（应用数学专业论文）一般组合弹性结构问题的有限元分析与区域分解算法研究.pdf

上海交通大学博士学位论文 一般组合弹性结构问题的有限元分析与区域分解算法研究 摘要 一般组合弹性结构通常由相同或不同维数的弹性子结构( 三维体，板，梁等) 通 过适当的铰接条件耦合而成，在工程领域有着广泛的应用，是当代结构工程和大规模 科学计算等研究领域的重要研究课题本文在已有工作的基础上，进一步研究并提出 了有效的求解一般组合弹性结构的非协调有限元方法，同时考虑了简单组合结构的区 域分解算法 论文以弹性板件为出发点，首先研究了固支边薄板弯曲问题的t r u n c 型非协调 有限元方法，通过一个重要的恒等式得到了能量范数意义下最优误差估计的内蕴简化 证明进一步考虑了混合边界条件的薄板弯曲问题的t r u n c 型有限元方法，得到了 能量范数意义下的拟最优误差估计 然后讨论了由薄板摩擦接触问题导出的第二类四阶椭圆型变分不等方程的t r u n c 元方法通过引入拉格朗日乘子将变分不等方程问题转化为变分方程问题，再利用 t r u n c 元方法估计的技巧得到了能量范数意义下的拟最优误差估计 重点建立了一般组合弹性结构问题的t r u n c 型有限元算法，对体件的位移，板 件的纵向位移，杆件的纵向位移和转角用线性协调有限元离散，对板件的横向位移与 杆件的横向位移分别用t r u n c 型非协调元和三次h e r r n i t e 型有限元离散借助非协 调元空间到协调元空间的转移算子及其误差估计，在相应的非协调有限元空间上建立 了广义k o m 不等式，进而证得有限元方法的唯一可解性；通过已有的关于解的几个重 要的恒等式和细致的误差估计技巧建立了能量范数意义下的拟最优误差估计数值实 验结果说明了用t r u n c 型非协调元算法求解组合弹性结构问题的有效性和可行性 此外还建立了组合弹性结构问题的a d i n i 型非协调有限元方法。对体件的位移，板 件的纵向位移，杆件的纵向位移和转角分别用三线性，双线性以及线性协调有限元离 m 中文摘要 散，对板件的横向位移与杆件的横向位移分别用a d i n i 矩形非协调元和兰次h e r m i t e 型有限元离散。通过转移算子技巧在相应的非协调有限元空闻上建立了广义k o r n 不 等式，进而证得有限元方法的唯一可解性利用a d i n i 元的性质和重要恒等式获得了 能量范数意义下的最优误差估计最后用体板组合结构的数值模拟说明了角a d i n i 元求解组合结构的计算效果 研究了用区域分解算法求解筒单的体板耦合结构问题首先建立体板耦会结 构的p 1 t r u n c 有限元离散方法。然后利用不重叠区域分解算法即“力位移”交 替塑s c h w a r z 方向法求勰该离教问题在正规随格剖分的条件下，以c l d m e n t 捶值算 子和投影平均算子为桥梁，建立了交接面上函数与其调和延拓函数能量模的等价性， 进爵得到算法的最佳收敛速度数值例子说暌了区域分解算法的收敛性不依赖于有限 元网格剖分的大小 最后，讨论了求解k i r c h h o f f 板振动闭题的m o r l e y 型毒 协调元方法。给出了基于 m o r l e y 元空间的半离散和全离散格式利用椭圆投影算子和求解静态问题m o r l e y 元 方法龅误差估计技巧建立了能量范数意义下酶最优误差估计提供了达到最佳收敛速 度的初值的两种选取办法数值例子不仅说明了m o r l e y 元方法的有效性，而且验证 了两种初僮函数的选取都可以达到最佳的收敛阶。 关键词tk i r c h h o f f 板；缓合弹性结构；t r u n c 元；a d i n i 元；m o r l e y 元；区 域分解算法；变分不等式；误差估计 i v a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n dd o m a i n d e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rg e n e r a le l a s t i c m u i 厅i - s t r u c t u r e s a b s t r a c t e l a s t i cm u l t i - s t r u c t u r e sa r eu s u a l l ya s s e m b l e db ye l a s t i cs u b s t r u c - t u r e so ft h es a m eo rd i f f e r e n t d i m e n s i o n s ( b o d i e s ，p l a t e s ，r o d s ，e t c ) w i t hp r o p e rj u n c t i o n s ，w h i c ha r ew i d e l yo c c u r e di ne n g i n e e r i n ga p p l i c a ， t i o n s t h ec o r r e s p o n d i n gs t u d i e sa r ei m p o r t a n ti nt h ec o n t e x to fs t r u c o t r a lm e c h a n i c sa n dl a r g es c a l ec o m p u t a t i o n t h i st h e s i si si n t e n d e dt o p