（基础数学专业论文）一类单叶解析函数族的若干性质.pdf

中文摘要 摘要 本文分为四个部分，第一部分为预备知识，主要介绍一些基本概念并综述了 当前学者对一些特殊函数族的研究的主要结论并介绍- j j a n o w s k i 和s a l a g e a n 等 人定义新的函数第二部分是在族函数中引进新的函数类厶( a ，b ) ，文中研究 了k ( a ，b ) 的一些性质，如系数估计，覆盖定理，函数族间的包含关系等第三部 分是在k ( a ，b ) 的基础上研究它的特殊子类( a ，b ) 的一些性质，同时也估计了 这类函数的系数，找到了( a ，b ) ，- 1 b 0 函数族中的函数的充要条件第 四部分是对本文主要结果的总述并提出了未能解决的问题 关键词：单叶解析函数；覆盖定理；从属；系数估计 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t t h i sa r t i c l ei sc o m p o s e do ff o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r t i ti n t r o d u c e ss o m eb a s i cc o n c e p t sa n dm a i nr e s u l t s i nt h es e c o n dp a r t ，i td e f i n e san e wc l a s s 厶( a ，b ) ，d e r i v e ss e v - e r a lp r o p e r t i e so fl q ( a ，b ) ，t h es h a r pc o e f f i c i e n te s t i m a t e s ，t h ec o v e rt h e o r e m ，t h er e l a - t i o no fs o m ec l a s s e s ，f o ri n s t a n c e i nt h et h i r d p a r t ，w ed e f i n e san e wc l a s s ( a ，b ) i n w h i c ht h ec o e f f i c i e n t so ft h ef u n c t i o na r en e g a t i v e ( a ，b ) sas p e c i a ls u b c l a s so f 己n ( a ，b ) s ot h er e s u l t si nt h es e c o n dp a r ta l ea l s ou s e f u li nt h et h i r dp a r t i nt h em e a n - w h i l ew eg e ts o m eo t h e rp r o p e r t i e so f ( a ，b ) s h a r pc o e f f i c i e n te s t i m a t e st h e o r e m s a r eg i v e nf o rt h e s ef u n c t i o n s ，s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so f ( a ，b ) w h e n b 卜1 ，o ) i nt h ef o u r t hp a r t ，w eg i v eas u m m a r y o ft h i sa r t i c l ei n c l u d i n gt h em a i n r e s u l t st h em e t h o dw eu s e d ，a n dt h ep r o b l e m sw eh a v en o ts o l v e k e yw o r d s ： u n i v a l e n tf u n c t i o n ；c o v e r i n gt h e o r e m s ；s u b o r d i n a t i o n ； c o e f f i c i e n te s t i m a t e s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：训5 蕾 签名e l 期：五僖，月y 1 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供日录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 11 乜 夸月 也产 卫 名期 签日师名导签日 1 y 苣驴却耵 名1 签 者期作日文名论签 第一章引言及预备知识 1 1 引言 第一章引言及预备知识 复数是1 