（基础数学专业论文）关于变换半群的若干研究.pdf

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p r e s e r v j n g t r 8 n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p5 p ( x ) a n dd l a f a c t e r i z et h eg r e e n sr e l 8 t i o n si nt h e 辩m i g r o u p5 侈) t h em a i nr e s u l t sa r eg i 咖a sf o l l d w i n g ： t h e o r e m2 1 2l e ta 5 d ( x ) ，t h e qi sar e g u l a re i e m e n ti fa i l do n j yi f 口 i sab i j e c t i o n t h e o r e m2 2 2l e tn ，卢5 0 ( x ) ，t h e na c 卢i ns p ( x ) i fa n do n l y 讧 i m o = i m 口 t h e o r e m2 2 4 l e t 口，卢t s p ( x ) ，i m q = ua i ，i m 卢= u 矽 ，t h e nn 冗口 i ns p ( x ) i fa n do n l yi ft h e r ee x i s ts t r i c t l yp a r t i “一o r d e r e d p r e s e r v i n gb 巧e c t i o n p ：，叶a ，s u c ht h a ta o 1 = b 硼卢一1f o re v e r yi ，a i l di ( a ，山) i = i ( b 曲，马口) i f o re v e r y a 如 t h e o r e m2 2 ，5l e tn ，卢s p ( x ) ，i m q = ua ，i m 芦= ub ，t h e nq 口卢 i n - 岁p ( x ) i fa n do n l yi ft h e r e 默i s ts t r i c t l yp a r t i a l 一o r d e r e d - p r e s e n ，i n gb 玎e c t i o n p ：f - a ，s u c ht h a tiai = ib i 8if o re v e r yt f ，觚di ( a i ，a j ) l = i ( _ b 矾b j a ) if o r e v e r y a t h e o r 咖2 2 6 l e t 口，卢5 0 ( x ) ，i m o = u a ，i m p = u 上h ，t h e n o 咒卢i n - 罗口( x ) i fa n do n l yi fi m q = i m 卢= ua ，a n de x i s ts t r i c t l yp a r t i a l 0 r d e r e d p r e s e r 、，i n gb i j e c t i o n 口：j _ + ，s u c h h a ta q 一1 = b 卵一1f o re v e r y ，a n d j ( a ，a ) j _ j ( 鼠9 ，马圳f o re v e 珂a 山 4 山东师范大学硕士学位论文 t h ec h a p t e r3m a i n i yc h a r a c t e r i 冼t h eg r e e n sr e l a t i o n si nt h eg e e r a l i z e d t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p ( p ( 瓦y ) ，牛) t h em a i nr e s u l t sa r eg i 啪箱f 0 i i o w i n g ： t h e o r e m3 2 s u p p o o ，芦p ( x ，y 1 日) t h e n ( 1 )q c 卢i fa n do n i yi fr a n o = r 卸口o = r a n p = m 口p ， ( 2 ) d 冗p i fa n d 彻l yi fk e r c r = k e r 甜= k e r j 9 = k e 印口 t h e o r e m3 3 s u p p o s e 口，声p ( x ，r 口) t h e n 口氕卢i fa n do n l yi f