（光学专业论文）冷原子束干涉研究.pdf

摘要 发散角小、速度分布窄、亮度高的冷原子束在基础物理问题研究和原子光学实验 中均有着广泛应用，玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 实验及其原子激光的输出就是其中的 重要应用。本文是在平均场理论的框架下以g r o s s p i t a e v s k i i n 程( g p 方程) 为主要 模型，针对简诣势阱中中性原子的b e c 进行的研究，数值研究了两个凝聚体间的干涉。 本文对今后进一步的实验研究有一定的指导作用。 全文共分四章，第一章系统介绍了激光冷却和捕陷中性原子技术、b e c 、原子激光 器和原子光学。第二章首先介绍了描述零温下弱相互作用玻色凝聚气体的g p 方程；接 着以具有吸引相互作用原子体系的b e c 为例，数值求解了简谐势阱中中性原子的定态g p 方程；最后数值求解了含时g p 方程。第三章是以含时g p 方程的一维形式为数学模型， 对粒子数相同和不同的两个凝聚体间干涉现象进行的数值模拟。第四章是全文的总结 和进一步工作的展望。 关键词：冷原子束激光冷却和捕陷玻色一爱因斯坦凝聚g p 方程干涉 a b s t r a c t b c c a n s eo fs m a l la n g l eo fd i v e r g e n c e ，n a y l - o wv e l o c i t ys p r e a da n dh i g hb r i g h t n e s s ，t h e a p p l i c a t i o n so fc o l da t o mb e a m si nt h es t u d i e so fb a s i cp h y s i c a lp r o b l e m sa n da t o mo p t i c s a r ew i d e l y t h ei m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s i n c l u d eb o s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t i o n ( b e c ) e x p e r i m e n ta n da t o ml a s e r w i t hm e a n f i e l dt h e o r ya n d t h eg pe q u a t i o n , t h eb e co fn e t u r a l a t o mi nah a r m o n i ct r a pa n dn u m e r i c a l l ys i m u l a t ei n t e r f e r e n c eo ft w ob e e sa r es t u d i e d i t w i l lb eh e l p f u lf b rf u r t h e re x p e r i m e n t t h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s ：i nc h a p t e ro n e ，t h el a s e rc o o l i n ga n dn e u r a la t o m t r a p p i n g , b e c ，a t o ml a s e ra n da t o mo p t i c sa l ei n t r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，f i r s t l y , t h eg p e q u a t i o nw h i c hi sv a l i dt o d e s c r i b ew e a k l yi n t e r a c t i n gb o s cg a s e sa tz e r o t e m p e r a t u r ei s i n t r o d u c e d s e c o n d l y , w ep r e s e n t t h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h et i m e i n d e p e n d e n tg p e q u a t i o nt h a td e s c r i b e st h eb e c o fn e u t r a la t o m sw i t ha t t r a c t i v ei n t e r a c t i o ni nah a r m o n i c t r a p f i n a l l y , w ep r e s e n tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h et i m e - d e p e n d e n tg pe q u a t i o n i n c h a p t e rt h r e e , w ee x p l o r et h e