r e s e n tan u m b e ro fn o n c o n f o r m i n ge l e m e n tm e t h o d sf o rg e n e r a le l a s t i c m u l t i s t r u c t u r ep r o b l e m sa sw e l la st op r o p o s et h ed o m a i n d e c o m p o s i t i o n m e t h o df o rs o m es i m p l ee l a s t i cm u l t i s t r u c t u r e s t ob e g i nw i t h ，t h et r u n c n o n c o n f o r m i n ge l e m e n tm e t h o df o rt h e c l a m p e dk i r c h h o f fp l a t ep r o b l e m si si n v e s t i g a t e d b yu s i n ga ni m p o r t a n t i d e n t i t yt o g e t h e rw i t hs o m ei n t r i n s i cd e r i v a t i o n sf o rn o n c o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n t sf o rp l a t eb e n d i n gp r o b l e m s ，t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ei nt h e e n e r g yn o r mi s 。o b t a i n e di nas i m p l i e dw a y a f t e rt h a t ，t h et r u n c e l e m e n tm e t h o di sa l s oa p p l i e dt om i x e db o u n d a r yp r o b l e m sa n dt h e r e l a t e dq u a s i o p t i m a le r r o re s t i m a t ei nt h ee n e r g yn o r mi sa l s oa c h i e v e d t h e n ，t h et r u n c e l e m e n tm e t h o di su s e dt os o l v eas e c o n dk i n d o ff o u r t ho r d e re l l i p t i ci n e q u a l i t e s ，w h i c ha r i s ef r o mt h ep l a t ef r i c t i o n a l c o n t a c tp r o b l e m t h r o u g hi n t r o d u c t i o no ft h el a r g r a n g em u l t i p l i e r ，t h e v d o c t o r a ld i s s e r t a t i o no fs h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e mi st r a n s f e r e dt os o m ev a r i a t i o n a le q u a l i t y p r o b l e m t h eq u a s i - o p t i m a le r r o re s t i m a t ei st h e r e f o r ee s t a b l i s h e di nt h e e n e r g yn o r mi n v o k i n gs o m et e c h n i q u e sf o re r r o re s t i m a t e s o ft h et r u n c e l e m e n t a st h em a i np a r to ft h et h e s i s ，t h et r u n c n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l - e m e n tm e t h o di sp r o p o s e df o rg e n e r a le l a s t i cm u l t i - s t r u c t u r ep r o b l e m s ， w h e r ed i s p l a c e m e n t so nb o d i e s ，l o n g i t u d i n a ld i s p l a c e m e n t so np l a t e s ， l o n g i t u d i n a ld i s p l a c e m e n t sa n dr o t a t i o n a la n g l e so nr o d sa r ed i s c r e t i z e d u s i n gc o n f o r m i n gl i n e a re l e m e n t s ，t