（概率论与数理统计专业论文）二维破产理论中的若干问题.pdf

摘要 破产理论是现代风险理论的核心内容之一，也是当前风险理论研究的热点。 本论文致力于研究二维风险模型的破产理论中的相关衄题。 与经典的破产理论只考虑一维的情况相比，多维风险模型无疑能更准确、更 客观的反映保险公司的经营状况，从而有着更为广阔的应用前景。但是除了c h a r t w s y a n gh l & z h a n gl z ( 2 0 0 3 ) 等少数几篇论文外，多维风险的破产理论研究 并不多。原因之一就是多维的风险模型在数学上的处理是非常复杂的。本论文的 第一部分首先在一维经典风险模型的基础上考虑利息因素，建立新的二维风险模 型，定义了三类破产概率，然后分别给出了它钒的界。 对经典风险模型的另一个重要的拓展是s p a r r ea n d e r s e n 考虑了一种理赔发 生作为一般更新过程的情况。除了纯粹的数学上的突破外，a i 触l l 的贡献还在 于假定理赔之间是“感染的”，即允许考虑非p o i s s o n 的理赔到达。d i c k s o n h i p p ( 1 9 9 5 ) 证明了如何将用于导出古典风险模型一些结果的方法同样应用于导 出一类理赔发生作为一般更新过程的风险过程，特别是e r l a n g ( 2 ) 风险过程，在个 体理赔额分布为p h a s e - t y p e 分稚的情况下，他们得到了破产概率、生存概率的显 示解。本论文在第二部分首先在索赔间隔是e r i a n g ( 2 ) 分布的一维风险模型的基础 上，利用另一种方法得到了当索赔颧是p h a s e - t y p e 分布时的明确解，随后将其扩 展并建立新的= 维风险情形。然后通过定义三类破产概率，分别给出了它们的界。 关键词：风险模型，破产概率，利息率， 复合泊松分布，复合几何分布 a b s t r a c t r i l i nt h e o r yh a sa l w a y sb e e nav i t a lp a r to fm o d e mr i s kt h e o r y , a n di ti so n eo ft h e p o p u l a rt o p i c so f t h e r i s kt h e o r y t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ed e v e l o p m e n to f t h er u i n t h e o r yf o rt h et w o - d i m e n s i o n a l r i s km o d e l c o m p a r i n gw i t hc l a s s i c a lr u i nt h e o r yi nw h i c ht h ef a c to fo n e - d i m e n s i o n a lh a sb e e n c o n s i d e r e d , t h em u l t i d i m e n s i o n a lc a l lr e f l e c tt h eb u s i n e s so f t h ei n s u r a l l c ec o m p a n y n l o l 陀a e e t n - a t c l y b e c a u s eo f i t sc o m p l e x i t yi nm a t h e m a t i c s , o n l yf e w 珥i p 盯s s u c ha s c h a r tw s y a n gh l & z h a n gl z ( 2 0 0 3 ) h a d 击s e u s s e dt h et o p i c1 1 i i d e l t h em o d e l r u i nt h e o r yu n d c tm u l t i d i m e n s i o n a lr i s km o d e l si s v e r yc o m p l e x e v e ni nt h e t w o - d i m e n s i o n a lc a s e t h ep r o b l e mi s c h a l l e n g i n g r u i np r o b a b i l i t i e sw i t hi n t e r e s t f o r c ea b o u tt h ec l a s s i c a lr i s kt h e o r y 眦p r e s e n t e di nt h ef i r s tp a r to ft h ep a p e ra n d e x t e n d e dt