t i m ee v o l u t i o no fb e cc o n d e n s a t e sb ys o l v i n gt h e o l l e d i m e n s i o nt i m e - d e p e n d e n tg pe q u a t i o na n dp r e s e n tn u m e r i c a lr e s u l t so fi n t e r f e r e n c eo f t w oc o n d c n s a t c sw h i c hh a v es a m eo rd i f f e r e n tn u m b e ro fa t o m s w es u m m a r i z et h ep r e s e n t p a p e ra n dg i v ea l lo u t l o o ko ft h ef u t u r es t u d yi nt h i sf i e l di nc h a p t e r f o u r k e yw o r d s ：c o l da t o mb e a m s l a s e rc o o l i n ga n dt r a p p i n gb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n g p e q u a t i o n i n t e r f e r e n c e 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所里交的硕士学位论文， o 表示排斥相互作用，4 0 表示吸引相互作用) ，研为粒子的质量。 在坐标表象中，粒子间的二体相互作用势可表示为6 ( i 一，其中；和；表示 两粒子的位置。设在凝聚体中所有的玻色予都处在相同的单粒子态妒旷) 上，若不考虑 粒子间的相互作用，个粒子的波函数可表示为： i r ( 亏，亏，) 一n 矿辑) ( 2 1 ) 其中，爹( 亏) 为单粒子的波函数。满足的归一化条件为： 1 扩) 1 2 痧一1 ( 2 2 ) 考虑粒子间相互作用的哈密顿量可表示为： 抒- 萋【丢+ y ) 】+ 砜荔a e 一动 s ， 其中，y ( 亏) 为外势。 体系能量为： e 一户i 岛i v 爹伊) ；z + v ( i ) 扩) 2 + u ol 爹扩) 4 】 ( 2 4 ) 在平均场近似的条件下，所有粒子的波函数均用西表示。实际上并不是所有的粒子 都处于基态，而是还有部分热粒子存在。实验上证明热粒子极少，所以具有波函数西 的粒子数要小于，此处忽略热粒子的存在。 假设粒子为半径为的球形，则粒子数密度为： 疗z 二一i ( 2 。5 ) f 4 口1 3 ) r , 5 考虑包含个粒子体积为矿的均匀体系，基态单粒子的波函数为1 ，两粒子间 相互作用能为砜i v 。设，1 ，则总能量可表示为： s - 学一；琢 ( 2 6 ) 为方便讨论，假设非均匀体系的凝聚体波函数是： 妒扩) 。妒f )( 2 7 ) 将粒子数密度n 扩) - i + ) 1 2 代入方程( 2 4 ) ，可以得到系统的能量为： e ( 妒) 严【芸i v 妒伊) f 州f ) 陋( f ) 1 2 + 丢砜陋( f ) f 】 ( 2 8 ) 其中，矿扩) 满足条件： 他f ) 1 2 痧- n 。 利用拉格朗日乘数法6 e 一脚一0 ( 化学势弘为拉格朗日乘数) ，可以得到描述基 态的定态g p 方程： 【一嘉妒鼢旧廿晰) ( 2 e ) 该方程具有非线性薛定谔方程的形式，其中矿扩) 为外势，非线性项以眵( 刊2 是在 平均场近似的条件下得到的。对于役有相互作用的体系，在同一态上的粒子化学势等 于单粒子能量，反之则不然。 对于均匀体系： 卢一眇扩) j 2 - u o n ( 2 1 0 ) 据方程( 2 6 ) ，由弘t 堕a n 可以求得相同结果。 在研究动力学问题时需要用到时间相关的方程，则具有相同非线性项的含时g p 方 程为： 1 4 【一v 2 + v ( o 帅酬2 p 川壳掣 汜 g p 方程的有效性和合理性得到了许多实验的证实。如j i l a 与m i t 的实验小组州 得到的单粒子释放能与g p 方程的理论结果吻合得很好。1 9 9 8 年h a u 1 等人所得的具有 8 0 0 0 0 个别r b 的密度分布曲线也与g p 方程的解析和数值解完全一致。 以上在平均场近似的条件下导出了描述零温时凝聚体波函数所满足的g p 方程，事 实上b e c 的平均场理论在b e c 的超流、相干性等的理论研究方面也是一个非常有效的理 论。 2 2 球对称简谐势阱中定态g r o s s - pi t a e v s k ；i 方程 大多数讨论b e c 理论的文章都是从g p 方程出发的，下面以具有吸引相互作用原子体 系的b e c 为例，数值求解球对称简谐势阱中的定态g p 方程“3 。 在充分低的温度和外加势场y ( r ) 寺m w t z r 2 的条件下，三维球对称简谐势阱中中性 原子的定态g p 方程为： k v 2 + m e o t 2 r + 砜州刮2 俐 汜 其中，1 1 1 是单原子质量，q 是简谐势的角频率，是凝聚体中的原子数，妒( ，) 是 凝聚体的波函数，卢是体系的化学势，u o - 4 z h 2 n 肺为原子间的吸引相互作用，n 为负 散射长度。 