（光学专业论文）神经网络中混沌信号的传输及同步态的形成.pdf

摘要 摘要 非线性动力学系统尤其是混沌系统的研究被认为是本世纪末科学界的一个重大突破。与 其它学科相比，非线性学科还处于相对比较年青的阶段，但是她的重要性在许多学科中得到 体现。神经网络则是目前研究较热的一个领域，无论是在生物学、心理学，还是在物理学。 本文先是简要介绍了非线性动力学的研究背景及现状，然后讨论混沌现象和混沌同步在神经 网络当中的应用。研究工作分为以下几个部分： 首先研究了单向电耦合下的混沌同步。研究发现，随着第一层振子数的增加，第二层振 子达到同步的临界耦合系数逐渐减小。当振子数目增加至一定数目时，临界耦合系数变化不 再明显。 其次研究了截断耦合方式下的混沌同步。研究给出了脉冲信号驱动下的响应信号，同时 给出了相应的l y a p u n o v 指数图。 再次研究了简化的化学耦合下的混沌同步。文章首先推导出了一个经验公式，可以用来 判断第二层振子处于混沌态的条件；其次，研究发现，特定耦合强度下，第一层振子数增加 至一定数目，第二层振子不再出现混沌同步；再次，通过计算关联函数和l y a p u n o v 指数， 发现随着层数的增加，振子越来越容易同步。 再其次研究了侧向电耦合对于混沌同步的影响。研究发现，侧向电耦合可以促进振子的 混沌同步。 最后研究了抑制信号对于混沌同步的影响。文章讨论了相同域值下不同抑制信号对于临 界耦合系数的影响，发现抑制信号使得临界耦合系数减小，同时抑制信号的存在让第二层振 子处于不同的状态。 关键词：混沌，同步，神经网络，耦合方式，临界耦合系数 a b s t r a e t 1 1 艟f i e l do fd y n a m i c a ls y s t e m sa n de s p e c i a l l yt h es t u d yo fc h a o t i cs y s t e m sh a sb e e n c o n s i d e r e d 鹧。血eo f t h ei m p o r t a n t 蛐o u g l a si ns c i e n c ei nt h i sc e n t u r y w h d et h i s 绷i s s t i l lr e l a t i v e l yy o u n g , t h e r ei s1 3 0q u e s t i o nt h a ti ti sb e c o m i n gm o l ea n dn k l r ei m p o r t a n ti na v a r i e t yo fs c i e n t i f i cd i s c i p l i n e s t b e 丘e l do f m q m ln e t w o r ki sf r e q u e n t l ys t u d i e di nr e c e n t y e a r s e i t h e ri nb i o l o g y , p s y c h o l o g y , 0 1 i np h y s i c s 黜p a p e rs t a r t sw i t ht h eb a c k g r o u n d sa n d p r e s e n t c o n d i t i o n so fn o n l i n e a r p l a y s i e s ，t h e ni n t r o d u c e st h ea p p l i c a t i o n s o fe l a a o t i e p h e n o m e n o na n dc h a o t i cs y a c h r o n i z a t i o ni nn e u r o n a ln e t w o r k r e s e a r e l aw o r ko ft h i s d i s s e r t a t i o nh a ss e v e r a lp a r t sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ec h a o t i cs y n e l a r o n i z a t i o an n d e ru n i d i r e c t i o n a le l e c t r i c a lc o u p l i n gi ss t l l d i e d i t i sf o u n dt h a t t h ec r i t i c a lv a l u ef o ro s c i l l a t o r si nt h es e c o n dl a y e rt os y n e l a r o n i z eb c c o m e f l s m a l l e r , a st h en u m b e ro fo s c i l l a t o r si nt h ei l l , s tl a y e ri n e r e a w h c l lt h