（理论物理专业论文）金融市场复杂性及其标度行为的实证研究.pdf

硕士擘住论文 m a s t e r s1 1 1 e s i s 摘要 复杂性科学是一门近年来新兴起的交叉科学。它打破了线性、均衡、确定的传 统范式，致力于研究非线性、非均衡和多体问题。它的出现极大的发展了非线性科 学。而经济系统是人类创造的最为复杂的系统之一，因此经济系统是复杂性科学最 重要的研究方向之一。本文论述了复杂性系统及复杂网络的基本概念和性质，经济 物理学的出现、研究内容、主要模型、今后的发展趋势以及在经济物理里经常用到 的物理方法和模型。本文的工作主要是对金融市场的复杂性及其实证研究进行分 析，对于实证研究工作可以分为两个部分。 第一部分分析了全球7 4 种货币从2 0 0 2 年3 j q 到2 0 0 6 年2 月这个时间间隔的价格变 化情况，定义了相对收益率的概念，在此基础上，我们研究了相对收益率的分布情 况，发现其遵从幂律关系。通过比较，我们发现相对收益率的关联矩阵的特征值分 布同随机矩阵理论预测是相符合的，也遵从幂律关系，同时还发现货币相对收益率 的关联系数分布有较强的时间依赖性，故我们利用标度阶乘矩的方法做了详细的分 析，结果显示关联系数的分布具有非线性动力学起伏，表现出分形特性的自相似特 征。 第二部分研究了亚洲股票市场中存在的长程关联情况。我们选择了日本的日 经2 2 5 指数( n 2 2 5i n d e x ) 和上海证券综合指数( s s e ci n d e x ) 。我们首先定义了 一般性的波动形式，然后通过一般性波动的去趋势涨落分析方法( d f a ) 的处理， 发现这两种证券指数的时间序列当中都存在不同程度的长程关联特性，并且在结果 中出现了明显的“拐点”现象( c r o s s o v e rp h e n o m e n a ) 。对此我们做了详细的研究， 对造成现象的原因做出了可行性分析，得到了有意义的结论。 关键词：复杂性科学，复杂系统，复杂网络，经济物理学，长程关联，金融市 场，无标度 硕士擘住论吏 m a s t e r s t h e s i s a b s t r a c t c o m p l e x i t ys c i e n c ei san e wa n dd e v e l o p i n gi n t e r d i s c i p l i n a r ys c i e n c en o w a d a y s i th a sb r o k e nt h el i n e a r i t y , e q u i l i b r i u m ，d e t e r m i n a t et r a d i t i o n a ls t y l e ，d e v o t e si nt h e r e s e a r c ho fn o n - l i n e a r i t y , n o n - e q u i l i b r i u ma n dt h em a n y - b o d yp r o b l e m s i t sa p p e a r - 3 , 1 i c ee n o r m o u sd e v e l o p sn o n - 1 i n e a rs c i e n c e b u tt h ee c o n o m i c a ls y s t e mi so n eo fm o s t c o m p l e xs y s t e m sw h i c ht h eh u m a n i t yc r e a t e s ，t h e r e f o r et h ee c o n o m i c a ls y s t e mi so n e o fc o m p l e x i t ys c i e n c em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n s 弛a - t i c l ee t a b o r a t e st h e b a s i cc o n c e p t sa n dt h ep r o p e r t i e so fc o m p l e xs y s t e ma n dt h ec o m p l e xn e t w o r k ，t h e a p p e a r a n c eo fe c o n o p h y s c i s ，t h er e s e a r c hc o n t e n t s ，t h en l a i nm o d e l s ，t h et r e n do ft h e d e v e l o p m e n ta n dt h ep h y s i c a lm e t h o da n dt h em o d e l sw h i c hb eu s e df r e q u e n t l yi nt h e e c o n o p h y s c i s t h em a i nw o r k so ft h i sa r t i c l ei st h ee m p i r i c a lr e s e a r c ho ft h ef i n a n c i a l m a r k e t sa n dc a nd i v i d ei n t ot w o p a r t s t h ef i r s tp a r ta n a l y