（基础数学专业论文）框架摄动和m进的双正交多尺度分析.pdf

山东大学硕士学位论文 4 框架摄动和m 进的双正交多尺度分析 杨国萍 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 中文摘一要 本文包含四部分 第部分是引言，在这一部分中，我们主要介绍t l l , 波分析的起源，发展和应用， 另外介绍了本文的写作背景以及这篇文章的主要内容 在第一章中。我们首先介绍了框架摄动和摄动稳定性的定义，然后给了前人的一些 结论，并且对这些结论作了比较，在这些结论中，以p a l e y - w i e n e r 定理为主，因为许多 的结论都来源于p a l e y - w i e n e r 定理 另外在本章中，我们还给了另外的一种判断摄动稳定的方法，即借助于某个特殊矩 阵的特征值的最大值来刻画了框架摄动稳定的充分条件 在第二章中，我们将z k u a n g 和m c u i 给的，型的滤波器由2 进的推广到m 进 的( m 2 ) ，并证明了推广后的，型的滤波器对应的尺度函数和小波函数仍具有很好 的性质 在第三章中，我们推广了a c o h e n 和i d a u b e c h i c s 的结论，即若给一对满足一定 条件的m 进对偶的有限脉冲响应的滤波器m o ( 冒) 和而o ( 冒) ，用它们来定义函数序列 ， 当c 冒) 2 喜”幻c 景) 一材- ，材4 川c 口，苎面卜2 喜咖c 帚， ： 嚣1 ： 学 【九( 霄) - 尽而0 ( 毋) x 【- m 飞m “川( 刃【妒( 冒) 2 旦v n o ( 景) 那么极限函数妒( 。) ，虱z ) l 2 ( 冗) 且满足在l 2 ( r ) 意义下 第一章的主要结论是定理1 8 1 和推论1 8 1 和推论1 8 2 第二章的主要定理是定理2 4 和定理2 5 第三章的主要结论是引理3 2 ，定理3 3 ，定理3 4 ，定理3 8 和两个例子 关键词j 框架摄动，摄动稳定性，r i e s z 框架，1 t e a r r i e s z 基，正规矩阵，矩阵 的范效，线性相位，标准对偶框架，m 进双正交的多尺度分析 i i 山东大学硕士学位论文 p e r t u r b a t i o no ff r a m e sa n db i o r t h o g o n a lm b a n dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s g u op i n gy a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y 雠e ms c i e n c e s , s h a n d o n gu m v e r m y , j i a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yc o n t a i nf o u rp a r t s t h ef i r s tp a r ti si n t r o d u c t i o n i nt h i sp a r t ，w ei n t r o d u c et h eo r i g i no fw a v e l e t ，p r o g r e s s a n da p p l i c a t i o n ，o t h e r w i s ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dm a l nc o n t e n to ft h i sp a p e r i nt h ef i r s tc h a p t e r w ef m t l yi n t r o d u c et h ed e f i n a t i o n so ff r a m ep e r t u r b a t i o na n d s t a b i l i t yo ff r a m ep e r t u r b a t i o n ，t h e nw eg i v e8 0 m ec o n c l u s i o n sp r e s e n t e db yp r e h u m a n s a m o n gt h e mp a l e y - w i e n e rt h e o r e mi st h em o s ti m p o r t a n t ，b e c a u s em a n yc o n c l u s i o n s a r co b t a i n e df r o mi t a n o t h e ri nt h i