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多分辨 EMD 方法与频域平均在齿轮早期故障诊断 中的研究 鞠萍华，秦树人，秦毅，丁志宇 重庆大学，重庆，400044 摘摘 要要：时域平均常用于提取旋转机械振动信号的故障特征，但当旋转机械出现早期故障时，背景噪声常会使该方法失 效， 当旋转机械存在多种故障时， 亦不能有效的分辨。 通过比较分析小波变换、 Hilbert-Huang 变换和多分辨分析的 Hilbert-Huang 变换，在分析时域平均的基础上，提出了多分辨分析的经验模态分解方法（Multi-resolution Empirical Mode Decomposition ， MEMD）与频域几何平均相结合的诊断新方法。工程实例的应用结果表明，所提出的方法能有效地实现齿轮早期故障诊断。 关键词：关键词：早期故障诊断，多分辨分析，Hilbert-Huang 变换，频域平均 中图分类号中图分类号: 文献标识码：文献标识码：A Research on Gear Earlier Fault Diagnosis by Method of Multi-resolution Empirical Mode Decomposition and frequency domain averaging Ju Ping-hua, Qin Shu-ren, Qin yi, Ding zhi-yu Chongqing University, Chongqing, 400044 Abstract: Time domain averaging is a common method to extract the fault characteristics of vibration signal of rotating machineries. However, when rotating machineries occurring earlier faults, time averaging will not be applicable because of the influence of the strong background noise. It also cant distinguish the different faults from rotating machineries effectively. Via the comparative analysis of wavelet transform、Hilbert-Huang transform and Multi-resolution Hilbert-Huang transform, based on the analysis of time synchronous averaging, a new method which combines the method of Multi-resolution Empirical Mode Decomposition (MEMD) and Frequency Domain Geometrical Average is proposed. The application results show that the proposed method can realize the earlier gear fault detection effectively. Keywords: earlier fault diagnosis, multi-resolution analysis, Hilbert-Huang transform, frequency domain average 0 引言引言 振动信号是旋转机械故障特征信息的载体，对 旋转机械的状态监测和故障诊断的主要手段是对其 振动信号进行分析和处理。齿轮箱装置是一个复杂 的机械系统，产生的振动信号所含的频率成份非常 复杂，其中各零部件正常运转所产生的振动信号的 能量占主要地位，包括固有频率、齿轮轴旋转频率 和齿轮啮合频率等，其频带也较宽，而由故障引起 的信号一般比较微弱,且大部分位于调制信号中1， 因此直接利用谱分析技术很难识别出由齿轮局部故 障引起的边带。