z e st h ec h a n g eo fp r i c eo f7 4g l o b a lc u r r e n c i e si nt h et i m e i n t e r v a lf r o mm a r c h2 0 0 2t of e b r u a r y2 0 0 6 ，d e f i n e st h ec o n c e p to fr e l a t i v er e t u r n ，a n d b a s e do ni t w er e s e a r c ht h ed i s t r i b u t i o no fr e l a t i v er e t u r ni nw h i c hf o u n dt h ep o w e r l a w f u r t h e r ，t h r o u g ht h er a n d o mm a t f i xt h e o r y , w ef i n dt h a tt h ed i s t r i b u t i o no f e i g e n v a l u e so fc o r r e l a t i o nm a t f i xo fr e l a t i r er e t u r na l s of o l l o w sap o w e rl a w a tt h e s a a - t l et i m e w eo b s o r v et h a tt h ed i s t r i b u t i o n o fc o r r e l a t i o nt o e 伍c i e n t so fr e l a t i v e r e t u r no fc u r r e n c i e si st i m e - d e p e n d e n ta ts o m ee x t e n t ，s 0 ，b yu s i n gt h em e t h o do f s c a l e df a c t o r i a lm o m e n t w em a k ed e t a l l e da n a l y s i sa n dm a k eac o n c l u s i o nt h a tt h e d i s t r i b u t i o no fa o r r e l a t i o nc o e f f i e i e n t sh a st h ed y n a m i cf i u c t u a t i o nw h i c h s h o w st h e s c l f - s i m i l a r l yp r o p e r t yo ft h ef z a c t a l 。 t h es e c o n dp a r ti n t r o d u c e st h el o n gr a n g ec o r r e l a t i o ne x i s t e di nt h es t o c km a r - k e t so fa s i a w ec h o o s et h en 2 2 5i n d e xo fj a p a na n ds s e ci n d e xo fs h a i l g h a li n c h i n a w jf i r s td e f i n et h eg e n e r a l i z e df o r mo fv o l a t i l i t y , t h e nn s et h ed e t r e n d e df l u c - t u a t i o na n a l y s i s ( d f a ) o nt h eg e n e r a l i z e dv o l a t i l i t y , w h i c hf i n dt h a tt h e r ea r et h e v a 嘶n gd e g r e el o n gr a n g ec o r r e l a t i o ne x i s t e di nt i m es e r i e so ft w os e c u r i t yi n d e xa n d d i s c o v e rt h ec r o s s o v e rp h e n o m e n ao b v i o u s l yi nt h er e s u l t s r e g a r d i n gt h i sw eh a v e d o n et h ed e t a i l e dr e s e a r c h ，i n a n et h ef e a s i b f l i t ya n a l y s i so nt h ep r o b a b i l i t yo fc a u s e d t h e s ep h e n o m e n a ，a n do b t a i n e dt h es i g n i f i c a n c ec o n c l u s i o n 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s k e y w o r d s ：c o m p l e x i t ys c i e n c e ，c o m p l e x8 y s t e n l ，c o m p l e xn e t