（计算数学专业论文）非均匀chemostat中非单食物链模型正解分析.pdf

非均匀c h e m o s t a t 中非单食物链模型正解分析 姜洪领 摘要c h e m o s t a t 模型( 又称恒化器模型) 广泛应用于微生物培养、废料处 理、生物制药、食品加工等领域，只要适当地调节恒化器内各个反应物的浓度或 者调节其它控制参数就可以达到预期的目标借助于数学方法对这类系统进行建 模、分析、控制和优化，这对恒化器的设计、生产成本的降低等都有着十分重要 的意义 本文主要研究一类带有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 和m i c h a e l i s m e n t e n 型功能 反应函数的未搅拌的c h e m o s t a t 非单食物链模型，系统中包含了一个营养基，两 个竞争物种和一个捕食物种，竞争物种的生长依赖于营养物和捕食物种的浓度 模型由一组反应扩散方程来描述； & = 一m l u f l ( s ， ) 一m 2 v 1 2 ( s , 口) ， 饥一。+ m l u a ( s ，u ) 一m 2 w f 3u ，叫) ， v t = t k + 依2 口南( s 各) 似t = w x x + m 3 叫，3 ( 珏，叫) ， 边界条件为 初始条件为 ( 。，t ) ( o ，1 ) ( o ，o 。) ， 器t 裂01 拳 ( 。，) ( ，) x ( o ，o o ) ， 、 ( 毛t ) ( 0 ，1 ) x ( 0 ，o o ) ， s ；( o ，t ) = 一1 ，s ：( 1 ，t ) + 7 s ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， 乱。( o ，t ) = 0 ，( 1 ，t ) + 7 u ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 0 ，力= 0 ，( 1 ，t ) + 拶( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， 毗( o ，t ) = 0 ，毗( 1 ，t ) + 7 伽( 1 ，t ) = 0 ，t 0 s ( x ，0 ) = s o ( z ) 0 ， z u ( x ，0 ) = 咖( z ) 0 ，0 ，z v ( x ，o ) = v o ( x ) 0 ，0 ，互 w ( x ，0 ) = w o ( x ) 0 ，0 ，。 其中五，q ) = p ( 1 + 。t p + 屈口) s ( 。，t ) ，乱( 。，t ) ，v ( x ，t ) ，叫( ，t ) 分别描述的是营养 基s ，物种u ， ，w 的浓度m l ，m 2 和m 3 分别是物种u ，口和w 的最大生长率一 o t i 0 ，屈0 ，i = 1 ，2 ，3 本文分四部分就c h e m o s t a t 非单食物链模型解的性质进行了讨论 第一章系统地介绍c h e m o s t a t 模型之竞争和捕食模型的研究状况，回顾了和 本文相关的一些研究方法同时就非单链系统的研究背景，研究方法和已经得到 的一些经典结果做了综述 第二章讨论了( 1 ) 一( 3 ) 的带b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能函数的平衡态系统 运用极值原理，上下解方法，锥映射不动点理论等方法讨论了该系统解的一些性 质，并给出了一个正解存在的充分条件 第三章讨论了系统( 1 ) 一( 3 ) 带m i c h a e l i s - m e n t e n 功能函数解的渐近行为运用 极值原理，抛物型方程比较方法和稳定性理论，讨论解的稳定条件，并依此给出 该系统持续的条件 第四章我们主要应用数值方法分析系统( 1 ) 一( 3 ) ，结合二、三章理论分析所给 出的条件做出大量的数值模拟再次对解的存在性，渐近性进行了验证和补充同 时我们在此基础上定性地分析了生长率对物种的影响 关键词c h e m o s t a t 食物链平衡态不动点指数渐近性 i i a n a l y s i so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o ram u l t i p l ef o o dc h a i n m o d e li na nu n s t i r r e dc h e m o s t a t j i a n gh o n g - l i n g a b s t r a c t c h e m o s t a t ( o f t e nc a l l e dac o n t i n u o u sc u l t u r e li su s u a l l ys e r v e da sa r e a c t o rw i d e l yu s e di nm i c r o o r g a n i s m sc u l t u r e ，w a s t et r e a t m e n t ，b i o i o g yp h a r