对于齿轮早期故障，因其产生的调 制持续时间很短,边带的频率成分宽且幅值很低， 所 以谱中的背景噪声会掩盖边带的存在,要准确检测 出这类故障就更难。另外，对具有多对啮合齿轮的 齿轮箱来说，要准确获知其故障的类型和特征，一 般的技术手段难以获得满意的效果。 本文通过对时域同步平均的分析，结合多分辨 分析的Hilbert-Huang变换， 将频域几何平均用于齿轮 箱的早期故障诊断，并通过实例表明该方法的有效 性。 1 基本理论基本理论 1.1 时域平均时域平均 从齿轮箱采集的信号一般都含有强噪声，信噪 比非常低，理论和实践表明时域平均能较好地消除 随机噪声和抑制无关的周期信号，对从噪声中提取 特定周期信号是非常有效的方法2。 当齿轮箱出现故 障时，其故障的频谱特征主要表现为使齿轮轴的转 频及其谐波处的振幅加大，或在啮合频率及其谐波 周围产生以故障齿轮运行频率为间隔的边带族。因 此，故障信号的频率通常与齿轮轴转速有直接的对 应关系，准确获知转速对于用时域平均提取特定周 收稿日期：收稿日期： 基金项目：基金项目：国家自然科学基金资助项目（50575233）;863 高 技术计划（2005AA420350） 期的信号就显得尤为重要。时域平均是一种积累抗 干扰的过程，它对输入信号没有信噪比的要求，这 种方法的关键是测量时要拾取回转轴的时标信号， 来锁定各信号段的起始点。 一般可采用频率乘法器， 即通过对时标信号扩展或压缩的运算，把原来的周 期转换为被检齿轮的旋转周期， 并以此确定A/D变换 器的触发时机，再把信号按此周期截断迭加，进行 平均。 时域平均的基本原理如下： 设被分析信号为 x(t)， 对 x(t)以t 为采样间隔采 样得 x(nt)，则时域平均的结果可用式（1）表示： = += 1 0 )( 1 )( N m mTtnx N tnx (1) 式中， N 为对信号 x(nt)的截取段数， 每段长度 （即每段采样点数）取基本周期 T。 对式（1）进行 z 变换，可得其传递函数的幅频 响应和相频响应分别为 )sin( )sin(1 )( )( )( 0 0 N NzX zX H j ez = = (2) 0 ) 1()(=N (3) 式中0=2/T。分析表明，信号x(nt)的时域平 均相当于用一梳状滤波器对其作滤波处理， 即式 （2） 的波形象一木梳， 信号的感兴趣的周期分量 （f=1/T） 及其倍频分量能顺利通过，而信号中的随机干扰和 无关的周期分量被消除或抑制了（具体的工作原理 见文献2） 。式（1）中，T的确定显得尤为重要， 如果式中的T与实际截取长度T0存在偏差T=T-T0 时， 以T为周期的感兴趣分量就象无关周期分量一样 在平均中将被衰减抑制。 时域平均对于从噪声中提取特定周期信号是比 较有效的方法，它能较好地消除随机噪声和抑制无 关的周期信号，但同时也会损失信号的频谱特征和 一些冗余的信息，而且由于齿轮箱实际工作情况非 常复杂，很多情况下，仅采用时域平均不能完全有 效地检测出齿轮故障，当齿轮箱存在多种故障时， 这种方法亦不能有效的分辨，如果故障处于早期阶 段，时域平均就更显得力不从心。为充分利用时域 平均的优良性能，克服其不足，特将时域平均的思 想 用 于 频 域 ， 并 结 合 多 分 辨 分 析 的 思 想 和 Hilbert-Huang 变换，可有效的实现齿轮箱早期故障 的诊断。 1.2 MEMD 的选择的选择 1.2.1 小波变换的特点与不足小波变换的特点与不足 小波变换的多分辨率特征，使其有力地克服了 传统 Fourier 变换的缺点， 在时域和频域均具有较高 的局部性，故目前在非线性、非平稳信号分析中是 较为常用的时频域分析工具。 信号 x(t)的小波变换可表示为 )(),( )()(),( , , 21 ttx dtttxssWT s s x = = + (4) 由式（4）可看出，信号 x(t)小波变换的实质是 用确定的基函数)( , t s 与信号作内积变换，从信号 中提取出与基函数最相似的特征，一旦小波基被选 定后，将用于分析全部数据，这可能会出现对全局 来说所选的小波基是最佳的，对局部来说却是比较 差的。