（计算数学专业论文）基于广义rayleigh商的有限元插值校正方案.pdf

摘要 有限元法是求解微分方程数值解的一种重要方法。随着电子计算 机和各种数值解法的发展，有限元在现代结构力学、热力学、流体力 学、机械设计等许多领域都开始发挥重要作用，而且成为应用到更广 泛范围内的最有效的数值方法。但是如何在不增加或少增加计算量情 况下迸一步提高有限元的精度，从而可以解决更大型复杂的问题，这 一直是人们关心的问题之一。之前对于提高有限元解的精度的讨论几 乎都是自共轭特征值问题。自共轭特征值问题相对比较容易求解，而 非自共轭特征值问题求解相对很困难。因此进一步研究非自共轭特征 值问题高效率有限元计算方案十分必要。该文研究椭圆问题有限元插 值校正高精度方法，并把网格局部加密方法( r - 南f i n e m e n t ) 和插值校正 方案结合起来，对凹角域在局部加密网格上进行插值校正得到较高的 精度。在林群等学者的基础上，基于广义r a y l e i g h 商得到了解非自共 轭问题的插值校正方案、2 网格离散方案。分别用三角形线性元的插 值校正、双二次元的插值校正和三线性元的插值校正对二阶椭圆问题 得到了很好的结果，给出了基于r a y l e i g h 商和广义r a y l e i g h 商加速 技巧的解自共轭以及非自共轭问题的插值校正的数值例子。理论分析 和数值实验表明，这些方法都具有较高的精度。 关键词：非自共轭椭圆特征值问题，有限元法，插值校正，局部加密， 广义r a y l e i g h 商。 a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ( f e m ) h a v ep l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei n s o l v i n g n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f e l e c t r o n i cc o m p u t e r sa n dv a r i o u sn u m e r i c a ls o l u t i o n s ，f e mb e g i n st o p l a ya ni m p o r t a n tp a r ti nm o d e m s t r u c t u r a lm e c h a n i c s ，t h e r m o d y n a m i c s ， f l u i dd y n a m i c s ，m e c h a n i s md e s i g n ，a n dm a n yo t h e rf i e l d s i th a sb e c o m e o n eo ft h em o s te f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d si naw i d e rr a n g e h o w e v e r ， h o wt oi m p r o v et h ep r e c i s i o no ff e mt os o l v em o r ec o m p l i c a t e d p r o b l e m s b a s e do na d d i n gn oa d d i t i o n a l c o m p u t a t i o n o r a d d i n g c o m p u t a t i o n a sl i t t l ea sp o s s i b l e ，i th a sb e e no n eo ft h ei s s u e so fc o n c e r n a g r e a td e a lo fp a p e r sb e f o r ed i s c u s s e dh o w t oi m p r o v et h ea c c u r a c yo f f i n i t ee l e m e n ts o l u t i o n sm o s t l yb a s e do ns e l f a d jo i n te i g e n v a l u ep r o b l e m s s o l v i n gs e l f a d j o i n te i g e n v a l u ep r o b l e m sw i l ln o tb em u c hm o r ed i f f i c u l t t h a ns o l v i n gn o n s e l f a d jo i n tc o u n t e r p a r t s t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt o d e s i g n ah i g h l ye f f i c i e n c tf i n i t ee l e m e n ts c h e m ef o rn o n s e l f a d jo i n t g e n v a l u eo r o b l e m s t h i s d i s c u s s e sh i g h m e t h o d so ft heeigenvaluep r o b l e m s 1l a l sp a p e rd l s c u s s e sl a l g l ap r e c i s i o nm e m o o sot h e o o l a l ) r r e c t i o n“f i n i t ee l e m e n tf o re l l i p t i c e n v a l u e ) r o b l e m s i n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o n0 1 ：t l n l t ee l e m e n tt o re l l i p t i ce l g e n v a l u ep r o d l e m s ， a n dc o m b i n e sg r i dl o c a lr e f i n e m e n t ( r - r e f i n e m e n t ) w i t ht h ei n t e r p o l a t i o n c o r r e c t i o ns c h e m et oo b t a i nah i g h e rp r e c i s i o ni nt h er e e n t r a n tc o m e r b a s e do nt h ew o r ko fl i nq u n ，t h ei n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o na n dt w o - g r i d d i s c r e t i z