6 世纪人们在解代数方程时引入的，随着微积分的发明与发展，复变 函数形成了一门新的数学分支1 8 世纪达朗贝尔与欧拉等人逐步阐明了复数的几 何与物理意义，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题复 变函数的理论基础是在1 9 世纪奠定的柯西，魏尔斯特拉斯分别应用积分和级数研 究了复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质2 0 世纪，复变函数的研究领域不断 扩大它的建立与发展解决了许多实际问题，如流体力学，电学和空气动力学等近 些年复变函数在各方面都取得了许多重要的成果，如它的解析性质，映射性质，多 值性质，随机性质，多复变函数等方面 单叶解析函数是复变函数的一个重要内容单叶解析函数有许多性质，如保 形映射，覆盖性质，柯西积分等现阶段国内外许多研究者已经对此有了充分的研 究利用单叶解析函数特有的性质定义了新了函数类这些函数类都是单叶解析 函数类的具有某种特性的子类研究该类的系数估计，凸半径，偏差定量，极值点支 撑点问题等不少复变函数研究者定义了新的概念，如h a d a m a r d 乘积，从属，有的学 者通过线性组合重新构造了新了函数，实质上是扩大了原函数族的范围使得到的 结论更具有一般性 本文分为四个部分，第一部分为预备知识，主要介绍一些基本概念和许多 已经证明了的相关的重要结论并综述了现阶段学者们发现和研究的许多特殊类 函数族的性质特别是j a n o w s k i $ l s a l a g e a n 等人定义的新的函数的运算后所研究 的新函数族类的性质 第二部分是在s 族函数中引进新的函数类k ( a ，b ) 其中- 1 b a 1 ， 文中推导出厶( a ，b ) 这类特殊函数族的若干性质，如估计系数并进一步研究其偏 差定理，覆盖定理，函数类之间的包含关系等 第三部分是在l q ( 4 ，b ) 的基础上对其系数进一步特殊化要求为负系数 且a 取为正整数从而得到一类新的函数族a ( a ，曰) 的一些性质，如估计系数，找 到了( a ，b ) ，( - 1 b o ) 充要条件 第四部分是对全文的总结包括主要结论及论证的方法并提出了本文未能解 决的问题 湖北大学硕士学位论文 1 - 2 预备知识 先介绍一些函数类的记号： 设s 为在单位圆盘= z ：名c ，l z i a , z e ，o q q ，z ，0 q 1 ) 定义1 2 1 设f ，g 为上解析函数若存在解析函数( z ) 满足 咖( o ) = 0 ，i ( ) i 1 ，使f ( z ) = 夕( ( z ) ) ，则称，从属于g ，记为， 9 若g 在内单叶，那么， 夕等价于f ( o ) = 9 ( o ) ，且f ( a ) 9 ( ) 定义1 2 2 设厂，夕都是中元素，且f ( z ) = z + a u z n ，g ( z ) = z + f i n z h a d a m a r d 乘积定义如下： j a l l o w s 虹介绍了函数类尸，b 】= ，- 厂_ r l + f a 瓦z _ ； 州邶) 划日 错叫邶】) 砌捌叫叫错p 【邶】) 其中一1 b a 1 文献【l 】定义了s a l a g e a n 算子： d o f ( z ) = f ( z ) d 1 f ( z ) = z f 化) d n f ( z ) = d ( d 铲1 ( ，( z ) ) ) 2 - z n 孑k n 口 脚 +z = z g 木 ， 第一章引言及预备知识 其中n nu o ) 显然由上述定义可知 其d f | f ( z ) = z + a k z ，七n ( z ) = z + k n z 七 下面介绍上述函数类的系数估计，覆盖定理，偏差定理等性质和相关引理 定理1 2 1 ，k 当且仅当夕s 其中9 ( z ) = z f ( z ) 定理1 2 2 设，( z ) = z + a n z n 若，s ，贝j j l a n l 几； 若，k ，贝1 j l a n l 1 定理1 2 3 若f s 贝u f ( l x ) ) u ：l u i ) ； 若，k 贝, u f ( a ) 3 【u ：f u l ) 定理1 2 4 若，s 且 1 ，则可 韦伊l ( z ) l 石士乇伊； 若，删水1 捌尚i i ( 训尚 引理1 2 1 1 2 1 设o c 0 ，d ( z ) 将映成关于原点的星型域( z ) 是中解析 且n ( 0 1 = d ( 0 ) 若 。