（计算机应用技术专业论文）广义mandelbrot集的分形结构的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 非线性理论是描述复杂系统结构形态的- i 1 新兴边缘科学。它包含了分形、混沌和 孤子这三个非常重要的概念。本文侧重研究了分形学中具有重要意义的广义m a n d e l b r o t 集( 简称广义m 集) 的分形结构，并取得了一些研究成果。 阐述了一些基本的分形算法和牛顿法。这些分形算法是构造广义m 集的算法基础， 而牛顿法则是对广义m 集中特殊点进行数学分析与求值的重要手段。借助这些强有力 的工具，能够更好地对广义m 集的分形结构进行研究。 本文首先利用m 集和广义m 集的分形结构来对一维多次映射进行分析，主要是对 一维多次映射的混沌区域的周期倍分岔现象进行了研究，给出了用图形的方法确定一维 多次映射混沌区域内的m i g e t 或双曲线组分周期的方法，并对一维多次映射的周期倍分 岔现象出现的规律性进行了阐述。 对双参数复映射z + _ 0 4 + 啊( c ) ) 9 + 吃( c ) 的参数空间进行了分析，通过台劳公式给出 了确定双参数复映射参数空间中类广义m 集的位置、尺寸和方向。并与单参数复映射 的参数空间进行了比较。 最后，本文给出了一种基于逃逸时间算法的广义m 集的渲染方法。该方法根据距 离的远近和逃逸时间的不同进行颜色的选取，这种方法能够有效地进行广义m 集的内 外结构的渲染，从而使广义m 集具有三维的立体效果。通过对该方法所绘制的广义m 集的局部图形进行放大，会发现一些类似于山体等高线的同心圆环，这些同心圆环的中 。t l , 点具有着一定的周期性，并且只有那些周期是逃逸时间的约数的中心点的周围才能 够呈现出类似于山体等高线的同心圆环的形状，这些中心点被称为逃逸时间的约数周 期点。 关键词：牛顿法；周期倍分岔现象；广义m 集；约数周期点 大连理工大学硕士学位论文 t h es t t l d yo ft h ef r a c t a ls t r u c t u r eo ft h eg e n e r a l i z e dm a n d e l b r o ts e t a b s t r a c t t h en o n l i n e a rt h e o r yi san e wd e v e l o p i n gf r o n t i e rs c i e n c ew h i c hd e s c r i b e st h ec o m p l e x s y s t e m a t i cs t n l c t i ms h a p e i tc o n t a i n st h r e ei m p o r t a n tc o n c e p t s ：f r a c t a l c h a o sa n ds o l i t o n h e r ew el a yap a r t i c u l a re m p h a s i so nt h es t u d y i n go ft h ef r a c t a ls 缸1 l c t i l r eo ft h eg e n e r a l i z e d m a n d e l b r o ts e t ( s i m p l i f i e db yt h eg e n e r a l i z e dm s e t ) a l s ow eg i v eo u ts o m ei m p o r t a n t r e s e a r c hr e s u l t s s o m eb a s i cf r a e t a la l g o r i t h m sa n dn e w t o n sm e t h o da r ei n t r o d u c e dh e r e t h e s ef r a c t a l a l g o r i t h m sa r eu s e dt oc o n s t r u c tt h eg e n e r a l i z e dms e t ，a n dn e w t o n sm e t h o di sas t r o n gt o o l t oa n a l y z ea n dc o m p u t et h ei m p o r t a n tp o i n t si nt h eg e n e r a l i z e dms e t w i t ht h e s ea l g o r i t h m s a n dm e t h o d s ，t h es t r u c t u r eo f t h eg e n e r a l i z e dms e tc a nb eu n d e r s t o o dw e l l f i r s t l yo n e d i m e n s i o n a lm u l t i p l em a p p i n g sa r es t u d i e db yt h es t r u c t u r eo ft h em s e ta n d t h eg e n e r a l i z e dms e t t h ep