（应用数学专业论文）多项式bezout矩阵和toeplitzbezout矩阵性质的研究.pdf

多项式b e z o u t 矩阵和t o e p l i t z b e z o u t 矩阵性质的研究 摘要 b e z o u t 矩阵是判定线性系统稳定性的一个重要工具近年来，随着系统理 论和控制理论的发展，对b e z o u t 矩阵的研究也随之深入经典的b e z o u t 矩阵 也在多个方面得到推广其中多项式b e z o u t 矩阵是一个重要的研究方向， z h y a n g 等在 3 】中给出了多项式b e z o u t 矩阵的定义，并得到了类似于经典的 b e z o u t 矩阵的许多结论：( 1 ) 广义b a r n e t t 分解公式；( 2 ) 多项式b e z o u t 矩阵与联 盟矩阵的缠绕关系；( 3 ) 通过合流v a n d e rm o n d e 矩阵对多项式b e z o u t 矩阵进行 约化等在 1 中，g h e i n i g 和k r o s t 还研究了经典的b e z o u t 矩阵的诸多其它 性质为此，本文给出了多项式b e z o u t 矩阵类似于【1 】中经典的b e z o u t 矩阵的 一些性质 本文的第一部分首先给出有关多项式b e z o u t 矩阵的一些重要结论，然后 用纯代数方法研究多项式b e z o u t 矩阵的一些新的性质，并讨论了一类l y a p u n o v 方程解的情形本文第二部分介绍了t o e p l i t z b e z o u t 矩阵的第一种定义，并用 类似于 1 2 中的多项式模和算子矩阵表示的方法，得到了关于t o e p l i t z b e z o u t 矩阵的一些性质给出了t o e p l i t z b e z o u t 矩阵是某一算子关于一组对偶基的矩 阵表示的事实，同时给出了： ( 1 ) t o e p l i t z b e z o u t 矩阵的因式分解公式； ( 2 ) 以及t o e p l i t z 。b e z o u t 矩阵和友矩阵类的缠绕关系； ( 3 ) 并且给出了关于多项式对p ( x ) ，q ( x ) 的结式矩阵r e s ( p ，q ) 和岛( p ，g ) 之间 的关系式： ( 4 ) 利用这个关系式我们还得到了t o e p l i t z b e z o u t 矩阵的三角分解公式 关键词：多项式b e z o u t 矩阵；结式矩阵；t o e p l i t z - b e z o u t 矩阵；算子矩阵表示 r e s e a r c ho np r o p e r t i e so fp o l y n o m i a lb e z o u t i a nm a t r i x a n d t o e p l i t z b e z o u tm a t r i x a b s t r a c t b e z o u t i a nm a t r i xi si m p o r t a n tt od e t e r m i n et h es t a b i l i t yo fl i n e a rs y s t e m sa sa t 0 0 1 i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo fb e z o u t i a nm a t r i xi sd e e p l yw i t ht h ed e v e l o p m e n t o fs y s t e m sa n dc o n t r 0 1t h e o r y c l a s s i c a lb e z o u t i a nm a t r i xi sa l s op r o m o t e di na n u m b e ro fa s p e c t s p o l y n o m i a lb e z o u t i a nm a t r i x i sa n i m p o r t a n t r e s e a r c h d i r e c t i o n i n 3 】z h y a n gg a v eag e n e r a ln o t i o no fp o l y n o m i a lb e z o u t i a nm a t r i x ， a n dp r e s e n t e d ：( 1 ) g e n e r a l i z e db a r n e t td e c o m p o s i t i o nf o r m u l ao fp o l y n o m i a l b e z o u t i a nm a t r i x ；( 2 ) a ni n t e r t w i n i n gr e l a t i o no fp o l y n o m i a lb e z o u t i a nm a t r i xa n d a l l