r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n t s o np l a t e sa n d r o d sa r ed i s c r e t i z e dr e s p e c t i v e l yu s i n gt r u n ce l e m e n t sa n dh e r m i t ee l - e m e n t so ft h i r do r d e r ，a n dt h ed i s c r e t eg e n e r a l i z e dd i s p l a c e m e n tf i e l d s i ni n d i v i d u a le l a s t i cm e m b e r sa r ec o u p l e dt o g e t h e rb ys o m ef e a s i b l ei n - t e r f a c ec o n d i t i o n s t h eu n i q u es o l v a b i l i t yo ft h em e t h o di s v e r i f i e da f t e r d e r i v i n gg e n e r a l i z e dk o r n si n e q u a l i t i e si ns o m en o n c o n f o r m i n ge l e m e n t s p a c e so ne l a s t i cm u l t i - s t r u c t u r e sb yu s i n gt h et r a n s f e ro p e r a t o r t h e q u a s i - o p t i m a le r r o re s t i m a t ei nt h ee n e r g yn o r mi so b t a i n e db yu s i n g s o m ee x i s t i n gi d e n t i t i e sa n dt h et e c h n i c a ld e r i v a t i o n s n u m e r i c a lr e s u l t s a r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ec o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c eo ft h em e t h o d f u r t h e r ，t h ea d i n ie l e m e n tm e t h o di sa l s od e v e l o p e df o rg e n e r a l e l a s t i cm u l t i - s t r u c t u r ep r o b l e m s ，w h e r ed i s p l a c e m e n t so nb o d i e s ，l o n g i - t u d i n a ld i s p l a c e m e n t so np l a t e s ，l o n g i t u d i n a ld i s p l a c e m e n t sa n dr o t a - t i o n a la n g l e so nr o d sa r ed i s c r e t i z e dr e s p e c t i v e l yu s i n gc o n f o r m i n gt r i - l i n e a r ，b i l i n e a ra n dl i n e a re l e m e n t s ，t r a n s v e r s ed i s p l a c e m e n t so np l a t e s a n dr o d sa r ed i s c r e t i z e dr e s p e c t i v e l yu s i n ga d i n ie l e m e n t s a n dh e r m i t e a 侧z f m c t e l e m e n t so ft h i r do r d e r ，a n dt h ed i s c r e t eg e n e r a l i z e dd i s p l a c e m e n tf i e l d s i ni n d i v i d u a le l a s t i cm e m b e r sa r ec o u p l e dt o g e t h e rb ys o m ef e a s i b l ei n - t e r f a c ec o n d i t i o n s t h eu n i q u es o l v a b i l i t yo f t h em e t h o di sv e r i f i e da n d t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ei nt h ee n e r g yn o r mi sa l s oe s t a b l i s h e d s o m e n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d a n