（统计学专业论文）贝叶斯经济时间序列预测模型及其应用研究.pdf

摘要 在经济领域中，运用时间序列模型来进行客观经济过程的描述和预测是一个非常 重要的方法。然而在实际应用中，由于经济领域的特殊性，传统的频率统计方法进行 经济时间序列模型分析往往会碰到很多困难。因此，本文引入一种新的经济时间序列 模型分析方法一贝叶斯分析方法。贝叶斯分析方法提供了一个更合理的经济时间序列 模型分析框架。 本文主要研究了经典经济时间序列模型的贝叶斯推断理论及其应用，包括自回归 模型( a r ) 、移动平均模型( m a ) 、白回归移动平均模型( a r m a ) 和向量自回归模型( v a r l 的贝叶斯推断理论及其应用。 首先，从最简单的时间序列a r 模型入手，分析了时间序列a r 模型的统计结构及 其条件似然函数，根据似然函数构造了模型参数的共轭先验分布。研究了正态 g a m m a 先验分布情况下模型的贝叶斯推断理论，从统计方法上推导出一步超前预 测的预报分布。并利用w i n b u g s 进行a r ( 2 ) 模型仿真分析。 其次，展开对时间序列m a 模型的贝叶斯分析。从一阶m a 模型入手，分析阶 时问序列m a 模型的数学模型及其条件似然函数；理论上运用条件期望来推导模型参 数的贝叶斯估计，并以此继续进行贝叶斯一步预报分析；尝试进行m a ( q ) 模型的贝叶 斯分析推导；并借用一组用s a s 软件模拟的m a ( 2 ) 序列，通过w i n b u g s 进行其仿真分 析。 同时，以时间序y o a r 模型及m a 模型的贝叶斯分析为基础进行了时间序列a r m a 模型的贝叶斯分析，从分$ ) r a r m a ( p ，q ) 模型的数学结构开始，重点进行t a r m a o ，1 ) 模型的贝叶斯分析；构建了模型的条件似然函数和参数的先验分布，推导其参数的条 件后验密度和边缘后验密度；并借用一组s a s 软件模拟的a r m a ( 1 ，1 1 序列，通过 w i n b u g s 进行仿真分析。 最后，进行了时间序列v a r 模型的贝叶斯分析。主要研究了采用扩散先验分布 下的v a r ( p ) 模型的贝叶斯参数估计，得到模型自回归系数和精度参数后验分布为已知 的标准分布。在数据仿真中，通过借用已有的v a t 实证数据及研究基础，重新运用 贝叶斯分析方法来进行参数仿真分析。 关键词：时间序列；贝叶斯推断：m c m c 仿真；g i b b s 抽样；w i n b u g s a b s t r a c t i ne c o n o m i cf i e l d ，t h et i m es e r i e sm o d e l sa r ei m p o r t a n tm e t h o d si nd e s c r i b i n ga n d f o r e c a s t i n gt h eo b j e c t i v ee c o n o m i cp r o c e s s h o w e v e r ，w h e np u tt h e mi n t oa p p l i c a t i o n ， b e c a u s eo ft h ep a r t i c u l a r i t yo fe c o n o m i cf i e l d ，w eo f t e ne n c o u n t e rm a n yd i f f i c u l t i e si nt h e t i m es e r i e sm o d e l sa n a l y s i sb yu s i n gt h et r a d i t i o n a lf r e q u e n c ys t a t i s t i c a lm e t h o d t h e r e f o r e ， t h i sp a p e rd e s c r i b e sat e c h n i q u e ，e c o n o m i cf o r e c a s t i n gw i t hb a y e s i a nt i m es e r i e sm o d e l s ， w h i c hh a sp r o v e do v e rt h ep a s ts e v e r a ly e a r st ob ea na t t r a c t i v ea l t e r n a t i v ei n m a n y s i t u a t i o n st ot h eu s eo ft r a d i t i o n a le c o n o m t r i cm o d e l so ro t h e r 、t i m es e r i e st e c h n i q u e s t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t