en u n l l b c ro f o s c i l l a t o r si nt h ef i r s tl a y e ri n c r e a s e st oac e r t a i na m o u n t , t h ee l - i d e a lv a l u ef o ro s c i l l a t o r si n t h es e c o n dl a y e r t os y n c h r o n i z ed o e m tc h a n g em u e l a s e c o n d l y , t h ee l a a o t i es y n e l a r o a i z a t i o nu n d e ri n t e r e e p t i v ec o u p l i n gi ss t u d i e d 1 1 ”s t u d y g i y e so u t f i l er e s p o n s es i g n a ld u r i n gi m p u l s i v ed r i v es i g n a l ，a n dg i v e so u tr e l a t i v el y a p u n o v e x p o n e n t w e l l t h i r d l y , t h ee l a a o t i cs y a e l a r o n i z a t i o nu n d e rs i m p l i f i e dc h e m i c a lc o u p l i n gi ss t u d i e d 1 1 ” s t u d yf i r s td e d u c e dl l ne x p e r i e n t i a lf o r n m l a w h i e l li su s e dt os h o wt h ec o n d i t i o n si nw h i c ht h e o s c i l l a t o r si nt h es e c o n dl a y e ra r ei ne i l a o t i es t a t e s l a l c f i ti sf o u n dt h a t w h e nt h en u m b e ro f t h eo s c i l l a t o r si nt h ef i r s t l a y e r i n c r e a s e st oac e r t a i na m o u n t , t h e r ei sn oc h a o t i c s y n e l a r o n i z a t i o ni nt h es e c o n dl a y e ru n d e rac e r t a i ne o u p t i n g $ 1 1 _ e n g o t l lf i n a l l y , b yc a l c u l a t i n g t h ec o r r e l a t i o nf u n c t i o na n dt h el y a p t m o ve x p o n e n t s 。i ti sf o u n dt h a tt h eo s c i l l a t o r sb e m e e a s i e rt os y a e h r o n i z ea sf i l em l m b e ro f l a y e r si n c r e a s e s f o u r t h l y , t h ei n f l u e n c eo f l a t e r a le l e c t r i c a lc o u p l i n go nc h a o t i cs y n e h r o n i z a t i o l ai ss t u d i e d i ti sf o u n dt h a tt h el a t e r a le l e c t r i c a lc o u p l i n g p r o m o t es y a e l a r o n i z a t i o n f i n a i l y ，t h ei n f l u e n c eo fi l l h i b i t o r yc o u p l i n go nc h a o t i cs y a e h o n i z a t i o ni ss t u d i e d 1 1 圮 s t u d yg i v e so u tt h ei n f l u e n c eo fi n h i b i t o r y s i g n a lo nt h ec r i t i c a lv a l u eu n d e rt h es a 蛳 t h r e s h o l d i ti sf o u n dt h a tt h ec r i t i c a lv a l u ed e c r e a