ot w o - d i m e n s i o n a lr i s km o d e l b a s e d0 1 3 t h en e wr i s km o d e l w ed e f i n e t l e ek i n d so f r u i np r o b a b i l i t i e sa n dg e tt h e i rs i m p l eb o l m d s n 忙r i s kp t o c l o $ $ i nw h i e l ac l a i ma r r i v a li san o r m a lr e n e w a lp r o c e s st h a tf i r s tw a s i n t r o d u c e db ys p a r r ea n d e r s e ni sa n o t h e ri m p o r t a n tg e n e r a t i o nf o rc l a s s i c a lr i s k p r o c e s s e s e x c e p to f t h ep r o g r e s so ft h em a t h e m a t i c a lt e c h n i c a l ，a n d e r s e ns u p p o s e d t h ec i a i 皿ba i i n f e c t e d , i e i r a , m i t r e dt h ee o m i d e r a t i o no f n o n - p o i s s o nc l a i ma r r i v i n g d i e k s o n h i l , p ( 1 9 9 8 ) d e m o n s l r a t e d r i s kp r o c 船$ i nw h i e l ac l a i ma r r i v i n gi san o r m a l r e n e w a l p r o c e s sb y t h em e t h o do f d e d u c i n gt h ec l a s s i c a lr i s k m o d e l ，e s p e c i a l l ye r l a n g ( r i s kp r o c e s s u n d e rt h es i t u a t i o no f c l a i m d i s t r i b u t i o ni sp h a s e - t y p e ，t h e yo b t a i n e d t h e e x p l i c i t s o l u t i o n sf o rr u i n p r o b a b i l i t y a n ds u r v i v a l p r o b a b i l i t y f i r s t l y , w e i n t r o d u c eo n e - d i m e n s i o n a lr i s km o d e li nw t a i e hc l s i d 1i n t e r - a r r i v a lf i l l i e sh a v eo j l l e r l a n g ( 2 ) d i s t r i b u t i o n i nt h cs e c o n dp a r to f t h i s p a p e r s e c o n d l y , w ea p p r o a c he x p l i c i t s o l u t i o n sf o rr u i np r o b a b i l i t yi nw h i c hc l a i m sh a v e p h a s e - t y p ed i s t r i b u t i o n a tl a s t , w ec o n s t r u c tal 】t c wt w o - d i m e m i o n a lr i s km o d e l d e f i n et h r e ek i n d so f1 1 1 i n p r o b a b i l i t i e sa n dg e t t h e i rs i m p l eb o u n d s k e yw o r d b ：r i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y , i n t e r e s tf o r c e ，p h a s e - t y p ed i s l t i b u t i o n ， e r l a u g ( 2 ，1 3 ) d i s t r i b u t i o n ，c o m p o u n dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ，c o m p o u n dg e o m e t r i c d i s l r i b u t i o n 蓝彦姐硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 韩天雄教授华东师范大学 主席 周斌副教授华东师范大学 汤银才副教授华东师范大学 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校田书馆被查阅。