a t i o ns c h e m e sb a s e do ng e n e r a l i z e dr a y l e i g hq u o t i e n t a r e e s t a b l i s h e dt os o l v en o n s e l f a d jo i n te l l i p t i cp r o b l e m s w eo b t a i nb e t t e r h r e s u l t so ft h es e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m ，w h i c hi ss o l v e db yt h e i n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o no ft r i a n g u l a rl i n e a re l e m e n t ，b i - q u a d r a t i ce le m e n t a n dt r i l i n e a re l e m e n t ，a n dp r e s e n tn u m e r i c a le x a m p l e sw h i c ha r es o l v e d b ya c c e l e r a t i o nt e c h n i q u eb a s e do nr a y l e i g hq u o t i e n ta n dg e n e r a l i z e d r a y l e i g hq u o t i e n tf o rs e l f a d j o i n ta n dn o n s e lf a d jo i n te l l i p t i ce i g e n v a l u e p r o b l e m s t h ep e r f o r m a n c eo ft h ea p p r o a c hi si l l u s t r a t e dw i t ht h e o r e t i c a l a n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t s k e y w o r d s ：n o n s e l f a d j o i n te l l i p t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m , f i n i t ee l e m e n t s m e t h o d s ，i n t e r p o l a t e dc o r r e c t i o nm e t h o d s ，l o c a lr e f i n e m e n t ，g e n e r a l i z e d r a y l e i g hq u o t i e n t i i i 学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 所取得的成果。除文中已经注明引用和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人或集 体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 关于学位论文使用授权的声明 论文作者签名：踅馨月 2 0 0p 年石月2 日 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅； 本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编学位论文。 同时 授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。( 保密论文在解密后适用本授权声明) 论文作者签名：葱蓉月 导师签名： 年6 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n f a m o u sm a t h e m a t i c i a nf e n gk a n gc o n c e i v e df i n i t ee l e m e n ti n1 9 6 0 s a f - t e rt h a t ，m u l t i f a r i o u sf i n i t ee l e m e n t sm u s h r o o m e do u t e a c hf i n i t ee l e m e n th a d i t so w l b e n e f i ta n du s e b e c a u s eo fl o wp r e c i s i o no fs i m p l ea p p r o a c h ，s o m e o t h e rc o m p l i c a t e dm e t h o d sa r es e l e c t e d h o w e v e r ，w ea c c u s t o m e dt oc o n v e r t c o m p l i c a t e dp r o b l e mt os i m p l eo n e t h e r e f o r e ，s i m p l em e t h o d sa r ec h o s e n e x t r a p o l a t i o na n dv a r i o u so fc o r r e c t i o ns c h e m e sa r er e s e a r c h e dt oi m p r o v e t h e p r e c i s i o no ff i n i t ee l e m e n ts o l u t i o n i n1 9 6 7 ，z i e n k i e w i c z - c h e u n gi n d i c a t e dt h a t t h ed e r i v a t i v eo fl i n e a rf i n i t ee l e m e n ts o l u t i o nh a sv e r yh i g hp r e c i s i o no ns o m e s p e c i a lp o i n t s ，a n dt h ef a n c yp h e n o m e n a i sc a l l e ds u p e r c o n v e r g e n c e t h e s es l o e - c i a lp o i n t sa r ec a l l e ds t r e s sp o i n t s s u b s e q u e n t l y , i th a sb e e nd i s c o v e r e dt h a t t h ev a l u eo ff