s e su n d e r i n l a i b i t o l ys i g n a l a n dt h es t a t e so f t h eo s c i l l a t o r sc h a n g eal o t u n d e ri n h i b i t o r ys i g n a l k e yw o r d s ：c h a o s ，s y a e h r o n i z a t i o n , n e u r o n a ln e t w o r k , c o u p l i n gs t y l e , c r i t i c a lv a l u e 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：日期：2 q q 鱼! ! 星 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名：日 期： 2 0 0 6 1 2 第一章绪论 1 1混沌概述 第一章绪论 混沌现象是数学，物理学、系统科学等学科领域中一个日益引人注目的课题。混沌一词 通常是指宇宙形成之前模糊不清的景象或状态，其英文原词“c h a o s ”系指混乱、无秩序状 态，在科学技术领域内通常表示无规则运动。 1 1 1 混沌是什么 混沌运动，只出现在非线性动力系统中，它是既普遍又极复杂的现象。时至今日，科学 上仍没有能给混沌下一个完全统一的定义，它的定常状态不是通常概念下确定性运动的三种 状态：静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的、性 态复杂的运动。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等。 混沌运动还具有通常确定性运动所没有的几何和统计特征，如局部不稳定而整体稳定， 无限自相似，连续功率谱，奇怪吸引子，分维，正的l y a p u n o v 指数，正的测度熵等等。为了 与其他复杂现象相区别，一般认为混沌应具备以下三个主要的定性特征： ( 1 ) 内随机性：在一定的条件下，如果系统的某个状态既可能出现，也可能不出现，该系 统就被认为具有随机性。通常人们习惯于把随机性的根源归结为来自系统外部的或某些尚不 清楚的原因的干扰作用，认为如果一个确定性系统不受外来干扰，它自身是不会出现随机性 的，这称为外随机性。但是，外随机性的观点是经不起分析和实践验证的。对某些看来完全 确定的系统进行数学模拟时发现，它们能自发地产生出随机性来。天体力学中的平面三体问 题就是一个著名的例子。天体力学家s z e b e h e l y 在1 9 8 1 年考虑了所谓有限制的平面三体问题 发现用计算机计算一个小质量天体m 在两个等量的大天体m 1 和比所在的平面的垂线上运动 时，来回摆动若干次以后，m 的行为变得“随机”起来，人们再也无法预测它的位置、速度 及回归时间。这些实验结果是令人惊奇的。在原来完全确定的系统( 它用确定的微分方稃描 述) 内部竞产生了随机性，我们称它为内随机性。混沌常被称为自发混沌，确定性的随机性 等，它所强调的就是混沌现象产生的根源在系统自身，而不在外部的影响。 ( 2 ) 分维性质：混沌态具有分维性质，但其非整数维不是用来描述系统的几何外形，而是 东南大学硕士学位论文 用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征。当我们用“相空间”来表示系统所有可能的 状态时，系统的变化在相空间中可用一条轨道线来描述。混沌运动在相空间中的某个区域内 无限次的折叠，构成一个有无穷层次的自相似结构一奇怪吸引子。 ( 3 ) 普适性和f e i g e n b a u m 常数：混沌是一种无周期性的“高级”有序运动。如果数值的或 实验的分辨率足够高，可以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动花样。在研究混沌的转变中， 出现某种标度不变性，代替通常的空间或时间周期性：所谓普适性，是指在趋向混沌时所表 现出来的共同特征，它不依具体的系数以及系统的运动方程而变。文献中常常提到的普适性 有两种，即结构的普适性和测度的普适性。前者是指趋向混沌过程中轨线的分叉情况与定量 特征不依赖于该过程的具体内容，而只与它的数学结构有关：后者指同一映象或迭代在不同 测度层次之间嵌套结构的相同，结构的性态只依赖于非线性函数幕级数展开式的幂次。混沌 的这种普适性，为人们研究和把握它带来了许多方便。只要研究一种最简单的模型，就可以 将所得的结论放心地运用到同类运动形态中去。著名的f e i g e n b a u m 常数就是通过对l o g i s t i c 方程的研究而得到的。系统在通向混沌的道路上，最常见的方式是倍周期分叉方式。它反映 了系统在趋向混沌时的一种普遍的动态不变性。在趋向混沌时，把标尺缩小或放大，看到的 仍然是相似的“几何结构”。如果把系统每次分叉所对应的参数值分别记为a 。，口斛1 等， 那么式! 