（热能工程专业论文）无网格法在热传导问题中的应用.pdf

硕士论文无网格法在热传导问题中的应用 摘要 本文研究了求解典型热传导方程的一种新型无网格算法一有限点法，这种新型算 法在计算流体力学中运用比较广泛。如何成功地把这种方法应用在数值传热学中，本文 主要做了以下几方面工作： 首先，抛弃了通过构建形函数，并运用残差法来离散控制方程的这一传统方法，本 文是通过构建双层点云结构，并在此基础上运用一阶线性解函数来拟合二阶空间导数的 方法来离散控制方程。这就避免了传统方法中权函数选取以及残差计算等一系列复杂的 工作，同时为以后求解计算流体力学中更为复杂的n - s 方程时提供了离散方法。其次在 考虑计算区域点云完整性的情况下，通过构建虚拟节点来处理边界条件，并利用热流平 衡原理来设定虚拟点参数。最后在求解离散方程时，利用四阶龙格库塔时间迭代法 进行推进计算，并讨论了时间步长的合理选取，该方法对稳态和非稳态问题都是适用的。 为了验证该方法的可靠与实用性，本文对不同条件下的一维、二维以至三维热传导 问题进行了数值模拟，获得了令人满意的计算结果。最后，本文分析并讨论了影响该方 法计算精度的主要因素点云半径以及边界条件处理时的主要修正。 关键词：热传导无网格方法双层点云虚拟节点四阶龙格一库塔法 a b s t r a e t 硕士论文 a b s t r a c t t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st od e v e l o pag r i d l e s sm e t h o do ft h es o l u t i o no fh e a t c o n d u c t i o nw h i c hc a l l e df p m f p mw a su s e dw i d e l yi nt h ea r e ao fc f d t h ew o r k s p r e s e n t e di nt h et h e s i sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , i nt h ed i s c r e t i z a t i o no fc o m p u t a t i o n a lr e g i o n ，t h ep o i n t sa r eg e n e r a t e db yt h e s t r u c t u r a lm e t h o d c l o u d sw i t l lp o i n t sa r eb u i l to nt h eb a s eo fan u m b e ro fd i s c r e t eg d dn o d e s d o u b l es t r u c t u r ec l o u d sw i t hp o i n t sa n dl o c a ll e a s t s q u a r e sc u r v ef i t sa r ea p p l i e dt oo b t a i nt h e s e c o n ds p a t i a ld e r i v a t i v e s ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lg r i d l e s sm e t h o d t h e n d u m m yn o d e sa r ea d d e dt od e a l 、】v i t i lt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n ，p a r a m e t e r so ft h ed u m m yn o d e s l i eo nt h et y p eo ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o n a tl a s t ，觚e x p l i c i tm u l t i s t a g er u n g e k u t t a a l g o r i t h mi su s e dt oa d v a n c et h ed i s c r e t ec o n d u c te q u a t i o n s ，w i t h o u tc o n s i d e r i n gt h ee q u a t i o n s t e a d yo rn o t f o rt h es a k eo fd e m o n s t r a t i n gt h ea c c u r a c ya n da p p l i c a b i l i t yo ft h eg r i d l e s sm e t h o d d i s c u s s e di nt h i st h e s i s ，an u m b e ro fe x a m p l e sw i t hd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r