，g 是非常数的一厄函数，x 。是一个常欠量。根掘定义，在 垂工3 ：x o 的方l q 上，都是常数，即厂在x o 方向上有最大的变化量。比如，在二维图像 t ，在正直于x o 的直线上，厂都是常数。这个定义还町以扩展到高维信号上。这里要说 明的足，简堆的局部的概念和 g 的类型足无关的，可以是实数，也可以是复数，也可 以足欠量、矩阵。 显然，简单局部的性质足山一元函数g 和常矢量x o 决定的，但是g 和x o 的选择不是 唯。的。如果等式对某个g 和x f 】成立那么埘十积o ，这单口为非零常数选择的适 当蛹数譬，使得 g ( x ) = g ( x a ) 等式也足成立的。所以，我们将矢量x o 归一化，选择u = l x l l 。在卜而的小节中，我们默 认i 。足1 一化的，选择合适的g ，使得 ( x ) = g ( ) = x ( x 7 )( 2 2 2 ) 这u 铷i 。| i = i 。址然这样i 。的符j 还足术定的。 这样，我们就将方向的概念明确在了简单局部区域上，但是我们还要区别“两个” 方向的概念。我们用卣线和劓线的区别来说明，射线有一个唯一确定的朝向，但足直线 却有两个，这罨我们研究的是直线的情况，所以我们研究的方向的范围是0 纠1 8 0 度。 在彳j 了上而的说明后我们要列确我们的目标：在简单局部区域内，得到方向的表 永，这个力向仅仅依赖于i 。，不依赖于i 。的符号，不依赖于函数g 。住下而的讨论中， 不依赖于g 的这个性质将会弹细的讨论。 2 3 1 方向表示的要求 设方向的表示为t ，是赋范欠量空| u j 的元素，这样我们可以把它归一化 t 5 而 这样 t = i i t l l t tl 叮以足个张量或者别的量，它全少耍满足下面3 个要求： 2 3 1 1 对g 的不变性 显然，只耍式( 2 2 2 ) 中的g 不是常函数，方向的表示职g 的形式无关，剐有对g 的不 变性： t 不依赖于g 1 i 实f ：，这个婴求很菏刻，不容易满足。我们将它弱化卜，玎以得到下佝实刚舰_ 【| 1 0 t 不依赖于g f | i i i t i i 可以随g 的变化而变化。f 面的章节中将会看钊这个要求是怎样满足的。 2 3 1 2 映射连续性 如粜方向柯个小量的改变，则这在方向表示t 上的变化也应该是个小量。刑这个 的一个严格的表述就是i 。，到t 的映射是连续的，并且，t 的变化餐只随i 。的变化量变化。 给i 。个小量的改变： i l = i o + v ( 2 2 3 ) 这蚺v 垂直于i 。设i 。对应的方向张量为t ，i 。对应的为t ( 8 ) ，定义 d r ：l i r a t ( c ) - tf224)i= 一 则连续变化的性质a j 以表示成 蚓不依赖“ 2 3 1 3 表示唯一性 为了农巧方向，要求t 的表示是唯一的，即虬到t 的映射是一一的。刺 ：个方向 有i 帷一的张量表示；对个张量表示，有唯一的方向与之对应。 由1 ：简蚺局部的方向只与i 。有关，而与其符号尤关，敞唯一r 土的要求叮以表示为： t ( i ) = t ( 多)岛多= 文 2 3 2 方向张量 个符合l 二述标h l ；的表爪如下1 3 i ： t = a i 。i ： ( 2 2 5 ) 这1 业a 足任意订：的实数，与方向氟无关。注意是t 的特征矢量，特征值为a ，这是i 牲 一的非零特征值，所以t 为秩i 的张量。 也许f j 人要问，为什么我们不用些简单的束表示方向呢? 在二维图像中，我们可 以j l j 个简r 社的枷；量来表0 ；方向，或者用方向矢量来表示。前面我们已经提到过，矢量 表示存在唯一p e 的问题，而标量的表示则不满足连续映射的性质，当角度在0 度附近变 化时， 醴小的角度变化会引起表示的标量上的很大的变化。 一阶张量则避免了这些问题，方向矢量符号的变化不会引起t 的变化，并且符合连 续映射的要求。其余的要求也符合，这将在下面详细讨论。 