型二旦l 的值对不同的迭代次数h 是不同的，但是当疗。时，此比例式存在一 c k + 2 一口 “ 个极限值，它是一个无理数并称为f e i g e n b a u m 常数万，它是一个与具体迭代形式无关的普适 常数。 1 1 2 l y a p u n o v 指数： 混沌对初值极端敏感，相邻近的两条轨道会按指数分离，可看成两条轨迹之间的“距离” 被。拉长”。由于奇怪吸引子为有限相空间，相轨迹间的距离也会被。压缩”，l y a p u n o v 指 数就是长时间计算相空间相邻两轨道的拉长和压缩的平均速率。 假定在初值为i ( 0 ) 的条件下，沿相轨迹经时间t 运动至i ( f ) 当初值为 五( o ) = 墨( o ) + 五( o ) 时，系统将沿另一条相轨迹运动，经时间t 运动到 易( f ) = 墨( f ) + 五( f ) 。在卢。时，相空间的两条轨迹相距很近，即阻o ) 1 很小在t 时刻， 2 第一章绪论 两轨迹相距区叫，两条轨迹按指数分离“，即 陋( f ) i = 匹( o ) 【e x p ( 1 1 2 1 ) l = ；k 龋 “动 式中，因子1 t 有平均速率的意义。取足够长的时间，沿着整个相轨迹考察，在0 和t 之 间的时间顺序划分为f o = o , t l ，t 2 ，t n _ l ，n 足够大，相应的得到两轨迹之间距离演化的 a ( t o ) ，面。) ，盈f ：) ，压以。) ，厶也) ( 1 1 2 3 ) 对应的模为 z 1 ( t o ) 厶瓴) ，厶( f ：) ，厶以。) ( f 。) 0 1 2 4 ) 其中，厶( f 0 ) i ( o ) ，厶( 岛) = ( f ) 。将( 1 i 2 3 ) 简记为 厶( o ) ，。( 0 ) ，厶：( o ) ，。( o ) ，厶。( o ) ( 1 1 2 5 ) 于是烈可以改写为 区o ) l 煞：譬：鲁牟粤鲁 ( 1 比6 ) ( o ) oo 厶l厶。- 2 厶。_ 1 、 将( 1 1 2 6 ) 式代入( 1 1 2 2 ) 式，对整个相轨迹取f - - 9 一的极限，可得 ：1 i mk 鲤 t i ( o ) l = 舰! h 除百a2 瓦n - | t矧 ，一 l o l4 。- 2 d j 噢善h 昌 n 圯乃 般来说，系统在相空间中有n 个独立变量，可以求出相应的n 个l y a p u n o v 指数，按 数值大小捧列厶2 l s - 12 工其中，厶称为最大的l y a p u n o v 指数。 3 东南大学硕士学位论文 “。l y a p u n o v 的指数的符号在区分吸引子的性质很有用，以3 维动力学为例。对稳定不动 点，3 个l y a p u n o v 指数都是负的，即l y a p u n o v 指数的符号为( 一，一，一) ，表示在三个 方向上都收敛；对于极限环，l y a p u n o v 指数的符号为( 0 ，0 ，- - ) ，表示沿极限环方向，轨 道既不收敛也不发散，而在其它两个横截极限环方向轨道收敛到极限环上；对于极限环面 l y a p u n o v 指数为( o ，一，一) ，两个l y a p u n o v 指数为0 表示两个频率啦，锡的准周期运动。 而对于混沌运动至少有一个l y a p u n o v 指数大于零。如l o r e n z 混沌系统在参数为 盯= 1 6 ，r = 4 5 9 2 ，b = 4 0 时，通过实际计算的l y a p u n o v 指数为( 2 1 6 ，0 0 0 ，- 3 2 4 ) 。而 r o s s l e r 混沌系统在参数为a = 0 1 5 ，b = 0 2 ，f 1 0 0 时，l y a p u n o v 指数为( o 1 3 ，0 0 0 ，- - 1 4 4 ) 。 其它常用的从定性和定量的角度来刻画混沌的方法还有：直接观测法，分频采样法，庞 卡莱截面法，分形维数，功率谱分析，k _ s 熵“1 等等。它们从不同的侧面描绘了吸引子的特 征。 1 1 3 混沌同步与混沌控制 一般情况下，混沌的无规则性是人们不需要的，那么，如何将混沌运动控制到规则运动 就成为混沌应用需要解决的问题之一自从1 9 9 0 年，m a r y h n d 大学的o t t ，c m b o # 和y o r k e 首次提出o g y 控制方法以后唧控制混沌很快成为人们研究的热点问题。人们提出了各种 各样的混沌控制方法，并且已经出现有关混沌控制方面的综述性文章 6 1 。总的来说，可以分 成两类：反馈控制和非反馈控制方法。反馈控制一般以原系统的固有态( 在非控制系统中它 们是非稳的) 为控制的目标态，通过改变其稳定性，实现控制，而当实现以后，控制项的影 响消失。然而对非反馈控制，人们一般对混沌系统注入一个与系统无直接关联的作用力。因 而无需对原系统数据采样，方便实用，但坏处在于，它的作用在实现控制后必须始终保持， 因而最终实现的态通常不再是非控制系统原有的态。 对于混沌控制，人们总是试图将混沌轨道加以消除，得到我们实际所需的规则态。