对球对称的j 波函数，采用谐振子单位： r 一( 自2 i ，2 缈f ) 2 x ， 芦- p 峨， 并且取妒( ，) ，( 4 汀) 2 ( 加q h ) 2 m o ) 。 则方程( 2 1 2 ) 无量纲化为： 【筹丢班等一砷2 - 。 亿 其中，a = 2 i 陋( 女，2 拂q ) ：为非线性系数。 波函数归一化条件为：4 = f p2 ( r ) r 2 d r ；f g 弦2 d x 一1 ( 2 1 4 ) 如文献 3 3 所述，在实际数值求解方程( 2 1 3 ) 时，将它改写为两个一阶常微分方 程组成的方程组： 丝盟。 d x ( 2 1 5 ) 象一一三y 一肿+ 等西+ 砷3 波函数中( x ) 满足的边界条件是： 圣1 一- - o 中o ) lt 一- - 0 ( 2 1 6 ) 垂o ) i 一o ，中o ) i 。- m ( 0 ) 0 - 1 0 - 6 ) 应用r u n g e k u t t a 数值计算方法，就可以得到方程( 2 1 3 ) 满足条件方程( 2 1 4 ) 、 ( 2 1 6 ) 的数值解。图2 1 ( a ) 至图2 1 ( g ) 给出了不同非线性系数和基态能量的波函 数曲线。 暮 善 善 宣 ( e ) 暮 薯 图2 1 不同非线性系数和基态能量的波函数。( a ) 口一1 0 3 3 ，口= l1 1 5 ； ( b ) 口= - i 3 0 3 ，卢= o 9 4 6 ；( c ) 口= 一l5 6 3 ，卢= 0 6 4 7 ；( d ) o = 一1 6 2 6 声= o 3 6 5 ；( e ) 口= 一1 5 6 3 ，声= o ；( f ) a = 一1 3 0 3 ，芦= 一0 7 5 ( g ) 口一1 0 3 3 ，口= 一1 ，7 5 。 图2 1 是不同非线性系数和基态能量的波函数曲线。曲线( a ) ( g ) 是非线性系数 口一1 0 3 3 ，而相应的基态能量口= 1 1 1 5 、一1 7 5 的情况，曲线( b ) ( f ) 口一i 3 0 3 ， 芦= o 9 4 6 、一0 7 5 ，曲线( c ) ( e ) 口= 一1 5 6 3 。户= 0 6 4 7 、0 ，曲线( d ) a = 一i 6 2 6 ，= 0 3 6 5 。 图2 1 中曲线( a ) 、( b ) 、( c ) 是随着菲线性系数d 的减小，基态能量芦也相应减小 1 7 的情况；曲线( e ) 、( f ) 、( g ) 是随着非线性系数a 的增加，基态能量口相应减小的情况。 2 3 球对称简谐势阱中含时g r o s s - p i t a e v s k ii 方程 上世纪八十年代初，r u t h 等人基于哈密顿系统基本定理( 哈密顿系统的正则方程 在辛交换下形式不变，系统的时间演化是辛变换的演化) ，提出了关于哈密顿系统的辛 算法，此后辛算法得到了系统的研究埘1 。哈密顿系统具有辛结构，哈密顿系统的辛 算法是保持哈密顿系统辛结构的差分法。g p 方程( 具有非线性薛定谔方程的形式) 能 够转化成哈密顿形式，因而可以采用辛算法研究g p 方程描述的简谐势阱中中性原子的 b e c ，下面就采用辛格式求解含时g p 方程曲1 。 三维球对称简谐势阱中中性原子的含时g p 方程为。慨矧： 一芸v 2 + 扣妒川和扩卜归t n 塑笋 ( 2 1 7 ) 其中，砜一4 z 壳2 n 伽是原子间的有效相互作用，口为散射长度。 采用谐振子单位： 兰 r 一( a 锄q ) 2 工， t - 百以。 将蒯2 切一慨降知掣卜掣 眨 其中：1 ；f f ( r ，f ) l - 竺盟，非线性系数为口1 2 口( 壳2 历q ) ；。 锄( 壳2 ，l q ) 4 4 边界条件为： 。 仁二三， 中o ，f ) 一o ，s - 1 0 。 中o ，订- 0 ( 2 1 9 ) 对于凝聚体基态，非线性系数a ；0 时，方程( 2 1 8 ) 的归一化的基态解析解为汹”“： 西伍) 。1 1 ( 2 玎) 1 1 2 x e x p ( 一鸟(220)22 x c x p (西o ) = 2 ( 幼) 4 一 2 。 这样方程( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 就组成“零边界初值问题”。 在数值求解方程( 2 1 8 ) 时1 ，先把波函数面( x ，f ) 的实部与虚部分离，即 垂( x ，f ) ta ( x ，f ) + 西o ，f ) ，将其代入方程( 2 1 8 ) 中有； 1 8 i ，也+ 百x 2b + a 丁( a 2 + b 2 ) 6 叫吨+ 知口学0 令n 是个充分大的正整数，取j i l 为空间步长，记x jc 加，b ，一6 j ( f ) = b ( x ，f ) ， ，a ，q ) = a ( x ，f ) ，( ，= 0 , 1 , 2 ，n 一2 ，n 一1 ) 。