因此，小波变换不具有自适应的特点，也就 是说，小波变换无法从信号的局部特征出发选择小 波基，在某些情况下其分解结果不能表现旋转机械 故障信号的本质特征。此外，小波变换在本质上是 窗口可调的Fourier变换， 由Heisenberg不等式可知， 小波谱的时间和频率分辨率是相互影响的，对信号 作小波变换时产生能量泄露是难以避免的，因此对 信号在时域和频域作精确分析较为困难。 1.2.2 Hilbert-Huang 变换的特点与不足变换的特点与不足 Hilbert-Huang 变换是新近发展起来的处理非线 性、非平稳信号的时频分析方法。它直接由信号本 身构造基函数，从局部时间尺度入手，获得不同尺 度特征的固有模态函数（IMF） 。Hilbert 谱的时间和 频率分辨率是相互独立的，能获得比小波谱更高的 时间和频率分辨率，因此该方法具有良好的局部适 应性和结果的直观性，较好地克服了小波变换存在 的问题。 Hilbert-Huang变换分为两步：首先，被分析信 号被分解为有限数目的固有模态函数IMF，然后再 利用Hilbert变换方法求解出每一个IMF的瞬时频率， 从而得到原始信号的Hilbert谱4。 其中最关键的技术 是利用信号的局部时间尺度获取IMF的经验模态分 解方法(EMD)。但EMD存在两方面的困难，即在一 个固有模态函数中可能存在模态混叠现象以及由于 需要对整个数据长度进行样条拟合，计算量巨大， 实时性差。为克服这些困难，可采用基于多分辨分 析的经验模态分解方法（MEMD）5。 1.2.3 多分辨多分辨 Hilbert-Huang 变换简介变换简介 为了在 Hilbert-Huang 变换中引入多分辨分析， 需修正 IMF 的定义， 构成分段 IMF。 分段 IMF 就是 满足下面两个条件的函数： 1)整个信号由一段或者多段满足某一特征尺度 的部分信号组成。对每一段，极值点的数目和过零 点的数目必须相等或者至多只相差一点； 2)在任意时刻，对每一段，由极大值点定义的 上包络线和由极小值点定义的下包络线的平均值为 零。 由分段 IMF 的定义可看出， 每一个分段 IMF 可 由多段 IMF 构成，其每一段满足 IMF 的两个条件。 分段 IMF 产生的原因是由于多分辨分析技术的引 入，即采用某一特征尺度参数获取对应 IMF 时，有 些信号可能在某一时间段内，不含有该特征尺度的 信号成分，形成分段 IMF。 小波变换中，小波基的尺度参数的变化反应出 频率的变化特征， 在 MEMD 中， 同样可由时间尺度 参数刻画出信号的频率变化情况（信号的特征尺度 参数是由信号相邻的两个极值点的时间跨度确定） 。 MEMD 的实现算法如下： 1 初始化：r0(t)= x (t)，i=1； 2如果余量ri(t)为单调函数或者其幅度小于预先 给定的阈值，则算法停止，否则： 3 通过以下滤波过程得到各分段IMF，记为 ci(t) ； 3.1 初始化：h0(t) = ri-1(t)，j=1； 3.2 判断hj-1(t)是否为一个分段IMF，这包括各 段的过零点条件和均值条件的检验。如果两个条件 都满足，则转第 4 步，否则： 3.2.1 找出hj-1(t)的全部极值点（从信号的第 一点出发，获取第一个极值点。判断其时间跨度是 否满足：tspan2it，若是，则记录该极值的坐标值， 否则放弃该点。继续搜寻第二个极值点，若两极值 点的时间跨度满足：tspan2it ，则记录其坐标值。 依次进行，就可以获得多段满足tspan2it 的部分信 号） ； 3.2.2 分别对hj-1(t)的极大、极小值点进行插 值拟合，求得上、下包络线，并计算包络线的均值 曲线mj-1(t)； 3.2.3 hj(t) = hj-1(t) - m j-1 (t)，j=j+1，转 3.2； 4 ci(t) = hj-1(t) ； 5 ri(t) = ri-1(t) - ci(t) ，i=i+1，转第 2 步； 在第二步中定义函数： minmax minmax )( ee ee ta + = （其中emax、emin，分别为上、下包络线）作为判定 是否中止筛选过程的判据。设定三个门限值1、2、 ，规定当(t)里面小于1的比率达到，且不存在大 于2的值时，中止筛选过程（默认值为：1=0.05， 2=0.5，=0.95）6。 