（电路与系统专业论文）大规模集成电路中互连线的时域瞬态响应分析.pdf

硕士学位论文入脱模集成i 也路巾互连线的时域噼态i 响府分析 摘要 随着大规模集成电路( v l s i ) 的发展，智能芯片的尺可越来越小，而信号的速 度却越来越快，使得电路中互连线路对电路的影响越来越明显，比如延迟、串扰等。 这些影响如果在电路设计时没有予以准确的估计，将会对电路的性能产生很大的影 响，甚至难以正确地实现电路的功能。所以，人们对传输线的时域响应分析作了大 量的工作。目前对传输线的研究有两类方法，即时域法和频域法。本文在前人研究 的基础上，从时域方法入手，重点研究了微分求积( d q ) 方法，将已有的d q 方 法与时域的改进节点法结合起来，建立了一个普遍适用的模型，这利，模型能对大规 模的含有传输线的电路进行分析，方法有效，适用面更广。同时，还对关于传输线 延迟的几种r c 树模型进行了比较分析，并提出了一种新的e u l e r 方法，仿真表明， 这种方法速度更快，效率更高。 关键词：大规模集成电路、传输线、时域模型、微分求积方法、r c 树 第1 页 硕士学位论文大铷模集成l u 路中互连线的时域瞬态响应分析 a b s t r a c ! w i t ht h ed e v e l o p m e n to f v e r yh i g hs p e e d a r g os c a l ei n t e g r a t e dc i r c u i t ( v l s i ) ，t h e s i z eo fi n t e l l i g e n tc h i pi s d e c r e a s i n gw h i l et h es p e e do fs i g n a li si n c r e a s i n g ，t h u st h e i n f l u e n e eo ft r a n s m i s s i o nl i n eo nt h ep e r f o r m a n c eo fc i r c u i ti sm o r eo b v i o u s s u c ha s d e l a y a n dc r o s st a l ke t c t h e s ed e g r e eo f h i g h s p e e de f f e c t si fn o tp r e d i c t e da c c u r a t e l ya t e a r l yd e s i g ns t a g e s ，c a ns e v e r e l yd e g r a d es y s t e mp e r f o r m a n c e ，e v e nt h ef u n c t i o no ft h e c i r c u i tc a r l tc o m p l e t ec o r r e c t l y t h e r e f o r e t h e r eh a v eb e e ns om a n yw o r kd o n ea b o u tt h e t r a n s i e n tr e s p o n s ea n a l y s i so ft r a n s m i s s i o nl i n e p r e s e n t l y , t h er e s e a r c hc a l ls e p a r a t ei n t o f r e q u e n c y d o m a i nm e t h o da n dt i m e d o m a i nm e t h o d i nt h i sp a p e gb a s e do nt h ee x i s t e n t r e s e a r c h ，s t a r t e d f r o mt i m e d o m a i nm e t h o d ，d i f f e r e n t i a l q u a d r a t u r e ( d q ) m e t h o di s s t u d i e dp r i n c i p a l l y c o m b i n e dt h e d qm e t h o dw i t ht h et i m e d o m a i nm o d i f i e d n o d e a p p r o a c h ( m n a ) ，ag e n e r a l i z e dm o d a li se s t a b l i s h e d t h i sm o d a lc a nb eu s e dt oa n a l y z e l a r g es c a l ec i r c u i ti n c l u d i n gt r a n s m i s s i o nl i n e s i ti se f f i c i e n tm a da p p l i e dt oe x t e n s i v e c a s e s i na d d i t i o n s e v e r a lr