再用2 阶中心差分离散空间偏导数， 如参考文献 2 6 所述，离散所得方程具有哈密顿方程的形式，用辛算法求解该问题， 在计算中采用2 阶欧拉中点格式。则方程( 2 2 1 ) 最后变形为： 叮1 叫心h 华一2 华+ 华) + 等华吲( 华) 2 + ( 华) 2 ) ( 华) ) 弦。， 叮1 竹州烈华一z 华+ 华) 【+ 等华+ 口瓠华) 2 + ( 华) 2 ( 华) ) ) 这里，m 4 、垂”1 分别表示r - n a y 、伽+ 1 ) a v 时刻的波函数。 因为欧拉中点格式是隐格式，所以在数值计算中需要采用自洽迭代。 求非线性系数为口时的含时g p 方程哺“蚓，需从口一0 的g p 方程开始，代入相应的 初值( 2 2 0 ) 和边值( 2 1 9 ) ，取空间步长h 和时间步长a v 进行计算，在每个时间步，都 要给口一个很小的增量a a ，并且要边值保持不变和做到自恰迭代收敛。在达到所需要 的口值后，也需要保持a 不变，将此时得到的数值解作为初值，在时间上继续演化一 段时间，检验过它的稳定性后才可以作为基态解，这样做可以确保得到的波函数是稳 定的。 第三章玻色一爱因斯坦凝聚体干涉现象的数值模拟 对物理现象进行数值模拟，既可以为已有的实验现象提供数值的依据，又可以预 言新的实验现象。b e c 的形成、基态形状及演化等在数值模拟方面都取得了大量成果， 为了解释有较弱相互作用的玻色气体在有限空间的实际凝聚，r u p r e c h t 等人用数值计 算方法求解非线性薛定谔方程并在凝聚体形状及演化方面得到了一些与实验相符合的 结果啪1 ，d a l f o v o 等人用能量泛函极小化方法求解t b e c 凝聚体的形状m 1 。 b e c 系统的波函数不仅可以像一般的多体体系一样能用含有各个粒子坐标的体 波函数妒瓴，五，i ) 来描述，而且由于系统的高度相干性，还可以用单变量复函数吵扩) 描述。这里i 所及的范围是整个体系的宏观尺度，而且涉及宏观量的粒子，所以妒( i ) 也 被称为宏观波函数，它描述t b e c 系统的一个重要性质：相位相干。可以把妒扩) 写成振 幅和相位分离的形式妒f ) 一及孓嘶) ，p ( 力一p ( 尹) j 2 代表粒子数密度，也是宏观量。 波函数的相位可以差一个任意实常数。对于任意两点i 和不，不论它们相隔多远，只要 都在体系内，其相位差口瓴) 一口瓴) 就是固定的，这说明了整个体系是相干的“”。 因为利用b e c 体的干涉现象可以进行一些精密测量，所以有必要对这种现象进行一 些研究。本章采用文献 2 4 - 2 6 的建议，以含时g p 方程的一维形式为数学模型，对粒子 数相同和不同的两个b e c 凝聚体间的干涉进行了数值模拟，得到了一些结论，而相应的 物理意义也适用于三维情况。 3 1g r o s s - p i t a e v s k ii 方程的一维模型 在温度t 。o k 时，一维形式的g p 方程可表示为”汹1 ： 峰萋+ 圭坍群+ u e v i 妒( ；, t ) 1 2 卜h a 掣 1 ， 其中，u o - 4 z h 2 口m 。 归化条件是： j 二眵2 出一1 采用谐振子单位： ! z 一0 2 m o d , ) 2 宇， t ；t ， 并且取妒o ，f ) 。( 影2 m q ) 中( 茧r ) 。 将方程( 3 1 ) 无量纲化为： 悟譬1 州岍h 塑笋 ( 3 2 ， 其中，i 1 亭2 是约束势，非线性系数为a t 4 ，r h an m w , 。 当非线性系数a 一0 时，方程( 3 2 ) 的归一化的基态解析解为： 垂( ) - ( 扫) 一ie x p ( 一争 3 3 ) 3 2 粒子数相同的两个凝聚体干涉 3 2 1 玻色一爱因斯坦凝聚体的相干性 以一维模型为例数值模拟两个凝聚体的相干现象h ”。 一维b e c 凝聚体的含时g p 方程为： 悟譬12 刮删巾如冲掣 4 ， 先考虑初始时刻中心位子一岛( 昴为实数) 处的凝聚体的g p 方程： 悟+ 和奶a 阳巾孙) i f 掣 s ， 取非线性系数口一0 时，方程( 3 5 ) 的归一化基态解析解： 西( 亭) 。( 妨) + ；强p 【- 墼望】 ( 3 6 ) 为初态，并且在土r 处取零边界条件，按照2 3 节所述方法利用欧拉中点格式可以求 出非线性系数为a 时方程( 3 5 ) 的数值解，记为：吼( 邑r ) 再考虑初始时刻中心位于岛( 岛为实数) 处的凝聚体的g p 方程： 降+ 扣盯叫嘶扩卜小z 掣 ， 取非线性系数o = 0 时，方程( 3 7 ) 的归一化基态解析解： m ( 亭) 。( 扬) 弧1p 【一譬华】 ( 3 8 ) 为初态，在tr 处取零边界条件，如煎所述也可以求出非线性系数为a 时方程( 3 7 ) 的 数值解，记为：中。( 亭，f ) 。 中。( ；，f ) 与垂。( ，f ) 分别描述初始时刻中心位于一磊和岛处的两个凝聚体。显然 l 一2 磊代表两个凝聚体中心间的距离。 假设这两个凝聚体组成的体系状态波函数垂( 亭，f ) 的时间演化由g p 方程( 3 4 ) 描 述，初始状态是： 西( 亨，0 ) 一面i ( 亭，f ) + 西。( 喜，f ) 一8 ( 3 9 ) 粒子数密度： p ( 邑小- h ( 邑小- 中。