（基础数学专业论文）具有弱allee效应的捕食—食饵系统的分支.pdf

具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的分支 中文摘要 本文主要对食饵上受到弱a l l e e 效应作用的具有非单调功能反应的捕食 一食饵系统进行研究我们的模型类似于x i a o 在文章。g l o b a la n a l y s i si na p r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hn o n m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s e s i a mj a p p l m a t h ，6 1 ( 2 0 0 1 ) ，p p 1 4 4 5 - 1 4 7 2 。里所研究的模型，但我们的模型在食饵上又多 了表示弱a l l e e 效应的项在文章中我们通过对模型进行定性分析和分支分 析，从而获得模型的全局动力性质由文中的分支分析结果可知系统将出现多 种分支情况，这包括鞍一结分支、超临界和亚临界h o p f 分支，同宿环分支，而 当参数变化时，将出现余维为2 的尖点型分支( 如b o g d a n o v - t a k e n s 分支) 关键词t 捕食一食饵系统；弱a l l e e 效应；非单调功能反应；分支；极 限环 具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统的分支2 a b s t r a c t w ef o r m u l a t ea n ds t u d yap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hn o n m o n o t o n i cf u n c - t i o n a lr e s p o n s et y p ea n dw e a ka l l e ee f f e c t so nt h ep r e y o u rm o d e li ss i m i l a r t ot h es y s t e ms t u d i e db yx i a o ，e ta ii n 【g l o b a la n a l y s i si nap r e d a t o r - p r e ys y s - t e r nw i t hn o n m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s e ，s i a mj a p p l m a t h ，6 ：( 2 0 0 1 ) ， p p 1 4 4 5 1 4 7 2 1b u tc o n t a i n sa ne x t r at e r md e s c r i b i n gw e a ka l l e ee f f e c t so nt h e p r e y w eo b t a i nt h eg l o b a ld y n a m i c so ft h em o d e lb yc o m b i n i n gt h eg l o b a l l q u a l i t a t i v ea n db i f u r c a t i o na n a l y s e s ；o u rb i f u r c a t i o na n a l y s i so ft h em o d e li n - d i c a t e st h a ti te x h i b i t sn u m e r o u sk i n d so fb i f u r c a t i o np h e n o m e n a ，i n c l u d i n g t h es a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n ，t h es u p e r c r i t i c a la n ds u b c r i t i c a lh o p fb i f u r c a - t i o n s ，a n dt h eh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o n ，a st h ev a l u e so fp a r a m e t e r sv a r y i nt h e g e