w o r k s ，e c o n o p h y s i c s ， l o n gr a n g ec o r r e l a t i o n ，f i n a n c i a lm a r k e t s ，s c a l ef r e e 硕士擘位论丈 m a s t e r st h e s i $ 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得 的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： ；多鳞 日期：诩年p1 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子舨，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师 范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位 论文收录到中国学位论文全文数据库， 作者签名：包爹作者签名：y 多1 朔 日期：1 户7 年( 月r 7 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位 学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。 作者签名： 日期： v 唷 硕士擘位论乏 m a s t e r st h e s l 8 第一章引言 复杂性科学是一种新兴的边缘、交叉学科。国外有学者称复杂性科学是科学史 上继相对论和量子力学之后的又一次革命，国内成思危教授认为它是系统科学发展 的一个新阶段，戴汝为院士称其为“2 1 世纪的科学”。复杂性科学研究的复杂系统涉 及的范围很广，包括自然、工程、生物、经济、管理、政治与社会等各个方面：它 探索的复杂现象从股票市场的涨落到城市交通的管理、自然灾害的预测、一个细胞 呈现出来的生命现象，乃至社会的兴衰等等。总之，它方兴未艾，引起了国内外越 来越多学者的关注。复杂性科学打破了线性、均衡、简单还原的传统范式，而致力 于研究非线性、非均衡和复杂系统带来的种种新问题。 1 9 9 9 年，美国科学杂志出版了一期以“复杂系统”为主题的专辑，这个专辑 分别就化学、生物学、动物学、自然地理、神经学、经济学等学科领域中的复杂性 研究进行了报道。由于各学科对复杂性的认识和理解都不一样，所以该专辑避开 术语上的争论，采用了“复杂系统”这个名词。那什么是复杂系统昵? 欧洲学派f 1 1 称 为耗散结构系统( 普利高津) ，非平衡相变系统( 哈肯) 和自组织进化系统( 艾 根) ；美国学派f 2 1 称为基于秩序和混沌边缘的系统( 朗顿等) 和复杂适应系统( 霍 兰德) ；中国学派f 3 1 称为复杂的开放巨系统( 钱学森、戴汝为和于景元等) 。上 述3 种观点虽然彼此之间相互联系，但研究的侧藿点各不相同。粗略的讲：欧洲学 派侧重于从能量和相交的角度研究复杂系统；美国学派侧重于从秩序和规则的角度 研究复杂系统；中国学派则侧重于从系统整体以及系统与外部联系的角度研究复杂 系统。概括起来复杂系统都有一些共同的特点，就是在变化无常的活动背后呈现出 某种捉摸不定的秩序，其中演化、涌现、自组织、自适应、自相似被认为是复杂系 统的共同特征。 由于复杂系统研究与网络的复杂性关系有密切联系，所以近年来它们之间的交 义研究引起了人们的高度重视。这个也是我们研究的范围之一。我们知道，从数学 上能够用一个图来表示一个网络，复杂网络的理论研究始于2 0 世纪6 0 年代由著名数 学家e r d 6 s 和r e n y i 提出的e r 随机图模型。在此后的近4 0 年里，该模型一直是研究 复杂网络的基本模型。但是，近年来复杂动力学网络的研究已经突破了该模型，取 得了可喜的进展，受到了不同学科的广泛关注。进展的主要原因之一是，以还原论 和整体论相结合为重要特色的复杂性科学的兴起促使人们开始关注复杂网络的拓扑 结构及其产生机理。自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以 描述。一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节 点用来代表真实系统中不同个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点 之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边。有边相连的两个节点在网络 中被看作是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接 形成的网络：计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞 线、同轴电缆等相互连接形成的网络；类似的还有电力网络、社会关系网络、交通 网络等等。 近几年来，国际上有两项开创性的工作掀起了一股研究复杂网络的热潮。一 是1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 在n a t u r e 杂志上发表文章，引入了小世界( s m a l l w o r l d ) 嘲络模型f 4 1 ，以描述从完全规则嗍络到完全随机嘲络的转变；二是 在1 9 9 9 年，b a r a b a $ i 和a l b e r t 在( s c i e n c e 杂志上发表文章指出5 1 ，许多实际的 复杂网络的连接度分布具有幂律形式。