( 邑f ) e 1 0 ( 3 1 0 ) 其中，8 为两个凝聚体的相位差。以( 3 9 ) 式为初值，代入g p 方程( 3 。4 ) ，取零边 界条件，并在f - o 时刻就将约束势置零，观察两个凝聚体的相干情况。 3 2 2 数值模拟与讨论 下面对两个凝聚体中的粒子数相同的情况进行干涉模拟，在计算中嘶1 ，取边界条 件r 一6 0 ，宇一0 1 ，厶f - 1 0 3 ，a a 一1 0 5 ，两个凝聚体的粒子数一1 0 3 。 先对相位差占= 石的粒子数相同的两个凝聚体进行干涉模拟。分别取模拟中心 翕一1 0 、2 0 ，非线性系数口= 5 、1 0 的情况进行计算，计算结果如图3 1 至图3 4 所示。 ( a ) p ( 毒 ( c ) ( b ) ( d ) ( e ) 图3 1 约束势置零后两个凝聚体的干涉。宇o = 1 0 ，口= 5 ，口= a l r 。 ( a ) t = o ；( b ) t = 3 ；( c ) t = i 0 ；( d ) t = 1 5 。 ( a ) o3 聪t ) 0 2 0 1 0 t o ( c ) ( b ) ( d ) ( e ) 图3 2 约束势置零后两个凝聚体的干涉。宇庐2 0 ，口= 5 ，口= 玎。 ( a ) f = o ；( b ) f = 5 ；( c ) t = l o ：( d ) t = 1 5 。 ( a ) 反毒 ( c ) ( b ) ( d ) ( e ) 图3 3 约束势置零后两个凝聚体的干涉。亭。= 1 0 ，口= 1 0 ，口= 石。 ( a ) t = o ：( b ) t = 3 ；( c ) t = 1 0 ：( d ) t = 1 5 。 ( 8 ) o 艇l o ( c ) ( b ) ( d ) ( e ) 图3 4 约束势置零后两个凝聚体的干涉。o = 2 0 ，口= 1 0 ，口= 石。 ( a ) t = o ；( b ) t = 5 ；( c ) t = 1 0 ；( d ) t = 1 5 。 图3 1 中( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 分别是时间t = o 、3 、1 0 、1 5 时，模拟中心亭。= 1 0 ，非 线性系数a = 5 ，相位差p = 玎，两个凝聚体的干涉情况。图3 1 ( e ) 给出了在亭o = 1 0 、 a = 5 ，8 。石时，约束势置零后两个凝聚体在自由空间扩散的干涉情况。 从图3 1 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 中可以看到随着时问的增长，两个凝聚体重叠区域的 粒子数密度逐渐增大，干涉条纹逐渐增强。 图3 2 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 分别是t = o 、5 、1 0 、1 5 时，亭。= 2 0 ，口= 5 ，日一石，两个 凝聚体的干涉情况。图3 2 ( e ) 给出了在亭。= 2 0 ，a = 5 ，p 一石时，约束势置零后两个 凝聚体在自由空间扩散的干涉情况。 在发生单色光狭缝干涉时，干涉条纹间距与狭缝间距成反比。若与单色光狭缝干 涉情况类比，图3 1 两个凝聚体中心间的距离l = 2 0 ，相当于狭缝间距稍窄的情况，图 3 2 两个凝聚体中心间的距离l = 4 0 ，相当于狭缝间距稍宽的情况。观察图3 1 和图3 2 发现，在其它条件相同时，同一时刻f = o 、1 0 、1 5 ，图3 1 比图3 2 的干涉条纹间距要 大，这与单色光狭缝干涉理论一致。 图3 3 中( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 分另0 是t = o 、3 、1 0 、1 5 时，声。= 1 0 ，a = 1 0 ，口一万， 两个凝聚体的干涉情况。图3 4 中( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 分别是t = o 、5 、1 0 、1 5 时，0 = 2 0 ， 口= 1 0 ，口一万，两个凝聚体的干涉情况。 图3 3 ( e ) ，图3 4 ( e ) 给出了在$ o = 1 0 、$ o = 2 0 ，a = 1 0 ，口一石时，约束势置零 后两个凝聚体在自由空间扩散的干涉情况。 如前所述，非线性系数a 一4 z t mn m e a t ，假设凝聚体粒子数和谐振子基态长度 不变，那么非线性系数越大，散射长度口就越大，散射长度表征粒子间的低能相互作 用，所以在同一时刻两个凝聚体的相干性越强。观察图3 1 和图3 3 ，在同一时n t = o 、 3 、1 0 、1 5 时，图3 2 和图3 4 ，在同一时n t = o 、5 、1 0 、1 5 时，在其它条件相同的情 况下，图3 1 比图3 3 非线性系数小，两个凝聚体的相干性弱，图3 2 和图3 4 的情 况也是一样，这与理论分析的结果相符合。 下面再对相位差日。0 、0 5 z 的粒子数相同的两个凝聚体进行干涉模拟，并取 模拟中心占o - 1 0 ，非线性系数口= 5 ，时间t = 1 5 的情况进行计算，计算结果如图3 5 所 示。 ( a ) ( c ) ( e ) ( b ) ( d ) ( f ) ( g ) 图3 5 约束势置零后两个凝聚体的干涉。$ 0 = 1 0 ，口= 5 ，t = 1 5 。 ( a ) 口= o ；( b ) 口= 0 5 z ；( c ) p = 万；( d ) 日= 1 5 z ； ( e ) 日= 2 z ；( f ) 口= 3 z ；( g ) 口= 4 石 图3 5 中( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) ( f ) ( g ) 分别是相位差0 = 0 、0 5 z 、万、1 5 z 、2 z 、 3 玎、4 石时，模拟中心亭。= 1 0 ，非线性系数口= 5 ，时间t = 1 5 ，粒子数相同的两个凝聚体 的干涉情况。 在普通光学中，相位差与光程差的关系是6 。孚l ，波场中强度，为极大和极小 1 的条件是址- 七a 为极大，a t 一 + 二) a 为极小( k = o ，1 ，2 ) 。图3 5 中( a ) 二 ( e ) ( g ) 为相位差口= o 、2 万、4 z 时两个凝聚体的干涉情况，在亭一0 处的粒子数密度 是中央干涉条纹的峰值。图3 5 中( c ) f ) 为相位差口- - , ，t 、3 z 时两个凝聚体的干涉情 况，在亭一0 处的粒子数密度为零，这与理论分析的结果相一致。 3 3 粒子数不同的两个凝聚体干涉 下面对两个凝聚体中的粒子数有差别的情况进行干涉的数值模拟。 设两个凝聚体中的粒子数分别为】和2 ，在数值实验中取方程( 3 5 ) 和( 3 7 ) 中的两个非线性系数口不同就意味着1 和2 的不同1 。按照文献 2 4 的建议，设方程 ( 3 5 ) 和( 3 7 ) 中两个口分别为口。，a ：，则方程( 3 5 ) 、( 3 7 ) 变形为： 悟吲1 h 叫2 卜小r 掣 悟+ 扣引2 + a 2 1 咐扩卜小z 掣 如前所述，可以求出方程( 3 1 1 ) 、( 3 1 2 ) 非线性系数为口。、a ：时的数值解，设为 中。( 亭，f ) l 、西。( 亭，f ) ：，再假设两个凝聚体组成的体系状态波函数垂( 亭，f ) 的时间演化由 方程： 陪彳12 北一：枇力巾静h 掣 来描述。依据3 2 1 节中的讨论，可以进行数值模拟。 取口。口2 为1 0 、2 0 ；1 0 、3 o ；1 0 、5 0 ；1 0 、 意味着1 和2 之比为l ：2 ，l ：3 ，1 ：5 ，1 ：1 0 。 ( 3 1 3 ) 1 1 0 四种情况进行计算，这 取边界条件r 一6 0 ，宇一0 1 ，a t - 1 0 - 3 ，口1 0 4 。模拟亭。- - 1 0 ，口= 万的情况， 计算结果如图3 6 至图3 9 所示。 ( b ) 图3 6 约束势置零后两个凝聚体的干涉。 亭o = 1 0 ，aj = 1 ，口2 = 2 ，口= 石。 6 5 4 ( 六f ) 2 1 0 ( b ) 图3 7 约束势置零后两个凝聚体的干涉。 亭o = 1 0 ，口产l ，口z = 3 ，0 = 石。 静 ， 披 ， 。 ( a ) t = 1 5 ( b ) 2 0 图3 8 约束势置零后两个凝聚体的干涉。 亭o = 1 0 ，口l = 1 ，a2 ：5 ，0 = 石。 0 6 0 5 0 0 3 o 2 “六t ) 0 ，1 0 ，0 4 2 0 j ；d ( 翁 ( a ) f = 1 5 ( b ) 图3 9 约束势置零后两个凝聚体的干涉。 亭o = i 0 ，a 1 2 1 ，口产i 0 ，口= 万 8 5 4 扩( 参0 2 1 0 图3 6 ( a ) 、3 7 ( a ) 、3 8 ( a ) 、3 9 ( a ) 是两个非线性系数口。a 二分别为1 0 、 2 0 ；1 0 、3 0 ；1 0 ，5 o 和1 0 、1 0 0 ，毒。= 1 0 ，一= 石，t = 1 5 时，粒子数不同的两个 凝聚体间的干涉情况。 图3 6 ( b ) 、3 7 ( b ) 、3 8 ( b ) 、3 9 ( b ) 给出了在撤掉约束势后两个凝聚体在自 由空间扩散的干涉情况。 以上模拟条件与图3 1 、3 3 的模拟条件相比，除非线性系数外其它都相同，这些 模拟结果与图3 1 、3 3 中的结果相比只有细微的差别，即图3 1 ( d ) 、3 3 ( d ) 中在模 拟中心亭一0 处的粒子数密度为零，而在图3 6 ( a ) 、3 7 ( a ) 、3 8 ( a ) 、3 9 ( a ) 中， 在模拟中心亭一o 处的粒子数密度已经不再为零。总之，在初始条件中两个凝聚体所包 含的粒子数对干涉结果并没有本质的影响。 3 5 第四耄结论与展望 4 1 主要工作总结 本文首先系统地介绍了激光冷却和捕陷中性原予技术；b e g 的发展进程、国内外的 研究动态、基本原理、实验实现技术，相干性质；原子激光器和原子光学及其相关研 究。 接着在平均场的近似条件下导出了描述零温时凝聚体波函数所满足的g p 方程，在 这里考虑粒子问的相互作用，得出定态g p 方程及研究动力学问题时所需要用到的时间 相关的方程；用r u n g e - k u t t a 方法数值求解了球对称简谐势阱中具有吸引相互作用原子 体系的定态g p 方程，得到了不同非线性系数和基态能量的波函数曲线；采用欧拉中点 格式数值求解了球对称简谐势阱中的中性原子的含时g p 方程。 