（应用数学专业论文）关于有限群类保持自同构的一些结果.pdf

a b s t r a c t t h es t u d yo fc l a s s - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s m sh a sb e e no n eo ft h eh o t t e s ts u b j e c t si n t h et h e o r yo ff i n i t eg r o u p s b a s e do nt h ee x i s t i n gr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e ，f u r t h e rr e s e a r c h o nc l a s s p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s m si sc a r r i e d0 1 1i nt h i sp a p e ra n dr e l a t e dr e s u l t so n s e v e r a la s p e c t sa r eo b t a i n e dw h i c hw es t a t ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，t h ep r o p e r t i e so ft h ed i r e c tp r o d u c td e c o m p o s i t i o n so fc l a s s p r e s e r v i n g a u t o m o r p h i s mg r o u p sa r ep r e s e n t e da n di ti sd e d u c e dt h a to u t c ( g ) = if o raf i n i t eg r o u p gi fa n do n l yi ft h ec l a s s - p r e s e r v i n go u t e ra u t o m o r p h i s mg r o u po fe a c hd i r e c tp r o d u c t f a c t o ro f g e q u a l s1 ，w h i c hp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei n t h es t u d yo ft h en o r m a l i z e rp r o p e r t y i nc h a p e r3 ，t h er e l a t i o n sb e t w e e nc l a s s - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s mg r o u p sa n dc e n t r a l a u t o m o r p h i s mg r o u p so ff i n i t eg r o u p sa r ee s t a b l i s h e d ，a n db ym e a n so ft h ep r o p e r t i e so f c e n t r a la u t o m o r p h i s m si ti ss h o w nt h a ti f gi saf i n i t ep g r o u po fn i l p o t e n tc l a s s2a n di t s d e r i v e ds u b g r o u pi sac y c l i cg r o u p ，t h e nt h ec l a s s - p r e s e r v i n go u t e ra u t o m o r p h i s mg r o u p o fg e q u a l s1 ，a n d a l s ot h e c l a s s p r e s e r v i n g o u t e r a u t o m o r p h i s mg r o u p so ff i n i t e n o n a b e l i a np g r o u p ss a t i s f y i n gg z ( g ) 区p 珥a r ei n v e s t i g a t e d i nc h a p t e i4 ，t h ec l a s s - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s m so ff i n i t eg r o u p sw h i c ha lee x t e n s i o n so fa b e l i a ng r o u p sb y d i h e d r a lg r o u p sa l eb e e ns t u d i e d i nt h ef i n a lc h a p t e r , i ti ss h o w nt h a tt h ec l a s s - p r e s e r v i n g o u t e ra u t o m o r p h i s mg r o u po fe a c hf i n i t ep - g r o u pg 谢t l i ig 阵p 4i st r i v i a l k e yw o r d s ：a u t o m o r p h i s m ；c l a s s p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s m ；c e n t r a la u t o m o r p h i s m ； n i l p o t e n tc l a s s 目录 引言一l 第1 章基础知识5 第2 章具有直积分解的有限群的类保持自同构8 第3 章有限群的中心自同构与类保持自同构的关系l l 第4 章阿贝尔群被二面体群扩张的有限群的类保持外自同构群1 6 第5 章阶小于等于p 4 的有限p 一群的类保持外自同构群1 9 参考文献2 2 攻读学位期间的研究成果2 4 致谢”2 5 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明2 6 引言 早在1 8 5 4 年a c a y l e y 就提出了整群环的概念( 见文献 1 ) ，人们从此开始了整群环的 研究在整群环理论的诸多问题中，正规化子猜想备受关注，并且人们发现正规化子猜想和 有限群的某些特殊的自同构群有着密切的联系 设g 是有限群，z 是整数环，我们用u ( z g ) 表示整群环z g 的单位群，用z ( u ( z g ) ) 表示 单位群u ( z g ) 的中心，用n u ( z g ) ( g ) 表示有限群g 在单位群u ( z g ) 中的正规化子显然我们 有 z ( u ( z g ) ) n u ( z g ) ( g ) 及g n u ( z g ) ( g ) ， 从而g z c o ( z g ) ) n u ( z g ) ( g ) ，一个自然的问题就是g z ( u ( z g ”= n u z 6 ，( g ) 是否总成立 ( 见文献 2 中的问题4 3 ) ，这个问题在历史上也称为正规化子猜想： n o r m a l i z e r c o n j e c t u r e 对于有限群g ，是否有g z ( u ( z g ”= n u ( z g ) ( g ) 成立? 如果上述等式成立，我们称有限群g 具有正规化子性质 关于正规化子猜想的第一个肯定的结果是由d b c o l e m a n 在文献 3 中给出的，通常称 为c o l e m a n 引理： c o l e m a n 引理设g 是有限群，p 是g 的一个p 一子群，则 n u ( z g ) ( p ) = n g ( p ) c u ( z g ) ( p ) 作为这个定理的直接结果，我们有： 定理设g 是有限幂零群，则g z ( u ( z g ) ) = n u ( z g ) ( g ) ，特别地，若g 为有限p 一群，则g 有正规化子性质 作为上述定理的一个推广，s j a c k o w s k i 和z m a r c i n i a k 在文献 4 中证明了有正规s y l o w 2 一子群的有限群具有正规化子性质，并且将正规化子问题与有限群的某些特殊自同构建立 了联系，正是这种联系影响着对正规化子猜想的研究，也正是这种联系引起了对有限群的 某些特殊自同构的更深入的思考为了叙述方便，我们将固定下面的记号： 我们用a u t ( g ) 表示g 的自同构群，用i n n ( g ) 表示g 的内自同构群，a u t ( g ) 有下面的 一些特征子群： a u t c 。i ( g ) 表示由g 的所有的满足下面条件的自同构仃构成的群：对g 的任意s y l o w p 一子群p ( p 是一个素数) ，存在某个x g ，使得万i p = c o n j ( x ) i p ，其中仃l ，表尔仃在了群 尸上的限制，而c o n j ( x ) 表示由x 诱导的g 的内自同构，这样的自同构称为g 的c o le m a n 自i 叫 构，称a u t c 。