o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rt h eb o d y - p l a t e s t r u c t u r ep r o b l e m si sc o n s i d e r e d ，b a s e do nt h ep l t r u n cc o u p l e df i n i t e e l e m e n tm e t h o dd i s c r e t i z a t i o n w i t ht h ea s s u m p t i o nt h a tt h et r i a n g u l a - t i o ni ss h a p e - r e g u l a r ，t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i so ft h em e t h o di sd e r i v e d n u m e r i c a lr e s l u t sa r eg i v e nt os h o wt h ei n d e p e n d e n c eo ft h ec o n v e r g e n c e r a t eo nt h em e s hs i z e ，w h i c hc o i n c i d e sw i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i s a tl a s t ，v i b r a t i o na n a l y s i so fk i r c h h o f f p l a t e si si n v e s t i g 醚e di nt h e t h e s i s t h es e m o d i s c r e t ea n dt h ef u l l yd i s c r e t em o r l e ye l e m e n tm e t h o d s a r es u g g e s t e dt os o l v es u c hap r o b l e m 。t h er i g o r o u se r r o re s t i m a t e si nt h e e n e r g yn o r mf o rb o t hm e t h o d sa r ed e r i v e d s o m er e a s o n a b l ea p p r o a c h e s t oc h o o s i n gt h ei n i t i a lf u n c t i o n sa r eg i v e nt ok e e pt h eg o o dc o n v e r g e n c e r a t eo ft h ef u l l yd i s c r e t em e t h o d an u m b e ro fn u m e r i c a lr e s u l t sa r e p r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h ec o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c eo ft h em e t h o di n t h i sp a p e r k e yw o r d s ：k i r c h h o f f p l a t e ；e l a s t i cm u l t i - s t r u c t u r e s ；t r u n c e l e m e n t ；a d i n ie l e m e n t ；m o r l e ye l e m e n t ；d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ； v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；e r r o re s t i m a t e s v i i 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 嗽寂。 1 日期：2 0 0 7 年占月呵日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论文被查 阅帮借阙。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文 保密口在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密口 ( 请在以上方框内打”，) 学位论文作者签名：唧拎 指导教师签名 日期t2 0 0 7 年占月，曩日日期： ；极阁 2 衅钿伊 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 弹性体，板，梁在工程领域中有着广泛应用其数学模型大都归结为常微分方程 或者偏微分方程的定解问题一般只有矩形。