（基础数学专业论文）非局部边值问题正解的存在性和全局结构.pdf

摘要 摘要 本文主要使用非线性泛函分析中的拓扑度理论研究时间测度上奇异微分方 程多点边值问题和特征值问题正解的存在性、非局部边值问题正解的全局结 构。全文共分六章。 第一章，系统地介绍本文的研究背景和主要的研究工作。 第二章，介绍时间测度链上的相关定义和相应的计算公式、定理；介绍 一些预备知识和引理。 第三章研究奇异2 佗阶微分方程三点边值问题 a ，6 】， ( 叩) ， ( 1 ) l ， 其中，7 ( n ，6 ) ， i = 1 ，2 ，竹，屈0 ，1 乍 旦等，0 q i 生二塑安生 丛生型；非线性项伽：( n ，6 ) _ 【o ，+ 。o ) 和，：【n ，6 】( o ，+ 。) _ 【0 ，+ ) 是连续的且w 在t = o 和或t = 6 处可能有奇性，在让= 0 处有奇性。通 过使用截断技术和算子逼近理论处理非线性项的奇性，再使用k r a n s n o s e l s k i i 不 动点定理研究问题( 1 ) 正解的存在性。 第四章研究了奇异2 n 阶微分方程特征值问题 其中入是一个正参数，7 ，屈，m ，o l i 和非线性项w ，f 都与方程( 1 ) 相同。利用k r c i n r u t m a n 定理获得了正线性算子的第一特征值和相应的正特征函数，再联合不 动点指数定理，证明了特征值问题( 2 ) 正解的存在性、多重性，同时也给出了参 数入的存在区间。 i 卜 挺 一 、， i q 0 u = 一 竺唆 月 l州舢邯 、j + = 卜 轨 一， ，川 州刊 u 0 r 1 2 j 一 。 协 h叭l 弋 一 扶 舻 卜 l m o 纠 一 ，l h j d u 0 ，： t = ，l )篙唆 、几 o ， u + ( 她 觯 胪 、， + = 卜 轨 一， ，刀州刊 u 0 垡 一 a。 饵 卜萨 协 摘要 第五章，考虑了二阶微分方程三点边值问题 r 亡) + 叫( 。) m ( 。) ) = o ，0 。 l ( 3 ) lu ( o ) = 卢u 7 ( o ) ，u ( 1 ) = q u ( 叩) ， 其中卢0 ，0 7 7 1 ，0 0 ，有y ( u ) 0 。使用l e r a y s c h a u d e r 全局连续性定理和分析技巧，研究了二阶微分方程边 值问题( 3 ) ，在非线性项，分别满足，0 = 慨墨竽= o 、厶= ，熙氅竽= 。o ( 超 线性情况) 和矗= 、厶= 。( 次线性情况) 的条件及a 。， 并) 时，微分方 程( 3 ) 正解的存在性和全局结构，同时也给出了不存在正解的情形。 第六章，我们研究了含积分边界条件的奇异二阶微分方程特征值问题 i 让( t ) + a g ( t ) f ( u ( t ) ) = 0 ，0 o 和k = + 。利用s m r r n l i o u v i l l e 特征值理论、 l e r a y s c h a u d e r 全局连续性定理、不动点指数定理和上下解方法相结合，证明了 特征值问题( 4 ) 正解的存在性、多重性和不存在性，同时我们也给出了特征值问 题( 4 ) 正解的渐近性态和参数入的相应区间。 关键词：边值问题；全局连续性定理；不动点指数定理；正解；奇性；分歧理 论；全连续；时间测度；g r e e n 函数；存在性；多重性 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yi n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st om u l t i p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dt h ee i g e n v a l u ep r o b l e m so nt i m es c a l e sf o rs i n g u l a rd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h eg l o b a ls t r u c t u r eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rn o n l o c a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sb yu t i l i z i n gt h et h e o r yo ft o p o l o g i c a ld e g r e e so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a n a l y s i s t h e r ea r es i xc h a p t e r s c h a p t e