ht h ee s t i m a t e dp r o c e d u r ef o rc l a s s i c a lt i m es e r i e s m o d e l su n d e rb a y e s i a ni n f e r e n c ef r a m e w o r k ，a n dt h e i r a p p l i c a t i o n w i t h p o s t e r i o r c o m p u t a t i o n s i s p e r f o r m e db ym a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ( m c m qm e t h o d t h i s i n c l u d e st h eb a y e s i a ni n f e r e n c et h e o r ya b o u tt h ea u t o r e g r e s s i v em o d e l ( a r ) ，t h em o v i n g a v e r a g em o d e l ( m a ) ，t h ea u t o r e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g em o d e l ( a r m a ) a n dt h ev e c t o r a u t o r e g r e s s i v em o d e l ( v a r ) f i r s t l y , w eb e g i n e dw i t ht h es i m p l e s ta rm o d e l ，a n da n a l y z e di t sm a t h e m a t i c a lm o d e l a n dc o n d i t i o nl i k e l i h o o df u n c t i o n a c c o r d i n gt oi t ss t a t i s t i c a ls t r u c t u r eo fl i k e l i h o o d f u n c t i o n ，c o n s t r u c t e dt h e i rb a y e s i a ne s t i m a t i o nu n d e rt h en o r m a l g a m m ac o n j u g a t ep r i o r d i s t r i b u t i o n d e r i v e dt h e f o r e c a s t i n g d i s t r i b u t i o no fa r ( p ) m o d e l sw i t ho n ef u t u r e o b s e r v a t i o n l a s t ，i m p l e m e n t e ds i m u l a t i o na n a l y s i so ft h ea r ( 2 ) m o d e lu s i n gw i n b u g s s e c o n d l y ，w ea n a l y z e dm am o d e lw i t hb a y e s i a nm e t h o d b e g i n i n gw i t ht h ef i r s t o r d e rm am o d e l ，a n a l y z e di t sm a t h e m a t i c a lm o d e la n dc o n d i t i o nl i k e l i h o o df u n c t i o n ； t h e o r e t i c a l l yu s i n gt h ec o n d i t i o ne x p e c t e dm e t h o di n f e r e dt h em o d e lp a r a m e t e r s p o s t e r i o r d i s t r i b u t i o n ，w i t hw h i c hc o n t i n u e dt h es t u d yo ft h ef o r e c a s t i n gd i s t r i b u t i o n ；t h e nm a k e a t t e m p tt ot h ei n f e r e n c eo fb a y e s i a nm a ( q ) m o d e l ；a l s o ，t h r o u g has e r i e ss i m u l a t e db yt h e s a s ，i m p l e m e n t e db a y e s i a nm a ( 2 ) m