若设信号的总长度为N，则最多可获得N/2 阶分 段IMF和剩余分量rn,n。 1.2.4 小波变换、小波变换、Hilbert-Huang 变换和多分辨变换和多分辨 Hilbert-Huang 变换的比较分析变换的比较分析 对信号进行小波分解时，需要预先确定基函数 和分解尺度，得到的分解结果是某一固定频率段的 时域波形， 由于不是依据信号本身的信息进行分解， 得到的波形可能误差较大而失去本身的物理意义。 而 MEMD 方法将信号自适应地分解为若干个 分段 IMF 分量之和， 每个分段 IMF 分量包含了不同 的特征时间尺度，即对应信号的不同的分辨率，且 分辨率的大小是随不同的信号而改变的，因此， MEMD 方法的基函数在分解过程中自适应地随信 号产生，各分段 IMF 分量包含了原始信号的局部特 征信息，都具有一定的物理意义。 式 （5） 表示的仿真信号其时域波形如图 1 所示。 ) 50 2 sin() 25 2 sin() 10 2 sin()(ttttx += (5) 图 a）是用小波基 daub5、分解层数为 5 所得的 结果；图 b）是用 MEMD 方法所得的结果。可清楚 的看出，MEMD 方法能有效的分离出这三个正弦分 量，且较好的保持了其时域波形。而进行小波分解 时，各分量明显的存在波形失真，且产生了原信号 所没有的噪声。 由前面的分析可知，Hilbert-Huang 变换虽能克 服小波变换的典型不足，但传统的 EMD 方法由于 需要对信号整个长度范围内作样条插值，当采样点 数大时就需要运算高价矩阵，计算量大实时性差。 另外，当信号存在局部突变时，EMD 分解结果可能 存在模态混叠现象，不能完全由不同的特征尺度分 离出对应的模态成分。 而 MEMD 方法采用多分辨分析的思想， 用不同 的特征尺度得到的可能是分段 IMF 分量，进行三次 样条拟合时亦是分段进行，计算量大为降低。另外， a) The wavelet decomposition of signal 图 1 信号的小波分解和 MEMD 分解 MEMD方法的特征尺度参数取 2it（t为采样时间 间隔，i=0,1,N/2） ，因此能有效分离出不同的模态 分量。 式（6）表示的是一由固定频率成分和暂态成分 组成的信号。其 EMD 和 MEMD 分解结果如图 2 所 示。 + = 1000,450()400, 0 ) 50 2 sin( 450,400 )2sin( 20 1 ) 50 2 sin( )( t t t tt tx （6） 由图 a）可看出，EMD 分解结果存在明显的模 态混叠现象，一、二阶 IMF 分量中，大小波都同时 存在，彼此交叠在一个分量中。这主要是由于时间 尺度特征在某段时间内存在显著变化引起的。而在 图 b）中，这种现象被有效的消除了（分解结果还 有多余几个分量，但其能量很小，可以忽略） 。 1.3 频域平均频域平均 由前面的分析知，多分辨 Hilbert-Huang 变换结 图 2 仿真信号的 EMD 分解和 MEMD 分解结果 合了小波变换和传统Hilbert-Huang变换的优点克服 了其不足。 应用 MEMD 实现对信号的层层筛分， 从 而获得从小尺度到大尺度的有序排列的多阶 IMF， 在频域上，即为从高频到低频的层层过滤。 设信号 x(t)经过 MEMD 的结果为 = += n i nni rtctx 1 , )()( (7) 对每一阶 IMF 作 Hilbert 变换，得 ) (1 )(dt tt tc tcH i i = (8) 可得解析信号为 )( )()()()( tj iiii i etAtcjHtctz =+= (9) 其中， )()()( 2 2 tcHtctA iii += （10） )( )( arctan)( tc tcH t i i i = （11） 050100150200250300350400450500 -5 0 5 050100150200250300350400450500 -2 0 2 050100150200250300350400450500 -2 0 2 050100150200250300350400450500 -2 0 2 050100150200250300350400450500 -2 0 2 050100150200250300350400450500 -1 0 1 050100150200250300350400450500 -0.1 0 0.1 signal b) Muti-resolution Analysis Empirical Mode Decomposition imf1imf2imf3imf4res. 