有权将学位论文的内容绩入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名蝴蝤 日期：趔呈芝岁 导师 日期： 第一章带利率的二维风险模型下的破产概率 摘要：本文在经典风险模型的基础上，扩展到二维的情况，并加入利率 因素，建立了一个二维的风险模型，使整个模型更符合实际应用。定义了三类有 现实意义的破产概率，得出了它们简单的界。 关键词：风险模型，破产概率，利息率 i i 引言 自从经典的c r a m e r - l u n d b e r g 风险模型建立以来，许多学者在此基础上进行 了许多推广，我们首先介绍带利率的一维风险模型。考虑一个保单，n ( o 表示在 【o ，f 】内所发生的索赔次数，y 。表示第i 个索赔的索赔额，并假定( n ( t ) ，t o ) 是一个强度为丸的泊松过程。y ，i - - 1 2 , 3 是独立同分布的，其分布函数为f ，且 ( y 。) 与( n ( t ) ，t o ) 也独立。 设剐是发生在【o ，f 】上的索赔总额，即 v i t ) x ( t ) = y ， i = i 在这组保单中，保费连续的以常值率p 接收，除了保费收入外，保险公司还 接收以常值利率j 的盈余的利息。 设u 。( t ) 表示时刻t 的盈余的值，由上面的假定，可以得到 d u 5 ( t ) = p d t + u 5 ( t ) + 艿d t d ) ( ( t ) ， 即 u 6 ( t ) = u e 。+ p 吾铲一j e 州h 1 d x ( v ) ，其中l l _ u ( o ) ，( 1 1 ) 耻j 鼢- i f t 挈 f m 加 i 占卸 1 2 带利率的二维风险模型的建立 与( 1 1 ) 相类比，u j ( t ) 、u 、p 、x ( v 均表示一个向量。令n m 表示 o ，f 】之间的 索赔数。在这篇文章中，我们要考虑的二维风险模型为： ( 笼跚制“( 黔f ( ” 其中x l 妒k ， j = l ，f ) x ：( 垆场 = 1 ( 2 1 ) 对固定的i ；l 或2 ， y fj 2 1 ，2 是独立同分布的，为简单起见，我们假定( y ，。 j = 1 , 2 ) 和( y 2 ，j 2 1 ，2 ) 也是独立的，而且他们都与n ( t ) 独立。 1 3 定义三类破产概率 一个自然的问题就是如何计算模型( 2 1 ) 中的破产概率在多维风险模型中， “破产”的概念有很多不同的意义和解释，在这篇文章中，我们考虑如下3 种类 型的破产时间： t 曲2 i i 迟t im i n u 1 5 ( t ) u 2 。5 ( t ) ， t 一= i n “t lm a x u ( t ) u 2 ，( t ) ) d ) ， t 一= i n f t fu 1 6 ( 妒u 2 , 8 ( c ) o ) 对应于不同的破产时闻，相应地破产概率可以表示为： q 耋( u l ，u 2 ) _ p t n 刮1 j ( o ) ，u2 ，j ( o ) ) = u i , l i2 ) ) ， 咝( u l ，u 2 ) = p t 一( i ( u 1 f ( 0 ) ，u 2 5 ( o ) ) 气u l ，u 2 ) ) ， 甲盘( u l ，u 2 ) = p t 洲 。o i ( u i ( o ) ，u2 矗( 0 ) ) = ( 1 i t , l 1 2 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 s ) ( 3 6 ) l 口订( ( 揖 扭 嘶 叫 一 d p p ，j，i ，。l 注意到t 。、t 一、t 。有很自然的解释。例如 t 。 m ) 表示 u ”( t ) ，i i l ，2 ) 中未来至少有一个小于零；( t 一 m ) 则意味着在未来某个时刻( u 。( t ) ，i = l ，2 ) 同时小于零：而 t 一 m ) 则隐含着未来一次或多次的( u 膳( t ) ，i _ 1 ，2 ) 中的 某个小于零。 我们为什么要讨论这种二维的带利率的风险模型呢? 