e c o m p u t e dr e s p e c t i v e l y , a n dt h er e s u l t sa r es a t i s f y i n g i nt h ee n do ft h et h e s i s ，s o m ep a r a m e t e r s i nt h eg r i d l e s sm e t h o d ，w h i c hi n f l u e n c et h ep r e c i s i o n , s u c ha st h er a d i io fc l o u d s ，a l ea l s o d i s c u s s e di nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n k e y w o r d s ：h e a tc o n d u c t i o n ，g r i d l e s sm e t h o d ，d o u b l es t r u c t u r ec l o u d s ， d u m m yn o d e s ，m u l t i s t a g er u n g e - k u t t aa l g o r i t h m n 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 沙 锚肋汨 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： w r 耶咽 硕士论文 无网格算法在热传导问题中的应用 1 绪论 1 1 引言 传热学是描述自然界中热量传递的- - 1 7 重要学科，其基本内容包括热传导、对流换 热以及辐射换热。其中描写换热的数学表达式( 又称控制方程) 是表达守恒原理的偏微 分方程，针对这类偏微分方程，数学界已经发展出不少获得其精确解( 又称解析解) 的 数学方法。这些精确解是在整个求解区域内连续变化的函数。但是直到目前为止，这些 解析解还只能对少量的简单的情形得出，对于大量具有工程实际意义的换热问题，这就 需要借助于数值传热学。 数值传热学又称计算传热学，是指对描写流动与传热问题的控制方程采用数值方法 通过计算机予以求解的- - i - 传热学与数值方法相结合的交叉学科。数值传熟学求解问题 的基本思想是：把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场( 如速度场、温度场等) ， 用一系列有限个离散点( 称为节点) 上的值的集合来替代，通过一定的原则建立起这些 离散点上变量值之间关系的代数方程( 称为离散方程) ，求解所建立起来的代数方程以 获得所求解变量的近似值。上述基本思想可以用图1 1 来表示 线 性 问 题 以 当 前 值 重 建 离 散 函 数 图1 1 物理问题数值求解的基本过程 目前常用的数值方法有：有限差分法、有限容积法、有限元法、有限分析法、边界 元法、谱分析方法、数值积分变换法。其中，前四种方法都是对整个求解区域作离散化 处理，即利用网格将求解区域划分成若干个部分，用分布在整个区域上的有限个网格节 绪论硕士论文 点的近似值来代替连续问题的解。这些使用网格的数值方法是目前研究最为透彻、最为 深入的方法。从上个世纪6 0 年代至今，己经形成了一系列处理各种流动和传热问题的 方法，并将数值计算过程进行了细分：前处理过程、解算过程和后处理过程。前处理过 程主要包括网格生成、边界条件和物性参数的设定等计算初始化工作。其中，网格生成 是前处理工作中最重要的部分。生成网格质量的优劣直接影响到最终的计算结果。网格 又可分为结构化网格、非结构化网格等等，解算过程是利用各种算法对控制方程进行 求解，如处理流动与换耦合问题的s i m p l e 算法等等。最后得到的结果通过后处理过程 进行可视化处理，输出等温线、等压线和速度矢量等等各种人们能够直观的观察计算结 果的示意图。目前，这些计算数值方法己有成熟的商用软件，如f l u n e t 、s a t r - c d 、 p h o n e i c s 、a n s y s 、f l o w 3 d 等等，在工业界得到了广泛的应用。 1 2 无网格方法的发展 无网格算法是一类新兴的算法，该方法的研究起步较晚，不如网格算法成熟。对该 方法的研究可以追溯到上世纪7 0 年代对非结构网格有限差分方法的研究，但由于当时 有限元方法的巨大成功，该类方法没有受到重视。但随着对有限元方法研究不断的深入， 研究者发现在实际工程数值计算中，有些问题用有限元法计算很难得到理想的计算结 果。如大变形问题、奇异性问题、裂纹的动态扩展等物理场不连续的问题。为保证计算 精度，有限元法在计算中需要不断重新划分网格、局部加密网格，使生成网格的工作量 大大增加。无网格法为有效解决以上问题带来了想。无网格法的基本思想是将有限元法 中的网格结构去除，完全代之以一系列的结点排列，这样就摆脱了不连续性对问题的束 缚( 如网格的重构等) ，保证了求解的精度。 无网格法起源于2 0 世纪7 0 年代。最先是l u c y 怕。