（基础数学专业论文）具有断面的ar半环.pdf

摘要 本文研究的出发点是用s k e w 环、6 - 格、幂等半环和a ，一半环为基本 构件，建立某些半环的代数结构首先引进了具有a ，一断面的a 融半环的概 念，为了获得具有广义c l i f f o r d 半环断面的a o 半环的结构，给出了具有 s k e w 一环断面的a 尼半环的结构进而以具有s k e w 一环断面的a 尼半环和 6 _ 格为基本构件，刻画了具有广义c l i f f o r d 半环断面的a o 一半环的结构 虽然a r - 半环的a ，一断面不惟一，但获得结果表明a r - 半环的a ，一断面彼 此是同构的另一方面，定义了分裂a o 一半环，用幂等半环和a ，半环建立 了分裂a o 半环的结构定理文中给出的例子说明了分裂a o 一半环、广义 c l i f f o r d 半环断面的a o 一半环和完全正则半环三类半环的关系 关键词：a o 一半环，a l 断面，s k e w 环断面，广义c l i f f o r d 半环断面， 分裂a 口半环，分裂幂等半环 1 l a b s tr a c t i nt h i st h e s i sw em a i n l ye x p l o r ec o n s t r u c t i o n so fs e v e r a lc l a s s e so fa 皿 s e m i r i n g sb ys k e w r i n g s ，b - l a t t i c e s ，i d e m p o t e n ts e m i r i n g sa n da i s e m i r i n g s f i r s t l v w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fs e m i r i n gt r a n s v e r s a lt oa r - s e m i r i n g s i no r d e rt oo b t a i nt h ec o n s t r u c t i o n so fa o s e m i r i n g sw i t h ag e n e r a l i z e d c “ff o r ds e m i r i n gt r a n s v e r s a l ，w eg i v ea c o n s t r u c t i o no fa r - s e m i r i n g sw i t ha s k e w - r i n gt r a n s v e r s a l a n dt h e nw ed e s c r i b ea c o n s t r u c t i o no fa 忍- s e m i r i n g s w i t hag e n e r a l i z e dc l i f f o r ds e m i r i n gt r a n s v e r s a lb ya r - s e m i r i n g sw i t h s k e w r i n gt r a d s v e r s a l sa n db - l a t t i c e s a na r - s e m i r i n gm a y c o n t a i ns e v e r a ld i f f e r - e r l ta ，t r a n s v e r s a l s ，b u tw h a tw eg e ts h o w st h a ta l lt h ea i - t r a n s v e r s a l so f a na 尼s e m i r i n ga r em u t u a l l yi s o m o r p h i c 0 nt h eo t h e rh a n d ，w ed e f i n et h e s p l i ta o s e m i r i n g t h e ng i v ea s t r u c t u r et h e o r e mf o rs u c hs e m l r l n g sb y1 d e l n 。 p o t e n ts e m i r i n g sa n da i s e m i r i n g s a tl a s t ，s o m ee x a m p l e s a r eg i v e nt os h o w t h er e l a t i o na m o n gc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i r i n g s ，s p l i ta o s e m i r i n g sa n d t h e a o s e m i r i n g sw i t hag e n e r a l i z e dc l i f f o r ds e m i r i n gt