（应用数学专业论文）非线性波动方程经典解的生命跨度.pdf

非线性波动方程组经典解的生命跨度 摘要 本文将讨论小初值条件下多波速的非线性波动方程组柯西问题以及具有星形 障碍非线性波动方程外问题经典解的生命跨度( 即局部解存在的最大时间区间) 。 作者在正文中分别讨论了上述两种情况下对应的非线性项明确依赖于未知函 数本身时的生命跨度在正文的第一部分，作者证明了小初值多波速方程组柯西问 题在其非线性项明确依赖于未知函数本身时经典解的生命跨度的下界估计正芝吕。 证明的方法是基于k l a i n e r m af 1 5 的广义能量积分的方法。对于单波速波动方程的 柯西问题，这个方法的关键之处在于利用到波动算子钟一的洛仑兹不变性，而 对于多波速方程组，由于不再具备洛仑兹不变性，此时为证明问题带来了较大的困 难。为克服这个困难近年来一些数学工作者在处理方法和角度上作了许多改进和创 新。k l a i n e r m a n s i d e r i sf 1 8 1 通过构造了相应的关于未知函数二阶导数的加权l 2 范 数估计，并且通过利用此加权估计，证明了在多波速情况下非线性项具有散度形式 并且不依赖未知函数本身时的生命跨度。然而当非线性项是明显依赖于未知函数本 身时，仅有关于未知函数二阶导数的加权估计是不够的，在正文的第一部分中，作 者采用k l a i n e r m a n & s i d e r i sf 1 8 中的办法，进一步建立起相应的关于未知函数一阶 导数的加权l ：估计，并用其来证明了当非线性项是明显依赖于未知函数本身时解的 生命跨度的下界。 在正文的第二部分，作者证明了具有星形障碍的外问题在d i r i c h l e t 边界的情况 下，当非线性项是明显依赖于未知函数本身时经典解的生命跨度的下界估计正 曼。在证明外问题时，作者仍然是采用广义能量积分的办法来处理。但是对于外 问题，此时不但不具有洛仑兹不变性，而且由于需要考虑边界情况，从而对于算 子t a + 。t 如。的使用也需要作一定的限制，此时的问题在处理上将会很复杂，而且 需要更多的技巧。为此k e e l ，s m i t h s o g g e ( 1 9 ，2 1 】通过构造未知函数一阶倒数的加 权瑶。估计，并将其用来处理当非线性项不明确依赖未知函数本身时的d i r i c h l e t i 盘 值闯题而对于非线性项明显依赖于未知函数u 时，还需要一些新的估计本文在 第二部分通过构造出相应的关于未知函数本身的加权l 。估计，并用此得到了当非 线性项明确依赖于未知函数本身时的生命跨度的下界估计。 本文的结构如下， 在第一章，作者将介绍三维空间中关于非线性波动方程的研究的历史背景，以 及研究的现状。并将列出本文的主要结果。 在正文的的一部分即第二章作者将推广k l a i n e r m a n - s i d e r i s 【1 8 】中的关于多波 速波动方程组柯西问题的加权估计，并利用这些估计，证明了具不同波速的非线性 波动方程组小初值柯西问题经典解的生命跨度的下界估计。 作者将在正文的第二部分得到了在星形障碍外问题时经典解的生命跨度的下 界估计。为证明这个结果，作者于第三章给出一些相应的线性方程的估计，并且于 第四章得到了在小初值条件下对于具有星形障碍的外问题经典解的生命跨度的下 界估计。 度。 关键词： 非线性波动方程，多波速，外问题，洛仑兹不变性，经典解，生命跨 中图分类号： 0 1 7 5 2 9 t h el i f es p a no ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o nf o r n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n si n3s p a c ed i m e n s i o n s a b s t r a c t t h ep r e s e n tp h d d i s s e r t a t i o nd e a l sw i t ht h ec a n c h yp r o b l e mf o rn o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n sw i t hd i f f e r e n tp r o p a g a t i o ns p e e d sa n dt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mt on o n l i n e a rw a v ee q u a t i o no u t s i d eo fs t a r - s h a p e do b s t a c l ew i t hs m a l li n i t i a l d a t ai nt h r e es p a c ed i m e n s i o n s s i n c et h ec l a s s i c a lw o r ko fj o h n 7 】，l o t so fe f f o r t sh a sb e e nm a d et os t u d yt h e l i f e s p a n ( t h em a x i m a le x i s t e n c et i m eo fu n i q u el o c a lc l a s s i c a ls o l u t i o n s ) o fc l a s s i c a