i a n c em a t r i x ；( 3 ) t h eg e n e r a l i z e db e z o u t i a nr e d u c t i o nv i ac o n f l u e n c ev a n d e r m o n d em a t r i x t h e s ec o n c l u s i o n sa r es i m i l a rt oe l a s s i c a lb e z o u t i a nm a t r i x i n 1 】1 g h e i n i g a n dk r o s ta l s os t u d i e dm a n yo t h e rp r o p e r t i e so ft h e c l a s s i c a l b e z o u t i a n s i nt h i s p a p e r ，if i r s t l yg i v e s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n so fp o l y n o m i a l b e z o u t i a nm a t r i x t h ef i r s tp a r to ft h ejo bi st os t u d yp r o p e r t i e so fp o l y n o m i a l b e z o u t i a nm a t r i xw i t hp u r e l ya l g e b r a i cm e t h o d s w i t he a s i e rw a y so fp r e s e n t i n gt h e p r o o fo ft h r e ek n o w nc o n c l u s i o n so fp o l y n o m i a lb e z o u t i a nm a t r i x ，b u ta l s og i v e s o m en e wp r o p e r t i e so ft h ep o l y n o m i a lb e z o u t i a nm a t r i x ，a n dd i s c u s st h es o l u t i o n s o fl y a p u n o vt y p ee q u a t i o n ，t o o i nt h es e c o n dp a r t ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ef i r s t c o n c e p to ft h et o e p l i t z b e z o u tm a t r i x ，a n ds e c o n d l yw es t u d ys o m ep r o p e r t i e so f t o e p l i t z b e z o u tm a t r i xw i t ht h em e t h o do fp o l y n o m i a l m o d e la n dt h em a t r i x r e p r e s e n t a t i o no fo p e r a t o r w ea l s op r o v e t h ef a c tt h a tt h et o e p l i t z - b e z o u tm a t r i xi s t h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o no f ap a i ro f d u a l i t yb a s i s a tt h es a m et i m e ，w eg i v e ：( 1 ) t h e f a c t o r i z a t i o nf o r m u l ao ft h et o e p l i t z b e z o u tm a t r i x ；( 2 ) a ni n t e r t w i n i n gr e l a t i o no f t o e p l i t z b e z o u tm a t r i xa n dt h ec l a s so ft h ec o m p a n i o nm a t r i x ；( 3 ) i n t r o d u c et h e r e s u l t a n tm a t r i xa b o u tap a i ro fp o l y n o m i a l sa n dg i v et h er e l a t i o nb e t w e e nt h e r e s u l t a n tm a t r i xa n dt o e p l i t z b e z o u tm a t r i x t h e nw et a k ea d v a n t a g eo ft h i s r e l a t i o n ，a n dg e tt r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o nf o r m u l ao ft o e p l i t z - b e z o u tm a t r i x k e y w o r d s ：p o l y n o m i a lb e z o u t i a nm a t r i x ；r e s u l t a n tm a t r i x ；t o e p l i t z 。