（计算数学专业论文）非线性波动方程的间断有限元方法.pdf

摘要 本文应用阃断有限元方法对系歹l j 的商阶导数非线性波动方程进行研究，这些 非线性方程包括一维标量方程、维方程组和二维标量方程，涉及到k d v b u r g e r s 方 程、k u r a m o t 0 - s i v 8 s h i n s k y 方程、五阶导数k d v 方程、五阶导数完全非线性( 札，礼，礼) 方程、非线性s c h r j d i n g e r 方程、耦合k d v 方程组、二维k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i 方 程和二维z a l ( 1 l a r o v 。k u z n e t 8 0 v 方程。 对于一维情形，我们所构造的格式推广了y a n 和s 1 1 u 及l e v y 、s h u 和、r 黜关于 间断有限元方法求解高阶导数偏微分方程的工作。事实上，对于五阶导数k d v 方程 和耦合k d v 方程组，现有数值求解方法的研究还不是很深入。五阶导数完全非线性 ( n ，n ，礼) 方程具有一类紧致结构的解，由于紧致结构解没有足够的光滑性，会产生 高频的色散误差，因此设计稳定且具有高精度的数值格式具有很大的挑战性。 对于二维k a d o m t s e p e t v i a s h v i h 方程，其方程本身是非适定的，初值问题的解 不难。这一问题的出现主要是由于k a d o m s e * p e t v i a s h v i l i 描述了馥钍的演化过程 丽非 自身。因此，某些关于钍的限制对于保证解的唯一性和适定性是非常必要的。 我们针对这一限制条件构造了一类新的间断有限元基函数，该基函数既具有间断有限 元基函数的局部性质，又能保持k 8 d o m t s e v p e t v i a s h v i u 方程中全局算子的性质。另 外，我们还将间断g a l e r k i n 有限元方法应用于二维z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程，将该 方法推广到求解二维非线性波动方程。 最后。我们对于几类非线性s c h r 耐i n g e r 方程设计了间断g a l e r l 【i n 有限元方法。 这些方程包括广义非线性s c h r 6 d i n g e r 方程、二维非线性s c h r 砌i n g e r 方程和耦合非 线性s c h r 6 d i n g e r 方程，这是间断有限元方法的一个新的应用领域。尽管k a r k a s h i a n 等也考虑了间断有限元方法，但实际上是指时间离散上的间断，与这里的空间离散上 的间断是不同的。对于二维非线性s c h r 6 d i n g e r 方程具有奇异解的问题，我们得到了 很好的数值模拟结果。 对于给出的求解格式我们证明了其非线性l 2 稳定性，这些结果对于相当一般的 非线性情形任意空间维数的任意三角剖分上的任意阶数的多项式均成立，不需要任 何的非线性限制器。对于( 礼，礼，n ) 方程证明了礼为奇数情形的p “稳定性。并且 对于线性情形的半离散格式给出其误差估计七十阶的证明，并在数值上验证了对p o 多项式，在均匀和非均匀网格下格式对l 2 范数和l 。0 范数均能达到k + l 阶精度。 在时间离散方面，我们将指数时间离散方法与间断有限元方法结合，使得格式在 得到高精度的同时又具有良好的稳定性，从而避免了传统的t v dr u n 昏争k u t t a 方法 由于空间导数的增高而导致的时间步长苛刻的限制条件。我们的求解格式能够直接应 用于周期和非周期边值问题。对于各种方程的求解格式进行大量的数值模拟试验，证 明了间断有限元方法求解这些高阶导数非线性波动方程的优越性。 v 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文第v 页 摘要 关键词：间断有限元方法，非线性波动方程，指数时间离散，稳定性 k e y o r d s ： 1 0 c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nn l e t h o d s n o n l i l l e a rw a 、屯e q u a t i o n s e x p o i l e n t i a lt i m ed i 髓r e n c i n gm e t h o d ，s t a b i l i t y a b s t r a c t t h ea i mo ft h i sw o r ki st od e v e l o dt h e1 0 c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r l c i nm e t h o d st o s o l v en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t hh i g ho r d e rd e r i 、，a t i v e s t h e s en o n l i n e a rw a e