由于幂律分布没有明显的特征长度，该类网 络被称为“无标度( s c a l ef r e e ) 网络”。人们相继提出并研究了多种复杂网络模型及 其性质，特别是这类网络的拓扑结构与网络行为之间的关系、它们的同步问题，以 及复杂网络对于随机性“故障”、“错误”和“攻击”的“鲁捧性”与“脆弱性”的关系，等 等。但是关于小世界网络模型和复杂网络的连接度分布具有幂律形式的两项发现， 正如b a r a b a d i 和a l b e r t 所指出的，“迄今为止的研究只是尝到了一杯冰淇淋的尖端 而已”。 作为复杂系统中最为复杂的系统之一，经济系统，是最与人类生活息息相关的 系统之一。复杂性科学自诞生以来，就把经济系统作为最重要的研究方向之一。经 济系统中有千百万个参与者，他们细节不一，但本质相同，他们的局部运动相对简 单，即参与市场交易的个体根据市场供求关系来决定买或卖的行为，但他们彼此之 间相互作用而产生的市场整体的运动可以体现出许多动力学特征，其中包括市场的 大幅度飘动或者市场崩溃。这些说明经济市场是典型的复杂系统，各个市场参与者 有相互依赖、相互模仿，相互学习的行为，通过他们之间的相互作用共同推进整个 市场的演化。而经济系统更是一个复杂巨系统。由于经济系统与其他复杂系统具有 相同或者十分相似的性质，人们自然想到应用处理复杂系统的理论和方法对经济系 统进行分析，从而导致了经济物理学的诞生。 近年来对经济物理学的研究，大体上可概括为三个方面：一个是采用不同的手 段和方法对经济领域的各种经济数列进行分析和定量表征；经济领域的最原始数据 是以价格、收益、波动等参量随不同时间间隔变化形成的时间数列。这些表面上看 似起伏无常、变化不定的数列，实际上是经济系统内部的结构、机制在一定的外部 环境下产生的规律性的反映。二是在数据分析的基础上，找出不同参数间的依赖关 系，寻求系统的某些经验或半经验公式和维象描述方法。三是将经济系统的已知信 息与物理学和其他学科的相关系统进行类比，建立经济系统模型，以求阐明系统的 微观结构，作用机制以及与宏观参数和演化动力学的关系。 鉴于经济物理研究内容的广泛性，本文从不同角度对金融市场做了理论和数据 - - 2 - - 硕士肇位论之 m a s t e r s t h e s i s 分析方面的分析。本文的结构如下：第一章为引言，简要的介绍关于复杂性科学、 复杂系统以及经济物理学的主要概念和内容。第二章，作者将介绍复杂性系统及复 杂网络的基本研究方法，研究现状及发展过程。第三章，作者将详细的介绍经济物 理学的产生，研究内容、主要模型及发展趋势。第四章，作者首先介绍了自己工作 中涉及到几个物理知识点，例如随机矩阵理论、标度阶乘矩、去趋势涨落方法等， 接着对全球外汇市场中的7 4 种货币做数据分析，对它们的标度行为及相互问的关联 程度做出定量的分析，然后对亚洲股票市场做了去趋势涨落检验，对其中表现出来 的“拐点”现象c r o s s o v e rp h e n o m e n a ) 做了细致分析，得出了有意义的结论。第五 章，将是对作者所有工作的一个总结和今后工作的一个展望。 硕士学住论丈 m a s t e r st h b s l s 第二章复杂性系统及复杂网络的基本概念 和性质 当代最富有影响的思想家之一，著名的英国理论物理学家霍金2 0 0 0 年曾说过一 句话：“我认为，下个世纪将是复杂性的世纪”。这句话高度概括了2 1 世纪理论科学 面临的任务是处理各种复杂系统，也就是我们要建立一套不同于过去的理论体系以 面对2 1 世纪的科学挑战。随着理论科学与生命科学和经济学交叉的不断深入，尽快 地发展和建立完善地复杂系统理论已经成为科学界越来越迫切地任务。 由于自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述，复杂 网络可以被认为是大量真实复杂新系统的拓扑抽象，因此对它的研究可以称得上有 助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题。本章将介绍复杂系统的基本 特征和复杂网络的基本定义及基本类别。 2 1 复杂系统的基本特征 虽然目前关于复杂系统的认识和定义尚未统一，但对复杂系统的基本特征的认 识却比较一致。一般认为复杂系统具有以下特征6 1 ： ( 1 ) 非线性( 不可叠加性) 与动态性：普遍认为非线性是产生复杂性的必要 条件，没有非线性就没有复杂性。复杂系统都是非线性的动态系统。非线性说明了 系统的整体大于各组成部分之和，即每个组成部分不能代替整体，每个层次的局部 不能说明整体，低层次的规律不能说明高层次的规律。各组成部分之间、不同层次 的组成部分之间相互关联、相互制约，并有复杂的非线性相互作用。动态性说明系 统随着时间而变化，经过系统内部和系统与环境的相互作用，不断适应、调节，通 过自组织作用，经过不同阶段和不同的过程，向更高级的有序化发展，涌现独特的 整体行为与特征。 ( 2 ) 非周期性与开放性；复杂系统的行为一般是没有周期的。非周期性展现 了系统演化的不规则性和无序性，系统的演化不具有明显的规律。系统在运动过程 中不会重复原来的轨迹，时间路径也不可能回归到它们以前所经历的任何一点，它 们总是在一个有界的区域内展示出一种通常是极其“无序”的振荡行为。 