r a n s v e r s a l k e y w o r d s ：a o s e m i r i n g ，a i t r a n s v e r s a l ，s k e w r i n gt r a n s v e r s a l ，g e n e r - a l i z e dc l i f f o r ds e m i r i n gt r a n s v e r s a l ，s p l i ta o s e m i r i n g ，s p l i ti d e m p o t e n t s e m i r i n g n 1 l v 目录 摘要 i 前言 1 第一章具有a j - 断面的a o 一半环 5 1 1 预备知识 5 1 2 s k e w 一环断面7 1 3 广义c l i f f o r d 半环断面1 1 1 4a j 一断面的同构定理2 4 第二章分裂a o 半环 2 5 2 1 预备知识2 5 2 2 分裂a o 一半环的概念2 8 2 3 分裂a o 一半环的结构定理3 0 2 4 例子3 8 参考文献47 致谢 5 1 v 目录 u l 日i j昌 设s 是非空集合，其上有两个二元运算：+ ( 加法) 和( 乘法) ，如 果s 对加法和乘法都构成半群，并且乘法对加法的分配律成立，即：对任意 a ，b ，e s ， a ( b + c ) = a b + a c ， ( b + c ) a = b a 十c a 就称( s + ，) 是半环 半环的概念自从1 8 9 4 年被d e d e k i n d 首先提出来后，诸多研究者尝试从 半群理论、环论研究它作为应用深入到泛函分析、组合数学、拓扑学、图 论、欧几里德几何、概率论、交换、非交换环论、最优化论、离散动力系统、 自动机理论、形式言语理论、量子物理的数学模型和平行计算系统等等 1 6 】 对半环的结构研究，一方面可以看成环和格的扩张，另一方面可以看成 两个半群通过与环类似的分配律联系起来的代数近几十年来，许多代数学 者从半群的角度出发研究半环比如，p a s t i j n ，r o m a n o w s k a ，郭聿琦等学者 在半环中引入幂等半环，这类半环的加法部分和乘法部分都是带，而在很多 方面，它们所起的作用与半群中的带的地位相似 加法正则半环是半环代数理论研究中的的一个热点 k a r v e l l a s ( 1 9 7 4 ， 2 1 ) 引入了加法逆半环，它们的加法部分是逆半群z e l e z n i k o w ( 1 9 8 1 ，【4 3 ) 首次提出加法正则半环1 9 8 2 年b a n d e l t 和p e t r i c h 在文 2 中引入了半环 上的“b a n d e l t p e t r i c hc o n s t r u c t i o n ”，刻画了结构为“分配格与环的次直 积”的加法正则半环g h o s h 在【1 7 】中建立了“半环的强分配格”的结构，这 一结果包含了 2 中“b a n d e l t p e t r i c hc o n s t r u c t i o n ”的结果，而且刻画了具 有“分配格与环的次直积”结构的这一类半环该文引入了c l i f f o r d 半环， 即加法幂等元集既是分配格又是k - 理想的加法交换逆半环，证明了半环是 c l i f f o r d 半环当且仅当它是环的强分配格2 0 0 5 年，s e n ，m a i t y 和s h u n ： 2 9 】 重新定义c l i f f o r d 半环为：加法幂等元集是既是分配格又是k - 理想的完全 正则加法逆半环( 加法不一定可交换) ，并且证明了一个半环s 是c l i f f o r d 半环当且仅当s 是s k e w 一环的强分配格更进一步地推广，他们还证明了一 个半环s 是广义c l i f f o r d 半环当且仅当s 是s k e w 一环的强6 - 格s e n 和 2 前言 m a i t y 3 0 1 也将完全正则半群的概念推广到半环中去，定义了完全正则半环， 证明了一个半环s 是完全正则半环当且仅当s 是完全单半环的6 - 格 在半群领域中，1 9 8 2 年b l y t h 和m c f a d d e n 4 1 首先在正则半群中引入逆 断面的概念：设s 是正则半群，s 的逆子半群9 称为s 的逆断面，如果s 的 每一个元在s 。中有且只有一个逆元他们还给出具有可乘逆断面的正则半 群的完整刻画这种方法可以通过半群的某些性质比较好的子半群来有效地 把握整个半群，从而达到由局部控制整体的目的近二十几年来，对半群的各 种断面的研究成为半群代数理论研究领域的一个活跃的课题例如，1 9 8 3 年， m c a l i s t e r 和m c f a d d e n 2 4 1 描述了如何构造具有拟理想逆断面的正则半群 1 9 8 9 年，s a i t o 3 7 用i = z z 。