一 c l 刊器+ a 器 畿， 则有 n ( z ) 1 + a z d ( 丽z 而1 b z ) + 引理1 2 2 a l设咖( z ) 在解析的非常值函数，f i e ( o ) = o 若在 圆 z ：i z l = r a ，a 【0 1 ) ， n nt j 【o ) 有关的性质如系数估计等下面利用从属以及分式线性变化的性质 定义一种新的函数类，使下面所定义新类的范围更广是之前所研究类的扩充 下面定义一类新的函数族类，使该类成为下面所定义新类的特殊情况 记k ( a ，b ) = ，日：面d c , + 丁l f 再l + 瓦a z ， ( 1 ) 当0 f = o ，a = 1 ，b = 一1 时，l o ( 1 ，- 1 ) = s ， ( 2 ) 当q = 1 ，a = 1 ，b = 一1 时，l i ( 1 ，- 1 ) = k ， ( 3 ) 当口= 扎，a = 1 2 a ，b = - 1 时，l n ( 1 2 q ，- 1 ) = 瓦( q ) 若，l a ( 以，b ) ，则 d o + l lz ( d o 科j1 + a z 可2 可气丽 于是有 d 。，( 再l + 瓦a z ) 萨 4 z n 七 木 ， i i 膏 z 奄 口 n 尼 脚 +z l l z ， n d 第_ 章 厶( a ：b ) 族类的性质 下面将对厶( a ，b ) 作一些研究 2 2 l a ( a ，b ) 族的系数估计 引理2 2 1 设p ( z ) = z p ( z ) ，q ( z ) = 加( z ) ，其中口k ，p h 若p ( z ) q ( z ) ，则 p ( z ) 口( z ) 证明因为q k ，所以q 9 ，即 q ( o ) = 0 ，q ( o ) = 口( o ) 0 因为q 单叶，设p ( z ) = 口( ( z ) ) ，显然咖( z ) 解析且( o ) = o 现只须证在内 有i 砂( z ) i 1 若3 z o 使得l ( 动) i = 1 由解析函数最大模原理知在z ：z l 询i ) 内，( z ) 在z 0 点达到最大模，由引 理1 2 2 知 所以有 z o c t ( z o ) = 枷( 徇) ，( 尼1 ) ， p ( z o ) = z o f f ( z o ) = 翔口，( ( 动) ) 7z 0 ) = k ( z o ) q 7 ( ( 动) ) = 七q ( ( 铂) ) 又因为q ( z ) 伊，所以q ( ) 为星型域，而i 矽( 细) l = 1 h k l ， 因此p ( z o ) = 七q ( ( 徇) ) 不在q ( z x ) r v 这与p ( z ) 1 ，则必在某 点z 0 使f ( 匈) l = 1 所以l ( z ) l 1 ，对所有z 都成立即证 定理2 2 1 设f ( z ) = z - 4 - a n z n ，若厂l a ( a ，b ) ，则 l a i 世盟幽喾端攀螋咖凋 ( 2 1 ) 湖北大学硕士学位论文 证明由，k ( a ，b ) 知，存在( z ) = 6 l z + k 护，( o ) = 0 ，l ( ) l 1 ，使得 n = 2 d a + l f 1 + 月( z ) d 口，l + b ( z ) 即有 于是有 ( a d a 厂一b d n + 1 ，) 咖( z ) = d a + 1 f d a f ( 2 2 ) 【( a b ) + 2 a ( a 一2 b ) a 2 z - 4 - + 佗a ( a n o ) a n z n 一1 + 】( z ) = 2 。( 2 1 ) a 2 z + + 几。( 礼一1 ) a n z n 一1 + 由上式可知 ( a b ) 庐( z ) = 【o ( 2 1 ) a 2 孑+ 3 a ( 3 1 ) n 3 2 2 + + n an - - 1 ) a n z n 一1 + 】一 【2 口( a 一2 b ) a 2 z + 3 口( 以一3 b ) a 3 2 2 + + n 口( a n b ) a n z n 一1 + 】砂( z ) ， 不妨设( a b ) ( z ) = 2 n ( 2 1 ) a 2 z + k z n n = 2 则有 ( a - b ) 2 芴1z 新i a - b 2 l 蚶) 1 2 拈 磊1z 细i a - b 黼) l l c b ( r e i a ) l 拈 1 2 口1 2 蚓2 r 2 + i k t 2 r 知， ，l = 2 所以有 k 熙祥 铆计脯l n 2 i 箐 6 第一章 k ( t ：b ) 族类的性质 r p ( 2 1 ) 式对n = 2 时结论成立 同理设【( a b ) + 2 a ( a - 2 b ) a 2 z ( z ) = 2 。