sc h a p t e r w eg i v ea n o t h e rm e t h o dt h a tc a nd e c i d et h es t a b i l i t yo ff r a m e p e r t u r b a t i o n t h a ti sw er e s o r tt ot h ee i g e n v a l u eo fas p e c i a lm a t r i xt 0c h a r a c t e r i z es u f - f i c i e n tc o n d i t i o no fs t a b i l i t yo ff r a m ep e r t u r b a t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r w eg e n e r a l i z et h ec o n c l u s i o np r e s e n t e db yz k u a n ga n dm c u i f r o m2 - b a n dt om - b a n da n dp r o v et h a ts c a l i n gf u n c t i o na n dw a v e l e tf u n c t i o n sc o i t e - s p e n d i n gt og e n e r a l i z e di is t y l ef i l t e rh a v ea l s og o o dp r o p e r t i e s i nt h et h i r dc h a p t e r w eg e n e r a l i z et h er e s u l t so fa c o h e na n di d a u b e c h i e s t h a t 8 s u p p o s ew eg i v eap a i ro fm b a n dd u a la n df i n i t e i m p u l s er e s p o n s ef i l t e r sm o ( 霄) a n d 而o ( 留) ，w ed e f i n ef u n c t i o ns e q u e n c e sa n df u n c t i o n sw i t ht h e m n “( 冒) ：= l - i 伽( 而) x 卜m 、m n f j ( 留) = l 五( 冒) _ 疗确( 景) x i 一肿。m 叫( 留) 七= i f ；( 面) ： i 妒( z ) ：= l n k = l 兀 t = 1 m 0 ( 示) 讯( 罱) w h a t st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n ss u c ht h a tf u n c t i o n sq b ( x ) a n d 妒( z ) b e l o n g t o ( r ) a n di nl 2 ( r ) s e n s e 妒。( 霉) c o n v e r g e st o ( z ) a n d “( z ) c o n v e r g e st o ( z ) ? a c o h e na n di d a u b e c h i e sg a v ea na n s w e rw h e nm = 2 ，w eg e n e r a l i z et h i sc o n c l u s i o nt o t h ec o n d i t i o nt h a tm i sa r b i t r a r yi n t e g e rt h a t sg r e a t e rt h a n2 e s p e c i a l l yw h e nm = 3 骶 i i i 山东大学硕士学位论文 g i v et w oe x a m p l e s ，t h ef i r s te x a m p l e ，w h e nm = 3 ，w ec h e c kt h ed u a la n df i n i t e - i m p u l s e r e s p o n s ef i l t e r s 蜘( 留) ，而o ( 刃) o b t a i n e df r o mb s p l i n ef u n c t i o n 船廿s 移t h ec r t e r i o no f t h e o r e m3 5 t h es e c o n do n e w ed i s c u s st h er a n g co