l s o l u t i o nt on o n , n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hs m a l lc a u c h yd a t a m o s to ft h o s ee f f o r t s w e r ed e v o t e dt os t u d yc a u c h yp r o b l e mo ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nb ym e a n s o ft h el o r e n t zi n v a r i a n c eo ft h ew a v eo p e r a t o r 露一( s e e 【7 ，8 ，9 ，1 4 - 1 8 ，2 2 2 6 】) e t c t h i sp a p e ri sd e v o t e dt os t u d yt h el i f e s p a no ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o nf o rt h en o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n sw i t hd i f f e r e n tp r o p a g a t i o ns p e e d sa n dt h ei n i t i a lb o u n d a r yp r o b l e m o ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw h i c hd on o th a v el o r e n t zi n v a r i a n c ea n ym o r e t h ef i r s tp a r to f t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d yt h el i f e s p a nf o rt h em u l t i p l e p r o p a g a t i o ns p e e d ss y s t e m so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s 研t ht h en o n l i n e a rt e r m e x p l i c i t l yd e p e n d i n go nt h eu n k n o w nf u n c t i o n 札t op r o v eo u rr e s u l t ，w eu s et h e g e n e r a l i z e de n e r g ym e t h o do fk l a i n e r m a nf 1 5 i nt h es i n g l es p e e dc a s e ，t h ek e y o ft h i sm e t h o di st ou s et h el o r e n t zi n v a r i a a c eo ft h ew a v eo p e r a t o r 群一i n t h em u l t i p l es p e e dc a s e ，t h el o r e n t zi n v a r i a n c ed on o th o l d ，s oa d d i t i o n a lt e c h n i c a l d i f f i c u l t i e sa r i s e t oc o m p e n s a t et h el a c ko fl o r e n t zb o o s t s ，i n 【i s ，k l a i n e r m a n a n ds i d e r i sd e v e l o p e ds o m ew e i g h t e de s t i m a t e so ft h es e c o n d eo r d e rd e r i v a t i v e so f t h es o l u t i o nt oh a n d l et h ec a s et h a tt h en o n l i n e a rt e r md on o te x p l i c i t l yd e p e n d o nt h eu n k n o w nf u n c t i o ni t s e l f w h e nt h en o n l i n e a rt e r me x p l i c i t l yd e p e n do nt h e r n k n o w nf u n c t i o ni 溅s o m em o r ee s t i m a t e sa r en e c e s s a r y i nt h ef i r s tc h a p t e r o ft h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea u t h o rw i l ld e v e l o pt h ew e i g h t e dl 2e s t i m a t e so ft h ef i r s t m o r d e rd e r i v a t i v e so ft h es o