m a c y a n df o o dp r o c e s s i n ge t c w ec a nr e a c he x p e c t e dg o a l sb yc o n t r o l l i n gc o n c e n t r a - t i o no fm i c r o o r g a n i s m so ra d j u s t i n gs o m ep a r a m e t e r si nt h es y s t e m d e p e n d i n go n m a t h e m a t i c a lm e t h o d st om o d e l ，a n a l y z e ，c o n t r o l ，a n do p t i m i z et h es y s t e m ，t h e r e a r ev e r yi m p o r t a n ts i g u l f i c a n c e si nt h er e a c t o rd e s i g n i n ga n dt h ec o s to fp r o d u c t d e c r e a s i n g i nt h i sp a p e r ，a nu n s t i r r e dm u l t i p l ef o o dc h a i nc h e m o s t a tm o d e lw i t hm i c h a e l i s - m e n t e no rb e d d i n g t o n - d e a n g e l i sf u n c t i o n a lr e s p o n s ei sd i s c u s s e d t h e r ea r ean u - t r i e n t ，t w oc o m p e t i n gs p e c i e sa n dap r e d a t o rp o p u l a t i o ni nt h es y 8 t e m ，w h e r et h e c o m p e t i n gs p e c i e sc o n c e n t r a t i o n si sc h a n g i n gw i t ht h ec o n c e n t r a t i o no fn u t r i e n ta n d p r e d a t o r t h ec h e m o s t a tm o d e lt a k e st h ef o r mm a t h e m a t i c a l l ya sf o l l o w i n g s ： 最= 最。一m l u 5 ( s , 扎) 一m 2 v 1 2 ( s , ) ， u t = “z z + m l u f l ( s , u ) 一m 2 伽 ( 钍， ) 砘= $ + m 2 v f 2 ( s ， ) ， w t = 叫2 2 + r n 3 叫，3 ( 札，叫) ， w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s & ( o ，t ) = 一1 ”。( o ，t ) = 0 ， ( 0 ，t ) = 0 ， i ) 。( o ，t ) = 0 ， a n di n i t i a lc o n d i t i o n s ( z ，t ) ( 。，t ) ( z ，t ) ( z ，t ) ( 1 ，t ) + 7 s ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， u x ( 1 ，) + 7 u ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 1 ，+ 7 v ( 1 ，岛= 0 ，t 0 ， 地( 1 ，t ) + 7 w ( 1 ，) = 0 ，t 0 s ( z ，0 ) = = 岛( z ) 20 ，。( 0 ，1 ) ， u ( 。，0 ) = u o ( z ) 0 ，0 ，z ( 0 ，1 ) ， v ( x ，0 ) = v 0 ( x ) 0 ，0 ，z ( 0 ，1 ) ， w ( x ，0 ) = w 0 ( z ) 0 ，0 ，。( 0 ，1 ) ， ( 1 ) ( 2 ) w h e r e ( p ，q ) = p ( 1 + o i p + 风口) s ( x ，t ) ，u 扛，t ) ，v ( x ，t ) ，w ( x ，t ) a c et h ec o n c e n t r a - t i o n so ft h en u t r i e n t ，s p e c i e sr e s p e c t i v e l y t h ep a r a m e t e r sm l ，m 2a n d ? n 3a c et h e m a x i m a lb i t hr a t eo f 越，va n d 叫，r e s p e c t i v e l y 啦 0 ，磊0 ，t = 1 ，2 3 i i i 、；、j 