o d e ls i m u l a t i o nw i t hw i n b u g s f u r t h e rm o r e b a s e do nt h ea n a l y s i so fb a y e s i a na rm o d e la n dm am o d e l w e a n a l y z e dt h eb a y e s i a na r m a ( p ，q ) m o d e la n di t sm a t h e m a t i c a ls t r u c t u r e m a i n l ya n a l y z e d t h eb a y e s i a na r m 1 ，1 ) m o d e l ，a n dc o n s t r u c t e dt h em o d e lc o n d i t i o nl i k e l i h o o df u n c t i o n a n dt h ep a r a m e t e r s p o s t e r i o rd i s t r i b u t i o n t h e nt h r o u g has e r i e ss i m u l a t e db yt h es a s ，w e c a r r i e do u tt h ea r m a ( 1 ，1 ) m o d e ls i m u l a t i o na n a l y s i sw i t hw i n b u g s f i n a l l y ，t h eb a y e s i a ni n f c r e n c ct h e o r ya b o u tv a rm o d e lu n d e rt h e rp a r a m e t e r sp r i o r d i s t r i b u t i o n si s e x p l o r e d m a i n l y s t u d i e dt h e b a y s i a nv a r ( p ) m o d e l u n d e rt h e i i 硕士学位论文 “n o n i n t b r m a t i o np r i o r s ”，w h i c hw er e a c h e dt h ec o n c l u s i o nt h a ti t sp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o ni s i nc l o s e df o r m e x a m p l e sw i t hs i m u l a t e da n da c t u a le c o n o m i cd a t aa r ep r e s e n t e d k e yw o r d ：t i m es e r i e s ；b a y e i a ni n f e r e n c e ；m c m cs i m u l a t i o n ；g i b b ss a m p l i n g ； w i r l b u g s 1 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：关咖舅戋 日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囤。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名 导师签名 洳酬 哲藿讲 日期：年月 日 日期：年月日 硕士学位论文 第1 章绪论 【本章摘要】本章主要论述贝叶斯理论进行时间序列分析的背景、理论与实际意义； 介绍了一种重要的贝叶斯计算方法：马尔科夫链蒙特卡罗法；介绍了本文用到的主要 仿真软件w i n b u g s 及其具体的仿真步骤；最后介绍本文的研究内容安排。 1 1 引言 经济预测是研究客观经济过程未来一定时期发展趋势的科学。它借助于科学的统 计方法论和技术手段，根据客观经济过程的历史演变和发展规律，对未来一定时期内 经济发展的趋势和状况进行描述、分析，并做出估计和判断。其目的在于通过对客观 经济现象的历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以减少不确 定性因素对社会经济活动的影响，为政府和企业制定计划和决策提供科学依据。 正因为经济预测具有如此重要的作用，所以国内外学者对其进行大量的研究，形 成了众多的预测方法。目前，经济预测的方法多达二、三百种，常用的也有几十种。 在我国预测界常用的有直观预测法、判断预测法、技术预测法、回归分析预测法、计 量经济模型预测法、投入产出模型预测法、增长曲线预测法、系统动力学模型预测法 和时间序列分析预测法1 1 6 1 8 3 2 】等等。当中许多预测方法如v a r 等已经被成功的运用 于经济生活当中【9 】。 