l u t i o nt oh a n d l et h ec a s et h a tt h en o n l i n e a rt e r me x p l i c i t l y d e p e n do nt h eu n k n o w nf u n c t i o ni t s e l f i nt h es e c o n dp a r to ft h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea u t h o rw i l ls t u d yt h el i f e s p a nf o r t h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o no u t s i d eo fs t a r - s h a p e do b s t a c l ew j t ht h en o n l i n e a rt e r m e x p l i c i t l yd e p e n d n go nt h eu n k n o w nf u n c t i o n 牡t h em a i nm e t h o do fo u rp r o o fi s s t i ht ou s et h eg e n e r a l i z e de n e r g ym e t h o do fk l a i n e r m a n 【i s ，h o w e v e r ，f o rt h ec a s e t h a tt h ep r o b l e mo u t s i d eo fas t a r - s h a p e do b s t a c l e ，t h el o r e n t zi n v a r i a n c ed on o t h o l de i t h e r ，a tt h es a m et i m e ，a n o t h e rd i f f i c u l t yw ee n c o u n t e ri nt h eo b s t a c l ec a s ei s r e l a t e dt ot h es c a l i n go p e r a t o rl = 地+ 筑玩1 i nt h em i n k o w s k is p a c ec a s e ，l p r e s e r v et h ee q u a t i o n ( 钟一皿；0 ，i nt h eo b s t a c l ec a s e ，t h a tt h ed i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o n sa r en o tp r e s e r v e db yt h i so p e r a t o r w h e nw ed e a lw i t ht h eb o u n d a r y c o n d i t i o n s t h ec o e f f i c i e n tb e c a m el a r g eo nt h eo b s t a c l ea stg o e st oi n f i n i t yi fw e u s elt w i c e t oo v e r c o m et h i sd i f f i c u l t y ，k e e l ，s m i t ha n ds o g g e 【1 9 ，2 1 1d e v e l o p e d s o m ew e i g h t e d 瑶2e s t i m a t e sf o rt h ef i r s to r d e rd e r i v a t i v e so fu n k n o w nf u n c t i o nl , a n du s et h o s ee s t i m a t e st oh a n d l et h ec a s et h a tt h en o n l i n e a rt e r md on o te x p l i c i t l y d e p e n d i n go nt h eu n k n o w n f u n c t i o n 札i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，t h ea u t h o r w i l ld e v e l o pt h ew e i g h t e dl 。2 。ze s t i m a t e sf o rt h eu n k n o w nf u n c t i o ni t s e l f , a n db yt h e 矗a i n ef r a m e ，w ec a nh a n d l et h ec a s et h a tt h en o n l i n e a rt e r me x p l i c i t l yd e p e n d i n go n t h eu n k n o w nf u n c t i o n t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ew i l li n t r o d u c e t h er e s e a r c hh i s t o r yo fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n