然而， 有时混沌运动正是我们所需要的( 如混沌保密通信等) ，因而我们试图将混沌系统驱动到我 们所需的混沌轨道上，这就产生了混沌同步问题。由此看来，混沌同步本质上是一类特殊的 混沌控制。如果我们用一个混沌信号去驱动一个原本混沌或不混沌的系统，那么输出和输入 的关系又将如何，这两者之间可能存在有各种同步关系。这些都是人们在对单个混沌系统的 规律熟知以后，在扩大混沌应用范畴时所首先面对的问题。对于现实世界的耦合时空系统中 4 第一章绪论 的自组织现象，以及各种斑图的形成，人们也迫切希望我出其中的根源。混沌系统的同步理 论对于揭示耦合单元之间的关系无疑是一个很好的工具。 很显然，由于混沌运动的初值敏感性，任何两个完全相同的混沌系统，即使在初始条件 近乎完全相同的条件下，其轨道之间距离也会指数发散。因而，在自由的混沌系统中，我们 不可能得到完全同步。但是“改装”过后的混沌系统这种同步是可能的。在1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 首次提出了一个实现混沌同步的方法：完全替代信号驱动混沌同步法( p c 法) p j 。 图1 4 1 ：完全替代信号驱动法示意图 ( 1 1 3 1 ) 分成两部分，即把状态变量分为工= ( 而，矗) ，其中d 代表驱动信号部分，而r 代表响应子 系统，则有 而= g ( x d ，矗) ， 矗= h ( x o ，矗) ( 1 1 3 2 ) 再建立另一个完全相同的响应子系统，然后用原来的变量如驱动这个复制系统。如此， 我们得到 拓= g ( x d ，) ， = h ( x d ，) ， = h ( x o ，) ( 1 1 3 3 ) 如图1 4 1 所示。接下来，我们观察两个响应子系统的差值h = 一妇随时间的变化。两 5 东南大学硕士学位论文 个混沌系统同步与否( 即：在时间趋近于无穷的极限条件下是否趋于0 ) 由响应系统的线 性化方程 曼譬：m 而( f ) ，h o ) 】咄 出 1 4 ( 1 1 3 4 ) 所决定，其中2 。为响应子系统相对于h 的雅可比矩阵。由此t 在这种同步方法中，受外 在驱动条件下的条件l y a p l ：m o v 指数决定了同步混沌解的稳定性。 这样p e c o r a 和c a r r o l l 用驱动方法成功实现了两个混沌信号的完全同步。从数学上说， 这种方法极为简单，但它揭示了混沌同步的可能性，激发了人们对混沌同步现象的极大关注， 并引起了对混沌同步概念、方法及应用的更全面，更深入研究。在完全替代信号驱动法的基 础上，人们又提出了很多新的同步方法：脉冲驱动法嗍，部分替代驱动法凹，主动被动分解 法( 1 m 等各种方法。人们也很快就在实际物理系统中( 如激光等) 实现了同步混沌，而且在 混沌保密通信，神经系统信息处理，甚至地震模型中找到了用武之地。最近，关于混沌同步 的综述性文章也已发表“”。 1 2 神经网络概述 神经网络理论是巨量信息并行处理和大规模平行计算的基础，神经网络既是高度非线性 动力学系统，又是自适应组织系统，可用来描述认知、决策及控制的智能行为。它的中心问 题是智能的认知和模拟，从解剖学和生理学来看，人脑是一个复杂的并行系统，它不同于传 统的n e u m a n n 式计算机，更重要的是它具有“认知”。意识”和“感情”等高级脑功能。以 人工方法模拟这些功能，毫无疑问，有助于加深对思维及智能的认识。8 0 年代初，神经网络 的崛起，己对认知和智力的本质的基础研究乃至计算机产业都产生了空前的刺激和极大的推 动作用。 然而，由于人类对真实神经系统只了解非常有限一部分，对于自身脑结构及其活动机理 的认识还十分肤浅，当今的神经网络模型实际上是极为简略和粗糙，并且是带有某种先验的。 譬如，b o l t z a n n 机引入随机扰动来避免局部极小，有其卓越之处，然而缺乏必要的脑生理 学基础。毫无疑问，人工神经网络的完善与发展有待于神经生理学、神经解翻学的研究给出 更加详细的信息和证据1 。 近年来由于在单个神经元和反映神经元群体活动的脑电中发现混沌现象，混沌理论很自 6 第一章绪论 然地应用到人工神经网络动力学分析中。研究者确信，经历约十亿年长期适应进化形成的、 有高度特异性的生物神经网络具有混沌行为终有其合理和精巧之处，即它在信息处理方面一 定有它的优势。可以想见，这一优势或潜力的发掘将对于许多方面都有深远的意义“”。 具有非线性自适应并行模拟处理性能的神经网络与混沌密切相关，实际上混沌行为在更 高层次上模拟了脑神经系统的信息处理机制1 。1 9 8 9 年，n i e l s o n 证明了对于任何闭区间的 一个连续函数，可用一个隐层的前馈神经网络逼近。 神经网络与混沌的相互融合始于九十年代，发展很快。其主要目标是弄清大脑的混沌现 象，建立含有混沌动力学的神经网络模型，并用于信息处理电提高信息处理的效率和柔性“。 如果把混沌吸引子作为一个记忆单位，用来表示网络所记忆的某一特定信息，然后，通 过调整网络某些参数改变网络的动力学行为，能实现动态记忆的功能。另外，它还具有自适 应搜索功能。 