在解决无边界天体物理问题时，运用 了光滑粒子动力学方法，简称s p h 法。由于s p h 方法本身具有边界不稳定及计算精度低这 两大缺陷，l i u 。等在1 9 9 5 年提出了再生核粒子方法，简称r k p m 。随后基于核近似的无 网格法，人们又提出了采用移动最小二乘( 简称为m l s ) 近似的无网格法。1 9 9 4 年， b c l y t s c h k o 等提出了采用m l s 近似函数的新方法，称为无网格伽辽金法h 。，简称e f g 。再 到最近由d u a r t c 和o d e n 及b a b u s k a 和m e l c n k 提出的单元分解法。如前面所说，无网格方 法大体经历了三个阶段。即第一阶段的基于核近似的方法，第二阶段的基于m l s 近似的 伽辽金方法，以及第三阶段的单元分解法。以上三类方法是在不同问题的基础上提出来 的，他们对求解不同的工程问题有各不相同的适应性。 无网格方法发展到现在，根据近似方案和离散方案的不同，无网格方法可分为多种， 列表如1 1 ，各种方法的详细原理可参考文献旧1 。 2 硕士论文无网格算法在热传导问题中的应用 表1 1 主要的无网格算法 无网格法名称近似方案 离散方案背景网格 无单元g a l e r k i n 法( e f g ) 移动最小二乘g a l e r k i n 法有 有限点法( f p m ) 移动最小二乘配点法无 重构核粒子法( r k p m ) 重构核近似g a l e r k i n 法有 无网格配点法( p c m ) 重构核近似配点法无 h p 云法( h p - c l o u d s )h p 云团 g a l e r k i n 法有 h p 无网格云法( h p - m e s h l e s sc l o u d s ) h p 云团配点法无 单位分解法( p 咖 单位分解法g a l e r k i n 法有 局部边界积分法( l b i e ) 移动最小二乘p e t r o v - g a l e r k i n 法无 局部p e t r o v - g a l e r k i n 无网格法( 眦p g )移动最小二乘 p e t r o v - g a l e r k i n 法 无 光滑质点流体动力学方法( s p h )核函数配点法无 径向基函数无网格法 径向基函数配点法无 点插值法点插值法g a l e r k i n 法有 最小二乘配点无网格法( l s c )移动最小二乘最小二乘配点法无 加权最t j 、_ - 乘无网格法( 1 r l s m )移动最t 、- - 乘加权最见小二乘无 建立近似函数时不借助网格，基于函数逼近近似而非插值是无网格法与有限元法的 主要区别。采用定义在离散节点上具有紧支特性的函数来构造近似函数。因此，相对于 网格算法，它具有以下优点： 1 ) 无网格法的近似函数没有网格依赖性，减少了因网格畸变而引起的困难，适用 于处理高速碰撞、动态断裂、塑性流动、流固耦合等涉及大变形和需要动态调整节点位 置的各类应用问题。 2 ) 无网格的前处理只需要节点位置信息，不需要网格信息，容易分析复杂三维结 构。 3 ) 无网格法的自适应性很强。在h 自适应分析中不需要重新划分网格，且极易实 现p 自适应分析。 4 ) 无网格算法的计算是基于空间离散点的，因此在离散求解区域时，可以采用灵 活的布点方式，这样无网格算法在计算复杂外形的流场时更具优越性。由于无网格算法 基于“点 的特性，因此网格算法中比较难实现的混合网格计算，在无网格计算中变得 非常容易。 针对研究现状，其中，最小二乘法以及伽辽金法在固体力学中已有较成熟的应用， 绪论硕士论文 b e l y t e c h k o 成功运用e f g 法解决了断裂力学问题，x u 等人应用e f g 法求解了弹塑性材 料的裂纹扩展问题。近年，西班牙数值分析中心的e o n a t e 和i d e l s o h n 提出了一种新 型的无网格法一有限点法，它在流体空气动力学中已得到较为成功的应用，在捕捉激 波和求解流场上都具有较高的精度。而在数值传热学中，目前解决传热问题时所采用的 无网格方法大多采用的是固体力学中的伽辽金法以及最小二乘法，由于离散方程的繁杂 性以及边界条件的差异性，使得这类方法的运用还不够成熟。如华北电力大学苑素玲旧。、 株洲工学院的李庆华以及南京理工大学的范悦宏等，他们采用此类方法，选取了相应 权函数，并在此基础上构建形函数，利用残差法来得到积分形式的离散方程，最后利用 最小二乘法进行求解。在此基础上只解决了一些简单边界的二维传热问题，在复杂边界 和三维传热问题中还没有形成较好的解决方案。 根据计算流体力学与数值传热学的相近性，本文采用了上面所说的有限点法，简称 f p m 。这类方法在计算流体力学应用较广，本文把此类方法运用到数值传热学中，用来 模拟各类模型中的温度场分布情况。成功地求解了各类边界条件下的二维传热问题，并 推广到了三维。 1 3 本文的主要工作 本文的主要目的是掌握无网格算法的机理，将计算流体力学中应用较为广泛的有限 点法( f p m ) 与迭代计算的四步龙格一库塔法相结合，用以计算各种边界条件下典型热传 导问题的温度场，从而把有限点法运用到数值传热学的领域中去。