( 2 - 1 ) a 2 z + 3 a ( 3 - 1 ) a 3 2 2 + r z n ， n = 3 因此有 a b 1 2 + 1 2 q ( a 一2 b ) a 2 1 2 1 2 口( 2 1 ) a 2 1 2 r 2 + 1 3 口( 3 1 ) a 3 1 2 r 4 ， 于是得到 叫2 坠业掣鬻掣坠掣， 贝l j ( 2 1 ) 式对n = 3 成立 接下来用数学归纳法来证明( 2 1 ) 式对所有自然数n 2 都成立 设若对n k ( 2 ) 都成立，则对礼= k + 1 时， 【( a b ) + 2 口( a 一2 b ) c 匕z + + q ( a k b ) a k z k - - 1 】砂( z ) = a 2 2 a ( 2 一x ) z + 3 a ( 3 1 ) a 3 2 2 + + 螈扩 n = k + 1 因此有 ( a b ) 2 + 1 2 q 1 2 ( a 一2 b ) 2 l a 2 1 2 + + i a 1 2 l a k l 2 ( a k b ) 2 二2 1 r 上l 【( a b ) + 2 q ( a 一2 b ) a 2 r e i 口+ + k q ( a k b ) a k ( r e ) k 一1 沿】( z ) 1 2 d 口= l a 2 1 2 1 2 nj 2 ( 2 1 ) 2 r 2 + + i ( + 1 ) 口1 2 i 口k + 1 1 2 k 2 7 2 k + l 么1 2 ，。2 n n = k + 1 l a 2 1 2 1 2 a 1 2 ( 2 1 ) 2 7 _ 2 + + i ( k + 1 ) n 1 2 l a k + 1 1 2 k 2 r 2 k 令7 _ _ 1 一得 i ( + 1 ) 叩k 2 l a k + 1 1 2 湖北大学硕士学位论文 ( a 日) 2 + 1 2 a 1 2 l a 2 1 2 ( a 一2 b ) 2 - ( 2 1 ) 2 】+ + i k a l 2 l n x l 2 【( a k u ) 2 - ( 一1 ) 2 1 ( a - b ) 2 + 生繁铲+ + ( a b ) 2 ( a 一2 b ) 2 【a 一( 七一1 ) 口1 2 【( a k b ) 2 一( k 一1 ) 2 】 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ - - - - - - - - 一：= = i ( k 一1 ) 中 ( 垒二垒2 ：( 丝二兰皇! ：( 垒二丝垒2 ： f ( k 一1 ) ! 】2 即有 a k + z i 世业葛鬻器幽 则对n = k + 1 也成立综上所述对所有的自然数n ( 2 ) 都成立 下面来证明这个结论是精确的 胁一+ 譬冉+ 坠型等矧掣卅( 2 2 ) 则 d n f o ( z ) ( 1 + a z ) = z + 垆o n + a ( n - 1 ) a 8 州矽= 而 z + 薹坠坐型 高产幽， o o d q + 1 ，0 ( z ) ( 1 + b z ) = z + h a + 1 口n + b ( n 一1 ) 。+ 1 。n 一1 】= n = 2 舛薹生业型毯尚型幽磊= d q f o ( z ) ( 1 + a z ) ， 第二章 l a ( a ：b ) 族类的性质 因此有 d a 十1 1 + 月z1 + a z d q 1 + b z 、1 + b z 显然1 0 l q ( a ，b ) ，且矗的系数的模取到等号。 取a = 0 ，a = 1 ，b = - 1 时，l o ( 1 ，- 1 ) = 舻，则由定理2 2 1 可得到i a n l n 取a = 1 ，a = 1 ，b = - 1 时，l 1 ( 1 ，- 1 ) = k ，同样由定理2 2 1 可得到i 口n l 1 2 3k ( a ，b ) 族的一些性质 o o 定理2 3 1 设，= z + a n z n , 若y l 口( a ，b ) ，则 r 一妻l a = 2 生坐型訾器拦尘趔熙 i f ( r e 诏) i i r ( 1 + b r ) 鲁一1 宰砗之( r ) i ， r + 妻坠业型喾卷掣幽卜 复 ( 咒一1 ) ! 绍胁 另一方面： l r ( 1 + b r ) - 鲁一1 木砝( r ) i r 一o o 坠盟坚攀畚等坠尘趔， - n - - - - - 2 ( n 一1 ) ! n 口 9 n r 撑 o 脚 +r 矿 ， 面方 一明证 n r n o 一r 阳 er ，j 湖北大学硕士学位论文 由上定理得证 取口= 1 ，a = l ，b = 一1 ，l 口( 1 ，- 1 ) = s ，由定理2 3 1 可知，若，l i ( i ，- i ) ，则 e 坩) i 矗寺 定理2 3 2 ( 覆盖定理) 若f l a ( a ，b ) ，则，( ) ) u ：i u l t o ，其中珊= 2 r + i + a b 证明设厂( z ) c 则g = 禹s ，将它展开成幂级数成 又因为l 2 + z ii 2 所以 9 ( z ) = z + ( 口2 + 三) z 2 + ， * l a 。