最后以一维含时g p 方程为数学模型，数值模拟了粒子数相同和不同的两个b e c 凝聚 体间的干涉。在粒子数相同的情况下：在其它条件相同时，两个b e c 凝聚体中心间的距 离越大，干涉条纹间距越小、两个b e c 凝聚体中一t l , 间的距离越小，干涉条纹间距越大； 在其它条件相同时，同一时刻，在不同的非线性系数条件下，随着非线性系数的增大， 两个b e c 凝聚体问的相干性增强、随着非线性系数的减小，两个b e c 凝聚体问的相干性 减弱；同样在粒子数相同的情况下，当相位差0 = 0 、2 玎、4 石时，在两个b e c 凝聚 体的对称中心，粒子数密度是中央条纹的峰值。当相位差0 = 石、3 石时，在两个b e e ： 凝聚体的对称中心，粒子数密度是零，这些都与普通光学中的干涉理论一致，在粒子 数不同的情提下：通过数值模拟得知，扔始条件中两个凝聚体所包含的粒子数对干涉 图像并没有本质的影响。 4 ，2 进一步工作展望 自1 9 8 5 年s c h u d 、组首次在实验上实现激光冷却以来，有关于激光冷却和捕陷原子 的实验研究和理论探索成为物理学者们的研究热点之一。特别是1 9 9 7 年度的诺贝尔物 理学奖就是授予了朱橡文、克罗德科恩一塔努吉、威廉菲利普斯，以表彰他们在发展 激光冷却和捕陷中性原子技术方面的杰出贡献，可见这种技术在科技发展中的重要性。 激光冷却获得超冷原子不仅在科学实验中有着重要的学术价值，而且在高科技发展中 也同样拥有具大的应用前景，特别是b e c 的研究、广义相对论的验证、原子频标和研制 原子干涉仪等。 随着激光冷却和捕陷技术的发展，在1 9 9 5 年终于实现了盯r b 、。、7 l i 气态原子的 b e c ( 2 0 0 1 年的诺贝尔物理学奖就是授予了在b e c 实验实现和性质研究方面做出重要贡 献的e a c o r n e l l ，w 。k e t t e r l e 和c ，e w i e m a n 三位物理学家) 这极大地推动了对弱相 互作用原子气体b e c 的理论和实验研究。b e c 的实现也同样拥有着重大的科学意义和应 用价值，大大推动了原子光学的进展。b e c 体是一个相干物质波源，可用于进行原子激 光的产生和放大研究。b e c 在应用技术方面也十分重要，它提出了很多新设想来改善精 密测量的准确度，如原子物理常数测量、原子钟等，在量子信息科学中，b e e 可用于光 速减慢、光信息相干存储等。 激光冷却和捕陷气体原子的研究发展了二十多年，在各国实验室中，激光冷却和 捕陷气体原子已经成为获得超冷原子的典型方法和技术，但新的激光冷却和捕陷原子 ( 分子) 的方法仍有待探索。在实验方面，b e e 已经取得很大的进展，原子激光业已问 世，它的改进与应用将成为以后的发展方向，目前原子激光的研究发展中还存在一些 关键问题急待解决：首先，实现b e c 技术还处于初级阶段，它的实验可控性差。其次， 它没有激光那样成熟的应用理论。此外，原子激光的输出功率还很小，这对于它的产 业化应用带来不可回避的局限性。 b e e 的理论研究至今仍在继续，b e e 的形成动力学、b e c 的二维和三维问题、多体系 干涉相互作用对体系的影响等也将成为今后研究的重点。 致谢 本论文得以顺利完成离不开导师沈柯教授的悉心指导和耐心帮助，论文从选题到 撰写都倾注了导师的大量心血。沈老师渊博的知识、深厚的理论功底、严谨的治学态 度使我终生受益。导师不仅在学业上对我倾心指导、严格要求，而且在生活等方面也 给了我极大的帮助。在论文完成之际，谨向我的恩师沈柯先生表示衷心的感谢。 还要感谢我的母校长春理工大学，从本科到硕士研究生，在这里我学习、生活了 将近七年的时间，回忆这期间的点点滴滴，不禁感叹，我所取得的每一份成绩都离不 开母校的培养。惟有以今后更加努力的工作和学习来报答母校，在母校即将建立五十 周年之际，祝愿我的母校明天更加美好。 同样需要衷心感谢吉林大学原子与分子物理研究所的刘学深教授、孙文静硕士、 张艺书硕士，论文得以顺利完成离不开他们的帮助。还要感谢冯玉玲老师。 韩江、杨令玲、张婧、杨姝、吴琼、王晓茜、张小培、赵金、王丽等好友、同学 在学习和工作上的帮助和支持也使我受益颇深，在此对他们一并表示感谢。 最后要特别感谢我的父母，在多年的学习中，他们在生活和精神上给予了我大量 的关怀、理解和支持。正是他们无私的爱使我今天得以健康成长，在这里要郑重地对 他们说一声谢谢。 参考文献 l 邓联忠，印建平冷原子柬或超冷原子柬的产生及其应用量子电子学报2 0 0 5 ，2 2 ( 1 ) ：l 1 2 2 李师群激光冷却和捕陷中性原子大学物理1 9 9 9 ，1 8 ( 1 ) ：1 5 ：1 8 ( 2 ) ：l 6 ；1 8 ( 3 ) ：l 4 3 李师群超冷原子物理学与原子光学物理与工程2 0 0 2 ，1 2 ( 1 ) ：l 4 ；1 2 ( 2 ) ：8 1 1 ；1 2 ( 3 ) t6 1 0 4p h i l l i p swd ，m e t c a l fi ll a s e rd e c e l e r a t i o no f a t o m i cb e m ap h y s r e v l e t t 1 9 8 2 。