本文的工作包括以下 几个方面： 1 ) 针对具体问题建立数学模型，采用结构化布点方法或者对计算区域已有网格的 无网格化，实现对计算区域的节点离散，并通过已有结点生成双层点云结构，从而拟合 控制方程中的二阶偏导数，进而实现控制方程的离散。处理边界条件时运用虚拟点法， 针对不同边界条件，并借助偏导数定义以及热流平衡原理来设定虚拟点的参数值。以此 来构成完整的点云结构。 2 ) 在求解控制方程时都采用四步龙格一库塔时间迭代法。首先设定初始状态，针对 时间项逐步迭代，根据离散方程的矩阵系数设定迭代时间步长从而求的稳态情况或者非 稳态情况下的温度场。 3 ) 针对该无网格方法的精确性作具体分析，分析影响其精度及计算效率的各方面 因数。并对方法的发展前景提出展望。 4 硕士论文无网格算法在热传导问题中的应用 2 有限点法与理论基础 2 1 控制方程 直角坐标系中，典型二维热传导非稳态控制方程如式2 1 所示： 肛百a t = 夏a 【t i a t ) + ( k , o r ) + q ( 2 1 ) 由上式我们可以看出，热传导问题的控制方程是一个具有二阶偏导数且变量丁是一 个关于时间及所处坐标的三元函数r ( x ，y ，f ) 。对于稳态问题，存在下式： 肛罢= o 因此要想求的以上式2 1 方程的解析解，除非是极个别特殊情况，一般是很难实现 的。因此，本文中的有限点法首先要做的就是离散控制方程，实现偏导数方程向非线性 方程组的转换。 2 2 空间布点简介 自2 0 世纪7 0 年代以来，非结构网格在计算流体力学领域得到了快速的发展。非结 构网格的基本思想是：三角形和四面体分别是二维和三维域中最简单的形状，绝大多数 区域均可以被其充满。非结构网格生成技术主要形成了三种基本方法：阵面推进法 ( a d v a n c i n gf r o n tm e t h o d ) s - l o 、d e l a u n e y 方法【1 1 ，1 2 】和叉树法【13 1 。 d e l a u n a y 方法基于d i r i c h l e t 提出的三角剖分思想，把已生成的网格节点利用 d e l a u n a y 准则相连接从而形成网格划分。d e l a u n a y 三角化具有良好的数学支持，生成 效率高，插入一次点可以生成多个三角形单元，而且不易引起网格空间穿透，数据结构 相对简单，但是在使用该方法时为保证边界的一致性和物面的完整性，需要在物面处进 行布点控制，以避免物面穿透，从而导致算法实现的相对复杂。与d e l a u n a y 方法思想不 同，叉树法不是插入网格点形成三角形，而是将计算区域划分为几个初始单元，然后将 每个初始三角形再分为4 个子三角形单元，每一个三角形又可以生成四个三角形，如此 不断地进行下去，直至网格尺度满足要求，就如同链式反应。采用合适的数据结构是此 方法的关键部分。此方法比较适合于需要局部加密的计算区域的网格划分。该方法虽然 简单，产生的单元也是优化的，但它很难保证边界的形状，为保证单元质量和边界形状 需加入较为复杂的逻辑关系。在边界处理和数据结构的构造等方面，前两种方法都有一 定的局限性，相比较之下，阵面推进法所用到的数据结构相对简单，计算量也要少一些。 该类网格生成技术的研究开始于上世纪7 0 年代，经过3 0 多年的发展，该类网格生成方 5 有限点法与理论基础 硕士论文 法已相当成熟。其基本思想是：从边界的网格节点所形成的一系列线段( 阵面) 出发， 逐一与区域内的点形成三角形，所形成的三角形的新形成边加入到阵面行列，并从阵面 行列中除去用以生成该三角形的初始边。如此不断向区域内部推进，直到阵面行列为空， 所生成的三角形覆盖全域为止。 除了以上三大类方法，目前针对各种不同的具体情况，许多学者做了大量工作。有 孙迎丹，王刚，叶正寅等【1 4 j 使用的填充布点法，其基本思想是：先划分边界离散点，再 由边界往内部逐层推进布点，最后在已有离散点的基础上，实行加密填充布点。朱合华、 叶勇庚等人【l5 】研究了任意形状区域无网格算法的自动布点技术，首先根据函数分布要求 将求解区域分为加密区域和非加密区域，对求解区域按计算要求实行不同疏密程度的布 点，实现了自适应布点的思想。南京航空航天大学的龚炜【16 】为方便控制点云密度而采用 结构网格节点作为计算节点生成点云，简称结构网格的无网格化，这种方法是如今采用 最为平凡的一种方法。总体来说，所谓网格节点的无网格化就是将网格节点存储为无网 格算法所需的点云形式。常用二维网格单元有两种形式，非结构网格的三角形和结构网 格的四边形。无论是哪种几何形式，它都是由点构成边，由边构成多边形，因此网格的 最基础的元素就是点和边。利用这一特性，网格节点的无网格化就变得简单了，用一句 话概括就是：将包含点i ( 任意) 的单元中直接与f 点相连的点构成i 点的点云。图2 1 说明了结构网格节点无网格化的过程。 i f 。一。j 一一。 ! ： ； 一4 - 一1 !i !； !