ct r e em o d a l sa b o u t d e l a yo f t r a n s m i s s i o n 】i n ea r ec o m p a r e d a n d a n a l y z e d an e w m e t h o d u s i n ge u l e rf o r m u l ai sb r o u g h tf o r w a r dt os o l v et h er ct r e e ， w h i e l ll e a d st oh i g h e re f f i c i e n c yw i t ht h es a m e a c c u r a c y k e yw o r d ：v l s i ，t r a n s m i s s i o nl i n e ，t i m e d o m a i nm o d a l ，d i f f e r e n t i a l q u a d r a t u r e r c t r e e 第l i 页 硕士学位论文人舰模集成电路巾互连线的时域瞬态响应分析 1 绪论 1 1 背景介绍 在常规的电路研究中，我们总是理所当然地认为距离是可以忽略不计的( 或者， 等价的说信号的传输速度是无限的) ，这样就容许将选取的电压或电流处理成仅是 时间这一个变量的函数。这假设将纯l 乜路理论和传输线理论区别丌来。在远距离 传输的电缆中，很显然我们不能忽略距离的影响，同样在近几十年发展很迅速的大 规模集成电路中，由于互连线的宽度以及线与线之间的距离非常小，使得传输线对 电路的影响同样不能忽略。 最早提出古典的传输线理论是在1 9 世纪中期，1 8 5 5 年s i r w i l l i a mt h o m s o n ( 后 来由于他在理论上和敷设大西洋电缆上的贡献而被封为k i l v i n 勋爵) 在皇家学会 报告中发表了一篇划时代的论文“电报的理论”，紧接着1 8 5 7 年k i r c h h o f f 发表了 另一篇著名论文，提出了更一般的反映传输线特性的方程。这些理论上的创新很 快地被应用到实际中，18 6 8 年第一条在商业上完全成功的大西洋电缆被完成。2 0 世纪初m i p u p i n 用在导线的离散点上合理地安置线圈的办法得到了大电感线路。 对架空的或是空中的线路，其泄漏电导g 总是可以忽略不计的，但是沉重的架空线 系统使用很不方便，而且质量也不是很高。应用p u p i n 的发明将大线圈放在磁极上 并且把它们用轻导线连接起来，由于不再有电漏的畸变问题，线路可以掩埋起来， 其效果也象悬空的一样好【1 】。传输线在理论领域的快速发展，促使其在实际中的应 用也日益频繁和成熟。在近几十年，随着大规模集成电路的高速发展，传输线理论 被更多地应用到集成电路的互连线分析中。 先简单介绍大规模集成电路中互连线的概念。在大规模幂u 超大规模集成电路的 设计中，除单元电路外，芯片内各单元电路之间，芯片的输入t 输出( i o ) 接口与 周边电路或其它芯片之间要按拓扑性质进行连接，此即所谓互连。互连借助介质基 板上的导体线条完成，这就是所谓互连线。在早期的电子工业中，对大多数的电路 系统而言，互连线尺寸远小于信号波长，互连线通常只被看作是简单的金属导体， 它仅具有电连通的意义。但当电路工作速度提高，时钟频率达到几十兆以至1 0 0 兆 赫以上时，脉冲信号将在芯片上呈现波效应。出现波效应的原因是信号脉冲的时间 参量( 如脉冲的上升、下降和持续时间) 已缩短至和连接线上电磁波传输时间处于 同一数量级【2 】 3 1 。 对于互连效应，人们首先是从电路的工艺和结构方面进行改进以减轻其影响， 第1 页 硕士学位论文大蜘模集成h 三路中互连线怕时域瞬态响成分析 特别是针对多芯片互连时连接线过长的缺点而推出一种多芯片结构，其基本构想是 利用半导体薄膜工艺在硅晶片上沉积多层聚合介质薄膜及导线层构成多层布线作 为连接线系统，从而将固定于顶部的多块芯片连接起来，得到结构紧凑晶片范围的 多芯片系统。这种多芯片结构具有结构紧凑，电路功能多，可靠性好和功耗低的优 点，也缩短了连接线的长度，但是它并不能消除互连问题。因为多芯片结构中的连 接线线长仍达到了必须考虑互连效应的程度，再者其紧凑的结构与极细的线条使线 间互耦和线损耗增大，从另方而加剧了互连效应。所以，剥多芯片结构的连接线 系统，互连效应对信号传输的影响是个必须充分考虑的问题，在考虑互连效应的 基础上才能最后确定布线结构和几何尺 。 在深亚微米设计中，互连问题是影响电路性能和稳定性的主要因素，特别是当 系统的工作速度迅速提高后，信号的完整性分析成为一个重要的问题，因为在高速 工作的条件下系统中的互连和封装系统对信号造成相当大的电磁干扰，表现在：1 ) 信号在互连线中产生延时、波形畸变和线阃互扰效应，对原i f 常的信号传输构成电 磁干扰。2 ) 由于多个电路公用电源线和接地线，通过电磁感应产生了同步开关噪 声，同样对信号产生了干扰。这些因运行速度而产生的影响如果在早期设计阶段不 加以估计，不光会严重影响电路的性能，还会造成很大的人力和物力的浪费。