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时域分析方法的计算机辅助设计 院 系： 机电与自动化学院 专 业 班 级：电气工程及其自动化 姓 名： 学 号： 指 导 老 师： 年 月时域分析方法的计算机辅助设计 Computer aided design method of time domain analysis 目录摘要IAbstractII绪论11 基于MATLAB的线性系统的时域分析及仿真31.1 基础理论概述3 1.1.1 时域分析法的简述31.1.2 控制系统的动态性能指标31.2 一阶系统的时间响应及动态性能分析41.2.1 一阶系统的数学模型及单位阶跃响应41.2.2 一阶系统的动态性能分析51.2.3 系统仿真及结果51.3 二阶系统的时间响应及动态性能分析61.3.1 二阶系统的数学模型及单位阶跃响应61.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标分析71.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标分析91.3.4 仿真验证112 系统的稳定性分析及其稳态误差计算182.1 系统稳定性概念182.2 仿真验证192.3 稳定误差分析202.3.1 误差与稳态误差202.3.2 稳态误差的计算213 二阶系统的Matlab实验设计及仿真233.1 实验方案及其简要步骤233.2 实验数学模型233.3 实验结果263.3.1 实验箱仿真结果263.3.2 计算机仿真结果28结论29致谢30参考文献31附录32摘要 随着时代的进步和科技的发展，自动控制技术在航天与航空工业、电力工业，原子能工业等领域中的应用越来越广泛。同样，自动控制技术将在未来拥有更重要的地位。时域分析法是一种最基本的分析方法，可以直接在时间域中对系统进行分析校正，直观准确，可以直观的表达出时域特性，是学习频域法，复域法的基础。它是根据系统微分方程，且以拉氏变换为工具，直接求出系统时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能。 论文对时域分析法的基本定义、意义及其系统性能指标进行了归纳总结,分析研究了一阶、二阶的时域响应特性及动态性能,同时利用MATLAB软件及软件中的Simulink来实现自动控制系统时域的分析。本篇论文介绍了利用MATLAB软件对自动控制系统进行线性系统分析和时域分析及仿真的方法，通过直观的分析和仿真达到自动控制系统的优化。在理论分析的初始阶段，通过一些推导的计算，从而得出了系统的性能指标包括超调量、峰值时间、稳定值和上升时间的这些理论值，然后再通过系统模块设计与仿真，从而得出相关参数与系统时域响应之间的关系。关键词：自动控制系统 时域分析 MATLAB 仿真 动态性能 Abstract With the development of scientific and technological progress,Automatic control technology applications in the aerospace, power industry, the field of atomic energy industry and other more widely,Similarly, automatic control theory and technology will have a more important role in the future.Time domain analysis method is the most basic method of analysis,It can visually express the temporal characteristics, the system can be analyzed directly Correction In the time domain,Intuitive and accurate，It is the study of complex domain method and frequency-domain method basis.Time domain analysis method is based on the system of differential equations,Laplace transform as a tool to System response time obtained directly,then follow the response curve to analyze system performance.Papers basic definition of the time-domain analysis, the significance and its static and dynamic performance indicators were summarized,It analysis of the first order, second order and higher-order systemsthe time domain response and dynamic performance,Describes the use of advanced MATLAB software