1 + 2 2 + 等， i c l 而函 o r 而e o 取q = 0 ，a = 1 ，b = 一1 便得星型函数族 覆盖定理 取q = l ，a = l ，b = 一1 便得凸型函数族；覆盖定理 定理2 3 3l 口+ 1 ( a ，b ) cl n ( a ，b ) 证明设f l 口+ i ( a ，b ) 即 d a + 2f1 + a z 两 丽1 b z ， d 口+ 1 ， + z ( 。口= d 口+ 1 ，( 再l + 瓦a z ) c s + ， 由引理1 2 1 知d a f ， 于是有 1 0 第_ 章k ( a ：b ) 族类的性质 由引理1 2 1 知 ( d a + l ，) z ( d q + 1 ，) d q + 2 ，1 + a z 一：= 一：= ：一( 一 ( d q ，) 7z ( d 口，) d a + 1 ，1 + b z d a + 1 f 1 + 月z 可 ( a b ) ( a 一2 b ) 【a 一( 住一1 ) b 】， ( n 一1 ) ! n a 卜 逐与足理2 2 1 才j 卣所以矗小是己斟1 ( a ，b ) 中7 e 索 推论2 3 一l n ( a ，b ) cl n l ( a ，b ) c cl o ( a ，b ) 冬l 1 ( 1 ，- 1 ) = s + ， ；g o 悱刚畿) 测 f e 酽( 再l + 瓦a z ) 定理2 3 4 若d p 9 k ，d a + l f d p + 1 9 ，贝0 d af d a 9 ；d q 。f 二d 9 以g j | d 8 一q 9 湖北大学硕士学位论文 证明因为d a + 1 ， d 斛1 9 ，所以有 z ( d a ，) 7 _ z ( d a g ) 7 ， 又d 口9 k ，贝i j 由弓l 理2 2 1 可知 d n ， d p 夕， 又d p 譬= z ( d 3 1 夕) k ，, 贝t j d ：3 1 k 同理知d a - l f d 口g 依次下去便得 d q f d 口夕；d q 一1 ， d 卢一1 9 ；f d p - a g 定理2 3 5 设，l a - i ( a ，b ) ，f ( z ) ：厂。互婴d z ，则f ( z ) 厶口( a ，b ) j o 证明若f ( z ) = o 。丁f ( o 姒 则 f 他) ：掣 d 。+ 1f z ( d 。f ) 7( d q f ) 7 一= 一= 一= d 口f z ( d a l f ) 7( d a l f ) 7 鱼木堕卑塑 k a 一1 疗， 一】i c ， z k 木，( z ) 即有f ( z ) l 口( 月，b ) 。曲。 k 一1，( z ) 一，c zz d nf1 + a z 2 d a - l f l f 而1 b z + 1 2 孛 第二章 l ( a ：b ) 族类的性质 勰2 3 1 设一1 易 a 2 ，所以 从而得到 f ( z x ) c u ：r 叫 半) u ：胁 丁1 - a 2 ) u ：r 叫 下1 - a 1 ) f ( a ) c ( a ) 即有 1 + a 2 z 1 + a 1 z 1 + b 2 z 1 + b 1 z t z ) 当日1 一1 h 习， f ( z ) 与g ( 2 ) 都将单位圆盘映成一个关于。轴对称的圆盘见附录图2 f ( z ：i z i = 1 ) ) 与z 轴交点为( 三裳，o ) ，( 丽l + a 2 ，o ) g ( 悱i 1 1 ) - - 与z 轴交点为( 蒜- - b 1 川而1 + a 1 ，o ) 甚 戡 嚣 篙 1 3 湖北大学硕士学位论文 所以有 1 + a 2 z1 + a l z l + b 2 z 1 + b 1 z 由( 1 ) ( 2 ) 可知引理2 3 1 得证 引理2 3 2 设函数f ( z ) ，g ( z ) ，日( z ) 满足f ( z ) g ( z ) ，a ( z ) 曰( z ) ，则有 f ( z ) ( z ) 定理2 3 6 设一1 b 1 b 2 a 2 a l 1 ，则有 又 由引理2 3 2 知 即证 l a ( a 2 ，岛) l a ( a 1 ，b 1 ) 1 + a 2 z1 + a l z 订两 1 + b l z 哥 口胙【0 1 ) ) 并研究 了瓦( a ) 的性质 下面利用从属函数的性质定义函数族( a ，b ) ( a ，b ) = ，丁：丽d i n + i f ( z ) 再l + 瓦a z ) 显然( 4 ，b ) 是瓦( 口) 的扩充，是k ( a ，b ) 的特殊子类 3 2 ( a ，b ) 的一些性质 o o 定理3 2 1 设f ( z ) = z 一a n z n ，a n 0 ，若，m m ( a ，b ) 则 训坠业型警焉牡螋如2 ) 证明( a ，b ) 是厶( 月，b ) 的特殊子类所以由定理2 2 1 上述定理得证 引理3 2 1 若，( z ) = z 一a n z n ，a n o ，则，s 4 的充分必要条件 n = 2 o o 是n a n 1 n = 2 定理3 2 2 ，( a ，b ) ，( 一1 b o ) 当且仅当 薹o o 叫n 一两1 - a k 1 一而i - a ( 3 1 ) 1 5 湖北大学硕士学位论文 证明必要性：若y ( z ) ( a ，b ) ，即 d m + l ，1 + a z 可 丽 由从属函数的性质与分式线性映射几何性质可知 d 刑_ 1 厂 d m l 1 一a1 + a 1 b 。