i x s ) ，a = z 。x l x s ) 和断面酽给出了 具有逆断面的正则半群的刻画惟一不足的是当时j 和a 是否构成子半群 尚不清楚1 9 9 7 年，唐西林 3 9 不仅证明了j 和a 是子半群，还证明了，和 人分别是左正则带和右正则带，而且还给出了逆子半群成为逆断面的充要条 件为了推广逆断面，1 9 9 9 年，陈建飞 8 】在正则半群中引进纯整断面并给出 具有拟理想纯整断面的正则半群的结构定理出于和陈建飞同样的目的，李 勇华( 2 0 0 2 ，【3 1 ) 为正则半群定义了强正则木一断面和正则木一断面，并且刻画 了具有强正则水一断面的正则半群的结构在 3 2 ( 2 0 0 6 ) 他进一步地描述了 具有正则木一断面的正则半群的一般结构 在非正则半群中，富足半群是正则半群的扩张；拟恰当半群是纯整半群 的扩张；恰当半群是逆半群的扩张1 9 9 3 年，e 1 一q a l l a l i 11 1 为富足半群引进了 恰当断面的概念，并给出了满足正则条件( 即所有正则元构成子半群) 具有 可乘类型a 断面的富足半群的结构2 0 0 2 年，郭小江【1 8 研究了具有可乘 恰当断面的富足半群，而且建立起此类半群的结构2 0 0 9 年，倪翔飞【3 4 】在 富足半群中引入拟恰当断面的概念，并给出了具有可乘拟恰当断面的富足半 群的结构定理 本文考虑用半群的技术，以结构简单而清楚的半环为基本构件研究加法 正则半环( 简称a 尼半环) 在a 戽半环中首次引入a ，断面的概念，通过 断面把握整体的技术，讨论研究了几类具有a ，断面的a o 一半环的结构 第一章，定义了a 戽半环的a ，一断面，即：设s 是a r - 半环，s 的a ， 子半环铲称为s 的a ，一断面，如果s 的每一个元在s 。中有且只有一个加 法逆元之后，先研究了具有s k e w 一环断面的a r 一半环，描述了其结构接 前言 3 着，对具有广义c l i f f o r d 半环断面的a o 一半环进行分析讨论，以具有s k e w 环断面的a 尼半环和b - 格为基本构件，获得了具有广义c l i f f o r d 半环断面 的a d 一半环是具有s k e w 一环断面的a r - 半环的6 - 格为了得到其精细结构， 借助半群中具有逆断面的正则半群的研究方法，用子半环i = z + z 。i z s ) ，a = z 。+ x l x s ) 和广义c l i f f o r d 半环酽刻画了该类半环的结构 最后，给出具有广义c l i f f o r d 半环断面的a o 一半环例子说明此类半环不一 定是完全正则半环由于断面不是惟一的，为此证明了a 硪半环的所有a l 断面都是相互同构的 在具有逆断面的正则半群类中，分裂纯整半群不仅仅是一种特别的具有 逆断面的正则半群，更是逆断面的思想起源之一最早于1 9 7 8 年由m c a l i s t e r 和b l y t h 所研究，他们在文献 2 3 中给出了分裂纯整半群的定义：设t 是纯整 半群，设4 ：t - - + t ，y 是自然同态，称t 是分裂的，如果存在同态7 r ：t ? 一t 使得7 r j = i d t 1 ( i d t 1 是r 7 上的恒等映射) 而且还用t 的幂等元之集带 b ，由b 生成的逆子半群s 和m u n n 同态p ：s _ 珏( 研为构件给出分裂纯 整半群的结构1 9 8 5 年，e 1 - q a l l a l i 1 0 1 研究了满足幂等元交换的分裂拟恰当 半群，并推广了分裂纯整半群的结果2 0 0 5 年，李勇华 3 3 】研究了分裂p 一正 则半群，把分裂纯整半群主要结果推广到p 一正则半群上 第二章，在a o 一半环中引入分裂a d 一半环：设t 是加法幂等元构成幂 等子半环的a o 一半环，令4 ：t _ t 7 是自然同态那么称t 是分裂的，如 果存在半环同态_ 7 r ：t 7 - t 使得丌4 = i d t ，这里的，y 是a o 一半环上的 最小a ，一半环同余用，和i m r r 构造了分裂a o 一半环的结构最后，给出 若干例子说明分裂a o 一半环、具有广义c l i f f o r d 半环断面的a o 一半环和 完全正则半环的关系 4 前言 第一章具有a ，一断面的a o 一半环 在这一章，首次在a r - 半环中引入a ，一断面，并研究了具有广义c l i f f o r d 半环断面的结构在第1 小节中，在定义了a r - 半环中的a j 一断面之后，先回 顾了具有逆断面的正则半群上的一些性质，在这些性质的基础上，讨论出具有 a 断面的a 尼半环上的一些有用性质在第2 小节中，研究具有s k e w 一环 断面的a r - 半环的一些性质，并给出了该类半环的结构在第3 小结中，先回 顾了广义c l i f f o r d 半环的一些重要性质和结论，然后对具有广义c l i f f o r d 半环断面的4 0 一半环进行分析讨论，得到了该类半环的粗糙结构，即：具有 广义c l i f f o r d 半环断面的a 0 一半环是具有s k e w 环断面的a 硪半环族的 厶- 格为了得到其精细结构，借助半群中具有逆断面的正则半群的研究方法， 对它们进入深入讨论，最后得到了该类半环的结构并给出例子，说明此类半 环不一定是完全正则半环第4 小节中，由于a r - 半环的a j 一断面不惟一， 所以此节证明了a 融半环的所有a j 一断面都是相互同构的 1 1 预备知识 首先，声明下面的定理将会在本文中多次使用到： 定理1 1 1 ( m i l l e r - c l i f f o r d 定理) 硼( 1 ) 设e 和厂是半群s 中有勿关系的 两个幂等元则7 nc ，中的每个元素a 在冗，nc 。