0 0 0 0 ，l，【 x 、i、j l 1 1 l o o o 0 ，l，l t h e p a p e ri sm a d eo ff o u rs e c t i o n sa n d t h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n st ou n s t i r r e d m u l t i p l ef o o dc h a i nc h e m o s t a tm o d e la r ei n v e s t i g a t e d i nc h a p t e r1 ，t h er e s e a r c hs i t u a t i o na b o u tc h e m o s t a tm o d e lf o rc o m p e t i t i o n a n dp r e y - p r e d a t o ra r ei n t r o d u c e da n ds o m em e t h o d sr e l a t e dw i t ht h ep a p e ra r e r e v i e w e d m e a n w h i l e ，w es u mu pt h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，r e s e a r c hm e t h o d sa n d s o m ec l a s s i c a lr e s u l t sa b o u tm u l t i p l ef o o dc h a i ns y s t e m i nc h a p t e r2 ，t h es t e a d y - s t a t es y s t e mw i t hb e d d i n g t o n - d e a n g e l i sf u n c t i o n a l r e s p o n s ei sd i s c u s s e d b ya p p l y i n gt h am a x i m u mp r i n c i p l e ，t h el o w e r - u p p e rs o l u - t i o nm e t h o da n di n d e xo ff i x e dp o i n to fc o m p a c tm a pi nc o n e ，w ea n a l y z es o m e p r o p e r t i e so fs o l u t i o n st ot h es y s t e ma n da tt h es a m et i m eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ec o e x i s t e n c eo ft h em o d e ls o l u t i o n si se s t a b l i s h e d i nc h a p t e r3 ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n st ot h es y s t e m ( 1 ) 一( 3 ) w i t h m i c h a e l i s m e n t e nf u n c t i o n a lr e s p o n s ei si n v e s t i g a t e d b ya p p l y i n gm a x i m u mp r i n - c i p l e ，c o m p a r i s o nt h e o r e m sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o na n dt h es t a b i l i t yt h e o r e m ，s o m e s t a b l ec o n d i t i o n sa b o u ts y s t e m ( 1 ) 一( 3 ) a n dt h ec o n d i t i o n sf o rt h ep e r m a n e n c eo ft h e s y s t e ma r eu n d e rd i s c u s s i o n i d l a p t e r4 ，a p p l y i n gt h es y s t e m ( 1 ) 一( 3 ) a n dc o m b i n i n gw i t ht h et h e o r yc o n d i t i o n si nc h a p t e r2a n d3 ，l a r g ea m o u n to fw o r ko nn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sc o n d u c t e d f u r t h e r m o r e ，t h ee x i s t e n c ea n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n