事实上，它是有实际应 用背景的，一个很自然的例子是汽车险。当一种交通事故发生的时候，这时会引 起汽车的破损，同时也会引起人身的意外伤亡。所以说，在( 3 4 ) - 0 6 ) 中所定义 的破产概率对保险公司的管理提供了有用的信息。理论上，我们能扩展模型f 2 1 1 式到更高维的情形( 如n 3 ) ，但是即使在双变量的情形下，我们讨论破产概率 也有很多困难，这篇文章中，我们只考虑n = 2 的情形。 1 4 三类破产概率界的研究 首先给出一个不等式，它是用来得到p ( t * ) 的上界的，另外，还得 到( t m ) 的一个明确的表达式。设t l = i n f ( t i u l ，艿( t ) o ) ， t 2 = i n f t l u 2 ，占( t ) o ) 是单个带利率的风险过程u 。一( t ) 、u2 d ( t ) 的破产时间。 相应的，一，j ( u ，产p 仃1 0 ，v t o ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 接下来，我们考虑一个如下的重要引理，证明参见c h a r tw s 。y a n gh l & z h a n g l z ( 2 0 0 3 ) 。 4 弓 理4 1 ：给定两个实数x 。、x ：，则它们都严格为正当且仅当对任意严格正的实 都有口z ， o 。 2 事实上，我们也可以要求a 。) o i = l ，2 且q = 1 则，由引理可知 坪l p ( t 一= ) = p u 1 , 8 ( t ) 如，u 2 , 6 ( 妒乜v t - 0 = p ( a i u l ，子( t ) + a 2 u 2 。a ( o o ，v t _ 0 , v ( a l a 2 )( 4 5 ) 2 这里( a 。，a 2 ) 表示a j o ，i - l ，2 且q = 1 定义一类参数为a _ 如la ：) 的一维风险模型( u 。( t ) ) u 。( 妒诅l u i , 8 ( t ) + a 2 u 2 , 8 ( t ) = ( a l u l + a 2 u 2 ) e 母+ ( a 1 p l + a 2 p2 ) i 竽 一j e 即”d ( a 。x 1 ( 咿a ：x ：( v ) ) 由单个风险过程( u 。( t ) 滓1 ，2 ) 的假定很容易看出， ( 4 6 ) t u 。j ( t ) ) 的初值为a l u l + a 2u 2 ，保费收取率为a l p l 4 - a 2p 2 ，到时刻t 的总的 索赔额为a 1x i ( 卅a 2 x2 ( t ) 、王，。( a l i i i + a 2 u 2 冲 t o , a o o u d ，( 垆a l u l + 8 2 u 2 ) 则有 p ( t i n 。m ) _ p t 。# 2 ，v ( a 1 a 2 ) s i 学p t 。d 。 ， p ( t m 。) 1 哆p t a f = o o ) 2 警p t o 万 ”) ， 同理p ( t 一 ) 冲 u l ，子( 岬，u 2 ，占( t ) o对某伽) = p a l u l ，艿( t ) + a 2 u 2 ，j ( t ) o 及所有的( a l ，a 2 ) = pn 对所有的( a l ，a 2 ) s i 学p t 。， 0则 p h ( c t , b ) 是一个超级指数分布：。a k e x p ( & ) 。 引理2 1 指数矩阵函数麟p a 蛾) 在全体实数域内是可导的t 且 d e x p - ( h a ) = a e x p ( h a ) = e x p ( h a ) a ( 2 2 ) a t 证明：我们有： e x p ( ( h + h ) a ) - e x p ( h 一) ：垡! ：2 ：二皇：竺 鲁h h ! = 宝n f f i ! 曲“鲁州扣，鲁 一 趟 怠”一 开! 这里由弦i - t ) = a e x p ( t b ) e 2 a ( 2 9 ) 证明显然，( 缈t ) = 气x ( t ) 0 ) ， 因此p ( 和t ) = p ( x ( t ) o ) = q - 肋御 又已知e x p 鼢( 。，一。三扣，。：0 ) ) 由( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 8 ) 得证。 引理2 4 如果b 是一个s u b i n t , m s i t y 矩阵，则对每个i = l ，f e 。q b ) = 却，或者r ( 0 。( b ) v 0 。( 注：0 ，0 印是矩阵b 的特征根) 证明：设b 是一个s u b i n t c n s i w 矩阵，c m a x 摇昱( 一b 。) ，则b = b + c i 是非负矩阵， 因为0 ，0 3 ) = o ，( 曰) - c ，且有10 1 ( 占) l 102 ( 丑) i 10 1 ( 口) f 。 