然而，在经济预测中，仍然存在许多重要的现实问题未能很好的解决f 2 7 】。第一， 许多经济数据相对于其它数据往往很短，并且在有限的数据样本当中常常存在不完整 等数据质量问题。第二，许多经济预测对象复杂的关系并不能简单地进行分析预测， 其关系往往伴随着时间的变化而变化。第三，一般情况下无法让经济预测对像重复运 行来判断模型运行的好坏。 在第一个问题中，在实践当中应用最多的预测方法：随机时间序列预测方法，包 括单变量的a r 模型和多变量的v a r 模型并不能得到很好地运用【5 8 】。如v a r 模型， 它的主要缺点是参数太多，对数据序列样本的要求过大。例如若一个v a r 模型有用 个内生变量，变量滞后阶数为p ，则该模型中共计有蜥2 p + 1 ) 个参数需要估计，即使 对于较小的m 和p ，参数个数仍然会相当大。例如，对于= 5 ，p = 4 的小型v a r 模 型也有1 2 5 个参数，如果样本数据是4 0 年的季度资料，总共有1 6 0 个观测点，则平 均每个参数不到2 个观测点。这种自由度不足的问题会给模型带来严重的影响。 在传统时间序列模型理论体系中，一一般通过三种方法来减少v a r 模型所需要估 计参数个数：第一种方法是减少模型的变量个数；第二种方法是缩短变量的滞后长度： 第三种方法是人为的设定一些参数为零。这些做法自然会改善内样本的过分拟和程 度，但无助于提高外样本估计的精度。因为这种排斥性条件的添加往往与实际数据生 成过程不相符，导致模型结构与经济理论相矛盾。 在第二个问题中，纵使所研究的经济数据资料很长，即存在大样本的情况下，由 于经济结构随着时间的变化而变化，例如政府经济政策的不断调整和该变，过去的资 料与当前资料并不能确定具有相同的结构关系。这样在预测过程当中同样将会存在小 样本即数据资料不足的问题。 第三个问题表明运用传统频率统计方法进行经济预测将很难很好地对经济模型 进行置信区间及假设检验等解释。 在2 0 世纪8 0 年代初，在贝叶斯方法己经被广泛认可及成功地运用于各种统计的 情况下，美国学者l i t t e r m a n i z 7 , 2 8 1 首先引进贝叶斯的方法进行时间序列预测模型分析， 他完整地建立了贝叶斯向量自回归建模技术。贝叶斯统计方法为解决v a r 模型参数 过多的估计提供了一种便利的分析框架，其原则是当参数被断定在某一值( 如零值) 时，使模型参数趋近于这一取向而不是锁定确定值。只要有必要的数据支持，那么这 种办法就可以得到更为精确的估计值。通过这种方法可以获得许多复杂传统预测模型 同样的精确的预测结果，甚至更佳。并且与基于频率统计理论的时间序列模型相比用 贝叶斯的方法进行时间序列模型分析还具有其独到的特点 3 7 ：第一，它的方法更为普 遍，能运用到更加广泛的统计领域中。第二，它允许合理地利用先验信息，而因此更 为直接，明确地分析具体问题。第三，这种方法得到的结果不仅仅是一个预测值，它 是一个完整的未来经济结果的概率分布，这种预测方法比其它预测方法产生的结果更 为真实有用。第四，它相对于传统的统计方法能更明确合理地处理不确定因素问题。 然而，在实际问题运用中，运用贝叶斯分析方法估计模型参数还是有限制的，这种限 制是由于估计参数的增加带来的计算困难，而不是传统方法的自由度不足。 贝叶斯计算主要集中在二次损失函数设定下的后验期望计算上，这种计算需要进 行从一维甚至到上千维的积分。计算后验分布期望的传统数值计算方法有数值积分、 拉普莱斯近似计算和蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 重要抽样等m ” 。蒙特卡罗法重要抽样 是计算后验分布期望最常用的方法。这种方法可以计算维数很大的问题，并且有着很 高的计算精度。目前，马尔科夫链蒙特卡罗( m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ，简记m c m c ) 方法已经成为一种主要的贝叶斯计算方法【”1 7 1 9 1 。一方面是由于它处理复杂问题的效 率非常高，另一方面是因为它的编程方法相对容易。目前，在贝叶斯分析应用中最为 广泛的m c m c 方法主要有g i b b s 抽样( g i b b ss a m p l e r ) 方法和m e t r o p l i s h a s t i n g s 方 法。m c m c 的研究对推广贝叶斯方法的应用开辟了广阔的前景。 贝叶斯时间序列预测方法是统计学中具有重要理论意义和实用价值的国际前沿 性课题。在国外，尤其是欧美国家，学者对贝叶斯经济预测方法的研究起步较早。二 硕士学位论文 十世纪七十年代，美国著名的统计学家z e l l n e r ”。