for automatic control system simulation and time domain analysis of linear systems with state space analysis method,Through simulation and analysis fast and intuitive automatic control system to optimize.In the theoretical analysis stage, through some derivation calculated the dynamic performance of the system: the theoretical peak time, overshoot, stable value and rise time, she then through the system design and simulation modules to draw relevant parameters qualitative relationship between the time domain response system.Key word:Automatic control system Time-domain analysis MATLAB Dynamic Performance Simulation I绪论 首先介绍的是时域分析方法的发展历程，1868年，英国的物理学家迈克斯韦，开始探索运用数学的方法分析控制系统的一个途径。这方法奠定经典控制理论中时域分析法的基础。美国的物理学家耐奎斯特，则使用了复变函数得理论建立了稳定性的判断准则，而这是在1932年，这个准则奠定了频率分析法的基础，随后博德进行更进一步的发展，形成经典控制理论的时域分析方法。 20世纪50年代，采用数字模拟在模拟计算机上进行的实验研究。到20世纪60年代初，随着数字电路和计算机技术的飞速发展，采用数学模型在数字计算机上借助于数值计算方法所进行的仿真实验。其特点是计算与仿真的精度较高。再到20世纪80年代，采用先进微型计算机，基于专用的仿真软件，仿真语言来实现的仿真技术，其数值计算功能强大，使用方便，易于掌握。这是当前主流的仿真技术和办法。 MATLAB的发展也是随时间在不断地进步，控制系统的计算机辅助分析与设计的早期应用在Jones和Melsa于1970年出版的专著中已有反映。他们给出了大量的Fortran的源程序，可以直接应用于控制系的分析与设计。这也被认为是第一代控制系统计算机辅助分析与设计的软件。第二代的系统设计与分析软件显著的特点是人机交互性。如Moler在1980年推出的Matlab语言和Astrom在1984年推出的软件INTRAC。这些软件和当时十分盛行的C语言和Forthan语言一样，往往需要用户掌握其编程方法。不同的是，由于这些软件的专用性，故其集成度和编程大大高于C这类语言，从而得到广大使用者的青睐。Matlab语言除了易于学习和使用、扩展能力强、编程效率高、运算功能强大以及界面友好等优点外，更重要的一点是具有大量的配套工具箱。而这些工具箱的设计者都是相应领域的著名专家。这使得Matlab语言目前已经成为控制界国际上最流行的软件。 Matalb语言除了具有强大的数值运算和图形功能外，还有其他的语言难以比拟的功能，就如它提供的应用在许多领域中的工具箱。除此此外，Matlab与其他语言的接口也同样能够保证其可以和各种强大的计算机软件相互结合，发挥其更大的作用。Simulink是Mathworks公司开发的一个软件产品。它具有着重要的影响，它拥有着两个功能：simu（仿真）和link（连接），就是可以方便地利用鼠标在模型窗口上画出所需系统的模型图，从而对系统进行建模，分析与仿真，从而使一个复杂的系统模型的建立与仿真变得简单而又十分的直观。但是Simulink是不能单独运行的，需要在Matlab环境下来运行。我论文所研究的主要内容包括运用MATLAB软件，对时域分析方法进行较广泛的仿真研究、逐步对各阶系统进行了设计、仿真及时域响应分析、运用MATLAB软件，对时域分析方法进行相关实验设计以及对仿真中的曲线、结果做出必要地分析和说明，并得出结论。1 基于MATLAB的线性系统的时域分析及仿真1.1 基础理论概述1.1.1 时域分析法的简述 时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换（简称拉氏变换）作为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，依据响应的表达式以及其时间响应曲线来分析系统的控制性能，诸如稳定性、快速性、平稳性、准确性等，并找出系统的结构、参数与这些性能之间的关系。不同的方法有不同的特点，与根轨迹法、频率法相比较而言，时域分析法是一种直接分析法，易于为人们所接受；此外，它还是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响应全部信息。 时域分析法有四种常用的典型外作用：单位阶跃作用、单位斜坡作用、单位脉冲作用、正弦作用。控制系统能稳定工作，是研究系统动态性能与稳态性能的重要的前提。1.1.2 控制系统的动态性能指标一般认为，跟踪和复现阶跃作用对系统来说是较为严格的工作条件。故通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义时域性能指标。