fs c a l i n gs e q u e n c ea n dd u a ls c a l i n g s e q u e n c es a t i s i i e dt h ec r i t e r i o no ft h e o r e mu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s i nt h ef o l l o w i n gw ed i s p i a ya l lt h em a i nr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r1 a n dt h e o r e m1 8 1a n dc o l l a r y1 8 1a n dc o l l a r y1 8 2a x e p r i m a r y i nc h a p t e r2 ，t h ei d a i nc o n c l u s i o n sa r et h e o r e m2 4a n d t h e o r e m2 5 i nc h a p t e r3 ，l e m m a 3 2 ，t h e o r e m3 3 ，t h e o r e m3 4 ，t h e o r e m3 8a n dt w oe x a m p l e s a r et h em o s ti m p o r t a n t k e yw o r d s ：f l a m ep e r t u r b a t i o n ，s t a b i l i t yo ff r a m ep e r t u r b a t i o n ，r i e s zb a s i s ， n e a r - r i e s zb a s i s ，n o r m a lm a t r i x ，n o r mo fm a t r i x ，l i n ep h a s e ，c a n o n i c a ld u a lf r a m e ， b i o r t h o g o n a lm b a n dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 一 一 论文作者签名：塑! 叠盘： 日 论文作者签名：丝! 垫竖： 日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：趋! 墨驽：导师签名：雄日 期i 竺竺：竺 山东大学硕士学位论文 第一章引言 本文研究的两个问题，框架理论和多尺度分析( m r a ) ，都是小波分析的重要内容 小波分析足当前数学中迅速发展的一个新领域，它同时具有理论深刻和应用广泛的 双重意义 小波分析的发展是在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的，它的诞生应追溯到二十世 纪七十年代，那时，a c a l d e r 6 n 表示定理的发现与h a r d y 空间的原子分解与无条件基的 大量研究为小波分析的诞生作了理论上的准备1 9 8 2j o s t r s m b e r g 构造了历史上第一 个小波基1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 偶然构造出个真正小渡基，称为m e y e r 基， 随后与s m a l l a t 合作建立了构造小波基的通用方法，即多尺度分析( m r a ) ，从此小波分 析才形成- f - j 学科 尽管小波分析是在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的，但作为时域分析的方法，小渡 分析比f o u r i e r 分析有本质的进步，因此应用十分广泛比如在数学领域；科技领域；军 事领域以及医学方面等都有瞢遍的应用恰恰因为小波分析在实际中应用如此广泛，所 以小波分析发展极为迅速 而框架理论和m r a 是小波分析中的极为重要的两个方面，因此各领域的众多科学 家都致力于这方面的研究。这方面的理论也日趋完善 框架源于g a b o r 给的种确切表达信号的方法，为了研究不规则抽样问题，r j d u f l i n 和a c s c h a e f f e r 在【l7 1 中对框架做了相关的介绍随着框架理论的产生，它的应用也日 益广泛因为在实际应用中，框架比基要更加的灵活，方便，比如在h z l b e r t 空间日中 用框架表示元素与用基来表示有着不同的特点 首先它是线性相关的，因此缺少由基表示的唯性 其次由于框架的冗余，它在应用到信号处理中时，信号质量受噪音的影响较小 因此框架引起了各个领域科学家的广泛兴趣，随后产生了框架算法( f r a m ea l g o - r i t h m ) ，从而使得对任意的，h ，都可以用 旌z 和框架界a b 唯一 稳定的重构但用这种重构算法的前提条件是t 已知框架序列 e z 而实际中很多情 况是不知道 ) k e z ，我们经常用的一种方法就是用一列不同的序列 弧) 妊z 来近似的代 替 。