3 i 教授研究了计量经济学中的贝叶 斯理论，包括回归模型、完全递归模型和分布滞后模型的贝叶斯方法研究；二十世纪 八十年代，美国学者l i t t e r m a n 【2 8 】利用贝叶斯方法，对m i n n e s o t a 州的生产总值等七个 指标进行预测，并取得了很好的效果；此后，贝叶斯方法在商业经济预测和政府宏观 经济预测的研究逐年增多，如w e s t “1 研究了动态经济计量模型的贝叶斯理论，b e w l e y 和g r i f f i t h s 4 l 研究了对数扩散模型的贝叶斯预测方法：k a s u y a 和t a n e m r u a 2 2 】利用后验 信息准则和m o n t e c a r l o 方法研制了一个小型的贝叶斯日本经济预测模型，p h i l l i p s l 3 7 】 运用贝叶斯方法对澳大利亚宏观经济时间序列进行了模型构建和预测。其他学者，如 a m i s a n o “、k o o p l 2 “、k e n n y l z 3 i 以及h 0 1 d e n f ，o 】等人也有相关的研究成果。 在国内，我国学者对贝叶斯统计推断理论与方法的研究相对较晚，并主要集中于 贝叶斯方法的可靠性领域中的应用研究，并取得了一系列的成果【5 ”。但是，从总的 情况来看，尤其是与西方国家相比较，贝叶斯统计在我国的应用与发展尚属于起步阶 段。这主要有以下几个方面的原因：首先在国内，目前绝大多数的统计专著或学术论 文大多采用频率学派的观点，严密系统地论述贝叶斯方法的文献很少，贝叶斯方法还 不为大家所熟悉；其次，计算复杂，特别是在高维数据分析问题中尤其如此，缺乏相 应的软件支撑，这妨碍了贝叶斯方法在实际问题中的应用。 开展本课题的研究，不仅可以研制新的预测方法，开辟贝叶斯统计研究的新领域， 而且也有利于缩短我国学者在贝叶斯理论研究与国外的差距，同时对推动贝叶斯分析 方法在实践中的应用也具有十分重要的意义。 1 2m c m c 方法与g i b b s 抽样 m c m c 方法是一种特殊的蒙特卡洛方法，它将随机过程中的马尔科夫过程引入 到蒙特卡洛模拟中，从而实现动态模拟( 即抽样分布随模拟的进行而改变1 。本质上， m c m c 方法是使用马尔科夫链的蒙特卡洛积分。基于贝叶斯推断原理的m c m c 方法 主要用于产生后验分布的样本，计算边缘分布以及后验分布的矩。 设七维随机向量u = 。，u ) 具有联合分布玎( 【，一，u 。) ，在贝叶斯统计应用 中，u 。为模型参数或缺失观测值，玎( ) 为后验分布。对于感兴趣的函数h e r ) 的数学 期望为： k ( v ) = f h ( u ) x ( u ) d u( 1 1 ) 实际中， ( u ) 往往形式复杂难于计算，此时采用蒙特卡洛积分进行近似，即： 陆( u ) 。三岁 ( u ( r ) ( 1 2 ) n 胃 当u - ，u 。相互独立时，由大数定律知，样本容量，z 越人，其近似程度越高。但在很 多复杂模型中，不能简单地对u 。，u ；做出相互独立的假设，这就需要使用马尔科 夫链蒙特卡洛模拟方法。 马尔科夫链( m a r k o vc h a i n s ) 是随机过程中最简单，应用也最多的一种模型。对于 随机序列 口，t e t ，若臼。状态取值的概率，当且仅当与前一口，的状态有关的，我们 称之为马尔科夫链。即 p ( g + l e a l 0 。，0 ，) = p ( q + 1 a 1 0 ，) ( 1 3 ) 其中a 表示口，的状态空间，丁通常表示时间刻度。 m c m c 方法的基本思想是：建立一个马尔科夫链对未知变量u 。进行模拟，当链 达到稳态分布时即得所求的后验分布。随机点u 。来自于分布玎p ) ，由不同的抽样方 法得到了不同的m c m c 方法，如m e t r o p o l i s h a s t i n g s 方法、g i b b s 抽样方法以及各种 复合方法。 g i b b s 抽样是最简单也是应用最广泛的一种抽样方法，同时也是w i n b u g s 软件 的基础，其本质上是m e t r o p o l i s h a s t i n g s 方法的一种特例。在上述假设条件下，令u ； 代表一种随机变量或同组的几个随机变量；第j 组变量的边缘分布为h u ，) 。在给定 其余变量的情形下f ( u f u l j 一，u j - l u + 1 ，u 。) 代表了全条件分布密度。给定任意初 始向量u ( o ) = f “，u f o ) ，g i b b s 抽样的第一次迭代如下： u f l ) f ( u 。v “，u f 0 ) u 卜f ( u 2u o ) u 。( ”，u ) ： u 尹一f ( u ，u p ，u j n i ，【，盟，【，f o ) u i ) 一f ( u 。己，f ”，u 尹，u n 1 ) 由上完成了一次g i b b s 迭代过程，即完成了由u ( o ) n u ( 1 ) = ( u f ”，v ) 的转移。经 过t 次迭代，可以得到u ( ) = n ，u ) ，并最终得到u ( ”，u ( ”，u ( ”，。