因此 在超大规模集成电路( v l s i ) 及多芯片组件( m c m ) 中，如何准确、有效地对于 信号经过互连线传输之后所产生的互连效应进行定性，定量的分析、计算和控制 已经成为高速电路系统设计中的主要问题之一，它对于电路系统的优化设计至关重 要。所有这些均从客观上对分析、模拟v l s i 电路互连网络的工具的准确性及有效 性提出越来越高的要求。为了准确、有效地进行高速v l s i 电路的模拟和设计，就 需要各类传输线的精确模型，然后进一步地建立一般的电路互连网络的模型。因此 掌握传输线及v l s i 电路系统互连网络的特性，从而建立其准确、有效的模型，对 于更好地进行v l s i 电路的优化设计、改善电路系统的性能具有非常重要的意义， 所有这些使得传输线的研究成为目前电路与系统领域中人们所关注的焦点之一。 1 2 传输线的研究思路和现状 目前，分析r l g c 传输线的瞬态响应，一般采取两个步骤：首先应用电磁场理 论建立传输线的电磁模型，求出其分布电磁参量；然后对传输线的分布参数电路模 型进行分析。目前应用较多的传输线分布参数电路模型是在t e m 波或准t e m 波的 近似下建立的，都满足我们常说的电报方程。因此，所谓集成电路中传输线的瞬态 响应分析实际上就是在不同的初始条件和边界条件下来求解电报方程。 从已有的文献来看，目前人们对传输线的研究主要有两大类方法，即直接时域 第2 页 硕士学位论文大规模集成电路中互连线的时域瞬态响应分析 法和频域变换法。频域方法主要是将电报方程转换成频域中的常微分方程后求解， 然后将求解结果转换到时域，从而得到电路的时域瞬态响应。这类方法的难点在于 从时域向频域的转换，可能会涉及到递归卷积，这方面的研究有大量的论文发表。 其中主要有快速傅立叶反变换( i f f t ) ，数值拉氏反变换( n i l t ) ，利用向后欧拉公 式的反变换，基于帕德近似的一些方法等等。频域研究的理论相剐时域已经相当成 熟和完善。时域方法是建立传输线的时域模型，然后直接在时域中进行分析求解。 其基本做法大都是在时域中将时矧和空间变量进行分离，得到传输线的离散模型。 时域方法又可细分为两种：一种是从频域电报方程出发，经过各种处理得到时域模 型，从而可在目域中直接求得传输线的时域响应。一般来说，这种方法都会牵涉到 卷积。另一种时域方法是直接从时域电报方程出发，建立传输线的时域模型。长期 以来人们认为这样的方法效率低，没有太大的实用价值，但最近在这种方法上又有 新的突破。现将这些算法作一个简单的介绍。 频域分析的主要特点是首先在频域推导出频域网络函数或频域的电路描述方 程，然后借助拉氏或傅氏变换得出时域响应函数。更具体可分为以下几种：1 解析 方法，即完全借助于解析推导实现频域至时域的转换，这种方法一般只限于简单的 无耗t e m 传输线；2 快速傅氏变换法，即借助高效数值方法实现傅氏变换，首先在 复频域推出网络函数或电路描述方程，在一定的频率范围内取间隔均匀的许多频率 取样点，按离散傅氏变换的方法变换到日寸域，也得到相应的时域取样点，当取样间 隔足够小时，离散的数据可足够精确地表示时域响应函数。f f t 方法的适用范围很 宽，但如果取样点不是足够多的话，容易引起频谱混迭，而使结果不可靠。3 数值 反拉氏变换( n i l t ) 法，是一种实现拉氏变换和反变换的数值方法，是频域分析中 的一种常用的方法。 n i l l 方法主要是k s i n g h a l 和j , v l a c h 的方法4 】。这一方法最初用于线性电路 的瞬态分析，使用时每个时间点上的解通过对电路方程若干次复频域上的求解得 到，由于其独特的优点，被认为是瞬态分析的一种重要方法【5 】。为了克服误差随时 间增长的问题，人们又提出了对传输线电路进行n i l t 重新启动的方法 6 】【7 】，并将 这一方法用于非均匀、频变传输线的分析【8 。为了减少方程求解的次数，加快分析 速度，人们又提出了用基于c h e b y s h e v 多项式展开的n i l i 技术对传输线进行分析， 其优点是通过若干个实频率点上的电路的解就可以获得时域解的解析逼近式【9 】。最 近又出现利用n i l t 方法，从含初始电压电流分布的传输线频域解出发导出其在 某一时间点的等效模型【l o 。这一方法的最大特点，是不需要对无理的传输线特性 函数作有理逼近，也就避免了任何数值上的困难( 如稳定性和无源性的破坏) ，而 模型的计算量与它们相当。这一n i l t 方法也可用于端接非线性负载传输线的分析。 从频域分析含传输线电路的方法中，固定步长的向后欧拉公式法也是分析含有 第3 页 硕士学位论文火规模集成电路中互连线的时域瞬态响应分析 多导体有损传输线的线性电路的一种有效方法1 1 1 1 。该方法的基本思想是利用向后 欧拉公式法来解由改进节点法列写的矩阵方程( 1 2 ，它需要求电路方程在与积分时 间步长有关的正实轴卜一个频率点的频率导数，这样瞬态响应可以从电路系数矩阵 的及其各阶频域导数获得，第五章会有这一过程的详细推导。尽管向后欧拉公式法 不象梯形积分公式那样精确，但它比较稳定并且能给实际响应以光滑的低通近似。 