硕士学位论文 m a s t e r s t h e $ 1 s 系统是开放的，是与外部相互关联、相互作用的，系统与外部环境是统一的。 任何一种复杂系统，只有在开放的条件下才能形成，也只有在开放的条件下才能维 持和生存。开放系统还具有自组织能力，能通过反馈进行自控和自调，以达到适应 外界变化的目的。 ( 3 ) 积累效应( 初值敏感性) ：初值敏感性，即所谓的“蝴蝶效应”或积累效 应，是指在混沌系统的运动过程中，如果起始状态稍微有一点改变，那么随着系统 的演化，这种变化就会被迅速积累和放大，最终导致系统行为发生巨大的变化。这 种敏感性使得我们不可能对系统做出精确的长期预测。 ( 4 ) 奇怪吸引性：复杂系统在相空间里的演化一般会形成奇怪吸引子。吸引 子是指一个系统的时间运行轨道渐进的收敛到一系列点集。换句话说，吸引子是一 个系统在不受外界干扰地情况下最终趋向的一种稳定行为形式。而奇怪吸引子既不 同于稳定吸引子，它使系统的运行轨道趋向于单点集( 点吸引子) 或者一些周期圆 环( 极限环) ；也不同于不稳定吸引子，它使系统趋向于一些完全随机地行为形 式。奇怪吸引子是一种即稳定又不稳定，处在稳定和不稳定区域之间的边界。系统 在所有相邻的轨道上运行最终都会被吸引到它的势力范围，但是吸引子中两个任意 接近地点，虽然同属于一个吸引予，却可能发生背离，轨道的背离是因为它具有初 值敏感性。 ( 5 ) 结构自相似性( 分形特性) ：所谓自相似是指系统部分以某种方式与整 体相似。分形的两个基本特征是没有特征尺度和具有自相似性。对于经济系统，这 种自相似性不仅体现在空间结构上( 结构自相似性) ，而且还体现在时间序列的自 相似性中。一般来说，复杂系统的结构往往具有自相似性，或其几何表征具有分数 维。 2 2 复杂网络的基本性质 数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至 于节点到底在什么位置，边是长还是短，是弯曲还是平直，有没有相交等等都是他 们不在意的。在这里，我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就表现 出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。那么，什么样 的拓扑结构比较适用于描述真实的系统呢? 两百多年来，对这个问题的研究经历了 三个阶段。在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用 一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网，它看起来像是格子t 恤衫 上的花纹；又如最近邻环网，它总是会让你想到一群手牵着手、围着篝火跳圆圈舞 的姑娘。到了2 a t e ：纪5 0 年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，在这种 方法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，而是根据一个概率决定，数学 家把这样生成的网络叫做随机网络它在接下来的4 0 年里一直被很多科学家认为是 描述真实系统最适宜的网络。直到最近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞 速发展，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具 有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的一些刚络被科学家们叫做复杂网络， 对于它们的研究标志着第三阶段的到来。 遗憾的是，就目前而言，科学家们还没有给出复杂网络精确严格的定义，从这 儿年的研究来看，之所以称其为复杂网络，大致上包含以下几层意思：首先，它是 大量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它至少在感觉上比规则网络和随机网络复 杂，因为我们可以很容易的生成规则和随机网络，但就目前而言，还没有一种简单 方法能够生成完全符合真实系统特征的复杂网络。 复杂网络的优美结构和新奇规律，越来越吸引着人们去探索更多的奥秘。概括 的说，绝大多数实际的复杂网络具有如下5 个特征：( 1 ) 网络的大规模件和行为的 统计性。网络节点数可以有成百上干万，甚至更多，大规模性的网络行为具有统计 特性。( 2 ) 节点动力学行为的复杂性。各个节点本身可以是各非线性系统( 可以 用离散的和连续微分方程描述) ，具有分形和混沌等非线性动力学行为。( 3 ) 网 络连接的稀疏性。一个有个节点的具有全局耦合结构的嘲络的连接数目为o ( 2 ) ， 而实际大型喇络的连接数目通常为0 ( 1 。( 4 ) 连接结构的复杂性。9 日络连接结构 既非完全规则也非完全随机，但却具有其内在的自组织规律。( 5 ) 网络的时空演 化的复杂性。复杂网络具有空间和时间的演化复杂性，展示出丰富的复杂行为，特 别是网络节点之间的不同类型的同步化运动( 包括出现周期、非周期和阵发行为等 运动) 。大多数实际的网络系统同时具有3 个主要特征：小世界、无标度和高聚集 度。 2 3 复杂网络的基本模型 2 3 1 随机图理论 在有关随机图的经典理论中，e r d s s 和r e n y i 定义的随机幽为1 7 - 9 】：用个带标 志的节点和从n ( n 一1 ) 2 可能的连线中选取的n 条连线相连接所彤成的图。