设方向矢量为i 。= i x i ，】，则表不- 瓶里o - 为, 2 3 2 1 范数 t = 匮乏 4 # ： l x , x 2x ；j 从t 的表达式可以得出： 1 = 4 放t 的范数不依赖于表示的方向，所以可以用柬表示其他的黾。 2 3 2 2 对g 的不变性 根据t 的表达式t 在严格意义l 与函数g 无关。 2 3 2 3 映射连续。牲 j 以 良律易推导h t 满足映射连续性： t = 瓜。i ： t ( s ) = 爿( i o + s 奇) ( i o + 占寸) 7 敌 宰：爿( i 。奇一+ 蝴 ( 2 2 6 ) 可以验i l e ： 2 圳2 t ! lj 满足条件。 2 3 3 具体讨论 下面针对二维狄度图像的具体情况进行讨论。方向欠量的形式如下 c o s 6 ；f 1 k 2 口j 这啭口是某个坐标系下的角度度量，这样就可以得到t 的表达式 t = ；：乏： = 爿f l c o c s 。a 8 2 s i 口l l 。c 。s s i 口n ；兰口 l7 iz正z j a2 口 j 我们l 一以构造一个复数来恢复角度信息 z = 五】一五2 + 2 i t t2 = a ( c o s 2 a + i s i n 2 a ) 这样，通过求出复数z 的辐角，其半角就是要的角度信息。 2 4 方向估计 这样，我们找到了方向的一个合适表示，这个表示能1 i 能用在具体的图像中呢? 怎 样构造出合适的表示呢? 下面的小节给出了解答：对简单局部区域，通过组合i 卜交滤波 器的输出，口以得出精确的表示。 2 4 1 图像信号及其傅立叶变换 我们f f j 研究刈象为：维实值图像的简单局部，即 j ( x ) = g ( x 7 i n )( 2 2 7 ) 这健g 足元实值函数，i 。为归一化力。向矢塌。 当满足简单的性质时，s 的傅立叶变换，记做s ，其能量集中在一条很窄的细民区域 内，近似为一个线冲激。町以推导出 s ( u ) = 2 z g ( u 7 i 。) “( u ) ( 2 2 8 ) u 为频率域“垮标，醴”( n ) 为线冲激。 2 4 2i i ：交滤波器 为了满足方向表示的各利要求，我们选用正交滤波器来进 f 力向张最的 t 计。i f 交 滤波器强频域的? f 平面七数值为零，令，为f 交滤波器厂的傅立叶变换则 f ( u ) = o 如果u f i 0 ( 2 2 9 ) 这瞿i 为滤波器的引导向量。当然，这只是滤波器的_ - 半，滤波器的性质更多的是山非 零的3 、f ，决定的。 i i i 交滤波器本身及其输出一般都足复值的，令滤波器的输出为g7 ，其幅值为g ，即， q ：。 2 4 3 对简单局部的滤波器输出 口2 两1 p ( u ) f ( u ) d 2 u 积分睇：域为整个傅畸：叶平面，由山rs 为一个线冲激，所以积分可以在这条线 = 进行， 即 叫= 去e g ( “坝嘁胁 这条线表乐为u = “i 。然后我们将积分分成两部分，以甜的原点做分割点，即 q 7 = 去旷g ( 训即嘁) 幽+ r g 脚幽 u j - g 为实值函数，故g ( 一“) = g ( “) ，所以上式还可以写成 q 7 = 去 r g b ) f ( 一“i 。) 出+ r g ( “) ，( 线) 如 ( 2 - 3 0 ) 2 4 4 极坐标下可分离的滤波器 h 帆滤波器厂一i 仅仪是l r 交滤波器，而上l 住极 旌标卜- j r 分离，即，滤波器的傅立 叶变换川以z ；成住向函数r 和乃阳函数d 的乘移 p ( u ) = r ( p ) d ( f i ) 这| p = 1 1 1 1 ，d = u l p ，儿我们胤定r 和d 为实值函数。这样，i 卜交的r t 质就传递剑了 函数d 卜，口，要求d d ( i ) = 0 如果矗7 矗0( 2 3 1 ) 将式( 2 3 1 ) 代入式( 2 3 0 ) ，得至1 g = 去 j 。