sa r et e s t e da n d c o m p l e m e n t e d m e a n w h i l e ，b a s e do rt h ea b o v er e s u l t s ，t h ee f f e c t so fg r o w t h r a t eo n s p e c i e sa r ea n a l y z e dq u a l i t a t i v e l y k e y w o r d sc h e m o s t a tf o o dc h a i ns t e a d ys t a t e f i x e dp o i n ti n d e x p e r s i s t e n c e i v 学位论文独创性声明 y9 0 0 5 1 乏 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意 作者签名 秘风期 l 厂 。必勿l j 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版 作者签名拯啉鲨：笪： 第一章前言 c h e m o s t a t 模型又称恒化器模型，它是一个简化了的自然生态模型，对它的研 究有很好的现实意义实践证明对它进行数学分析是可行的，模型中的参数是可 测的关于对恒化器的研究以及各种推广是目前非常活跃的课题，研究者对模型 进行各种各样的改进和推广以使其能更加逼真地描述自然现象，从而能指导人类 更好地利用自然、改造自然、优化资源和环境管理，因此对c h e m o s t a t 模型的研 究被广泛应用于森林开发、害虫综合防治、预测污染物和有毒物分布、自然景观 和公园管理、生物群落的格局、作物育种、渔业管理、人口统计和疾病分析等领域 恒化器( 图1 ) 是一个用于连续培养 微生物的装置，它可简化为3 个相连的容 器，第一个( f r e s hm e d i u m ) 容器内装有 让微生物生长所需的足够的营养物质， 我们一般只考虑其中一种起主要作用的 营养成分，该营养成分被称之为养料， 它是有限的养料的浓度保持常数，养 料以常速率被抽到第二个容器中一培 养器( c u l t u r ev e s s e l ) ，同时又以同样的 速率将培养器中的物质( 养料和微生物 的混合物) 抽到第三个容器( r e c e p t a c l e ) 中以使培养器中的物质容量不变假设 培养器中的物质是被均匀搅拌的，且所 有影响微生物生长的参数( 如温度，p h 值，压强等) 均保持常数，这样由恒化器 一 制成的产品就都在第三个容器中 一 养料的变化率可表示为 ( 养料的变化率= 输入一输出一消耗) 而微生物的变化率可表示为 ( 微生物的变化率= 增长一输出) 记s ( t ) 表示在时刻t 营养物的浓度，u ( t ) ，v ( t ) 表示在时刻t 两竞争微生物 的浓度，则对两物种竞争情形有下列微分方程组 邓一s ) e 一去蔫u 一去蒜口 锄( 羔卅) ( 1 1 ) ( 蒜卅) 相应的初始条件为s ( o ) o , u ( o ) o , v ( o ) 0 其中s ( o ) 代表营养物的初始浓 度，口代表输出率，m l ，m 。是最大增长率，a l ，6 2 是半饱和系数，以上数据均可 通过实验测定也，( i = 1 ，2 ) 是生长影响因子，- g 是一个常量，表示从营养物到 微生物的转化- 对( 1 1 ) 进行无量纲代换有 u 2 万丽口2 礤而 雪2 南， f = 巩 m l i 百，m 2 。可 0 12 而，n 25 丽 方程组( 1 1 ) 连同初始条件可以书写成下列简洁的形式 = 1 - s - 石m 而：su - - i m 2 两s = 钍、。m 。一l s 一1 ) ( 1 2 ) 刮蒜- 1 ) 一 关于上述模型的详细讨论见参考文献【1 】【2 3 】在这些文献中所得到的结论都体 现了自然界的竞争排斥原理：物种乱，口只能有一种可以存活然而在自然界的竞 争中却通常显示所谓的“浮游生物悖论”现象：很多种浮游生物可以依赖一种或 几种营养物而共存，这个现象引起了研究者的注意，为了和实际相一致，生物学 家，数学工作者开始考虑修改这个模型，研究能导致生物共存结果的一些因素： 比如引进更多的竞争者和捕食者；考虑营养物的浓度或者输出率与时间有关；在 营养物向生物的转化过程中引入时滞；修改模型里的功能反应函数；引入扩散现 象( 即去掉均匀搅拌的假设) 等等文献【3 - 1 2 研究的模型均假设恒化器是非均 2 匀搅拌，即考虑分子在恒化器空间扩散的影响作用此时微生物的浓度不仅和时 间有关，而且也与空间位置有关通过这样的修改，模型( 1 2 ) 可用下列一组反应 扩散方程( 无量纲化后) 来刻画 & = 娩一羔一蒜勘 地2 毗m + ：再否u ，m 2 s 仇2 d + ：再巧口 边界条件为 初值条件为 ( 1 3 ) ( o ，t ) = - 1 ，最( 1 ，t ) + 7 s ( 1 ，t ) = o 让。