i n i t ee l e m e n ts o l u t i o na l s oo w n ss u p e r c o n v e r g e n c eo ns o m es p e c i a l p o i n t sw h i c ha r en a m e da sd i s p l a c e m e n tp o i n t s ( s e e 【18 】) b o t hs t r e s sp o i n t s a n dd i s p l a c e m e n tp o i n t sa r ec a l l e ds u p e r c o n v e r g e n c ep o i n t s t h es i g n i f i c a n c e o fs u p e r c o n v e r g e n c ei so b v i o u s w ec a nh i g h l yi m p r o v et h ep r e c i s i o no ff i n i t e e l e m e n ts o l u t i o nw i t h o u ti n c r e a s i n gc o m p u t a t i o no rs t o r a g eb yu s i n gs u p e r - c o n v e r g e n c e s u p e r c o n v e r g e n c ei sa l s oap o w e r f u lt o o lt oc o n s t r u c tp o s t e r i o r i e r r o ri n d i c a t i o no ff i n i t ee l e m e n ts o l u t i o n i n1 9 7 4 ，g s t r a n g ，ad i s t i n g u i s h e d a m e r i c a nm a t h e m a t i c i a nr a n k e dt h es u p e r c o n v e r g e n c ea san e ws t a g eo ff i n i t e e l e m e n tt h e o r yo nh i sr e p o r tm a d ei nt h ei n t e r n o t i o n a lm a t h e m a t i c i a nc o n f e r - e n c e f r o mt h e no n ，j d o u g l a s ，j b r a m b l e ，t d u p o n t ，a s c h a t z ，v t h o m e e ， p l e s a i n t ，m z l a m a l ，l b w a h l b i n ，c h e nc h u a n m i a o ，z h uq i d i n g ，l i nq u n e t c a l ls y s t e m i c a l l yr e s e a r c h e dv a r i o u ss u p e r c o n v e r g e n c eo ff i n i t ee l e m e n t m e t h o d sa n do b t a i n e dg e n e r a la n dp r o f o u n dr e s u l t s ( s e e 【2 】) f 6 】 1 0 ，【2 9 ) r a y l e i g hq u o t i e n ta c c e l e r a t i o ni sab a s i ct e c h n i q u ei nn u m e r i c a la n a l y s i s ， w h i c hh a sb e e ns u c c e s s f u l l yu s e dt os o l v es e l f a d j o i n te l l i p t i cd i f f e r e n t i a lo p e r a - t o re i g e n v a l u ep r o b l e m s s l o a n 【4 5 ，l i na n dx i e 11 】b u i l tu pi t e r a t e dg a l e r k i n m e t h o db yu s i n gr a y l e i g hq u o t i e n ta n dt h e yi n t e g r a t e dr a y l e i g hq u o t i e n ta c c e l e r a t i o nw i t hi t e r a t e dg a l e r k i nm e t h o dt oe n h a n c et h ec o n f o r m i n gf i n i t ee l - e m e n t sa p p r o x i m a t i o np r e c i s i o no fs e c o n d - o r d e re l l i p t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m s l i na n d f a n g 7 】p r e s e n t e dt h ei n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o nb yu s i n gr a y l e i g hq u o - t i e n ta n da c h i e v e dah i g hp r e c i s i o ne i g e n v a l u eb yh i g h e rd e g r e ei n t e r p l a t i o n f o rl o w e rd e g r e ee l e m e n t s n a g a ，z h a n ga n dz h o u 【3 1 】c o m b i n e dr a y l e i g h q u o t i e n tw i t hg r a n d i e n tr e c o v e r yt e c h n i q u et oa t t a i nh i g hp r e c i s i o ne i g e n v a l u e x ua n dz h o u 【4 9 】b u i l tt w o - g r i dd i s c r e t i z a t i o ns c h e m e so fe i g e n v a l u ep r o b l e m s b a s e do nt w o - g r i di d e aa n dr a y l e i g hq u o t i e n ta c c e l e r a t i o nt