对于脉冲函数激励，向后欧拉公式法与移矩法得到的结果是相当的。 为了提高传输线频域模型的分析效率，人们引入了有理逼近，基于频域有理 逼近的方法是目前最为流行的传输线分析方法。基于帕德逼近的矩匹配技术利用 2 口阶的矩来获得q 阶的降阶模型，实现对现行系统的快速分析。单点的矩匹配技 术的典型应用是渐近线波形估计( a w e ) ，矩山频域响应在某一个频率点的泰勒 展开式中得到。通常选择在s = o 处，使用单点的帕德近似同低阶的传递函数相匹 配。a w e 是对带有多步阶跃和斜坡输入信号及任意初始条件的线性电路进行逼 近的一种综合性方法。有关a w e 方法的文献有很多，还有好多类似的方法都在 此方法上针对某些缺点加以改进和创新，该方法在理论上已经很成熟。常见的方 法有利用l a n c z o s 和a r n o l d i 算法对这种模型加以改进及应用多点展开的矩匹配 方法等 1 3 1 - 1 2 3 。 时域的研究方法的特点是算法直接，分析速度快，但是对含有频变参数元件 的电路求解时很困难。目前较常见的直接时域方法有差分方法和特征法咀及微分 求积法。根据选择不同的差分格式可以得到不同的时域模型 2 4 1 。特征法在第二 章中将有详细的介绍。微分求积法( d q 法) 是最近几年才发展起来的一种方法， 对求解含分布参数的电路求解有较高的效率，作者在已有的研究基础上结合改进 节点法，提出了种具有普遍性的时域模型，将在第三章中详细介绍。 1 3 本文所作的工作 在这篇论文中，作者主要在时域中研究传输线的模型，并编写算法在计算机中 进行仿真。由于特征法是时域研究中一种最为典型而常用直接的方法，在高速电路 互连线分析中有广泛的应用，故首先对特征法作了详细的研究，但是特征法在处理 多导体去耦问题时存在一定的限制。 直接的时域方法中，最近几年有人提出一种微分求积的方法，并且在这种方法 的应用上作了一些工作，但是这些研究只限于规模小的简单电路，而且算法的模型 不是很清晰。于是作者在有关微分求积方法的基础上，将这种方法与时域的改进节 点法结合起来，建立起一个通用的模型，使得这种方法能处理多种不同的含传输线 的电路。在本篇论文中还对传输线延迟的r c 树网络方法来近似的模型进行了研究， 第4 页 硕士学位论文人姗模集成i b 路中互连线的旧域瞬态响应分析 并用了一章的篇幅对r c 树网络作了研究，针对已有的方法提出了一种新的e u l e r 方法，提高了求解效率。 本论文的章节安排是这样的：第章是绪言部分，简单介绍传输线的研究现状 及已有的研究方法；第二章介绍传输线研究的基本原理，分别从时域和频域进行介 绍，通过波形渐进估值( a w e ) 法和特征法比较两种方法的研究恩路，为后面儿章的 介绍作理论准备；第三章介绍微分求积法的原理研究模型及算法实现方法，重点 介绍一种能分析各种含分散参数电路的通用模型；第四章对各剥，不同类型的传输线 用实例来验证所提出的算法，并与特征法等不同的方法进行比较；第五章讨论r c 树网络模型，提出一种新的利用e u l e r 法求解的方法，并用一个r c 树实例与a w e 方法进行比较验证：第六章是结论部分，对所作的工作进行归纳总结得出结论，并 对以后的工作提出建议。 第5 页 硕士学位论文人规模集成电路中且连线的时域瞬态响麻分析 2 基本理论准备 我们研究的传输线都是假设其满足t e m 或准r i e m 模式，这种模式的传输线都 满足电报方程，研究其对电路的延迟影i | 向都是基_ - j if _ ! 报方程和连线的参数来计算 线上的延迟。关于这种计算方法有很多种，这些方法可以分为两大类，时域方法和 频域方法。波形渐进估值( a w e ) 法和特征法分别是这两类方法中最具有代表性的 方法，其相关文献较多，理论已经很成熟。同时在第三章和第五章提出的微分求积 ( d q ) 法和r c 树网络近似法的模型中，将选择特征法和a w e 法与它们作比较。 故在这一章中安排如下内容，首先给出有关传输线电报方程的基本原理，然后以 a w e 方法为例分析频域方法的特点及过程，第三部分给出特征法及其各种改进方 法的基本原理及各种方法适用的传输线类型。 2 1 传输线的基本理论 对高速集成电路系统中互连网络的传输线模型进行时域响应分析的最为直接的 方法就是求解麦克斯韦方程组。这种方法从原则上讲可以将传输线系统的各种几何 、电磁参数的影响都考虑在内，也可以处理各种端接负载，但是它存在着明显的缺 点，那就是分析、计算过于复杂，而且对于汁算机的速度、内存等方面的要求也相 当苛刻。因此，人们通常采取一定的近似方法，构造出传输线系统的近似模型，适 当地简化整个传输线系统的时域相应分析过程。 对于近似模型，一般有以下两个假设： 第一个假设是传输线的横向尺寸在其长度方向上是连续的，在两个端点处则可 以接有任意负载网络。对于传输线中存在有不连续点的情形，一般是将其分割成若 干段连续传输线，至于其中不连续点的影响则通过引入适当的网络来等效。 第二个假设是传输线上的电磁波为准t e m 波，即近似认为传输线上沿波传输 方向的电磁分量远远地小于其横向分量。