l ( g ) 为g 的c o l e m a n 自同构群 1 青岛大学硕士学位论文 a m 。( g ) 表示由g 的所有的满足下面条件的自同构仃构成的群：对任意g g ， 存在某个石g ，使得9 4 = g 工，即仃将g 的每个元映成它的某个共轭这样的自同构 称为g 的类保持自同构，a u t 。( g ) 称为g 的类保持自同构群 a u t z ( g ) 表示由g 的所有的满足下面条件的自同构仃构成的群：仃自然诱导了 整群环z g 上的内自同构 注意到i n n ( g ) a u t c 。i ( g ) ，i n n ( g ) a u t 。( g ) 以及i n n ( g ) a u t z ( g ) ，并令 o u t c a ( g ) = a u t c d ( g ) i n n ( g ) ， o u t 。( g ) = a u t 。( g ) i n n ( g ) ， o u t z ( g ) = a u t z ( g ) i n n ( g ) 容易证明有限群g 具有正规化子性质当且仅当o u t z ( g ) = l ，而上面的c o l e m a n 的结果表明a m z ( g ) l ，记彳= a u t ( g ) ，则 a = s x t ，；乓d o l s l ：p h ，r 是循环群且= p 1 定理1 1 5 设，k 是群且k 是交换群，到k 的所有同态关于下面的运算构 成一个阿贝尔群，记为h o m ( h ，k ) 其中对任意，g h o m ( h ，k ) 和h h ，f 与g 的 乘积定义为： ( 鲁) ( ) = ( 办) g ( j l ，) 证明显然店是一个映射对任意啊，红h ，因为k 是交换群，所以 ( 店) ( 愧吃) = 厂( 缟) g ( j l ，i 呜) = 厂( 啊) 厂( 鸭) g ( 扛) g ( 吃) = ( 厂( ) g ( 啊) ) ( 厂( 红) g ( h 2 ) ) = ( 磨) ( 啊) ( 詹) ( 红) ， 即店h o m ( h ，k ) ，从而h o m ( h ，k ) 对于引理中定义的乘法是封闭的 显然，引理中定义的乘法具有结合律，且平凡同态为h o m ( h ，k ) 的单位元 6 第l 章基础知识 对于任意f h o m ( h ，k ) ，下面我们来证明映射g ：hjk ( hh ( ( ) 一) 是的 逆元首先对任意 ，如h ，我们有 g ( h l h 2 ) = ( 红) 一= ( 厂( ) ( ，) ) = ( ( 红) ( 啊) ) 一= ( 啊) 一f ( h 2 ) = g ( h 1 ) g ( h 2 ) ， 其次 ( 店x h ) = ( 1 1 ) g ( 厅) = 厂( 办) 厂( 办) = l ， 所以g 为厂的逆元 综上可知，h o m ( h ，k ) 关于上面的运算构成了群，再由k 的交换性可知 h o m ( h ，k ) 是交换的 7 青岛大学硕士学位论文 第2 章具有直积分解的有限群的类保持自同构 我们知道对于有限群g ，若g 有直积分解，则g 的自同构群也有直积分解，那么 g 的类保持自同构群作为其自同构群的特征子群，情况如何? 本章对此进行了探讨， 证明了具有直积分解的有限群的类保持自同构群也有直积分解 引理2 1 设仃a m 。( g ) ，且n 4g ，则仃| ea u t ( n ) ，进一步，如果n 是g 的一 个直积因子，则仃l a u t 。( ) 证明由引理i 8 知盯l a u t ( n ) 下面我们只证引理的第二部分：设g = n xm ， 存在g g ，设g = x y ，其中x n ，y m ，使得刀叫v = 矿= 矿= , 叫= , t 。，所以 仃l a u t 。( ) 引理2 2 n 玎设g - - g , g 2 q ，则下列结论成立： ( i ) z ( g ) = z ( g 1 ) z ( c 己) z ( 6 i ) ： ( 2 ) 设是g 的正规子群且n = v , 2 虬，其中v , = n f i g ，( i = l ，2 ，一) 那么g n 兰g l v , g 2 2x - - q m 引理2 3 设g = g l g 2 q ，则i n n ( g ) 兰i n n ( g , ) x i n n ( g 2 ) i n n ( q ) 证明由引理2 2 ( 1 ) 知z ( g ) = z ( g 1 ) z ( g 2 ) z ( q ) ，又因为 z ( q ) = z ( g ) n q ( j = l ，2 ，刀) ， 所以由引理2 2 ( 2 ) 知 g z ( g ) 兰g l z ( g 1 ) g 2 z ( g 2 ) q z ( g ) 我们注意到 g z ( g ) 兰i n n ( g ) 及g ：z ( g , ) 兰i n n ( g , ) ( f = l ，2 ，刀) 从而 i n n ( g ) 兰i n n ( g , ) i n n ( g ：) i n n ( g 。) 