e c h n i q u e t h i s w o r kh a sag o o da p p l i c a b l ep r o s p e c t t h e r ew e r es o m er u s u l t sf o rn o n s e l f a d - jo i n te i g e n v a l u ep r o b l e m s h e n v e l i n ea n db e r t s c h 3 5 】d i s c u s s e dt h ee i g e n v a l u e c o m p u t a t i o no nm u l t i g r i dm e t h o d s h e u v e l i n ea n dr a n n a c h e rf 3 6 】d i s c u s s e d a d p t i v ef e mf o re i g e n v a l u ep r o b l e m s x ua n dz h o u 4 9 p a i ds o m ea t t e n t i o n t ot h en o n s e l f a d j o i n te i g e n v a l u ep r o b l e m sa n dd i s c u s s e da t w o - g r i dd i s c r e t i z a - t i o ns c h e m ef o re i g e n v a l u ep r o b l e m s s u b s e q u e n t l y , 【1 9 】b u i l tu pag e n e r a l i z e d r a y l e i g hq u o t i e n tf o rn o n s e l f a d j o i n tp r o b l e m s b a s e do nt h e s er e s e a r c h e s ，t h i sp a p e rs t u d i e ss e v e r a lf i n i t ee l e m e n th i g h p r e c i s i o nm e t h o d so ft h ee l l i p t i cp r o b l e m s ，i n c l u d i n g3 - d i m e n s i o na n dr e - e n t r a n t c o r n e rp r o b l e m ：l o c a lg r i dr e f i n e m e n t ( r - r e f i n e m e n t ) ，i n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o n s c h e m ea n dt w o - g r i dd i s c r e t i z a t i o ns c h e m eb a s e do ng e n e r a l i z e dr a y l e i g hq u o - t i e n t ，w h i c ha r ea l lu s e dt os o l v en o u s e l f a d j o i n tp r o b l e m f o rr e e n t r a n tc o r n e r p r o b l e m ，w eo b t a i nh i g hp r e c i s i o no fe i g e n v a l u eb yl i n e a re l e m e n t o nl o c a l 2 r e f i n e m e n tg r i d w ea c q u i r es o m ev e r yg o o dr e s u l t so ft h es e c o n d - o r d e re l - l i p t i cp r o b l e m ，w h i c hi ss o l v e db yt h ei n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o no ft r i a n g u l a r h n e a re l e m e n t ，b i q u a d r a t i ce l e m e n ta n dt r i l i n e a re l e m e n t ，a n dp r e s e n tn u m e r i - c a le x a m p l e so fs e l f a d j o i n ta n dn o n s e l f a d j o i n tp r o b l e m ss o l v e db ya c c e l e r a t i o n t e c h n i q u eb a s e do ng e n e r a l i z e dr a y l e i g hq u o t i e n t t h e s em e t h o d sh a v ev e r y h i g ha c c u r a c yw h i c ha r ep r o v e db yt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i - m e n t s c h a p t e r 2 i n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o ns c h e m e b o t ht h e o r e t i c a ls u p e r c o n v e r g e n c ei m p r o v m e n ta n da p p l i c a t i o no ff i n i t e e l e m e n tm e t h o dn e e df u r t h e rr e s e a r c ho nt h es u p e r c o n v e r g e n c er e s u l t so fe n - t i r eb l o c ka n dp i e c e w i s ee l e m e n t s t oo b t a i nt h ew h o l es u p e r c o n v e r g e n c ei s m a i n l yb ym e a n so fi n t e r p o l a t i o np o s t - t r e a t m e n t i n1 9 8 2 ，c h e nc h u a n m i a o a d v a n c e dl i n e a ri n t e r p o l a t i o na n de x t r a p o l a t i o nb yt h es t r e s sv a l u e so