t h em a i nr e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o n w i l la l s ob es t a t e di nc h a p t e r l i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ea u t h o rw i l ld e v e l o ps o m en e ww e i g h t e de s t i m a t e s a n do b t a i nt h el o w e rb o u n do fl i f e s p a nf o rt h em u l t i p l es p e e dc a s ew i t ht h en o n l i n e a r t e r md e p e n d i n ge x p l i c i t l yw i t ht h eu n k n o w nf u n c t i o nt i t s e l f i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ea u t h o rw i l ls h o ws o m ee s t i m a t e sf o rt h el i n e a rw r v e e q u a t i o nb o t hi nt h em i n k o w s k is p a c ea n df o rt h ec a s eo u t s i d eo fs t a r - s h a p e do b s t a ， c l e a n di nt h ef o r t hc h a p t e r ，t h ea u t h o rw i l lo b t a i nt h el i f e s p a nf o rt h en o n l i n e a r w a v ee q u a t i o no u t , d eo fs t a r - s h a p e do b s t a c l ew i t ht h en o n l i n e a rt e r me x p l i c i t l y d e p e n d i n go nt h eu n k n o w nf u n c t i o nt i t s e l f k e y w o r d s ： n o n , n e a rw a v ee q u a t i o n ，m u l t i p l ep r o p a g a t i o ns p e e d s ，o u t s i d e o fo b s t a c l e ，8 蚴l li n i t i a ld a t a ，l o r e n t zi n v a r i a n c e ，c l a s s i c a ls o l u t i o n ，l i f e s p a n c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 6 v 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中 除了。特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在_ 沦文中作了明确 的声明并表示了谢意 储签名：垃日期：竺丑：7 论文使用授权声明 本人完全了解复且大学有关保留、使用学位论文的规定1 1 1 i ：学校有权保 留送交论文的复印件允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守：降巍定 作者签名：超导师辇名：型日期：至宣：! 7 第一章绪论 1 1 引言 由于波动方程有着重要的物理背景，长期以来始终是数学工作者研究的热点 自从f j o h n l 【7 1 中引入生命跨度( 局部解存在的最大时间区间) 的概念起，有许多数 学工作者作了大量的工作来讨论其与非线性项形式及空间维数之间的联系。本文 将讨论小初值状态下具有不同波速的非线性波动方程组的柯西问题以及具有星形 障碍的非线性波动方程外问题经典解的生命跨度。为简单起见，本文中记生命跨度 为z ，并记( ，。) = ( z o ，z 1 ，x 2 ，黝) ，以= 去 = 0 ，3 ) ，v = ( 包：，如。) = ( a l ，a 2 ，a 3 ) ，a = ( a 0 ，v ) ，是l a p l a c i a n 算子。若无特别说明，本文所提到的空间 的维数都是三维的。 对于对于单一波速的柯西问题，在小初值 t = 0 ，“= f ，t t = e g 的情形，( 其中e 0 充分小) 当非线性项不明确依赖于未知函数“本身时，f j o h n ( | 7 1 ) 利用关于e 进行渐进展开的办法证明了生命跨度疋随着e o 至少是按的多项 式的方式增长。特别是对于球对称的解，s i d e r i s ( 3 4 0 及k l a i n e r m a n ( 【1 4 】) 分别对于 半线性情况时非线性项位f = f ( 抛) 及对于非线性项f = f ( o u ，y o u ) 的情形，证 明了当e o 时，正至少是以e 印( 譬) ( 此时g o 是一个常数) 的指数方式增长。