中存在惟一的逆元a 7 ， 使得a a 7 = e 和a a = ，i ( 2 ) 设a ，b 是半群s 中的元素则a b 冗口nf - b 当且仅当冗6n 。存在 幂等元 现在，称一个半环( s + ，) 为a 尼半环，如果它的加法半群( s ，+ ) 是 正则半群类似地，一个半环( s + ，) 被称为a o 一半环若其加法半群( s ，+ ) 是纯整半群；a i 一半环则是一类加法半群( s ，+ ) 为逆半群的半环出于方便， 一下文中半环( s ，+ ，) 简记为s 在这一部分，先给出a ，一断面的定义，再罗列一些关于具有逆断面的正 则半群的基本结果 5 6 第一章具有a ，断面的a o 半环 定义1 1 2 设s 是a r 一半环，酽是s 的a ，子半环称s 。是s 的a ， 断面，如果对s 中的每一个元素易在s 。中存在惟一的加法逆元若存在， 则记该惟一的加法逆元为z 。，并简记( z 。) 。为z ” 按a ，断面的定义，可以知道如果a 尼半环s 具有有a ，断面s 。，那 么( p ，+ ) 足( s ，+ ) 的逆断面 3 引理1 1 3 ( ? 刁中的r e s u l t ( j 5 ) 和p r o p e r s i t i o nj 8 ) 如果正则半群s 具有逆断面s 。，那么 ( 1 ) 对任意z s ，z 。o = z 。； ( 2 ) 对任意z ，y s ，( z 。+ 可) 。= y 。+ z 。，( z + 可。) 。= y 。+ z 。 s 为具有a j 一断面的a 硪半环，则下面是e + ( s ) 的两个特别重要的子 集： 和 厶：垒x s ：z = z + z 。) = x s ：z 。= z 。+ z ) = x + z 。：z s ) ， 人。全_ z s ：z = z 。+ z ) = z s ：z 。= z + z 。) = z 。+ z ：z s + 如果i e + ( s ) n7 - 1 z i 彩，那么咒z 中惟一的加法幂等元记为0 z 下面的 引理1 1 4 罗列的是 3 7 ， 3 9 中的一些结果 引理1 1 4 设s 为具有a j 一断面的a r 一半环那么以下结果为真? + ( 1 ) i 。= e + ( s ) n ( u 。6 e + ( s 。) 。) 和人。= e + ( s ) n ( u 。e + ( s 。) 冗。) ( 2 ) ( 厶，+ ) 和( a 。，+ ) 分别是左正则带和右正则带且厶na 。= e + ( 酽) ( 3 ) ( s ，+ ) 为纯整半群当且仅当对任意x ，y ( s ，+ ) 都有( z + 可) 。= 可。+ z 。 出于本文的目的，还需要更多关于a ，一断面的性质 j 2s k e w 一环断面 7 引理1 1 5 设( s ，+ ，) 是具有a i 一断面s 。的a r - 半环那么，厶和a o 都 是s 的子半环 + 证明：对任意z ，y i o ，x c x 。和可c 剪。 得到z 可之z 。可。e + ( s 。) ，因此z 可厶 + 注意到c 是( s ，) 的乘法同余可以 口 引理1 1 6 设( s ，+ ，) 具有a i 一断面s 。的a r 一半环那么对任意z ，y s ， ( 1 ) ( z 。可) 。= ( x y 。) 。= x 。y 。和z 。y 。= ( x 。y 。) 。= x 。y 。i ( 2 ) 如果( z + 可) 。= y 。+ 矿，那么( z 可) 。= x 。y ”( = z 0 0 y 。) 和( x y ) ”= z 。y 。= z 。y 。”= z 。y 。= z 。y 。 证明：( 1 ) 由x 。y t - x 。y 。- t - x 。y = z 。( 可+ y 。+ y ) = x 。y 和x 。y 。+ x 。y - t - x 。y 。= 矿( y 。- t - y - t - y 。) = x 。y 。，可得x 。y 。v + ( z 。y ) ns 。，因此( z 。可) 。= x 。y 。类似 地，( z 耖。) 。= x 。y 。和z 。可。= ( x 。y 。) 。= x 。y 。 ( 2 ) zxyy。+1zx可y。+1zx可y。 第二部分易证口 删专 ( z y + z 圹+ z 可) 。