( o ，t ) = 0 ，u x ( 1 ，t ) + u ( 1 ，t ) = 0( 1 4 ) ( o ，t ) = 0 ，( 1 ，t ) + 7 ( 1 ，0 = o s ( x ，0 ) = s o ( z ) 0 ， u ( o ，0 ) = u o ( x ) 0 ，u ( x ，0 ) 0 ( 1 5 ) v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 ，v ( x ，0 ) o 同常微分方程组模型相比较，可以看出将输入输出项移放到边界条件里 了，为了说明这一点，我们可考虑边界附近宽度为h 的一个区域，若s ( z ，t ) 是营 养物浓度，则在t 时刻，该区域内的营养物总数是t = ：s d x ，进入该区域的净 流量是是k = o + 驴，但是由于在左边没有输入，面s o 是个常数，当h 一0 时，我 们有咒【。= 0 = 一s o 同理“。( o ，t ) = o ，( o ，t ) = 0 表明没有微生物从左边进入到培 养容器，而在右边，营养物和微生物又被以相同的速率抽出类似的分析可以得 到其余的条件 对( 1 3 ) ( 1 5 ) 的研究比较早的有j s o 和p w a l t m a m 等作者，见参考文献【3 ，4 】 后来s z e - b ih s u 6 在其文章中利用极大值原理和无限维动力系统中的一致持久 性讨论了该模型解的渐近行为文献【7 】对该模型在维的情况利用分歧理论给 出了相当完备的数学分析，得到了( 1 3 ) 一( 1 - 5 ) 的一个正平衡解存在和稳定的充分 条件更多的研究可参考文献【6 ，8 - 1 2 进一步，由于在( 1 3 ) 一( 1 5 ) 中，功能反应函数采用的是m i c h a e l i s - m e n t e n 函 数五姆) = ：蓦然而在真实的竞争场景中，不仅是两个竞争物种之间进行竞争， 3 同时在其内部也有相互之间的竞争，此时的m i c h 0 , e l i s - m e n t e n 显然不够精确。为 此，有学者采用b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能函数 ( s ，让) = 再而s ，f 2 ( s ，u ) = 再而s 它与m i c h a e l i s - m e n t e n 函数类似，只是在分母中增加了一项b , u 或者岛o ，屈 0 ，i = 1 ，2 它们反映了种内的相互影响b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能函数的推 导见参考文献【1 3 - 1 5 涉及带b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能函数的研究主要有文献 1 6 - 1 8 除了上述考虑扩散，修改功能反应函数，还有学者通过引入更多的竞争 者来打破原有的竞争排斥现象，见文献【1 9 - 2 2 b u t l e r - g j 和w o l k o w i c - g ，s k 于 1 9 8 6 年在生物数学应用学报( j m 0 , t h b i 0 1 ) 上撰写文章【1 9 】给出下列模型 = ( s ( o ) 一s ) e 一瓦i 石m 干l s 否“一石1 石r t 干2 s i 钉 如仳( h m + i s s 卅一壶罴) = ”( 蒜卅) , t o p ：伽( 竺竺一日) 、0 , 3 + u 。 s ( o ) o ，u ( o ) o ，口( o ) o ，伽( o ) 20 该模型是对于实验室有较好的搅拌设备并且影响微生物生长的其它参数( 如 p h 值温度压强等) 均被严格控制的情况下建立的 图2 种群结构图 在这个模型里除了有物种问的竞争，还有捕食：u ，v 在竞争营养物s 的同 时，u 又作为另一物种伽的营养物( 见图2 ) 该模型只考虑叫捕食缸，而不捕食 情形对应的初始条件和( 1 1 ) 相同 b u t l e r - g j 等人对上述系统所做的定性 分析表明，在引入u 的捕食者后，可以打破原有的竞争排斥原理，得到u 一共存 的结论同样在不考虑该恒化器模型均匀搅拌的假设，允许营养物和微生物可以 随机扩散到整个培养器时，上述培养模式的数学模型可由下列反应扩散方程组给出 4 岛= 一篇a lu 一蒜a 2 十6十j m 】sm 3 札 饥2 让”+ 孺u 一a aa - u 训 m 2 s 仇5 。- 4 - i 丽”0 2 十j 毗= + 罴0 , 3 - i - 叫 让 ( 1 6 ) 可以看出，模型( 1 6 ) 采用的是m i c h a e l i s - m e n t e n 反应功能函数，如前所述， 对此我也可以采用b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能函数，模型可修改为 & = & 。