圆，椭圆等少数规则区域上具有特定边 界条件并且物质材料系数为常数的特殊情形才可能获得其解析解为此特别需要发展 一种有效的数值方法来研究弹性力学问题，有限元方法正是在这一背景和计算机的飞 速发展下应运而生的 a r g y r i s ，t u r n e r ，c l o u g h 等人是最早的开拓者而在我国，计 算数学领域先驱与奠基人冯康先生于1 9 6 5 年独立于西方创立了求解偏微分方程的有 限元方法【1 】，并将其成功的运用到水坝的应力分析问题有限元方法是目前工程技术 领域中实用性最强，应用最为广泛的数值方法，直接促进着计算结构力学的发展 有限元方法的基础是各类变分原理，到目前为止，线性弹性力学的各种变分原理 已相当完备而基于这些变分原理的协调有限元方法也已发展的很成熟但是在计算 经典板弯曲问题时，因为要保证收敛性，有限元空间中的函数必须是c 1 连续的，协 调元的使用会给计算带来很大的困难对此，引发了对板弯曲问题非协调元方法的研 究常用的非协调元有m o r l e y 元，a d i n i 元，z i e k i e w i c z 元等文献【2 给出了非协 调元求解薄板弯曲问题的数学理论由于非协调元的收敛性和误差估计比协调元要复 杂，因此工程上多用分片检验的思想【3 ，4 】来判断非协调元的收敛性但s t u m m e l 在 文献【5 】中证明了分片检验不是非协调元收敛的充要条件，他给出了一种广义分片检 验方法，并证明了它的充分必要性石钟慈院士在文献【6 】中提出了一种新的非协调 元收敛的判别准则，即可靠又方便，这是非协调元研究的一项重大进展，为实际应用 提供了强有力的工具文献【7 】对非协调元的收敛性条件也有进一步研究 但在工程实践中，单个弹性构件形成的结构并不多，更多的是由任意的体，板，梁 通过一定的铰接条件耦合形成的组合弹性结构其涵盖航天结构，反应堆结构，地下 结构，海上平台结构以及房屋建筑结构等它已成为大规模科学计算和结构力学领域 第一章绪论 研究的重要课题 1 9 9 7 年，法国工程院院士c i a r l e t 在他的著作中( 参见【8 ，p 1 8 0 ) 提到。ac h a l l e n g i n gp r o g r a mc o n s i s t si nn u m e r i c a l l ya p p r o x i m a t i n gt h em a t h e m a t i c a l m o d e l so fe l a s t i cm u l t i - s t r u c t u r e st h a tc o m p r i s em a n ys u b s t r u c t u r e s ，也充分说明了 组合弹性结构理论和计算的重要意义 1 2问题的研究现状 组合弹性结构是弹性力学在几何复杂性方向上的发展，相应的数学模型是由我国 冯康先生和石钟慈院士在七十年代发展起来的( 见文献【9 ，1 0 】) 他们在根据力学直观 获得合理的子结构间耦合条件下，利用最小势能原理给出了一般组合弹性结构的数学 模型，为组合弹性结构问题的科学研究奠定了坚实的基础，在国际上居领先地位迟 至八十年代末期，以法国科学院院士p g c i a r l e t 为代表的研究集体在文献【8 】中利 用渐近分析的方法从理论的角度导出了子结构间耦合条件的合理提法，有关结果对获 得组合弹性结构的数学模型起关键作用 k o z l o v 等人在文献【1 l 】中提出由一维和三 维构件耦合而成的组合结构边值问题并建立了相应的渐近分析和谱分析理论在数值 分析方面，b e m a d o u 等人【1 2 一1 4 】提出一种协调元方法，王烈衡【1 5 1 7 】则提出若干 非协调元和t r u n c 元法求解组合弹性结构问题 但是，除了参考文献 9 ，1 0 】提出了任意组合结构的数学模型外，其余有关组合结 构问题的研究成果仅限于简单的两子结构，这在实际工程应用中是远远不够的近几 年来，黄建国，石钟慈和徐一峰在文献【1 8 】中对一般组合弹性结构进行了系统深入的 研究，利用最小势能原理和虚功原理建立了组合弹性结构在向量表示下的数学模型， 给出了一般组合弹性结构上的广义k o m 不等式在解的实际正则性假设条件下，导 出了向量表示下的所有平衡方程，为基于此理论框架进行组合弹性结构的有限元分析 打下了理论基础，并进一步在文献【1 9 】中提出了求解一般组合弹性结构的m o r l e y 型 非协调元方法 随着并行计算机和并行算法的发展，自上世纪8 0 年代，区域分解算法开始蓬勃 2 上海交通大学博士学位论文 发展起来【2 0 - 2 4 1 ，现在已广泛的应用于科学计算各领域区域分解算法可以将大规模 问题子问题化，便于并行计算，大大节省计算的工作量而用区域分解算法对组合弹 性结构进行求解更具有直观的物理意义，更能够体现组合弹性结构整体复杂局部简单 的物理特性文献【2 5 】和【2 6 】分别对体一梁组合结构与体一板组合结构提供了有效的 区域分解算法 1 3本文的主要研究内容 在上述已有工作的基础上，本文重点研究求解一般组合弹性结构问题的有限元方 法鉴于薄板弯曲变形是组合弹性结构中最复杂的问题，对其提出有效的有限元算法 并建立相应的理论分析是组合弹性结构问题计算的核心因此本文以弹性板件弯曲问 题为突破口展开了下列研究。 