严格地说，t e m 波只能在均匀介质中的 无损传输线上存在，对于非均匀介质和有损传输线的情形，线上所传输的电磁波实 际上是t e 波与t m 波的混合，一般不具有t e m 波的性质。但是对于我们所要研 究的高速集成电路中芯片间互连线的传输线模型而占，其横向尺寸比传输线最高频 率分量的波长还小得多，沿波传播方向的电磁场分量也就比横向分量小得多，这种 电磁波可以近似认为是t e m 波，即准t e m 波。目前，对于高速集成电路中芯片间 互连线的研究，人们通常是先从静电场的角度出发，得出传输线分布参数模型，然 后再从电路的角度对其进行时域响应分析。 第6 页 硕士学位论文大划模集成电路中互适线的时域瞬态响应分析 前面提到过，人们最开始研究的传输线是远距离的通信电缆，列这样的传输线， 电流在导线的电阻中引起沿线的电压降，同时又在导线周围产生了变动的磁场，这 个变动的磁场沿着全线产生感应电压。所以，导线涮的电压是沿线连续改变的。另 一方面，两根平行的直导线构成了电容，两线问就存在位移电流( 特别是频率较高 时就更不容忽视) ；如果两线间的电压又较高，则漏电流也不容忽视。这样，在沿 线不同的地方，导线中的电流就将1 i 同。总之，为了计及沿线的电流和电压的变化， 必须认为导线的每一长度元都具有电阻和电感，而导线问则具有电容和电导，这种 长度元可以认为是无穷小的，也就是说把传输线看作是由一系列集总元件所构成的 一种极限，从而得到分布的电路模型，如2 1 1 所示。电路的参数是沿线分布的， 这种电路称为具有分布参数的电路。如果传输线的电阻、电感、电导和电容是沿线 均匀分布的，则这样的传输线就称为均匀传输线。相反如果这些参数沿线变化则称 为非均匀传输线。下面的介绍均以一般情况下的均匀传输线为例。 图2 1 1 传输线的分布参数模型 图中，尺o 、l o 、c o 、g o 是单位氏度参数，分别表示传输线的电阻、电感、电容、 电导。设从传输线的始端到所讨论的长度元的距离为x ，则对每一讨论的长度元出， 具有电阻月。出，电感工。出，电容c 0 出，电导g o 出。设单元如左端的电流为，、电 压为“，右端的电流为“罢出、电压为“+ a _ _ 竺u d x 。 d x0 x 由k c l 、k v l 定理并略去二阶无穷小量，得到下列方程 罢砜m 。昙 出扰 ( 2 1 1 ) 翌：g 。+ g 塑 良 ” ”c 3 t 这就是均匀传输线所满足的方程，我们也称为电报方程。联立初始条件和边界条件 求解此偏微分方程，就可以得到传输线电压和电流的解，所得到的电压电流解应该 第7 页 里_ 圭兰望笙苎 生塑竖堡些叟堕! 兰堕垡塑堕壁竖查堕生坌堑一 是含有时间变量f 和空间变量x 的u ( x ，r ) 、i ( x ，) 的形式。若传输线系统中导线的根数 为n ，则在上述电报方程中，、f 是n 维列向量，r o 、l o 、c o 、g o 是n x n 维的矩阵。 若所研究的是非均匀的传输线，则电阻电感等参数将不再是常数，而是长度x 的函 数。 若在频域中研究，则我们首先将电报方程转换到频域，转换后可将方程化为常 微分方程 d v 。( x 一, s ) ：一z t ( x ，) d x 些盟：一y 旷( j ，。) d x ( 21 2 ) 式中，矿( x ，j ) 、i ( x , s ) 分别表示长度坐标x 上的复数分布电压和电流，其中z 和】，分别是传输线单位氏度的阻抗和导纳，且有z = r o + s o 与y = g o + s c o 。下面 介绍传输线的另外两个重要参数。 将方程( 2 1 2 ) 对x 取一次导数，得 d 2 v ( x ，j )，d l ( x ，s ) 出2“ ( 2 1 3 ) d 2 j ( x ，5 )。d v ( x ，j ) 五厂“五 将方程( 2 1 2 ) 中的坐萼业和坐竺坐代入到方程( 2 1 3 ) ，得到 血畎 学= z 叭，“ 汜， 尝掣：z 脚，s ) d x 令y = 历= ( r o + s l o ) ( g o + s c o ) 上式可写为 掣：y2 ( ) d x ( 2 1 5 ) 坚掣：yz m ，s ) d x + 方程组( 2 1 5 ) 是一个常系数二阶线性微分方程。令z ( 、= 手，则该方程组 的通解可表示为 第8 页 硕士学位论文人枷模集成f u 路中且连线的时域瞬志l 响应分析 f v = v t c h y x z ( ，s h 3 x h 曲忙一昙s 岍 1 6 点的电压和电流。上述所定义的两个常数y 和z ，分别称为传播常数和特性阻抗，这 2 2 传输线的频域研究方法 前面已经提到过，对传输线的研究分为频域和时域两种方法，这两种方法各有 优缺点，对不同的电路，可以根据实际情况选择合适的方法。对于电路中含有频变 参数的电路，时域的方法处理起来较为困难，而且时域方法在处理多导体耦合的电 路时，去耦也存在一定的限制。而对这样的电路频域方法则有其优越性。这一小节 将以波形渐进估值( a w e ) 方法为例对其作一个简单的介绍。 为清楚起见，我们先用对集中参数的线性时不变电路列写的微分方程来解释 a w e 方法，含有传输线的电路可将其传输线的电报方程嵌入改进节点法的方程中， 得到类似的方程，具体的作法后面再作介绍。