g b ) 尺( “) 。( 一i 0 ) 幽+ r g ( “) j r ( “) 。( i 。) 出 t t lj 二i 。为常矢f 鼬i ，而私 分变量为“ q = 去 二( - i o ) r ”g + 肌) 出+ o ( i 。) r 。g ( 郴( 岫 令 d ：上f g ( “) 只( “) 出 2 z 山 、。、 则 “+ ：圭f ”g ( u ) r ( u ) d u 2 丌b 叮= d ( 一i o ) 口+ + d ( i o ) 订 考虑到】卜交的性质，町知d ( i 。) 和d ( 一叠0 ) 必然有一个为零，所以在l 司一个时候，只 有一个分量存在，输出的幅度函数q 为 g = l l q i i ：i i d ，厶o 。 c z 3 ， 这5 l ! 矗为滤波器。f 导向甚。因此，存非零的傅立叶j 卜面上，d ( a ) 按_ c o s 2 妒的舰律变 化，驴为矢量i t 和滤波器引导矢量f i 之i h j 的央角。 2 4 6 滤波器输出 最后， 合( 2 3 2 ) 年1 1 式( 2 3 3 ) 我们得到滤波器的输出幅度 q = 爿( 矗) 2 这5 | i a 越和力m 九火的，j - l 和图像信号的径向分布g ( p ) j 滤波器径向函数r ( p ) 有 关。 剑这e 我们就可以将现在的滤波结果和方向的张黾表示联系起来了。首先，考虑 卜面两个秩l 张量 亍= i ： 肉= 矗d ， 它们都仃唯1 的非零特征值1 ，i 。和i 为相应的特征矢量。楸撕式( 2 5 ) ，可以得到 q = a = ( 2 3 4 ) 即，滤波器输出的幅值可以表示成张量t ：一千和张量肉的内积，张量t 为图像简单局 部区域的方向表示，由为常数张量，只跟滤波器引导矢量有关。 2 4 7 构造张量 既然滤波器的输出具囱式( 2 3 4 ) 的形式，我们可以首先定义几个滤波器，这些滤波器 的径阳函数r 斗曰同，但是引导向量矗。1 i 同，用这些滤波器对图像进行滤波，得到张量t 和系列常张量两。= 虬的内积。如果这些常张量构成了空间妙埘( ) 的基底，则t 可以构造如卜 + 1 1 ，2f 月 i ) 12 t = 雨。= 吼村。 ( 2 3 5 ) = 】= i 其巾 苘。) 是 肉。 的对偶挞。综l ，以滤波器输出的幅度讯为系数的预定义张量 雨。 的 线性组合就是要求的方向张量。 & 然，至少需要胛( ”+ 1 ) 2 个滤波器j 可能构成空l 、日j 跏( 酽) 的基底。怎样选择 泌波器的，j j 导向量，足后【f l 将要讨论的j u j 题。理论上束既， ( n + 1 ) 2 个滤波器已经可 以构成蜒底，似是，攮卜些实际操作1 ：o s 原凶，我们u r 能要选择多j 二这个数目的滤波 器，比盘，我们想要引导阳量均匀分如在空问q 。这样，这些预定义的常张量构成了一 个w i 架，j n 对缁w u 足对偶椭架，斯不足列偶基。 需一要指i 出的赴，不管t i 导阳睦怎么选择， 肉。 不可能是标准f i 交暴。这足因为，由 于它们郡足秩1 的：阶张量，所以肉。和肉川f 交就意味着矗。和矗，正交，而最多只有n 个 相j 1 ：i 卜交的向量矗。，所以，不町z f j 匕, 。1 r - “- ( 聆+ 1 ) 2 个标准l 卜交的 肉。 。所以，对偶基 和原求的坫底 两。 小可能十目i 州。每个对偶基都是原基底的线性组合。 2 4 8 径向函数 只要不违反基本原则，r ( p ) 可以任意选择。这样我们i 可以参考一维信号中的滤波 器设计来没计r ( p ) 。一般束醴，r ( p ) 是一个带通滤波器，有中心频率和带宽两个参 数。一个常片j 的滤波器形式为： m ) _ e x p ( 一彘一( ( 2 3 6 ) 这种滤波器仃一个私字叫l o g n o r m a 滤波器。b 足十日对带宽，一是巾心频率。 