b e z o u t i a n m a t r i x ；t h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o no fo p e r a t o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得 金目巴王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意 学位论文作者签字：夏屋缝字日期渺卜驴月细日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金起王些太堂 有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅本人授 权 金目曼王些太堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：夏7 秀 签字目期：唧年妒月，o 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 辄警簟 签字吼唧年扫月o 日 致谢 三年的学习生活即将结束，在这短暂的三年里，我在合肥工业大学学到了 许多对我以后的人生有用的东西，我在这里首先对培养我的各位领导和老师表 示感谢我的论文是在导师吴化璋教授的精心指导下完成的，三年来吴老师不 仅教给我们扎实的专业基础知识，还教会我们很多做人的道理，从他身上我学 到了严谨的治学态度，认真教学的教师风范，让我在以后的从教生涯中受益非 浅在这三年中，我家里有很多变故，生活中有许多困难，吴老师给了我很多关 心和帮助，我衷心的感谢吴老师在学业上和生活上对我的关心和帮助 在这里我还要感谢数学系的凌能祥教授和李声闻副教授，感谢他们对我的 帮助和关心 在三年的学习中，和我一起学习的同窗好友唐松，毕亚伟，李娜，吴晓璇 给予了我很大的帮助在一起报告，讨论，学习的场景历历在目，在此过程中， 我的专业知识得到了很大提高，在这里也谢谢你们 最后我还要感谢我的父母和姐姐，是他们在物质和精神上的支持才使得我 能顺利完成我的学业 作者：王厚起 2 0 0 9 年3 月 第一章绪论 1 1 背景与意义 给定一对复系数多项式 口( x ) = a i x ( o ) ，6 ( x ) = 叫， 由二变量多项式 舷少) ：a ( x ) b ( y = ) - b _ ( x ) a ( y ) ：n - 1 n - 16 j f x y 。 ( 1 1 1 ) “ ，j = oj = o 确定的矩阵8 ( a ，b ) = ( 6 f ，) 艺，称为口( x ) 与6 ( x ) 的b e z o u t 矩阵 b e z o u t 矩阵的概念初现于1 8 世纪，流行于1 9 世纪中叶它在研究多项式 的惯性和矩阵稳定性问题中，具有重要作用近年来，随着算子理论和结构矩 阵在自动控制技术和其他科学技术领域中的应用；t o e p l i t z 矩阵类在数值分析， 数字信号处理，系统识别和工程计算中得到广泛的应用，作为h a n k e l 和t o e p l i t z 矩阵的逆的b e z o u t 矩阵也得到了研究者们的高度重视在现代方程理论，多项 式的稳定性理论和系统理论中，b e z o u t 矩阵的研究地位变的越来越重要 定义1 1 2 i 如果矩阵a c “”的所有特征值具有负实部，则称a 是稳定矩阵 稳定矩阵在形如下面的 ( 1 ) 微分方程 给定矩阵a r 删 量o ) = a x ( t ) ，x o ) r ”；( 1 1 2 ) 和 ( 2 ) 差分方程 已知矩阵a c ，x 0 c ”是给定的非零向量 x ，= 出，一l ，x ，c ”，_ ，= 1 ，2 ， ( 1 1 3 ) 的研究中具有重要的作用【2 】在研究矩阵稳定性和多项式惯性问题时，通常的 做法是计算矩阵特征值或多项式零点，但在实际问题中上述做法有许多困难， 而且有些实际问题中并不需要知道矩阵的特征值或多项式的零点我们自然希 望得到一些准则，不必直接计算矩阵特征值或多项式零点而能判断其零点在复 平面上相对于虚轴或单位圆周的零点分布情况c h e r m i t e 和m f u j i w a r a 两人 在l y a p u n o v 理论的基础上分别给出了利用实系数多项式对的b e z o u t 矩阵解决 多项式相对于虚轴或单位圆周的零点分布问题，给出了r