定理2 4 设g = g l g 2 q ，则 ( 1 ) a u t 。( g ) 兰a u t 。( 6 1 ) x a u t 。( g 2 ) a u t 。( 瓯) ： ( 2 ) o u t 。( g ) 兰o u t 。( g 1 ) x o u t 。( g 2 ) o u t 。( 瓯) 证明由数学归纳法，我们只需证明，= 2 的情形 ( 1 ) 定义 y ：a u t 。( g ) 一a u t 。( g 1 ) a u t 。( ( 五) ( 仃h ( 盯k ，仃h ) ) ， 由引理2 1 知缈的定义是合理的，显然少是映射 先证y 是群同态任取盯，r a u t 。( g ) 及蜀g l ，则g i 酊) i g l = 蜀“= 蜀叱，所以 ( 研) 1 6 l = 仃b lf b ， 靴( e r r ) k = 仃i g 2f k 这样我们得到 ( 衍) 缈= ( ( 吖) i q ，( 盯) i g 2 ) = ( 仃br l g i ，盯kf k ) = 仃缈f p ， 即y 是群同态 再证y 是单射设p i g i 口lg 2 ) = ( r lg l ，r l q ) ，对任意g = g g ：g ，其中 g l g i ，9 2 g 2 ，我们有g 口= g l 口9 2 口= g l 9 2 7 = 9 7 ，从而o r = r ，即是单射 最后证沙是满射任取( q ，吒) a u t 。( g 1 ) a u t 。( g 2 ) ，对任意g = g 。g ：g ，其中， g l g l9 2 g 2 ，定义 仃：gj g ( ghg l 叽9 2 吒) ， 显然仃是映射且 o r a u t ( g ) ，盯b = q ，仃k = c r 2 ， 我们只需再证盯a u t 。( g ) 因为q a u t 。( g f ) ( ，= l ，2 ) ，所以存在薯q ，使得 g j q = g j 而，这样我们有 g 盯= g l 9 2 吒= g i 却9 2 屯= ( g 1 9 2 ) 电， 所以仃a u t 。( g ) ( 2 ) 对于( 1 ) 中定义的沙，我们首先来证明i n n ( g ) 妒= i n n ( g 1 ) x i n n ( g 2 ) 任取c o n j ( x ) i n n ( g ) ，设x = 而而，其中x j q ( f = l ，2 ) ，则 ( c o n j ( x ) ) 缈= ( c o n j f x ) l , ，c o n j f x ) 1 , ) 2 ( c o n j f x , x 2 ) l c o - j f x , x , ) l , ) = ( c o n j ( x , ) ，c o n j ( x , ) ) i n n ( g i ) l n n ( g 2 ) ， 所以 i n n ( g ) 缈i n n ( g , ) i n n ( g 2 ) 另一方面，由引理2 3 知i n n ( g ) 兰i n n ( g , ) xl n n ( g 2 ) ，又因为i n n ( g ) 兰i n n ( g ) 妒是 显然的，所以i i l n ( g ) 妒 i n n ( g i ) x i r m ( g 2 ) ，于是有i i n n ( g ) i = i i n n ( g 。) i n n ( g 2 ) l ，因此 i n n ( g ) 伊= i n n ( g i ) xi n n ( g 2 ) 这样我们就可以得到 9 青岛大学硕士学位论文 a u t 。( g ) i n n ( g ) 兰( a u t 。( g l xa u t 。( g 2 ) ) i n n ( g ) 妒 2 ( a m 。( g 1 ) a m 。( g 2 ) ) o n n ( g , ) i n n ( g 2 ) ) ， 又由引理2 2 ( 2 ) 知a u t 。( g ) i n n ( g ) 兰a u t 。( g i ) i n n ( g i ) xa u t 。