e q u a t i o n si n c l u d eo n e i d i m e n s i o n a ls c 出a rp r o b l e m 8 ，o n e - d i m e n s i o n a ls y s t e m sa n dt w o _ d i m e i l s i o n a ls c a l a r p r o b l e m s t h e s ep r o b l e m sc o n c e r nk d u b u r g e r s ( k d v b ) t y p e e q u a t i o n s ，k u r a m o t 0 - s i v a s h i n s k y ( k s ) t y p ee q u a t i o n s ，f i 托h o r d e r k d vt y p ee q u a - t i o n s ，丘f t h o r d e r “bn o n l i n e 盯k ( 礼，礼，n ) e q u a t i o n s ，n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r ( n l s ) e q u a t i o n ，i t o _ t y p ec o u p l e dk d ve q u a t i o l l s ，k a d o m t s e v _ p e t v i a s h v i l i ( k p ) e q u a t i o na n d z a k h a r o v k u z n e t s o v ( z k ) e q u a t i o n o u rs c h e m e sf o ro n e - d i i r l e n s i o n mp r o b l e m se x t e l l dt h ep r e v i o u sw o r ko fy a n8 n d s h ua n do fl e s h ua n dy a no nl d gm e t h o d ss o l v i n gp a r t i a ld i 饪e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hh i g h e rs p a t i a ld e r i v a t i v e s t h e 矗f t h - o r d e rf u l l yn o n l i 工l e a r k ( n ，几，n ) e q u a t i o n s s u p p o r tc o m p a c t o ns o l u t i o n s t h e1 8 c ko fs m o o t h n e s sa tt h ee d g eo fc o m p a c t o ni n t r m d u c e sh i 曲一f r e q u e n c yd i s p e r s j v ee r r o r si n t ot h ec a l c u l a j o n 1 tj sac h 胡l e n g et od e s j g n s t a b l ea n da c c u r a t en u m e r i c a ls c h e m e sf o rs 0 1 v i n g ( n ，礼，礼) e q u a t i o n s t h ek p e q u a t i o ni sn o tw e l l p o s e db e c a u s et h ek pe q u a t i o nd e s c r i b e st h et i m e e v 0 1 u t i o no f 岛札，r a t h e rt h a n 札i t s e l f s o m eg l o b a lc o n s t r a i n t so nua r en e c e s s a r y t og u a r 鼢t e eu n i q u es o l u t i o na 皿dw e l l _ p o s e d n e s s o u rp r o p o s e ds c h e m ef o rt h ek p e q u a t i o ni sb yt h eu s eo fan e wc l a s so fp i e c e w i s ep o l y n o m i a lb 8 s i sf u n c t i o n s ，w h i c h s a t i s f i e st h ec o n s t r a i n tf r o mt h ep d ec o n t a i n i n gan o n _ l o c a lo p e r a t o ra n da tt h es a m e t i m eh a st h el o c 甜p r o p e r t yo ft h ed i s c o n t i n u o u sg d e r k i nm e t h o d s t h es c h e m ei s “s oe a s