o u t h h u r w i t z 准则和 s c h u r c o h n 准则，避免了很多烦琐的计算许多学者在经典的b e z o u t 矩阵的基 础上进行了多方面的推广其中特别是，把经典的b e z o u t 矩阵推广到多项式 b e z o u t 矩阵，在控制理论和系统理论中有相当的应用c h e b y s h e v 多项式序列， n e w t o n 多项式序列，插值型多项式序列都是一般多项式序列，一般多项式序列 在函数逼近论和多项式插值等实际问题中具有重要应用但相对于经典的 b e z o u t 矩阵的性质，多项式b e z o u t 矩阵的性质还很欠缺因此，研究多项式 b e z o u t 矩阵的性质很有必要，并且具有重要意义 1 2 研究内容 具体地，本文主要包括两个部分：作为本文重点，第二章主要包括对古典 b e z o u t 矩阵一些重要结论和性质的回顾，并且介绍了研究过程中所需要的一些 概念，符号和术语，用纯代数方法研究了多项式b e z o u t 矩阵的性质，用更容易 的方法给出已知的三个结论的证明，而且给出多项式b e z o u t 矩阵的一些新的性 质，也讨论了一类l y a p u n o v 方程解的情形第1 节我们回顾了古典b e z o u t 矩 阵的性质；第2 节介绍了一般多项式基的概念；第3 节给出多项式b e z o u t 矩阵 的概念；第4 节我们用纯代数方法证明多项式b e z o u t 矩阵的三个主要结论，相 对于 3 】中的多项式模和算子方法而言，它显得更加容易；第5 节我们主要研究 多项式b e z o u t 矩阵的一些其它性质，它们主要是【1 】中一些结论的推广；第6 节我们主要研究一类l y a p u n o v 方程的解的情形，从位移结构的观点看，这个方 程给我们展示了多项式b e z o u t 矩阵的位移结构第三章也是作者研究所得结论 的主要部分，主要包括：在多项式模和矩阵算子表示的基础上，我们得到了 t o e p l i t z b e z o u t 矩阵的一些性质证明了t o e p l i t z b e z o u t 矩阵是某一算子关于 一组对偶基的矩阵表示的事实，同时给出了t o e p l i t z - b e z o u t 矩阵的因式分解公 式；以及t o e p l i t z b e z o u t 矩阵和友矩阵类的缠绕关系；并且给出了关于多项式 对p ( x ) ，q ( x ) 的结式矩阵r e s ( p ，q ) 和岛( p ，9 ) 之间的关系，利用这个关系我们还得 到了召r ( p ，g ) 的三角分解公式 2 第二章多项式b e z o u t 矩阵的性质 在本章中，我们用纯代数方法讨论了多项式b e z o u t 矩阵的若干性质用更 容易的方法证明了关于多项式b e z o u t 矩阵的三个重要结论，而且利用这三个重 要结论得到了多项式b e z o u t 矩阵的一些新的性质，同时也讨论了一类l y a p u n o v 方程解的情况第1 节我们回顾古典b e z o u t 矩阵的性质；第2 节介绍一般多项 式基；第3 节给出多项式b e z o u t 矩阵的性质；第4 节我们用纯代数方法证明多 项式b e z o u t 矩阵的三个重要结论，相对于多项式模和算子的方法而言，它显得 更加容易；第5 节我们主要研究多项式b e z o u t 矩阵的一些其它性质，它们主要 是 1 中结论的推广；第6 节我们主要讨论了一类l y a p u n o v 方程解的情形，从 位移结构的观点看，这个方程给我们展示了多项式b e z o u t 矩阵的位移结构 2 1 古典b e z o u t 矩阵及其性质 给定一对复系数多项式 ，j a ( x ) = 口，x ( 口，o ) ，6 ( x ) = 叫 ( 2 1 1 ) i = oi - o 由二变量多i 贞式 r ( x , y ) ：a ( x ) b ( y = ) - - b ( x ) a ( y ) ：i - 1 i - 1 y 7 ( 2 1 2 ) x 一， 否一i = o 。 所确定的矩阵b ( a ，6 ) = ( 包f ) ：厶，称为口( x ) 与6 ( x ) 的b e z o u t 矩阵或h a n k e l - b e z o u t 矩阵，记为b = b ( a ，b ) 在文献 1 2 中，u h e l m k e 和p a f u h r m a n n 用多项式模和算子矩阵表示的 方法研究了b e z o u t 矩阵的性质对于 1 2 中的方法简介如下： ( 1 ) 在线性空间g 【x 】( 次数小于n 的复系数多项式全体) 上定义双线性型：对 于w ( x ) ，g ( x ) e i x 】，定义 = f r s ( p ) 。1 9 ( 枣) 其中厂，g 是厂( x ) ，g ( x ) 关于有序基【1 ，x ，x 肛1 】的列坐标，即 f ( x ) = 1 ，x ，_ ) c 肛1 】f ，f = 【f o ，石， 一。】