n e r i cc a s e ，t h em o d e lh a st h eb i f u r c a t i o no fc u s pt y p eo fc o d i m e n s i o n2 ( i e ， b o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o n ) k e y w o r d s ：p r e d a t o r - p r e y ；w e a ka l l e ee f f e c t s ；n o n m o n o t o n i c ；b i f u r c a t i o n s ；l i m i tc y c l e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由 此论文而产生的权利和责任。 责任人( 签名) ：拣幕多 a 8 年5 月为日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编人有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ( 请在以上相应括号内打) 作者签名：拣蒜爹 日期：a & 年苣眵日 导师签名：吻弓鞫日期：力彩年g 月佃 具有弱a e e 敦廑盟彗盒二食饵系统的分支 3 第一章引言 自l o t k a 1 5 】和v o l t e r r a 1 6 】的研究之后，捕食一食饵系统就引起了广泛 的研究( 见【11 ，【1 8 】) 我们知道在一些情况下，种群的初值大小将决定系统 的全局动力性质，比如具有a u e e 效应的种群模型就有这方面的性质a l l e e 效应，是以生物学家生态学家w a r d e rc a l l e e ( 见f l 】，【2 】，【3 】) 来命名的，表示 种群的数量增长与种群大小或种群密度之间的关系( 见【1 5 】) ，即当一个种群 受到a l l e e 效应时，若它的种群密度过于稀疏，则在某些方面将不利于种群的 数量增长 在某些情况下，由a l l e e 效应所引起的种群的数量增长与种群的密度呈 正相关性，即当种群的密度过于稀疏时，它的出生率将减小a l l e e 效应有弱 a l l e e 效应和强a u e e 效应两种类型( 见【1 9 】， 7 】) 种群受到强a u e e 效应作用 时，若它的种群密度过于稀疏或过于拥挤，则种群将出现负出生率，最终趋于 灭绝但是对a l l e e 效应的研究，绝大部分学者都仅针对强a l l e e 效应，而忽略 了弱a l l e e 效应从生物学家a l l e e 最先的研究时所举的例子里我们知道a l l e e 效应还就包括弱a l l e e 效应( 见【1 】，【2 】，【3 】， s l ， 1 4 】，【1 5 】，【1 9 】，【2 0 ，【2 l 】，【2 6 】) 当种 群受到弱a l l e e 效应时，当它的种群密度过于稀疏时，它的出生率将变小，但 从不出现负出生率的情况 对于相互作用的生物种群，弱a l l e e 效应又会对它们产生什么影响呢? 仅很少的文章研究了弱a u e e 效应对捕食一食饵系统的动力行为的影响( 见 【9 】 【2 1 】，【2 7 】) 由王刚及其它人的研究结果，我们可看到弱a l l e e 效应是捕食 一食饵系统的不稳定因素 在本文中，我们主要探讨具有非单调功能反应的捕食一食饵系统，当它 的食饵上具有弱a l l e e 效应时系统的动力行为非单调功能反应主要是由于食 饵对于捕食者的攻击具有群体防御，已有很多的实验证明了自然界中非单调 功能反应的存在性，见【2 3 】， 2 4 1 ，【2 8 】我们的研究主要是源于r u a n x i a o ， 具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统鳆公支4 t 研船口p h s 砒 月嘶 w 鼬a l k c 硝缸 o叭 弋 曲l h a 阳g r o w t h i 誊k $ 0 0 n ga l 妇鲋峨 0八 八k f i g u r e1 ：d e f i n i t i o no ft h ed e m o g r a p h i ca u e ee f f e c t s t h ep o s i t i v er e l a t i o n - s h i pb e t w e e np e r - c a p