4 8 ( 9 ) ：5 9 6 5 9 9 5m i g d a l lal ，p r o d a njv ，p h i l l i p s d ，e ta 1 f i r s to b s e r v a t i o no fm a g n e t i c a l l yt r a p p e dn e u t r a la t o m s p h y s r e v l e t t 1 9 8 5 5 4 ( 2 4 ) ：2 5 9 6 2 5 9 9 6c h us ，h o l l b e r gl b j o r k h o l mje 。s ta 1 p h r e e - d i m e n s i o n a lv i s c o u sc o n f i n e m e n ta n dc o o l i n go fa t o m s b yr e s o n a n c er a d i a t i o np r e s s u r e p h y s r e v l e t t 1 9 8 5 ，5 5 ( 1 ) ：4 8 5 1 7 a s p e c ta a r i m o n d oe ，k a i s e rre ta 1 l a s e rc o o l i n gb e l o wt h eo n e - p h o t o nr e c o i le n e r g yb yv e l o c i t y s e l e c t i v ec o h e r e n tp o p u l a t i o nt r a p p i n g p h y s r e v l e t t 1 9 8 8 。6 1 ( 7 ) ：8 2 6 8 2 9 8l a s e v i c hu 。c h us l a s e rc o o l i n gb e l o wap h o t o nr e c o i lw i t ht h r e e - l e v e la t o m s p h y s ，r e v l e t t 1 9 9 2 ( 1 2 ) ：1 7 4 l 1 7 “ 9a n d e r s o nm 珥e n s h e rjr ，m a t t h o w sm r ，e ta 1 o b s e r v a t i o no fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nad i l u t e a t o m i cv a p o r s c i e n c e 1 9 9 5 ，2 6 9 ( 5 2 2 1 ) ：1 9 8 2 0 1 1 0 王金芳量子微腔中玻色爱因斯坦凝聚的动力学分析： 硕士学位论文 吉# ；东北师范大学理论物理，2 0 0 6 1 1 李师群，周义东，黄湖原子激射器一相干原子束发生器物理1 9 9 8 ，2 7 ( 1 ) ；i i 1 7 1 2 邓鲁原子激光罂与非线性原子光学：现代原子物理学的新进展物理2 0 0 0 ，2 9 ( 2 ) ：6 5 6 8 1 3 何向阳。刘勃原子激射嚣现代物理知识，2 0 0 2 ，1 4 ( 2 ) ：2 5 2 6 1 4 王谨，詹明生，高克林原子的玻色一爱因斯坦凝聚大学物理1 9 9 8 ，1 7 ( 6 ) ：3 3 3 6 1 5 苗元秀。翟荟稀薄原子气体玻色一爱因斯坦凝聚近期研究进展简介大学物理，2 0 0 3 ，2 2 ( 9 ) ：3 7 1 6 b r a d l e yccs a c k e t tca 。t o l l e t tjj e ta 1 e v i d e n c eo fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni na na t o m i c g a sw i t ha t t r a c t i v ei n t e r a c t i o n s p h y s r e v l e t t 1 9 9 5 。7 5 ( 9 ) ：1 6 8 7 1 6 9 0 1 7 d a v i skb m o w e smo ， i l d r e w smr e ta 1 b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nag a bo fs o d i u ma t o m s p h y s r e v l e t t 1 9 9 5 7 5 ( 2 2 ) ：3 9 6 9 3 9 7 3 1 8 印建平，王正岭玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 实验及其最新进展物理学进展2 0 0 5 ，2 5 ( 3 ) ：2 3 5 2 5 7 1 9 郭垣，葛牡，禹宏明原子激光的理论基础和实现内蒙古民族大学学报2 0 0 6 ，2 1 (