2 ( 2 ) 已知”次多项式p ( x ) ，在e i x 上定义线性算子s 口：对于 b 丁( x ) g 【x 】，s 口f ( x ) = 毛7 r ( x ) m o dp ( x ) 设吃= “。，u n 一。】和鼠= 【v o ，一。】是g i x 】中的两组有序基，如果 = 露= o 等，则称吃和色是关于( 掌) 所定义的双线性型 的对偶 3 基 设仃是定义在e 【x 】上的任意线性算子，f ( x ) ，g ) 是e 【x 】中的两组有序基， 用p 表示线性算子仃关于f ( x ) ，g ( x ) 的矩阵表示，即仃f = g p 曙 下面令既= 万( x ) = 1 ，毛，x ”1 】表示线性空间q 【x 】( 次数小于刀的复系数多 项式全体) 的标准幂基， b 。= p 。，e 2 , - - , e 。) 是e 【x 】中的控制基，其中 q ( x ) = q j + q i + x + + x ”，f = 1 ，1 1 ， 定理1 m 1 设口( x ) = 口f x ( 口f o ) ， i * 0 ， 6 ( x ) = 6 f x 为两个给定的复系数多项式， i = o 则 ( 1 ) b ( a ，6 ) r = b ( a ，b ) ： ( 2 ) b ( b ，口) = - b ( a ，6 ) ； ， ( 3 ) b e z o u t 矩阵具有线性性，即对任何多项式c ( x ) = c ，z ，有 i = o b ( a ，b + c ) = b ( a ，6 ) + b ( a ，c ) ， 定义2 2 1 若口 ) = 口，x ，那么如下形式的z 阶上三角h a n k e l 矩阵 j = o s ( 口) = d 1 0 。； 0 称为多项式a ( x ) 的对称化子 ， 定义3 2 1 若口 ) = 口，x 。( 口f o ) ，z 阶方阵 i = o c ( 口) r = o o 0 一口0 口 o 1 0o 称为多项式a ( x ) 的第一友矩阵；，阶方阵 c ) = o o 1 一n f 一1 口， 0 0 0 一a o a ， 10 0一a l a ， 0l； ；。0 1； i v 0 01 一a 。一l a ， 4 ( 2 i 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) _ 。 qq 称为多项式a ( x ) 的第二友矩阵 ， 定义4 若口( x ) = 口f z = a t x 7 + + 口l x + a o ( 口，o ) ，称 i - o a ( x ) = x t a ( x 一1 ) = a o x 7 + + 口，一l x + a ， 为a ( x ) 的倒易多项式【2 】 定义5 记力阶旋转矩阵 r 。= 0 ：。 01 10 o1 。0 ； 0 ( 2 1 。6 ) ( 2 1 7 ) 定理6 1 2 1b e z o u t 矩阵b ( a ，b ) 有如下的三角分解形式： b ( a ，6 ) = s ( a ) s ( b ) r 。- s ( b ) s ( h ) r 。 ( 2 1 8 ) 定理7 1 1 2 ib e z o u t 矩阵b ( a ，6 ) 是算子b ( s 。) 关于对偶基b 硝和b o o 的矩阵表示 即b ( s 。) b o o = b 甜b ( a ，6 ) 或b ( a ，6 ) = b ( s 。) 】三 定理7 1 2 , 1 2 1 ( b a r n e t t 分解公式) b ( a ，6 ) = s ( 口) 6 c ( 口) 7 】= 6 c ( 口) 】s ( 口) ( 2 1 9 ) 由定理7 我们可以得到两个多项式a ( x ) ，b ( x ) 互素与其对应的b e z o u t 矩阵 b ( a ，6 ) 的非奇异性的关系 定理8 1 2 i 两个多项式a ( x ) ，b ( x ) 互素当且仅当b ( a ，b ) 非奇异 定理9 1 2 , 1 2 1 多项式a ( x ) ，b ( x ) 的b e z o u t 矩阵b ( a ，b ) 与a ( x ) 的友矩阵c ( 口) 满足 下面的缠绕关系： c ( a ) b ( a ，6 ) = b ( a ，6 ) c ( 口) 1 ( 2 1 1 0 ) 定理1 0 1 设口( x ) = 兀( x - - x 。) 打，_ 互不相同，l j 1 ，l i = ，d e g b ( x ) ， 则b ( a ，b ) 满足 y ( 口) 2b ( a ，b ) v ( a ) = d i a g r ，a ，( ) 6 ( 以。) r - l ，( 2 1 11 ) 其中v ( a ) 是关于多项式a ( x ) 的合流v a n d e rm o n d e 矩阵，被定义如下 y ( 口) = ( s n ( x 1 ) ，s 如( x ，) ) ， 其中 s 矗( x ，) ：- f 盘、1 x i k - j 7 1 “一1 ，：。