r 姐a 2r a n 口o = r a i i 卢= r a n 印，l 【e m = k e m 口= k e 印2 k e r 口口 t h e o r e m3 - 4s u p p o s eo ，芦p ( x ，疗) t h e na 刀修i fa n do n i yi f r a i l n = r a n 口q ，r a n 卢= r a n 卵，k e r 卢= k e r 卵，k e m = k e r 甜，蛐d lr a n o i = fr 8 n 卢i t h e o r e m3 6 s u p p o s e 卢p ( 置k 口) ，w h e r ef r a n ofa n dlm 口fa r e 丘n i t e t h e n 口，卢i fa n do n l yi fa 刀口 t h ec h a p t e r4g i v e st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h em a x i m a lr e g u l a rs u b s e m i g r o u p so ff u l lo r d e 卜p r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o n 辩m i g r o u p0 na n dp a r t i a io r d e r - p r e s e r v i n gt r a i l s f o r m a t i o ns e m i g r o u pp 0 n t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na sf 0 i i o w i n g ： t h e o r e m4 1 - 2s u p p o s e 口 一i ，t h 衄 厶= d n ki sam a x i m a lr e g u l a r s u b s e m 培r o u po fo n t h e o r e m4 - 1 3 s u p p o s e 卢厶l ( r 旧i u r i n - 1 n i ) ，t h e n 和= 瓯助i s am a x i m a lr e g u l a rs u b s e m i g r o u po fp n t h e o r e m4 - l 4e a c hm a x i m a l r e g u l a rs u b s e m i g r o u po fe k l u s tb eo n eo f t h ef o l l o w i n gf o m s ： ( 1 ) 厶= o 。厶，w h e r e 口五一i ； ( 2 ) 和= d n 嘞，w h e r e 卢厶一l ( r 1 1 2 iu 国。一l ，。i ) t h e o r e m4 2 2t h em a x i m “r e g u l a rs u b 鸵m i g r o u po fp 0 ni so ft h ef o m 8 p o 。冗。，w h e r e 口厶一l ， 5 些壅堕堇盔堂堡兰堡垒生 t h ec h 曩p t e r5m a i n l yd i s c u 黯t h es t r u c t u r e so f m i g r o u p sa n d1 w ea l s 0 o b t a i t h em 粕m a ls u b s e m i g r o u p so fs e m i g r o u p7 奢( x ) 锄d ( x ) t h em a i n r e s u l t sa r eg i v e n 雒f o l l o w i n g ： t h e o r e m5 1 5i f j 曼l ，t h e n ( f ，。尝，砰) = 五) t h e o r e m5 1 7l e tgb eam a x i m a ls u b g r o u po f 芹，t h 锄 ( 1 ) k f ( n ，n 一2 ) u 堙； ( 2 ) 影e ( n ，竹一1 ) u g ； ( 3 ) 五( x ) a ， a r em a 越m “s u b s e m i g r o u p so f7 音( x ) t h e o r e m5 2 4i f f 距i ，印s 尸臻1 = p 距t 臻l t h e n ( 瓢砰，p 距t ) = 死( x ) ， t h e o r e m5 2 6l e tgb eam a x i n l a is u b g r o u po f 砰，t h e n ( 1 ) 尸如( n ， 一1 ) u g ； ( 2 j 魄r ( x ) a ； ( 3 ) 既( x ) s p 。