1 上b 2j - 髻+ 邕i 一，一1b ；亚1bdin+if l 一- i - 1 - - 1 , n m + , _ ，_ i - h i + 1 3 州i 1 一al + a i 可一中l ：l l 耐卜型： l 一41 + a ) 一0 0 ( 扎一j 二李) 2 m 8 嚣z n 一- n = 2 1 一墨27 m a n z 舻1 又因为d m ，s + 由引理3 2 1 知 1 一a1 + a 当- i b 0 帅一亘雩匝 。 当z 从实轴上逼近于1 一时， 由( 3 2 ) 式可得 1 t - - 2 1 1 tt 1 ，1 i t ( 五誓一1 ) + o o ( 扎一上一半- j l - m 1 一a1 + a n = 2 ) 2 m a n 1 6 ( 3 2 ) ( 3 3 )n 口 +仇 n 脚 n o m 儿 曼脚 一 l 第三章( i ，8 ) 的性质 即 1 + 月1 一a 1 + b1 一b 2 争”两1 - a k 1 - 两1 - a 充分性：若墨州n 一研1 - aa n 1 一并1 ， 充分性：若n m m 一_n 一若， n = 2 工一uu 当 l 时有 1 一a1 + a l d i n + i f 一亚1 - b ：亚i + bi ： 可一1 一i 2 1 一a1 + a 卜妻( n 一西孛亚 n = 2 ) 7 l m 口n z n 1 一a1 + al a1 + a 1 ( 1 1 - b ，i + b ) i + ( n 1 - b ，1 + b ) n m a z i 州 n = 2 o o 1 一几a n i z l n 一1 n = 2 ) n m a n 1 + a1 一a 1 + b1 一b 2 以上说明丁d m + ，l r 将单 位圆盘映成的值域中 1 7 n z n o m n 脚 一孑 掣 驴 卅掣 n n m n 脚 一 l 湖北大学硕士学位论文 即有 d m + 1 厂1 + a z d m 、l + b z 定理3 2 ( 卜1 ) 当且仅当互o o 肌n ( 孔一半) 半 证明由分式线性映射与从属函数的性质可知当h 1 时 等价于 必要性：若当i z l 半 当z 从实轴上逼近1 一时得到 - - - # e n m + l a n _ 1 - 广a n = 2 、 o c 7 o 1 一n m o o 由条件知d m ，p 由引理3 2 1 知佗”a n 1 则有 充分性：若 当h l 时， 壹n m n 加一孚) 半 n = 2 妻肌n ( 仇一半) 半 n = 2 1 8 半 警 峭一州 叶一吖 e 9 一j 喵 等 第三章( a ，b ) 的性质 又 o o n = 2 所以得到 即 等叫= l 蔫等叫= n m a n ( n o o n m ( 佗一1 ) a n z n 一1 n = 2 1 一r , m a n z n - 1 n = 2 礼m ( n 一生笋) n 。| i z n 一1 n = 2 i 一俨o n p 一1 i 1 一a 2 n r a a n ( n n = 2 ) 妒。l 佗m a n ( l l , n = 2 1 ) l z - - 1 l 字( 1 1 l = 1 一a 2) 半 o o 礼m n n 矽- 1 i n = 2 o o z 一n r n + 1 a n z j 型0 0 一一1 i 一i 、 z 一n m a n z n n = 2 礼m ( n 一半) 口。i n = 2 l z ”1 i 由几何性质便知 o o 1 一1 9 , m a n i z n - 1 i n = 2 t 1 - a 1 9 - 1 一月 ( 3 4 ) 湖北大学硕士学位论文 第四章结果及展望 本文主要在前面学者对所定义的函数族研究的基础上，运用了从属函数间 的性质定义了新的函数族l 口( a ，b ) ，并研究的该族的若干性质如系数估计，覆 盖定理，函数间的包含关系等等该族类是一些前者研究族类的扩充更具有一 般化处理问题时用到了从属函数的性质及积分算子性质，通过了严格的计 算与推导得出相关结论第三章中所定义的函数族( 4 ，b ) 是厶( a ，b ) 的一个 特殊的子类第二章得出结论对于该类成立在研究( a ，b ) 中函数的充要条件 时，只解决了一l b 0 的情形未能解决对于该类的极值点 问题也可作为研究对象 2 0 参考文献 参考文献 【1 】s r i v a s t a v ahm ，e k e rss s o m ea p p l i c a t i o n so fas u b o r d i n a t i o nt h e o r e mf o ra c l a s so fa n a l y t i cf u n c t i o n s j a p p lm a t hl e t t ，2 0 0 7 ，2 1 ( 4 ) ：3 9 4 - 3 9 9 【2 】a g h a l a r yr ，k u l k a r n isr s o m ep r o p e r t i e so ft h ei n t e g r a lo p e r a t o r si nu n i v a l e n t f u n c t i o n j m a t h e m a t i c a ， 【3 】m i l l e rss ，m o c a n upt s e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e si nt h ec o m p l e x p l a n e j m a t h a n a l 【4 】s a l a g e a ngs s u b c l a s s e so fu n i v a l e n t f u n c t i o n si n c o m p l e xa n a l y s i s f i f t h r o m a n i a n - f i n n i s hs e m i n a rp a r t j l e c t u r en o t e si nm a t h ，1 9 8 3 ，1 0 1 3 ：3 6 2 3 7 2 【5 】j a n u s zs o k 0 1 o ns u f f i c i e n tc o n d i t i o nt ob ei nac e r t a i ns u b c l a s so fs t a r - l i k ef u n c t i o n sd e f i n e db ys u b o r d i n a t i o n 【j 】a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a - t i o n 2 0 0 7 0 1 0 3 4 【6 】o z n u r o z k a n ，o s m a n a l t i n t a s a p p l i c a t i o n s o fd i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a - t i o n j a p p l i e dm a t h e m a t i c sl e t t e r s2 0 0 5 0 9 ，0 0 2 7 】j a n u s zs o k 0 1 c o n v o l u t i o na n ds u b o r d i n a t i o ni nt h ec o n v e xh u l lo fc o n v e xm a p - p i n g s j a p p l i e dm a t h e m a i t c sl e t t e r s 2 0 0 5 0 6 0 0 5 【8 】a y l a s h i n s o m ec o n v o l u t i o np r o p e r t i e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s j a p p l i e dm a t h e m a t i c sl e t t e r s 2 0 0 4 0 9 0 0 3 9 】o z n u ro z k a n ，o s m a na l t i n t a s a p p l i c a t i o n so fd i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n 【j 】a p p l m a t hl e t t ，2 0 0 6 ( 19 ) ：7 2 8 - 7 3 4 【10 】s h i g e y o s h io w a ；j u n i c h in i s h i w a k i c o e f f i c i e n te s t i m a t i e sf o rc e r t a i nc l a s s e so f a n a l y t i cf u n c t i o