，2 ，； l l j ) j k i = o a i ( x ) = a ( x ) ( x x f ) 矗，r ，是，。阶旋转矩阵， 3 畦= x f 1 0 而 ： 0 。 00 o o 1； o 1 0 x f 表示对应于t 的z 。，阶若当块 ， 定义1 1 2 1 假设口( x ) = a i x ( q o ) ， i = 0 r e s ( a ，6 ) ， r e s ( a ，6 ) ：= qq - - - - _ - - a o a l 6 l6 ， b o6 l ， 6 ( x ) = 6 f x ，口 ) 和6 ( x ) 的结式矩阵记作 t = o ( 2 1 1 2 ) 定理1 2 i 2 1 设r e s ( a ，b ) ，b ( 口，b ) 的定义如前，则 k s ( 吼6 ) = 尸lb 言羔l q ( 2 1 1 3 ) 其中 p = s 。兰，一。马s 。6 ，委口，一。局一。 ，q = 一曷s 。口1 1 ，c 。口，局s 0 。口， 定理1 2 表明 r a n k ( r es ( a ，6 ) ) = r a n k ( b ( a ，6 ) ) + ， 2 2 一般多项式基 设 鲛( x ) ) ：= o 是一个多项式序列，d e g q ( x ) = k ( k = o ，1 ，玎) ，记 q ( x ) = ( q o ( x ) ，q 1 ( x ) ，q 一。( x ) ) 显然q ( x ) 是g h 】的一组基，称为一般多项式基 对上面的多项式序列 q ) ：；。，假设它满足如下的递推关系式： q 0 ( x ) = ， 土 q ( x ) = a , x q 女一l ( x ) 一o k - f ，女q 一，( x ) ，( k = 1 ，2 ，门) i = l 系数，瓯，q 。均由 q ( x ) ) ：o 唯一确定，且吼，瓯不为零 不难发现标准幂基，c h e b y s h e v 多项式序列，n e w t o n 多项式序列，插值型 多项式序列都是一般多项式序列一般多项式序列在函数逼近论和多项式插值 问题中具有重要应用 6 唧 岛 一 一 2 3 多项式b e z o u t 矩阵 给定一对复系数多项式p ) 和q ( x ) ，其中d e gp ( x ) = 行，d e gq ( x ) 挖，关于一般 多项式基q ( x ) 的b e z o u t 矩阵由下列的展开式定义： r ( x , y ) ；p ( x ) _ q ( y ) _ - p ( y ) q ( x ) ：艺芝c ，啪) ， ( 2 3 1 ) “ i = oj = u 那么由此确定的矩阵 ( p ，q ) = ( q ，) n “- i ( 2 3 2 ) 称为多项式p ( x ) 和g ( x ) 关于一般多项式基q ( x ) 的b e z o u t 矩阵，下面简称多项式 b e z o u t 矩阵 把( 2 3 一1 ) 写成简单的矩阵形式就是： g ( x , y ) ：p ( x ) q ( y ) - p ( y ) q ( x ) ：q ) b q ( p , q ) q ( y ) 7 ( 2 3 3 ) x y 特别地， d p ( x ，j ，) ：然幽：q ( x ) b 。( p , 1 ) q ( y ) r ， ( 2 3 4 ) 工一y 其中b e ( p ，1 ) 是p ( 石) 关于一般多项式基q ( x ) 的广义对称化子，它是古典对称化子 的推广，我们也把b o ( p ，1 ) 简记为s q ( p ) 我们注意到s q ( p ) 是对称的、上三角、 非奇异矩阵，但一般说来，品( p ) 已不在是h a n k e l 矩阵 为了研究的方便，假设所有的姨( x ) ( 后= 0 ，1 ，n ) 都是首一多项式，并且设 多项式序列 q k ) ) ：。满足下面的递推关系式： 或( x ) = 1 ， q ( x ) = x q 一。( x ) 一a k - ，k 娘一，( x ) ， ( 2 3 5 ) 其中a ，由( 2 3 5 ) 唯一决定我们首先给出多项式在一般多项式基q ( x ) 下的广 义友矩阵( 也称为联盟矩阵) 的定义我们把p ( x ) 在一般多项式基q ( x ) 下展开 p ( x ) = o o q o ( x ) + o , q l ( x ) + + 或一l q 。一l ( x ) + q 。( x ) ( 2 3 6 ) 它的联盟矩阵c q ( p ) 定义如下： c q ( p ) = a o ”一o o a l 。一岛 a 2 。一岛 001 a 一吼一l 2 4 三个已知结论的新的证明 ( 2 3 7 ) 设万( x ) = ( 1 ，x ，x ”1 ) ，9 ( x ) = ( q o ( x ) ，q ( x ) ，q 一。