这样就 总共有g ! 世尘个有个点和n 条连线的图。在概率空问中每个图的形成几率都帽 0 等。 硕士擘位论炙 m a s t e r st h e s i s 随机图理论研究的是当趋向无穷大的极限的有个点的图的概率空问的性 质。这样的随机图的许多性质可以用概率角度来解决。e r d b s 和r e n y i 使用了如 下定义：当趋于无穷大时，若有性质q 的概率趋于1 贝u 图具有性质q 。图2 1 描述 了e r 随机图的演化过程。他们最重要的发现是e r 随机图具有如下的涌现或相变的 性质：e r 随机图的许多重要的性质是突然涌现的。也就是说，对于任一给定的概 率p ，要么几乎每一个图都具有某个性质q ( 比如，连通性) ，要么几乎每一个图都不 具有该性质。例如对于上述纽扣网络，如果你捡起一个纽扣，那么将有多少个纽扣 也会跟着被拎起来呢? 结果显示，如果概率p 大于某个临界值乳o ( ( i n n ) n ，那么 几乎每一个随机图都是连通的，也就是说，你随机地捡起一个纽扣都会拎起地上几 乎所有的纽扣。 尽管e r 随机图作为实际复杂网络的模型存在明显的缺陷，在2 0 世纪的后4 0 年 中，e r 随机l 鳘| 理论一直是研究复杂网络拓扑的基本理论，其中的一些基本思想 在目前的复杂网络理论研究中仍然很重要。关于随机图理论较为全面的论述可参 考b o l l o b d s 的著作f 1 0 1 。 ， j ， 01 i “ p 峨， i p 两- t b m 2 1 ：对于e r 模犁的演化图我们开始于= 1 0 个孤立的节点。然后以概率p 连接每对节点，在下 面一行的图表示的是在图的不同演化阶段的不同构形，从p = 0 1 到p = 0 ，1 5 。在图中我们可以注意 到树和圈的出现，并且连接的聚集体出现在p = o 1 5 = 1 5 n 。 2 3 2 小世界模型 1 9 9 8 年，w a t t s $ 1 s t r o g a t z 通过以某个很小的概率p 切断规则嘲络中原始的边， 并随机选择新的端点重新连接，构造出了一种介于规则网络和随机网络之间的网络 ( w s 网络) ，它同时具有大的聚集系数和小的平均距离，凶此既不能当作规则网 络处理，也不能被看作是随机网络。w s 小世界模型的构造算法如下：( 1 ) 从规则 7 一 图开始：考虑一个含有个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点 都与它左右相邻的各k 2 节点相连，是偶数。( 2 ) 随机化重连：以概率p 随机的 重新连接网络中的每一边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中 随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并 且每一个节点都不能有边与自身相连。 在上述模型中。p = 0 对应于完全规则网络，p = 1 则对应于完全随机网络，通 过调节p 的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡，如图2 2 ( a ) 所 不o o 国 o 图2 2 ：小世界网络模犁( a ) w s d , 世界模犁；( b ) n w 4 , 世界模型。 w s d 世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性。另一个研 究较多的小世界模型是由n e w m a n 和w a t t s 自后提出的f n l ，称为n w d , 世界模型。 该模型是通过用“随机化加边”取代w s 小世界模型构造中的“随机化重连”而得到 的，如图2 2 ( b ) 所示。具体构造算法如下：( 1 ) 从规则图开始：考虑一个含 有个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的 各k 2 节点相连，是偶数。 ( 2 ) 随机化加边：以概率p 在随机选取的一对节点之 间加上一条边。其中，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节 点都不能有边与自身相连。 后来物理学家把大的集聚系数和小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世 界效应，具有这种效应的网络就是小世界网络( s i n a l l - w o r l dn e t w o r k s ) 。 一8 _ 一 2 3 3 无标度网络模型 e r 随机图和w s 小世界模型的一个共同特征就是网络的连接度分布可近似 用p o i s s o n 分布来表示，该分布在度平均值( 七) 处有一峰值，然后呈指数快速衰减。 这意味着当k ( ) 时，度为k 的节点几乎不存在。因此，这类网络也称为均匀 网络或指数网络。近年在复杂网络研究上的另一重大发现就是许多复杂网络， 包括i n t e m e t 、w w w 以及新陈代谢嘲络等的连接度分布函数具有幂律形式( 如 图2 3 所示) 。由于这类网络的节点的连接度没有明显的特征长度，故称为无标度 网络。1 9 9 9 年，b a r a b a g i 和a l b e r t 提出了构造无标度网络的演化模型。