e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n si nt h ec h a o t i cr e g i o na r cm a i n l y a n a l y s e da n das e to fn e wr u l e st og r a p h i c a l l yd e t e r m i n et h ep e r i o do fam i d g e to ra h y p e r b o l i cc o m p o n e n ta r ep r o v i d e d t h er e g u l a r i t yo f p e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o ni sa n a l y s e d s e c o n d l yt h ep a r a m e t e rs p a c eo ft w o p a r a m e t e rc o m p l e xm a p p i n g si sa n a l y z e d b y t a y l o re x p a n s i o nam e t h o dt oc a l c u l a t et h ep o s i t i o n s ，t h es i z e sa n dt h eo r i e n t a t i o n so ft h o s e s m a l lc o p i e so fg e n e r a l i z e dm - l i k es e ti nt h ep a r a m e t e rs p a c eo ft w o - - p a r a m e t e rc o m p l e x m a p p i n g sa n dt h ec o m p a r i s o nt ot h eo n e - p a r a m e t e rc o m p l e xm a p p i n g sa r es h o w n f i n a l l yar e n d e r i n gm e t h o db a s e do nt h ee s c a p e - t i m em e t h o dt od r a wt h eg e n e r a l i z e dm s e ti nd i f f e r e n tc o l o r si so f f e r e d t h er e n d e r i n gm e t h o dc h o o s e sd i f f e r e n tc o l o r sa c c o r d i n gt o t h ed i s t a n c ea n dt h ee s c a p e - t i m e s oi tc a ne f f e c t i v e l yr e n d e rt h eg e n e r a l i z e dm s e t ，w h i c h c a ns h o wu st h e3 - dv i e wo ft h eg e n e r a l i z e dm s e t a c c o r d i n gt oa m p l i f yt h ep a r to ft h e g e n e r a l i z e dm s e td r a w nb yt h er e n d e r i n gm e t h o d s o m ec i r q u e sw i t l lo n eh e a r tl i k et h e e q u i p o t e n t i a ll i n e sc a nb ef o u n d t h ec e n t e rp o i n to ft h ec i r q u e sw i t ho n eh e a r tw h o s ec o l o r w i l lb er e n d e r e db yb l a c kh a sap e r i o d ，a n do n l yt h o s ec e n t e rp o i n t s ，w h o s ep e r i o d sa r et h e d i v i s o r so ft h ee s c a p e 二t i m e ，w i l ls h o wu st h ec i r q u e sw i t ho n eh e a r tl i k et h ee c l u i p o t e n t i a l l i n e sa r o u n dt h e m t h o s ec e n t e rp o i n t sa l en a m e dt h ed i v i s o rp e r i o d i cp o i n to ft h e e s c a p e - t i m e _ k e yw o r d s ：n e w t o n sm e t h o d ：p e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o ng e n e r a l i z e dms e t ：d i v i s o r p e r i o d i cp o i n t i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：丝塑 导师签名 丑萎毛 兰丝年堡月坐日 大连理工大学硕士学位论文 引言 非线性科学是- f l 研究非线性现象共性的基础科学。