( z ) ) ，下面我们用t = 勺】：同 表示从标准幂基万( x ) 到一般多项式基q ( x ) 的过度矩阵，即满足q ( x ) = 万( x ) - t 文 7 献 2 8 】中，作者通过在g 【x 】上引入线性算子证明了多项式p ( x ) 的第二友矩阵 c ( p ) 和它的联盟矩阵( p ) 相似，本文用另一种方法给出c ( p ) 和c q ( p ) 相似性的 证明，c ( p ) 和c q ( p ) 的相似性在后面的研究中起着非常重要的作用 引理1 设多项式p ( x ) = 谚q ( x ) ( 眈= 1 ) ，设 绕 ) ) ：。为一般多项式序列且 满足关系式( 2 3 5 ) ，则p ( x ) 的联盟矩阵c d ( p ) 与它的第二友矩阵c ( p ) 相似，并 且满足 c d ( p ) = t c ( p ) t ( 2 4 1 ) 证由( 2 3 6 ) ，我们可以得到 q 。( x ) = p ( x ) 一0 0 q o ( x ) 一b q l ( x ) 一一以一l q 。一l ( x ) ， 屯递推关紊式亿3 - 习写成矩阵形式就是 x q ( x ) 一q ( x ) c q ( p ) = p ( x ) o ，0 ，1 】， 因此 x q ( x ) = q ( x ) c q ( p ) m o d p ( x ) ， x 万( x ) = x ( x ) t c q ( p ) t m o dp ( x ) ， z r ( x ) c ( p ) = x ( x ) t c o ( p ) t m o dp ( x ) ， 因为等号两边x 的次数均小于r t ，可以得到 万( x ) c ( p ) = 7 r ( x ) t c q ( p ) t 一， 上式等价于c ( p ) = t c q ( p ) t ，结论得证，即c q ( p ) = t c ( p ) t 引理2 1 2 8 1 古典b e z o u t 矩阵b ( p ，g ) 与多项式b e z o u t 矩阵( p ，g ) 合同，且有 t b q ( p ，q ) t7 1 = b ( p ，q ) ( 2 4 2 ) 特别地 t s q ( p ) r = s ( p ) ( 2 4 3 ) 证考虑b ( p ，q ) 和( p ，g ) 的生成函数 r ( x , y ) ：p ( x ) q ( y ) - q ( x ) p ( y ) ：万( x ) b ( p ，g ) 万( y ) r ( 2 4 4 ) x y 以及r ( x , y ) ：p ( x ) q ( y ) - p ( y ) q ( x ) ：q ( x ) 丑。( p ，q ) q ( y ) 7 ( 2 4 5 ) x y 把q ( x ) = 万( x 沙带入( 2 4 5 ) ，我们有 x ( x ) b ( p ，q ) z r ( y ) r = 7 r ( x ) t b q ( p ，q ) t 丁万( y ) r ( 2 4 6 ) 由于万( x ) 是一组基序列， 所以 t b q ( p ，q ) t r = b ( p ，q ) ， 如果q ( x ) = 1 ，因而有 t s o ( p ) 丁1 = ) 我们已经知道 q当且仅当多项式p ( z ) 和g ( 石) 互素，又从引理2 可 知b ( p ，g ) 可逆当且仅当( p ，g ) 可逆，因此我们可以得到下面的推论： 推论3 多项式b e z o u t 矩阵( p ，q ) n - n - n - 可f f _ 当且仅当p ( x ) 和g ( x ) 互素 定理4 2 8 1 ( 广义b a r n e t t 分解公式) 设( p ，g ) ，s q ( p ) 和c o ( p ) 如前面所定义， 那么 召q ( p ，g ) = s q ( p ) q c q ( p ) 2 】= q 【c o ( p ) 】( p ) ( 2 4 7 ) 证利用引理1 和引理2 得 ( p ，g ) = t - 1 b ( p ，q ) r 。 = t - 1 s ( p ) g c ( p ) 1 】t 卅 = t 1 s ( p ) t 可t 丁g c ( p ) 7 】丁。 = s o ( p ) g 【丁1c ( p ) 1t 卅】 = s q ( p ) q t - 1 c ( p ) 丁】7 = s o ( p ) g c q ( p ) 1 】， 又因为( p ，g ) 是对称矩阵 ( p ，g ) = ( p ，g ) r = q c q ( p ) ( p ) ，定理得证 定理5 1 2 s 1 多项式b e z o u t 矩阵( p ，g ) 与联盟矩阵c q ( p ) 满足如下的缠绕关系： 饬( p ，g ) c q ( p ) 7 = c q ( p ) 如( p ，q ) 证利用引理1 和引理2 ，以及( 2 1 1 0 ) ， b 口( p ，q ) c q ( p ) r = t - l b ( p ，g ) 丁一r t7 c ( p ) r t r = t b ( p ，g ) c ( p ) 1 ( t 1 ) 1 = t c ( p ) b ( p ，g ) ( 丁。