r1p r e s e n t st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dm a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s c h a p t e r2i sa b o u tp r e l i m i n a r i e so ft h i st h e s i s b a s i cd e f i n i t i o n s ，f o r m u l a sa n d t h e o r e m so nt i m es c a l e sa r es t a t e d c h a p t e r3i sc o n c e m e dw i t ht h ef o l l o w i n gt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o rs i n g u l a r2 n t h - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， i ( 一1 ) n 铲2 ”( t ) = w ( t ) f ( t ，u ( ) ) ，【a ，6 】， u 2 a ) 一屈舭2 件1a ) = o ! i + 1 u 胪( 叩) ， ( 5 ) lm + 1 u 2 ( 叩) = 札2 ( 6 ) ，0 i n 一1 ， w h e r e 吲n ) 6 ) ，屈孔1 m 篇 o a t i = 1 ，2 ，佗；t h en o n l i n e a r i t yw ：( a ，b ) 斗 0 ，+ ) b m 7 7 + ( m 一1 ) ( o 一屈) d 一叩 a n d ，：a ，6 】。( 0 ，+ ) 斗 【0 ，+ 。) a r ec o n t i n u o u s ，wm a y b es i n g u l a ra tt = aa n d o rt = b ，a n dfi ss i n g u l a ra t 秕= 0 i nt h i sc h a p t e r , w ed e a lw i t ht h es i n g u l a r i t yb yu t i l i z i n gt h ea p p r o x i m a t et h e o r y , a n di n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nt ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( 5 ) b yt h e u s eo fk r a s n o s e l s k i it h e o r e m c h a p t e r4s t u d i e st h ee i g e n v a l u ep r o b l e m sf o rs i n g u l a r2 n t h o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s l ( 一1 ) n 让2 “( t ) = a w ( t ) f ( t ，钍( t ) ) ，t 【n ，6 】， u 2 ( 口) 一触1 u + 1 ( 口) = o ! i + 1 u 驴( 叩) ， ( 6 ) lm + 1 u 2 ( 叩) = t 正2 ( 6 ) ，0 i 佗一1 ， w h e r e 入i sap o s i t i v ep a r a m e t e r , a n d 叩，屈，m ，q i ，w ，fa r ea sa b o v e w eo b t a i nt h e f i r s te i g e n v a l u eo ft h ep o s i t i v el i n e a ro p e r a t o ra n dt h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n f u n c t i o nb y _ m u t i l i z i n gk r e i n - r u t m a nt h e o r e m m o r e o v e r , b yt h e f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m ，w es h o w t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o nt ot h ee i g e n v a l u ep r o b l e m ( 6 ) a n dt h e e x i s t e n c ei n t e r v