系统的阶跃响应性能指标如下所述： （1） 延迟时间td：指单位阶跃响应曲线h（t）上升到其稳定值得50%所需要的时间。 （2） 上升时间tr：指单位阶跃响应曲线h（t），从稳定值的10%上升到稳定值的90%所需要的时间；对有振荡的系统，（也有指从零上升到稳定值所需要的时间）。（3） 峰值时间tp：指单位阶跃响应曲线h(t)超过其稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。（4） 超调量%：指在响应过程中，超出稳态值得最大偏离量和稳态值之比，即 （1-1）式中 h（tp）单位阶跃响应的峰值； h（）单位阶跃响应的稳态值。 （5） 调节时间ts：在单位阶跃响应曲线的稳态值附近，取5%（有时也取2%）作为误差带，响应曲线达到并不再超出该误差带的最小时间，称为调节时间（或者过渡时间）。调节时间ts标志着过渡过程结束，系统的响应进入稳态过程。 （6） 稳态误差ess：当时间t趋于无穷大时，系统单位阶跃响应的实际值，（即稳态值）与期望值一般为输入量1（t）之差，一般定义为稳态误差，即 （1-2）很显然，当h（）=1时，此系统的稳态误差为零。 上述六项指标中，延迟时间td、上升时间tr和峰值时间tp，均为表征系统响应初始段的快慢；调节时间ts表示系统过渡过程持续时间，是系统快速性的一个指标；超调量%反映系统响应过程的平稳性；稳态误差ess则反映系统复现输入信号的最终（稳态）精度。下面将侧重以超调量%、调节时间ts和稳态误差ess这三项指标；分别评价系统单位阶跃响应的平稳性、快速性和稳态精度。1.2 一阶系统的时间响应及动态性能分析1.2.1 一阶系统的数学模型及单位阶跃响应由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统，如RC网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。一阶系统的微分方程： （1-3）式中 c（t）输出量； r（t）输入量； T时间常数。 一阶控制系统的结构图，如图1-1所示。 图1-1 一阶控制系统 其闭环传递函数： (s)= （1-4）式中 T=1/K一阶系统的时间常数； =1/T系统特征根；时间常数T是表征系统惯性的一个主要参数，故一阶系统也称为惯性环节。1.2.2 一阶系统的动态性能分析 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条从零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，且一阶系统的单位阶跃响应： ， t0 （1-5） 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所以其性能指标主要是调节时间ts，它表征系统过渡过程的快慢。由于t=3T时，输出响应可达稳态值的95%。故一般取 ts=3T，对应5%误差带 （1-6）显然，系统的时间常数T越小，调节时间ts越小，响应曲线很快就能接近稳态值。1.2.3 系统仿真及结果选取不同的时间常数T，仿真参数T分别取值为：1，4，6，10。MATLAB仿真程序，参见附录一。利用simulink仿真，设置仿真时间为10s，如图1-2所示： 图1-2 一阶系统阶跃响应simulink仿真图 仿真曲线，如图1-3和1-4所示：图1-3 matlab程序仿真一阶系统阶跃响应曲线图1-4 simulink仿真曲线仿真分析：系统的时间常数T越小，调节时间ts越短，响应曲线能更快的接近稳态值，系统响应越迅速。1.3 二阶系统的时间响应及动态性能分析1.3.1 二阶系统的数学模型及单位阶跃响应 二阶微分方程描述的系统，统称二阶系统，而二阶系统的微分方程为 （1-7）式中 r（t）系统的输入量； c（t）系统的输出量； n 无阻尼自然频率； 阻尼比； 由式（1-7）可得该二阶系统的传递函数 （1-8）式中 n无阻尼自然频率； 阻尼比； 这两个参数完全决定了二阶系统的响应特性，是二阶系统重要的特征参数。对于不同的二阶系统，n和的物理意义是不同的，对应的系统结构图，可由图1-5所示。R(s)C(s)图1-5 二阶系统结构若系统阻尼比取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分为以下几类： （1） 当01时，特征方程有两个不相等的负实根，系统的时域响应具有非周期特性，称为过阻尼系统。 （4） 当=0时，特征方程有一对纯虚根系统响应为持续的等幅振荡，称为零阻尼系统。 （5） 当1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根。因此，二阶系统的特征方程： （1-9） 式中 ，且T1T2，n2=。于是闭环传递函数为 （1-10）因此，过阻尼二阶系统可以看成是两个时间常数不同的惯性环节串联。取C（s）的拉氏反变换，得单位阶跃响应，见式1-11 =1+(t0) （1-11）式中稳态分量为1，瞬态分量为后两项指数项。可以看出，瞬态分量随时间t的增长而衰减到零，最终输出稳态值为1，所以系统稳态误差为零。图1-6 过阻尼二阶系统%与的关系曲线 由图1-6可知，在其它参数一定的情况下，随着阻尼比的增大，超调量%逐渐减小。1.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标分析01的二阶系统称为欠阻尼二阶系统。