首先以内蕴的形式建立了用t r u n c 型非协调有限元方法求解固支边薄板弯曲问 题的能量范数意义下的最优误差估计t r u n c 元是求解板弯问题的一种非常有效 的非协调元文献【2 7 2 9 】表明t r u n c 元具有较快的收敛速度，并且对任意网格剖 分都收敛石钟慈首先在文献【3 0 】中给出了固支边薄板弯曲问题的t r u n c 元方法的 误差估计，其推导过程非常有技巧性本文在此基础上，从力学直观的角度出发，得 到了一个重要的恒等式，大大的简化了【3 0 】中关于日( u ，砚) 项的估计，以内蕴的形 式得到了能量范数意义下的最优误差估计该误差估计的技巧是本文将t r u n c 非协 调有限元用于求解薄板摩擦接触问题和组合弹性结构问题时理论分析的基础为此， 我们进一步考虑了混合边界条件的板弯问题的t r u n c 型非协调元方法，通过严格的 推导得到了能量范数意义下的拟最优误差估计( 文献【3 1 】中的理论推导不严格) 然后讨论了由薄板摩擦接触问题导出的第二类四阶椭圆变分不等方程的t r u n c 型有限元方法变分不等式问题有着广泛的应用 3 2 - 3 4 关于第一类二阶椭圆型变 分不等式在文献【3 5 3 9 】中有详细阐述；第一类四阶椭圆型变分不等式问题可参见文 献汹4 2 】但目前关于第二类四阶椭圆型变分不等式的研究文献比较少， 【4 3 】中讨 3 第一章绪论 论了此问题的某些非协调元方法。其中主要包括三角形z i e n k i e w i c z 元，m o r l e y 元 和f r a e i j sd ev e u b e k e 元，矩形a d i n i 元注意到z i e n k i e w i c z 元只有在特殊的网格剖 分下才收敛，因此本文用t r u n c 型非协调元方法求解此类问题通过引入拉格朗日 乘子将变分不等方程转化为变分方程，再利用t r u n c 元方法估计的技巧进行误差估 计，得到了能量范数意义下的拟最优误差估计 本文的一项重要工作是建立了一般组合弹性结构问题的t r u n c 型非协调元算 法：对体件的位移，板件的纵向位移，杆件的纵向位移和转角用线性协调有限元离散， 对板件的横向位移与杆件的横向位移分别用t r u n c 型非协调元和三次h e r m i t e 型 有限元离散通过z i e n k i e w i c z 非协调元空间到b e l l 协调元空间的转移算子技巧阻】， 在相应的z i e n k i e w i c z 非协调有限元空间上建立了广义k o r n 不等式，进而证得有限元 方法的唯一可解性；通过已有的关于解的几个重要的恒等式【1 8 】和细致的误差估计技 巧建立了能量范数意义下的拟最优误差估计；最后给出了体一板组合结构与板- 板组 合结构的数值模拟数值实验结果说明了用t r u n c 型非协调元算法求解组合弹性结 构问题的有效性和可行性另外，数值实验表明能量误差的收敛阶可以达到最优，但 目前我们在理论上只能得到拟最优估计 此外，本文还研究了组合弹性结构问题的a d i n i 型非协调元方法z 对体件的位移， 板件的纵向位移，杆件的纵向位移和转角分别用三线性，双线性以及线性协调有限元离 散，对板件的横向位移与杆件的横向位移分别用a d i n i 矩形非协调元和三次h e r m i t e 型有限元离散通过a d i n i 非协调元空间到b - f s 协调元空间的转移算子技巧，在 相应的a d i n i 非协调有限元空间上建立了广义k o r n 不等式，进而证得有限元方法的 唯一可解性利用a d i n i 元的性质和重要恒等式【1 8 】获得了最优能量误差估计最后 用板- 板组合结构的数值模拟说明了用a d i n i 元求解组合结构的计算效果数值实验 表明了理论结果的正确性和计算的可行性 为了能够更有效的计算用有限元方法求解组合弹性结构问题形成的大规模方程 组，本文研究了用区域分解算法求解简单的体一板耦合结构问题文献f 2 6 】已经给出 4 上海交通大学博士学位论文 了基于a d i n i 元求解体一板问题的区域分解算法，它在假设网格剖分拟一致的条件下 得到了区域分解算法的最佳收敛速度估计而本文只要求网格剖分满足正规性假设 首先建立体一板耦合结构的p 1 t r u n c 有限元离散方法，然后利用文献【4 5 ，4 6 】中的 主要思想，用不重叠区域分解算法，即。力位移”交替型s c h w a r z 方向法求解该离 散问题在正规网格剖分的条件下，以c l d m e n t 插值算子和投影平均算子为桥梁，建 立了交接面上函数与其调和延拓函数能量模的等价性，进而得到算法的最佳收敛速度 分析数值例子说明了区域分解算法的收敛速度不依赖于有限元网格剖分的大小，并 且随着迭代次数的增加近似解可以很好的逼近原问题的解 最后，讨论了求解薄板振动问题的m o r l e y 型非协调元方法到目前为止，已经 有很多求解薄板振动的数值方法典型的有时域或频域叠加法和步进方法( 时间方向 差分离散【4 7 ，4 8 1 ) 如果求解域是规则区域( 矩形域或圆域) ，则相应的静态问题可由有 限积分方法或离散卷积方法求解 4 9 5 2 】当求解区域不规则时，有限元方法是一种有 效的方法【4 8 】又因为薄板振动问题的静态问题是四阶偏微分方程，因此我们考虑用 m o r l e y 型非协调元方法求解由于m o r l e y 元的形函数是二次多项式，所以形成的代 数方程组规模要比用协调元求解小的多首先建立了基于m o r l e y 元空间的半离散格 式，进一步通过采用中心差分格式离散时间方向的二阶导数，建立了相应的全离散格 式利用椭圆投影算子【5 3 ，5 4 】和求解静态问题m o r l e y 元方法的误差估计技巧建立了 能量范数意义下的最优误差估计提供了达到最佳收敛速度的初值函数的两种选取办 法数值例子不仅说明了m o r l e y 元方法的有效性。