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二项式定理例题讲解例1试求：（1）(x3)5的展开式中x5的系数；（2）(2x2)6的展开式中的常数项；（3）(x1)9的展开式中系数最大的项；（4）在的展开式中，系数为有理数的项的个数解：（1）Tr1依题意155r5，解得r2故(2)240为所求x5的系数（2）Tr1(2x2)6 r(1)r26 r依题意123r0，解得r4故2260为所求的常数项（3）Tr1，而(1)41，(1)5-1 T5126x5是所求系数最大的项（4）Tr1,要使x的系数为有理数，指数50与都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r6k（kZ），又06k100，解得0k16（kZ）x的系数为有理数的项共有17项评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分例2试求：（1）(x2)10(x21)的展开式中x10的系数；（2）(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中x2的系数；（3）的展开式中的常数项.解：（1） (x2)10x1020x9180x8 (x2)10(x21)的展开式中x10的系数是1180179（2） (x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5所求展开式中x2的系数就是(x1)6的展开式中x3的系数-20（3） = 所求展开式中的常数项是-20评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征例3（1）已知(1x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n的值；（2）已知(ax1)7（a0）的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a的值；niece n. 侄女；甥女(3)已知(2x)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值解：（1）依题意，即7n由于nN，整理得n23n400，解得n8(2) 依题意fluently adv. 流利地；流畅地由于a0，整理得5a210a30，解得a1（3）依题意T51120，整理得x4(1lgx)1，两边取对数，得lg2xlgx0，解得lgx0或lgx1pick out 挑出；辨别出x1或x评述 (ab)n的展开式及其通项公式是a，b，n，r，Tr1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数例4（1）若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4则(a0a2a4)2(a1a3)2的值等于 ；（2）12 解（1）令x1，得a0a1a2a3a4()4，be concerned about 关心；挂念令x-1，得a0-a1a2-a3a4，greet vi. & vt. 迎接；问候由此可得(a0a2a4)2(a1a3)2（英国数学家）(a0a1a2a3a4)( a0a1a2a3a4)marble n. 大理石41rare adj. 稀罕的；稀有的；珍贵的（2）在(1x)10中，rank