在二阶系统中，欠阻尼二阶系统比较多见。由于欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭复特征根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。（1） 系统闭环传递函数的一般形式为 (1-12) 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 =1-sin(t+arctan) (1-13) 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线位于两条包络线之间，实际响应的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此往往可用包络线代替实际响应来读算调节时间。如图1-7所示，包络线收敛速率取决于，响应的阻尼振荡频率取决于，因此响应初始值h(0)=0，初始的斜率h（0）=0，及终值h()=1。图1-7 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线及包络线 （2） 性能指标： 调节时间tS: 单位阶跃响应C(t)进人5%(有时也取2%)误差带，并且不再超出该误差带的最小时间。超调量% ；单位阶跃响应中最大偏离量与稳态值之比。峰值时间tP ：单位阶跃响应C(t)超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。 结构参数：可以直接影响到单位阶跃响应的性能。（3） 平稳性： 阻尼比越小，平稳性越差（4） 快速性：当过大时，例如，值接近于1时，系统响应迟钝，调节时间tS 长，快速性较差。而当过小时，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡，衰减缓慢，调节时间tS较长。由误差带的调节时间与阻尼比关系曲线可知，0.707时，调节时间最短，就是其快速性最好。由图1-6所示，可以看出当0.707时的超调量%5,平稳性也是十分令人满意的，故称0.707为最佳的阻尼比。对于一定的阻尼比，所对应的无因次时间nt的响应是一定的。那么n越大，调节时间tn也越短。因此，当一定时，n越大，快速性越好。 （5） 对于典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数以及它的极点分布情况的关系而言，当n固定，增加（减小）时，在s平面系统极点如下图1-8中所示的圆弧轨道闭环极点位于=45的线附近，从而使系统有合适的超调量，并且依据情况尽量使其远离虚轴，以提高系统的快速性。轨道（）移动，对应系统的超调量%减小；同时由于极点远离虚轴，n增加，调节时间ts减小。 当固定，n增加时，在s平面系统极点如图1-8所示的射线轨道（）移动，对应的系统的超调量%是不变的；由于极点远离了虚轴，n增加，调节时间ts就将减小。在一般的实际系统中，T0是系统的固定参数，因此不允许随意的进行改变，但允许调节是开环增益K是各环节总的传递系数。而当K增大时，在s平面内系统极点如图1-8所示的垂直线（）移动，超调量%会增加,阻尼比变小。综合上述所论，要获得满意的系统动态性能，应当选择适当参数，从而使二阶系统的闭环极点位于=45的线附近，继而使系统具有合适的超调量，以提高系统的快速性。ImRe0图1-8 系统极点轨迹图 1.3.4 仿真验证（1） 自然频率n固定，阻尼比不同的时候，此时二阶系统的阶跃响应，通过仿真来观察对时域响应的影响。分别选择不少于四个（代表四种阻尼状态）取值，仿真二阶系统的阶跃响应。 将自然频率固定为=2,阻尼比的值分别设置成0,0.4,1,4我们可以采用Matlab的语句通过编程得到二阶系统在这些阻尼比取值下的单位阶跃响应曲线： 具体仿真程序见附录二。利用Simulink仿真结构图（取不同值）如下图1-9所示：图1-9 二阶系统单位阶跃响应simulink仿真结构图仿真曲线，如下图1-10和图1-11所示。图1-10 matlab程序仿真二阶系统阶跃响应曲线图1-11 simulink仿真曲线 仿真分析从得到的二阶系统阶跃响应的曲线中，我们可以看出：当0时，系统的单位阶跃响应为振荡发散；当=0时，系统的单位阶跃响应为无阻尼振荡系统且为等幅振荡状态，系统的输出为正弦曲线；当00); n=length(ii); if(n0),disp(system is unstable) else,disp(system is stable); End 运行结果为system is unstable说明系统不稳定。而再通过simulink对系统单位阶跃响应进行仿真，仿真结构图，如图2-1所示。且其结果图，如图2-2所示。图2-1 simulink仿真结构图图2-2 simulink仿真图 很显然，从仿真图中可以看出，系统的阶跃响应曲线是发散的，便可知道系统是不稳定的。2.3 稳定误差分析2.3.1 误差与稳态误差 系统的误差e（t）一般定义为期望值与实际值之差，即 e（t）=期望值-实际值 （2-4） 对于图2-3所示的系统典型结构，其误差的定义有两种 e（t）=r（t）-c（t） （2-5） e（t）=r（t）-b（t） （2-6）式中 r（t）期望输出值； c（t）实际输出值； b（t）实际值；图2-3 控制系统的典型结构图 通常H（s）是测量装置的传递函数。