f3s t r e s s p o i n t sa r o u n d t h e s ev a l u e sa d m i ts e c o n d - o r d e rt w oo r d e rp r e c i s i o no ( h 2 ) i n1 9 8 5 ，l i nq u na n dx uj i n c h a ou s e dt h eg r a d sa v e r a g ev a l u eo fm i d p o i n t s o rt o p p o i n t ss e l f a d j o i n te l l i p t i co ft h eu n i ts i d eo ft r i a n g u l a ra sp i e c e w i s el i n - e a ri n t e r p o l a t i o nt oo b t a i nh o l i s t i cs u p e r c o n v e r g e n c eo ft h es t r e s s f r o m19 8 9 t o1 9 9 1 ，l i n 【7 】p o i n t e do u tt h a tt h en o d a l so fl o w e rd e g r e ee l e m e n ta st h e i n t e r p o l a t i o nn o d a l s ，t od ot h eh i g h e rd e g r e ei n t e r p o l a t i o no fh i g h e rd e g r e e f o rt h el o w e rd e g r e ee l e m e n tc a na c q u i r eah o l i s t i cg l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c e o ft h es t r e s s t h i sm e t h o dc a l l e di n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o no ri n t e r p o l a t i o n p o s t t r e a t m e n t b e c a u s eo ft h es i m p l e n e s sa n dc o n v e n i e n c eo fi n t e r p o l a t i o n c o r r e c t i o n ，i th e l p su so u to ft h ep r e v i o u ss i t u a t i o no fl o n g - t e r mr e s e a r c ho n t h es u p e r c o n v e r g e n c ep o i n ts i n g l y , a n di th a sd e v e l o p e di n t oaa p p r o a c hi n 3 s t u d y i n gt h es u p e r c o n v e r g e n c eo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o da n da l s oap o w e r f i l l t o o lt oc o n s t r u c tp o s t e r i o r ie r r o ri n d i c a t i o no ff i n i t ee l e m e n ts o l u t i o n l i nq u n a d v a n c e dt h eo p t i m a li n t e r p o l a t i o nt os o l v ek i n d so fp d e ss i n c e1 9 9 1( s e e 2 】， 6 】 1 0 ，【2 9 】) t h e s em e t h o d sn o to n l ya d v a n c e dt h et h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n d p r a c t i c a ls u p e r c o o n v e r g e n c ea p p l i c a t i o no ff i n i t ee l e m e n t s ，b u ta l s ot h e s ev a r i o u sm e t h o d sc a nm a k eu pw i t he a c ho t h e r f o rh i g hp r e c i s i o n ，s p e c i a la t t e n t i o n s h o u l db ep a i dt o3 - dp r o b l e m s t h e r ee x i s td i f f i c u l t i e so fs t o r a g ea n dc o m - p u t a t i o nd u et ot h eu n k n o w nn u m b e ro fo ( h - 3 ) ，t h a ti s ，e x p o n e n t i a li n c r e a s e o ft h es c a l ec a u s e s3 - dt r o u b l e t h e r e f o r e ，w ea d o p th i g hp r e c i s i o na l g o r i t h m t or e d u c es c a l ef o r3 一dp r o b l e m ，u n d e rt h ec o n d i t i o no fa d e q u a t ep r e c i s i o n ， a n do b t a i nh i g h e rp r e c i s i o na tt h el e s sc o s t t h em e a n i n gi sm o r ei m p o r t a n t t h a nt h a to f2 一dp r o b l e m b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo f3 - dm e s hg e n e r a t i o n ， w ea d o p tr e g u l a rm e s hw h i c hs a t i s f i e sh i g hp r e c i s i o na l g o r i t h mi np r a c t i c et o e n s u r et h ef e a s i b i l i t yo fh i g hp r e c i s i o na