由不同的 u ( o ) 出发，马尔科夫链经过一段时间的迭代后，可以认为各时刻u ( 。) 的边际分布为平 稳分布，此时它收敛。而在收敛出现前的m 次迭代中，各状态的边际分布还不能认为 是z ) ，因此在估计引 ( u ) l 时应将前m 个迭代之去掉，即： e 防) aj 一罗 )( 1 4 ) n 一 l t - 葛n + l 在手工计算情况下，用g i b b s 抽样的m c m c 方法进行参数的后验分布估计将是 非常复杂的，因此需要利用专门的仿真软件。 1 3w i n b u g s 软件包 w i n b u g s ( b a y e s i a ni n f e r e n c eu s i n gg i b b ss a m p l i n g ) 是由英国的i m p e r i a lc o l l e g e f f i m r c ( m e d i c a lr e s e a r c hc o u n c i l ) 联合开发的用m c m c 方法进行贝叶斯推断的专用 软件包。使用w i n b u g s 可以很方便地对许多常用的模型和分布进行g i b b s 抽样，编程 者不需要知道参数的先验密度或似然的精确表达式，只要设置好变量的先验分布并对 所研究的模型进行一般性的描述，就能很容易实现对模型的贝叶斯分析，而不需要复 杂的编程【2 9 4 3 粥1 。在w i n b u g s 中可以使用有向图模型方式( d i r e c t e dg r a p h i c a lm o d e l1 对模型进行直观的描述，也可以直接编写模型程序，并给出参数的g i b b s 抽样动态图、 , 用s m o o t h i n g 方法得到的后验分布的核密度估计图、抽样值的自相关图及均数和置信 区间的变化图等，使抽样结果更直观、可靠。g i b b s 抽样收敛后，可以得到参数的后 验分布的平均值、标准差、9 5 置信区间和中位数等信息【4 4 i 。 具体应用w i n b u g s 进行数值仿真时，仿真过程可以分为以下五个步骤： f 1 、程序的编写。主要包括三部分内容：模型构建、数据导入和参数初始值的设 定。在模型构建中，主要包括构建贝叶斯统计模型，设定各参数的先验分布形式及各 参数之间的关系等。在数据导入中，通常用l i s t 指令作为起始，列出各参数的样本观 察值及样本的个数。在参数初始值的设定过程，同样运用l i s t 指令，列出各参数的起 始值。 f 2 1 程序的执行。主要包括程序的语法检查( c h e c k ) 、数据的载h ( 1 0 a dd a t a ) 、模型 的编译( c o m p i l e ) 和初始值的载) k ( 1 0 a di n i t i a lv a l u e s ) 。 ( 3 ) 参数的监控( m o n i t o r ) 。设定我们感兴趣的参数。 ( 4 1 模型的迭代( u p d a t et h em o c e l ) 。设定模型迭代的次数，通常先设置模型的预 迭代次数使马尔科夫链达到一个平稳态。 ( 5 ) 显示后验参数仿真数值。为降低起始值的影响，选取返回后较为稳定的资料， 因此在分析时常常需要丢弃( b u r ni n ) 前面较不稳定的资料。这个步骤里，我们就可以 得到各参数的后验分布抽样及统计推断结果。 1 4 本文的研究内容安排 考虑到国内外学者现有的研究现状、已有的研究基础，本学位论文主要应用贝叶 斯分析方法研究四类经典时间序列模型：a r 模型、m a 模型、a r m a 模型及v a r 模型， 以及这些模型的贝叶斯仿真分析。全文分为六章，各章的研究内容安排如下： 第1 章：绪论。本章主要论述贝叶斯理论进行时间序列分析的背景、理论与实际 意义：介绍了一种重要的【j _ ! 叶斯计算方法：马尔科夫链蒙特卡罗法：介绍了本文用到 的主要仿真软件w i n b u g s 及其具体的仿真步骤；最后介绍本文的研究内容安排。 贝叶斯经济时间序列预测模型及其应用研究 第2 章：时问序列a r 模型的贝叶斯分析。本章分析了时间序列a r 模型的统计结 构及其条件似然函数，根据似然函数的构造了模型参数的共轭先验分布。研究了正态 一g a m m a 先验分布情况下模型的贝叶斯推断理论，包括模型自回归系数和精度参数 后验分布的统计推断、二次损失函数下参数的贝叶斯估计；然后，从统计方法上推导 出一步超前预测的预报分布；最后，利用w i n b u g 软件包进行仿真分析。 第3 章：时间序列m a 模型的贝叶斯分析。本章从时间序列一阶m a 模型入手，首 先分析推导了一阶时间序列m a 模型的数学模型及其条件似然函数；理论上运用条件 期望来推导模型参数的贝叶斯估计，并以此继续研究了贝叶斯一步预报分析；然后尝 试进行t m a ( q ) 模型的贝叶斯分析推导；最后，借用一组用s a s 软件模拟的m 刖2 ) 时 间序列，通过w i n b u g s 软件包进行其仿真分析。 