它是上世纪6 0 年代以来，在 各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为2 0 世纪 自然科学的“第三次大革命”。非线性科学几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领 域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。非线性科学的研究范围到底有多大? 目前 尚无定论，但是非线性科学的主体是明确的，这就是混沌、分形和孤子。本文主要是在 分形与混沌领域内进行了简单的研究与探讨。 分形理论被认为是研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具，它是由美籍法国数 学家曼德伯劳特在二十世纪7 0 年代中期创立的，它的数学基础是分形几何。以曼德伯 劳特名字命名的经典分形图集m 集，在分形领域的研究上具有重要意义。对m 集及广 义m 集的研究具有着重要的数学理论意义和实际应用价值。同时国外的众多学者把广 义m 集这种分形现象应用到非线性的其他领域，取得了杰出的成果。目前，分形在物 理学、化学、经济学、金融学、自然图形的模拟、酶的生长等领域取得令人瞩目的成功。 随着计算机技术的发展与应用，分形的也得以迅速发展，并受到世人的普遍关注。 混沌是非线性领域的另一重要组成部分，是非线性科学中十分活跃、应用前景极为 广阔的领域，是关于物理科学和数学科学两栖的边缘科学。它与分形总有着千丝万缕的 联系。混沌讨论系统对初值的敏感依赖性、拓扑传递性与混合性等问题。同时，混沌在 许多领域得到广泛应用，如天气长期预报的“蝴蝶效应”，商业周期中蕴涵着有序性、 股市细微分散的交易和大规模变动情况之间的重要关系等。近些年来，混沌控制，混沌 同步以及混沌在保密通信中的应用方兴未艾。本文主要是对混沌变化的周期性问题进行 了简单讨论。 m 集由于其重要的历史意义，已经成为分形学的重要研究内容之一，本文着重对m 集及广义m 集的分形结构进行了研究。全文共分五章：第一章对分形和混沌理论进行 概述，并简要介绍了两者之间的关系。第二章阐述了本文中构造分形集的常用算法，并 对文中用到的求值算法：牛顿法进行了简要介绍。第三章介绍了怎样利用m 集和广义 m 集来对一维多次映射的混沌带进行研究，给出了一些方法的使用和推广。第四章研究 了双参数复映射的参数空间，并将其与单参数复映射的参数空间进行了比较。第五章是 全文理论研究的一个上升，它继承了上述各章的研究成果，给出了一个新的讨论：提出 了m 集和广义m 集的约数周期点的概念，探讨了其与逃逸时间的关系。最后是全文 总结。 广义m a n d e l b t o t 集的分形结构的研究 1 分形和混沌理论概述 分形和混沌是非线性科学中的两大研究主题【l 】o 它们的基本思想起源于2 0 世纪初， 发生于2 0 世纪6 0 年代后，发展壮大于2 0 世纪8 0 年代这一理论揭示了有序与无序的 统一，确定性与随机性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。 1 1 分形理论概述 1 1 1 分形理论的形成 任何一个科学新概念的诞生都是非常的来之不易，但是谁也无法真正体会其间伴随 着该理论创建者的那份辛酸苦辣。最初，虽然名声显赫的高斯( 1 7 7 7 1 8 5 5 ) 也发现了非欧 几何，但是迫于与传统思想的抵触而不敢公之于世；而集合论的创始人康托尔n 8 4 5 1 9 1 8 ) 在一定程度上则由于自己的“离经叛道”被人“迫害”而患精神抑郁症。不过相比较而 言，分形几何韵情形要好得多，尽管有一些不同意见，但是短短的不到3 0 年的时间里， 它还是很快地被人认为是“自然的”和“不可避免的”，这倒是一件令人欣慰的事情。 不过这正是由于前入在分形理论上所作的努力，才获得的回报【2 】。 分形这个词最初是由曼德伯劳特于1 9 7 5 年夏天的一个寂静的夜晚里创造出来的。 此词源于拉丁文形容词f r a c t u s ，对应的拉丁文动词是f r a n g e r e ( 破碎，产生无规碎片) 。此 外与英文的f r a c t i o n ( 碎片，分数) 及f r a g m e n t ( 碎片) 具有相同的词根。在7 0 年代中期以前， 曼德伯劳特一直使用英文f r a c t i o n a l 一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头， 撷英文之尾的f r a c t a l ，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德伯劳特是想用此词来描 述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯 曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、 纵横交错的血管、令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。 