（应用数学专业论文）自相似过程的遍历性和相关函数的性质.pdf

五邑大学硕士学位论文 摘要 在实际应用中，随机过程的均值函数和相关函数是十分重要的，但很难得到上 述数字特征。往往对于一个随机过程x ( t ) ，我们所能得到的只是通过试验获得的一 个样本函数x ( ，) ，或是一个样本函数在若干个时刻，乙所对应的值 x ( t o ) ，x ( f 】) ，x ( f 。) ，因此需要运用遍历性去估计随机过程的数字特征的f - j 题。这篇 论文主要介绍自相似过程的遍历性，第一章是绪论，介绍遍历性的的背景；第二章 为预备知识，介绍遍历性的基本现状和相关的定义；第三章是主要定理，分别详细 的给出了它的相关函数的一些性质，以及当( x ( t ) ，t 0 ) 为均方连续的自相似过 程，它的均值函数，相关函数，分布函数的遍历性。 关键词：自相似过程；相关函数；遍历性理论 五邑大学硕士学位论文 a bs t r a c t i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ， m e a nf u n c t i o na n dc o r r e l a t i o nf u n c t i o no fr a n d o m p r o c e s si sv e r yi m p o r t a n t h o w e v e r ，t h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h e s ef i g u r e sd i f f i c u l tt o o b t a i n ，o f t e n l yf o rar a n d o mp r o c e s sx ( f ) ，w ec a no n l yb eo b t a i n e d as a m p l e f u n c t i o n x ( t ) t h r o u g ht e s t ，o rt h ec o r r e s p o n d i n gv a l u ex ( t o ) ，彳( ) ，j ( 乙) o f as a m p l e s f u n c t i o ni nan u m b e ro ft i m e s t o ，r l ，0 ，r e q u i r i n ge r g o d i c o fr a n d o mp r o c e s st o e s t i m a t et h ep r o b l e mo ft h en u m b e rf e a t u r e s t h i sp a p e ri n t r o d u c e se r g o d i c i t yo ft h e s e l f - s i m i l a rp r o c e s s ，t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n ，i n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n do f e r g o d i c i t yt h e o r e m ；t h es e c o n dc h a p t e ri sk n o w l e d g et op r e p a r e ，i n t r o d u c e dt h eb a s i c s t a t u so fe r g o d i ct h e o r e ma n dr e l a t e dd e f i n i t i o n s ；c h a p t e ri l l i st h em a i nt h e o r e m ， r e s p e c t i v e l y , i t ss o m ep r o p e r t i e so fc o r r e l a t i o nf u n c t i o na r eg i v e ni nd e t a i l ，a n dw h e n ( x ( t ) ，t o ) i st h es e l f - s i m i l a r i t yp r o c e s so fm e a n s q u a r ec o n t i n u o u s ，a n de r g o d i c i t y o fi t sm e a nf u n c t i o n c o r r e l a t i o nf u n c t i o na n dt h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n k e yw o r d s ：s e l f - s i m i l a rp r o c e s s e s ；r e l a t e df u n c t i o n ；e r g o d i ct h e o r e m n 本人声明 我声明，本论文及其研究工作由本人在导师指导下独立完成，完成论文所用的 一切资料均已在参考文献中列出。 