n s j j o u r n a lo fi n e q u a l i t i e si np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s 2 0 0 2 【11 】k h a li d ai n a y a tn o o r r a d i u sp r o b l e m sf o ras u b c l a s so fc l o e s - t o c o n v e su n i v a l e n t f u n c t i o n s j i n t e r n a t j m a t h ( 19 9 2 ) 719 7 2 6 2 1 湖北大学硕士学位论文 【12 】o w as , o n t h eh a d m a r d p r o d u c t o fu n i v a l e n t f u n c t i o n s j t a m k a n g j m a t h ，1 9 8 3 ，1 4 ：1 5 - 2 1 【13 】m i l l e rs s a n dm o c a n up t d i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ， s e r i e so nm o n o g r a p h sa n dt e x t b o o k si np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s 【m 】n e w y o r ka n db a s e l ，m a r c e ld e k k e r , 2 0 0 0 ：2 2 5 【1 4 】s p o n n u s a m y ；s k s a h o o n o r me s t i m a t e sf o rc o n v o l u t i o nt r a n s f o r m so fc c r - t a i nc l a s s e so f a n a l y t i cf u n c t i o n s j m a t h e m a t i c a la n a l y s i s a n d a p p l i c a - t i o n ，2 0 0 7 11 0 5 4 【1 5 】j a n u s zs o k 0 1 s t a r l i k e n e s so fh a d a m a r dp r o d u c to fc e r t a i na n a l y t i cf u n c t i o n s j a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u a t i o n ，( 2 0 0 7 ) i1 5 一i1 6 0 【16 】j a c ki s f u n c t i o n ss t a r l i k ea n dc o n v e xo fo r d e r j j l o n d o nm a t h s o c 19 71 ( 2 ) ：4 6 9 - 4 7 4 【1 7 】王艳华；叶中秋关于一类解析函数的性质【j 】江西师范大学学报，2 0 0 7 年7 月 第31 卷第4 期 【1 8 】刘名生星像函数类的某些子类【j 】华南师范大学学报，2 0 0 4 年第一期 【1 9 】何建军；叶中秋一类负系数解析函数的若干性质【j 】江西科学，2 0 0 6 年2 月 第1 期 【2 0 】石忠；罗声政一类解析函数的性质 j 】哈尔滨工业大学学报，1 9 9 5 年6 月第3 期 【2 l 】武怀勤；刘德有某些解析函数子族的推广【j 】东北重型机械学院学 报，1 9 9 7 年6 月第3 期 【2 2 】彭志刚星型函数族的一个子族的极值点与支撑点【j 】数学物理学 报，2 0 0 6 ，2 6 a ( 6 ) ：8 5 88 6 2 1 2 3 】s i n g hr a n ds i n g hs s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ru n i v a l e n c ea n ds t a r l i k e - n e s s j c o l l o q m a t h ，1 9 8 2 ，4 7 ：3 0 9 - 3 1 4 【2 4 】a y l a s h i n s o m e ，c o n v o l u t i o np r o p e r t i e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s o n 【j 】a p p l i e d m a t h e m a t i c sl e