直观而粗略地说，这些对象都是分形。 分形理论的形成在很大程度上得益于数学理论。曼德伯劳特将一大族曾在纯数学发 展史中扮演过历史角色的对象汇集在这个标题下，是将2 0 世纪的现代数学和1 9 世纪的 古典数学区别开的一个伟大的思想革命。古典数学是植根于欧几里德规则结构的几何和 牛顿的连续的演化力学之上的，而现代数学则开始于康托尔的集合论和皮亚诺的空间填 充曲线。就历史的观点来看，这场革命是由于不适合欧几里德和牛顿的模型的数学结构 的发现而促成的，这些新的结构被认为是“病态”的，与几乎是同时代建立的立体派艺 术家的绘画作品和无调的音乐作品一样是让人难以理解的，是与人们的日常标准相矛盾 的。正如曼德伯劳特所说的：“1 9 世纪的数学家可能缺乏想象力，而自然界却不缺乏想 大连理工大学硕士学位论文 象力。这些数学家从1 9 世纪自然主义的樊笼中挣脱出来，而创造出的所谓的病态的结 构，原来是我们周围所有熟悉物体所固有的”1 3 1 。曼德伯劳特涉猎众多学科，加上他善 于把各学科联系起来，从具体的、个别问题中发现抽象的、一般的共性，最终产生分形 思想。1 9 7 5 年，曼德伯劳特将前人的结果进行总结，集其大成，以分形：形状、机遇 和维数为名发表了他的划时代的专著。在此专著中，第一次系统地阐述了分形几何的 思想、内容、意义和方法。此专著的发表标志分形几何作为一个独立的学科正式诞生， 从而把分形理论推进到一个更为迅猛发展的阶段。 近十几年来，由于计算机技术的迅速发展，使得分形中的许多理论成果可以通过计 算机技术形象地呈现在人们的面前，同时又极大地推动了分形理论的发展。现在，分形 思想已经渗透到经济学、物理、化学等各个领域，涉及到几乎整个自然科学和社会科学。 分形已被认为是研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具。并受到各国政府及学者的 重视和公认，成为举世瞩目的学术热点。 1 1 2 分形的定义 事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略的说， 分形是对没有特征长度( 所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所包含的各种长度的代 表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长度) ，但具有一定意义下的自相似图 形和结构的总称。大多数分形在一定的标度范围内不断放大其任何部分，其不规则程度 都是一样的，这个性质称为比例自相似性；而按照统计的观点，其任一局部经移位、旋 转、缩放变换后与其他任意部分相似。这两个性质揭示了自然界中一切形状及现象都能 以较小或部分的细节反映出整体的不规则性。曼德伯劳特最先引入分形( f i a c t a l ) - 词，意 为破碎的，不规则的，并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集 合，或者具有某种意义下的自相似集合为此，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： ( 1 ) 满足d i m ( a ) d i m ( 觎c t a l ) 的集合a ，称为分形集。其中，d i m ( a ) 为集合a 的 h a u s d o f f 维数( 或分维数) ，d i m ( a ) 为其拓扑维数。一般说来，d i m ( a ) 不是整数，而是分 数。 ( 2 ) 部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。 实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生 命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对 分形的定义也可同样的处理。 ( 1 ) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 一3 一 广义m a n d e l b r o t 集的分形结构的研究 ( 2 ) 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也 不是某些简单方程的解集。 ( 3 ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 ( 4 ) 一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的 迭代产生。 1 2 混沌理论概述 1 2 ，1 混沌理论的形成 混沌理论的发展经历了一个漫长的过程，它架起了确定论和概率论两大理论体系之 间的桥梁，与相对论和量子力学一起被称为2 0 世纪物理学的三大革命。下面简要回顾 一下混沌理论的发展过程 2 4 1 。 早在1 8 9 2 年，法国学者庞加莱在研究三体问题时就发现，系统在某类鞍型不动点 附近具有不寻常的运动，无法求出精辟解。