引理2 5 ：一个s u b i n t e n s i t y 矩阵是非奇异的 当且仅当对每个i = l ，f 有8 。圆， o 证明：显然0 不是矩阵b 的一个特征根当且仅当b 是非奇异的。再有上面 的引理2 4 可知结论正确。 引理2 6 ：设0 1 o t 是矩阵a 的特征根， 则e x p ( t a ) = a 1 ( t ) a 1 + - c a ( 1 ) a f ( 2 1 0 ) 这里a i ( t ) a i 由下式得到，a 。( t ) = e 却，a l = l ，a ( t ) 一l e 吼“2 a “体) 奴， a = ( a - o l d ( a - e d k = 2 ，f 证明：首先假设a = d i a g ( o ) ，0 = o ，0 ，) 且所有的特征根0 ，0 ，都是明确的， 由e x p ( h a ) ：i + h a + 十垡尘+ 定义有e x p ( t a ) ：d i a g ( e 即，e 即) ， 删 故当f _ 1 时结论显然成立，现假设当f - - - - n - 1 时结论成立。则( 2 1 0 ) 的右边可以 写成喜啪肾 撕4 莎“私。矗魄吲l 、 杰a 。( t ，一k - i ( o 一e 。) ；e 即 ( 2 1 1 ) a 潮= f 卜f 即f f c 吨( f _ j h ) e 吒( - x z ) e 巩hd x 2 ( i x i i ( o x2 x ) e ( 一l 一) e ( 岛一吗) 而e 吗岛) 南d x 2 一d x = l 。，) xrl飞l(oxexp(o。x)exp(ok(t-x l ( o x3 x k ) 。j 。 ，) x l2 l 4 3 v 时，使e - 尊i & ，i ( x ) i o ，l i r a ，。e r 以h ”f l e 一和a ( x ) td x = 0 定理2 2 ：当且仅当b 是非奇异时，吸收时间，7 对任意一个概率函数瑾气a t ， a r ) 都是几乎处处有限的，即p ( 班m 产l 。 证明：( 必要性) 如果b 是非奇异，因为引理2 5 可知b 的所有特殊根有负部 贝i j 由引理2 7 ( 选择s = 0 ) ，我们有l i m 。一e x p ( t b 户o ， 因此对每个位，有l i r a a e x p ( t b ) e 7 吨 1 1 帕 利用p ( r t ) = a e x p ( t b ) e 7 ，由此得出p ( 班o d 产1 。 ( 充分性) 令对每个概率函数a ，有l i m a e x p ( t b ) e 7 = 0 ，并假设b 是奇异的 矩阵，则存在一个向量x = ( x l ，x 1 ) 0 ，且b x 7 = o ，显然b 4 x 7 踟。结 果，对所有的t 0 ，e x a m ) x 7 - - - - - x ，因此l i r a ，麟p ( 田户0 是不可能的，利用 引理2 2 证明中相类似的讨论方法，不难证明对每个t 0 ，矩阵e x p ( t b ) 是 非负的，因此对某些i ，j i ，f ，l i m s u p ，一( e x p ( t b ) ) 。 0 ，即b 必 定非奇异。 接下来我们考虑理赔额是p h a s e - - t y p e 时复合p o i s s o n 模型的破产概率的问 题，一般的我们还是记九为p o i s s o n 到达过程的强度，索赔额大小分布为f 。破 产概率甲( u ) 有如下的表达式： l - w ( u ) = ( 1 - p ) p ( w ) ( 材) ，u o t - 0 即l 硼( u ) 是特征为( | d ，f ；) 的复合几何分布，p m ( 九e u ) b - e x p ( v a ) ) ( 2 1 5 ) ( b ) 如果a 的所以特征根有负的实部，则 fe x p ( x a ) d x = - a f 2 1 6 ) 证明：设矩阵函数叫d 是可导的，则ff ( x ) d x - = f ( t ) - f ( v ) 对v t 1 4 因此假定f ( x 户a - 1 e x p ( x a ) ，由( 2 2 ) 我们有( d d x ) a “e x p ( x a ) - a - 1 ( d d x ) e x p ( x a ) = e x p ( x a ) ( 2 1 5 ) 即可得证。 而g 1 6 ) 是( 2 1 0 ) 和( 2 1 5 ) 很自然的结果。 