z ，比如小波框架缸毋( n j z 一6 ) ) ， e z ，在数值计算中，可以用某一个函数 妒来代替它，由于要处理抽样，测量和整数的机械表示， 女有的时候需要用 ，。挺z 来代替，从而导致了不规则抽样定理从而在微小的摄动下，框架算法的稳定性问题自 然而然的产生了，即，假设给个序列 g k l k e z ，它在某种意义上靠近框架 a ) 托z ( m e 基) ，发现能保证f 鳜 旌z 仍旧是框架( r i e s z 基) 的条件，对于这个问题研究最多的是 h d b e r t 空问中的框架，这就是我们第一章中要研究的问题 山东大学硕士学位论文 本文第一章主要讨论了一般框架的摄动问题。p g c 部a z z a ，0 c h r _ i s t e n s e n 等人分 别在f 6 】( 7 | f 8 j 【9 j 【l o j 【1 1 i 中作了详细讨论而我主要介绍了前人在这方面的一些主要结 果，并且在前人的基础上，针对有限维的h d b e r l 空闻厅”，用不同方法刻画了一种判别 框架摄动稳定的充分条件 另外，在 3 】【4 1 5 】【1 3 】【2 1 】【2 3 】【3 0 】【3 1 】【3 7 】中讨论了特殊的g a b o r 框架；而在f 3 1 【1 2 】【19 】【3 l l 【3 3 】【3 5 1 3 7 】 3 s 重点讨论了小波框架 m r a 是小波分析的另一个重要的研究内容。它是构造小波基的一个统一的模式， 理论上已经证明，几乎所有”有用”( 具有适当光滑性) 的小波基都可以从m r a 构造出 来，但用m r a 来构造小波基在实际应用中有很多的局限性比如比较典型也是众多科 学家研究比较多的是2 进m r a 的构造；在用它来构造小波基时，要求滤波器是c q f ( 共 轭镜像滤波器) ，这在实际的设计和应用上有很多缺点；并且用它来构造的小渡基不能同 时具备紧支摧性，正则性，以及信号处理中要求的对称性；因此为了满足实际应用的需 要，后来又出现了双正交的m r a s ，以及j j b e n e d e t t o 和s l i r a 定义的框架多尺度分析 ( g m r a ) ，后面我们主要讨论的足双正交的m r a s 用双正交的m r a s 来梅造双正交的小波基时，可以避免以上不足构造双正交的 m r a s ，关键的是从构造一对对偶的滤波器价o ( 留) ，亓b ( 口) 入手，进而用它来构造尺度 函数( z ) ，曲( z ) ，从而构造出双正交的小波基，而小波函数的性质主要由尺度函数来决 定，而尺度函数的性质又反映在滤波器脚汩) ，而。向) 上，比如尺度函数的对称性，邵滤 波器 1 0 ( 霄) ，亓b ( 留) 具有线性相位，这是第二章中我们主要研究的问题 另外的个问题就是，并非任给一对m 进对偶滤波器m o ( 口) ，亓b ( 霄) ，都可以导出 一对尺度函数毋( z ) ，毋( z ) ，即( 毋扛一女) i e z ，( 驴0 一k ) i z 分别构成v o = i 歹丽 西扣一 k ) ) 。z ，v o = i 丽 毋0 一女) ) k z 的r i e s z 基，当这对滤波器满足什么条件时，就可以导 出对尺度函数? 这是第三章我们主要研究的问题 下面给出本文中用到的主要符号和基本知识 用”日”表示m 维的h i l b e r t 空问，”h ”表示h i l b e r t 空问，”扩表示b a n a c h 空间，” ”表示内积。”表示日或b 中的范数，”钟表示实数”表 示自然数，算子t ：h 一影，且分别是h l l b e r t 空问，”r r ”表示t 的值域。”p 表示转置，”“”表示m n 矩阵的集合，”c = = l “”表示秩为r i 的mx 竹矩阵的集 合，”z ”表示整数集”c 表示n 维的复向量空间，”一”表示等价关系。即两个序 列 ，i ) l z ，缸) ，e z 分别生成h i l b e r t 空间h ，k ，定义丁，l = m ，若算子t 可以延拓为一 个良定义的可逆的算子r ：h k ，并且这种延拓是唯一的，称序列 ，i ) * z 等价于序 列 岛) i e z ，记为” 工) ，e z 一 9 | ) l 2 ”；若一个线性算子r ：一k 是个映射， 2 山东大学硕士学位论文 并且z 丁- 1 都是连续的。