他在1 9 0 3 年出版的科学与方法一书中 明确指出，三体问题，在一定范围内，其解是随机的。这实际上是一种保守系统的混沌。 而庞加莱则成为世界上第一位预见到混沌现象的人。 在1 9 5 4 年到1 9 6 2 年期间，前苏联学者进一步丰富了混沌理论。到1 9 6 3 年，美国 科学家洛伦兹在其著名论文“决定论非周期流”中研究了由气象预报抽象出的伯纳德对 流问题，采用数值积分方法计算出三维自治系统，即洛伦兹系统。7 0 年代，美国数学家 约克给出了关于混沌学是“不稳定的”动力学系统的恰如其分的命名。起初，人们以一 种怀疑的态度对待它，但是，由于比利时学者吕埃尔在1 9 7 1 年提出的关于紊流模型的 有效性，使得它很快就扩展到了许多的领域：从物理学到经济学，从生物学到群体动力 学等。 进入8 0 年代后，对混沌运动和混沌控制的研究掀起了新的高潮。现在，混沌学与 其它科学相互交错渗透，共同发展提高，在数学、物理学、化学、电子学、信息科学、 生物学、气象学等领域都得到了广泛应用。 1 2 2 混沌的定义 混沌的定义与分形的定义有点类似，是一个有着广泛应用的比较模糊的概念，不过 目前人们基本把它定位在描述随时间变化而变化的过程上。在动力学系统中，混沌是指 某些非线性方程所特有的一种解，即它是某些非线性系统所特有的一种运动形态【3 1 。下 - 4 - 大连理工大学硕士学位论文 面给出影响较广的混沌的数学定义之一：李一约克定义。它是从区间映射的角度出发进 行定义的【5 】。 口，6 】上的连续自映射厂称为是混沌的，若其满足： ( 1 ) 厂的周期点的周期无上界。 ( 2 ) 存在不可数子集s c a ，6 】，s 中无周期点，且满足： 对任意x , y s ，有l i i l l i n f i 厂( 一厂( 力l _ 0 ； 对任意x , y s ，工y ，有l i m s 印i 广( 功一厂o ，) | 0 ； 对任意x s 和厂的任意周期点y ，有1 i m 跚p i ，”( 功一厂0 ，) i 0 。 在李一约克的混沌定义中，前两个极限表明了子集中的点工和y 相当分散又相当集 中，第三个极限表明子集不会趋近于任意周期点。对阮6 】上的连续自映射厂，如果存在 一个周期为3 的周期点，就一定存在周期为任何正整数的周期点，则一定会出现混沌现 象。 1 3 分形与混沌的关系 在非线性科学中，分形与混沌有着不同的起源。分形起源于对不规则集合的研究( 例 如，弯弯曲曲的海岸线、凸凹不平的路面等自然物表面的几何形状，数学中处处连续而 处处不可微的函数等。从集合的观点来看，它们都是属于不规则的点集) 。混沌则起源 于非线性动力学的研究。也就是说，混沌是研究非线性确定性方程所具有的内在随机性 在时间上的非周期过程。 分形与混沌运动有着共同的典型例子：布朗运动【2 】。这个典型例子反映了二者是从 不同的侧面描述了同一个问题。分形几何与混沌有着许多共同的地方，比如，它们都是 非线性方程所描述的非平衡过程及结果；混沌运动的随机性与初始状态的涨落密切相 关，分形结构的具体形状或其无规则性也密切与初始状态的涨落相关；混沌运动的奇怪 吸引子和分形结构都具有自相似性。因此，如果说混沌主要研究非线性系统状态在时间 上演化过程的行为特征，那么分形则主要研究吸引子在空间上的结构。 分形与混沌的这种类似性有着更深刻的根源，或者说它们有着共同的数学祖先：动 力系统。动力系统是研究抽象系统随时间变化的动态规律：，：x 专x 而混沌学是研 究动力学系统随时间变化的规律。如果把逃逸时间算法生成分形的迭代步骤看作一种时 间的话，那么分形的生成也是随时间变化的一种规律。因此从理论上说，动力系统既与 混沌存在着一定的关系，又与分形有着密切的关系。动力系统与混沌的具体关系表现在， 一5 一 广义m a n d e l b r o t 集的分形结构的研究 动力系统存在混沌必须满足的三个条件：对初始条件的敏感依赖性、具有拓扑传递性质 以及周期点的稠密性。这三个条件正好对应着产生混沌现象的三个条件：不可预测性、 不可分解性以及有一定的规律成分。具体地说就是，对初始条件的敏感依赖性，在动力 系统中表现为其长期行为的不可预沁性；拓扑传递性表咀。动力系统不可能被分解成两 个或几个互不影响的子系统；周期点稠密性表明，动力系统产生的混沌并非完全无序， 而是有一定的规律成分的。动力系统与分形的具体关系表现在，从生成分形的迭代函数 系统出发，可以定义( 随机) 移位动力系统，而移位动力系统正是一个混沌动力系统。因 此，在一定条件下，动力系统的斥性吸引子( 即斥子) 与对应的迭代函数系统的吸引子是 重合的，或者说在一定条件下，迭代函数系统中的变换是相应的动力系统中变换的逆变 换 2 1 。 分形与混沌的关系表明，如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程，那 么由迭代函数系统生成的分形吸引子正好是一个不稳定的收敛过程，因此，可认为：。如 果把混沌广义地看作是具有自相似的随机过程和结构，则分形也可看作是一种空间混 沌。反之，由于混沌运动具有在时间标度上的无规自相似性，它也可以看作是时间上的 分形。”简单地说，分形是空间上的混沌，而混沌是时间上的分形。 - 6 - 大连理工大学硕士学位论文 2 分形算法简介 在这里，我们以m 集为例，来介绍分形中的一些算法，对于广义m 集的绘制，我 们只需要将绘制m 集时的迭代的参数次幂做一个修改即可，其算法与m 集略同。 2 1 关于m 集分形算法简介 m 集的数学模型非常简单，它描述了复平面上关于复数参数c 的一维二次方程 z 辛z 2 + c 的迭代情况。连续放大m 集局部可以制作精美的g i f 动画，放大过程所呈现 的无穷玄机和美感引发人们去探索。取其局部进行放大，可以看到它的精细结构及其自 相似性质，放大可以无限地进行下去。m 集局部放大过程精彩地描述了分形的性质，描 述了自然界的本质，可以说分形几何是真正描述大自然的几何学。关于m 集分形图的 绘制，有多种不同的方法。在这里主要是给出了本论文中所要用到的几种关于绘制m 集( 也就是绘制广义m 集) 分形图的常用算法，详细情况如下。 2 1 1 构造m 集分形图的逃逸时间算法 我们结合逃逸时间算法【6 】的基本思想，在这里给出本文绘制m 集z 斗z 2 + c 的逃逸 时间算法，绘制出的m 集图形见图2 1 。 图2 1 经典m 集 f i g 2 1c l a s s i c a lm s e t ( 1 ) 在计算机显示器屏幕上确定一个方形区域d ，它由n x m 个象素点组成；区域d 对应的复数范围为：实部取值范围为【- 2 0 ，2 0 】，虚部取值范围为卜1 5 ，1 5 】。若d 的左 上角坐标为 淞，y l 】，右下角坐标为【x l ，y s 】，则d 中某一点的坐标x ( p ，q ) 应该表示为： x p = 船+ p ( x l x s ) ( n 1 ) ，艺= y l p x ( y l y s ) c m - 1 ) 。其中p 和q 为点x ( p ，g ) 所对 应的屏幕象素点位置：p = 0 ，1 ，2 ，开一1 ，q = 0 ，l ，2 ，m l 。 ( 2 ) 确定逃逸半径，2 0 ( 可取，= 1 0 0 ) ，确定最大迭代次数，即逃逸时( 可取 广义m a n d e l b r o t 集的分形结构的研究 n = 4 0 0 0 1 0 ( 3 ) 从临界点z o = 0 出发，使用迭代公式= 气一2 + c 进行迭代。若点x ( p ，g ) 在迭代 次后形成的点( 鼍，以) 到原点的距离d ，则认为点x ( p ，q ) 为非逃逸点；否则为逃逸 点，立即停止迭代。 ( 4 ) 如果点x ( p ，q ) 为非逃逸点，则对点x ( p ，g ) 进行着色处理( 即将该点描为黑色) ， 跳出本次循环；否则直接跳出本次循环。 ( 5 ) 从下一个像素点开始，重复( 1 ) ( 4 ) 步骤，直到屏幕上所有的点都迭代结束为止。 m 集有非常复杂的结构。它有某些明显特征：一个主要的心形图与一系列圆盘形的 “芽苞”突起连接在一起。每一个芽苞又被更细小的芽苞所环绕，依此类推。然而，这 并不是全部，还有精细的“发状”分支丛芽苞向外长出，这些细发在它的每一段上都带 有与整个m 集相似的微型样本。计算机制图中容易遗漏掉这些细发，然而精细的图形 说明m 集为连通集，并且在数学上已由康奈尔大学和巴黎高等师范的研究人员给予了 证明 7 1 。 2 1 2 构造m 集分形图的逃逸线算法 所谓逃逸线算法，其实是轮廓线方法的一种，它主要是对逃逸时间算法中的m 集 里的逃逸点进行着色处理的一种方法。我们在这里给出m 集z - - - h ，+ c 的逃逸线算法， 绘制出的m 集图形见图2 2 。 图2 2 逃逸线法示意图 f i g 2 2e s c a p e - l i n em e t h o ds k e t c hm a p ( 1 ) 在计算机显示器屏幕上确定一个方形区域d ，它i 妇n x m 个象素点组成；区域d 对应的复数范围为：实部取值范m y g - 2 0 ，2 o 】，虚部取值范围为 一1 5 ，1 5 】。若d 的左 上角坐标为【嚣，y l 】，右下角坐标为 “，声】，则d 中某一点的坐标x ( p ，q ) 应该表示为： = x s + p x ( x l 一船) ( 万一1 ) ，= y l p ( y l y s ) ( m 一1 ) 。其中p 和qy g a x ( p ，g ) 所对 大连理t 大学硕十学位论文 应的屏幕象素点位置：p = o ，1 ，2 ，雄一l ，q = o ，1 ，2 ，m - 1 。 ( 2 ) 确定逃逸半径，= 2 0 ；确定逃逸线的势值m ，初始值为零( m = o ) ；确定最大迭 代次数，即逃逸时间( 可取n = 4 0 ) 。 ( 3 ) 从临界点z 0 = 0 出发，使用迭代公式气= 钆，2 + c 进行迭代。若点x ( p ，g ) 在迭代 次后形成的点( 鼍，以) 到原点的距离d ，则认为点x ( p ，q ) 为非逃逸点；否则为逃逸 点。 ( 4 ) 如果点x ( p ，q ) 为逃逸点，则将该点的逃逸时间k ( k s n ) 与势值m 进行比较，若 两者之差的绝对值等于l ，则把该点描为黑色，然后无论逃逸时间盯k ) 与势值m 之 差为何值，都将势值m 重置为该逃逸点的逃逸时的时间k ，即m = k ；如果点x ( p ，q ) 为 非逃逸点，则不做处理。 ( 5 ) 从下一个像素点开始，重复( 1 ) 一( 4 ) 的步骤，直到屏幕上所有的点都迭代结束为 止。 