一m l u f l ( s , u ) 一m 2 v f d s ，钉) u t = u - 4 - m l u f l ( s , u ) 一m 3 叫厶( u ，w ) v t = 3 + m 2 v y 2 ( s ， ) = 1 z + m 3 叫 ， ) 0 ，g ) 2 再丽p ，江1 ，2 ，3 ( 1 7 ) 边界条件为 s ：( o ，t ) = 一1 ，品( 1 ，t ) + 7 s ( 1 ，t ) = 0 ( o ，。) = o ，钍z ( 1 ，。) + w ( 1 , t ) = ” ( o ，t ) = 0 ， v x ( 1 ，t ) + ，y 口( 1 ，t ) = 0 。 ( o ，t ) = 0 ，伽。( 1 ，t ) + w ( 1 ，t ) = 0 初值条件为 s ( z ，0 ) = s o ( z ) 0 ， u ( 。，o ) = 让。( z ) o ，u ( z ，o ) o f 1 9 1 v ( x ，0 ) = 咖( z ) 0 ，v ( x ，0 ) 0 叫 ，0 ) = w o ( x ) 0 ，叫 ，0 ) 0 本文旨在研究再引入第二捕食者的非均匀搅拌恒化器模型( 1 7 ) 一( 1 9 ) ，反应 空间为。【0 ，1 】，t 0 本文将给出系统( 1 7 ) 一( 1 9 ) 带有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功 能反应函数时正平衡态解的存在条件以及带有m i c h a e l i s - m e n t e n 反应功能函数时 含时间t 的解的渐近行为 5 第二章带b e d d i n g t o n - d e a n g e u s 功能 函数的系统平衡态解分析 2 1 引言 对模型( 1 7 ) 一( 1 9 ) ，我们主要感兴趣的是经过长时间的培养后，这三种微生物 最终的生存状态： ( 1 ) 三种微生物共存 ( 2 ) 其中的一种或两种消亡 从数学角度考虑，就是其平衡态方程是否存在解本章我们考虑系统( 1 7 ) 一 ( 1 9 ) 的平衡态问题 艮一m l u f l ( s ，u ) 一m 2 v f 2 ( s , v ) = 0 ，。( 0 ，1 ) 让。+ m l u f l ( s ，让) 一m 3 叫，3 ，伽) = 0 ，z ( 0 ，1 ) z + m 2 v f 2 ( ：3 ，口) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ( 2 1 1 ) 叫。+ m 3 鲫，3 ，蜘) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ( p ，g ) 2 再丽p ，洁1 ，2 ，v 边界条件为 & ( o ) = - 1 ，& ( 1 ) + ，y s ( 1 ) = 0 u 。( o ) = 0 ，札。( 1 ) + ，y u ( 1 ) = o ( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 v ( 1 ) = 0 叫。( o ) = 0 ，叫。( 1 ) + 7 w ( 1 ) = 0 在( 2 1 1 ) 中，令z ( x ) = s ( x ) + ( ) + v ( x ) + 埘( z ) ，则z ( x ) 满足 = 0 o ( 0 ，1 ) 磊( o ) = - 1 ，( 1 ) + 7 彳( 1 ) = 0 ( 2 1 - 2 ) ( 2 1 3 ) 显然该方程是一个常微分方程，由常微分方程理论可知( 2 1 _ 3 ) 有唯一解z ( x ) = 等一z ，z 【o ，1 】因此方程组( 2 1 1 ) 。( 2 1 2 ) 可简化为 u x x + m l u y l ( z 一钍一口一w ，乱) 一m 3 w f 3 ( u ，刨) = 0 z + m 2 口南( z u 一 一伽， ) = 0 ( 2 1 4 ) 训z z + m 3 w f 3 ( u ，w ) = 0 ， 6 ( o ) = 0 ，“。( 1 ) + 7 u ( 1 ) = 0 ( o ) 一0 ，( 1 ) + 7 v ( 1 ) = 0 ( o ) = 0 ，魄( 1 ) + 7 w ( 1 ) = 0 结合实际意义，我们只对( 2 1 4 ) 的非负解感兴趣，事实上，( 2 1 4 ) 有平凡 解( 0 ，0 ，o ) ，其他的非负解可以分成如下三类 ( 1 ) 具有两个分量为零的解：( 色，0 ，o ) ，( o ，o ，o ) ，形如( 0 ，0 ，w ) 的非负解不存 在这一点我们可以考察方程组( 2 1 1 ) ，显然当钍= 0 时， = 0 ( 2 ) 具有一个分量为零的解：( 面，雷，o ) ，( 豇，0 ，面) 同( 1 ) 形如( 0 ， ，t c ) ) 的非负解 也不存在 ( 3 ) 三个分量全为正的解( “，口，叫) 我们定义第一类解为弱半平凡解，第二类解为强半平凡解，第三类为正解 2 2预备知识 引理2 2 1 【2 3 】设g ( z ) g ( 瓦) 且在丽上q ( z ) 0 满足特征值问题 挈+ 幻( z ) = 0 , x q ，( 2 肌2 ) 箬+ 7 ( z ) 庐一o ，z 勰， 、 则( 2 2 1 ) 的所有特征值可排列为 0 a l ( q ) 0 ，l i 庐( z ) - i i _ 1 ，z 豆且比较原理成立t 若“z ) 9 2 ( 。) ，则( q - ) 如池) ，j = 1 ，2 特别 地，如果q l ( 。) 