l g o r i t h m a l t h o u g hw ec a ng a i nn u m e r i c a ls o l u t i o nb ym e a n so ff i n i t ee l e m e n tm e t h - o d s ，t h ep r e c i s i o no fs o l u t i o nw i l ln o th i g he n o u g hs o m e t i m e s ，e x p e c i a l l yf o r s o m es i n g u l a rp r o b l e m s t h e r e f o r e ，t h eh i g hp r e c i s i o na l g o r i t h mo ff e mh a s b e c o m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n t i ti n c l u d e ss u p e r c o n v e r g e n c e ，e x t r a p o - l a t i o na n dc o r r e c t i o na tp r e s e n t h o w e v e r ，t h ec o r r e c t i o no ff e mi ss e l d o m r e s e a r c h e d ，b u tt h ec o r r e c t i o no ff e m h a ss h o w e ds o m e a d v a n t a g i e sa sf o l l o w s ： 1 i ti ss i m p l e rt h a nt h a to ff i n i t ed i f f e r e n c e t h a n k st op a r t i a li n t e g r a t i o n ，t h e d e g r e eo fa p p r o x i m a t e dd e r i v a t i v ei sr e d u c e d w ea d o p tu n i f o r ms c h e m eo fi n t e r p o l a t i o nc o r r e c t i o ni np r a c t i c e 2 a l t h o u g ht op r o v et h ec o r r e c t i o ni sm o r e c o m p l e xt h a ne x t r a p o l a t i o n ，c o m p u t a t i o nw i l lb el e s si nd i r e c t l ys o l v i n gt h e p r o b l e m s h o w e v e r ，n u m e r i c a le x p e r i m e n ti n d i c a t e st h a tt h ec o r r e c t i o nh a sa 4 h i g h e rp r e c i s i o n t h u s ，t h ec o r r e c t i o no ff e m h a sam o r ep r o m i s i n gp r o s p e c t ， f o rt h em o m e n t ，t h ec o r r e c t i o n so ff e ma r ea sf o l l o w s ：( 1 ) t oc o n s t r u c tt h e c o r r e c t i o ns o l u t i o nd i r e c t l y ：s u p p o s et h es u b d i v i s i o nto fd o m a i nqi sh o m o - g e n e o u s ，s 台i sl i n e a re l e m e n t ( t r i a n g u l a rl i n e a re l e m e n to rr e c t a n g l eb i l i n e a x e l e m e n t ) s u b s p a c e ，u 明a n dt h es o l u t i o no ff e m 醋s a t i s f y , r e s p e c t i v e l y ( v u ，v v ) = ( f ，可) ，u 月吾( v u ，v u ) = ( 厂， ) ，u 醋m a c k i n c a r e yc o n s t r u c t e ds o l u t i o no ff e md i r e c t l y , c h e nc h u a n m i a oa n dz h a n gz h i m i n ( 1 一d c a s e ) ，c h e nc h u a n m i a o ( 2 - db i l i n e a re l e m e n t ) a n dh u a n gy u n q i n g ( 2 - dt r i a n g l ee l e m e n t ) r e s e a r c h e df u r t h e r l ya n dp r o v e di tb yf e m ( 2 ) t h ef o r mo fc o r n b i n a t i o nc o r r e c t i o n ：b a s i ci d e ao fc o m b i n a t i o nc o r r e c t i o ns c h e m ei sl i n e a rc o m - b i n a t i o no ft w ol o w e rp r e c i s i o ns o l u t i o n st oo b t a i nh i g hp r e c i s i o ns o l u t i o n ( 3 ) t h ec o r r e c t i o nb a s e do ns u p e r c o n v e r g e n c e ( l i n ，y a n g ) i ft h es o l u t i o no ff e m u h a sas u p e r c o n v e r g e n c ee s t i m a t i o ni i v ( u h i h u ) 1 1 0 ，o o ，n c h 21 2 礼 u i | 3 ，o o ，q ， t h e n 锄h a sh i g hp r e c i s i o ne s t i m a t i o nl l 砬 一口l l o ，o 。，n c h 3 i l n h l 2 i l u t l 3 ，q ，w h e r e 它h = r h u + 厶，h u h r h ( 1 2 ，h u h