( g 2 ) i n n ( g 2 ) 即 o u t 。( g ) 兰o u t 。( g 1 ) o u t 。( g 2 ) ， 此引理证毕 作为定理2 4 的一个直接推论，我们有下面的结果： 推论2 5 设g = g i g 2 q ，则o u t 。( g ) = l 当且仅当 o u t 。( q ) = 1 ( i = l ，2 ，刀) 1 0 第3 章有限群的中心自同构与类保持自同构的关系 第3 章有限群的中心自同构与类保持自同构的关系 在这一章中，通过研究有限群的类保持自同构和中心自同构的交，借助于中心自 同构的性质，给出了一些有限p 一群的类保持自同构是内自同构的一些充分条件 我们注意到一般地i n n ( c ) 不是a u t c e n t ( g ) 的子群，但我们可以证明： 定理3 1 设g 是有限群，若o u t 。( g z ( g ) ) = l ，则a u t 。( g ) = a u t 。c e n t ( g ) i n n ( g ) 证明对于任意盯a u t 。( g ) ，由引理1 9 知1 7 i 肌g ，a u t 。( g z ( g ) ) 又由定理假 设可得盯i g ，z l g ) i n n ( g z ( g ) ) ，所以存在口z ( g ) o z ( g ) ，使得盯b z l g ) c o n j ( a z ( g ) ) 这样对任意x g ，我们有 ( 圮( g ) ) 仃= x 口z ( g ) = ( 记( g ) ) 砣砸= x z ( g ) ， 所以存在乙z ( g ) 使得，= x a 乙= ( 弘) 4 我们定义r ：g go h 锻矿a 一) ，下证r a u t 。( g ) 显然f 是映射 设a x 口a 一= a y 仃a 一，则，= y 矿，从而x = y ，所以f 是单射 对任意g g ，令工= ( 口一1 9 a ) 旷eg ，则锻4 a = a ( 1 一g a a = g ，即x 7 = g ，所以r 是满射 对任意y g ，我们有 ( x y ) 7 = a ( x y ) 萨a = 麟。y a 一= ( a x 口a 。1x a x 口a 。1 ) = x f y 7 ， 所以f a u t ( g ) 又由矿a u t 。( g ) 知，对任意x g ，存在a o g ，使得x 口= x 这样我们得到 石7 = a x 4 a t = a x a “a = x q 口- x “。 所以f a u t 。( g ) 注意到x 7 = 戤口a 一= 口( q ) 4 a 一= x z x ，所以f a u t c e n t ( g ) ，从而我们有 f a u t 。e e n t ( g ) 又由f 的定义知1 7 = c o n j ( a ) r ，所以仃i n n ( g ) a u t 。c e n t ( g ) ，于是 a u t 。( g ) i n n ( g ) a u t 。c e n t ( g ) ， 这样我们得到 a u t 。( g ) = i n n ( g ) a u t 。c e n t ( g ) = a u t 。c e n t ( g ) i n n ( g ) 性质3 2 设g 是有限群，则a u t 。c e n t ( g ) 到h o m ( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) 之间存在 一个群的单同态 证明任取a u t 。c e n t ( g ) ，定义 沙：g g 7nz ( g ) ( ghg _ 9 9 ) ， 青岛大学硕士学位论文 我们来证明沙是一个群i 司态 因为a u t 。c e n t ( g ) = a u t 。( g ) na u t c e n t ( g ) ，所以由a u t c e n t ( g ) 知 g 叫g ，z ( g ) 另一方面，由矿a u t 。( g ) 知g g g ，所以g - 1 9 g - 1 9 g = 【g ，g 】g ，于是 g - 1 9 一g n z ( g ) ，从而y 的定义是合理的 设g g ，我们有 ( g g ) r = ( g g ) 一1 ( g g ) ，= ( g ) - 1 9 g 一( g ) ，= g g 一( g ) - 1 ( g ) ，= g y ( g ) y ， 故沙是同态 我们注意到该同态将g ，z ( g ) 映射到1 ，因此上述同态诱导了一个群同态 以：g g z ( g ) 寸g n z ( g ) ( g g z ( g ) h g 。1 9 ，) 定义 p ：a u t 。