a lo ft h ep a r a m e t e ra i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e rt h et h i n e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d 佃 v ”- 0 0 “ 1 ， ( 7 ) iu ( o ) = 触，( 0 ) ，u ( 1 ) = a 乱( 叼) ， w h e r ep 0 ，0 叩 l ，0 a t 0 ；t h en o n l i n e a r i t yw 以【0 1 】+ 肿) ) , a n d 6 e s fe c ( r + , r + ) , r + = 0 , o o 型) s a t i s = 0 f i e sf氏(uthe n o n l i n e a r i t y s a f 0 l i m dk 。o ! ? 凝兰： ，t i s 6 e 8 m e 栅n o n s 2 删了= 0 ，氏2 溉等2 。 c s 叩e 订；n e 砷a n d 矗= o 。，厶= 。( s u b l i n e a r ，r e s 妒c n v e 弘a 。，著器) ，w e o b t a i nt h eg l o b a ls t r u c t u r eo fe x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o h st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 7 ) b yu s i n gl e r a y s c h a u d e rt h e o r e ma n da n a l y s i st e c h n i q u e f u r t h e r m o r e ，w ed i s c u s s t h ec a s eo fn o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s c h a p t e r 6i n v e s t i g a t e st h es i n g u l a rs e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n t e g r a l b o u n d a r yc o n d i t i o n l ( t ) + 幻( ) ，( 仳( ) ) = 0 ，0 0 ，a n d k = + w r eo b t a i nc r i t e r i ao ft h ee x i s t e n c e ， m u l t i p l i c i t ya n dn o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st ot h ee q u a t i o n ( 8 ) b yu t i l i z i n gt h e s t u r m l i o u v i l l ee i g e n v a l u et h e o r y , l e r a y s c h a u d e rg l o b a lc o n t i n u a t i o nt h e o r e m ，a n d f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y m e a n w h i l e ，w eg i v et h ea s y m p t o t i co ft h es o l u t i o n sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gi n t e r v a lo ft h ep a r a m e t e r 入 k e y w o r d s ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；g l o b a lc o n t i n u a t i o nt h e o r e m ；f i x e dp o i n t i n d e x ；p o s i t i v es o l u t i o n ；s i n g u l a r i t y ；b i f u r c a t i o nt h e o r y ；c o m p l e t e l yc o n t i n u o u s ； t i m es c a l e s ；g r e e n sf u n c t i o n ；e x i s t e n c e ；m u l t i p l i c i t y 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：瑚逮 签字日期：! p ：够垄： 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 口公开口保密( 年) 作者签名：j 困进 签字同期：型f ! ：坚! 