= ( z y ) 。 x y 。i ( x y 。+ x y + x y 。) 。= ( x y 。) 。 净j ( z ) 。+ ( x y - t - z 夕。) 。= ( z 秒) 。 【( x y 。) 。+ ( x y 。+ z y ) 。= z 。y 。 ( z 耖) 。+ ( x y 。) 。+ ( z 可) 。= ( x y ) 。 x 。y 。+ ( x y ) 。+ ( x y 。) 。= x 。y 。 号 咖x y ) 叫o + z 训o y o 。+ w ( z y 圹) o 号( x y ) 。= ( x 。y 。) 。= x 。y ”( = z 。y 。) 1 2s k e w 环断面 在这一部分，开始研究具有s k e w 一环断面的a o 一半环的基本性质和结 构当然，这种半环是存在的且不一定是完全正则半环，例如：设s 是s k e w 一 ，、【 8 第一章具有a ，断面的a o 一半环 环，n 是自然数半环，容意验证n s n 关于以下运算构成半环：对任意 ( i ，z ，歹) ，( m ，y ，礼) n s n ( i ，z ，j ) + ( m ，y ，n ) = ( i ，z + y ，n ) ( i ，z ，j ) ( m ，y ，礼) = ( i m ，x y ，j n ) 并且容易证明 s 。= ( o ，x ，0 ) ：x s ) 为s 的s k e w 一环断面但是，对任意i n 4 ，( i ，0 ，i ) e + ( s ) ，有( i ，0 ，i ) ( i ，0 ，i ) = ( i 2 ，0 ，i 2 ) ( i ，0 ，i ) ，所以s 不是完全正则半环 出于简明，在这整一部分始终假设s 是具有s k e w 环断面酽的a r - 半 环因此( s + ) 纯整半群，亦即e + ( s ) 构成( s ，+ ) 的子半群而且，e + ( s ) s 三e + ( s ) ，s e + ( s ) 冬e + ( s ) 结果e + ( s ) 是s 的理想 如果s 。是s 的s k e w 一环断面，那么( s 。，+ ) 是( s ，+ ) 的群断面而且， s 。是s 的一个咒一类，并且口= s s ，因为对s 中的每一个z 都有x d x o 因此s 只有一个口一类记( s 。，+ ) 中的惟一单位元为0 。 + 命题1 2 1 ( 1 ) 对任意z ，y s ，如果7 - l z 和咒| 都含有加法幂等元，那么 + 死z 掣也含有加法幂等元且z o = 0 = 0 = 0 。可= o x y + ( 2 ) 对任意x s ，7 - l zne + ( s ) 乃 ( 3 ) 对任意e l o ，a 。，厂+ e = 0 。 ( 4 ) 对任意e 厶，a 。，s e = o 。e + s o 。且e l 厂= e 0 。+ 0 0 厂 证明：( 1 ) 因为咒是s 上的乘法同余，所以x t - 0 。且秒咒o ，由此可推出0 = y ， 0 = 0 9 ，z 0 ? - z ! ，ne + ( s ) ，因此x 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = y ( 2 ) 对任意x s ，( z + z 。) + ( 矿+ z ) e + ( s ) ，因为( s ，+ ) 是纯整 半群而且厶托。n7 1 乙。机含有加法幂等元0 。，所以( z + z 。) + ( z o + x ) + 冗外z 。n 厶。扣= 7 - 。 ( 3 ) 直接验证可得 ( 4 ) 注意到砑口c 都是s 上的乘法同余那么0 。佗，蕴含e 0 。冗e 厂和0 。c e 蕴含o o f l e f 因为每一个饨一类都含有加法幂等元，所以对任意z ，y s ，( z + 工2s k e w 一环断面 9 y ) 7 乙n 岛因此( e o 。+ o 。，) 冗。，nc 。，= 7 - l 。，且e i = e o 。+ o 。y 类似 地，可以得到y e = o 。e + f o 。口 定理1 2 2 设g 是s k e w 一环，且令j 是加法部分为左零带且带有乘法幂等 元的半环和a 是加法部分为右零带且带有乘法幂等元的半环在集合 w = ixgxa 上定义加法和乘法为 ( i ，z ，a ) + ( j ，y ，p ) = ( i ，x + y ，p ) 知 ( i ，x ，a ) ( j ，y ，p ) = ( 填x y ，a p ) 那么w 是具有s k e w 一环断面的a d 一半环且该s k e w 一环断面同构于g 相反地，每一个具有s k e w 一环断面的a o 一半环都可以用这种方式来构造 证明：容易验证w 具有s k e w 一环断面的a o 一半环且该s k e w 环断面同构 于g 相反地，设s 为具有s k e w 一环断面s 。的a o 一半环由引理1 1 5 ，( i o ，+ ) 是加法部分为左零带且带有乘法幂等元0 。的半环，而( a 。