进 而k l a i n e r m a n ( 1 5 1 ) 中证明了对于更一般的非线性项形式在小初值条件下生命跨 度正在f o 时至少是以e 印( 譬) 的指数方式增长 而当非线性项明确依赖于未知函数乱时，由于波动方程的解本身的l 2 范数不能 用通常的能量积分方法得到，从而影响到解本身在一o o 时的衰减性，因而当非线 性项依赖于u 时，对于小初值的经典解的存在唯性以及生命跨度的证明，证明的过 程将会更加的复杂。l i n d b l a d ( 【2 6 】) ，证明了结果正吕，而且此结果由f j o h n s 中 提到得反例可知此结果是不可改进的。l ir 工l a - t s e i n & y u x i n ( f 2 3 】) 用一个更加简 单的方法对于空间维数n 3 时的生命跨度作了统一的分析 对于不同波速非线性波动方程组的柯西问题，当非线形项不是明确依赖于未知 函数札本身时，k l a i n e r m a n & s i d e r i s ( 【1 8 1 ) ，证明了当非线性项具有散度形式时的几 乎整体存在性，在相同的框架下，h i d a n o ( f 5 1 ) 证明了当非线性项具有更般的形 式时经典解的几乎整体存在性。k e e l ，s m i t h & s o g g e ( 【1 9 ，2 1 】) 中用完全不同的方 法，也证明了类似于h i d a n o 【5 】的结果。在给定了适当的零条件时s i d e r i s & s h u n - y i t u ( 【1 9 】) 证明了经典解的整体存在性在给出不同形式的零条件下，k a t a y a m a ( 【1 0 1 1 ，1 2 ，1 3 】) 也分别证明了经典解的整体存在性。而对于多波速情况下，非线性 项明确依赖于未知函数本身时，关于经典解的生命跨度讨论需要克服新的困难。在 本文第一部分中，我们将来证明对于非线性项明确依赖于未知函数u 本身时其经典 解的生命跨度的下界估计 对于波动方程d i r i c h l e t 边界条件的外问题，当非线性项不依赖于未知函数矩本 身时，k e e l ，s m i t h & s o g g e ( 1 9 ) 及( 【2 1 】) 分别证明了对于非线性波动方程在 其非线性项分别为半线性和拟线性情况时的几乎整体存在性而对于外问题，在非 线性明确依赖于未知函数本身的情况下，处理起来比较困难。目前已有的一些研究 和结果都是在加过相应零条件后证明的关于整体解的结果。在不同形式的零条件 下，m e t c a l f e s o g g eq 3 2 1 ) 及m e t c a l f e ，n a k a m u r a s o g g e ( 【3 1 】) 分别证明 了对于非线性波动方程在非线性项为拟线性情况时经典解的整体存在性。在本文第 二部分，作者将证明对于具有星形障碍的外问题的时，其非线性项明确依赖未知函 数t 本身时的经典解的生命跨度的下界估计 对于波动方程柯西问题的研究中大多数是基于k l a j n e r l n a ( ( i 5 1 ) 的广义能量积分 的办法，此方法在单个波动方程的柯西问题时的关键之处在于利用波动算子钟一 的洛仑兹不变性。但是对于多波速情况下的波动方程组以及具有边界条件的外问 题的情况，由于此时将不再具有洛仑兹不变性。为问题的研究带来了较大的困难。 尤其是对于外问题情况下，由于要考虑边界条件的影响，处理过程中需要更细致的 推导和技巧近年来一些数学工作者为克服这些困难做了一系列探索。k l a i n e r m a n s i d e r i s ( 1 8 ) 通过构造出了关于未知函数二阶导数的加权层估计，并利用这些加 权估计处理了在小初值情况下非线性项不明显依赖未知函数本身时的多波速问题。 2 在k e e l ，s m i t h s o g g e ( 1 9 ，2 1 】) 中，作者通过构造关于未知函数一阶导数的加权l 乙 估计，并利用这类估计处理了当非线性项不明确依赖未知函数u 本身时的星形区域 或n o n - - t r a p p i n g 形区域的d i r i c h l e t 边界条件的外问题 本文借鉴k l a i n e r m a n s i d e r i s ( 1 8 ) 的思路，在第一部分建立了关于未知函数 一阶导数的加权l ：估计，并且用此估计证明了对于不同波速柯西问题当非线性项含 有未知函数u 本身时的小初值问题经典解的生命跨度。 在本文的第二部分，作者利用了类似于k e e l ，s m i t h & s o g g e ( 2 1 ) 的方法，建 立了关于未知函数本身的加权层。估计，并通过此估计证明了对于小初值条件下， 非线性波动方程星形区域外问题在非线性项含有未知函数u 时的生命跨度的下界估 计。 1 2 记号及预备知识 为叙述方便，本文中将记： q = ( q 1 2 ，q 1 3 ，q ) 其中 = 奶鼠一z i 岛，( 1 ， k s3 ) 3 l = z 。以 a = 0 r = ( a ，q ，l ) = ( f 1 ，r s ) z = ( a ，q ) = ( z 1 ，历) 对于多重指标= h ，白) 及毋= p l ，锣7 ) ， r = 矸曙 矛= 霉1 雹t 3 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 定义1 2 1v ，( 帮) ，称，口，9 ( 舻) ，当且仅当满足，( 膳) r ；驴( 0 ，o 。，l 。