而且验证了两种初值函数的选取 都可以达到最佳的收敛阶 本论文共分为七章，各章内容安排如下一 第一章t 绪论，介绍了组合弹性结构问题研究的意义，目前已有的研究性结果和 方法以及本文的主要研究内容 第二章；研究固支边薄板弯曲问题的t r u n c 型非协调有限元方法从力学直 观的角度出发，给出了一个重要的恒等式，以内蕴的形式得到了能量范数意义下的最 5 第一章绪论 优误差估计进一步，我们考虑了混合边界条件的板弯问题的t r u n c 型非协调元方 法，得到了能量范数下的拟最优误差估计 第三章t 针对薄板摩擦接触问题导出的第二类四阶椭圆型变分不等式，提出它的 t r u n c 元求解方法，通过引入拉格朗日乘子将变分不等方程转化为变分方程，再利 用t r u n c 元方法估计的技巧得到能量范数意义下的拟最优误差估计 第四章t 建立了一般组合弹性结构问题的t r u n c 型非协调元算法通过转移算 子技巧。在相应的非协调有限元空间上建立了广义k o r n 不等式，进而证得有限元方 法的唯一可解性；通过已有的关于解的几个重要的恒等式和细致的误差估计技巧建立 了能量范数意义下的拟最优误差估计数值实验结果说明了用t r u n c 型非协调元算 法求解组合弹性结构的有效性和可行性 第五章t 进一步讨论了组合弹性结构问题的a d i n i 型非协调元方法证明了有限 元方法的唯一可解性利用a d i n i 元的性质和重要恒等式获得了能量范数意义下的最 优误差估计最后用板一板组合结构的数值模拟说明了用a d i n i 元求解组合结构的计 算效果 第六章。研究了用区域分解算法求解简单的体一板耦合结构问题首先建立体一 板耦合结构的p 1 一t r u n c 有限元离散方法，然后用不重叠区域分解算法即。力位 移”交替型s c h w a r z 方向法求解该离散问题在正规网格剖分的条件下，得到算法的 最佳收敛速度分析数值例子说明了区域分解算法的收敛速度不依赖于有限元网格剖 分的大小 第七章t 讨论了求解薄板振动问题的m o r l e y 型非协调元方法给出了基于m o r l e y 元空间的的半离散和全离散格式利用椭圆投影技巧建立了能量范数意义下的最优误 差估计提供了达到最佳收敛速度的初值的两种选取办法数值例子说明了该方法的 有效性和可靠性 6 上海交通大学博士学位论文 1 4 基本知识 本文采用标准的s o b o l e v 空f u - j 的定义和符号设g 为舻( n = 1 ，2 ，3 ) 中的开集， 用w m p ( g ) ( m 0 ) 表示整数次s o b o l e v 空间【5 5 ，5 6 ，当1 p 0 0 时，其范数和半 范数定义为 l i m 霸g ：= ( i 墓加胁l v , 帅萨( i 量上c 删p 如) m ， 当p = 0 0 时，其范数定义为 l v l i m , , g ：= m a ，xe 8 8s u pl a i a u ( z ) l ，i t j l m ，g ：= m 。a xe s ss u pi o v c x ) l ， i 口j s mz 6 gl a l 2 m z e g 其中n = ( 口1 ，q 2 ，a n ) 表示n 重求导指标当p = 2 时，m ，p ( g ) 简记为h “( g ) ， 其相应的范数和半范数分别记为l i v l l m ，g 和m ，g ，有时也用1 日m ( g ) 和川胂( g ) 表 示王留( g ) 是c 扩( g ) 在范数| i 1 i m ，g 意义下的完备化空间令0 s 1 ，m 托p ( g ) 表示分数次s o b o l e v 空间，其范数定义为 慨+ s , p , g - - 峨晶引l 三上上咩等掣蛐p 对于向量值函数t ，= ( v l ，让) ( w m ，p ( g ) ) 定义 舾l i m 妒：= ( 扣，g ) m 巾i m ，卯：= ( 枷，g ) m 对给定的b a n a c h 空间b 和实数p ，1 p o 。，定义【5 7 - 5 9 】 z e ( 0 ，t ；b ) ：= u ( ) bvt ( 0 ，t ) 且l i v c t ) 1 1 名d t m , j c v ) ， 朋( u ) ：= 朋j ，( 口) n 尹毋，m g t ( ) ：= a , 4 u ( v ) n t t 了， n g = ( 砰，磴) 和t g = ( p ，字) 分别表示o g 的单位外法向量和切向量，其选取要求 ( 竹t g ，t g ) 形成一右手坐标系另外，由分部积分知( 2 1 1 ) 等价于 zq 小) 国眺一m ) 2 厶q 跏) 砌s ，v u ( g ) ，( 2 1 6 ) 其中q 2 ( u ) ：= q j ( u ) n ，h 一1 2 ( a g ) 设声= u k e t h 露为区域p 的一正则三角形有限元剖分，单元k 的直径满足 h k h 单元上的形函数定义为下列不完全三次多项式 v a 。0 1 入1 + a 2 a 2 + a 3 a 3 + a 4 a i a 2 + a 5 a 2 a 3 + a 6 a a a , + n 7 ( a i 入2 一) t 1 ) t 2 ) + 口8 ( 入；a 3 一入2 入；) + n 9 ( 入；入l 一入3 a ；) ，( 2 1 7 ) 其中 凡】整l 为单元k 的形心坐标相应的自由度为 e k = 口慨) ，a 秽慨) ，岛u 慨) ，1 l 3 ) ，( 2 1 8 ) a 整l 为三角形单元的顶点由此得到z i e n k i e w i c z 非协调有限元空间略如下， 略( 卢) = v l k = ， = a ( p ) = t 毛v ( p ) = 0 在筇上) ( 2