丝： 新虢堑玺：燮 签字日期：垒丝：兰呈 第1 章引言 1 1 研究背景和意义 第1 章引言 非线性泛函分析是现代数学中一个即有深刻理论意义，又有广泛应用价值 的研究方向；它是以自然科学、工程技术、控制理论等各个领域中出现的非线 性问题为研究背景，建立了处理许多非线性问题的若干一般性理论，是现代分 析学中一个非常重要的数学分支。目前非线性泛函分析理论主要包括拓扑度理 论、临界点理论、半序方法、解析方法和单调型映射理论等，其研究成果为当 今科技领域中屈出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，并在处理应 用学科中提出的各种非线性微分方程、积分方程和其他各种类型的方程以及计 算数学、控制理论、工程技术、经济学等许多领域中的非线性问题发挥着不可 替代的作用。非线性泛函分析基础理论和应用的研究己引起许多从事泛函分 析、微分方程研究的学者广泛关注。 非线性泛函分析的理论研究工作可以追溯到1 9 1 2 年著名数学家b r o u w e r 对 有限维空间建立了拓扑度的概念，到1 9 3 4 年著名数学家l e r a y 和s c h a u d e r 合作在 无穷维空间上建立了拓扑度理论，从而奠定了非线性泛函分析的理论基础。随 后，经国内外许多著名学者近几十年的努力，己逐步建立和完善了非线性泛函 析的基础理论体系，同时利用非线性泛函分析应用研究非线性问题获得了大量 创新性的研究成果( 参看【5 ，2 8 ，2 9 ，3 2 ，3 3 ，3 7 - 3 9 ，5 2 ，5 8 ，7 1 ，8 8 等) 。近年来，利 用非线性泛函分析基本理论与算子半群、微分方程等理论相结合在抽象空间中 研究非线性微分方程、积分方程、时间测度上的动力方程等问题已引起了国内 外许多学者的广泛关注，其研究成果进一步丰富了非线性泛函分析基础理论， 又扩展了非线性泛分析技术在处理各类非线性问题的实际应用。 常微分方程边值问题的定性理论的研究由著名数学家s t u r m 和l i o u v i l l e 仓l j 立 了以来，后经国内外许多数学家进一步深化研究和发展，至使微分方程边值问 题发展非常迅猛，方程的类型及研究方法层出不穷，吸引了众多的专家学者投 入到这一领域的研究中来，相关的研究成果不胜枚举，有关的学术专著已由国 际著名出版社出版多部，使用的数学工具几乎覆盖了数学所有的分支，比如， 泛函分析、代数学、拓扑学、算子半群等学科( 参看 1 ，3 1 ，3 2 ，3 9 ，7 0 ，8 5 等) 。众 1 第1 章引言 l 等= 忌p ( 1 一p ) ，七 。， ( 。) ip ( o ) = r ， r + 1 = 尼r ( 1 一r ) ，k 0 ， ( 1 2 ) 其动力学行为却让人感觉不可思议。由于函数f ( x ) = k z ( 1 一z ) 所确定的离散动 力系统在c a n t o r 集上是混沌的( 参见d e v a n e y 3 0 ，p 3 5 3 7 】) ，从而至使差分方程 2 第l 章引言 的解出现混沌现象，这就有了本质的区别。这种可能的差异性导致人们对许多 微分方程和它们相应的差分方程进行重复研究。但从微分算子 磊d ( m ) ) = 舰堑半型 ( 1 3 ) 和差分算子 ( m ) ) ：丝芒b 型 ( 1 4 ) 的定义可以知道其结构十分相似。因此启发人们提出这样一个问题：能否找到 一种新的理论框架，定义一个更一般的算子，可以同时处理连续和离散系统， 既避免不必要的重复研究，又能更好地洞察两类不同系统之间的本质差异。 1 9 8 8 年，h i l g e r 和他的导师a u l b a c h 合作提出了“测度链( m e a s u r ec h a i n ) ”的 概念及相应结果。1 9 9 0 年，h i l g e r j e 式发表了“测度链( m e a s u r ec h a i n ) 分析一 一个连续与离散计算的统一方法”一文( 参【4 4 】) 。文 4 3 ，4 4 研究表明，可以通 过把直线r 上的函数定义域减弱为任意测度链来发展一种新的分析理论动力 方程理论( d y n a m i ce q u a t i o nt h e o r y ) ，这一理论可以把微分和差分两种计算统 一起来研究，这开创了“动力方程”研究的新篇章，他们的成果获得国际同行广 泛关注。