(甘志国)过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用.doc

过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用甘志国(该文已发表 中学数学杂志，2012(1)：22-27)1 过定点的动直线的参数方程及参数的几何意义定义1 把射线绕端点沿逆时针方向旋转到射线时所成的最小非负角记作(有).如图1，设动直线过定点，点是动直线上的动点.设.图1当点不重合时，点在以为圆心、为半径的圆上.设以坐标原点为圆心、为半径的圆是，把圆按向量平移后即得圆.又设圆上的点是圆上的点按向量平移后得到的，即.由三角函数定义得，其中(射线的方向是轴的正方向，下同).可得，即 由此，可得过定点的动直线的参数方程及参数的几何意义：定理1 若动点在过定点的动直线上，则可设，其中，当时，(射线与轴的正半轴同向).注 在定理1中(当点不重合时)可得：当时点在的正右方，当时点在的右上方，当时点在的正上方，当时点在的左上方，当时点在的正左方，当时点在的左下方，当时点在的正下方，当时点在的右下方；当时就是直线的倾斜角，当时就是直线的倾斜角.2 关于圆锥曲线的焦半径的几个结论定义2 过圆锥曲线的任一焦点作曲线的过点的对称轴的垂线交于点，把线段叫做圆锥曲线的通径.定理2 椭圆及双曲线的通径长均为，抛物线的通径长为.定理3 设圆锥曲线的一个焦点是，点在曲线上，且(当是双曲线时，还要求这些点在双曲线的同一支上(由此可证：这些点只能同在焦点对应的一支上)，则(其中是曲线的通径长).(2007年高考重庆卷理科压轴题(即第22题)就是定理3中曲线是椭圆且的情形.笔者发表于中学数学(高中版)2007年第11期第33-34页的文章2007高考(重庆卷)压轴题的一般情形中的定理2有误，应把定理2中的“同一支”改成“焦点所在的一支”(理由可见下面定理3(2)的证明)，因为其证明末的“”有误，应为“”，而这又是不可能成立的！)证明定理3，须用到下面的引理3(1)(由引理1立得引理2，由引理2可证引理3).引理1 .(见张远达编浅谈高次方程(湖北教育出版社，1983)第6页.)引理2 .引理3 (1)；(2).定理3的证明 设.不失一般性，可设，得.(1)当是椭圆时，可不妨设，还可不妨设是其右焦点.由定理1知，点的横坐标是，由焦半径公式，得 再由引理3(1)，得(2)当是双曲线时，可不妨设，还可不妨设是其右焦点.点不可能均在左支上：否则，又由题设得，所以，这与题设“”矛盾！因为题设要求“点在双曲线的同一支上”，所以点同在双曲线的右支上.由定理1知，点的横坐标是，由焦半径公式，得 再由引理3(1)，得(3)当是抛物线时，可不妨设，得.由定理1知，点的横坐标是，由抛物线的定义，得 再由引理3(1)，得定理4 (1)过圆锥曲线的任一焦点作弦(当是双曲线时，点要求在该双曲线的同一支上)，则(其中是圆锥曲线的通径长)；(2)过双曲线的任一焦点作弦(且点在该双曲线的两支上)，则(其中是双曲线的通径长).证明 (1)即定理3中时的情形.(2)不妨设是双曲线的右焦点，点分别在该双曲线的右支、左支上，设.由定理1知，点的横坐标是，由焦半径公式，得定理5 设定圆锥曲线的一个焦点是，点在曲线上，且(当是双曲线时，还要求这些点在双曲线的同一支上(由此可证：这些点只能同在焦点对应的一支上)，则定值，定值(其中是曲线的通径长)，具体的情形是： (1)当曲线是椭圆或双曲线时，； (2)当曲线是抛物线时，.证明 先证：若定值，则定值(其中是曲线的通径长).由定理4(1)，得所以 定值下面再证其余的结论.设.不失一般性，可设，得(1)当曲线是椭圆时，可不妨设是右焦点.由定理1知，点的横坐标分别是，由焦半径公式，得 再由引理3(2)，得当曲线是双曲线时，可不妨设是右焦点.由定理1知，点的横坐标分别是，由焦半径公式，得 接下来，全同上面的证明也可得.(2)得.由定理1知，点的横坐标分别是，由抛物线的定义，得 再由引理3(2)，得 证毕！定理6 (1)过椭圆的任一焦点作两条互相垂直的弦，则.(2)过双曲线的任一焦点作两条互相垂直的直线(点均在曲线上)：若焦点同时在弦上，则；若焦点同时不在弦上，则；若焦点在弦上但不在弦上，则.(3)过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则. 证明 只须证明(2)两种情形(由定理5中时的情形，立得其余的情形成立).可不妨设点在双曲线的右支上且分别在轴的上方、下方，点在双曲线的左支上，设，则.由定理1知，点的横坐标分别是. 由焦半径公式，得再由定理4(2)，得即 所以 可不妨设点在双曲线的右支上且分别在轴的上方、下方，点分别在双曲线的右支、左支上，设，则.由定理1知，点的横坐标分别是. 由焦半径公式，得再由定理4，得即 所以 推论 过定圆锥曲线任一焦点的两垂直弦长的倒数和为定值.3 证明一个猜想定理7 设是坐标原点，是曲线上按逆时针顺序排列的个点，且，则.证明 可设，得，所以把这个等式相加，并用引理3(2)，可得欲证. 由定理7立知中学