i t ag r o w t hr a t ea n dd e n s i t yw h e nd e n s i t yi sl o wd e f i n e s a na l l e ee f f e c t sa si nb o t h ( b ) a n d ( c ) w h e np e r - c a p i t ag r o w t hr a t ei sn e g - a t i v eb e l o wat h r e s h o l dd e n s i t y , t h i si sas t r o n go rc r i t i c a la u e ee f f e c t s 嬲i n ( c ) 它们对如下的具有非单调功能反应的捕食一食饵系统进行了系统的研究t 在模型( 1 ) 中，x ( t ) 和y ( t ) 分别代表食饵和捕食者在t 时刻的数量，r ，k ，m ，a ，u 都为正数，r 代表食饵的内禀增长率， k 代表食饵的环境容纳量，d 表示捕 食者的死亡率，而p ( x ) = ：表示非单调功能反应 r u a n x i a o 的文章 指出，当我们选取食饵的环境容纳量和捕食者的死亡率作为分支参数时，系统 将出现一系列的分支，这包括鞍一结分支、超临界和亚临界h o p f 分支，同宿 环分支，另外，由b o g d a n o v 的定理( 【4 】，【5 1 ) 和t a k e n s 的定理( 【7 】) 。作者指 出系统也将出现b o g d a n o v - t a k e n s 分支 在系统( 1 ) 的基础上，我们引入弱a l l e e 效应( f i 9 1 ( 左图) ) 到系统的食 饵z 上。从而得到本文我们所要研究的模型； 降旧m 一云) 南一器m 【雪( t ) = 掣( 一d + 羔) 一 这里g ( 。) = ；耘表示弱a l l e e 效应项，a 0 为“弱a l l e e 效应常数。( 见 器痧 一 诅一z 、， 口_ _东丽 一 斗 1 名 卜 = = z ，i，、i_， 具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统的分支 一 5 f 2 1 】) 显然当a = 0 时，系统( 2 ) 就变成系统( i ) ，而当a 越大，表示具有 的弱a l l e e 效应越大 本文主要研究了系统( 2 ) 的全局动力性质及分支情况，从而得到a 对系 统( 1 ) 的影响我们主要参考【2 2 ，【2 3 】，【2 4 】， 2 s 的数学方法 本文安排如下t 在第二章，我们研究了具有a l l e e 效应的捕食一食饵系 统的平衡点存在情况及局部动力性质分析，在第三章，我们研究了系统有可 能出现的所有分支情况，包括t 鞍一结分支、超临界和亚临界h o p f 分支，及 b o g d a n o v - t a k e n s 分支，并表明参数r 不对系统的分支产生影响文章的最后 我们以个简明的讨论来结束本文 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的分支 6 第二章具有弱a l l e e 效应的捕食一食饵系统平衡点及局 部分析 系统( 2 ) 包含7 个参数，每个参数都有其生物意义我们可以通过进行 变换；( 舌，毛) 叶( 籍，而z ，厕) ，同时用鲁来取代r ，用丽k 来取代k ， 用击来取代a ，用鲁来取代d ，从而消去系统( 2 ) 中的变量口，m ，和t 另外，可用变换t( t ，x ，y ) 一( 去，z ，y ) 并用丽r 来取代r ，用袅来取代d ， 那么系统( 2 ) 将变成 卜) _ r 邢一云) 南一南 ( 2 1 ) ) = 秒( 一d + 南) 从生物的观点来看，我们仅对系统( 2 1 ) 在第一象限艘内的情况感兴趣，因 此我们只考虑生物上有意义的初值z ( o ) 0 ，v ( o ) 0 下系统( 2 。1 ) 的动力行 为 首先，我们先探索系统的平衡点所处的位置及平衡点的个数，显然，系 统在非负区域有两个边界平衡点。其一为e o = ( 0 ，0 ) ，表示捕食者和食饵最 终都将灭绝，另一为五k = ( k ，o ) ，代表捕食者最终灭绝，而食饵数量最终将 达到环境容纳量 当系统( 2 1 ) 在第一象限碹内存在平衡点( 即最终两种群共存的平衡点) ， 则需满足下面这个方程- f r ( 1 一云) 南一去- o ， ( 2 2 ) 【一d + 羔= o 存在个正解( 。