： ； l ： - ： 图2 1 结构网格节点无网格化示意图 由于本文主要研究有限点法在热传导问题中的适用性，在空间布点上面没有深入研 究，因此采取在计算空间内结构化布点以及结构网格节点无网格化的简单方法，这在算 法上并没有多大影响。 2 。3 点云结构及控制方程的离散 无网格方法与传统的网格离散方法的不同之处，在于引进了“点云”的概念，巧妙 的避开了一般差分方法中对空间离散位置的严格要求，如图2 2 所示，空间中分布着图 示离散点，k 。0 = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为f 点在物理区域内的相邻点，i 点是这个点云的中心点。 6 硕士论文无网格算法在热传导问题中的应用 k 1 k 2 t - 幻 k 4 图2 2 点云结构 利用无网格法对方程进行空间离散时，首先要利用曲面拟合方法确定基本变量的空 间导数，这里我们参考文献【1 4 】的做法，采用如下的一阶线性解函数进行曲面拟合： t = a l x + a 2 y + a o ( 2 2 ) 再根据前面所提的点云概念，在每一点云中都存在由点云内的点及该点本身分别满 足解函数而构成的的一个矛盾方程组，令此矛盾方程组的系数矩阵为么，那么式2 2 中 的系数可由下式间接计算求出： 其中系数彳如下： 三=c彳7彳，_1彳7 a = 五+ 2 镌+ 而 2 7 ：+ z 2 正+ z 2 瓦+ z 2 咒+ y 2 y 1 + y i 2 兰盐必1 22 令b = ( a r 彳) 1 47 ，则解函数t 的空间导数可表示为如下形式： ( 2 3 ) ( 2 4 ) 罢i 。= q = 。三，瓦，多i i = 呸= k c c ( 0 瓦， c 2 5 ， 这里k 表示包含于f 点云内的各点号，k c c ( i ) 表示求和是针对f 点云里不包含f 本身 7 有限点法与理论基础 硕士论文 的所有点进行的，瓦表示f 点与k 点中点的近似值。式中，k 为系数矩阵b 的第一行元 素，c 睹为系数矩阵b 第二行元素。显然，公式( 2 5 ) 中的系数b l k 、c 雎应满足如下关系 ( 数学上可以证明) ： b 膻= 0 ，= 0 ( 2 6 ) i t - - c ( )i c c ( ，) 此时已成功运用点云的概念及一阶线性解函数拟合了所求函数的一阶偏导数，但是 由于控制方程的二阶形式，典型的一层点云结构已不能满足拟合要求，因此就要运用到 下面的二层点云形式( 如图2 3 所示) t 图2 3 双层点云结构 如图中所示，i 点为计算点，其中实线方框内的点局( ，= 1 ，2 ，3 ，4 ) 以及点i 构成第一层 点云。利用上面叙述的点云内部各点之间系数关系，先用一阶导数来拟合二阶导数： ：罢：毛x + 如y + ，g y ：i o t = m x + y + ( 2 7 ) 由上面2 5 式可知，此时可以得到t 的二阶空间导数可表示为如下形式： 丽0 2 t 夼。毛，等邓= 觥e c i k 毋膻 ( 2 8 ) 其中、g ，踌分别表示f 点与k 点待求参数t 的一阶导数近似值和的中值： 止= c 矧，+ 飘m ，跏= 髻l ，+ 琴p 2 c 2 随后再以点云中每一点作为中心点，找出他们各自的点云( 如图中虚线方框所示) ， 在其各自点云内拟合其一阶导数，最后就形成了如图2 3 的双层点云结构，这样就用点 坐标及待求参数r 拟合出了控制方程中二阶导数。其中，最为关键的就是确定点云点以 及各点前的相关系数。 ， 、 ， 、 ，一、 硕士论文无网格算法在热传导问题中的应用 通过以上的方法对离散区域内的每一点列出相应的方程，这样就可以把二阶形式的 控制方程离散成只有点坐标以及待求参数温度的大规模离散方程组，为后面的求解奠定 了很好的基础。 2 4 点云系数的确定 确定上述离散方案后之后，下面要做的就是确定点云结构以及按照2 3 节方法求取 点云系数，在这里根据不同情况分为两类，一、如果自行布置均匀结构节点，此时，主 要是根据点云半径来搜寻各节点的点云点。主要方式如下：首先根据均匀布点时节点间 距确定点云半径，半径，要略大于节点间距同时小于两倍节点间距。在此基础上，依次 遍列所有节点，根据下式找寻节点第一层点云点。 ! ( ( x 一而) 2 + ( y - y i ) 2 ) 2 b 专c 寸d ，这样就在t e c p l o t 文件中节点网格化，然后再写入节 点参数( 包括节点坐标与节点温度) ，这样就实现了结果的可视化处理，为数据分析提 供了基础。 硕士论文 无网格算法在热传导问题中的应用 4 典型算例及分析 4 1 一维算例 本文中所有算例中的参数都是无量纲值，这对模拟结果没有影响。 算例1 是长度为1 的标准一维杆，左边是固壁温，右边是定常热流情况，热传导问 题可以写成下式： 裂a t 瓦a t ) + 玉= o 。o = t o ( 4 1 ) 【t 罢= g 其中热传导系数t 为定值1 ，内热源q 为常量1 0 0 0 ，左边固壁温度t o = 1 0 0 ，右端 热流q = 1 0 0 ，各参数均为标准单位。我们可以得出该问题的精确解为： t = 一5 0 0 x 2 + 11 0 0 x + 1 0 0( 4 2 ) 布点为均匀布点，节点个数为5 0 个。