方程 j = a x + b u( 2 2 1 ) 是一个普遍的电路方程其中x 是”维状态变量，“是激励向量。在没有病态的情况 下，电路都可以用这样的形式来描述。 假设输入激励可写成这样的形式 1 1 。( ，) = “o + u f tf ，o ( 2 2 2 ) 其中b o 和 l 是m 维的常向量。通常情况下，“。( 0 不一定必须限制成这样的简单的 信号形式，但为了计算方便我们作了这样的假设。从( 2 2 2 ) 0 0 我们可得到方程( 2 2 1 ) 的特解 x p ( r ) = 一a b u o a 一2 b u l 一a b u l t ( 2 , 2 3 ) 矩阵爿不能是奇异的，否则方程无解。这个条件就等价于要求所讨论的电路在所有 的电容开路和所有的电感短路时有唯一的边界清晰的解。对大多数要进行延迟估计 的电路而言，这个限制是合理的。但在实际应用中独立节点的情况是存在的，即该 节点只通过电容与激励源相连，这样的浮节点的稳态解必须由电压守恒方程决定。 这里假设电路中没有浮节点，方程的齐次解为 x ( s ) = ( s l a ) 。x ( 0 ) ( 2 2 4 ) 其中，x ( 0 ) = + a b u 。+ a b u ，表示齐次解的初始条件。 将凰0 ) 展开成麦克劳林级数 第9 页 硕士学位论文 人舰模集成i 乜路巾互连线的时域瞬态响应分析 上j ( s ) = ( s l a ) 上。( 0 ) = ( 一一一a s a j 2 a 一2 4 s 2 9 1 ) x ，( o ) ( 2 25 ) = m 0 + 朋1 5 + 2 片2 + - + ，打2 4 一l j 2 9 l m 称为时问矩。 m o = 一a “( 0 ) l = 一a 乩( o ) m 2 = 一a 。h ( o ) m 2 = 一a2 q x ( o ) ( 2 2 6 ) 可以看出这些时浏矩可以直接根据电路状态方程中的系数矩阵和齐次解的初 始条件求得。 同时方程也可以写成用零极点表示的传递函数的形式 ( s ) ：l + 上l + 叶l( 2 2 7 ) s p ls p 1s p 。 其中，皿为极点，血为留数，i = l ，2 ，q 。 若能求出方程的零极点，则齐次解很容易用指数函数的形式表示出来。所以， 找到已知的时间矩与方程的零极点之间的匹配关系，齐次解就可以求出来。 对式( 2 2 5 ) 和( 2 2 ，7 ) 先取s = o 的对应项系数相等，再逐次求s = o 点各阶导 数直至2 q - 1 阶，使得各对应项系数相等，可得到以下2 q 1 个方程 一( 量+ 蔓b - + 蔓) ： m o 】 p lp 2 p 9 一c 睾+ 务+ 一+ 争h 州， 。：。， 一c 者+ 嘉+ 刍h ， 简写为 f _ 巾k = 【聊f 】， i o a l k = m j ， 其中，肌，代表低阶矩( o ，1 ，旷1 ) ，m 。代表高阶矩( g ，q + l 对角复数极点矩阵的逆矩阵，0 是一个范德蒙矩阵，形式为 ( 2 2 9 ) 2 9 - 1 ) 。a - 1 是 第1 0 页 硕士学位论文 犬】；! i ! 模集成也路中互连线的时域瞬态响应分析 l p i 一2 p l l p 2 2 p 2 1 一i p u 一2 既 ； p q 9 。 进一步有 f k m = a 一- 。m mi 。m ，：。 o 是q 个极点的倒数形成的范德蒙矩阵 可递归得到 其中：彳一= a c - q m ，= m ol0 001 对以上方程分别递归q 次得 0 0 口口 鸺 所，m 叫 f 一 啪m ： m ，0 一d ， ! ；j | ； 一，m 2 q2 j l d 。一 ( 2 2 1 0 ) ( 22 1 i ) 同时也是一个模态矩阵，山其性质 m 。， 啪目+ ： 2 d ( 2 ，2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) 由此方程求出口后，可写出矩阵a 。特征多项式 a o + a l p 。+ a 2 p 一2 + - + a qt p ”。+ p 一9 = 0 ( 2 2 1 4 ) 据此方程即可求得口个极点。 求出极点后，可以容易地由式( 2 2 1 1 ) 中的第一式求得口个留数，从而状态 方程的齐次解写成指数函数的形式为 口 x 。( t ) = l ，p “。 ( 2 2 1 5 ) ，= i 将齐次解与前面( 2 2 3 ) 求出的特解叠加即得到j 吠态方程的完全解。 至此，我们完成了利用矩匹配方法求解电路状态方程的全部工作。 若电路中含有分布参数元件传输线，根据频域的电报方程( 21 2 ) 可得到传输 线的频域特性描述方程【2 5 爿，u ，御+ 丑，j ，倒= 0i = 1 , 2 ， ( 2 ，2 1 6 ) 将此方程作为添加项嵌入改进节点法列写的方程 2 6 1 第1 1 页 硕士学位论文人规模集成电路中互连线的时域瞬态响应分析 s c x ( s ) + g x ( ，) + 芝l k ，i ( j ) = j ( 2 2 1 7 ) i = 1 上式中第三项表示传输线，其r | l 为互连线的单元总数，互连线单元既可以为单 根线段，也可以为相互耦合的多导体线段，k 。