，+ ) 为加法部分为 右零带且带有乘法幂等元0 。的半环因此可以构造半环w = i o s 。a 。， 而加法和乘法规定为 ( o i ，x ，o a ) + ( o j ，y ，0 p ) = ( o i ，x + y ，0 p ) 和 ( o i ，x ，o x ) ( o j ，y ，0 p ) 兰( o i j ，x y ，o 札) 现在，定义从到s 的映射妒为妒( ( o t ，x ，0 a ) ) = o i + z + o a 对任意z s ，x + x 。+ z ”+ z 。+ z = x 并且妒( ( z + 扩，x ”，z 。+ z ) ) = x 那么妒从w 到s 的满射如果对( o i ，z ，o a ) ，( o j ，y ，0 p ) w ，使得咿( ( o t ，x ，o a ) ) = ( ( 叱，y ，o p ) ) 那么o i + x + 0 a = 叱+ y + 0 p 因此， ( o i + x + o a ) 。= ( o y + y + 0 且) ” 兮o i 。+ z 。+ o 茹= 丐。+ y ”+ o ；o 兮0 。+ z ”+ 0 。= 0 。+ y 。+ 0 。 兮x ”= y 。辛z = y 第一章具有a ，一断面的a o 半环 而且， 0 i = o i + 3 7 + o a + o ；+ z 。+ o ； = ( 0 t + 3 7 + o x ) + ( o t + 3 7 十o a ) 。 = ( o j + 秒+ 0 p ) + ( o j + y + o p ) 。 = ( + y + 0 p ) + ( 0 0 p + 可。+ o ；) = o j 类似地，可以得到o x = 0 很清楚妒是双射 最后， 9 ( ( 0 ，z ，o x ) + ( o j ，可，0 p ) ) = 妒( ( o ，z + y ，0 p ) ) = o i + z + y + 0 “ = o i + x + 0 。+ y + 0 。 = o i + z + 0 a + o j + y + 0 = 妒( ( o i ，z ，0 a ) ) + 妒( ( q ，y ，o u ) ) 根据命题1 2 1 ， 妒( ( o ，z ，o x ) - ( q ，y ，o p ) ) = 妒( ( o i 叱，x y ，o a o p ) ) = 0 t 叱+ x y + 0 a 0 p = o i ( o j + 0 。) + o o ( o p + o j ) + x y + o o ( o p + 0 j ) + o a ( o 。+ 0 p ) = o t o j + ( o t o 。+ 0 。0 p ) + 0 0 0 3 + x y + 0 。0 p + ( o o o j + o a o 。) + o 入o p = o i o j + o i o “+ o o o j + x y + 0 。0 p + 0 a 嘭+ 0 a 0 卢 = o i o j + o ( o 。+ o “) + o 。o j + x y + 0 。0 p + o a ( o j + 0 。) + o a o p = 0 t 0 j + o i o 。+ 0 i o p + o 。o j + x y + 0 0 0 p + 0 a 叱+ o x o 。+ o x o p = o i o j + o i y + o i o “+ x o j + x y + z o p + 0 a o j + 0 a 可+ 0 a 0 p = ( o i + z + 0 a ) ( o j + 可+ 0 p ) = 妒( ( o l ，x ，o a ) ) 妒( ( o j ，! ，0 p ) ) 】3 广义c l i f f o r d 半环断面 因此妒是半环同构口 1 3 广义c l i f f o r d 半环断面 本节采用 2 9 】中的术语和记号 1 1 定义1 3 1 2 9 称( s + ，) 为b 一格，如果它的加法部分( s + ) 是半格而乘 法部分( s ) 是带 定义1 3 2 2 9 半环s 上的同余p 称为b 一格同余，如果s p 是b 一格称s 是半环族& ( a y ) 的b 一格y ，如果s 上存在b 一格同余p 使得y = s p 且每个& 都是p 类 定义1 3 3 2 9 设丁是b 格， & ：q t ) 是一族由t 中元素引导的两两 无交的半环对每一个q p t ，通过半环单同态丸，芦将& 嵌入到昂， 并且满足以下条件 ( 1 ) 九，q = 缸，是& 上的恒等映射 ( 2 ) q ，卢卢，1 = 口，1 ，如果o t 卢7 ( 3 ) & 九，卢昂咖，& 卢a 卢，7 ，如果q + p 7 ，亦即a + 卢+ a 卢7 在s = u & 上，对a & ，b 岛，定义加法手和乘法如下? ( 4 ) a + b = 口砂q ，q + 卢+ b 妒8 ，q + 卢 知 ( 5 ) a b = c & p 使得c 咖。