（概率论与数理统计专业论文）一类随机过程之乘积的泛函极限定理.pdf

摘要 设 k ；礼21 ) 是随机变量序列，岛= ，礼1 。对部分和岛的研究是上个世纪 k = l 的一个普遍课题，如众所周知的中心极限定理，强大数定理和重对数律。近几年来，一 些学者研究了随机变量部分和之乘积的渐进性质。a r n o l d 平【l v i l l a s e f i o r ( 1 9 9 8 ) 就瓦是均 值为1 的指数随机变量的特殊情况给予考虑，得到 l o g 鼠一n l 。g n + n 丝焉一三，竹_ c k ) 甄 ” r e m p a l a 和w e s o l o w s k i ( 2 0 0 2 ) 进一步改进了他们的结果，对独立同分布的平方可积 的正随机变量序列，得到了他们的部分和之乘积的极限分布。q i ( 2 0 0 3 ) 和l ua n d q i ( 2 0 0 4 ) 就瓦属于参数a ( 1 ，2 的稳定分布的吸引域予以考虑，r e m p a l a 和i w e s o l o w s k i ( 2 0 0 5 ) 就 尥，。) i ：1 ，。k 七= 1 ，2 ，是独立同分布的随机变量的三角序列予以考虑，金敬森 和王建峰( 2 0 0 6 ) 就 x 。，竹1 ) 是一列同分布的正的n a 序列考虑，都得到了类似的结果。 本文研究鞅和与鞅相关的一类平稳遍历过程之乘积的泛函中心极限定理与泛函重对 数律。其证明是受z h a n g 和h u a n g ( 2 0 0 7 ) 的启发。首先，同上述文献中一样，它将正随 机变量部分和之乘积转化为部分和先取对数再求和来考虑，然后它利用了不变原理，重 对数律的性质，也得到了上述的类似的结论。文章的整体结构安排如下，第一章，介绍 前人的一些结果。第二章，利用鞅的不变原理，得到了鞅之乘积的泛函中心极限定理。 第三章，利用鞅的重对数律的不变原理，得到了与鞅相关的平稳遍历过程之乘积的泛函 重对数律和泛函中心极限定理。 关键词：部分和乘积、不变原理、重对数律、平稳、遍历、鞅 i a b s t r a c t l e t 瓦；他1 ) b es e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s ，& = 甄，n 1 t h es t u d yo f p a r t i a ls u m o f i sv e r yp o p u l a r i nt h el a s tc e n t u r y s u c ha st h ec e n t r a ll i m i tt h e o r y , t h es 仕o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n dt h el a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h m s o m es c h o l a r sh a v e s t u d i e dt h ea s y m p t o t i c sf o rp r o d u c t so fs u m si nt h er e c e n ty e a r s a r n o l da n dv i l l a s e f i o r ( 1 9 9 8 ) p r o v e dt h a t l o g s k - n l o g n + n 生l _ 一三n n _ o o 、2 n w h e r eni sas t a n d a r dn o r m a lr a n d o mv a r i a b l ea n ds ni st h ep a r t i a ls u l n so fe x p o n e n t i a l r a n d o mv a r i a b l e sw h o s em e a ni s1 r e m p a l aa n dw e s o l o w s k i ( 2 0 0 2 ) i m p r o v e dt h e i rr e s u l t s , a n dg o tt h ea s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o no fp r o d u c t so fs u d i so fi i d p o s i t i v es q u a r ei n t e g r a b l er a n d o mv a r i a b l e s q i ( 2 0 0 3 ) a n dq ia n dl u ( 2 0 0 4 ) e x t e n d e dt h i sr e s u l tt oag e n e r a ll i m i tt h e o r e mc o v e r i n g t h ec a s ew h e nt h eu n d e r l i n gd i s t r i b u t i o ni si nt h ed o m a i no fa t t r a c t i o no fas t a b l el a w w i mi n d e xf r o mt h ei n t e r v a l 【1 ，2 】r e m p a l aa n dw e s o l o w s k i ( 2 0 0 5 ) e x t e n d e dt h i sr e s u l t c o n s i d e r i n g 咒，t ) 扭1 ，k k = 1 ，2 ，t ob eat r i a n g u l a ra