目前研究测度链上动力方程问题的主要代表人物有h i l g e r ，a u l b a c h ， a g a r w a l ，a n d e r s o n ，b o h n e r ，o r e g a n ，p e r t e r s o n 等，国内也有许多学者作出了 杰出成果( 参看 6 ，8 ，9 ，1 1 ，1 2 ，1 6 ，1 9 ，2 3 ，2 4 ，3 4 ，4 2 ，4 7 ，6 1 ，7 8 等) 。 现在，时间测度上动力方程的研究正受到国内外越来越多的学者关注。其 原因：一方面是因为时间测度上的动力方程可以把微分方程和差分方程作为它 的两种特殊情况来处理，从而深入研究动力方程有助于揭示连续和离散系统的 本质差异，避免类似结果的重复研究。另一方面，时间测度上的动力方程研究 有广泛的应用。例如有些昆虫或植物的数量与季节变化的关系( 从四月到九月是 连续变化的，冬季来临之前昆虫产下下卵或植物留下种子后则全部死光，而到 了第二年它们又会重新生长，这类生( 植) 物的数量随时间变化的规律就可以用 测度链上的微分方程来描述 2 0 】) 。又比如，美国著名学者p e t e r s o n 和t h o m a s 利 用测度链上的动力方程弥合了西尼罗河病毒传播的离散方面和连续方面之间 的空隙，t h o m a s 也认为这种数学模型是理解和控制这种疾病的最有效工具。 再比如，测度链理论在生物系统( 如昆虫种群模型) ，证券交易( 如股票市场 模型) ，作物收成和有机体的燃烧( 如热传导模型) 等领域都有其应用的背 景 1 2 ，2 1 ，4 9 ，6 9 。 3 第1 章引言 1 2 国内外研究现状和发展趋势 测度链理论最近的研究内容主要涉及到其自身理论的完善以及动力方 程解的动力性态分析研究。时间测度( 简称时标) 上奇异动力方程边值问题和 特征值问题的研究是微分方程领域中一个非常重要的研究课题，它与许多 学科领域中的非线性问题密切相关，例如，多孔介质中的气体扩散、容器 中混和气体的热点火模型、绝热管反应进程等所产生的数学模型，把这些 非线性问题的研究转化为奇异非线性微分方程时，只有正解是有意义的( 参 文 2 5 ，7 2 1 ) 。对于处理微分方程的奇性，人们常使用的方法有：打靶法、算子 逼近和拓扑度方法、上下解方法等。其中打靶法己被成功地应用于研究某些特 殊的微分方程( 如，1 9 7 9 年，t a l i a f e r o 在文【8 1 忡首次使用打靶法研究了具有负 指数的e m d e n - - f o w e r 方程边值问题) ；1 9 8 9 年，g a t i c a , o l i k e r 和w a l t m a n 3 5 合 作建立了g a t i c a o l i k e r - w a l t m a n 不动点定理，结合逼近理论可以处理奇异微分 方程；更具体地说，当非线性项f ( x ，可) 关于变量可是单调增加的，且满足可 积性条件时则可以使用这个定理处理奇异微分方程( 如，2 0 0 4 年，d a c u n h a , d a v i s 和s i n g h 2 7 利用g a t i c a - o l i k e r - w a l t m a n 不动点定理研究了时标上奇异二阶 微分方程边值问题解的存在性) 。2 0 0 3 年，著名学者a g a r w a l 和o r e g a n 出版了一 本专著【3 】探讨了各种奇异非线性微分方程解的存在性，其奇性的处理方法有 上下解方法、算子逼近理论等( 如苏育飞、李万同教授和孙红蕊在文 7 7 】中利 用【3 】中的奇性处理方法研究了时标上的奇异p l a p l a c i a n 方程正解的存在性) 。 近年来，时标上高阶微分方程边值问题、特征值问题正解的存在性、参 数的取值范围的研究已引起许多学者的广泛关注。1 9 9 2 年，a g a r w a l 出版了一 个专著【1 】详细介绍了高阶差分方程解的存生性及各种性质、o l v e r 型比较定 理、s t u r m 型比较定理等，书中采用t c o p p e l 专著【2 6 】中的一些研究高阶微分 方程的方法( 如求高阶微分方程的g r e e n 函数) 。通常来说，处理高阶( 抽象) 问 题的传统方法是降阶到一阶系统再进行处理。而肖体俊教授、梁进教授在其 专著t h ec a u c h yp r o b l e mf o rh i g h o r d e ra b s t r a c td i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) ) ( 黄皮 书【8 5 】) 中，针对高阶抽象微分方程c a u c h y l h i 题，给出了新颖而独到的直接处 理方法( 不必采取降阶法) ，这种方法相比降阶法而言，能深刻地揭示高阶抽象 微分方程c a u c h y l h 题的一些本质性特征( 用降阶法则不能揭示) 。我们注意到， 6 0 ，8 5 】中的许多处理方法对于研究非线性微分方程边值问题、泛函微分方程、 4 第1 章引言 积分磁分方程等问题具有重要的借鉴和启发意义。 