2 1 3 构造m 集分形图的局部放大方法 在逃逸时间算法中有两个窗口，一个是绘图窗口，一个是参数窗口。例如，m 集的 逃逸时间算法，参数c 的取值范围便构成参数窗口【嚣，y l 】叫x l ，y s 】，而绘图窗口是实际 显示器绘图区域d ，由# i x m 个象素点组成，其坐标范围是：【o ，0 卜印一l ，m 一1 】。 实际上，m 集是将参数c 走遍参数窗口的所有值，经过逃逸时间算法的运算，最 终在绘图窗口中画出图来。那么参数窗口的大小和位置就决定了所绘制m 集的放大区 域。所以我们只要在绘图窗口中选定一个放大区域，然后再将其转化为参数窗口的取值 范围，并重新利用原有绘制m 集的程序，在绘图窗口上画出分形图来，便实现了m 集 分形图的局部放大。我们在这里给出m 集z z 2 + c 的分形图的局部放大方法。 给定如下坐标区域：【m ，。】一【矗。，】为绘图窗口，【矗。，吒。】【薯，眦，j ，0 】为绘 图窗i i 的被放大区域，且满足 。，吒。卜【j 惫，儿。】【m ，y 。】【，】， 【x g ，y l 卜 x l , y s 】为对应的参数窗口，则有： a p = ( x l 一嚣) ( 一。) ，a g = ( y l 一声) ( y 一一。) 。 点x ( p ，q ) 的横纵坐标可以表示如下： = 船+ n p a p 其中( n ，= 0 , 1 ，2 ，n 一1 ) ，= y l 一“g 其中( = o ，1 ，2 ，m 一1 ) 从而可以得出： 淞= i s + 工0 p ，y l = y l 一二g ，x l = 淞+ z 二；p ，y s = y l y 0 g 。 广义m a n d e l b r o t 集的分形结构的研究 这里的嚣，村，y s 为绘图窗口被放大区域 m ，圪。卜【，y 土】所对应的参数窗 口【船，y 1 【“，声】中的左上角与右下角的坐标。这样我们就找到了绘图窗口被放大区域 【m ，儿卜【，止】所对应的参数窗1 3 区域【船，y l 卜 z ，声】。以下我们只要将 船，x l ，声的值代入绘制m 集的过程中，就可以绘制出我们所指定区域内的m 集的 放大图。 2 2 利用牛顿法求广义m 集中心点的值 牛顿奠定了经典力学，光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础 学科之外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明 直到今天还是非常有价值的。事实上，目前越来越多地应用牛顿法来求方程，( x ) = 0 的 根，这是因为在计算机上可以非常容易地应用这方法，而且精度也比手算高得多。 牛顿法【8 l ( n e w t o n sm e t h o d ) 是一种巧妙的技巧，是牛顿在1 7 世纪提出的。它将解方 程，( 功= 0 的问题转化为一个动力学过程，求解过程与初值选择有关。开始我们不需要 知道正确的解，我们可以从一个任意的假定开始，用牛顿法得到接近方程解的某个近似 解，这些解相当于吸引场的中心。具体步骤如下： 设，是，0 ) = 0 的根，选取作为，初始近似值，过点( ，f ( x o ) ) 做曲线y = ，- ( 曲的 切线三，工的方程为y = f ( x o ) + f ( x o x x 一而) ，求出三与x 轴交点的横坐标 五= x 0 一f ( x o ) f ( 而) ，称葺为r 的一次近似值，过点( 五，八五) ) 做曲线y = f ( x a ) 的切线， 并求该切线与x 轴的横坐标x 2 = 五- f ( x o f ( 五) 称屯为r 的二次近似值，重复以上过程， 得r 的近似值序列纯 ，其中h 。= - f ( x ) f ( ) ，称为，f l c j n + 1 次近似值。上式称 为牛顿迭代公式。 根据上述思想，我们可以对m 集或者广义m 集的边界部分进行放大，然后通过鼠 标拾取我们所要计算的类似于广义m 集的放大物的趋近于中心点的坐标值，再通过上 述牛顿法计算出该中心点的精确坐标值。这在广义m 集以及动力系统的研究中具有着 十分重要的意义。以下各章中关于广义m 集的中心点的计算都是采用了上述方法。 大连理1 ：大学硕十学付论文 3 利用m 集和广义m 集进行一维多次映射的分析 自从庞加莱于1 8 9 0 年在混沌方面首次进行数学研究以来，非线性动态系统在越来 越多的领域里得到应用。这些领域既包括传统的物理【9 1 0 】、化掣1 1 】、天气掣1 2 1 等领域， 也包括新兴的生物科学 1 3 1 4 1 、医药学【1 5 】、边缘性学科【1 哪等领域。一维离散的动态系统 常常被用于研究这些领域内的各种现象。在这些动态系统之中，依赖于一个参数的一维 多次映射x 卜p ( x ，“) 越束越频繁地被应用。一维多次映射的混沌或者周期性行为的研究 通常采用分岔图作为一种普遍的工具，图3 1 ( a ) 给出了具有典型意义的一维二次映射的 分岔图。在这里我们建议去研究一维复数映射的实数坐标轴邻域部分：x 轴的相关邻域， 因为它具有较好的图形可视化优点【l ”。同时一维复数映射只有在实数坐标轴上的投影才 具有着相对于一维多次映射的混沌和周期性行为的图形显利博】。 