现在被称 图2 3 ：b a 模型的度分布。 为b a 模型【5 】。他们把真实系统通过自组织生成无标度的网络归功于两个主要因 素： ( 1 ) 增长特性( g r o w t h ) ：即网络的规模是不断扩大的。( 2 ) 优先连接特性 ( p r e f e r e n t i a la t t a c h m e n t ) ：即新的节点更倾向于与那些具有较高连接度的“大”节 点相连接。这种现象也称为“富者更富”或“马太效应”。具体的构造算法如下： ( 1 ) 增长：从一个具有r n o 个节点的网络开始，每次引入一个新的节点，并且 连到m 个己存在的节点上。 ( 2 ) 优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点i 相连接的概率n 。与节 点i 的度、节点j 之间满足如下关系： ( 2 1 ) 硕士擘住论丈 m a s t e r s t h e s l s 第三章经济物理学 经济物理学作为一门新兴的交叉学科，由于具有重要的实际应用价值，正引起 国内外物理学家、经济学家的广泛兴趣。经济物理学( e e o n o p h y s i c s ) - - i i - j 是1 9 9 5 年 由美国波士顿大学物理系教授h e s t a n l e y 1 2 第一个提出来的，用来描述物理学家 在上个世纪最后1 0 多年来对股票市场、公司成长以及相关的经济问题所作出的研究 成果。顾名思义，它是将物理学的相关理论、方法、技术和模型，例如统计物理 学、非线性动力学、流体力学、量子力学、分形学等等，应用于经济学( 尤其是金 融工程领域) ，研究分析经济现象和金融系统中大量的实证数据之问的宏观特征和 内部关联，从而预测其发展趋势和避免金融风险。接下来本章将介绍经济物理学的 出现，研究内容和发展趋势。 3 1 经济物理学的出现 实际上物理学家研究经济问题的历史可以追溯到1 9 0 0 年，法国人b a c h e l i e r 提 出了第一个关于收益的随机过程的模型：由独立的、全同的、遵从g a u s s 分布的 随机变量描述的无关联随机行走模型f 1 3 1 。1 9 3 6 年，意大利物理学家m a j o r a n a 就指 出了物理学与社会科学所遵循的统计规律的类似性f 1 4 1 ，但他们的观点并未引起 人们的重视。m a n d e l b r o t 在2 0 世纪6 0 年代分析了股市和期货市场的价格走势，发 现并不遵循g a l l 日s 分布，指出分布的“胖尾”现象和不同时问标度下的稳定函数形 式，与l e v y 稳定分布相符f 1 5 ，1 6 1 。但是当数据并不丰富的时候，人们只能用逻辑的 一贯性和简洁性来作为理论模型的主要判别标准。这是数学家而非物理学家的专 长。因此在2 0 世纪9 0 年代以前，只有少数物理学家涉足经济和社会领域的研究，例 如k a d a n o f f 1 7 和m o n t r o l l 1 8 等。 2 0 世纪9 0 年代以来，随着计算机技术的发展，获取和处理各种金融数据 ( 例如股市，外汇市场及其他衍生证券市场的交易数据等) 变得比较容易，这 在很大程度上刺激了经济物理这一科学的衍生。物理学家们本着实验物理的 精神，从经验研究出发探索经验规律。与计量经济学家不同的是，他们引入 了物理学中的分析方法，例如消除趋势波动分析( d e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y - s i s ) ，随机矩阵方法( r a n d o mm a t r i xa p p r o a c h ) 等，并类比物理( 尤其是统计 物理) 中的一些概念和方法，对经验研究中发现的各种现象和规律进行解释和 预测，例如随机动力学，短程和长程关联，自相似，标度性和普适性等等。其 中s t a n l e y ，m a n t e g n a 1 9 ，2 0 1 ，b o u e h a u d 2 1 ，s 咖e t t f 2 2 1 和张翼成f 2 3 ，2 4 1 等人做了大 一1 m 一 硕士擘住论走 b i a s t e r st h e s i $ 量的开创性工作。 最近几年来，经济物理方面的论文广泛出现在各种物理学刊物上，这一领域的 国际会议也频频召开。1 9 9 9 年经济物理学高级研讨班及金融复杂性国际学术交流会 在合肥召开，两年后，第二届复杂性科学和经济物理学的理论与应用国际学术会议 义在桂林召开，2 0 0 5 年又在北京召开了第二届全国复杂动态网络学术论坛。2 0 0 6 年 在武汉召开了全国第二次复杂网络学术大会。这都标志着我国科学家也加入到这一 新兴领域。 3 2 经济物理学研究的内容及主要模型 到目前为止，物理学家和经济学家在经济物理学方面的研究主要集中在两个方 面；一是实证特性分析，即收集从实际市场中获取的真实数据，通过统计方法和计 量模型获得整体行为特征，如相关性、波动性等；二是建立微观动力学模型，即通 过建立与实证结果基本一致的动力学模型，研究系统遵循的演变规律，掌握其变化 发展的趋势。 在实证分析方面，经济物理学的研究主要集中在三个方面：一是对股票价格、 外汇兑换率或商品价格的时间序列的研究，尤其以对股票价格时间序列的研究为 主。二是对公司成长、g d p 变化和个人收入增长的研究。三是对经济现象的网络 分析( 即“小世界”模型研究) 。希望通过这些研究获得一些普遍性或特殊性规律。 