1 ) r = t - l t c q ( p ) 丁_ 觋( p ，q ) t 7 t = c o ( p ) 吃( p ，g ) 定理6 设p ( x ) = 兀 一_ ) 一，对应于多项式p ( x ) 的合流v a n d e rm o n d e 矩阵 v q ( p ) r = c o l 哺m 。，v q ( x ，一帆专等 富则 v q ( p ) rb 口( p ，q ) v q ( p ) = a i a g r ，p f ( j x , ) g ( j 而) 】：l ， 其中p ，( x ) = p ( x ) ( x t ) 一，厂 r ，如2 1 节定义相同 证由q ( x ) = 万( x ) t ， 上式左右两边对x 。求阶导数，并除以! ，i = 1 ，n ，= 0 , 1 ，以，- 1 ，把它们写 成矩阵形式可得 ( p ) 1 = 矿( p ) 1t ， 把上式代入2 1 节( 2 1 1 1 ) 可得结论 2 5 多项式b e z o u t 矩阵的其它性质 本节我们主要研究一般多项式基的b e z o u t 矩阵的一些其它性质，它们可以 被看作是【1 】中经典的b e z o u t 矩阵性质的推广首先广义b a r n e t t 分解公式暗含 着下面两个结论，它们可以被看做是 1 15 b 命题2 1 0 和命题2 1 1 的推广 9 定理1 如果多项式p ( x ) ，厂( x ) ，g ( x ) 满足d e g 厂 ) g ( x ) d e gp ( x ) = 刀，那么 ( p ，店) = 岛( b 力( 力q 岛( 仍g ) ( 2 5 1 ) 证由2 4 节定理4 ，我们得到 ( p ，詹) = ( p ) f c q ( p ) 7 g c o ( p ) 1 】 = s o ( p ) f c o ( p ) 1 】( p ) 叫s o ( p ) g c o ( p ) 1 】 = 饬( p ，厂) ( p ) 叫岛( p ，g ) 注释2 一般情况下，我们可以把定理1 推广到有限的情形，即：如果多项式 p ( x ) ， ( x ) ， 0 ) ，以( x ) ( 七2 ) 满足d e g f l ( x ) f 2 ( x ) ( x ) d e g p ( x ) = 玎，那么 ( p ，z 以 ) = b o ( p ，z ) s q ( p ) 。1 ( p ，l ) s 口( p ) b q ( p ， ) ( 2 5 2 ) 为方便起见，对于旋转矩阵r 。，我们引进关于基q ( x ) 的所谓广义的旋转矩 阵如，定义如下： r q = r 7 r 。t ( 2 5 3 ) ， 因为尺。是对称矩阵，所以r 0 1 = 定理3 设p ( x ) ，g ( x ) 是两个n 次多项式，则岛( p ，口) = 【c 刍( p ) ”一c 舀( g ) “i n ， 其中n = s o ( p ) ( g ) = & ( g ) r o s q ( p ) ( 2 5 4 ) 证根据 1 】中的命题2 1 1 ，我们有b ( p ，q ) = 【c ( p ) ”一c ( g ) “】m ， 其中m = s ( p ) r 。s ( g ) = s ( q ) r 。s ( p ) ， 用2 4 节引理1 和引理2 ，我们可以得到 乃q ( p ，q ) t7 = 丁 c e ( p ) “一c q ( g ) ”】丁t s q ( p ) 丁2r n t s o ( q ) t 1 ， 对上式两边消去丁，丁r ，再利用( 2 5 3 ) ，定理得证 经典的b e z o u t 矩阵有一些有趣的三角分解公式，h e l m k e 和f u h r m a n n 在 1 2 】 中对其进行了总结下面为了研究的需要，我们引进一些记号，设 q ( x ) = z ( x ) t ，显然q ( x ) 是c 。i x 】的一组基，a ( _ x ) = x n a ( x 一) 表示多项式口( x ) 的 倒易多项式，( a ) 表示盎( x ) 关于基q ( x ) 的广义对称化子，根据( 2 4 3 ) 式，我们 可以得到 ( a ) = ( 丁7 ) 。】。1 s o ) ( t q ) = t r s ( z t ) t ( 2 5 5 ) 现在我们给出 1 中定理5 1 的一个推广，同样出现在【2 ，c h a p 1 3 】中 定理4 设p ( x ) ，q ( x ) 是两个r t 次多项式，那么多项式b e z o u t 矩阵吃( p ，g ) 有下 面的三角分解公式：b e ( p ，g ) = ( p ) ( 辱) 一s o ( q ) s o ( p ) r q 叫 = 一r q - i s o ( b ) s o ( q ) 一s o ( 盆) s q ( p ) ( 2 5 6 ) 证我们仅证明( 2 5 6 ) 中的第一个等式，从【1 】中定理5 1 和r 。= r 。一，我们 有