象i ； ( 4 ) ( x ) j 0 l a r em a x j m a is u b s e m 培r o u p so f7 誓( x ) k e y w o r d s ：o r d e r p r e s e r 、r i n gt r a n s f o r m a t i o n m i g r o u p ，g e n e r a l i z e dt r a n s f b 啪a t i o ns e m i g r o u p ，t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p st h a tp r e s e i n ga ne q u i v a i e n c e r e i a t i o n ，t h em a x i m a lr e g u l a rs u b s e m i 寥o u p ，g r e e n st e l a t i o n 。 c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 2 7 6 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言 由于变换半群在理论计算机科学和半群的代数理论研究中的极重要作用，多年 来变换半群一直是研究热点之一在国外，以h w i e ，h g g i n 9 8 ，s a i t o ，n a 阱u m 口，k v i 等人为代表，对很多变换半群类进行了大量研究近几年，国内的学者游泰杰，裴惠 生，杨秀良和杨浩波等人也对些变换半群类做了大量的研究，并取得了丰富的研 究成果本文在他们所做工作的基础上，进一步研究了几类变换半群的若干问题 格林关系由j a g r 于1 9 5 1 年提出，此后格林关系在半群的代数结构研究中 得到广泛应用用格林关系研究半群是半群理论的特色之一，刻画某半群类上的格 林关系，对研究该类半群的结构具有重要意义 2 0 0 5 年，裴惠生和邹定字对保序 及保等价关系的变换半群上的格林关系进行了研究，取得了许多新颖而又深刻的 结果 j i r a o ki t c h a r a t 和r p s u l i i 啪在论文暂f k t o r i 船b l es e m i g r o u p so fg e n e r a i i z 酣 n a n s f o r m a t i o n s 中，也对推广的变换半群的格林关系进行了初步研究在此基础 上，本文对严格保序变换半群s d ( x ) 的正则元及5 d 俩) 上的格林关系进行了刻画， 并讨论了推广的变换半群上的格林关系 研究半群的各种子半群也是研究半群的重要方法之一1 9 7 1 年，s d t 咖研究 了某类变换半群的逆予半群；n 劬0 b 和r e i l l y 对变换半群的极大逆子半群进行了讨 论；2 0 0 2 年，游泰杰对变换半群的极大正则子半群进行了刻画而本文则对保序完 全变换半群瓯和保序部分变换半群- 。上所有的极大正则子半群进行了刻画；同 日寸还讨论了保等价关系的完全变换半群强( x ) 及保等价关系的部分变换半群( x ) 的结构，并在此基础上研究了尼( x ) 和似) 的极大子半群 7 山东师范大学硕士学位论文 第二章无限集合上的严格保序变换半群的正则元及格林关系 设x 是一个全序集，及是x 上的完全变换半群易见矗中的全体严格保序 变换的集合 5 口咩) = 扣矗i ( vz ，v x ) z a 2 q 这与m n = n 2 n 矛盾，故。是单射 口 定理2 1 2 设口s o ( x ) ，则。是正则元当且仅当a 是双射 证明设口是正则元，因为a s d ( x ) ，所以由引理2 1 1 得q 是单射下面证明 n 是满射由口的正贝4 性知，存在卢5 d 僻) 使。