yf o ri m p l e m e n t a t i o n t h es c h e m ef o rt h ez ke q u a t i o ne x t e n d st h ep r e v i o u s w o r ko nl d gm e t h o d ss o l v i n go n e d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rw a ee q u a t i o n st ot h et w 0 _ d i m e n s i o n a ls e t t i n g ，ed e s i g nac l a s so fl d gm e t h o d sf o rt h en l s e q u a t i o n s a l t h o u g hk a r a k 塔h i a n a n dm a k r i d a k i sd s oc o n s i d e r e dad i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d i tr e f b r st oad i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nd i s c r e t i z a t i o ni nt i m e ，h e n c ei ti sd i 岱! r e n tf r o mo u ra p p r o a c ho f u s i n gal d g d i s c r e t i z a t i o nf o rt h es p a t 斌、m i a b l e s w bc a 皿g e tg o o dr e s o l u t i o nf o r t w 0 - d i m e n s i o n 甜n l se q u a t i o nw i t hs i n g u l a rs o l u t i o n s t h el d gm e t h o d sf o ra l lt h ee q u a t i o n sm e n t i o n e da b o v eh a v ee x c e l l e n tp r o v a b l e n o n l i n e a rs t a b i l i t ”w ep r o v eas t r o n g 2s t a 髓l i t yf o rt h e8 q u a r ee n t r o p y lf o rq u i t e g e n e r a ln o n l i n e a rc a s e s ，f o ra n yo r d e r so fa c c u r a c yo na r b i t r a r yt r i 臼耀u l a t i o n si na r l y s p a c ed i m e n s i o n ，w i t h o u tt h en e e df o rn o n l i n e a rl i m i t e r s o u rp r o p o s e ds c h e m ef o r k ( n ，礼，扎) h a sl “+ 1s t a b i l i t yf o ro d d 礼 w e p e i f o r mad e t a i l e dt h e o r e t i c “舢1 dn u m e r i c a h n v e s t i g a t i o no ft h em e t h o d s f o r 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文第v i i i 页 a b s c r a c t t h es e m i d i s c r e t el d gm e t l l o d s w eo b t a j ne r r o re s t i m a t e so f ( 膏+ ；) 一t l lo r d e r a c c u r a c y i n 七h el 2n o r mf o rt h el i n e a r i z e dp r o b l e m s n u m e r i c a l l y ，w et y p i c a l l yo b t a i n ( 七+ 1 ) 一t h 。r d e ri nb o t h 2n o r ma n d o 。