卢，q + 卢= n 多口，q + 卢b 8 ，a + 芦 记该系统为s = ，并称其为& ，q t 的强b 一格 定义1 3 4 铡称完全正则半环( s + ，) 为广义c l i f f o r d 半环，如果其加 法部分( s ，+ ) 是逆半群且所有加法幂等元e + ( s ) 构成半环s 的k 一理想 定理1 3 5 【2 9 加法逆半环( s ，+ ，) 是广义c l i f f o r d 半环当且仅当其满足 以下条件? ( i ) a + a 7 = a 7 + n ； ( i i ) a ( a + a 7 ) = a + a l ； 1 2 第一章具有a ，一断面的a o 半环 ( 沈) 对任意a s ，如果对某些b s 有a + b = b ，那么a + a = a 这里的a 7 是s 中惟一满足以下条件的元素a 7 v + ( o ) ，a + a i = a 7 + a 且 a ( a + a 7 1 = a + a 7 显然，广义c l i f f o r d 半环也是a l 半环 定理1 3 6 剀半环s 是广义c l i f f o r d 半环当且仅当s 是s k e w - 环族的 强b 格 如果s 是广义c l i f f o r d 半环，那么歹= 口= 7 4 且s 歹是6 - 格 从现在起，考虑具有广义c l i f f o r d 半环断面的a o 半环为了简明，整 部分一直假设s 是具有广义c l i f f o r d 半环断面酽的a o 一半环 因为伊是广义c l i f f o r d 半环，所以它是一族两两无交半环s o = 的强6 - 格，对每一个q y ，畿既是s 。的子s k e w 一环又是酽 的丸一类对每一个最中的加法幂等元o 。，因为。三= 0 q ，所以记畿中的加 法幂等元为。三，且记。三+ o ；= o 。o + 卢和。三o ；= o 函 因为n ( s 。) 咒( s ) ，7 4 0 。( s 。) 7 4 0 。( s ) 另一方面，死o 。( s ) o 。( s ) n 7 巯。( s ) c 。( s ) n 冗。( s ) = s 。，所以饨o 。( s ) 是s 。的子s k e w 一环那么 咒o 。( s ) 他o 。( s 。) 因此，7 4 0 。( s 。) = “o 。( s ) ，这意味& 是s 的子s k e w 一环 + 和咒类 j 一 现在，证明s 的每一个刃一类只含有一个髭 j 一 命题1 3 7 对任意a s ，i d 口ne + ( s 。) i = 1 + 证明：对任意a s ，由( a + a o ) 。口。ne + ( s 。) 可知d 。ne + ( 酽) g 设 嚷，o ；去。me + ( 酽) 很明显，之魄n 壳。吕c 。n 冗。= s 。x cb 。之吆n 壳。 + 有b ”z ：o gn7 z o i 使得b 。+ b ”= 0 三和b 0 0 + b 。= o 暑因此，0 三= b 。+ b ”= b ”+ b 。= o 亦即i d 。ne + ( s 。) i = 1 得证口 因为每一个去一类只含有一个霞，所以记含畿的去一类为去a + 命题1 3 8 ( 1 ) 7 9 是半环s 上的同余，且s 口竺e + ( s 。) 兰y + ( 2 ) 对每一个q y ，d q 是s 的子半环 i 3 广义c l i f f o r d 半环断面 证明：( 1 ) 对a z ) o ；和b 7 9 0 ；，由( a + b ) d ( a + 6 ) 。= ( b 。+ a 。) 只+ 口可推出 ( a + b ) d o ；+ 8 = o 三+ o i ( 2 ) 对任意a ，b d ，( a + b ) v ( a + 6 ) 。= ( b 。+ a 。) 7 4 0 7 9 a 而且，由 a d o ；，b d o ；可推出a b d 0 ；0 ；= o 三，亦即a b d a 口 因为只是z ) 口的子s k e w 一环，且对每一个x 刃。均含有其惟一的加法 逆元矿，所以咒是口a 的s k e w 一环断面 最后，可以得到下面有趣的定理： 定理1 3 9s 是具有s k e w 一环断面的a o 一半环族的b 一格 由定理1 3 9 ，得到s 的“粗糙”结构，而非“精细”结构现在会从新的 途径去寻找其“精细”结构为了达到的目标，需要以下几条引理 引理1 3 1 0 对每一个。三e + ( 伊) ，设i n = o i i o ：o ? = o 三) 和a a = o a a 。：o i = o 三) 那么 ( 1 ) i n 【r e s p a a 】是加法左【r e s p 右 零半环， ( 2 ) 对任意o i 厶，叱易【o a a a ，0 p 人口】，o i + o j i n + 卢，o i o j 厶卢， 0 p a 卢 o x + 0 p a 口+ 卢，o a 0 p a n 卢】 ( 3 ) i o = 厶：o 三e + ( 酽) ) 和a 。