，y ) 显然方程( 2 2 ) 最多存在两个解。e x = ( x l ，秒1 ) ，易= 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的分蔓7 ( x 2 ，y 2 ) 其中 一学u - v u 2 - 4 a d 2 ，y l ：业掣；靓2 瓦r ，。爿# 广； 驴峄u + v u 2 - 4 a d 2 ，耽= 业掣 勋2 面一，耽5 = # 广 因此，我们有下面这样个关于系统( 2 1 ) 的点的平衡点的个数及所处位置的 引理证明略 引理2 1 以，当u 2 - 4 a d 2 0 ， 若k x l ，系统俾 有两个平衡点： 晶，点k 若石l k z 2 ，系统偿j j 有三个平衡点； 岛，既，e 1 若z 1 x 2 k ，系统俾u 有四个平衡点： 岛，取，e l ，邑 当u 2 - 4 a d 2 0 都有- d + 静 0 时，l i m t o o z ( t ) ( t ，t o ，x o ，y o ) = 0 这表明捕食者最终 将灭绝从数学上讲，i 2 4 a d 2 = 0 是一个鞍- 结分支面当系统的参数从 该分支面的一端变到另一端，系统的平衡点的个数将发生改变 现在我们来考虑系统( 2 1 ) 的每个平衡点小邻域内的动力性质系统( 2 1 ) 的平衡点( x i ，y i ) 的线性部分是由。 m 蝴，2 ( 裂未川溆 下干；乃尹：干毒一 珧) 来决定的，其中f ( x i ，y i ) = r 【( 1 一兰t k 、z i + l a 一嚣南+ 兢( 1 一嚣) 南】一 耐a - - z 2 犰通过求矩阵y ( z ，y ) 在平衡点处的特征根，我们就能得到系统( 2 1 ) 具有弱a 1 1 e e 效应的捕食一食饵系统的分支8 在平衡点小邻域内的局部动力性质从而有： 玩是鞍一结点，它的抛物扇形在r 至上 若一d + 巷钕 0 ，则既是鞍点 若一d + 百u k 刀= 0 ，则e k 将过超临界分支面 对于正平衡点e 1 ，易，因为d e t ( v ( x 2 ，耽) ) = 蠡帮 0 ，且v ( x l ，y 1 ) 的迹打( y ( z 1 ，y 1 ) ) = f ( x l ，1 ) 因此，当f ( x l ，y x ) 0 时。 日将不稳定的 随着d 的增加，系统将从稳定状态逐步变得开始出现分支情况，如下 1 。若k z 1 2 且一d + 巷铬= 0 当k = x 2 时，系统将出现包含易和岛( 的超临界分支点k 将从不稳定的鞍点变成稳定结点而当铲= 4 a d 2 时，系 统在非负区域内将出现包含蜀和易的鞍结分支 3 若k = 0 1 2 且一d + 石u k 刀= 0 ，u 2 = 4 a d 2 了，那么艮，历，岛和日2 都合并在点五k 此时正k 是退化的渐近稳定结点 注2 1 比较以上的分析结果与x i a o & r u a n 2 4 】的模型以，的结果可知 。弱a l l e e 效应常数。a 并不影响系统的正平衡点的存在及个数，但随着a 的增大，正平衡点最里的玑的值将减小( i = 1 ，2 ) ，当月_ o 。时，玑一0 定理2 2 当t 2 = 4 a d 2 且差 k 时，系统偿f ，有三个平衡点。其中 岛是鞍结点，e k 是稳定结点，e 1 2 是正平衡点，且 俐若k 丛u d + 乜4 幽a z d ，则e 1 2 为鞍结点，它的邻域是由两个双曲扇形和 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的分支 9 f i g u r e2 ：t h ep h a s ep o r t r m to fs y s t e m ( 2 1 ) w h e nu 2 = 4 a d 2b u t 翕 o 如= 2 ( 一百i i d r 再( u 函+ i 石6 a i d 瓦) 丽+ 石i x l 哥2 y 1 2 =r了d(-u-1而0ad)2(u2 a d ) ( u 3 a d 4 a d 2 时，系统( 2 1 ) 的动力性质从前面我们 已经知道当f ( x l ，y 1 ) 0 时，e l 是个不稳定的焦点( 或结点) 经过简单的计算，我们可得到 f ( x l ，秽1 ) =鼎k(xl a 帅+ +) r 、。z l + a一五2 a z d 。) - - 3 x l 一；_ a 干x i l +u z lz 1 十月 那么当k = z l + 瓦；再再u 位x i 。+ 一a 2 u 。