神经网络的分形构造的理论模型以及利用递归网络的混沌动力学的学习功能等方面的 研究也在展开。在医学方面，人们已经开始控制心脏跳动韵律的尝试：从混沌状态到规则的 周期脉动。 7 第二章单向电耦台对神经网络中混沌同步的影响 第二章单向电耦合对神经网络中混沌同步 的影响 2 1引言 近年来，在神经网络研究中，有关大脑皮层的拓扑学结构取得了可喜的进展。实验证明， 同步和模型构建是大脑动力学的主要特，征【“2 0 l 。 而自从h i n d m a r s h 和r o s e 于1 9 8 2 年提出h - r 模型以来，h r 模型就引起了广泛的关 注囝, 2 2 1 。b u r s t - s p i k e 特性是h - r 模型对于真实神经元的成功模拟 2 3 2 4 1 。 当前，各种神经元模型已在神经网络尤其是前馈型神经网络中得到了广泛的应用 2 5 - 2 7 1 。 其中，电耦合和化学耦合是主要的耦合方式冽；而混沌同步则是研究的一个热点嗍。 我们小组最近的研究涉及h - r 模型在层状网络d ”、复杂网络口2 1 中的应用，而我的研究 方向为h - r 模型在前馈型网络中的应用。 让我们首先详细讨论一下单个h - r 神经元模型，其方程如下： y c = y - - a x ；+ 砰- z + 乙， 夕= c 一矗，一y ， ( 2 1 1 ) j = r s o x o ) 一z 】， 其中】【y z 三个变量分别代表膜电位、恢复因子、自适应电流。此处 a = 1 0 , b = 3 0 ，c = 1 0 , d = 5 0 ，s = 4 0 ，】r = 0 0 0 6 ，而；1 6 0 ，外加刺激用表示，并且设定在神经生物 学中有意义的范围( 0 4 ) 内。 以下讨论不同外加刺激k 作用下h - r 神经元的状态，作为后续工作的基础。 图2 - 1 1 给出了h - r 神经元脉冲时间间隔分叉图。 8 东南大学硕士学位论文 图2 - 1 1 ：h - r 神经元脉冲时间问隔分叉图 图2 1 - 2 给出了不同j 。下的h - r 神经元的时间序列和相图。 图2 1 - 2 ( a ) 图2 - 1 - 2 ( c ) 图2 - 1 - 2 ( 曲 图2 - 1 - 2 0 ) 图2 - 1 - 2 ( d ) 图2 - 1 2 ( 0 图2 - 1 - 2 ：不同。下的h - r 神经元的时间序列和相图。对应参数；图( a ) ，图 ( b ) ，i 耐= 1 3 2 ；图( c ) ，图( d ) ，棚= 2 9 2 ；图( c ) ，图( f ) ，j 耐= 3 4 9 第二章单向电耦合对神经网络中混沌同步的影响 结合分叉图和时间序列图，我们可以得出以下结论：对于1 3 2 i 。 2 9 2 ，h - r 神经 元处于低频脉冲态；对于2 9 2 匕 3 4 0 ，h - r 神经元处于高频脉冲态。 2 2 网络结构和动力学模型 如前所述，职神经元由以下动力学方程描述： x = ( x ，y ，z ) 7 f ( x , i e ) ( 2 2 1 ) = 0 ，一珏矿+ 6 f z + l e , c 一西产一) ，d s ( x - x o ) 一z d 7 篡0 。, 3 糍0 10 , 5 蔷0 4 怒0 0 0 0 61 删，如以2= ( 1 ，一6 0 ) 而我们的网络结构如图2 - 2 - 1 所示： 图2 2 一l ：前馈型网络结构示意图 1 0 东南大学硕士学位论文 由此构建的前馈层状神经网络动力学方程如下： x 1 严厂( x 1 j ，哆) ， 奶：( x f ，0 ) + 芝e h ( 确，) i = 1 ( 2 2 2 ) 这里f = 2 ：m 是网络层的下标，_ ，= i ：j 是第f 层的第，个振子，= 1 ：m - l 是第f 一1 f 1 o0 1 层的第f 个振子。e ：f0 0 0l 表示在工方向上进行耦合，h ( x ，q j ) 代表不同的耦合方式， t , o 0o 岛为第f 一1 层和第f 层之间的耦合强度。套乏中沈i ；如，疗 2 3 单向电耦合对于混沌同步的影响 电耦合方式分为单向电耦合和双向电耦合，这里主要讨论单向电耦合。 单向电耦合的耦合项为瓦1h 缶r t - 毋e ( x ，州一b ) ( 2 3 1 ) 对应动力学方程为： x l 严厂( x 哆) ， i 。g - - - - 饰o ) + 瓦i n _ ( 址 2 3 2 我们改变耦合强度，对于不同数目的感觉神经元，分别作出第二层振子横向最大 l y a p u n o v 指数( 耵l e ) 曲线；这里给出部分结果： 第二章单向电耦合对神经网络中混沌同步的影响 图2 - 3 1 ：m t l ev s9 2 ，1 = 4 图2 - 3 - 2 ：g r l ev s9 2 ，n i = 1 0 图2 - 3 - 3 ：m i l ev s9 2 ，n l = 2 0 图2 - 3 - 4 ：m t l ev s9 2 ，l = 3 0 东南大学硕士学位论文 图2 - 3 5 ：f f r l ev s9 2 ，l = 5 0 图2 - 3 - 6 ：f f r l ev s9 2 ，l = 1 0 0 由上可见，随着感觉神经元数目的变化，l y a p u n o v 指数曲线有着明显的变化。