9 2 ) ，则( q 1 ) 0 ， 若州一a o ( z ) 】 0 ，则下列特征值问题 一+ p 庐= ( 口( z ) + 尸) b ：0 ，z a n ( 2 2 2 ) 没有小于1 的特征值；反之若a - a 一( z ) 】 0 则a o ，a l 0 又由于a ( ) 是f 的减函 数，故a ( ) 0 对所有【0 ，1 成立即说明( 2 2 2 ) 没有小于或等于l 的特征 值；如果 【_ 一口( z ) 】 0 ，使得对于任意肛f 0 ，1 】，如果存在“e 是( 2 2 4 ) 的 非负解，则有i i 钍怯 0 如果 ( 1 ) 边值问题 一a u = d j ( x ，u l ，0 ，o ) “，。n 缸c o ( 晓) k i k o 只有零解； 9 ( 2 ) 特征值问题 一+ # p c = a 【( a 如，y 1 ) a u 2 + p ) + ( a ，2 0 ，掣1 ) 轨3 ) 纠，z n 一妒+ # p c = 州( a ，3 ( 茁，y 1 ) a u 2 + p ) 妒+ ( a ，3 ( 卫，1 ) a 乜3 ) 剜，z q 咖，妒k o 有特征值a ( 0 ，1 ) ； 则i n d e x w ( t ，y 1 ) = 0 引理2 2 1 0 2 7 l 设且，马是两个有序的b a n a c h 空间，分别具有正锥p 1 ，恳 记e = e 1o e 2 ，p = p lo p 2 ，则e 是以p 为正锥的有序b a n a c h 空间( u ，印) p 定义为“p 1 ， p 2 ，设p 是p 中有零元的开集，e ：p 7 一只，( i = 1 ，2 ) 是 全连续算子，定义f ：p ，一p 为f ( 让，口) = ( f 1 ( “，口) ，f 2 ( 钍，御) ) ，记马( ) = 口 p 2 ：l i r e 2 1 i 1 ，且l 不是足( 让，o ) i 马特征 值，那么对充分小的e 0 有d e g f , ( i f ，d 1 p 2 ( ) ，0 ) = 0 ( 2 ) 如果对任意的u b ，谱半径r ( 最( u ，o ) l 岛) 0 有 d e g p ( i f i d i p 2 ( 5 ) ，0 ) = d e g e ，( i f 1 i 尸l ，d l ，o ) 2 3半平凡解存在性及有关性质 i 弱半平凡解( 砬，0 ，o ) ，( o ，o ，0 ) 情形 ( 也，0 ，o ) ，( o ，o ，0 ) 的存在性等价于下列方程组解的存在性 毗z + m l 缸 ( 。一“，u ) = o ，z ( 0 1 1 ) f 2 3 1 ) u 。( 0 ) = 0 ，( 1 ) + 7 u ( 1 ) = 0 。+ m 2 ” ( 2 一 ， ) = o ，。( o ，1 ) ( 2 3 2 ) ( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 v ( i ) = 0 命题2 3 1 设 是( 2 3 1 ) 的非负解且u 0 ，则0 u 。( 。) ； 是( 2 3 2 ) 的 非负解且v o ，则0 a 1 ，则( 2 3 1 ) 有唯一正解砬；若m 2 肛1 则( 2 3 2 ) 有唯 一正解舌这里a 1 ，p 1 分别是下列特征问题的第一特征值，妒1 ，妒1 分别是其对应 的第一特征函数 如。+ a ( z ，0 ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) 毋。( o ) = 0 ，以( 1 ) + ，y 庐( 1 ) = 0 札。+ p 妒，2z ，0 ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) 慨( o ) = 0 ，如( 1 ) + 7 妒( 1 ) = 0 证明我们只给出砬的证明，o 同理可得 ( 存在性) 令面= 三，u = 咖1 ，s 是一充分小的正数易知z 是( 2 3 1 ) 一个上 解对堑有 。+ m l 鲥l 一些，堕) = e 1 z + m l e 咖l ，1 ( z e 1 ，妒1 ) = l ( m 1 一a 1 ) ( z ，0 ) 一m 1 ( ( z ，0 ) 一 ( z e e l ，s 妒1 ) ) 当g o 时， ( 毛0 ) 一f i ( z - - e ( l ，e 妒1 ) 一0 ，从而对充分小的e ，有。+ m l 型 一 笪】) 0 这就证明了塑是( 2 3 1 ) 的一个下解由单调方法知存在极大解和极小解 让+ ，让一，使得u 钍一让+ z ，且对( 2 3 1 ) 的任意非负解必有0 0 ，妒l 0 是其对应 的第一特征函数 如。+ a 妨( z - , o ) = 0 ，z ( o ，1 ) 5 ) ( o ) = o ，也( 1 ) + ，y 西( 1 ) = 0 虹+ p 妒，2 ( 2 一吐，o ) 20 ，z 1 ) f 2 3 6 1 祝( o ) _ 0 ，玩( 1 ) + w ( 1 ) = 0 。 p 一十叼c