目前，许多学者利用非线性算子不动点定理研究了时标上高阶微分方程边 值问题正解的存在性问题。如： 2 0 0 4 年，a n d e r s o n 和a v e r y 在文【7 】中研究了偶次高阶微分方程三点边值问题 ， l ( 一1 ) n u ( v ) “( t ) = a 九( t ) ，( u ( 亡) ) ，t 【o ，c 】，佗n ， u ( 凹) a ) = 0 ， ( 1 5 ) lt 正( v ) ( c ) = z u ( v ) 。( 6 ) ，0 i 扎一1 ， 其中入 0 是一个常数，p 0 ，d ：= c a p ( 6 一a ) o 且有o - n - 1a ) 0 ，h c ( 【0 ，1 】，【0 ，+ 。) ) 在 o ，1 】的任何子区间上不恒为零。 他们使) 羽l e r a y s c h a u d e r 全局连续统理论研究了问题( 1 9 ) 正解连续统的存在性。 第1 章 引言 2 0 0 6 年，l e e 和s i m 【5 7 】研究了奇异一维p l a p l a c i a n 特征值问题 r ( u 他) ) + a ( 亡) m ( 。) ) = o ，a e ( o ，1 ) ( 1 1 0 ) lu ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 其中 ) = i x l _ 2 z ，p 1 ，入是一个正参数， 是( o ，1 ) 上非负可测函数且 在t = o 和或t = 1 处可能有奇性，c ( r + ，r + ) ，r + = f 0 ，。) 。通过使用全局 连续性定理和解的无界连续统图像，他们获得了方程( 1 1 0 ) 正解的存在性和全局 结构。 2 0 0 8 年，孙经先教授、徐西安和o r e g a n 8 0 研究了m 一点边值问题 lu ( t ) + 入，( u ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， m 一2( 1 1 1 ) lu ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = o e i u ( r l i ) ， i = 1 其中a 是一个正参数，f c ( r ，r ) ，f ( o ) = 0 ，o t i ( 0 ，1 ) ，i = 1 ，2 ，仇一2 ， 0 o t 1 和o r h r 1 2 叩m 一2 1 。利用r a b i n o w 娩全局分歧理论 研究了问题( 1 11 ) 结点解的多个结果。 目前，利用r a b i n o w i t z 全局分歧理论、l e r a y s c h a u d e r 全局连续性定理研究 非局部边值问题的研究工作不多，有必要进行专门的研究。 另一方面，经过近几十年的发展，常微分方程边值问题的研究方法越来越 多，所获得的研究成果极其丰富，已有许多成果写成著作先后出版了( 如 3 ，4 ， 2 0 ，2 1 ，3 2 ，3 9 ，5 3 ，7 0 ，8 5 等) 。书【3 9 】系统地介绍t b a n a c h 空间中的c a u c h y l h - 题、 边值问题、泛函微分方程、积分兹分方程等问题的一些研究进展。书【7 0 】系 统地介绍了算子半群理论、利用算子半群处理抽象c a u c h y i n - 题、发展方程等有 关问题的一些技巧。文 4 0 ，4 1 首次研究了非线性二阶微分方程多点边值问题； 文 5 0 ，5 1 ，6 4 利用非线性算子不动点定理和微分方程理论相结合研究了多点边 值问题；文 6 3 】在抽象的b a n a c h 空间中利用算子半群理论、b a n a c h 压缩映象原 理研究了非局部脉冲问题。作者的导师肖体俊教授、梁进教授在他们早期的论 文 5 9 ，6 2 ，8 6 q b 也给出了有关此类问题的一些深刻的结果。可以注意到，这些 研究成果中的处理无穷维空间非线性问题的方法不仅对处理时间测度上动力方 程的边值问题、非线性微分方程边值问题等许多问题都具有极其重要的指导和 启发意义，而且也为有关问题的研究开辟了一条新途径。 7 第1 章 引言 我们也可以注意到，在非线性微分方程边值问题和特征值问题的研究中， 非线性泛函分析的非线性算子不动点理论起到至关重要的作用，因为许多非线 性问题都可以转化为非线性算子不动点问题进行研究。而不动点定理的内容非 常丰富( 参看【5 ，1 3 1 5 ，2 9 ，3 3 ，3 5 ，3 7 ，3 8 ，4 5 ，4 8 ，5 2 ，5 8 ，8 8 】等) ，有许多不动点定理 是我们所熟悉的，如b a n a c h 压缩映照原理、h o r n 不动点定理、k r a s n o s e l s k i i 不 动点定理、l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理和五个泛函不动点定理、r 0 t h e 不动点 定理、s c h a u d e r 不动点定理等，这些不动点定理常被用来研究非线性微分方程 解的存在性。