c e n t ( g ) 专h o m ( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) ( h 以) ， 显然p 是单射，下证p 是一个同态 事实上，任意红，欢a u t 。c e n t ( g ) ，注意到办a u t 。( g ) 且g g 如z ( g ) ，我们有 ( ；g ，z ( g ) ) = g 一1 9 一屯= g 一( g g 一g 如) = ( g 一1 9 一) ( g 一1 9 屯) = ( g g ，z ( g ) ) 厶( g g ，z ( g ) ) 如= ( g g ，z ( g ) ) 厶如， 所以厶屯= 厶厶，即( 磊唬) p = 识p 珐，f g 以, 是同态，证毕 注3 3 如果记 h o r n 。( g g z ( g ) ，g 7 nz ( g ) ) = 厂h o m ( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) i ( g g z ( g ) ) 【g ，g 】，g g 则h o m 。( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) 是h o m ( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) 的子群由性质3 2 知 以h o m 。( g g z ( g ) ，g n z ( g ) ) ， 这样我们得到 a u t 。c e n t ( g ) 兰h o m 。( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) 定理3 4 设g 是有限群，我们有如下基本结论： ( 1 ) 若g 是p 一群，则h o m ( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) 也是p 一群： ( 2 ) 设g 是幂零群，则h o m ( g g ，z ( g ) ，g nz ( g ) ) = l 当且仅当g 是阿贝尔群： ( 3 ) z ( i n n ( g ) ) a u t 。c e n t ( g ) ca u l 。i f ( z ( g ) ) ： ( 4 ) 设g 是幂零类为2 的有限p 一群，则a u t 。c e n t ( g ) = a u t 。( g ) ，特别地，我们有 i n n ( g ) a u t 。c e n t ( g ) ： ( 5 ) 设g 是幂零类为3 的有限p 一群，则a u t 。c e n t ( g ) i n n ( g ) ： 1 2 第3 章有限群的中心自同构与类保持自同构的关系 ( 6 ) 若h o m ( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) 兰z ( i n n ( g ) ) ，则a u t 。c e n t ( g ) = z ( i r m ( g ) ) 证明( 1 ) 任取h o m ( g g z ( g ) ，g n z ( g ) ) ，g g ，令o ( g ) = p ”，则有 ( g g ，z ( g ) ) 。= ( ( g g ，z ( g ) ) ) 矿= ( g p 。g ，z ( g ) ) ，= ( g ，z ( g ) ) ，= l ， 所以d ( ) i p ”，从而h o m ( g g z ( g ) ，g n z ( g ) ) t g 是p 一群 ( 2 ) 若g 是阿贝尔群，则g = l ，g = z ( g ) ，所以 g nz ( g ) = l ，g g z ( g ) = g z ( g ) = l ， 于是 h o m ( g g z ( g ) ，g n z ( g ) ) = 1 反之，我们有g = g z ( g ) = z ( g ) ，从而g 是阿贝尔群 ( 3 ) 任取o ea u t 。c e n t ( g ) ，则有o ea u t 。( g ) ，所以对任意z z ( g ) ，有 ，z g = z ，因此，- z ，于是口e c a 哦删l ( z ( g ) ) ，从而 a u t 。c e n t ( g ) c a 。咖州) ( z ( g ) ) 另一方面， a u t 。c e n t ( g ) = a u t 。( g ) na u t c e n t ( g ) i n n ( g ) na u t c e n t ( g ) = z ( i n n ( g ) ) 为了完成( 4 ) 的证明，我们还需要下面的引理： 引理3 5 设g 是幂零类为2 的有限p 一群，则a u t 。