则表示将第i 个互连线单元接入系统 中描述其连接拓扑关系的矩阵，其元素 “0 与1 组成，为一个行肼列的矩阵， 为变量列矩阵x 的维数，m 为互连线单元的端口数。 将式( 2 2 1 6 ) 、( 2 2 1 7 ) 综合后可表示为以下矩阵方程形式 j c + gk a i k ib i a 2 k 2 0 a n l k n | 0 k l k n t o0 b 2 ； 0 0 b q t | y “) r ( j ) l z ( s ) ； i 帆( s ) ，f n 0 0 ： 0 ( 2 21 8 ) 式( 2 2 1 8 ) 与( 2 2 1 ) 有相同的形式，可以用以l 二介绍的矩匹配方法来求解 含分布参数电路各节点的电压电流参数。 2 3 传输线的时域研究方法 直接时域法是直接在时域用数值方法将传输线的偏微分方程通过时空变量的离 散，转化为常微分方程求解。这类方法具有速度快、算法直接稳定的优点。一种典 型的时域方法就是特征法。其基本思想是将传输线偏微分方程( 电报方程) 在时问 空间的特殊区域( 特征线) 上以常微分方程的形式加以处理。 2 3 1 基本特征法 先从单根传输线入手，给出特征法的基本思想。为简单起见，还假设该传输线 无耗。即r = 0 、g = 0 ，则其电报方程为 o _ u + l 堡：o o xa t ( 2 3 1 ) 鱼；ca - ：0 a xa t 将x 和f 两个变量按照以下的公式进行变换 孝= x + 而t = h ， ， q = x - - 丽钳“ ( 2 3 2 ) 第1 2 页 硕士学位论文夫胤模集成f b 路中互连线的时域瞬态响应分析 式中v 。= 1 4 丽- 为传输线的波速。 将式( 2 3 2 ) 代入到式( 2 3 1 ) 中，则电报方程r t 的自变量换为f 和”，有 塑+ z n 堡：0 戈“凭 ( 2 33 ) 竺_ z 0 当：o 式中z 。= 工c 为传输线的特性阻抗。 可以看出，式( 2 3 3 ) 中每个方程虽然都含有和i 两个电量，它们均为两个 自变量产和护的函数，但两个自变量已隔开，在一定条件下可以将它们改写为常微 分方程的形式 婴+ z 。i d i ：0 q ：c o n m ( 2 3 4 ) d 芒”d e d u z 旦l ：0e ：c o n s f ( 2 3 5 ) d 1 1。d 需要满足的条件是要在方程组的特征线上求解，用特征法求解传输线的瞬态 响应即是在特征线范围内按常微分方程求解电报方程。2 3 1 1 表示的就是特征线图， 图中两组斜率分别为v 。和一v 。的直线族称为特征线族。在x 轴上以4 x 为步长取若干 个取样点，在y 轴上以4 ，为时 间步长，4 x = v 。4r 。当传输线波 速沿长度变化时( 例如非均匀传 输线) ，特征线为曲线。对方程 ( 2 3 。4 ) 应该在等矽线上求解， 此时变量x 和t 应满足正比关系； 反之方程( 2 3 5 ) 应在等，线 上求解。 对有耗传输线，其分布参 数以最厶厶f 表示，同样用以 上的原理进行变换可得到以下的 常微分方程 蒸 冀矿纠 r v f = 簧巧d i = 一( g z o u + r i ) i d t l u z o 生= i ( g z o u - r i d q 2 ) d t l 0 f1 图20 1 1 特征法的基本原理圈 ”3c o n s l e = c o n s l ( 2 36 ) ( 2 3 ，7 ) 第1 3 页 硕士学位论文大规模集成电路巾互连线的时域瞬态响应分析 一般情况下有耗线不满足无畸变条件( l c = r g ) ，此时方程( 2 3 6 ) 、( 23 7 ) 不能有效地得到解析解，而只能用数值方法求解。将时间和长度分成网格，在各个 采样点将微分方程化为差分格式，除两端外的各点电压电流值，都可以由该采样点 所在的两根特征线分别得到的差分方程联克求解，在长度利时间轴上逐层推进而得 到，即 h ( x k ，t i + 1 ) + z 。i ( x e , t , , i ) ：“( x k _ lr l i ) + z 。i ( x ki ， i ) 一等【g z 。“( x k _ i , l ，) + r i ( x k - l , t , ) 】 r = c o n s t ( 2 _ 38 ) h ( ，f 川) 一z 。f ( ，r 川) = ( _ * l ，t i ) 一z 。f ( _ 川f 。) + 竺； g z o ( 小f ，) 一r i ( x k 小，) 】 z 亭= c o n s t ( 2 3 9 ) 式中 = a ( x + 1 0 ，) = 2 a x = 2 v 。a t ，1 = c o n s t 叩= a ( x v 。f ) = 一2 a x = 一2 v 。a t善= c o n m 而对传输线的左端点应使用等 线上的差分格式联立左边界条件求解；反之， 右端点应使用等口线方程联立右边界条件获得。 