需指出的是，黄发伦教授、梁进教授、肖体俊教授在文【4 8 】中将 文 2 2 ，4 5 的结果推广到了局部凸拓扑向量空间上，得到了关于h o r n 不动点定理 目前最深刻的结果。另外，利用非线性算子( 如增生算子、非膨胀映象和伪压缩 映象等) 的不动点定理和算子迭代理论研究非线性微分方程解的存在性、解的 近似计算提供了可行性技术，已引起许多学者关注( 参见文 4 6 ，5 5 ，5 6 】) 。 虽然时间测度链上动力方程的边值问题、非线性微分方程边值问题已经取 得了相当丰富的研究成果，但基于非线性泛函分析技巧处理奇异非线性微分方 程边值问题和特征值问题，研究方程正解的存在性及解的全局结构是目前许多 学者关注的热点问题。作者在攻读博士学位期间，受到导师肖体俊教授、梁进 教授的悉心指导和诸多鼓励，对非线性算子不动点定理和迭代算法、时间测度 上奇异动力方程正解存在性问题、非局部边值问题正解的全局结构做了一些探 讨，文中第三章内容来自于文【4 7 】。 1 3 主要研究内容 本文的主要研究内容是：我们利用非线性泛分析的拓扑度理论、全局分歧 理论和微分方程理论，研究了时间测度上奇异高阶微分方程边值问题、特征值 问题正解的存在性和相应参数的存在区间，非局部二阶微分方程边值问题、特 征值问题正解的存在生和全局结构、及相应参数的取值区间。 第二章是预备知识和基本引理，主要介绍了时间测度 的基本概念和有关 运算、给出下文中使用的一些基本引理。 8 第l 章引言 i ( 一1 ) n u 2 ”( ) = w ( t ) f ( t ，u ( 亡) ) ，t 【n ，6 】， 弘舻( o ) 一屈刖+ 1 ( n ) = o t i + l u a 2 ( 7 7 ) ， ( 1 1 2 ) lm + 1 让a 2 t ( 7 7 ) = 让2 ( 6 ) ，0 i 亿一1 ， 其中7 7 ( a ，6 ) ， b m 7 7 + ( m 一1 ) b 一叩 0 ，+ o 。) 是连续的 ，0 o t i x ( 0 ，+ ) - 0 处有奇性。 通过使用截断技术和算子逼近理论处理非线性项的奇性，联同函数可积 性、a s c o l i - a r z e l a 定理【2 】和l e g e s g u e 控制收敛定理 1 6 】证明积分算子的全连续 性；再使用k r a n s n o s e l s k i i 不动点定理研究问题( 1 1 2 ) 正解的存在性。相比于 文【7 ，8 ，1 9 ，2 3 ，2 4 ，7 6 1 等的结果，我们结果是考虑了非线性项具有奇性且相对条 件更弱。 第四章研究了奇异2 佗阶微分方程特征值问题 i ( 一1 ) n 乱2 “( t ) = a 叫( ) ，( 亡，u ( ) ) ，t 口，6 】， 仳2 ( o ) 一屈+ l 乱2 件1 ( o ) = o e i q - 1 孔2 ( 7 7 ) ， ( 1 1 3 ) im + l 让a 2 i ( ，7 ) = 乱2 ( 6 ) ，0 i 佗一1 ， 其中入是一个正参数，7 ( n ，6 ) ，屈0 ，1 m 等三等箍，o 口 生二型型三必，i ：1 ，2 ，n ；非线性项叫：( 。，6 ) - 【o ，+ o o ) 和，： d 一力 【口，b 】( 0 ，+ o o ) _ f 0 ，+ o o ) 是连续的且叫在t = n 和或= 6 处可能有奇性，在u = 0 处有奇性。利用k r e i n r u t m a n 定理获得了正线性算子的第一特征值和相应的正 特征函数，再联合不动点指数定理，证明了特征值问题( 1 1 3 ) 正解的存在性、多 重性，同时也给出了参数a 的存在区间。我们推广和改进了文 8 ，1 8 ，6 1 中的结 果，且证明方法完全不同于他们。 第五章，考虑了二阶微分方程三点边值问题 ， 以功佃 ”- 0 0 “， ( 1 1 4 ) lu ( o ) = 卢u ，( 0 ) ，u ( 1 ) = q u ( 刀) ， 展一屈捌= 等 m o 耐性 m 辅 斗能 1 可 八i = 展 虱z 嚣一 一， j = l屈一在 = 二 伽 ： ! 助 第1 章引言 其中卢0 ，0 r 1 ，0 0 ，有f ( u ) 0 。利用微分方程理论、凸分析等知识讨论了线性微分方程一些特性；使 用l e r a y s c h a u d e r 全局连续性定理和分析技巧，研究了二阶微分方程边值问 题( 1 1 4 ) ，在非线性项，分别满足，0 ：l i 恐娶尘：o 、厶：l i m 丛堕：o 。