( 妒) ) ， 其中r = i z l ，f = ( 6 ，6 ) ，1sp ，q o o ，此时铲表示舻中的单位球面，并定义 如下的范数： h ( t ，) 1 1 p ，。= 0 ，( 嘈p ；l i p ( o ，。；加( 驴) ) ( 1 2 8 ) y n 0 ， i l u ( t ，训r ，m , p 丹= i i r u c t ，训 ( 1 2 9 ) f l s 很显然当上述定义中p = 嗵时，口，4 ( 舻) 便是通常的p ( 舻) ，且记 i u ( t ，训r ，n , p 口= l l u ( t ，) l i t ，n , p ( 1 2 1 0 ) 本文中，记 = ( 1 十r 2 ) 。 口= 群一 则易得以下的两个引理( 详细证明可以参见 2 3 1 ，本文在这里将不予证明) 引理1 2 2 任聊= ( ，y 1 i 一，柏) ，= 向，锯) ，以及毋= ( 毋l ，谬7 ) ，= ( l ，。7 ) 为多重指标，则有 【口，r 1 = a ；r 口， ( 1 2 1 1 ) i l _ o ，舻a = l ，m ) ， ( 1 3 1 ) 【t = o ； o = s ( z ) ，a t = e 皿( z ) ，z 舻o = 1 ，m ) 4 其中 口= 钟一碍，a = 1 ，m ) ( 1 3 2 ) ( 1 _ 2 2 ) 中的臼( 称之为波速) ，( i = 1 ，m ) 为常数，且可以互不相等。 令 天= ( 九( a f ) ，z = 0 ，3 ；( a t # ) ，z ，j = 0 ，3 ，l + j 1 ) ( 1 3 3 ) 假设方程( 1 2 1 ) 中的非线性项只= 只( 天) 在又= 0 的一个领域中，适当光滑，并成立 只( 爻) = o ( 1 又1 2 ) ( 1 3 4 ) 更进一步假设非线性项f = ( f 1 ，j k ) 的第i 个0 = 1 ，m ) 分量只可取为 如下的形式 只( 札，0 u ，铲“) = 瓦( ，钆) + 石酽( u ，a u ) 以乒 ( 1 3 5 ) j _ 1o 惫髫 其中瓦札，砒) 及g 护( 乱，a u ) 为光滑函数并且成立以下的对称性条件： 醪= 醪= 虿 ( l 3 6 ) 初值，= ( 五) ，g = ( 皿) ( 铲( 兄3 ) 首先本文根据【1 8 】及【5 】中的关于建立未知函数二阶到导数加权估计的办法，建 立了关于未知函数一阶导数的加权估计： 定理1 3 14 - u c 笞o ( 舻) 是方程口i = 只，的光滑解，则成立 l 凯( 岛石) | j 口s g zo 最( 7 - ，。) i l l , g ，。+ 一5o 只( 一) 忆u ，2 打 + c c t l l f , ( t ，) i l o ，t + 钏只( t ，。) l i t ，o ，l ，2 ) c i 3 7 ) 其中西是集合 c o 计的特征函数，c o = r a i n e l ，) 并在此定理的基础上，证明了对于多波速情况下当非线性项明确依赖与未知函 数碎身时的生命跨度。 定理1 3 2 对于柯西问题( 1 3 1 ) 令其中e 为充分小常数，且其非线性项满足p 只一 一舅纠的形式。则存在常数g 使得( 1 3 1 ) 有唯一的经典解“c 降( 【o ，正) x 印) ， 且 正吕( 1 , 3 8 ) 5 孽：叼。江) m 埘 n ， f ( u ，o u ，o v u ) = f ( 札，o u ) + 百万( t ，o u ) o , 啪u ( 1 3 i t ) 徘v ( u ，o u ，o v u ) = g 。( 缸，凯，a 2 乱) ( 鳄1 舻让) ( a 岔“) ， ( 1 3 1 5 ) 6 其中( 毛。托，。，。( t ，o u ，a 2 t ) 为光滑函数。且显然对于上式中的每一项都有，地= 七一2 ，i 啦is2 。m o t 的过程循环的定义 机= g 。、。，。( x 2 烈露1 仉。( 妒审k ) c 1 3 1 6 ) 贝当f 啦i + 以sk 时，有 妒= ) k ( x k f ，x 一i g ) 即讥为依赖于g ，变量为x k f 及x 一1 9 的函数。 l 理1 3 3 设，h 5 + 1 ( 冗3 k ) ，夕h 5 ( 舻尤) ，其中8 3 ，则 ( 1 3 1 7 ) 妒( x ， ) c k - l g ) h 5 + 1 一丘，0 kss + 1 ( 1 3 1 8 ) 证明 此引理的详细证明可见【2 0 】 定义1 3 4 对于问题( 1 3 9 ) ，f 日外1 ( 帮尤) ，9 h 。( 铲k ) ，如果饥= 0 ，z a 岷0 曼k s ，则称满足s 玢嘲容性条件。如果此务件对于任意踯成立，则称( ，9 ) g ”满足无限阶相客性务件。 本文在对外问题的证明中，我们总是假设初值满足无限阶的相容性条件。下面 给出在处理外问题时的主要结果。首先我们将在m i n k o w s k i 空间中构造了如下关于 未知函数的加权估计 定理1 3 5 设叫是以下问题的光滑解， 叻= f o ) ，o ) 皿埘 ( 1 3 1 9 ) i t = 0 ，叫= 0 ，叫t = 0 则成立 一4i i 一 w i l l ( i o n 。舻) c i i f ( x ，r ) 怯( r 2 ) 打 对于o = 1 ，2 ，取定，则有 一 i i 一 工“暖。训h 【o ，q 卿) ( 1 3 2 1 ) i 躐 c 三z l i ”甓。口伽忆。( r 砷+ o 一5 l ”筐z 口训“：( r ，。) 