因此这里误差e（t）就是输入信号r（t）与测量装置的输出b（t）之差。当单位反馈，即H（s）=1时，上述两种定义表达式相同。e（t）也常称为系统的误差响应，它反映了系统跟踪输入信号r（t）和抑制信号n（t）的能力和精度。求解误差响应e（t）与求系统输出c（t）一样，对于高阶系统是相当困难的，然而如果关注的只是系统控制过程平稳下来以后的误差，也就是系统误差响应的瞬态分量消失以后稳态误差，问题就比较简单了，稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要指标。稳态误差定义：稳定系统误差终值称为稳态误差。当时间t趋于无穷时，e（t）的极限存在，则稳态误差： （2-6）用拉氏变换的终值定理计算稳态误差ess比求解系统的误差响应e（t）要简单得多。2.3.2 稳态误差的计算 方法一：终值定理设单位反馈的误差采样系统如图2-4所示，系统误差脉冲传递函数为图2-4 系统结构图 （2-6） （2-7） 如果此系统稳定，则就能用到z变换的终值定理来求取出采样的瞬时的稳态误差见式2-8： （2-8） 方法二：静态误差系数法由z变换的算式z=esT关系式可知,假如开环传递函数的G（s）有个s=0的极点，即个积分环节，则与G（s）相应的G（z）必有个z=1的极点。而处于连续的系统中，把开环传递函数G（s）具有s=0的极点数当作区分连续的系统类型的一个准则。把G（z）中=0、1、2的闭环系统称为0型、1 型和 2 型的系统。系统型别 位置误差r（t）=A1（t） 速度误差r（t）=A（t）加速度误差r（t）=At2/20 型 KP 0 0 A/（1+Kp） 1 型 Kv 0 0 AT/Kv 2 型 Ka 0 0 AT2/Ka综上所述，可以得出典型输入下不同类型系统的稳态误差计算的规律如下表2-1所示：表2-1 系统的稳态误差3 二阶系统的Matlab实验设计及仿真3.1 实验方案及其简要步骤 实验方案：设计一个具体二阶系统，通过以上研究的时域分析方法，对该系统时域响应及性能指标进行分析，从而达到用理论的知识来解决实际的问题，用实际结果来证实理论的科学性的目的。实验步骤： 通过具体控制系统得出数学模型 通过把参数代入到模型中，来得出传递函数 通过计算从而得出系统理论上动静态性能指标 构建系统模块或编写程序段仿真系统时域响应 通过对实验值与理论值进行比较 最后得出结论3.2 实验数学模型 模拟电路是由比例环节A1、A10，积分环节A2和惯性环节A3构成的。对每个环节可根据运算放大器的虚短和虚断列写等式： （3-1） 传递函数的计算公式为： （3-2） 因此对各方程进行Laplace变换后，并且整理得到式3-3： （3-3） 该系统电路图如下图3-1所示：图3-1 系统电路图 而该系统结构图如图3-2所示： -1-1图3-2 系统结构图 经过简化，得到如图6-3所示的结构图：图3-3 简化后系统结构图 由于该系统的开环传函为： （3-4）由此可见，该系统应为型系统。 因此该系统的闭环传函为： （3-5） 由式3-5可知，该系统为一个二阶系统。对照二阶系统的闭环传函的标准形式： （3-6） 进而可以得到，该二阶系统的无阻尼振荡频率： （3-7） 系统阻尼比： （3-8） 所以，令=0，这是有R=0，此时则为无阻尼情况；令=1，这时有R=40K，此时则为临界阻尼情况；令1，这时有R40K，此时则为过阻尼情况；令1，这时有R40K，此时则为欠阻尼情况。 现在开始讨论欠阻尼情况的二阶系统动态性能的指标：取时，则为欠阻尼的情况。此系统的闭环传函为： （3-9） 对该二阶系统，有无阻尼振荡频率为： （3-10） 阻尼比为： （3-11） 所以系统的阻尼振荡频率为： （3-12） （3-13） 如若单位阶跃信号为输入的信号，则有上升时间： （3-14） 峰值时间： （3-15） 超调量： （3-16） 5%调节时间： （3-17）3.3 实验结果3.3.1 实验箱仿真结果 （1） 令可调电阻，按照系统电路图连接电路，再经过实验箱仿真，得到系统单位阶跃信号下的无阻尼振荡的时域响应。如下图3-4所示。 图3-4 无阻尼振荡时域响应仿真图 （2） 令可调电阻，按照系统电路图连接电路，再经过实验箱仿真，得到系统单位阶跃信号下的欠阻尼振荡的时域响应。如下图3-5所示。 且从图中可估读出： 上升时间： 峰值时间： 超调量： 5%调节时间：图3-5 欠阻尼振荡时域响应仿真图 （3） 令可调电阻，按系统电路图连接电路，再经过实验箱的仿真，得到系统单位阶跃信号下的临界阻尼振荡的时域响应。如下图3-6所示。图3-6 临界阻尼振荡时域响应仿真图 （4） 令可调电阻，按系统电路图来连接电路，再经过实验箱的仿真，得到系统单位阶跃信号下的过阻尼的振荡时域响应。如下图3-7所示。图3-7 过阻尼振荡时域响应仿真图3.3.2 计算机仿真结果利用Matlab仿真可以直接编程绘图和利用Simulink组件仿真得到响应曲线两种方式。（1） 利用matlab编程绘图 系统单位阶跃输入下的欠阻尼情况响应的Matlab程序见附录六。得图表如图3-8所示：图3-8 二阶系统欠阻尼阶跃响应曲线 经观察计算， 系统上升时间： 系统峰值时间： 系统超调量： 系统5%调节时间： （2） 利用Simulink组件进行仿真 通过构建模型，设置参数，设仿真时间为3s，如图3-9所示：图3-9 simulink仿真图 然后仿真，获得响应图形如图3-10：图3-10 simulink仿真曲线图 所得实验数据如表3-1所示：理论值