x 磊l 丽z l 时，方程f ( z 1 ，1 ) = o 成立 为了简便，我们令 u z ；+ a u x l 如2 茹1 + 2 u x + 3 a u 二x l - 2 a d x l - 2 a d a z 1 易证当t 2 4 a d 2 时，对所有的z 1 都有2 u x ；+ 3 a u x l 一2 a d x x 一2 a d a 0 。因此z 3 x l ，从而我们可得到 定理2 3 当u 2 4 口c f 2 时， f ，砂若k 勋，则目为不稳定的焦点做结点， 俐若k = z 3 ，则髓为弱焦点或中心 令c ( a ) = z 3 一z 2 ，则 g ( a ) = 兰二孕+ 虿夏磊j _ 会差 兰秀一兰 因为g ( a ) = 0 等价于 a ( u d x ；一3 u x l v u 2 - 4 a d 2 + 2 a d u 2 - 4 a d 2 ) = ( 2 u x l u 2 - - 4 a d 2 一钍如；一2 a d v u 2 - - 4 a d 2 ) x l 因此 当铲 o ) g ( a ) 0 ，所以z 3 x 2 ； 当t 2 警口护( 等价于u d x i 一2 懈l “万丽+ 2 n d “矿瓣 o ) g c a ) 0 ，所以z 3 x 2 ； 具有弱a l l e e 效应的捕食食饵系统的分支 1 3 当芈积 舻 警口d 2 ( 等价于2 u x l x 丽- 4 a d 2 t 正如i + 2 口d 萨= 丽 丑g - 逊3 h ，此时g ( a ) 0 ，现 x 2 通过以上的分析，现在我们就可以把系统( 2 1 ) 在第一象限的动力性质 做个概括，当1 1 , 2 4 a d 2 时，我们把它分成四种情况，情况( ，) 和情况( ，) 在 表l ，情况( i i i ) 和情况( j y ) 在表2 表1 ：( i ) 舻 萼口d 2 或 ( ，f ) 芈口d 2 1 , 2 詈等 k 的范围 系统( 2 1 ) 的平衡点个数及稳定性 k z l两个平衡点：玩为鞍结点，e k 为稳定结点 z l k z 3三个平衡点：e ：d 为鞍结点， e k 为鞍点，蜀为稳定焦点( 或结点) z 3 k z 2四个平衡点t 岛为鞍结点，e r 为稳定结点， 髓为不稳定焦点( 或结点) ，易为鞍点 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的分支1 4 表2 ：( i i i ) 1 2 学口d 2 或 ( ) 学n d 2 u 2 萼。c f 2 ，a 巡g - 3 h k 的范围系统( 2 1 ) 的平衡点个数及稳定性 k z l两个平衡点-岛为鞍一结点，e k 为稳定结点 $ 1 k z 2三个平衡点。岛为鞍- 结点， e k 为鞍点，e 1 为稳定焦点( 或结点) 观 警n d 2 且勖 k x 2 ，那么系统偿f ，在第象限内 至少有个极限环 证明显然系统( 2 1 ) 的极限环如果存在，就一定在区域q l 内，其中 q l = ( z ，y ) ：0 o ) ，那么系统( 2 1 ) 在1 1 上的方向场为从右到左 接下来我们考虑过点b ( k ，舶) ，( y b y 1 ) 的系统( 2 1 ) 的解( ( 矿( t ) ，旷( t ) ) 易证轨线( ( 矿( t ) ，y 。( t ) ) 将于射线1 2 交于点c ( x l ，y c ) 且魄 y b ，其中1 2 = ( ( z ，y ) ：= x l ，y o ) 作以c ( x l ，y 。) 为起点，以d ( o ，) 为终点的线段1 3 = ( z ，y ) ：i = 乳 ，我们可以得知系统( 2 1 ) 在1 3 上的方向场为从上到下的 ( 见f i g5 ) 因此我们可以得知系统( 2 1 ) 在第象限的轨线都在区域o a b c d o 内。 不会跑出这个区域另一方面，我们已经知道当k z 3 时，平衡点( z 1 ，y 1 ) 是不稳定的焦点( 或结点) 因此，由p o i n c a r e b e n d i x s o n 定理，我们可以推 出系统存在极限环，并且该极限是稳定的 口 用于定理2 4 相类似的证明方法，我们可以得到以下几个定理。 具有弱a f l e e 效应的捕食一食饵系统的分支 1 5 f i g u r e5 ： 定理2 5 若芈口d 2 t 2 二旦g - 坐3 h 且z 3 k 。