对于一维结构，设定点云半径为两倍的节点 间距，则双层点云个数为9 个，如图4 1 所示。椭圆形内部组成中心点i 的第一层点云， 整个9 点组成双层点云。 图4 1 一维点云结构 起始设定各点温度为1 0 0 ，迭代5 0 0 步后，计算结果基本趋于稳定，温度分布如图 4 2 所示：其中红线带三角为数值计算结果，蓝线为上面的精确解。从图中可以看出， 数值解与解析解基本吻合。 算例2 左右两端均为固壁温，有内热源，热传导公式如下： i a ( 气i a t ) + 6 ：o c 戗 = 0 = t o ( 4 3 ) 疋：。= 五 如算例1 ，热传导系数k ，= 1 ，左端温度t o = 1 0 0 ，右端温度互= 2 0 0 ，内热源 q = 1 0 0 0 ，精确解如下式所示： 2 l 典型算例及分析 硕士论文 t = 一5 0 0 x 2 + 6 0 0 x + 1 0 0 ( 4 4 ) 均匀布点5 0 个，起始设定各点温度为1 0 0 ，迭代5 0 0 步趋于稳定后，结果如图4 3 所示：其中红线带三角为数值计算结果，蓝线为上面的精确解。从图中我们可以很好看 出，数值解与精确解吻合程度较高，能够很好的反映杆内温度分布状况，能够较精准地 捕捉到最高点极值温度。 x 图4 2 算例1 计算结果图4 3 算例2 计算结果 算例3 与算例2 不同的是右端为第三类边界条件，热传导公式如下： fi a 【ti 0 t ) + 6 ：0 i 瓦【t 瓦) + g 2 c ；o - - r o ( 4 5 ) lt 罢叫乙棚 如算例1 ，热传导系数k 。= 1 ，左端温度t o = 1 0 0 ，内热源q = 1 0 0 0 ，右端环境温度 t = ，对流换热系数= ，精确解如下式所示：o 4 0 0 h1 t = 一5 0 0 x 2 + 9 0 0 x + 1 0 0 ( 4 6 ) 均匀布点5 0 个，起始设定各点温度为1 0 0 ，迭代5 0 0 步趋于稳定后，结果如图4 4 所示：其中红线带三角为数值计算结果，蓝线为上面的精确解。数值解与精确解吻合程 度较高，同样也能准确捕捉到极值温度。 硕士论文无网格算法在热传导问题中的应用 x 图4 4 算例3 计算结果 通过以上三个算例我们可以看出有限点法在计算一维模型时能够很好地反应杆内 温度分布状况，同时很够很好地捕捉到特殊点温度，如极值点。这证实了该法在一维模 型中的适用性。 4 2 二维算例 本节中选定计算区域为一矩形，其中边长口= b = 1 。针对各类边界条件，都有其对 应的精确解，计算模型如图4 5 所示： y x 图4 5 二维计算模型 4 2 1 稳态算例 算例4 是第一类边界条件问题。求解区域如图4 5 所示，四周边界都为第一类边界 条件，稳态无内热源。控制方程与边界条件如下所示： 2 3 锄 枷 秘 抑 锄 批 翘 仰 仰 贸一卜 鼻型算倒厦丹析疑上论文 怯c t 昙c 予小 【t ( x , y ) = x + ，+ 矽r e r 其中t = = i ，通过数学物理方程的求解，得到该问题的精确解为 r 似y ) = x + y4 - 叫t e q x 图46 算例4 无网格法数值解 ( 4 7 ) ( 4 8 ) 图4 7 算倒4 精确解 图4 6 是有限点无网格法迭代1 0 0 0 步趋于稳定后的数值解，图4 7 是解析解以及 前人算过的数值解l 枷，我们可以看出有限点法的数值解与解析解基本吻合。 算例5 是具有第一、二类复合边界条件的热传导问题，稳态无内热源，控制方程如 日i 论女无h * 算桂枉热传导问蘑中的应用 算例4 。边界条件如下式所示 该问题的精确解【1 7 l 是 ( 49 ) m 加i a b x + 善型业锣湍等寄业螋 在此算例中，取a = 5 。图48 是迭代1 0 0 0 步趋于稳定后的计算结果，图49 中虚 线部分是精确解等值线实线部分是前人运用其他方法的数值解1 2 “。 x 圈48 算例5 无网格法数值解 黑 t k 勃 典基算例及升析硬士论文 37 2 0 8 e + 0 0 2 4 0 3 e + 0 0 93 0 2 0 e 一0 1 二_ 3 10 0 7 e0 1 图49 算例5 精确解 算例6 是复合边界条件问题。几何区域如图4 5 所示。控制方程同上，左端与上端 为等热流边界，右端是与环境对流换热边界，下端是固壁温，稳态无内热源。具体方程 表达式如下： 该问题的精确解f 。封如下式所示： 啪m 胃喜赤等箱嬲掣 其中耳= i tl = 0 ，t = 1 ， = 3 。屯是下列超越方程式的解 t a n ( 丑口) ：拿h ：1 , 2 ，3 此问题的精确解是一个无穷级数，随超越方程的解屯值的增大级数项对求和式的 影响逐渐减小。困此选取超越方程的趴小到大排列的前1 5 个非负根来构造精确解。计 算迭代1 0 0 0 步趋于稳定后结果如图4 1 0 所示，图4 1 1 中实线表示精确解，虚线表示 前人所做数值解1 2 0 1 。 卸 孙 却 叮i 十雕螺 却。 