r r a yo fi i d p o s i t i v es q u a r e i n t e g r a b l er a n d o mv a r i a b l e s ，a n dj i na n dw a n g ( 2 0 0 6 ) c o n s i d e r e d ，n 1 ) t ob ea s e q u e n c eo fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o m v a r i a b l e s t h i sp a p e rm a i n l yc o n s i d e r sa b o u tt h ef u n c t i o n a lc e n t r a ll i m i tt h e o r e ma n df u n c t i o n a ll a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h mo fm a r t i n g a l e sa n dak i n do fs t a t i o n a r ye r g o d i cs t o c h a s - t i cp r o c e s s e sr e l a t e dt om a r t i n g a l e s w ep r o v e dt h et h e o r e m so ft h i sp a p e r b yt h es i m i l a r m e t h o di nz h a n ga n d w a n 9 7 sp a p e r j u s ta st h er e f e r e n c e sm e n t i o n e da b o v e ，w e u s ei n - v a r i a n c ep r i n c i p l ea n dt h el a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h mt og e tt h el i m i td i s t r i b u t i o n i nt h e f i r s tc h a p t e r , w ew i l li n t r o d u c et h ew o r k sw h i c hs o m es c h o l a r sh a v ea l r e a d yo b t a i n e d i nt h es e c o n d c h a p t e r , w e w i l lu s et h ei n v a r i a n c ep r i n c i p l eo fm a r t i n g a l e st oo b t a i nt h e ，f u n c t i o n a ll i m i td i s t r i b u t i o no fp r o d u c t so fs u m so fm a r t i n g a l e s a tt h et h i r dc h a p t e r , w e w i l lu s et h ei n v a r i a n c ep r i n c i p l ef o rt h el a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h mt oo b t a i nf u n c t i o n a l l a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h ma n df u n c t i o n a lc e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o ras t a t i o n a r ye r g o d i c s t o c h a s t i cp r o c e s s e sr e l a t e dt om a r t i n g a l e s 浙江大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：p r o d u c t so fs u m s , i n v a r i a n c ep r i n c i p l e ，l a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h m , s t a t i o n a r y ，e r g o d i c , m a r t i n g a l e r u n s z z d e ( x ) v a r x _ xa s x 。三x x 。三x m a x s u p l l m s u p a 。= d p ( k ) a n = o p ( h n ) 礼叫，n t 0 。 c = c o ，1 1 d = d o ，1 】 ”l i 文中部分缩写及符号说明 随机变量 几乎必然 相互独立同分布 随机变量x 的数学期望 随机变量x 的方差 随机变量序列 墨) 几乎必然收敛于随机变量x 随机变量序列 依概率收敛于随机变量x 随机变量序列 墨) 依分布收敛于随机变量x 取最大值 取上确界 函数的下确界 依概率收敛于0 勋 7 ” - 依概率有界 表示对咒t 取整数 口一代数 表示f o ，1 1 上连续函数全体 表示 0 ，1 】上右连续且存在有限左极限的全体函数 l 2 ( p ) 上的范数 i v 第1 章随机变量部分和之乘积的背景介绍 设 厶；几1 ) 是独立同分布随机变量序列，s n = f x k ，n 1 为此序列的部分和。 