2 ， 则系统偿 在第一象限内至少存在一个极限环 定理2 6 若舻 学口d 2 ，且z 1 警n c f 2 或三墨t 争盈口d 2 t 2 丑g - 逊3 h ，系统( 2 1 ) 存在三 个平衡点玩，点k 和日，则玩为鞍结点，e k 为双曲鞍点，晶为弱焦点或 中心若”2 1 3 + 5 幽s a d 2 或竖；辽口c f 2 心2 孥口俨，a 4 c f 2 ，k = x 3 使得盯= 0 ，这是因为盯在( r ，u ，a ，d ，k ，a ) 上为连续的函数当参数( r ，u ，a ， d ，k ，a ) 在曲线入上时。( 3 1 ) 的原点为弱焦点，其重数至少为两重，或为中 心因此，平面h 可被曲线入分成两部分凰和，若( t _ ，t ，o ，d ，k ，a ) h b 具有弱a e e 效应的捕食一食饵系统的分支 1 8 时，盯 0 ；若( r ，t ，a ，d ，k ，a ) 珥时， 盯 4 a 铲，k = z 3 ，q 4 a d 2 ，k = x a ，q o ) 将上面的讨论概括下，则有 定理3 1 俐若参数( r ，u ，a ，d ，k ，a ) g b ，则系统偿f ，的平衡点( z 1 ，可1 ) 是一 重不稳定弱焦点 例若参数( r ，t ，a ，d ，墨a ) 在曲线z 上时，则系统偿j 的平衡点( z l ，玑) 是重数至少为2 的弱焦点或为中心 俐若参数( ，t i ，a ，d ，k ，a ) ，则系统p j ，的平衡点( x l ，y x ) 是稳 定一重弱焦点 由定理2 3 和定理3 1 的( c ) ，我们知道当k 为分支值k = z 3 时，若 它从的端变成另一端时，弱焦点( x l ，y 1 ) 的小邻域将产生个稳定极限 环此时，系统( 3 1 ) 出现超临界h o p f 分支( 见【1 2 】) 当( r ，t ，a ，d ，k ，a ) 岛， k x 3 且i k z 3 l 1 时，弱焦点( z 1 ，1 ) 的小邻域将产生一个稳定极限 环因此我们称珥为超临界h o p f 分支平面 另一方面，由定理2 3 和定理3 1 的( a ) ，我们知道当k 为分支值 k = z 。时，若它从风的一端变成另一端时，弱焦点( x l ，y a ) 的小邻域将产 生一个不稳定极限环此时，系统( 3 1 ) 出现亚临界h o p f 分支( 见【1 2 】) 当 ( r 牡，a ，d ，k ，a ) 风，k 勋且l k 一 7 3 i 1 ，弱焦点( x l ，y t ) 的小邻域将 产生个不稳定极限环因此我们称凰为亚临界h o p f 分支平面 总结以上结论，则有 定理3 2 俐若( r ，u ，a ，d ，k ，a ) h b ，0 警n d 2 和0 i , 2 萼抒； ( i i ) 芈口d 2 矿 巡g - 3 h ； ( i i i ) u 2 堡e 孓巫。铲； ( i v ) 芈。铲 铲 警衍，a 警o d 2 或i , 2 脚：迈o d 2 时，弱a l l e e 效应常数a 并不影响系 统的正平衡点的存在及个数，但随着a 的增大，名3 将减小，即使得正平衡点 晶稳定的环境容纳量k 的取值范围将变小，而使得正平衡点墨不稳定的环 境容纳量k 的取值范围将变大同时正平衡点邑里的捕食者数量y i 也将变 小( i = l ，2 ) ，直至趋于0 当堡譬巫n d 2 t 2 萼n d 2 时，弱a l l e e 效应常数a 将影响系统的正平 衡点的存在及个数 ( a ) 若a 趔g - 3 h ，则系统的正平衡点的存在，个数，及局部性质都与 具有弱a e e 蝴捕食一食饵系统的分支 2 5 不具有弱a u e 效应的原系统相类似，与u 2 羔班：辽口d 2 相同，同样随着a 的增大，勋将减小，即使得正平衡点e l 稳定的环境容纳量k 的取值范围将 变小，而使得正平衡点晶不稳定的环境容纳量k 的取值范围将变大，同时 正平衡点邑里的捕食者数量y i 也将变小( i = l ，2 ) ，直至趋于0 ； ( b ) 若a 警o d 2 相同，而随着a 的增大，x 3 将减小，即使得正平衡点马稳定的环 境容纳量k 的取值范围将变小，而使得正平衡点邑不稳定的环境容纳量k 的取值范围将变大，同时正平衡点最里的捕食者数量y i 也将变小( i = l ，2 ) ， 直至趋于0 同时，我们也对系统( 2 ) 的分支进行了讨论，发现系统将出现鞍一结分 支、超临界和亚临界h o p f 分支，同宿环分支，而当参数变化时，将出现余维 为2 的尖点型分支( 如b o g d a n o v - t a k e n s 分支) 在自然界中，因为多种因素的影响，捕食一食饵系统的