第4 章：时间序列a r m a 模型的贝叶斯分析。本章以前两章所做的时间序列a r 模 型及m a 模型的贝叶斯分析为基础进行了时间序列a r m a 模型的贝叶斯分析，从分析 a r m a ( p ，q ) 模型的数学结构开始，重点进行t a r m a ( 1 ，1 ) 模型的贝叶斯分析；构建了 模型的条件似然函数和参数的先验分布，推导其参数的条件后验密度和边缘后验密 度；在数据仿真分析中，借助一组s a s 软件仿真的序列，通过w i n b u g s 软件包进行 其模拟分析。 第5 章：时间序列v a r 模型的贝叶斯分析。本章主要研究了时间序列r ( p ) 模型 的贝叶斯分析。推导了采用扩散先验分布下的w m f 们模型的贝叶斯参数估计，得到模 型自回归系数和精度参数后验分布为已知的标准分布。在数据仿真中，通过借用已有 的v a r 实证数据及研究基础，重新运用贝叶斯分析方法来估计参数；分析过程中运用 了w i n b u g s 软件包进行仿真分析。 第6 章：全文的总结与展望。本章将对学位论文的研究内容、创新之处和进步 研究展望作一个概括性的总结。 硬土学位论文 第2 章时间序列a r 模型的贝叶斯分析 【本章摘要】本章分析了时间序列a r 模型的数学模型及其条件似然函数，根据该似 然函数的统计结构构造了模型参数的共轭先验分布。研究了正态g a m m a 先验分布 情况f 模型的贝叶斯推断理论，包括模型自回归系数和精度参数后验分布的统计推 断、二次损失函数下参数的贝叶斯估计；然后，从统计方法上推导出一步超前预测的 预报分布；最后，利用w i n b u g 软件包进行仿真分析。 2 1 引言 如果个系统在f 日_ j 刻的响应，与其以前时刻卜1 , t 一二的响应r 。存在 着一定的相关关系，而与其以前时刻f 一1 ，f 一互进入系统的扰动。，f 。，无关，那 么，这一类系统称为自回归系统( a u t o r e g r e s s i o ns y s t e m ，简称a r 系统) 。 在时问序列模型体系巾，时间序，i a r 模型的应用最为广泛，它是自回归移动平 均序列模型的一个特殊情况。 在现有的时间序列模型理论体系中，a r 模型参数估计方法主要有l s 估计和 y u l e - w a l k e r 估计，这些方法的一个主要缺点是没有考虑模型参数本身的信息。近年 来，随着贝叶斯统计理论的发展和不断完善，贝叶斯时间序列预测模型的研究得到了 长足进展，并在实践获得了广泛应用。1 9 9 0 年，h o l d e n l 2 嘶l 用贝叶斯a r 模型研究 了英国经济的电力消费需求与价格预测问题，1 9 9 4 年，p h i l l i p s ”1 根据1 9 5 9 年到1 9 8 7 年的季度统计数据建立了澳大利亚宏观经济预测的贝叶斯a r 模型；此外，k a s u y a l 2 2 1 建立了用于日本经济预测的贝叶斯a r 模型，该模型包括居民消费价格指数等8 个宏 观经济指标，k e n n y 2 ”利用贝叶斯a r 模型分析了爱尔兰的通货膨胀问题。 本章主要研究正态g a m m a 共轭参数先验分布情况f ，a r ( p ) 模型的贝叶斯分析 【“】，包括模型参数后验分布的统计推断、贝叶斯估计和模型的预报分析；并结合具体 数据进行了_ 时间序列a r ( 2 ) 模型的贝叶斯仿真分析。 2 2 a r 模型的贝叶斯推断 若模型中的随机变量设为，则它的a r ( p ) 模型为 一= o y , 1 + o y , 2 + + o y , 。十f ，f = l 2 ，”( 2 1 ) 此处随机误差项c ，s ：，s 。相互独立，并h 均服从一态分布u ( o ，t 。) ，r ，0 为模型 此处随机议差项，2 ，f 。相互独立，并目均服从正态分布n ( o ，t 。1 ) ，t ，0 为模型 第2 章时间序列a r 模型的贝叶斯分析 【本章摘要】本章分析了时间序列a i r 模型的数学模型及其条件似然函数，根据该似 然函数的统计结构构造了模型参数的共轭先验分布。研究了正态g a m m a 先验分布 情况下模型的贝叶斯推断理论，包括模型自回归系数和精度参数后验分布的统计推 断、二次损失函数下参数的贝叶斯估计；然后，从统计方法上推导出一步超前预测的 预报分布；最后，利用w i n b u g 软件包进行仿真分析。 2 1 引言 如果一个系统在t 时刻的响应，与其以前时刻t 一1 , t 一2 ，的响应r 。e 。存在 着一定的相关关系，而与其以前时刻t 一1 ，t 一乏进入系统的扰动。，。，无关，那 么，这一类系统称为自回归系统( a u t o r e g r e s s i o ns y s t e m ，简称a r 系统) 。 在时间序列模型体系中，时间序歹, j a r 模型的应用最为广泛，它是自回归移动平 均序列模型的一个特殊情况。 