触= n ，即对任意的毗x 都有 啦( 卵= d 幽从而( 4 筇) 口= 口口因为q 是单射，所以啦( n 口) = o ，因此卵= e 从而 i r l l o p = x ，故i m n = x ( 否则，i m 口x ，设o jg i m a 因为卢是完全变换，所以q 在口 的作用下有象，不妨设町母= 鲰，由，是单射知讯g j m 国鼢这与j m ( n 所= x 矛盾) 反之，如果口是双射，那么显然a 是5 口( x ) 的正则元 口 由定理2 i ，2 我们可以直接得到下面的推论： 推论2 1 3 设a ，口是s d 晒) 中的正则元，当x 是可数集时c 2 5 l ，如果存在嘶x 使口口= 4 i 卢，则口= 声 由于双射的乘积仍然是双射，所以由定理2 1 2 知s d ( 硼中的全体正则元的集 合对于乘法是封闭的，故似7 中的全体正则元构成s d ( x ) 的个正则子半群 8 山东师范大学硕士学位论文 显然x 的恒等变换s 为该正则子半群中的唯一幂等元这样我们又得到下面的推 论： 推论2 1 4s a ( x ) 中所有的正则元恰好构成5 d 僻) 的一个极大子群 9 山东师范大学硕士学位论文 2 2半群s d 僻) 上的格林关系 这一节，我们要考虑s a ( x ) 上的格林关系，在给出主要结论之前，我们先了解下 面些概念设x 是个全序集x 的子集 称为凸的，如果对任意的z ，a z s ， 都有伽x zs = ” a 如果毛口x 且z 玑则x 的子集忙，们= 伽xi $ s zsv 称作是x 的闭区间类似的，我们还可以定义其它类型的区间，例如 扫，纠，扛，) ，扣，f ) ，k + o o ) ，( 一o o ，们等显然，x 的至少含有两个元的子集且是凸集当 且仅当a 是区问设p i o 是x 上的两个凸集。若对任意的n p 及b q 都有o b 成立，则称p 小于口，记作p 口我们还可以把区间的概念进行推广设p 口是x 的两个凸集且p 0 ，则x 的子集( p ，0 ) = 扣x l p 。 订叫做x 的广义区间， 其中p = m o zp ，口= m t n 口 引理2 2 1 设ae 5 d 似) ，若a 是x 的一个凸集，则a a 一1 = 伽x i # 口a 或 者是空集或者是x 的个凸集 证明如果舶一1 0 ，设z ，a o 一1 且z 对任意的：x a g m ：sp ，由。 的严格保序性和。为一个映射知m 茎f m 因为，f 口a ，丽a 是x 的凸集， 所以m 以，即z 勘一故且d 一1 是x 的一个凸集， 口 定理2 2 ，2 设a ，口e 5 0 ( x ) ，则在5 0 ( x ) 上q 筇当且仅当i m = i m 口， 证明如果在s o ( 鄹上“多，则存在。如滞) 使得知= 声，移= 。从两 x 口= x n = ( x ) n x 口，即i m 口i m o 同理i m n i m 口故i m n = i m 口 反之，如果i m a = i m 口定义m 如下： z l l = ( z 卢) a ，善e x 由引理2 2 1 知口是单射，又因为i i i i q = i m 卢，所以1 l 的定义是有意义的。且7 。是x 上 的完全变换对任意的毛i x 且z 肌由芦和n 的严格保序性知0 谬) 口_ 1 ( f 卢) o 一， 即2 饥 f 仉，所以饥es o ( x ) 易验证饥n = 芦类似可证得，存在加5 p ( x ) 使得 7 2 卢= n 故在s 0 ( x ) 上n 口 口 接下来我们考虑5 0 ) 上的格林关系冗的刻画 引理2 2 3 设口，口5 d 僻) ，b 是x 的一个凸集，如果存在x 的某个凸集使 b ( 筇) = ，则口口也是x 的个凸集 证明假设日h 不是x 的凸集，则一定存在d l 冉口0 ，口x 、b a 使得o l 口 啦 显然d 口口( n 口) ：口因为卢e 5 0 ( x ) ，所以4 l 口 卵 0 2 口丽口l 卢，啦卢口( 口卢) = f ， 因为是凸集，所以卵f ，矛盾从而b 口也是x 的一个凸集， 口 l o 山东师范大学硬士学位论文 设d 是个集合， 是d 上的一个关系若 满足； ( 1 ) 对任意的$ d ， $ 不成立； ( 2 )【v 茹，掣，= d ) z 掣且p ；辛z z ， 则称 是d 上的严格偏序d 连同 称为严格偏序集 设d ，f 为两个严格偏序集，：d - + f 是一个映射若对任意的。，d ，且 z 都有$ 以则称是保严格偏序的 对任意的a 5 a 僻) ，易见i m n = u a ，这里，u 且。是非交并，a 为凸集且 诞，嬉， 对任意的 山都有( 山，山) 口我们在指标集j 上定义关系 如下t 对任意的 ，j j ， j 当且仅当 a j 显然 是j 上的严格偏序，j 关于 作成一个严格 偏序集 定理2 2 4 设a ，口s d 晖) ，i m n = u ，i m 声= u 凤，则在s 口) 上。冗芦当且 仅当存在保严格偏序的双射日：，+ 使得对任意的i ，有 i n l = 岛p 卢，且对任 意的 4 ，都有i ( 也，如) f = i ( 岛口，岛口) 1 证明如果在( x ) 上n 酃，则存在f ，目s 口( 州，使得n f = 口，砌= n 对任意的 l f 有( i n - 1 ) 砌= ( a 水1 ) 口= a i ，因此由引理2 2 3 知，口一定将a a “映射为x 的 一个凸集，于是一定存在唯一的a a 使得a 。