当感觉 神经元数目增大到一定数目之后，l y a p u n o v 指数曲线的变化开始变得不明显。 为了更详尽的说明问题，我们给出第二层振子的时间序列和相图： 图2 - 3 7 ( a ) ：i = 4 第二章单向电耦台对神经网络中混沌同步的影响 图2 - 3 7 ( b ) ：n i = 1 0 图2 - 3 - 7 ( c ) ：n t = 2 0 图2 - 3 - 7 ( d ) ：n i = 3 0 图2 - 3 7 ( e ) ：n l = 5 0 1 4 东南大学硕士学位论文 图2 3 - 7 ( f ) ：l = l o o 图2 - 3 7 ：不同1 下，第二层振子的时问序列和相图 可以看出，当l 2 0 时，随着 的增加，第二层振子的时间序列 和相图变化不明显，同时临界耦合系数变化不大 第三章神经网络中截断输入信号动力学 第三章神经网络中截断输入信号动力学 3 1 输入信号与响应信号 这是一种带有人为操作性质的耦合方式。我们将感觉神经元的信号部分截断，比如“零 截断”，就是将信号中小于零的部分全部取为零。 即i f $ i - i 0 ，确j = 0 。 ( 3 1 1 ) 我们取感觉神经元数目为2 ，截断值取为2 0 。 即i f 钆 5 0 时，耦合强度对于幅值的影响不再明显。 3 2 l y a p u n o v 指数计算 对于l = 2 ，我们给出二维l y a p u n o v 指数分布： 1 7 第三章神经网络中截断输入信号动力学 图3 _ 2 1 ：不同e 2 和9 2 下的l y a p u n o v 指数分布图 接着，我们改变感觉神经元的数日，继续进行l y a p u n o v 指数计算 _ l 、， n 一 厂 k 一叭” 图3 - 2 - 2 ( a ) ：e 2 = 2 0图3 2 - 2 ( b ) ： 2 = 1 0 图3 2 - 2 ：不同e 2 下的l y a p u n o v 指数曲线，1 = 2 a 、 图3 2 - 3 ( a ) ：e 2 = 2 0 图3 - 2 3 ( b ) ：e 2 = 1 0 图3 _ 2 3 ：不同0 ，下的l y a p u n o v 指数曲线，n l = 2 0 。 1 8 第四章简化的化学耦合对神经网络中混沌同步的影响 第四章简化的化学耦合对神经网络中混 沌同步的影响 4 一经验公式的推导 简化的化学耦合的耦合项为击静酢旷盼 汪， 对应动力学方程为： i l ，= ，( x 垆i e j ) ， 诘徘 f ，0 ) + 击( x “厂钞 “1 。2 其中，岛是保证第o ，) 个振子激发的域值- 这样，第二层振子接受到的驱动信号为 也，。- ) = 击莩g ：一岛) = 击莩g ：h + e ： ( 3 ) 舯。：一击军g ：0 2 “， 在讨论同步态稳定性之前，我们首先讨论一下不同耦合强度和域值对于第二层振子 石2 j ( f ) 动力学行为的影响。图4 - 1 1 给出了x 2 ( f ) 的时问问隔分叉图；参数9 2 = 5 0 ， = 1 0 0 。 1 9 东南大学硕士学位论文 图4 - 1 1 ：屯j o ) 的时间间隔分叉图，9 2 = 5 0 ，l = 1 0 0 通过这一分叉图，我们看到而( f ) 展示了三种行为：低频脉冲态( 4 0 - e 2 - 5 5 ，图 4 - 1 _ 2 b ) ，b u r s t s p i k e 混沌态( 5 5 0 2 9 0 ，图4 - 1 - 2 c ) ，高频脉冲态( 0 229 0 ， 图4 - 1 - 2 d ) 。 2 o - 2 02400 6 0 08 0 0 1 0 0 0 3 2 1 0 - 1 02 0 04 0 06 0 0 8 1 0 0 0 3 2 1 0 - 1 0 2 0 04 0 06 0 08 0 0 图4 - 1 - 2 ：参数0 2 = 5 o ( 6 ) ，0 2 = 7 o ( c ) ，0 2 = 1 0 0 ( 回t x 2 ( f ) 的时间序列 图4 - 1 - 3 给出了脉冲激发速率，图中实线代表b u r s t ，虚线代表s p i k e 。( 这里我们取时 藿匣芷-蕾 第四章简化的化学耦合对神经网络中混沌同步的影响 间间隔大于2 0 0 为b u r s t ，时间间隔小于2 0 0 为s p i k e 。) 图4 - 卜3 清楚的表明了第二层振子 当4 3 0 2 5 4 处于低频脉冲态，当5 4 0 2 9 2 处于b u r s t s p i k e 混沌态。进一步 增大0 2 ，当0 2 9 2 ，b u r s t 速率减为零。 图4 - 1 - 3 ：x 2 o ) 的脉冲激发速率图 以上讨论的对应于b u r s t s p i k e 混沌态的域值范围5 4 茎0 2 - 9 2 可以写成 z 睨一g ：m 啦击姜而，- i 。