引理2 1 0 设伽= 0 ，b 是一个非奇异的弧b m t e n s i t y 矩阵，f 是定义在正实数上的 分布函数，如果f 是一个p h a s e - - t y p e 即p h ( o t ，b ) 分布，则f 是连续的，且 ( 1 ) 密度函数为t ) 一a e x p ( t b ) b 7 ，t o ( 2 1 7 ) ( 2 ) 脚k 啪s t i e l t j e s 变换i ( s ) = a ( 小b ) 1b 7 ，s o ( 2 1 8 ) ( 3 掰 矩为- 工。( _ 1 ) ”n ! a b l e l n 1 ( 2 1 9 ) 证明：由引理2 1 和( 2 9 ) 式可知： f 栌一d 毋p ( 驴t ) 2 a e x p ( t b ) ( 一b e 7 ) 硼x p ( t b ) b 7 最后一个等式由( 2 i ) 得到，( 1 ) 式得证。 再证( 2 ) ，f ( 泸r e - “f ( t ) d t = f e 一“伍e x p ( t b ) b r d t = f ae x p ( 一s t i ) e x p ( t b ) b r b t 吨r 吲一s i + b ) ) d tb 7 = 砥s i - b ) + 1b 7 计算过程中我们使用了e 1 i = 积p ) 和唧( 或取噼州涉；e 硪t ( 一s i + 8 ) ) ，另 外，最后一个等式由下面的引理2 1 0 得。 最后证明( 3 ) ，在( 2 1 8 ) 中取n 阶导数，则有： n ( s ) = 万a n c c ( s i b ) 一1b 7 = ( - 1 ) ”n ! a ( s i b ) “b 7 ，取s = o ，由( 2 1 ) 得 ”) = 卜1 ) 4f ( ”( 0 ) = ( _ 1 ) ”n ! a b 一e 7 引理2 1 1 ：设b 是一个非奇异的s u b i n t e m i t y 矩阵，则s i - b 对每个s o 都是非奇 异的，r ( s i - b ) 。的每个因子都是s o 的有理函数，而且，对所有的 s o ，n n ，有f e x p ( t ( - s i 七b ) ) d t - - ( s i b ) 一( 2 2 0 ) 和芸d v ( s i b ) 1 l = ( _ 1 ) ”n ! ( s i - b ) “ ( 2 2 1 ) 证明：设s 0 ，由引理2 5 有b - s l 有负的特征根，因此是非奇异的。且由 l c m m a 2 i i 有( 2 2 成立。 f 囱我们关于r l 通过来证明( 2 2 1 ) ，由( 2 1 4 ) m 均微分法则，我们有： 0 5 石di 。罢“s i 坝8 i - b ) 。hs i b ) 。s i - b ) 吾( s i b ) 因此导( s i b ) 一- = 一( s i b ) 一 础 叩( 2 2 1 ) 在n = l 时成立。 现在假定( 2 2 1 ) 在n = l ，2 ，k 都成立 则万d k + l ( s i _ b ) ki d 矿d k ( s i _ b ) 一1 片矿k ! 丢( s i b ) 一- 午1 ) “1 ( k + 1 ) ! ( s i b ) - ( k + 1 ) - i 因为o = 导“s i b ) “( s i b ) “) 针1 ) ( s i b ) 一1 + ( s i - b ) “d - ( s i b ) 。l ，证毕。 定理2 3 ：设= o ，b 是一个非奇异的s u 蚰删t y 矩阵，f 是定义在正实数上的 分布函数，如果f 是一个p h a s e - - t y p e 即p r l ( c t ，b ) 分布，则f ，也是一个p h a 辩一 t y p e 分布，且f = p h ( a 5 ，b ) ，这里a 。= 一“i l a b 一 证明：利用( 2 9 ) 和( 2 1 5 ) 有 f 5 ( x ) 2 p f _ ( 力方= p i lrc t e x p ( y s ) e 7 a y = p - l o 【f e x p ( y b ) a y e 7 。i i l0 b _ 1 ( e x p ( x b ) 一i ) e 7 = - p i l a b 一1e 7 + p a b - 1e x p ( x b ) e r = 1 a 。e x p ( x b ) e 7 最后的等式由( 2 1 9 ) 得到，再由( 2 9 ) 可知，f 。是一个p h a s e t y p e 分布， 即f = p h ( a 4 ，b ) ，a5 = 一“i l o e b _ 1 定理2 4 设f ，g 是两个定义在正实数上的分布，假定g 是p h a s e 电p e 分布p h ( 位，b ) ， 其中。= 4 1 ，b 是非奇异的。