( 超 线性情况) 和矗= 、氏= o ( 次线性情况) 的条件及q io ， 器) 时，微分方 程( 1 1 4 ) 正解的存在性和全局结构，同时也给出了不存在正解的情形。文中的结 论推广和改进了文 6 5 ，6 7 ，7 9 ，9 0 的相关结果。 第六章，我们研究了含积分边界条件的奇异二阶微分方程特征值问题 lu t v ( t ) + 幻( ) ，( u ( t ) ) = 0 ，0 0 和氏= + o 。本文利用s t u r m l i o u v i l l e 特征值 理论、l e r a y s c h a u d e r 全局连续性定理、不动点指数定理和上下解方法相结合， 在y o = 厶= 的情况下证明了特征值问题( 1 1 5 ) 正解的存在性、多重性和不 存在性，同时我们也给出了特征值问题( 1 1 5 ) 正解的渐近性态和参数入的相应区 间。 1 0 第2 章预备知识和引理 第2 章预备知识和引理 2 1测度链的概念和性质 设面( “时间”) 为某一集合，下面叙述h i l g e r 澳, l j 度链的概念( 参看文 4 3 ，4 4 】) 如 下： 定义2 1 1 “”是t 上的一个关系，如果它满足 ( i ) 反身性( 对所有的t t ，有t t ) ； ( i i ) 传递性( 对所有的r ，8 ，t t ，有r 8 ，8 t 号r t ) ； ( i i i ) 反对称性( 对所有的r ，8 t ，有r s 和s r r = 8 ) ； ( i v ) 完全性( 对所有的r ，s t ，有r s & s r ) o 则( t ，) 称为线性序集( 全序集) ，或简短地带为一个链 定义2 1 2 设( ，) 为一个链，如果对其中任意一个非空有界子集都有最小上 界，则称( - ，) 为完全链 显然，实数集r ，整数集z 都是完全链；但有理数集q 不是完全链。 定义2 1 3 如果在一完全链( ，) 上存在一个映象d ：t t r 满足以下几个 性质： ( i ) d ( r ，s ) - t - d ( s ，t ) = d ( r ，t ) ； ( i i ) 如果7 s ，则d ( r ，s ) o ； ( i i i ) d 关于乘积拓扑是连续的。 则称( - i ，d ) 或者 是一个测度绝 定义2 14 实数集的任意非空闭子集称为时间测度( t i m es c a l e s ) 第2 章预备知识和引理 注2 1 5 时间测度是测度链的特殊情况。本文中我们总是使用表示时间测度， 并且假定- 的拓扑是从实数集的标准拓扑所继承的。分别用r ，z ，n ，n o 表示 实数集、整数集、自然数集、非负整数集；则r ，z ，n ，n o 都是时间测度的例 子 有序集上的一些重要概念，比如：开( 闭) 区间、最小上界、最大下界、有 解性等概念在这里都可以使用。比如这里使用区间的定义为例进行说明。 定义2 16t 中的开区间定义为 ( a ，b ) ：= t ， 且满足n t t ：r 耐，t t 后跳算子( b a c k w a r d j u m po p e r a t o r ) p 定义为 p ( t ) ：= s u p t t ，则称t 是右离散的；如果p ( 亡) - 一。c o , ( i ) 设函数，：t _ r ，t t 七。函数，在t 点是( d e l t a ) 一可导( 使用记 号f ( t ) ) ，如果，( t ) 是某个数( 如果存在) 且满足：对任意的 0 ，存 在的邻域u ( u = ( t 一5 ，t + 6 ) ，6 0 ) ，使得对一切s u ，都有下面不等 式成立： i ，( 盯( ) ) 一，( s ) 一，( t ) p ( t ) 一s 】l e l o ( t ) 一s 1 ( i i ) 如果对所有的t 俨，( 亡) 都存在，则称函数，在廿上是( d e l t a ) 可微 的( 或者简称是可微的) 函数，：t 七一r 称为函数，在t 七上的( d e l t a ) 哥函甄 ( i i i ) 设函数，：t _ r ，t - 如函数，在t 点是v ( n a b l a ) 一可导( 使用记 号，v ( ) ) ，如果，v ( t ) 是某个数( 如果存在) 且满足：对任意的 0 ，存 在t 的邻域u ( u = ( t 一5 ，t + 6 ) ，6 0 ) ，使得对一切s u ，都有下面不等 式成立： i ，( p ( ) ) 一，( s ) 一f v ( ) j d ( 亡) 一s 】i e l p ( t ) 一8 1 ( i v ) 如果对所有的t 巩，v ( 亡) 都存在，则称函数，在t k j f - 是i v ( n a b l a ) 一可微 的( 或者简称是可微的) 函数，v ：t k _ r 称为函数，在t k 上的v ( n a b l a ) 导函数。 1 3 第2 章预备知识和引理 注2 1 1 1 函数，的a ( d e l t a 卜导数还可以使用极限方式进行定义：