3 1 使用m 集和广义m 集的理论分析 在复数映射中，由于m 集的历史意义 1 9 , 2 0 l ，在本文中我们选取m 集及广义m 集的 复数映射的实数部分作为研究对象，即m 集或广义m 集与x 轴相交的图形部分。关于 一维二次映射的图形分析，国外的一些学者在其论文中已经进行了详细论述。并给出了一 些结论【1 7 2 ”。本文结合国外的研究成果，分别对一维多次复数映射 z4 - ，+ c ( 口 1 且t 2 属于正实数，z 为复数) 从口= 2 的情况推广到口为正偶数、正奇数和 正小数三方面来对一维多次映射z4 - - - z 。+ c ( t 2 1 且口属于正实数) 进行分析，即采用m 集或广义m 集复映射与x 轴相交部分的图形( 也就是实数坐标轴邻域部分) 来完成对一维 多次映射的分析。 关于m 集的图形绘制，有许多不同的方法【2 2 】。在这里，我们采用逃逸线法进行m 集和广义m 集的绘制，因为这种方法比以往的大多数方法更能够使我们获取清晰的 m i d g e t 和双曲线组分图象：在x 轴上的坐标投影。所谓的逃逸线法，其实是轮廓线方法 2 3 - 2 5 的一种，轮廓线方法还包括等势线法，它们都属于逃逸时间算澍6 】。逃逸线法和等 势法主要是根据逃逸时间算法中逃逸半径的不同而定义的。对于一维多次复映射 z 卜z 8 + c 而言，当逃逸半径， 2 v t ”1 时，我们获得等势线图；当逃逸半径，= 2 v ( ”时， 我们获得逃逸线图。对于等势线图，已经有许多关于这方面的研究，其具体的研究情况 我们可以参考广义m - j 集的分形机理【4 】一书，本文主要研究逃逸线图。在逃逸线图 中，( 国外研究者已经给出了关于a = 2 时的一维二次映射的逃逸线图的一些特性和相关 概念说明d 7 ，在这里我们对其做了一些简要介绍，并将这种情况推广到劝正实数时的 情况下1 像等势线图中的等势线和一定的电势相关联一样，此时的每一条逃逸线都和一 广义m a n d e l b r o t 集的分形结构的研究 个数字相关联，为了说明问题我们将这个数字称为标号。在逃逸线图中，逃逸线的标号 表明了一个c 值需要远离半径为，= 2 ”1 的圆的圆心所需要的迭代次数。图3 1 ( b ) 和图 3 1 ( c ) 分别给出了具有典型意义的m 集，即a = 2 时的等势线图和逃逸线图。其中逃逸线 的方程如下： i 口( o ) l = r ( 可知：a = 2 时，_ 2 0 ；口= 4 时，r * 1 2 5 9 9 ) ( 3 1 ) 其中f ( o ) 是方程c ( z ) = 矿- i c 的h 次迭代，z ，c 为复数，z 的初始值为0 。对于n = 0 ， 1 ，2 ，3 ，不同的值，即不同的迭代次数，对应着不同的逃逸线。如图3 1 ( 曲当a = 2 时， 图中的逃逸线上标志着相对应的迭代次数，即n 值。 对于收敛于第n 个圆( 由逃逸线或等势线组成的圆圈) 的( 0 ) 的c 值的集合是一个开 集，这个开集的相连接部分被称为双曲线组分【2 3 ，2 6 1 。而一个m i d g e t ”1 是一个m 集的缩 小，即在x 轴上类似于m 集的投影，以后我们将这个定义相应地推广到广义m 集中。 即在广义m 集中，一个m i d g e t 是它所在的广义m 集的缩小。在这里，我们的主要任务 是确定这些双曲线组分和m i d g e t 的周期，也就是m 集和广义m 集在x 轴上的相应坐标 上的投影的周期。当我们指出m i d g e t 周期时，实际上是在确定以m i d g e t 为中心的主心 形线的周期旧。 等势线图( c ) 逃逸线图 图3 1 分岔图与轮廓线图 f i g 3 1b i f u r c a t i o nd i a g r a ma n dc o n t o u r - l i n ep i c t u r e s 3 2 关于z4 - ，+ c ( 口 1 且口为正偶数) 的分析 为了更好地分析妫正偶数时的一维多次映射的特性，我们在这里给出了a = 2 ，4 ，6 时 的一维多次映射的分岔图，从中我们可以看到一些特性。 大连理工大学硕士学位论文 ( b ) a = 4 图3 2 一维多次映射的分岔图 f i g 3 2b i f u r c a t i o nd i a g r a m so f o n e - d i m e n s i o n a lm u l t i p l em a p p i n g 从图3 2 中我们可以看到对于a = 2 ，4 ，6 时，这些分岔图的图形在x 轴上呈现出周期 倍分岔现象，同时对于锨其他正偶数时也具有类似的性质。也就是说对于妫正偶数的 情况，一维多次映射的周期性是周期倍增变化的( 即发生了周期倍分岔现象) ，我们可以 看到这种周期变化先是一周期，然后一周期分岔变为二周期，二周期再分岔变为四周期， 逐渐进入到混沌状态，在本篇论文中我们主要是讨论怎样确定混沌区域内的周期现象， 我们可以从如下相应于a - - 2 ，4 ，6 时的广义m 集的逃逸线图中获得更多信息。 ( b ) 口= 4 图3 3 广义m 集的逃逸线图 f i g 3 3e s c a p e - l i n ep i a u r e so f t h eg e n e r a l i z e dm s e t 从图3 3 中我们可以更清