对& 的研究成果有众所皆知的中心极限定理，强大数定理和重对数律。近几年来，一些 学者研究了独立同分布随机变量序列的部分和之乘积的渐进分布，同时再推广到了三角 序列的部分和之乘积，a 序列的部分和之乘积，同时还把结论应用n t u 统计量上。 首先，a r n o l d 和v i l l a s e f i o r ( 1 9 9 8 ) 就是均值为1 的指数随机变量的特殊情况给予考 虑，得到了 1 0 9 鼠- n l o g n + n 生l i 一三，竹_ 。o ， 2 n 7 其中表示标准正态随机变量，表示依分布收敛。 利用s t i r l i n g 公式，上式等价表示为 ( 垂譬) 击三一 我们可以看到，对后面我们将要提到的前人的几种结果，都是利用相同的方法来证明 的。证明乘积的中心极限定理关键是将正随机变量部分和之乘积转化成一类随机变量的 加权和加以考虑。 之后，w e s o l o w s k i 和r e m p a l a ( 2 0 0 2 ) 将a m o l d 和a s 舒o r ( 1 9 9 8 ) 的结果推广到一 般的独立同分布正随机变量序列情形。 定理a 设 ；n21 ) 是独立同分布的正平方可积的随机变量序列，记p = e 蜀 0 ，盯2 = 帆，y2 丢，& 2 狲= 1 1 2 ，测 ( 垂是) 赤三e 脚，n o o 后来，w e s o l o w s k i 和r e m p a l a ( 2 0 0 5 ) 又得到了独立同分布正随机变量组列情形的结 论。 定理b 4 设( 玩，；) 扛1 ；k = 1 ，2 是i i d 平方可积随机变量的三角序列，存在有限绝对矩( 阶 2 第1 章随机变量部分和之乘积的背景介绍 数p 2 ) ，记p = e x l o ，盯2 - v a r x l ，y = 三，瓯= 墨南= 1 ，2 ，则 ( n 孚垂蛊) 南却，几一 金敬森、王建峰( 2 0 0 6 ) 将这类结果推广到了a 序列情形。 定理c 设 ；n 1 ) 是一列同分布的正的a 序列，p = e x l 0 ，盯2 = v a r x l 0 则 警 击3 一礼一 以上三个定理的证明方法类似，将乘积转化为求和后，关键是通过满足l 饥d e 6 e r g 条 件证明一个关于部分和的加权和依分布收敛于标准正态分布的引理。 引理a ( w e s o l o w s k i 和r e m p a l a ( 2 0 0 2 ) ) 在定理a 的假设下，下式成立。 而1 蚤n ( 怠一) 三m n o o 引理b ( w e s o l o w s k i $ 1 r e r n p a l a ( 2 0 0 5 ) ) 在定理b 的假设下，下式成立 葡杀喜( 怠一) 三，n o o 引理c ( 金敬森，王建峰( 2 0 0 6 ) ) 在定理c 的假设下，下式成立 渐江大学硕士学位论文 3 去慌。) 三，n 一 利用l i n d e b e r 异中心极限定理研究相依变量的中心极限定理常常不容易，有时需要 较强的条件，也得不到泛函形式的中心极限定理。本篇论文受z h a n g 和h u a n g ( 2 0 0 6 ) 的 启发，利用鞅的不变原理，鞅的重对数律以及满足一定条件的与鞅相关的平稳遍历过程 可以分解为鞅和一特殊余项的性质，证明了鞅的部分和之乘积的泛函形式的极限性质和 平稳遍历过程的部分和之乘积的泛函形式的极限性质。 第2 章鞅的乘积的极限性质 2 1 引言及定理 本章利用了不变原理的性质，研究鞅的乘积的泛函中心极限定理。 设 ) 是r 肌序列，记岛= o ，岛= 五，t o ，1 由r 肌列 ) 的部分和 ) 可构 作d 0 ，1 】上随机元列 计名) 如下： 眠( t ，u ) ：墅掣 g r 、，0 它是d o ，1 i - i 椭机元，我们称 i 是由r u 列 k ) 产生的部分和过程列 下面是众所周知的d o n s k e r 不变原理： 设 ；n = 1 ，2 ，) 是独立同分布随机变量列，e x l = o ，e x = 0 - 2 ，0 0 - 2 0 0 则 由 k 产生的部分和过程 眠三彬 见林正炎、陆传荣和苏中根( 2 0 0 0 ) 。( w 为乖隧m 孙蝴茬) 下面是本章的主要定理。 定理2 1 ：设 ；1 是一列正随机变量，e x k = 肛，v a r x k = c r 2 0 0 ，且 瓦一 川k 1 ) 是平稳遍历鞅差序列记瓯= 五+ 旭，。绲表示由毋，岛，鼠生成的盯一 域 则 其中1 ：丝 盯 ( 斟m 三唧m 掣出卜o o ， 仁， 4 浙江大学硕士学位论文5 2 2 定理的证明 证明：由定理中的条件及b i u i n g s l e y ( 1 9 9 9 ) 定理1 8 3 知，下式成立 眠( t ) = ：学三w ( 巩n o 。 ( 2 2 ) 对于鞅差序列，我们有如下不等式，见林正炎、陆传荣和苏中根( 2 0 0 0 ) ， 设 巧) 是鞅差序列，r 2 ，则 。 e i s k r c , n 7 2 1 e i b i j = l 其中g = 8 ( r 一1 ) m a x ( 1 ，2 r - 3 ) 卜 先证： s u 口e i s 。- ： 一1 o o n 、n 在( 2 3 ) 式中取r = 2 ，则q = 8m a x ( 1 ，2 - 1 ) 2 = 6 4 e l & 一n p i( e i s k 一几肛1 2 ) 1 2 = 6 4 n e x 1 一p 2 m ( 2 3 ) ( 2 4 ) seisn。-：一halup 0 - 。