q 一风口o 对于b 卢，利用n f = 口， 与上类似可知一定存在ej 使得b 口一m a 这样a 罅一1 协卢一1 a n 因 为要么an 凡= 0 ，要么a 。= 以i ，所以要么凡n 一1n 血n i = g ，要么a j 口1 = 血d 而由山口一1 m n q 知 ，n 一n m d 一1 毋，于是 ，d _ 1 = m d 那么，对任意的i ， 存在唯一的 a 使得a a 一- = 毋口同理，对任意的p a 存在唯一的j ，使得 吼口。= a f o 定义口如下， f ：，+ af + ( 女日果a n 一1 = 以声1 ) 那么p 是，到a 的双射且4 i n i = 风口一i = 且p 卢 下面证明口是保严格偏序的设i ，je ，i j ，则 山因为a 是严格保序 的，所以a 。a 1 山o 。，从而且口口一1 马口卢由p 的严格保序性知且口 岛p ，因此 胡 j 口故口是保严格偏序的 对任意的a ，如，设a j ( 岛p ，岛p ) 1 另一方面，由( 口。) = ( 日口一1 ) 口，( 山n 一1 ) 西= ( 马印一1 ) 口得 a t f = 鼠一，由f = 毋p 再由f 的严格保序性知l ( a ，山) 一，岛口) i 故l ( ，a j ) | = i ( 鼠p ，马d ) i 山东师范大学硕士学位论文 反之，由a i n 1 = 鼠p 卢“和ia a “h i 以及l 风口芦- 1 | i 岛pi 知lahb i ， 又因为i ( 也，a j + 1 ) l - l ( 岛口，最j + 1 ) 口) i ，所以可定义x 到x 的映射f 使之满足下面的条 件：f 以严格保序的方式将 映射为甄p ，且f 以严格保序的方式将( 与，由+ - j 硖射 为嗡i e b i i + q 小， 、ie i 下面证明f 在x 上是严格保序的对任意的，”x ， 玑若，f 同时属于某 个a “n 或同时属于某个( 山，“- ) c fe j ) 显然由f 的定义知 f f 下面考虑 其它情况 ( 1 ) 若。a ，f ( 山，缸1 ) ( j d ，因为 ，所以a 山，因此i j 或i = j 若 j ，则由口是保严格偏序的知坩 j p ，因此且坩 马口若i = j ，则晟f = 马口总之 ，b m 马_ 由f 的定义可得鼠p ，蝣( 马p ，b 叶1 ) ，) 故2 f 蝣 ( 2 ) 若z ，p 山“，j ，且f j ) ，由z ”知a 山，因此i j 因为口是保 严格偏序的，所以埘 j p ，即日p 马p 而b m 必岛p ，故z f 孵 ( 3 ) 若z ( a ，4 i + 1 ) ，fe ( 山，a + 1 ) ( t ，jej 且 j ) ，由 f 知a 如，因此 j 因 为日是保严格偏序的，所以胡 j 口，即日口 马口而z ( 岛p ，口( 件1 ) 口) ，畦( 岛口，b ( h i m ) 故z f ，f ( 4 ) 若z ( a ， 1 ) ，”山( i ，j n 则类似于( 1 ) 可得 f 综上可知是严格保序的，即 e s d ( x ) ，对任意的t ，有( a n t ) = a i = 风口= ( a i n t ) 口，由f 及口的严格保序性知，对任意的2 a n - 1 有z ( a f ) = z 口而 x = u i 口，从而对任意的z x ，。陋f ) = z 卢，即= 卢同理可定义使5 d ( x ) 且满足砌= o ，故在5 0 ) 上4 冗口 口 定理2 2 5 设n ，声) ，i m o = u ，i m 声= u 风，则在s d ( x ) 上n 口口当且 仅当存在保严格偏序的的双射口：，- a 使得对任意的i ，有i l - f 且pi ，且对任意 的a a j ，都有l ( 也，山) l = i ( 鼠e ，岛口) 证明如果在s d 俾) 上口粥则存在7 5 口( x ) ，使得在9 ( x ) 上口c 仉，7 帮由定 理2 2 ，2 得j m = i m q 因为在s o ( x ) 上7 脚，所以由定理2 2 4 得存在一个保严格偏序 的双射口：j - + a 使得对任意的 ，有a 订一t = 口 口，并且对任意的 a ，都有 i ( a ，山) h ( 晟p ，岛f ) i 由a i 7 1 = 口- 1 和饥p 都是单射且i l ”= i m 口，知ia i h b i 反之，因为对任意的 j 都有lai - | b pi - i 鼬卢一1l ，而且x = u 口 卢“= u b 卢，所以可定义x 到x 的映射7 使之满足：i 町= h n 口= u ，并且7 以严格 保序的方式将b 口口一映射为 ，i ， 山东师范大学硕士学位论文 下面证明7 在x 上是严格保序的对任意的z ，_ 置。 ，若毛f b 口，则 由1 的定义知舯 ，1 若z 鼠f 口，马口口_ 1 ( 取口马p ) ，由 f 知砌芦_ 1 马9 卢一因为卢严格保 序，所以马口 岛，从而坩 j p 由9 是保严格偏序的双射知f 因此 如，丽 钾如 如，所以卵 f 仉故7 是严格保序的，这样7 s d ( x ) 由7 的定义和定理2 2 2 知在s d ( x ) 上口c * 由7 的定义可得晟p 芦一l = 订从 而由定理2 2 4 知在s d 何) 上7 冗筘故在5 d ) 上n 筇 口 由定理2 2 ，2 和定理2 2 4 可直接得到下面的定理， 定理2 2 6 设口，卢s 口( x ) ，i m 口= u ，妇芦= u 鼠，则在何) 上a 够当且 拒f e 仅当h a = i m 肛ua ，同时存在保严格偏序的双射p ：，_ ，使得对任意的 e ，有 i n 一1 = 鼠口卢，且对任意的鱼 山，都有f ( ，与) h ( 风d ，岛口) i 注显然5 d ( x ) 中任意的正则元口，口都有口w p 山东师范大学硕士学位论文 第三章推广的变换半群上的格林关系 设x 和y 是两个非空集合，p ( x ，y ) 表示从x 到y 的所有部分变换构成的集 合取定口e p ( y ，硼，在p ( x ，y ) 上定义运算如下： 则( p ( x ，y ) ，) 是一个半群，叫作x 上的推广的部分变换半群。表示为p ( x ，k 日) 在不 引起混淆的情况下，我们可以把。+ 声记作印如果用表示x 到x 的恒等映射，则 尸( x ，x ，) 就是x 上的部分变换半群m a g i l l 和s u b b i a l l 已经研究了半群( p ( x ，y ) ，) 中的正则元及其正则元间的格林关系( 2 j ，j i r a s o o k 和s u l l i v m 研究了( p ( x ，y ) ，时的可 分解性( 3 而我们将在两者的基础上对伊悸，y ) ，) 中任意元闻的格林关系进行刻 划 对半群s 上的格林关系”，”冠”，”w ”，”，”而言，s 中的任意元。与它本身 总是有这五个等价关系的，即口血，n 舭，o 笼口，。瑰，日以是恒成立的因此在下面的论 述中，当论证( p ( x ，y ) ，) 中两个元n ，口是否有这五个等价关系时，我们总是假设 n 卢 引理3 1 例设a ，口p ( x ，y ，口) ，则 ( 1 ) 存在 p ( x ，m 口) ，使得口= o 当且仅当r 声r 口n ( 2 ) 存在p p ( x ，y 既使得口= 口p 当且仅当d o m 口冬d o m 甜以及 d o ( 口护) 一1n i d d m 口口d o m 口1 声。卢一1 由引理3 1 我们可以得到c 及冗关系的等价刻划 定理3 2 设n ，口p ( x ，y p ) 则 ( 1 ) q 筇当且仅当f a n 口= r 融= r 氆n 声= r a n 锣， ( 2 ) n 冗口当且仅当k e r a = k e m 口= k e r 口= k e r 卯 证明( 1 ) 如果口c 反则a u p ( x ，y 口) q = 口u p ( x ，y 口) 口，因此存在_ e e 户( x ，y t 口) 使得口= 卢，卢= p a 由引理3 “1 ) 得r 柚n r 锄扫卢r 姐卢r a i l 钯而r 柚口o f 锄口， r m 卵r 声是恒成立的从丽 r a 玎口r a n 卵r 甜啦r 罩l i l 缸冬r a l l 口， 即 r 8 n 硅= f a n 钕= r a n 口= “l | l 扫矗 1 4 山东师范大学硕士学位论文 反之，如果r 口= r 鼬= r a i l p = r m 口口，显然有r r a n 卵，r a 叩r a l l 口a 由引理 3 1 ( 1 ) 知，存在 ，pe p r 即使得口= 反芦= p 口故n c 声 ( 2 ) 由引理3 1 ( 2 ) 可以推出 a 7 筇当且仅当d o m o = d o m 删= d o m 卢= d o m 朋以及甜( a 一) 一1 卯，脚( 卢疗) 一1 互口乜一i ( 参见参考文献【3 1 ) 下面证明d o m a = d o m n 口= d o m p = d o m 卵以及q 口( 础) 一1 卵，朋日) 一一1 当 且仅当n 口“= n 口( 甜) “= 筇- 1 = 筇( 卯) 一 