( g ) 到h o m ( g z ( g ) g ) 之间 存在一个群的单同态 证明任取a u t 。( g ) ，则 沙：gj g 7 ( ghg 叫g 一) 是一个同态我们注意到少将z ( g ) 映射到l ，所以上述同态诱导了群同态 石：g z ( g ) 一g ( g z ( g ) h g 。g ，) 定义 伊：a u t 。( g ) _ h o m ( g z ( g ) g ) ( h 以) ， 显然伊是单射又对任意识，欢a u t 。( g ) ，我们有 ( g z ( g ) ) = g - t g 如= g - i ( g g 一g 如) 一= ( g 一g x g 一1 9 如) = ( g z ( g ) ) 厶( 澎( g ) ) 如， 于是厶屯= 厶厶，所以妒是单同态 注3 6 我们注意到以h o m 。( g z ( g ) g ) ，因此在引理3 5 的条件下，我们有： a u t 。( g ) 兰h o m 。( g z f g ) ，g ) 下面我们来完成结论( 4 ) 的证明： 因为g 是幂零类为2 的有限p 一群，所以g z ( g ) ，由注3 3 知 a u t 。c e n t ( g ) 兰h o m 。( g z ( g ) ，g ) ， 再由注3 6 知a m 。e e n t ( g ) 兰a u t 。( g ) 又因为 a u t 。c e n t ( g ) = a u t 。( g ) na u t c e n t ( g ) a u t 。( g ) ， 所以a u t 。c e n t ( g ) = a u t 。( g ) ( 5 ) 因为g 是幂零类为3 的有限p 一群，所以g 有上中心列 l = z o ( g ) z l ( g ) = z ( g ) z 2 ( g ) z 3 ( g ) = g ， 从而我们可以得到 l = z l ( g ) z ( g ) z 2 ( g ) z ( g ) g z ( g ) = z 3 ( g ) z ( g ) ， 即 l = z o ( g z ( g ) ) z l ( g z ( g ) ) z 2 ( g z ( g ) ) = g z ( g ) ， 因此g z ( g ) 的幂零类为2 由g z ( g ) 兰l n n ( g ) 知i n n ( g ) 的幂零类为2 ，则 i n n ( g ) z ( 1 n n ( g ) ) a u t 。c e n t ( g ) ( 6 ) 由性质3 2 知a m 。c e n t ( g ) 同构于h o m ( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) 的一个子群， 所以 i a u t 。c e n t ( g ) l h o m ( g g z ( g ) ，g nz ( g ) ) i = i z 。( q ，从而( 口。 。= ，再由x 的任意性即得d 在彳上的 共轭作用保持彳的任意循环子群不变另一方面，对任意口a ，因为d 在 上有作 用，所以存在同态 p ：d a u t ( 妇) ) ， 因此 d k e r p = d c d ( ) 兰i m p a u k ( a ) ) 由定理1 1 3 知a u t ( ( a ) ) 是阿贝尔群，所以d c d ( ) 也是阿贝尔群，于是 d c d ( ( 口) ) ，从而d ，中心化口，由口的任意性知中心化彳 因为a 是阿贝尔群，所以我们可以设彳= m xn ，其中m ，是g 的非平凡正规 子群，这样我们可以通过归纳假设仃诱导了g 上的一个内自同构，不妨设 仃= c o n j ( n g ) ，g g 记g = x a ，其中x d ，a a ，则对任意y d ，因为d s ，仃固定s 中的元，所 以 1 4 y = , 4 y 盯= , 4 y g = 1 4 y 期= a a 一1 y 。口= 1 4 y 。， 从而，y - 。a ，再由y 。y 一d 可得y 。