对于动力学模型方面，这是物理学家惯用的手段。近年来，已经提出了许多经 济系统模型，主要有以下几种： ( 1 ) 少数获胜博弈模型2 3 ，2 4 1 这个模型是由c h a l l e t 和张翼成提出来的。它的出现在建立复杂适应系统 ( c a s ) 的基于经纪人的物理模型方面迈出了重要的一步。这个模型简单但是深刻 的反映了复杂金融市场中众多经纪人对有限资源( 利益内在冲突) 进行竞争的基本 特征，其基本思想是金融市场中的普遍原则一一少数者获胜。 在此模型中共有n ( n 为奇数) 个参与者，每个参与者独立的在两种可能性中 选择其中之一，例如在股市中选择买或卖，显然，两种可能性中选取人数少的那些 人获胜。仍以股市为例，买方人数少，价格将下跌，买方的人可以低价买进；如卖 方人数少，则价格上涨，卖方的人可以高价卖出，因而总是处于少数者一方获利。 在每个参与者在决定自己新一轮的对策之前，他可以从记录以往“博弈”获胜策略的 策略库学习，方法是他对他所掌握的策略根据获胜的情况进行打分，选取其中他认 为分数最高的策略。这种每个参与者通过在线学习以及与系统整体的自适应的模 型，使得系统旱现以标度参数a = 2 m ( m 为策略库的字长) 表征的整体行为。 针对不同的情况，对此模型提出了多种改型。 一1 l 一 硕士学位论走 m a s t e r st h e s i s ( 2 ) i s i n g 自旋模型f 25 1 仿照一维铁磁体由个自旋向上或向下的自旋组成，认为市场价格由个市 场参与者的买或卖的行为决定。例如取自旋向上为买( 鼠= 1 ) ，向下则为卖 ( 最= 一1 ) ，某时刻t 的价格钆由该时刻的供求关系决定，即规= 霄1 s ( ) 这也 是铁磁体的磁化强度。此模型假定市场参与者有两类人，极少数知情人和绝大多数 跟风者，知情人根据前一时刻整体的舭值决定当前时刻的行为，当现 o 时则卖，取s = - 1 。跟风者则模仿近邻的行为，如有两个( 或 两个以上近邻) 采取同一行为，则跟进，如两个近邻行为不同，则它随机采取买或 卖行为之一。利用这一模型，文献 2 5 】冉现了d o wj o n e s 股指和美元德国马克汇市 数据的一些主要特征。 ( 3 ) 朗之万方程模型f 2 6 ，2 7 1 人们通过对金融市场中交易价格的分析发现，金融市场中价格的变化r 随时 间t 的关系可以由变系数的朗之万方程来进行描述，即 a r ( t + a t ) = b ( t ) a r ( t ) 4 - ，( ) ，( 3 1 ) 其中，( t ) 代表非线性系统中的随机力，在金融市场中，它反映了经纪人自身的属性 及经纪人对市场预期的差异性，6 ( t ) 为一随机变化的系数，它反映了在金融市场中 经纪人对价格变化的各种各样的响应程度。该方程的解是一个含时解，它可以描述 金融市场中价格变化分布的构形及其演化规律。显然，在这个模型中，物理学家把 一个开放的金融市场类比为一个受随机力驱动的非线性动力系统。并试图通过它来 解释所谓的胖尾现象。 r i c h m o n d 等人从朗之万方程出发，构造了一个描述金融市场中价格波动的分 布函数的动力学模型，基于这一动力学模型，运用非平衡统计物理学中的福克一普 朗克方程的稳定解，说明了金融市场中价格波动的分布函数满足幂律的可能机理。 而幂律恰恰是金融市场处于自组织临界态的一种反映。 ( 4 ) 股价方程、期权定价与布朗运动模型f 2 8 ，2 9 1 布朗运动是随机涨落的典型现象。一般来说，许许多多的宏观观测，都要受到 布朗运动的限制。法国经济学家b a c h e l i e rl 把股价的变动理想化为布朗运动。在此 基础上，经济学家把伊藤过程方程用于描述股票价格剐) 行为过程的一种模式，为 更确切的描写股票价格的行为过程，伊藤过程方程被修正为 q “、 等掣= 肛出+ a d b( 3 2 ) 6 l 其中“为股票价格波动率、盯为股票价格的预期收益率。人们把它称为股价方程， 它是一个随机微分方程。 一1 2 - 一 硕士学位论吏 m a s t e r s t h e $ i s 由伊藤过程描述的股价方程是一个正向的随机微分方程，从确定的s ( o ) = 岛 出发，根据布朗运动的随机变量b ( t ) 在o i n t 之间的形态，来推断轨线的统计行 为。若将问题倒过来提，并先给定一个t = t 时的随机变量z ( t ) ，然后来确定其初 值z ( o ) = x o ，这种问题所对应的方程称为倒向随机微分方程。金融工程中的期权 定价问题就是倒向随机微分方程的求解问题。 此外，还有e g u i l u z 与z i m m e r m a n n 提出的经纪人集团模型f 3 0 1 ，经纪人在小世 界网络结构中的博弈模型1 3 l ，3 2 l 等等。虽然这些模型从不同角度和层向考虑了经 济系统的基本要素和主要特征，取得了一定的成功，但是经济系统极为复杂，规律 至今还远未探明，因此要建立完善和能阐明系统的主要规律的经济模型还需要相当 大的努力。 3 3 经济物理学的发展趋势 近2 0 年来，经济物理学已取得了快速发展，对股市特征的研究已趋成熟。今后 的研究主要侧重在两个方面，一是物理学方法的应用，二是物理学理论的应用。 首先是计量方法的应用。自2 0 世纪7 0 年代以来，相变理论、统计力学、非线性动力 学、混沌理论等已取得了重大的进展。在这些领域，幂律分布、长程关联、标度、 分形理论、不可预测时间序列等已获