= 人口：o 三e + ( s 。) ) ，这里表 示无交并 证明：( 1 ) 对任意0 i ，0 j i n ，由( o i o j ) 。= o ；o ；。= o 三可推出0 i o j 厶 ( 2 ) 对任意0 i i n ，0 i i b ，( 0 i + 0 j ) 。= 哆+ o ；= o ；+ o o = o ；托= o ：+ 卢， 和( 0 i o j ) 。= o ；o 尹= o 暑o ；= o 活 ( 3 ) 直接验证可得口 因为0 i n 当且仅当0 i c 0 三，根据引理1 3 1 0 ，是子半环厶上的半环 同余，且i o c 竺e + ( s 。) ，亦即厶是加法左零半环族 厶：o 三e 十( s 。) ) 的 6 _ 格类似地，a 。是加法右零半环族 a a ：o 三e + ( s 。) ) 的6 - 格 引理1 3 1 1 对每一个( z ，y ) s 。xs 。，设q ( 刚) ：a z 。+ z l + 旷_ 厶和 p ( 列) ：儿。+ 。l + 。_ a 。分别定义为( 0 x ，0 i ) a ( 砌) = z + o a + 0 i + x 。和 ( 0 a ，o i ) z ( 刚) = y 。+ 0 a + 0 i + y 的映射那么， 1 4 第一章具有a ，断面的a o 半环 ( 1 ) ( o a ，0 1 ) ，掣) i x + 掣+ ( z + 可) 。和( o a ，0 1 ) p 扛，y ) a + 3 ) 。+ z + 可j ( 2 ) 对o a a 。+ z ，0 3 毛+ 旷，0 p a 暑。+ 掣，o k z + 。，有 ( o a ，0 j ) 乜( z ，掣) + ( ( o a ，q ) p ( z ，可) + o p ，o ) q p + 暑，：) = ( o a ，0 j + ( 0 p ，o 惫) q ( ，：) ) ( z ，翟押) ， 和 ( o a ，o j + ( 0 p ，o 七) q ( 可，。) ) 卢( z ，+ 。) + ( 0 p ，o k ) 1 3 ( 可，。) = ( ( o a ，o j ) 1 3 z ，口) + 0 p ，o k ) 卢l z + ，：) ； ( 3 ) ( z 。+ z ，y + 夕。) a ( z ，掣) = 3 7 + 可+ ( z + 可) 。和( z 。+ z ，耖+ 可。) p ( z ，掣) = ( z + y ) 。+ z + 证明：( 1 ) 对( o a ，o i ) 人妒托x 毛+ | ，。， ( ( o a ，0 ) q ( z ，可) ) 。= ( z + o a + o i + z 。) 。= z + 0 ；+ 0 ；+ 。 = z + 可+ y 。+ z 。+ 3 7 + z 。= z + 秒+ 可。+ z 。 = z + 可+ ( 3 7 + 可) 。 类似地，可以证明( 0 a ，o i ) f 3 ( 钏) a ( 计) 。托+ 掣 ( 2 ) 如果o a a 。+ z ，0 3 l + 。，0 p a ! ，。+ v ，o k z + ：。，男5 么 和 ( o a ，o j ) c 2 z ，) + ( ( o a ，o j ) 1 3 1 z ，! ) + 0 p ，o ) q ( 。+ ，：) = z + 0 x + 叱+ z 。+ ( 可。+ o a + 0 3 + 可+ 0 p ，0 七) o + 可，：) = z + o a + 呜+ 扩+ ( z + 可) + 可。+ 0 x + 0 3 + y + 0 p + o k + ( z + 可) 。 = z + o a + 0 j + o ；+ 凹+ o a + 叱+ y + 0 p + o k + ( z + 可) 。 = z + 0 a + 0 j + 秒+ 0 + o k + y 。+ z 。 = ( o a ，0 j + 可+ 0 p + o k + y 。) q ( z ，v + 。) = ( 0 a ，0 3 + ( 0 p ，o 七) o ! ( 鲈，。) ) q ( z ，i + ：) 5 i 3 广义c t i f y o r d 半环断面 ( o x ，+ ( 0 p ，o 忌) a b ，。) ) 卢 ，掣+ ；) + ( 0 p ，o ) p ( ，。) = ( o a ，叱+ y + 0 p + o k + y o ) p ( z ，可+ = ) + 矿+ 0 p + o k + 名 = ( 秒+ z ) 。+ o a + 0 3 + y + 0 p + 0 k + 剪。+ ( 可+ z ) + 名。+ 0 “+ o k + z = 矿+ 耖。+ o a + o j + 可+ 0 p + o k + o ：+ o ；+ 0 p + o 七十z = 矿+ 耖。+ 0 a + 0 j + 可+ 0 + o k + z = ( , i 。+ o a + 叱+ 秒+ 0 p ，o 七) p + ，。) = ( ( o a ，o j ) p 础) + 0 p ，o 七)