打 以厦 一 i i 一 l “z a w l i l 2 ( f 帅即) i 躐 ( 1 3 2 2 ) s g m l 知工”叫k ( r 2 ) 如 ( 1 3 2 4 ) i i l w ( t ，x ) l l 驴( r s 。) sc ( i i l v w l i l , c l 水3 ) + i i v 。w l l , ：( 眯i3 ) ( 1 3 2 5 ) i af = l + z 。i i 一l g i i 州h ，和+ i i 三v 训船忡肛l ( 3 ) ) 更一般的，对于n o = 1 ，2 ，取定，则有 i l l ”扩w ( t ，x ) i i l ， ( 1 3 2 6 ) 陋嚣0 sg ( 0 驴v w l i l ，( , t 。) + o 训慨r 2 ) i 口i + m 旨 + t il l z a 1 4 i + m s n oj u m 1 口l s o + l 一jf 0 二- 2 ( j 妒帕d 奢+ i i l w , q w l l 厶, c o ，斟。r 毫 1 。i 3 ) ) 8 定理1 3 7 设叫是( 1 3 2 3 ) 的光滑解，k 是有界的星型障碍，则有 - ii i - i 伽( t ，x ) i i l 2 ( m 。置3 u ) ( 1 3 2 7 ) sc ( ，。i i 口t 0 - , - ) o 伊( r 3 。) + o 一毒口硼( 丁，) l l n 。a s ) v a t 受 一 l l - il m 叫( 南z ) 慨o ，q 捌。) ( 1 3 2 s ) m s l s c ( f ( 1 l d l m w ( s ，训删+ o 一 l ”d w l i l 蛐) + i i d v w l i l 御耐幽 。”m 蔓1 而且对于n = 1 ，2 ，取定，有 o 一 l ”扩叫( ，z ) i i l 。( i o ，t l r 3 耐 ( 1 3 2 9 ) 扣l 超p c ( 5fi i 0 5 ”埘( 酬慨卧) l a l + m 。o + 0 一i 口驴z 。w ( s ，训t ，：d s + l i e 3 ”z 4 ”( 毋) o 驴( | o 硝r 3 、。) ) 馏7 。 其中馒不依赖f f - t ，茹的常数。 定理1 3 8 设伽是( 1 3 2 3 ) 的光滑解，尤是有界的星型障碍，则有 一 0 一。露。( t ，。) 慨。爿埘砷0 3 3 0 ) l a l n o cf i i n ，露。w ( s ，训胪( 矾帕幽十l i 口露。w ( s ，。) 怯( 矾帕 。”l a l n ol ( , # _ n o - - 1 以及 一 0 一；工m z 。 ( t ，x ) i i l - ( 1 0 卅r 3 、砷0 3 3 z ) i 口i + m e 帕 sc f i l q j ，z 。埘p ，) o 伊( 伊h ) d s 。u i a p + - m n o + i l z 3 l z w ( s ，训胪( 【o t 】删一) i a i + m n o 一1 9 定理1 3 9 对问题( 1 - 3 9 ) ，铆c 是一个有界星型障碍，初值，i9 卵( 舻) 且满足无 限阶相容性务件，则存在常数g 使得( 1 3 9 ) 存在唯一解“伊。( 【o ，正) x 斧k ) ，且 其中 正箬 ( 1 3 3 2 ) 第一部分 多波速c a u c h y 问题经典解的生命跨 度 第- - i多波速c a u c h y 问题经典解的生命跨度 2 1 引言 本章将证明问题( 1 3 1 ) 的生命跨度。而由于在对生命跨度的证明过程中，非线 性项f 中的高阶项对其没有本质的影响，为了过程简便起见，不妨假设非线性项f 关 于未知变量是二次的，则不妨取f = ( f l ，乃。) 的第i 个分量为如下形式： 最( 让，o u ，伊让) = 风( “，o u ) + g 笞( “，o u ) o 筇u j ， ( 2 1 1 ) ，“o 惫鬻 其中 日 ( 乱，抛) = 壤4 谨铝u ， ( 2 1 2 ) 捌。o 五 a ：；塾 f n c ；a 。( u ，凯) = g a , o c , 6 1 僻矿 ( 2 1 3 ) t = lo 蔓a 1 o 曼7 茎3 其中矗笔犷，9 ：妒是常数 进一步假设成立以下的对称性条件 g 锣= g 碧= g 留， i , j = 1 ，m ，口，= 0 ，3 ( 2 1 4 ) 为方便起见，本章在证明中使用下列的记号 m2 毋( t ) = e u l ( o = i i _ f r u ( t ，) i l r ，2 ， ( 2 i 5 ) = li 口i = o 以阻( t ) 】= i i r 矿t ( 0 1 1 ， b l 口l 一l m 地m ( t ) 】- i i r 咿u ( t ) 1 1 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) = ii 口i = 2i i s 一2 其中盯= ( 盯l ，凡) ，= 阳，铅) 是多重指标 为证明过程的需要，我们在本章引入算子l d i ，g 黝l l 一。易得引理： 引理2 1 1 对于夙q ，l 如第一章的定义，那么有以下的交换关系成立 p ，i d | - 1 】= 0 ( 2 1 8 ) 陋，i d | - 1 】= 0 ( 2 1 9 ) 陋，l d r l 】= 一i d i _ 1( 2 1 1 0 ) 2 2m