称r 是一个线性同胚映射如，表示周期为2 7 r ，且在【一亿州 可积的复值函数，简记为，( z ) l 2 霄，下面给出另外的两个记号，定义如下。 ， 工9 ( r ) ：= ，( z ) l ( l ，( z ) i 如) ； o 。) p 是个整数 t c z ) ：= 咄i ( ) ； o 。 t 2 下面给出本文中用到的两个不等式 m i n k o w s k i 不等式l c a u c h y 不等式i ，+ 9 0 f l j + 0 9 0v f ，9 日 i js i i f l l u g l iv f ，口月 本文中我们用，( ) 表示f c z ) 的f o u r i e r 变换，用五表示，( z ) 的f o u r i e r 系数，他 们的定义如下， ，( z ) 的f o 谢e r 变换，( 留) ：= 杀f c z ) e “”如，( z ) l 1 ( r ) nl 2 ( r ) v z 丌j 矗 ，( z ) 的f o u r i e r 系数厶：= 亡f ( x ) e 1 “d z，( 。) l 2 ， ，一f 3 山东大学硕士学位论文 第一章框架摄动 摄动理论的研究内容主要是包含以下几个方面 ( 1 ) 假设 翟l 是h i l b e r t 空间h 的框架，仅) ：1 c h ，若缸) 墨l 是和 k 1 非常接近的序列，那么 鍪。是否也是框架? 若是，他们是否有相同的冗余? ( 2 ) 我们应该用什么方法来测量他们之间的接近程度? ( 3 ) 一旦确定了这种测量方法， 9 i ) 。z 应该和 。z 接近到什么程度，才能保证 协k z 也是框架? ( 4 ) 如果 z 是l 融i e s z 基，情况又怎样? 主要的问题是我们应该用怎样的方法来测量他们之间的接近程度 测量的方法主要有两种，一种是用范数，一种是作内积 首先给出本章中用到的几个定义和结论 定义1 1 1 4 1 1 设( 工 zch ，如果存在实数0 asb o c ，使得对任意的 ，日，都有 a i i 1 1 2s i 1 2 曼刚川2 i z 称 。g 是目的个框架， ，b 分别称为框架t ，i ) 。e z 的下界和上界，满足条件的最 小的b 和最大的a ，称为最优框架上下界当a = b 时，称u ) 一z 为紧框架 定义1 2 1 4 1 i 设 zch ，且，= 印丽 ，l 】镌z 如果存在实数0 c d 0 ，使得对于v f h ，都有 f f 2s b l l f i l 2 ；若序列 z 为印丽 ) 一z 的框架，称 五) 。z 为框架序 列；若u 牙是由个m 嚣z 墓加有限个元素组成的框架。称以 ，z 为n e * 彤e s z 基 若 ) ，。z 的任意子族都为框架序列，且这些框架序列有公共的框架上下界，称 ，l k z 为r i c s z 框架若 ，i ) 。e z 是日的界为a ，且的框架，定义算子s ：h 一日，s ，：= 工，则 s 一1 工 。z 也是日的框架。称为框架 工) 的标准对偶框架，其上下 i z 界分别为击，击 下面我们给出前人的一些结论 最早的框架摄动理论是由c n 朗m 衄1 8 7 7 年提出来的，但一直以来，都被称为 p a l e y - w i e n e r 定理，即 设 ) 。z 是，( 或厅) 的 t e s z 基，对v 协 。e zch ，若存在实常数a 【0 ，1 ) ，使 得对v q ) 。z f 2 ( z ) ，都有 o c l ( ，l - 9 , ) i i 8 c , , l l ( 1 ) * e zf e z 则 吼 l e z 也是日( 或b ) 的r z e s z 基 1 9 9 3 年0 c h r i s n ；e n s e n1 1 0 l 加强了上面的条件，得到了更一般的结果。即 设 。z 是的上下界为b ，a 的框架，对v l c h ，若满足 r ：= 8 - g , ) i 1 2 a e 2 则协) ，e z 也是日的框架，界为a ( 1 一 翮2 ，2 ( r + 口) 后来他在另一篇论文中采 用了另外的一种证明方法，给了一个更优的上界估计b ( 1 + 、再7 百) 2 2 山东大学硕士学位论文 ：= = 詈詈! = = = = 暑= = = = = =詈= = = = = = 喜= = = 昌暑= 皇= = = 暑= 葛暑皇= = = 1 9 9 5s j f a v i e r 和r a z a l i k 又将结果推广到下面的形式，即 设 ) z 为的上下界分别为b ，a 的框架。协) ，zc 日，是h 的界为m 的 b e s s c l 列。