在现有的时间序列模型理论体系中，a r 模型参数估计方法主要有l s 估计和 y u l e w a l k e r 估计，这些方法的个主要缺点是没有考虑模型参数本身的信息。近年 来，随着贝叶斯统计理论的发展和不断完善，贝叶斯时间序列预测模型的研究得到了 长足进展，并在实践获得了广泛应用。1 9 9 0 年，h o l d e n t 2 嘶0 用贝叶斯a r 模型研究 了英国经济的电力消费需求与价格预测问题，1 9 9 4 年，p h i l l i p s l 37 l 根据1 9 5 9 年到1 9 8 7 年的季度统计数据建立了澳大利亚宏观经济预测的贝叶斯a r 模型：此外，k a s u y a i ”1 建立了用于日本经济预测的贝叶斯a r 模型，该模型包括居民消费价格指数等8 个宏 观经济指标，k e n n y t 2 3 】利用贝叶斯a r 模型分析了爱尔兰的通货膨胀问题。 本章主要研究正态g a m m a 共轭参数先验分布情况下，a r ( p ) 模型的贝叶斯分析 ，包括模型参数后验分布的统计推断、贝叶斯估计和模型的预报分析；并结合具体 数据进行了时问序列a r ( 2 ) 模型的贝叶斯仿真分析。 2 2 a r 模型的贝叶斯推断 若模型中的随机变量设为，则它的a r ( p ) 模型为 r = 臼z i 一，十臼2 一z + + o f f , ，十s ，f = l 2 ，。，h ( 2 1 ) 此处随机误差项s 。，：，s 。相互独立，并且均服从正态分布n ( 0 ，f 。1 ) ，r ) - 0 为模型 贝叶斯经济时间序列预测模型及其应用研究 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! g ! ! ! ! ! ! ! ! ! 自! ! 误差项s 。的精度，即方差的逆，o l , o z ，0 ，为模型的自回归系数，p 为模型的阶；若 给定序列初始值y 。，y 。，y 。，则对于给定的一一。= ) 。，r 一：= y 一，一，一y 卜p ，此 时随机变量服从正态分布，即 叱i v , 一1 ：y , - a , y t 一2 = y h ，r 一，= y , - p ) n ( 0 1 + 臼2 y m + + 日p y 呻，f 。) ( 2 2 ) 若将该条件分布的密度函数记为，z 雠。矗，( y ，ly t - 1 y 一，y 即；口，f ) ，则模型的条 件似然函数为 三( 日，f ) 2 ，f i 。f e s , e 2 z 一，( _ ) ，ly t i ，y t - 2 y 一，；口，百) ：f l ( 丢) e x p 一吾 y ，一( q y 。+ t 一+ 日，y 。) 】2 t = l 饼 z = 秀) n 2e x p t 舡一( o l y “+ 圳批) 】2 ) = 秀) “2 唧 一7 7 刍ny ，2 + 砉( 羞。：y “) 2 2 磊 与po j y ，y 一】 = 岛胎x p 吒z - l 言n ) ，r 2 期1 a o 捌7 咖 ( 2 3 ) 此处 五= ( n f ) 。，= 羞) ，以，e = ( c 1 ，c 2 ，c ，) 1 ，c j2 薹_ ) ，日2 ( 0 1 , 0 2 ，巳) 7 若去掉与模型参数徊，r ) 的无关项，则上述似然函数可以简化为 l ( o ，f ) z 百班e x p 一三 兰y ；+ 8 1 五日一2 0 7 e 】) ( 2 4 ) 二t = l 不难看出，模型似然函数的结构具有正态一g a m m a 分布密度函数核的形式口“，而正 态一g a m m a 分布的共轭分布仍为正态g a m m a ；q ) f f 自- ，因此选择正态g a m m a 分布作为 模型参数的先验分布，即对于给定的百，参数日的先验分布为正态分布，而精度参数 f 的先验分布n g a m m a 分布，即 刀( 日，f ) ；玎( 日if ) 玎p ) ( 2 5 ) 其中 玎( 日i 百) “t f 2e x p 一三( 日一肛) 7 q ( o p ) ) 1 删科- l c 一市 。 此处“r ，q ) ，0 ，卢，0 。记，：( y ，y ，y 。) 1 ，根据贝叶斯定理，参数( 臼，百) 的联 硕士学位论文 合后验分布密度函数与参数先验分布罾厦凼数、模型似然函数二者的乘积成正比，即 n p ，r l y ) * “p ，d l ( o ，刁 “r “驯“e x p - 2 1 2 f l + p p ) 1 q ( o 一肋】 f n 2 e x p i 哇y j + 日1 五8 2 0 7 自 “r 舭驯2 1e x p - 2 0 1 伍+ q ) o 一2 0 f + 泓) + 2 卢+ 薹y ；+ p 如 ) * 百“删2 1 e x p - 2 0 7 晤+ q ) 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