y _ 1 d n , 4 = 1 ，即y x = y 这样我们得到 x z ( d ) d c ( ；( 彳) 于是对于任意朋m ，我们有 n m 4 = ( n m ) 4 = n m ”= n m 4 = n m 对于任意s g o g ，g o g = d a = d m n ，我们记 1 7 青岛大学硕士学位论文 g o = 而，l d ，其中x o d ，m o m ，n o n ， 则 ( n g o ) 口= ( n x o m o n o ) 口= ( n x o 口x n m o 口x n n o ) = n x o m o n o = n g o ， 即仃诱导了g n 上的恒等映射，同理仃诱导了g m 上的恒等映射，从而我们任取 g o g ，有 u g o 口= ( g o ) 一= u g o ，m g o 一= m g o ， 于是g o 口g o - mn = l ，g o d = g o ，所以c r = i d 由以上结果我们可以假设a 是一个循环p 一群若p = 2 ，则g 的s y l o w2 一子群 为g ，由定理假设和引理1 1 2 ( 1 ) 知o u t 。( g ) = 1 下面我们假设p 为奇素数 设a = ( 口 ，由定理1 1 4 知a u t ( a ) = s xt ，其中r 是一个p l 阶循环群，s 是一 个p 一群因为d d 是k l e i n 四元数群，所以d d 同构于a u t ( a ) 的一个子群，而 i d d 卜4 是偶数，因此d d 就同构于丁的一个子群注意到r 是循环的，d 不 是循环的，所以d 在a 上的作用不忠实，于是存在y d ，使得y 与彳中每个元可 交换又由盯a u t 。( g ) 知存在g = a o x g ，其中a o 彳，x d ，使得 ( 缈) 口= a 口y 圹= ( 缈) 片= ( a y w = ( 缈) 。= a 。y 。， 于是我们就有( 矿) a 4 = y x ( 厂) 一由d 在a 上的作用保持a 不变可知a 。a ，因此 ( 口。) 叫口口= y 工( j ，4 ) 。1ea n d = l ， 则a 。= a 4 ，y 。= y 4 = y ，于是我们可以得到( z ，y ) ： ( 1 0 ) g = ( 口，b ，c p = 1 = 6 p = c p ，【口，b l = b ，c 】= l ，【口，c 】_ 6 ： ( 1 1 ) g = ： ( 1 2 ) g = ： ( 1 3 ) g = ， 但一一t ： ( 1 4 ) g = ： ( 1 5 ) p 3 时，g = 3 时，g 有p 3 阶初等阿贝尔子群h ，hqg ，从i 而ig h 是循环群，由引理1 12 ( 2 ) 知o u t 。( g ) = 1 p = 2 时，2 4 阶群共有1 4 种类型( 1 8 ) 。 2 0 ( 一) 交换群的情况： ( 1 ) 循环群c o ： ( 2 ) 初等交换群： 、 ( 3 ) c ，c 2 型交换群： ( 4 ) c ：c ：型交换群： ( 5 ) c ：c 2 c 2 型交换群 ( 二) 非交换群的情况： ( 6 ) g = ( 口，6 l 口3 = l = b e , b a b = q - i ( 二面体群幺) ： ( 7 ) g = ( 口，6 i 口8 = l = 6 2 ，b a b = 口3 ： ( 8 ) g = ( 口，6 i 口8 = l = b 2 , b a b = a 5 ： ( 9 ) g = ( 广义四元素群岛) ： ( 1 0 ) g = ： ( 1 1 ) g = ( 口，b , c i 口4 = 6 2 - c 2 = l ，b a b - a ，c 一1 9 i c = 口，【6 ，c 】= 口2 ： ( 1 2 ) g = ( 口，b , c l 口4 = 6 2 = c 2 = l ，b a b = 口，c 。1 a c = a 1 - 1 ，【6 ，c 】= l ： ( 1 3 ) g = ( 口，b , c i 口4 = 6 2 = l ，c 2 = 6 2 , b a b = 口，c 。a c = a - i 【6 ，c 】= l ： ( 1 4 ) g = ： 我们只证非交换群的情况 若g 为( 6 ) 一( 9 ) 。则g 有2 3 阶元，从而有2 3 阶循环子群，由引理1 1 2 ( 2 ) 知 o u t ，( g ) = 1 若g 为( 1 0 ) 一( 1 3 ) ，则g 有2 2 阶循环子群，由引理5 2 知o u t 。( g ) = 1 若g 为( 1 4 ) ，则g 有2 3 阶正规子群，由引理1 1 2 ( 1 ) 知o u t 。( g ) = 1 ，证毕 2 1 参考文献 参考文献 【1 】a c a y l e y ，o nt h et h e o r yo fg r o u p sa sd e p e n d i n go nt h es y m b o l i ce q u a t i o n0 “一1 , p h i l m a g ，1 8 5 4 ，7