于是可求得 IMF 分量的瞬时频率为： dt td t i i )( )( = (12) 由式（9）和式（12）可得原始信号的 Hilbert 谱为 = = n i dttj ii i etAtH 1 )( )(Re),( (13) 式中省略了残量rn,n，Re表示取实部。 根据早期故障信号的特点，同时为利用时域平 均的优良性能，故对 Hilbert 谱采用几何平均的办法 以有效实现齿轮箱的早期故障诊断。 设信号可获得 i 阶分段 IMF 分量，时域的截取 周期为 T，则 Hilbert 谱平均可表示为 N N m ii mTtnHtnH 1 1 0 )( ,(),( = += (14) 式中，n=0，1，T-1。i是与时间尺度 2it 相 对 应 的 瞬 时 频 率 。 信 号 的 Hilbert 谱 平 均 ),(Htn i 存在断齿缺陷。 箱结构及存在缺陷的齿轮 图5为齿轮箱振动信号的时域波形和频谱图 （采 样频 图 为此，可采用频域几何平均的诊断方法。其中， 平均周期取解所得的各 阶分 应为iT阶矩阵，矩阵的列反应信号在 某时刻的频谱特征，矩阵的行代表信号的时域分布 （如图 3） 。 图 3 频域平均 分析式（14）知，由故障引起的周期脉冲能被 多次相乘，即式中对应的每一个i 在每一周期内都 被乘积，使得其幅值呈几何级数增长。这样，使得 出现故障的齿轮箱较弱的故障信号被明显加权，特 征更突出，而随机干扰信号由于没有周期性而被极 大地抑制或消除了。 一般齿轮箱可能为多级传动，而且各传动轴上 可能有多对齿轮参与啮合，为准确获知其故障的类 型和位置，对式（14）中的T应选择齿轮箱中各种周 期的最大值。例如，设齿轮箱为两级传动，各轴转 频分别为 10Hz(周期T1=0.1s)、20Hz（T2=0.05s） 、 50Hz（T3=0.02s） ，则式（14）中的T就应为 0.1s， 这样能保证齿轮箱的任一周期信号都能被处理，从 而使各故障引起的周期信号能突出显示。 2 应用实例应用实例 图 4 是作者在重庆大学的机械传动国家重点实 验室的齿轮传动故障检测实验装置进行实验所用的 齿轮箱。齿轮箱为两级变速，四个齿轮的齿数分别 为 30、69、18、81，总传动比为 10.35，其中 II 轴 上的齿数为 69 的齿轮有少数几个齿存在轻微磨损 的故障，输出轴 III 上齿数为 81 的大齿轮的一个齿 图 4 齿轮 断齿缺陷断齿缺陷 I轴轴II 轴轴 III 轴轴 率为 30KHz，采样点数为 32768 点） ，可看出， 由于故障较弱，很难从信号的时域波形或频谱图获 得有用信息。 t i TTTTTTT N a) 齿轮箱振动信号时域波形 b) 齿轮箱振动信号频谱图 5 齿轮箱早期故障信号分析 T=0.52s。图 6 为 MEMD 分 段IMF和残量。 图7为信号的Hilbert三维谱图， 由图可看出，信号的频率成分是比较复杂的，淹没 在其中的故障信号难以直接分辨出。图 8 是对信号 进行几何平均的三维谱图，故障信号的特征能较为 明显的看出。其中频率为 156Hz 左右峰值较大的波 谱为断齿缺陷引起，频率为 600Hz 左右峰值较小的 几个波谱表明齿轮的局部磨损的故障特征。 图 6 故障信号 MEMD 分解结果 图 7 信号的 Hilbert 三维谱 图 8 信号的 Hilbert 谱几何平均的结果 3 结论结论 时域周期信 ，消除噪声和非相关干扰，是较为有效的信号分 技术，但当齿轮箱存在多种故障或信号 种方法就会失去作用。而频域几何平均 则对 2】 刘红星，林京，屈梁生，信号时域平均处理中的若 干问题探讨，振动工程学报，1997 ctrum, Annu. 【5】 辨