对任意的满足 0 ，使得对 v f h 都有 i 1 2 m m i n ( i ， 胁1 2 ，i 1 2 ) ( 2 ) i e z e z t 1 9 9 5 年s j f a v i e r 和r a z a l i k 坶 也给了一个类似的结果 定理i a l m l 假设 五 z 是日的上下界分别为b a 的壬u e 昭基，缸) t e z c 日，若 一弘k z 是界为m 的b e s s e l 列，且m 0 ，使得对v c i ) 1 2 ( z ) ，都有 o 岛( ，i 一9 i ) 恪m m i n ( o c l 川l c i 玑i i ) ( 3 ) l e z * e z t z ( 3 ) 中的m 可以取m 敝删，一v i i 2 ，l l ，一u “0 2 ) 当i l u l 1 时取i i i v i i 2 当0 u 1 i i 1 时取i i i u “1 1 2 所以此结果与上面的定理1 a 是等价的 1 9 4 8 年s h h i l d i n g 9 1 将p a l e y - w i e n e r 定理推广到下面的形式 定理1 b i l l 设 ，i ) 。z ，协 z 是( 或b ) 中的序列，若存在正实数a l ，a 2 ，使得 对v 岛) e ( z ) 都有下式成立 , l l 1c l ( ，i 一矶) 临a t o “| | + a 。嘎c i m o ( 4 ) l z l e z i z 3 山东大学硕士学位论文 则t = 吼是良定义的可逆算子 另外，对于有限维的m ，我们用另一种方法来刻画了摄动序列和原来序列的接近程 度，给了下面的定理1 8 1 引理1 - 7 设k c ”“，由定义1 5 导出的矩阵范数满足i i k 1 2 = 、，瓦= ，“ 为k 的最大特征值 设 冬l ，缸) 墨lc 日”，定义矩阵a = ( o i ，) 。x 。，令b ；a 7 a ，其中 a t j = 一 由b 的定义可知b 是非负定矩阵，用”a 一”表示矩阵b 的最大特征值，则a 。一是非 负的 定理1 8 1 假设u ) ：l 是日”的界为1 的紧框架。其中n t 7 i ，对于v 协) ：lc “。若满足以下两个条件 ( i ) a 。“ 1 ( i i ) 存在正实数a l t 沁，其中k 1 ，使得对v ，e 一恒有 ( 壹i 睁入。( 壹i ，胁i 。) + 沁( 壹i 1 2 ) ( 5 ) t = ll=l=l 则协) ：。也是日m 的框架，其下，上界为( 1 一口2 ，( 毫) 2 证明；首先证 9 t ：i 存在有限的框架上界 ( i 雕= ( f ，吼一五+ 胁膨 = l l = l ( l 1 2 ) + ( i | 2 ) i = l - = l _n n a ，( 妻l ，d 雕+ a 2 ( i | 2 ) + ( i ，d 1 2 1 岸l i = l i = 1 昔( i 1 2 ) 一a z ( l 1 2 ) =l-=l a 。( i ，d | 2 ) + ( i ，d | 2 ) i 4 山东大学硕士学位论文 所以得到下面的式子 ( 砉i n 畦糊( 喜l | s 、f g i n ，嚣1 胁 一 | s o k k | 。，| i 一( g l 、f j n n n ( i 1 2 ) j = ( i ( 一 ) 1 2 ) i j = lj f f i l t = l = i i a x l i 其中矩阵a 和向量x 分别定义如下 5 靠 厂 办 吼 器 嚣， 睁= i l a x i | = 1 i f e f l l _ 、反祗 川i i l x l l 因为 s ：1 工 各。也是日”界为1 的紧框架，所以j i x 0 = l l fr i 得 l i f e f l is 凡。8 川 所以 0 j e u k 。 1 所以e 是可逆的算子 并且由上面可得 j l e l i l f f l l 2 = 压“l i e 。恪去 拉1 ( i 睁( l 吼，p 附 t = li = 1 丽l l f l ll , 刍。- , i , 1 2 ) 6 = ，吼 。商 f， 一 e 一 = = 一 = 一 山东大学硕士学位论文 所以得到 ( i 1 2 ) o ( 1 一, 厄) 1 1 1 1 1 因为( = = = 1 ，所以 取 。g 的框架下界为( 1 一口2 口 推论1 8 1 若矩阵a 是正规矩阵，设它的特征值分别为h ，则 i = m a x | h i ，1 竹 推论1 8 2 假设“) 鍪l 是h “的框架，上下界为b ，a g l 坠lc 日“，要使得 h ) 翟。