而f 是一个特征为( p ，g ) 的复合几何分布， 这里0 p 0 是一个f 阶矩阵 t _ 0 1 6 事实上k f f i n 8 ( 好一四) 一( p b 盯一一1 ) l 2 k = n 一6 7 ( 盯一丑) 一1 6 7 ) “( a ( s l 一矿) | | * “一毋。1 b 7 口一功一1 0 主p k ( a ( s i b ) 一t b r ) “ = 由( 2 1 8 ) 可知，上述的级数是收敛的。 对s o ，o a ( s i b ) 一1 b 7 = ，g ( s ) 1 现在( s i b p b 呻( s i b ) 。( p b 7 位( s i - - b ) 一1 ) i ，o 2 ( s i b ) ( 虹一b ) 。蛐7 a ( s i - b ) q ) 。 k = o p b 7 a ( s l b ) 一1 ( p b 7 a ( s i b ) 一1 ) t 0 2 ( p b 7 c ( ( s i b ) 1 ) 一宝( p b 7 a ( s l b ) 一1 ) _ i k = o 西 因此，对s o ，s i b p b 7 a 是可逆的，且 一b ) 。1 7 ) 叫 一1r b ) 一) t ) b r j - 一_ l ( p a ( s l b ( s t - - b ) ( p b a ( s i k = o = 州s i b p b 7 叻一1b 7 这等价于k = o ( p a ( a b ) 。b 7 ) = l + p o ( s l b p b 7 1 b 7 因此f i i 萧2 ( 1 - p ) + p c ( s i - - b - - p b 7 吣。1 ( 1 - p ) b 7 ( 2 2 2 ) 因为( 2 2 2 ) 的左边是特征为q p 眠b ) ) 复合几何分布的l a p k 吣e s 岣e s 变换， x ( 2 2 2 ) 右边是n 地岍p b 7 呻的l 雹唧e - 跚d 弓雌变换，由分布和他们的 l a p l a c e s f i e l t j e s 变换的一一对应性可知，原命题正确。 由以上两个定理可以很快推出如下重要的定理： 定理2 5 假定索赔额是一个p h a 蜘笼分布，即f u = p h ( 伍，b ) ，且0 。= 0 ，b 非 1 7 奇异，p 气旭u ) 1 3 o ，当对任意的n n ，s 。o 时v + = 一。 则称v + 为 s ) t h e ( f i r s ts t r o n g ) a s c e n d i n gl a d d e re p o c h ( v + = k ) = s l o 。s2 0 。s f i 0 ，s f o 定义3 3v - = m i n n o ：s 。o ) ，当对任意的n n ，s 。 0 时v 一= 一 则称v 一为 s 。) t h e ( f i r s t ) d e s c e n d i n gl a d d e re p o c h ( v 一= k ) = s 1 0 ，s2 o ，s r l o ，s f o 事实上，我们还可以定义f u r t h e rl a d d e re p o c h s 序列 v ：n e n 定义3 4 v + + l = m i n j v ：s j s 峙 这里v ：= o ，v ；：v + ，称v ：是n - t h ( s t r o n ga s c e n d i n g ) l a d d e re p o c h 以相同的方式，我们定义序列( v ：n n ) 定义3 5 v - + 1 2 m i n j v ：s s ) 这里v ；= 0 ，v i = v 一，称v ：是n t hd e s c e n d i n gl a d d e re p o c h 定义3 6v = m a x n ：0 n v 一，s 。2 m i n o j o ，则l i m 。一s 。= 一， ( b ) 如果e y o ，以概率i 有 s 。一= o i 如果e y o ，以概率1 有s 一一一即( a ) ( b ) 得到证明。 下面证明( c ) ：假设e y = o ，n = m i n n ：s 训j 日s ， 则1 p ( n o j = o ，1 ，n _ 1 n 乙。y r o j i l ) 丢9 ( ：叫y r 0 j = o 1 - , n - 1 ) x p y j n = _ 0 p ( y oy 。+ y o ，芝二五 o ) x p ( s ，o j o ) = p ( y 1 oy t + y 2 o ，二 o ) x p ( v + = 一) 神 ( 最后一个等式中用到( y 。，y 。) 与( y 。，y 。) 同分布。) 1 9 因此，1 i z m ( v “ n ) p ( v + = 一) = e v p ( v + = 一) ( 3