1 1 0 r mf o rn o l l l i n e a rp l l o b l e m s ， w eu s et h ee x p l i c i t e x p o n e n t i a lt i m ed i f f e r e n c i n g ( e t d ) m e t h o db yc o xa n d m a t t h e w sa n db yk a s 8 a ma n d n e f e t h e n ，f o rt h et i m ed i s c r e t i z a t i o nc o u p l e dw i ht h e l d gm e t h o d t h ed i s c o n t i n u o u sc 以e r k i nm e t h o di so r i g i n a l l vc o u p l e dw i t he x p l i c i t a n dn o n l i n e a r l ys t a b l eh i g ho r d e rr u n g e k u t t at i m ed i s c r e t j z a t i o nb ys h ua n d0 s h e r ， b u tt h ee x p l i c i ts t a t d l i t yl i m i td e c r e a s e sd r a m a t i c a l l yf o rt h eh i g hd e r i v a t i v e sp r o b l e m t h ee t ds c h e m e sc a na c h i e v eh i g ho r d e ra c c u r a c ya n dm a j l l t a i ng o o ds t a b i l i t yw h i l e a v o i d i n g 吐l es e v e r ee x p l i c i ts t a b i l i t yt i m es t e p1 i m i to ft h et r a d i t i o n a lr u n g e k u t t a d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ，w h i c hu s ee x p l i c i ta n dn o n l i n e a r l ys t o b i eh j g ho r d e r r u n p k u t t a t i m ed i s c r e t i z a t i o n ，d u et ot h ep r e s e n c eo ft h eh i g ho r d e rd e r i 、珀l t i v et e r m s t h em e t h o d sf o ra 1 1t h e s en o n l i n e a re q u a t i o n sc a nb ee a s i l yd e s i g n e df o rp e r i o d i c a n dn o n - p e r i o d i cb o u d a r yc o n d l t i o n s ，w ep e r f o r me x t e i l s i v eo i l e & n dt w od i m e n s i o n a ln u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rn o n i i n e 壮p r o b l e m st od e m o n s t r a t et h ea c c u r a c ya n d c a p a b i l i t yo ft h el d g m e t h o d s 致谢 本文的完成首先要感谢我的导师舒其望教授，感谢三年来舒老 师对我的培养和关怀以及给我鼓励和指导。在与舒老师的交流中， 无论是在研究方向的把握上，还是在具体问题的处理上，舒老师敏 锐的思考问题的方式方法，使我从中受益非浅。同时舒老师为人和 蔼，思维敏捷，学识广博言传身教，在做人和做学问上都给我了 很好的教育，使我学到了很多东西。在此我要向舒老师表达我最诚 挚的谢意。 我还要特荆感谢教授了很多计算数学课程的冯玉瑜教授、刘儒 勋教授、陈发来教授、韩厚德教授、张梦萍副教授和邓建检副教授， 给我打f 了良好的基础。 这里，我还要感谢科学计算弓应用几何实验室的各位老师和同 学，他们为我创造了良好的环境，在生活上、学习上都给了我很多 关心，感谢他们对我的帮助、理解与支持，我将永远珍惜他们的友 谊。同时我也要感谢数学研究所的黄稚新老师，在我整个学习过程 中给我提供了很多无私的帮助。 本论文的完成，意味着博士阶段的学习目日将结束，同时也预示 着许多新的开始，我将用我更进一步的努力，用更多更好的成绩来 报警所有关心和帮助过我的人们。 第一章绪论 间断有限元方法是利用完全间断的分片多项式空间对近似解和试验函数进行空间 离散，并结合t v dr u n 酚k u t t a 时间离散的一种有限元方法。目前该方法除应用于 计算流体力学的守恒律方程计算外，同时也被应用于求解可压缩n a 们e r s t o k e s 方程、 对流扩散方程和椭圆型方程的数值计算。本文的主要工作是发展间断有限元方法对于 一系列的高阶导数非线性波动方程的应用。 1 1 间断有限元方法 间断g a l e r k i n ( d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ，简记为d g ) 有限元方法是1 9 7 3 年由 r e e d 和h i l l 【7 2 】首先提出的，并应用于求解中子输运方程。