仍是框架，则定理1 8 1 中的条件( i ) 应该变为c 忑a 1 ， 玑) ：l 的框架下， 上界分别为去( a 一( ：习2 ，( 瓮) 2 b 证明过程和定理1 8 1 的类似，主要是利用结论， ) 麓的标准对偶框架 s ：1 各l 的上下界为击，击 隆萋引 。i 是g ( 霄) = ，( 霄+ 2 k t r ) t ( + 2 女7 r ) 的f o u r i e r 系数 白孑 实际上可以将1 1 1 , 维的h i l b e r t 空间推广到任意维的空问。可以验证上面的结论仍然成 立另外0 c h r i s t e n s e u 和p g c a s a , z z a ( 1 7 ll a ll u l ) 对p a l e y - w i e n e r 定理也做了下面的推 广 定理1 c 设 ，l t z 是h 的上下界分别为b t a 的框架，协) zc 日，若存在正实 数a 【0 ，且a + 1 ，使得下面条件( i ) 或( i i ) 成立 ( i ) 8 q 一吼) 性* 1 1 q 剐+ p 匹k , 1 2 】j v q ) 锄1 2 ( z ) ( i i )( i 附a ( i ，d | 2 ) l + 芦1 1 1 1 v ，胪( r ) 7 山东大学硬士学位论文 则协 。z 也是框架，界为 , 4 1 1 - ( a + 隽) 】2 ，b 【1 + 去) 】2 而对于比较特殊的框架，例如含有r i e s z 基的框架 工 * z ，有比较好的结论( 参【7 】) ， 即若存在正实数a ，p f 0 ，1 ) ，使得上面条件( i i ) 成立，则缸 2 也营怕有r i e s z 基的 框架，且u ，z ，协) 。z 有相同的冗余最初h p o l l a r d 给的条件是m a x a ，p 去，得到 韵结果是 ，i ) 。e z ，协) 。z 具有相同的完备性；而s 1 - i h i l d i n g 将条件放松到m a x a ，以 1 ，后来p g c a s a z z a 和0 c h r i s t e n s e n 证明了在同样的条件m a x a 以 1 下，序 列u ) 堰z ，缸) z 不但有相同的完备性，另外还有相同的独立性，即c i = 0 = 寺 , e z 岛虫= 0 一一 一一一一一一一 一一 一 一一 | z p g c a s a z z a 和0 c h r i s t e n s e n 又将定理1 c 推广到了下面的形式 定理1 d 闭设似) ；e z 是月的界为a b 的框架，缸 。e 暑c ，若存在正实数“ a l ，沁，且m a x a t + 击沁) 2 ( ” 对( 7 ) 两端进行f o u r i e r 变换得 f 每( 留) = m o ( 罱) 毒( 器) i 氟冒) ：讯( 器) 氟罱) 1 1 山东大学硕士学位论文 其中 i 确( 冒) = “e 1 蛔 i 开诌归) = 歃e 。蛔 lk e z 对于双正交的m i l a s ，m o ( 留) ，开b ( 刀) 满足 l 椭( 面) 丽+ + ，7 2 0 ( 四+ 一。) 磊石再手；丽= l m o ( o ) = 确( o ) = 1 ( 8 ) 【椭( 民= 1 ；i 0 ( 以) = 0 ，靠= 鲁 奄= 1 m 一1 定义空间 = k + l e k ，= k + - e k 若合理的选取尺度函数妒( z ) 和对偶尺度函数虱z ) 。则存在小波函数 ( ) ，l 1 m l cv o 和对偶小波函数 妒( z ) ，f 1 m 1 ) c 讫 满足以下双正交关系 = 画。勘“j ：，b =0v 7 i 岛c z ，i = i ，2 其中奶，= m j 毋( m ，z 一七) ，九k 的定义类似 设 ( 占) ，j ；1 肘一1 ) 和 ( z ) ，f 1 ，一l 对应的小波滤波器分别为 m l ( t v ) m m l ( 留) ，而1 ( 霄) 而盯一l ( 霄) 并称确( 冒) 而吖一l ( 留) 为分析滤 波器，m o 汩) m m i 忙) 为综合滤波器 要得到双正交的m r a s ，应该从选取合理的竹l o ( 冒) ，而。( 冒) 开始，下面我们借用【2 8 l 中的定义 定义2 2 若给定肘个分析滤波器而o ( 留) 而 彳一l 向) 和m 个综合滤波器 m o ( w ) m m l ( 四) ，使得重构信号用m 因子规范化后和原来的信号一致。就称这族 分析滤波器和综合滤波器有完美重构 参【2 8 1 中的引理1 ，可以知道对完美重构的滤波器m o ( w ) m m - i 汩) ，存砘( 冒) 而 f i 佃) 满足 1 2 b k 设堙 i - 蟛砖 山东大学硕士学位论文 所以可以