g ( 量象) 叫似：杀霎昭爱 = 杀咤叫 一 = 击篓+ 击墨气一c 蛊一，诉台札。何台舡u 缸叫 = 去警学+ 去蓦学一c 釉仁s ， v 0肛 一 巧 g 。触 。 胆 q r l 1 ，当矿后矿+ 1 若& 一缸0 ，则鼠一缸。+ - 一p n # 若鼠一惫“s0 ，则p s k p n + 1 p s ：。 矿黪+ ，i & i - 一k p lm a x f 、 先n o o 。，再p 一1 接着有 也就是 所以可得 另一方面，由( 2 4 ) 我们记 则有 从而 兰! ：兰二旦”1 “il 昂n p n # i p ” 矿 l + 1 ) p j 加k 掣卜叫p 外矽掣参呐嘶叫删 s k _ l 三。，k 0 一o o 急一一s 岛一o 。 口( 恚_ 1 ) 扎o s k - 一c o s u p 等裂= 岛n 、礼 。 击刀 砉堕掣 岛击 躐f 去墨学一c = 去娄必k d ( z ) 何台 叭叫 = o p ( 1 ) 喜去蚴， 是叫j 浙江大学硕士学位论文 7 所以，根据( 2 5 ) 式，下面我们只需要证的是： 令 以及 础净去篓学三z 掣姗删，n 一 显然下面两式成立 皿( ，) ( t ) = t o t e = 蓐。学葚。 理答忻掣如咧删h s u 纠p ，。掣d 。卜， 仁乃 以及，由( 2 4 ) 式， e 罐慧i k ( 。) 一碥，e ( t ) fi = e m a x p 立l 一 o n ，q s 孺 黑佩 盯礼 。 e 、，仨 另一方面，我们可以看到 。 嘟s u 叫p 。昙，一s k - k # 一e 学叫 = 毪s u 圳p 忡f 蜘删+ 。学如学出l 旺卅学d x h s u 驯p f 舛+ 。学如 ( 2 8 ) ，一 z q ，-ilt，、_-ii、 学 柚 l 何 8第2 章鞅的乘积的极限性质 + 。s u p 1 + 。琳卅( 一( ：一刍) 如 学陪制固s u ；p 。饶- - + 磊2 + 磊1 ) 5 m 戕! 墨二丝! 一 k n艇 = o p ( 、元) 加 = o p f l l 所以，砌鲈 土芒墅坐 盯瓶急，k ：熹厂“盟竽出+ 0 p ( 1 ) o 赢j m z ”。 一厂2 单出+ 0 p ( 1 ) je z 上式在t 瞳，1 】一致成立 我们可以看到皿( ) 是在d o ，1 】空间上的连续映射。由连续映射定理( b i l l i n g s l e y ( 1 9 9 9 ) 定 理2 7 ) ，我们可得下式 k ，。t = 趣( ) ( t ) + d p ( 1 ) o _ l 皿( w ) ( t ) 礼一。o ， ( 2 9 ) 由( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 式及b i l l i n g s l e y ( 1 9 9 9 ) 定理3 2 ，我们可以得至l j ( 2 6 ) 成立，从而( 2 1 ) 成 立，定理得证。 第3 章平稳、遍历过程部分和之乘积的极限性质 3 1 号l 言及定理 已知 玑l ，w o ，m ， 为定义程测度空间( 兹嘲) 上的平稳，遍历玛尔科夫 罐，q 烫转移函数，再魏秘籍分京，l 2 霄) 秀予方霉彀遗数空麓，箕元豢蓼：帮一露， 黼| 2 f9 2 & r e ，显廖赫= 芦， 己叉= 托+ + ，扩2 = ：1 i 。o 。露( 璺看笋) 2 ，y = ；若 礼一4l 0 9 5 4 ( n ) i i e ( s n x o ，汇1 i - ) i i o , - e e x k2 p ，记& = 蜀+ + 墨，盯2 = ：1 i m n 呻。e ( 墨暑芋) 2 ，y = ：， w ( t ) ；t o ) 为标准w i e n e r 过程， 若 成立 则 礼一；l l e ( & l x o ，x - l ) l l 0 ， b g 饵圹= 焘b g ( 垂象) = 东盖 = 去篓学+ 去警学咤叫一固 由( 3 4 ) 式和引理1 ，有 s k k u = m k + r k 坛为平方可积鞅，吼满足e ( 磁) = o ( 七) ，当一o 。时。 则，由c o u c h y s c h w a r z 不等式 e 掣掣+ 百e r i k、，k 一 0、，k ，( e i m k l 2 ) 1 2 ，( e i r k l 2 ) 1 2 一 kk c o 0 ，则& 为非降函数，己知对v p 1 ，当矿庇矿+ 1 若乳一膏p 0 ，则s k 一肛5 0 + ，一矿p 若瓯一札0 ，则南p 一& p n + 1 p 一 因而， p n _ 一k 1 ， e 鼢掣 p 叫磊与掣 心叫- “ p 鬻鸟掣妻_ , p - n 1 2 - i - c 川”。 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 1 6 第3 章平稳、遍历过程部分和之乘积的极限性质 先”o o o ，再p 一1 接着有 麟陪- i 三。，k o - - - , c 。 也就是 当一1 _ 0o k _ o 。 尤“ 因而可以得到 p ( 迸一1 ) 一o 。s 七一o 。 另一方面，m ( 3 1 0 ) 式，我们有 所以有 j s k - k - k 肛1 g 击喜去。g 罐答i 去墨学咤叫 ：去妻竖型d ( 1 ) k 而告 叫 = o r ( 1 ) 由( 3 8 ) 式，我们需要证下式成立 因( 3 9 ) 式，有 e s u p 0 坯1 1 1 笋业些三，型如k o 西色 ? j o z ：j ；产亟霉o 礼。 