，无论9 2 和0 2 取何值，b u r s t s p i k e 混沌同步不 再出现。临界值n i 。随着9 2 的增大而增大。 图4 - 2 - 3 ：不同9 2 下可以形成混沌同步的n i 的临界值 4 3 同步波的形成与传输 为了了解信号传输过程中同步波形成过程，我们让网络中的所有神经元拥有相同耦合强 度q = g 和相同的域值o ，- - 0 ，然后对于不同层f 计算振子相互关联函数 ( 4 3 1 ) 第四章简化的化学耦合对神经网络中混沌同步的影响 图4 3 一l ：不同f 和g 下的相互关联，o = 5 0 参数g = 1 7 ：o 1 ：2 2 和e = 5 0 下的计算结果表明当耦合强度从g = 1 7 增大到 g = 2 2 的过程中，波在传输时同步性变得越来越好。当g 2 0 ，波在第五层以后达到 完全同步( s 彬l ，f 5 ) 对于g l 7 ，o = 5 0 ，在任何一层都达不到完全同步 我们进一步计算了不同参数f ，g ，o 下的横向l y a p u n o v 指数。 图4 - 3 2 ：不同g 和o 下的横向l y a p u n o v 指数丑，i = 4 东南大学硕士学位论文 图4 - 3 - 3 ：不同g 和0 下的横向l y a p u n o v 指数丑，i = 1 0 结果表明当0 2 6 0 ，g 一2 1 时，第十层可以形成b u r s t s p i k e 混沌同步态。不同层 在不同的耦合强度g 和域值o 下可以形成各种同步态。而各层都可以在很弱的耦合强度 g 下形成高频脉冲同步态，只要域值0 足够大 第五章复杂耦合方式对神经网络中混沌同步的影响 第五章复杂耦合方式对神经网络中混沌 同步的影响 5 1 侧向电耦合的影响 我们在层内部振子之间引入双向电耦合g 。，讨论进一步耦合对于同步的影响。 图5 - 1 1 ：不同g 。和f 下的9 2 的临界值 结果表明，电耦合的存在减小了化学耦合的临界值，电耦合强度越大，化学耦合临界值 越小。 东南大学硕士学位论文 5 2 抑制信号的影响 带有抑制信号的动力学方程如下 x 1 = 厂( x i ，吩) ， 诘体一) + 击警q u g j e q ( x 旷鼢 伯2 。 其中q - 1 j = l ，代表兴奋性祸合；c 卜l = 一l ，代表抑制性耦合。 我们取1 = 2 0 ，由于第一层振子全同，我们只考虑与第二层振子建立抑制性耦合振 子的数目。我们分别让第一层的2 个、4 个、6 个、8 个、1 0 个振子与第二层的所有振子都 建立抑制性耦合我们将第一层振子与第二层振子建立抑制性耦合的数目设为1 。a 首先我们讨论一下抑制性耦合对于驱动信号的影响： 我们取1 。= 1 0 ，则第二层振子接受到的驱动信号如图5 - 2 - 1 a 所示；我们对该驱动信 号进行频率分析，作出频数直方图如图5 - 2 一i b 所示。 图5 2 - 1 ( a ) ：驱动信号图5 - 2 一l ( b ) ：频率分析 图5 - 2 1 ：第二层振子接收到的驱动信号及其频率分析，l 。= 1 0 ，l = 2 0 我们改变第一层抑制性振子数，依次作出频数直方图，将它们画在一起，如图5 2 _ 2 所示；其中从右到左，l ，分别为1 0 、8 、6 、4 、2 ，0 。可以看出，驱动信号呈现出有规律 的平移，分布的峰值之间的间隔大约都是o 1 6 。 第五章复杂耦合方式对神经网络中混沌同步的影响 图5 - 2 - 2 ：不同l 。下的驱动信号的频率分析 我们取幺= 7 0 ，对于上述六种情形，分别计算了第二层振子达到同步的临界耦合系 数9 2 c 。从右到左9 2 c 分别约是8 6 5 、1 0 5 5 ，1 4 0 5 、1 9 0 5 、2 7 5 5 、2 9 2 5 。但是进一 步的研究发现，由于驱动信号的频率分布有一个平移，当我们固定岛= 7 o ，六种情形下 第二层振子会处于不同的状态，如图5 2 3 所示，参数l 。分别为i 0 、6 、o 。 m m m m 1 m1 m m 图5 - 2 3 ：不同抑制信号驱动下的响应信号，岛= 7 o 第六章总结 第六章总结 本文主要讨论了几种不同的耦合方式对于混沌同步的影响。其中第二章和第三章是基础 部分，主要结论如下： ( 1 ) 建立单向电耦合。通过l y a p u n o v 指数计算，发现逐步增加网络第一层振子的数目， 可以使得第二层振子达到混沌同步的临界耦合系数减小。当第一层振子数目增加 到一定数目的时候，第二层振子达到混沌同步的临界耦合系数不再减小，而是维 持在某一个恒定值。同时给出第二层振子对应参数下的状态，即时间序列和相图， 发现随着第一层振子数目的增加，第二层振子的状态呈现出有规律的变化，从某 种程度上解释了临界耦合系数变化的规律。 ( 2 ) 建立截断方式耦合。通过人为截断，使得驱动信号呈现出明显的脉冲特性。改变 截断值可以改变驱动信号的脉冲特性，从而在某种程度上实现对驱动信号的控制。 计算给出了脉冲驱动信号下的响应信号的状态和同步性。 第四章是本文的核心