在高速电路系统的布线中，由于布线密度的增加而使互连线间存在耦合，其分 布参数均需要用矩阵形式表示，传输线的电报方程也相应变为彼此问存在耦合的偏 微分方程组。 单根互连线用特征法求解时，最基本的特征是将电压和电流分解为入射波和反 “( 0 ，t 1 “d ( o t )矾t )“( t ) i l ”，u f d ( o ，t )i d ( t , t ) l 鼠 2 ss n 一，_ 图2 3 1 2 多导体互连线的模式变换示意图 射波旦各具有波速，对多根耦合线显然不能满足这个条件。因此要首先用特征 模分析法将根相互耦合的传输线分解成n 个特征模，每个特征模可作为一单根传 输线处理，且各具有由其特征值可得到的模相速。这个过程等价于将分布参数对角 化或方程组去耦，这一详细过程可参见参考文献【2 7 】，其示意图如图2 3 1 2 所示。 这一方法的关键过程是对电压和电流作如下线性变换 第j 4 页 硕士学位论文火规模集成电路中互连线的时域瞬态响应分析 u ( x ，r ) = s 。u ( x ，t ) i ( x ，f ) = s ，i ( x ，r ) ( 2 31 0 ) ( 2 31 1 ) 其中，s 和满足关系式 s ：( s ，7 一 ( 2 3 1 2 ) 则耦合系统的电报方程i j 变为 善( x ，) = 一( s 。) l s 。善f ( x ，r ) 一( s 。) r s 。i ( x ，) ( 23 1 3 ) 导f ( x ，f ) ：一( s ，) c s 兰“( x ，f ) 一( s 。) 一1 g s ，h ( 墨，) ( 2 - 3 1 4 ) 只要一( s 。) 。l s 。、一( s 。) 。1 r s 。、一( s 。) _ 。c s 和( s ，) “，是对角阵，耦合系统就 可以分解为个模式，每个模式都可以用与单根线相似的处理。 若互连线是有耗的，使r 、l 、c 、g 同时变成对角化很复杂，甚至难以实现。 若对传输线作适当的限制，可以实现同时对角化的目的。假设多导体线系统中每一 根线的横截面形状尺寸都相同，相邻线的问距相同，每一根线的自分布参数认为相 同；只考虑相邻线间的耦合，相隔线问的耦合可忽略不计，且每一对相邻线间的耦 合系数均认为相同。满足上述假设的传输线的分布参数矩阵均为三对角阵，也可称 为t o e p l i t z 矩阵。 任意一个对称的三对角t o e p l i t z 矩阵a ，其特征值可由标准t o e p l i t z 矩阵的特征 值根据以下公式计算 丑，= a + “6 ( 2 , 3 1 5 ) 式中盯为矩阵爿的主对角线元素，b 为次对角线元素，p ，是标准t o e p l i t z 的特征值。 其特征矢量矩阵与标准t o e p l i t z 阵的相同。所以取同样的电压及电流的线性变换， 可以同时使电报方程右侧的系数矩阵对角化，最后实现时域电报方程组的去耦。 为了求解有耗线，可采用部分特征模变换方式，即在电压和电流变换后，只让 矩阵上和c 被对角化，尺和g 则被变换为其他非对角矩阵，。这样就可以对任意耦 合的传输线进行求解，而不需要作一些限制。 首先将特征模变换后的电报方程( 2 3 1 3 ) 和( 2 3 1 4 ) 按上面已经的基本的特 征法进行处理，可得到 三 “i a 邸小一圭 g d i a g ( z o 枷屯】 t 1 - c 删 ( 23 1 6 ) 导【一d i a g ( z 。) 屯】：l g d i a g ( z o s ) d 一月】 l = c o n s t ( 2 3 ，1 7 ) n厶 因为各个模的参数不同，使得它们具有不同的模相速，为了实现各导体线在 时间上步长一致，我们取最大的波速来计算网格数m ，并据此计算长度步长。显然 第1 5 页 硕士学位论文人刖模集成电路巾匠连线的时域瞬态响麻分析 这种网格划分可使互连线两端点都位于网格的节点上。但是在应用差分形式的特征 法时，对于各个模式的某一时间取样点和长度网格节点上的电压电流值，一般不能 直接由前一时间取样点和长度网格节点卜i 电压电 流值按式( 2 3 1 6 ) ( 2 31 7 ) 进行计算，而首先应 采用内插法求出前一时间步长内氏度符合特征法 的位置上的电压电流值。如图2 3 1 4 ，、。，与k 之间的距离为4 工。第j 个模式由于不满足a x = v 。j i d ，点的电压电流不能由朋铂点的相应值得到， 通过日点分布作两根斜率为l b 和- 1 喇的直线 与x 轴交于i 、j 。则由内插公式得到如下表达式 图2 314 内插法的原理图 ( , l ，f “j 2 百v s a t ( ，一) + 1 d e c - va t ( f 一) ( 2 3 1 8 ) v ；a ta x v a t ( x o 川) = 寺( t ，f j 一) + 寸u a j ( o ，) 由以上分析利用内插方法就可得到用部分特征法求解有耗传输线的时域模型。 2 3 2 改进的特征法 以上介绍的特征法都必须在每一个长度取样点上设定电流电压变量，需要占用 较多的内存和计算时间，若采用改进的特征法就可以直接算出传输线两端的电压电 流，沿长度方向不需要划分网格。 由式( 2 1 6 ) 可知传输线两端