盯而台七 ” 由第二章定理( 2 1 ) 可知，对平稳遍历鞅，下式成立 ( o ) ， 一n z z n h ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 戋n ( 3 1 2 ) 成立，再由( 3 8 ) 并f l ( 3 1 1 ) ，即得( 3 5 ) 成立，定理得证。 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 。随 。l e 土瓶 吼i 树 一i 昕 + 堕o 蝴 l 面 一叮 i i 札一 柚 土听 型。 引一 。胤 去 凰一南 随 上昕 z q t 丝七 m 吼 上听 参考文献 【1 】a r n o l d ，b c a n dv i l l a s e f i o r , j a t h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o n so fs u m so fr e c o r d s e x t r e m e s , 1 ，n o 3 ( 1 9 9 8 ) ，3 5 1 3 6 3 2 1b i l l i n g s l e y , p c o n v e r g e n c eo fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s j o hw i l e ya n ds o n s ，i n c ，n e w y o r k ( 1 9 9 9 ) 3 1g o n c h i g d a n z a n , k a n dg a r e m p a l a an o t eo nt h ea l m o s ts u r el i m i tt h e o r e mf o r t h ep r o d u c to fp a r t i a ls l l r n s a p p l i e dm a t h l e t t ，1 9 ，n o 2 ( 2 0 0 6 ) ，1 9 1 1 9 6 【4 】h a l l ，pa n dh e y d e ，c c m a r t i n g a l el i m i tt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n n e wy o r k ： a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 0 5 1h e y d e ，c c a n ds c o t t ，d j i n v a r i a n c ep r i n c i p l e sf o rt h el a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h mf o rm a r t i n g a l e sa n dp r o c e s s e sw i t hs t a t i o n a r yi n c r e m e n t s ( 1 9 7 3 ) a n n p r0 _ b a b 14 2 8 4 3 6 【6 】金敬森，王建峰n a 序列的部分和乘积的渐进正态性高校应用数学学 报a 辑( 2 0 0 6 ) ，2 1 ( 4 ) ：4 5 1 - 4 5 7 【刁林正炎，陆传荣，苏中根概率极限理论基础高等教育出版社，1 9 9 9 【8 】l u ，x a n dq i ，yan o t eo na s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no fp r o d u c t so fs u m s j s t a t p r o bl e t t , ( 2 0 0 4 ) 6 8 ：4 0 7 - 4 1 3 【9 】m a x w e l l ，m a n dw o o d r o o f e ，m c e n t r a ll i m i tt h e o r e m sf o ra d d i t i v ef u n c t i o n a l so f m a r k o v c h a i n s a n n p r o b a b ( 2 0 0 0 ) 2 87 1 3 7 2 4 1 1 0 q i , y l i m i td i s t r i b u t i o n sf o rp r o d u c t so fs u m s 】s t a t p r o b l e t t ，( 2 0 0 3 ) 6 2 ( 1 ) ：9 3 - 1 0 0 【1 1 】r e m p a l a ，g a n dw e s o l o w s k i ，j a s y m p t o t i c sf o rp r o d u c t so fs u m sa n du - s t a t i s t i c s e l e t c o m m i np r o b 7 ( 2 0 0 2 ) ，4 7 - 5 4 1 2 1r e m p a l a , g a n dw e s o l o w s k i , j a s y m p t o t i c sf o rp r o d u c t so fi n d e p e n d e n ts u r n s w i t ha na p p l i c a t i o nt ow i s h a r td e t e r m i n a n t s s t a t a n dp r o b l e t t 7 4 ( 2 0 0 5 ) 1 2 9 1 3 8 1 7 1 8 参考文献 【1 3 s t o u t ，w ft h eh a r t m