2 5 实用算法 本节中我们考虑滤波器设计中的实际问题，如二维滤波器q 的引导向量的选择问题。 对这些向量的一个基本要求是它们要在空间中均匀分布，尽管这在前面的章节中并不是 必要的。因为均匀分布会给我们带来一些实际操作中的方便。首先，这使得我们町以只 设计少数滤波器，而其他的则通过旋转、对称这些操作术实现；然后，均匀分布的引导 向量使得对偶框架( 或基) 非常容易计算。 在_ 维图像中，蜘( 旷) 是一个三维空_ i h j ，所以，我们至少需要三个引导向量来 设计滤波器。在有些情况f ，我们可能需要四个。下面我们就这些问题做出讨论。 2 5 1 二滤波器 阿先，哉们考虑i 滤波器的情况。前面已经蜕过，o i 导矢：最 a 。，矗：，i ， 应该在二维 窀问t l ，均匀分们。这徽简单，j j 焉让它们j 工相之问的央角为1 2 0 度就可以了。这蚺我们 选择一种特殊情况，选用f 面的引导欠量 非”：= 嘲峥成 b ， 订f 矿一 如l - l - 2 l 。这咀需要指出的足后两个滤波器足关r 横轴足对称的。 二 ， 0 。 n j 图2 - - 2 三滤波器的引导向每( 2 ) 对应的张硅基底 由。 为肉。= f i k ，即 肉，= ：。0 肉：= 一1 j 4 ，4 一, ，g ，4 4 由，= 。i j ，4 4x 。f 3 ，。4 c ：3 s ， 对偶挂如卜 耻，卜= 协谰耻似1 绸亿s 。， 由j 二导引向量均匀分和，对偶基的计算公式极为简单 雨。= 昙由。一；i 其q 。i 为单位矩阵。 2 5 2 四滤波器 事实上，方向张量不仅仅能表示简单局部区域，它还能表示更复杂的结构。为了启 川这些功能，要更好的设计滤波器。这就关系到滤波器的个数的问题，采用多于最小个 数的滤波器能改善滤波结果。比如，在二维情况中，我们采用四滤波器柬改善结果。 四滤波器肘应的引导矢量不能是火角足9 0 度的问隔，那样得到的张量只张成一个二 维，u ，f i 构成3 维空间的框架。这罩我们采用央角为4 5 度的四个方向矢量，如下 卟”：= 陶弩”。= 雠1 b 4 二 久苁 ： l 图2 3 网滤波器的引导向量( 3 ) 对应的j 长量为 潍习n 2 = i i 磁 r 3 = 酬耻h 1 2 - 1 ，1 ：2 卜t ， 需要指出的足，这是张量空间的个框架向不是一组基，用前述的方法求得划偶框架 雨= 3 ：4 0 4 雨：= 。i ，i ，。4 ，1 ，t 4 2 雨，= 一3 ：4 ，0 ，。 g i ，= 。i 一1 ，4 ：- ，i ，4 2 ( 2 4 2 1 当然，山于滤波器引导向量分伽的规律性对于四滤波器也有一个简单的对偶框架计算 公式，即 雨。= 肉。一三i 这样选择滤波器引导向量使得第二、四个滤波器和第、三个滤波器之阳j 存在一个 9 0 度旋转的关系。所以，只需要对曲1 个滤波器进行优化。 将上述方向全部旋转2 2 5 度，我们得到了引导矢量的另一个选择方式，如卜- 图。这 样，第一、二个滤波器关于y = x 对称，第三、叫个关于y = 一x 对称，而第一、四个和第 二、二个郜关于y 轴对称，这样，我们只需要对一个滤波器进行优化。所以可以需要更 少的计算量。 n 3n 2 o 迤硝： 。 九2 情形。 得剑了t 。，我们可以得到解释误差 占= l i 喜 屯： t ；：= f 薹 ；。；：l f 2 = 差霄 蝴j 二| ；醍l l if 式给 【 种 。一i ) 鸳= ( n - i ) 砰( 牟) 2 ( 2 ，4 5 ) 下面我们定义个量来表示解释的有效性。这个选择有很多种，我们选用下面这 一 c = l 一 九 ( 2 4 6 ) 显然0 c 1 。如果t 为秧1 张量，则c = l ；若c = 0 ，则九i = 九2 。所以，c t l 蜕明t 大 致为个秩l 张量，对应一个简单局部。 用c 的定义，式f 2 4 5 ) 可以写成 es ( 一1 ) 砰