在2 0 世纪8 0 年代后期和 9 0 年代，c o c k b u r n 和s h u 2 2 2 0 ，1 8 ，2 4 1 等结合高阶t v dr u n g e k u t t a 时间离散 方法7 8 1 和间断解问题数值流通量、r i e m a n n 解算子及总变差有界( t v b ) 非线性限 制器等思想，将d g 方法推广到非线性一维守恒律方程和方程组、高维守恒律方程和 方程组，并给出了部分收敛性理论证明。随后该方法开始逐渐应用于流体力学计算领 域。d g 方法非常适合求解具有复杂区域问题，而且形式多样，方便灵活，分辨率高， 稳定性好，并具有一致高阶精度。它不但能准确计算含有激波、接触间断、大梯度、大 变形等间断现象的问题及类似问题，而且能够准确捕捉精确解的结构特征，尽可能地 排除了伪震荡，保证间断解处的物理意义。 d g 方法已被广泛地应用到许多实际领域，如气象学、天气预报、海洋学、气动 力学、涡轮机、湍流、粒子流、石油勘探、浅水波模型、疏松介质中的粒子输运、粘弹 性流体、半导体装置模拟、磁动力学、电磁学等。1 9 9 9 年，在美国n e w p o r t 的r h o d e i s l a n d 召开了首届d g 方法的国际会议。会议论文集f 1 7 1 中收录了关于d g 方法的 综述和应用的文章f 1 9 ，关于d g 方法的全面综述还可以参考f 2 5 1 。 我们用一维的线性方程为例来说明d g 方法的基本思想。考虑一维线性双曲型标 量方程 定义网格剖分为如= 巧一 ，q + 】，j = 1 ，离散区间的中点为一( q 一+ 勺+ ) 2 ，单元长度为= 巧+ 一吩一 。如下定义d g 方法，用任意的试验函数u 乘方程( 1 1 ) 的两端，并利用分部积分得如下的弱解形式 ， ，饥口d 。一7 乱幽：+ “( 吩+ ，) 口( 勺+ ) 一u ( z j 一 ，) u ( 。卜) = o ( 1 - 2 ) ”o ，”1 ， 利用有限元空间的近似函数u 。和代替函数和 。为简化记号，我们仍用“、口 6 2 0 0 4 年 第一章绪论 中国科学技术大学博士学位论文第7 页 1 1 间断有限元方法 来表示数值解。定义有限元空间仫。为 仫。= 口：u 尸“( )v r ，j = 1 )( 1 3 ) 其中p ( ) 表示l 上次数不超过k 的多项式集合。在这样的有限元空间定义下，近 似解扎和试验函数口在勺+ a 处是间断的，因此方程( 1 2 ) 中的最后两项需要给出更 明确的定义，以保证数值解的稳定性和精确性。我们定义“嘉 和t z j ；分别为2 t 在 o ，。：点处的左极限和右极限，即 l i m “( z ，) j + 1 i m n ( 茁，) 用数值流通量函数矗灶 = 血( u _ 士，2 t + 士) 替代边界点的值“( z ，土 ，t ) 。这个数值流 通量函数一般要同时依赖于“在该点的左右极限值，其基本的思想是采用有限体 积方法中的迎风机制( 利用特征线的信息) 。在方程( 1 2 ) 中，根据迎风性吐，。，可 取作蜢 。 用内部的值u 二。和t ，王，替代试验函数“在边界点的值。 于是d g 方法的离散弱形式为：求乜坛。，v 廿虼。，使得 fr ，u t 口d z 一，u d 茁+ 吗+ 蜢；一吗一 哮；2 o ， ( 14 ) ”1 j”1 j 这里数值流通量砬j + ；= u ：“。然后将得到的半离散常微分方程用高阶t v dr u n g e k u t t a 方法进行时间离散7 8 1 。 但是d g 方法不能够直接地运用于包含高阶导数的偏微分方程，因为d g 方法利 用完全间断的分片多项式空间作为近似解和试验函数空间，这样的有限元空间不具有 足够的光滑性以处理高阶导数问题，这正是有限元中典型的“非协调”问题。一个很 典型的例子f 2 5 ，7 7 ，9 9 1 是将d g 方法直接应用于含有二阶导数的热传导方程得到的 数值格式，虽然可以得到很漂亮的数值计算结果，但事实上该格式与原方程是不相容 的，与真解有0 ( 1 ) 的误差。 对于包含高阶导数的偏微分方程的局部间断有限元方法f l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n 简称l d g ) ，其基本的思想是先将方程转化为等价的一阶偏微分方程组，然后对该方 程组应用d g 方法。l d g 方法能够取得成功非常关键的一点是设计单元边界上的数 值流通量，它们不仅要保证格式的稳定性，而且要使得用于逼近导数的辅助变量具有 局部可解性。该方法也正是由此而被称为“局部”d g 方法f 2 3 1 。 c o c l ( b u r n 和s h u 2 3 】在b a s s i 和r e b a yf 3 】对于n a v i e r _ s t o k e s 方程的成功数 值试验的启发下，将d g 方法推广到包含二阶导数的对流一扩散方程。l d g 方法采 用与通常的d g 方法相同的空间离散形式对非线性对流方程组进行离散，根据不同 原则来选择数值流通量。对于对流占优问题，r u n g e k u t t a 时间离散方法是非常有效 的。