堑知 硕士论文无月格算法在热传导坷最中的应用 圈4 l g 算倒6 数值解 87 0 0 0 e 0 1 82 2 9 8 e - 0 1 77 5 9 6 e - 0 1 72 8 9 4 e 一0 1 88 1 9 2 e 0 1 63 4 9 e 0 1 58 7 8 9 e - 0 1 54 0 8 7 e - 0 1 49 3 b s e - 0 1 35 2 8 0 e - o 。 30 5 7 8 e0 图4 1 1 算例6 精确解 以上三个算例都是无内热源的情况，算例7 是典型可变内热源情况，计算区域依旧 是图4 5 ，边界条件为圃壁温。具体控制方程与边界条件如下式所示； 昙c 号c 予啦o ”“m ir 沁力1 t o 其中女= i ，q = s i n 2 9 x s i n 4 t r y 。 设定初始区域温度为1 ，迭代区域稳定后计算结果如图4 1 2 所示，图41 3 是前人所 做数值解俐。 典型算倒及分析唰论文 图4 1 2 算倒7 数值解 露 。0 1 4 。4 。e + 。+ 0 0 骂：。0 1 0 。5 。e + 0 0 1 6 7 e * 0 0 一i l 10 0 4 8 e _ 0 0 黧1 。0 0 2 。9 e + + 0 。0 瓣蚕 謦辫j 9 b 5 6 2 e ，0 1 图41 3 算例7 前人数值解 从上面的4 个二维算例我们可以看出，有限点法在处理各类边界条件的稳态热传导 问题时，无论有无内热源问题时都具有根好的精确性，能够准确地反映出计算区域内部 的温度分布情况，这说明有限点法能够精确处理各类稳态热传导问题。 4 2 2 非稳态算例 前一节介绍的都是稳态情况下有限点法的适用情况，下面2 个是针对不同边界条件 的非稳态算例。 算例8 计算区域与上面相同，非稳态无内热源，第二、三类边界复合的热传导问题， 控制方程与边界条件如下式所示： 2 8 一一。謦；潭 豢一 硕士论文无网格算法在热传导问题中的应用 百c o t = 瓦c o ( k xc o 啦t - ) + 岳( b c o 咖t ) v -百2 瓦啦) + 瓦( 勺。咖 其中，乏= 0 ，k = 1 ，h = 3 ，p = c = 1 。 问题的精确解f 1 3 】如下式所示： t ( x 川y ) = 4 瓦 m = ln = l i c o t 堆h 歹一瓦) ) ，口= 。 ( 4 1 4 ) 多+ 妒瓦0 。 日2 p a ( 露+ 刀) r ( 群+ 日2 ) + 足】【6 ( 龙+ 日2 ) + 日】 c o s ( p x ) c o s ( r y ) 其中，h 2 = k ，q = 钆k ， c o s ( p a ) c o s ( y b ) 成、九分别是下列超越方程的解： 尾t a n ( p a ) = h 靠t a n ( r b ) = h ( 4 1 5 ) 和算例6 一样，此问题的精确解是一个无穷级数，随超越方程的解成、九值的增大， 级数项对总的求和的影响逐渐减小。同样选取超越方程的从d , n 大排序的前1 5 个非负 根来构造精确解。 设定初始计算区域内温度r o = 5 0 ，选择合适时间步长f = 0 0 0 0 2 s 。分别取第2 5 0 、 7 5 0 、1 2 5 0 、1 7 5 0 个迭代步长的结果输出显示，求解结果如图4 1 4 所示，图4 1 5 是精 确解以及前人数值解【2 0 1 ，虚线部分是解析解，实线部分是前人数值解，其中解析解中所 用时间步长r = 0 0 0 l s ，所以他所输出的结果显示分别取第5 0 、1 5 0 、2 5 0 、3 5 0 个迭代 步长。从图中我们可以看出，有限点法能够很好地反映各个时间段的计算区域内的温度 分布情况，这很好地说明了有限点法在非稳态热传导问题中的适用性。 删 产 一、， 一、， 玎一苏订一砂 典型算倒度分析碗论文 一；目盥 压 ，墨 争一j j j 0 、! 基霉j 闲 苓刘 l ”2 5 0) m h 图41 5 算例8 解析解及前人计算结果 睡 出徽爨戮 叠噩霸嘲露嚣糕锐强_一 颈i 论z无目崭算枉热传导问e 中的应用 所示 算例9 是第一、二、三类边界复合的无内热源非稳态热传导问题，具体方程直口下式 其中，咒= 0 ， = 1 ，= 3 问题的精确解如下式所示 胛詈= 夏0 幌面a t ) + 万o ( q 面o t ) ( 飘。一o ，( 罢+ 等c h ， 伽= 。 - o ，( 号+ 妒毛虬= 。 九= 6 ，p = c ：1 。 聊力瑙薹喜面鬻籍糯 ( rr c 。s 成“n y y d x d y ) 。s ( 鼬) s i n ( y ，) p ”懈帕。 ( 41 7 ) 凰41 6 算例9 计算结果 其中，h 2 = 坞k ，h 4 ；h 4 k ，以、一分别是下列超越方程的解 宙潍 二 _ 一胃 二一 典型算倒分析硕士论文 0 。t a n ( e 轴= h t 嘟( 圪6 ) = 一风 同样选取较小的1 5 个解构造解析解，设定计算区域初始温度为5 0 ，迭代步长 f = 0 0 0 0 2 s ，分别取第2 5 0 、5 0 0 、7 5 0 、1 0 0 0 个迭代步长的结果输出显示，求解结果如 图4 1 6 所示，图4 1 7 是精确解以及前人数值解【2 0 l ，虚线部分是解析解，实线部分是前 人数值解，其中解析解中所用时自j 步长r = 0 o o l s ，所以他所输出的结果显示分别取第 5 0 、1 0 0 、1 5 0 、2 0 0 个迭代步长。 # kn “ f ) s 咐f 5 0 c 、g i c p = l5 0 r i i 一j 一 彻s k * 铲t c o t 、一、_ 黜糕j 、 7 3 h e 1 型隧7 , 7 1 蠢魏曾霪= = ： i 鞠：擞= = 一7 d= = 一一1 蓄i 巍麟 一r 一 瞄41 7 算例9 解析解及前人计算结果 从前面的几个二维算例我们可以看出，有限点法在处理各类边界的二维热传导问题 时，无论是否有内热源，无论是否稳态，都具有较高的精确性，这说明有限点法在二维 热传导问题中具有很好的适用性。 4 3 三维算例 本节中选定计算区域为一立方体，其中边长a = b = c = 石。针对其边界条件，有 其对应的精确解，计算模型如下图所示： 硕上论文 无网格算法在热传导问题中的应用 图4 1 8 三维计算模型 三维结构与二维结构相比，改变的只是点云结构与点云个数，在本质上没有多大的 区别，这说明了有限点法的高度适用性。 算例1 0 是第一类边界，有点类似与二维的第一个算例，由于它具有精确解所以选 择它作为比较算例，具体控制方程与边界条件如下： 肛蚤+ 昙c 髟争昙c t 务o 【 r ( x ，y ，z ) = x + y + z + x y z t f 通过数学物理方程的求解，得到该问题的精确解为 r ( x ，y ，z ) = 工+ 少+ z + x y z t q ( 4 1 9 ) 图4 1 9 和图4 2 0 分别是该算例迭代1 0 0 0 步趋于稳定后数值解的正面和侧面图， 其中虚线表示解析解，彩色云图代表数值解，从图中可以看出数值解与解析解吻合较好， 这很好地说明了把有限点法推广到三维稳态问题的可行性。 典型算倒投卦析 坝i 论! 幽42 0 算倒1 0 数值解侧面图 算例l l 是非稳态问题，有可变内热源，具体控制方程与边界条件如下 百o t = ；虽( 罢) + 面呜面a t ) + 鲁( t 署) 】，e n r(x,y，,：z，,fo)：=sinx，si，nz，y)si：nzt(o,yt q ry t0 ( 4 2 。) ，：，f ) = ，z ，) = t ( x ，仉：，) = t ( x ，z ，z ，1 ) = 0 t ( x ，y ，0 ，) = t ( x ，y ，z ，f ) = 0 此问题的精确解【”下式所示： t ( x ，y , z ，) = e s i n x s i n y s i n z ( 42 1 ) 设定时间步妊f = o 0 0 2 s ，由于无论何时，计算区域外表面温度都为0 ，所以选取 3 4 耋；嘲啪啪啪啪啪删啪蛳啪啪晰唧蚴啪咖咖咖啪m粥器黜粥黜黜黜嚣器 协要：ljl一一ll_f匕一匕口图一 t * 女无网格算法在热传导问题中的应用 x = l5 为参考面，迭代1 0 0 、2 5 0 、5 0 0 、1 0 0 0 步后计算结果如图4 2 1 所示 。人， 目麓 蘸 s t e p = 5 0 0 s t e p ：1 0 0 0 图4 2 1 算例1 1 内部参考面r = 1 _ 5 的数值解 同时选取x = y = z 斜对角线为参照线，对比计算结果与精确解，如图42 2 所示；其 中横坐标表示斜对角线的坐标值，纵坐标表示温度值，从够图中可以看出，计算结果与 精确解具有很好的吻合度，由此表明，有限点法在三维非稳态问题中具有和好的实用性。 广黧嚣器鼎翟稳 土协圈h曰h口h曰目 典型算例及分析硕士论文 0 日 0 e 卜04 0 2 0 b - 码暖 s t e p = 1 0 0 4 4 本章小结 b - 码仁 s t e p = 2 5 0 x y z坼 s t e p = 5 0 0 s t e p = 1 0 0 0 图4 2 1 算例1 1 内斜对角线x = y = z 的数值解与解析解对比 本章在第二章所讲的离散控制方程、处理边界条件等一系列理论知识的基础上，运 用计算机语言f o r t r a n 编写了一套相关算法。首先针对一维杆问题选取了具有典型边界 条件的三个算例，一维问题具有简单的解析解，通过把利用所编写算法计算得出的数值 解与解析解的对比，发现该算法在处理各类边界的一维热传导问题时都具有很高的精 度，同时，能够很好地捕捉特殊点温度值。这在一定程度上说明有限点在解决热传导问 题时具有可行性。 在此基础上，本章进一步选择了具有前人数值解或者解析解的二维以及三维算例， 这些算例包含了固壁温、常热流、环境热交换所有三类边界条件以及有无内热源的情况， 同时对稳态以及非稳态问题做了分类分析。通过与解析解对比发现，计算结果具有较高 精度，同时对各类边界条件都具有很高的适应性。这些算例很好地说明了本文第二章方 2 5 1 5 0 吐 呲 盯 | 詈 。 硕士论文 无网格算法在热传导问题中的应用 程离散、边界条件处理等一系列理论的正确性以及有限点法在所有热传导问题中的适用 性。 3 7 精度效率分析及特殊边界设置问题 硕士论文 5 精度效率分析及特殊边界设置问