基于MATLAB齿轮泵的结构优化设计.doc

基于MATLAB齿轮泵的结构优化设计阮学云，谢加保（安徽理工大学 机械系，安徽 淮南232001）摘要：本设计以小型齿轮泵为例，在其设计要求和特点基础之上，以体积最小为目标，建立齿轮泵的结构优化设计数学模型。然后,作者利用MATLAB优化工具箱，对目标函数求解最优值。结果证明，与传统解法相比用Matlab优化工具箱可以很方便地求解出最优值。关键词：齿轮泵；优化设计；数学模型；MATLAB Optimum Design of Gear Pump Based on MatlabRuan Xue-yun， Xie Jia-bao(Anhui University of Science and Technology , Department of Mechanical Engineering, Anhui,Huainan 232001,China )Abstract：Taking the small gear bump for example，aiming at the minimum volume, this design creates a structure optimum design model of gear pump, basing at whose design requests and characteristicsAfterwards, the author works out the optimum results, by making use of optimum toolbox of MATLAB. Proved by the results, it is more convenient to solve the optimum questions by using optimum toolbox of MATLAB than traditional methods.Key words：Gear bump；Optimum design；Mathematical model；Matlab1 前言机械最优化设计，就是在给定的性能参数以及工作环境条件下，在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制范围内，选取适当的设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。现在已经有很多比较成熟的优化方法程序可供选择，但是，它们各有其特点和适用范围。对于齿轮泵的结构优化设计，传统的方法既复杂又麻烦，出错概率大，往往当泵的设计尺寸、精度等稍加改变，计算过程几乎要从头再来，工作量大。而基于MATLAB语言的优化工具箱则具有以下特点：初始参数简单，求解速度快，适用性强，求解程序应变性强，可随精度、设计尺寸等要求的改变而改变。基于此，本文采用此方法对齿轮泵进行优化设计。2 齿轮泵的结构优化设计2.1 确定设计变量及目标函数本设计所研究齿轮泵的相关参数如下：齿轮材料：20CrMnTi；工作压力：13MPa；输出流量：40L/min；转速：500r/min；机械效率：91%；容积效率：91%；设计寿命：一年（300天）；初始优化参数：4，5，60mm，30mm。本设计是以齿轮泵的体积最小为目标，由于齿轮和轴的尺寸是决定齿轮泵体积的依据，因此可按它们的体积最小的原则来建立目标函数。影响齿轮泵体积的因素主要是模数，齿数，中心距，分度圆直径，齿宽，轴直径，壳体内轴的长度，设计变量应是独立的参数，所以选取，作为设计变量，取设计变量为 。因为需要优化的齿轮泵的主、从动轮的参数大小相同，即传动比。根据齿轮泵几何尺寸及齿轮泵结构尺寸的计算公式，并认为壳体内的轴长等于齿宽，现只考虑一个齿轮及轴的体积，简化后的体积表达式为： (2.1.1)依据上式化简后建立目标函数： (2.1.2)2.2 确定函数的约束条件1.根切约束按允许轻微根切设计，齿根强度消弱不大，变位系数应满足： (2.2.1)取值0.08，代入(2.2.1)式并化简可得： (2.2.2)2.齿宽约束齿宽过大会增大轴承负荷和增高齿面轴向接触精度，所以一般限制齿宽： (2.2.3)3. 齿顶圆齿厚约束齿轮泵采用正变位齿轮，齿顶趋于变尖，一般要求齿顶圆齿厚满足： (2.2.4)取值6.28mm，代入(2.2.4)式并化简可得： (2.2.5)4.传动要求动力传动的齿轮的模数应不大于2mm，得： (2.2.6)5.齿轮啮合径向间隙约束齿轮啮合径向间隙过小，易产生啮合干涉，过大将降低容积效率，所以有： (2.2.7)取值0.08mm，代入(2.2.7)式并化简可得： (2.2.8)6.排量约束理论排量应大于给定的公称排量： (2.2.9)由，取值，代入(2.2.9)式并化简可得： (2.2.10)7.速度约束为防止气蚀，减小振动和噪声，齿顶圆速度应小于允许的极限值，要求： (2.2.11)取值20，3.142和500，代入(2.2.11)式并化简可得： (2.2.12)8.轮齿强度约束齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得： (2.2.13) (2.2.14)接触应力和弯曲应力的计算公式分别为： (2.2.15) (2.2.16)式(2.2.15)及(2.2.16)中， 的许用值，取1282.5MPa； 的许用值，取385.7MPa； 载荷系数，取2.225； 齿数比系数，取1.414； 材料系数，取189.8； 齿宽系数，取1； 齿形系数，取3；齿根应力集中系数，取1.5； 传动扭矩，取150Nmm。将上述数值代入式(2.2.13)及(2.2.14)中并化简可得： (2.2.17) (2.2.18)9.轴的强度约束轴在危险截面处的弯曲应力不大于许用值，得： (2.2.19)将MPa，MPa代入(2.2.19)式并化简得： （2.2.20）10.关于壳体内轴长度的约束 （2.2.21）2.3 确定齿轮泵的结构优化模型优化模型为：min （2.3.1） （1） (2.3.2)3 利用MATLAB优化工具箱求解最优值3.1 编写约束函数m文件，并以confun.m的文件名保存在Matlab目录下的word文件夹里。 function c,ceq =confun(x)c=12.64-x(2)；x(1)-9*x(3)；x(3)-41.867；2-x(3)；abs(0.08-0.15*x(3)-0.1*x(3)；76.432*x(1)*x(2)*x(3)2-1；0.026*x(2)*x(3)-20；1/(x(4)3)-12.812；7.789/(x(2)2)* x(3)3)-1；20600/x(4)3-1；1/x(4)3-12.812；(2.06*104)/x(4)3-1；x(1)-x(5)+0.02；ceq = ；3.2 在Matlab的command窗口中编写优化程序命令 clear x0=60,15,4,30,60.5；fun =3.142 * (x(1) * x(2)2 * x(3)2 - x(1) * x(4)2 + x(4)2 * x(5) / 4；lb = 55,12,3,25,55；ub = 80,25,8,50,70；options = ； x,fval,exitflag,output=fmincon(fun,x0,lb,ub,confun,options)3.3 最终的运行结果x =52.8694 15.0000 3.7306 30.0000 60.5000fval =1.3544e+005exitflag =1output = iterations: 2；funcCount: 20；stepsize: 1；algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search对参数进行圆整，得到如下优化前后的的对比列表：齿宽（mm）齿数模数齿轮轴直径壳体内轴长优化前参数601543060.5优化后参数53153.753060.54 结束语从上面的结果可以看出，经优化以后该型号齿轮泵的尺寸，在保证其各方面性能以及约束的前提下，得到了明显的优化。由此可以看出，应用MATLAB优化工具箱进行优化设计问题求解，编程工作量小，初始参数输入简单，符合工程没计语言，提高了设计效率。尤其是对于某些工程问题，用一种预先选定的方法很可能得不到最优解，运用MATLAB语言优化工具箱来求解优化问题就显得简单方便。同时，与传统的求解结果相比较不仅提高了设计精度，而且优化工具箱的优化算法更加具有可靠性。参考文献：1 梁尚名现代机械优化设计方法M北京：化学工程出版社，20052 刘惟信机械最优化设计(第二版)M北京：清华大学出版社，20023 李人厚精通MATLAB综合辅导与指南M西安：西安交通大学出版社，19984 昊宗泽机械设计手册(上册)M北京机械工业出版社，20025