如果d o m n = d o m 删= d o m 口= d o m 朋且d 口( o p ) 一1 口p ，胂( 口日) 一1 一1 成立，由 d o m q = d o m d 口可得r 口d 0 1 1 1 口从而对任意的扛，f ) a n ，即对任意的z a = f 口，都有 z o 口= p n 口，即0 ，掣) 耐( n 一所以a 口一1 n 乎似同理可得筇一1 芦护渊) 因此 n 口( 口口) 一1 j 卵一1 j 卯( 芦一1 妄o q 一1 口p ( n 一) 一1 ， 即 口口一1 = 口口( 口一) 一1 = 声卢一1 = 印( 口口) 反之，如果n n “= 甜( o p ) 一1 = 卢口一1 = 卯( 口口) 一1 成立显然有口口( n 9 ) 一1 筇一， 筇( 阳) - 1 而o ，声满足d 口一1 = 甜( 甜) - = 卯1 = 卯( 脚) ，则口，卢显然满足 d o m = d 咖口口= d o m 口= d o m 脚 综上可知 口亿口亡争c e d 一1 = q 口( n p ) 一1 = 卢口一1 = 卢曰( 口口) 一1 即 。冗讳l c e m = k e m 口= k e r 口= k e r 口口 由定理3 2 ，我们可以直接得到下面的定理 定理3 3 设口，声e p ( x ，y ，口) ，则口妒当且仅当 r 锄o = r 卸鼬= r a l 班= r a n 即，k e r 口= l c e m 口= k e 咿= j c e r 卯 在下面的论述中，我们把p ( x ，y ，口) 中的元。记为 a = ( 这里，r 柚口= 玑lt ， ，玑口一1 = x ，d 伽l d = u a lf j ) 山东师范大学硕士学位论文 定理3 4 设n ，卢p ( x ，y ，日) 则a 琊当且仅当 r 蛐a = r 锄融，r 蛐卢= r 柚p 卢，k e r 卢= k 口卢一，l 。e m = k e r 甜，且l r 蹰口l = | r 柚卢1 证明如果d 聊，则存在7 p ( x ，y 使得d 铆，怛口由定理3 2 得 r 觚q = r 卸7 = r 鲫缸，l c e 妒盘k e r 口一= k e q 因为d = co 宠= 冠。厶所以同理可得 r a n 声= r a n 卵，k e r 口= k 帆坩 由r 口= r a 町可得ir a l - f m l f ，由k e 咿= l c e r 丫可得 咿| - fr ，i 因此 lr a z i a l = f m p f 反之，因为i r 柚。hr ”卢l ，所以在r p 与r a 之间存在一一映射，设为 ：r a n 卢+ r a i l n 设 定义7 如下： ，= ( ：) ，= ( 三) 显然r 1 = r 8 = r a n 鼬下面证明1 ，= m 口7 因为r 口= r a i l 即，所以对任意的 f ，都有r 口n 鼠9 ，因此r a n 7 r m 日7 ，而r “竹r 1 是显然的所以r a i l l = r 竹 从而由定理3 2 得1 c 口 因为k e r 口= k e r l = k e r 即是显然的，所以要证明月研，只需证明k e 吖= i c e 叶口即可 对任意的( $ ，口) k e r l 口，因为k e r 口= k e r 口p ，所以r o d o 枷且pi r a l l 。是单射因此由 r 1 ；r a m 可得r 7 d 哪口且口l r a 叶是单射如果( ) ek e r 加即z ( ，妒) = f 徊) 由 口r ，是单射可得z 1 = 即0 ，p ) k e q ，所以k e 叫口k e 吖反之，由r 7 d o m 口可 直接得到k e f 7 妄k e r 卯因此k e 竹= 1 c e r 渺故7 蜀良 综上可得a 口声 o 推论3 5 设q 卢尸( x ，r ，并且fr a n 口f 与fr 卢f 是有限的则a 琊当且仅当 ir a n 口i = i r a n 口l = ir 卸日nf = ir a i l 矿辟降i 瑚吼吐pf = fr a n 矽1 证明如果a 口口，则由定理3 4 得 1 6 山东师范大学硕士学位论文 r a i l o = r a n 鼬，r a 啪= r a l l 日口，k e r 卢= k e r p p ，k 口o = k 口神，且1 r a l l 口l _ l r a 叩1 由r n = r a n 融得lr mh r 口q1 同理可得ir 口hr a i i 卵1 因为l 口口= k r q 口， 所以r a n 口d o 耐且口 抛是单射，由此 r 蠲口_ f f a l l 甜f 同理f