b a s s i 和r j e b a y 【3 】及c o c k b u r n 和s h u 2 3 】的工作也表明，在不考虑时间离散和 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文第8 页 第一章绪论1 1 间断有限元方法 限制器的前提下，d g 方法确实能够应用于非常广泛的偏微分方程，包括椭圆型方程 在内。并且，、r a n 和s h u 将l d g 方法应用于包含三阶导数的非线性k d v 方程 9 3 】 和包含四阶、五阶导数的偏微分方程【9 4 kl d g 方法还被应用于求解具有紧致季亍波解 的非线性色散方程【6 4 ，即所谓的“c o m p a c t o n ”解。 l d g 方法的基本思想可以用热传导方程 u t u = o 为例来描述。将方程( 1 5 ) 写为等价的一阶偏微分方程组 让t 一= o ，q 一钍。= 0 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 这样我们可以形式地应用d g 方法求解方程组( 1 6 ) ，得到如下的格式：求乜、q 坛。，v 口、训坛。，使得 r， ，砘u d 。十7 ，q d z 一岛+ 啄 + 也一 ” 2 o ，( 1 7 ) 。4 jj 广r ，g 叫出+ ，m 出一奶+ 啄 + 奶一 崞 枷- ”j4 j 当然，这时我们就不能用迎风机制或特征线原则来设计数值流通量吗+ 和岛+ ；，而 设计正确的数值流通量是得到稳定且高精度算法的关键。文【2 3 中给出了能够保证稳 定性、收敛性及采用奄阶分片多项式逼近的误差估计阶的流通量设计标准。一 种很自然的数值流通量的取法是 11 扩i ( 嚎 + u 再 ) ，毛+ 扩；( 略 + 曝 ) ( 1 - 8 ) + ；2 互i + + “j + j ，q j + 2 互l q + 十+ j 1 。) 它满足【2 3 】中的标准且对奇数的七仅能得到妒误差估计阶，而不是最优的z 抖1 阶。尽管如此，我们可以取如下的数值流通量f 2 3 1 来克服这一不足 q + j2 “嘉 ，岛+ 。嗡 ， ( 1 9 ) 即，我们对仳和q 交替地取其左、右极限值( 当然我们也可以取札；和q i i 作为数 值流通量) 。注意到( 1 9 ) 的取法比( 1 8 ) 中的中心数值流通量更简单，更容易推广到 多维的任意三角剖分，这时的误差收敛阶是最优的晃+ 1 阶。当基函数取为每个单元 上的局部基函数对，辅助变量q 实际上是局部可解的。这是l d g 方法相慰于传统 的混合元方法的最大优势，并且能够得到与传统的混合元方法相同的收敛阶。 正是由于d g 方法利用完全间断的分片多项式空间对近似解和试验函数进行空 间离散，使得该方法比通常的有限元方法具有更多的灵活性： d g 方法具有一致高精度，且其精度的提高可以通过适当选取单元插值多项式的 次数来实现，能够实现p 自适应。 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 第一章绪论 第0 页 l2 本文的贡献 由于解的间断性假设，对网格正则性要求不高，d g 方法不需要考虑一般有限元方 法中连续性的限制条件就可以对网格进行加密或减疏处理，甚至允许出现“h a n g i n gn o d e s ) ) ，易于实现b 自适应。 d g 方法具有很好的局部紧致性，构造高阶格式不需要非常宽的模板( s t e n c i l l ，在 每一步r u n g e _ k u t t a 计算中，对任意阶的格式只需要相邻单元的信息，处理器之 间的信息传递量保持最小，易于实现并行算法。 并且d g 方法还具有如下的理论结果，这些结果对于任意空间维数和任意网格剖 分都成立： d g 方法的半离散形式以及隐式时间离散( 例如e u l e r 后差或c r a n k 。n i c h o l s o n 格 式) 满足强稳定性条件。1 9 9 4 年，j i a n g 和s h u 在 5 4 中对守恒律方程证明了单 元熵不等式。这一结果对于一般的非线性情形、任意次多项式逼近、任意维空间的 任意网格剖分都成立，不需要任何非线性的限制器，并且能够直接推导出数值解 的l o 范数的稳定性，从而保证了近似解收敛到熵解。 对于线性守恒律方程的光滑解，一维、高维正交网格及某些有结构的网格情形，能 够证明其收敛精度为d ( z 抖1 ) ，其他情形( 包括非时间依赖问题或时间空问全离 散问题) 的收敛精度为d ( z ；) 【6 3 ，7 3 ，5 5 卜文【7 0 中给出了一般情形下最优误 差阶的证明，文 2 3 】中讨论了半离散问题的d g 方法的误差估计。事实上，在很 多情形下，对砂多项式，在均匀和非均匀网格下格式对三2 范数和三”范数数值 上均能观测到七十1 阶精度。在z h a n g 和s h u 最近的工作【1 0 0 】中还给出了非线 性标量守恒律方程r u n 置争k u t t ad g 方法全离散格式的误差估计的证明。 1 2 本文的贡献 本文应用间断有限元方法对于一系列的高阶导数非线性波动方程进行研究，这些 非线性方程包括了一维标量方程问题、维方程组问题和二维标量方程问题，涉及至 k d v - b u r g e r s ( k d v b ) 方程、k u r a m o t 0 - s i v 踮h i n s k y ( k s ) 方程、五阶导数k d v 方程、 五阶导数完全非线性k ( n ，n ，n ) 方程、非线性s c h r 6 d i n g e r ( n l s ) 方程、耦合k d v 方 程组、二维k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ( k p ) 方程和二维z a k h a r o v k u z n e t s o v ( z k ) 方 程。 对于一维情形我们所构造的格式推广了、r a n 和s h u f 9 3 ，9 4 1 及l e v y 、s h u 和、h n i 6 4 1 关于间断有限元方法求解高阶导数偏微分方程的工作。事实上，对于五阶导数k d v 方程和耦合k d v 方程组，现有的数值求解方法的研究还不是很深入。五阶导数完全 非线性k ( 礼，礼，佗) 方程具有一类紧致结构的行波解，由于紧致结构行波解没有足够的 光滑性，会产生高频的色散误差，因此设计稳定且具有高精度的数值格式具有很大的 挑战性。 对于二维k p 方程，方程本身是非适定的，其初值闻题的解不唯一，这一问题的 2 0 0 4 年 中国科学技术大学博士学位论文第1 0 页 第一章绪论 1 3 本文的结构 出现主要是由于k p 描述了也u 的演化过程而非t 自身。因此，某些关于t 的限制 对于保证解的唯一性和适定性是非常必要的。我们针对这一限制条件构造了一类新的 间断有限元基函数，该基函数既具有间断有限元基函数的局部性质，同时又能够保持 k p 方程中全局算子的性质。同时，我们还将l d g 方法应用于二维z k 方程，将该方 法推广到求解二维非线性波动方程。 最后，我们对于几类非线性s c h r 甜i n g e r 方程设计了间断g a l e r k i n 有限元方法。 这些方程包括广义非线性s c h r i ；d i n g e r 方程、二维非线性s c h r 6 d i n g e r 方程和耦合非线 性s c h 而d i n g e r 方程，这是间断有限元方法的一个新的应用领域。尽管文f 5 6 1 中也考 虑了间断有限元方法，但实际上是指对间离敬上的闻断，与这里的空间离散上的闻断 是不同的。对于二维n l s 方程具有奇异解的问题，我们得到了很好的数值模拟结果。 我们对于给出的求解格式证明了其非线性l 2 稳定性，这些结果对于相当一般的 非线性情形，任意空阗维数的任意三角剖分上的任意阶数的多项式均成立，不需要任 何的非线性限制器。对于k ( n ，札，札) 方程证明了n 为奇数情形的工一1 稳定性。并且 对于线性情形的半离散格式给出其误差估计( 舟+ ) 阶的证明，并在数值上验证了对 户府多项式，在均匀和非均匀网格下格式对l 2 范数和i 户范数均能达到七+ 1 阶精度。 在时间离散方面，我们将指数时间离散方法【2 8 ，5 8 】与间断有限元方法结合，使得 格式在得到高精度的同时具有良好的稳定性，从而避免了传统的t v dr u n g 昏k u t t a 7 8 7 9 1 方法由于空间导数的增高丽导致的苛刻时间步长的限制条件。我们的求解格 式能够直接应用于周期和非周期边值问题。对于各种方程的求解格式进行大量的数值 模拟试验，证明了间断有限元方法求解这些高阶导数非线性波动方程优越性。 1 3 本文的结构 论文的其余部分是这样组织的。 第二章给出了本文中用到的时间离散方法。包括t v dr u n g e _ k u t t a 、半隐式 r u n g e - k u t t a 方法和指数时间离散方法。 第三章讨论k d v b 型方程的l d g 方法，证明了其非线性情形的l 2 稳定性及线 性情形的误差估计，对于k d v 型方程和k d v b 方程进行了数值模拟。 第四章主要讨论k s 型方程的l d g 方法，证明了其非线性情形的l 2 稳定性，并 对各种类型的行波解和混沌状态的解进行了数值模拟，说明了数值格式的精度和求解 效率。 第五章主要讨论i t o _ t y p e 耦合k d v 方程组的l d g 方法，证明了其非线性情形 的l 2 稳定性，对于不同类型的初值进行了数值模拟说明了数值格式的精度和求解 效率。 第六章主要讨论五阶导数k d v 方程和五阶导数完全非线性k ( 礼，礼，扎) 方程的 2 4 年中国科学技术大学博士学位论文 第一章绪论 第u 页 13 本文的结构 l d g 方法，证明了其非线性情形的稳定性，并进行了数值模拟，包括孤立波解的传 播及其相互碰撞、“半局部”孤立波解、多孤立子解和( ? 1 ，? 1 m ) 方程的“c o i n p a c c o n “ 解，说明了数值格式的精度和求解效率。 第七章主要讨论k p 方程的l d g 方法，构造新的间断有限元基函数，该基函数既 能保持间断有限元基函数的局部性质，同时又能够保持k p 方程中全局算子的性质。 证明了其非线性情形的l 2 稳定性，对于k p i 方程的线型孤立波解和l u m p 型孤立波 解的传播及其相互碰撞进行了数值模拟，同时对k p i i 方程的线型孤立波解和不同参 数下的两相解的进行了数值模拟，说明了数值格式的精度和求解效率。 第八章主要讨论z k 型方程的l d g 方法：证明了其非线性情形的铲稳定性，并 对其行波解和柱对称孤立波解进行了数值模拟，说明了数值格式的精度和求解效率。 第九章主要讨论n l s 方程的l d g 方法，对广义n l s 证明了其非线性情形的l 2 稳定性及线性情形的误差估计，对二维n l s 方程和耦合n l s 方程给出了其非线性情 形的驴稳定性的结果，并对n l s 方程的平面波解和孤立波解进行了数值模拟，对于 二维n l s 方程具有奇异解的问题，我们得到了很好的数值模拟结果。 第十章给出本文的总结和未来的工作计划。 第二章时间离散方法 2 1t v d r u n g e _ k u t t a 方法 我们首先讨论菲线性稳定r u n g e k u t t a 型时间离散方法。该时间离散方法首先由 s h u 7 6 于1 9 8 8 年在讨论非线性双曲型方程的框架中提出，被称为总变差不增( t v d ) r u n g e k u t t a 方法。这种方法由s h u 和o s h e r f 7 8 ，7 9 1 在实现双曲型守恒律方程的本质 无震荡( e n o ) 格式中进一步被研究。1 9 9 8 年，g o t t l i e b 和s h uf 4 0 1 对r u n g k u t t a 型时间离散方法进行了全面的研究，在综述文章4 1 1 中将该方法称为强稳定r u n g e k u t t a 型时间离散方法。 r u n g e k u t t a 型时间离散方法实际上是e u j e r 前差格式的凸线性组合。若e u l e r 前差格式在某种半模( 包括总变差模、最大模、熵条件等) 意义下是稳定的，则r u n g e 。 k u t t a 型方法能够保持这种半模意义下的强稳定性。因此只要证明了e u l e r 前差格式 的非线性稳定性，则r u n g e k u t t a 型时间离散方法的非线性稳定性即可自动得到。 考虑如下的具有初值的常微分方程问题 也= l ( “，t )( 2 1 ) 其中l ( “，t ) 是由空间离散得到的算子( 并非一定是线性算子，在很多的情况下是非线 性算子) ，在我们以后章节的数值模拟中用到了如下最优的三阶r u n g e _ k u t t a 格式 u ( 1 ) = “”+ t l ( 扩，p ) ， “一；札“十；u c l ，+ ；t l 扣c ，c “+ t ) ， ( z 。) u ”+ l = ；让“+ ；u 呼，+ ；儿( n 。，t “+ ；t ) 2 2 半隐式r u n g 昏k u t t a 方法 为了在时间离散时得到高精度的同时又保持强稳定性，常常用到半隐式r u n g e k u t t a 方法。由于同时包含显式部分和隐式部分，半隐式r u n g 争k u t t a 方法的推导实 际上具有一定的困难。隐式方法用来处理刚性部分，而显式方法则用来处理非刚性部 分以保证算法的效率。文【l o l l 中研究了三类不同的半隐式格式。考虑如下的常微分 方程 矗= ( u ) + l ( 札) ，( 2 3 ) 其中是对方程中非刚性部分空间离散后的结果，将采用显式r u n g e - k u t t a 方法对 其进行时间离散：l 是对方程中刚性部分空间离散后的结果，将采用隐式r u n g e k u t t a 方法对其进行时间离散。这里和l 的分解并不唯一，而格式中系数的选取使得其 1 2 2 0 0 4 年中国科学技术大学博士学位论文 第1 3 页 第二章时问离散方法2 3 指数时间离散方法 既能达到高精度，又能保证隐式部分的a 一稳定性。在我们以后章节的数值模拟中用 到了以下的三阶半隐r u n g e - k u t t a 格式 1 = t f ( u ”) + l ( f ”+ n 1 1 ) 】 k 2 = 亡 ( u ”+ b 2 l k l ) + l ( z l ”+ c 2 l l + 2a ，2 ) 】， k 3 = ( “”+ b 3 1 k 1 + b 2 k 2 ) + l ( u ”+ c 3 1 k 1 + c 3 2 k 2 + a 3 3 ) t ，+ 1 = u ”+ u l k l + u 2 虬+ u 3 k 3 ， 其中的系数为 f 2 4 1 n 1 = 0 4 8 5 5 6 1 2 3 3 0 9 2 5 6 7 7 ，n 2 = 0 9 5 1 1 2 9 5 4 6 6 9 9 9 9 1 4 ， 0 3 = 0 1 8 9 2 0 7 8 7 0 9 8 2 5 3 2 6 ， b 2 l = ；6 3 t = 最，= 矗， ( 2 s ) 113 u 1 = 百，u 2 = 百，u 3 = 五 2 3 指数时间离散方法 问断g 甜e r k i n 有限元方法最初是针对双曲型守恒律方程提出的，时间离散上采用 t v dr u n g e k u t t a 格式非常适用于这类问题。但是随着空间导数的增高，格式的时问 步长的限制条件将变得非常苛刻，因此寻求更有效的时间离散方法变得十分重要。这 一节我们给出由c 0 x 和m a t t h e w sf 2 8 1 提出的四阶r u n g e k u t t a 指数时间离散方法 ( e