作者：邓晚霞 签字：卵蝮 2 0 0 9 年4 月1 0 日 五邑大学硕士学位论文 第一章绪论 遍历理论是随机过程理论的基本概念之一在随机过程理论和应用的研究中，常 常需要对某个随机过程的各种不同的统计量做出估计例如，人们想要确定随机过程 x ( f ) ，t o ) 的均值函数m ( t ) ：e e x ( t ) 3 ，即x ( f ) 在整个样本空间q 上的平均值但在 实际中经由对过程的观测通常只是得到随机过程 x ( r ) ，t o ) 在观测区间 o ，t 】中的 一个样本函数x ( t ，c o ) ( 对某个q ) 这是否能根据过程的这一样本函数对时间取得 平均值( 简称时间平均或样本平均) 一x r = 彳1 cx ( 细矽 来估计空间平均聊( ，) 呢? 一般地五随观测区间长度t 而变，而m ( t ) 则随时间参数f 而 变，因此对任意有限的丁和，值是难以确立墨和m ( t ) 之间的关系但是，如果在均方极 限情形下有等式 1 ，i m 墨= ，l i mm ( t ) ( 1 ) ( 等式的左边是在均方意义下的) i i + 人们就能够用过程在足够长的观测区间上的时间平均k 估计对应于大的，值的空间 平均m ( t ) 由等式( 1 ) 刻画的性质称为均值遍历性当 x ( ，) ，0 是平稳过程时，( 1 ) 式 右边的m ( t ) 实际上不依赖于f 而等于一常数m ，于是( 1 ) 可改写为 l i r ax ，= r + + 因此，尽管遍历性和平稳性是过程的两种不同性质，但在大多数情形，遍历性的讨论 是对平稳过程进行的除了上面提到的均值遍历性外，较常见的还有相关函数遍历性 h m i m 。1 - m ) x ( r ) 出= r ( f ) 和分布函数遍历性等等 概率论中的大数定律是人们认识得最早的一类遍历性，它断言相互独立同分布 的随机变量序列 x ( 行) ，n = l ，2 ，3 ，) 具有均值遍历性，即当专佃时，序列前n 的平 均( 也就是时间平均) 专荟工( 刀) 五邑大学硕士学位论文 收敛于空间平均e fx ( 刀) f = 研如果其中的收敛性指依概率收敛就是弱大数定律，而 几乎处处收敛性则对应于强大数定律这表明过程的遍历性质除了可采用不同的统 计量区分外，还可以在定义中利用不同的收敛性例如，在研究严平稳过程的遍历性时 通常考虑由几乎处处收敛性定义的强遍历性，而宽平稳过程的情形更多地涉及由均 方收敛性定义的均方遍历性 目前，遍历性理论的发展至今己成为一个独立的迅速发展的数学分支。在微分 动力体系的研究中，遍历理论是最重要课题之一。遍历理论还在统计物理，物理化 学，计算机科学以至生物学，医学等学科中有重要的应用。 五邑大学硕士学位论文 第二章预备知识 马尔可夫大数定律i q 设 以 为随机变量序列，如对任一正整，z ，d 墨l 0 ，有 熙尸瓞( 五一瓯) = 。 契比雪夫大数定律【”设 以 为两两不相关( 或相互独立) 的随机变量序列，每一个 随机变量都有有限的方差，且存在常数c ，使 d x c ( 刀= 1 ，2 ，) ，则 以) 服从大数定律即对任意s o ，有 。l i m p 睫e ，( x k 一瓯) 件。 伯努利大数定律【1 1设以是”重伯努利试验中事件a 出现的次数，p 是每次实验 中a 出现的概率，即对任意 0 ，有 舰尸怜p = 。 泊松大数定律f l 】 辛钦大数定律f 1 】 设在一个独立买验序夕u 甲，事件a 征弟k 次买强甲出现阴税翠为 a ，以为在前厅次实验中事件a 出现的次数，即对任意 o ，有 魍尸僻一址警塑= 。 ”。 【l 玎 玎 j 设 五) 是相互独立同分布的随机变量序列，且具有有限的数学 期望瓯= 以，则 咒 服从大数定律，即对任意 o ，有 。l i + m 。p0 1 刀百 x 。一口i s = 。 b o r e l 强大数定律1 1 1设心是疗重伯努利试验中事件a 出现的次数，p 是每次实验 中彳出现的概率，。 p “，则尸l 。l i m 。- 刀t = p ) = 1 j 五邑大学硕士学位论文 栩尔美哥洛夫强大数定律| l j ( 1 ) 设 以 是相互独立随机变量序列，且妻n = l _ d x 厂 o ( 厂+ ) d “k 。 p + 当e - 寸0 时，它适合于一个收敛理论 五邑大学硕士学位论文 平稳过程的遍历性定理f 6 】 设( q ，纩，) 是任测度空间，9 是保测变换，厂z ( q ，歹，2 ) 则 ( 1 ) 恶言善n - - i 小) 碣 叫 d p if k l l 2 o l 厂( 矽( 国) o 次可加遍历定理【7 1 设( q ，歹，尸) 是一个概率空间，t 是其上的保测变换，又设 z ；力1 ) 是一个可测函数列，满足条件： 1 ) 石+ ( q 。歹，尸) ，o 。( ) + ，v f 2 ； 2 ) 对v m ，刀1 ， z + 。c o z ( ) + 厶( 7 ”0 9 ) ， ( a , e ) ， 则存在可测函数z ( ) ，使得一 佃，使厂的正部厂+ _ ( q ，矿，p ) ， 而且 熙吉z ( ) = 厂( 国) ，厂( 丁) = 厂( ) ，( 叫， l i m l ，。j f ( 矽= i n f 去肛( 矽= 少( 矽 五邑大学硕士学位论文 o s e l e d e t s 乘法遍历定理【7 】设t 是( q ，。歹，尸) 上保测变换，彳：f 2 。l ( r a , r d ) ( r d 上的可逆线性变换空间) ，它使彳( ) ，彳( 7 1 ) ，为独 立同分布随机映射列。又设 f l o g l l a ( ) 1 1 ) + z ( q ，。歹，尸) ，则存在q 的子集壶，使 丁qcq ，p f 2 = 1 ，而且满足条件： 1 ) 存在正整值可测函数s ( ) ，使s ( t c o ) = s ( ) ； 2 ) 对v 壶，存在实数a ( 1 ( ) a ( 2 ( ) a ( 5 训( ) ； 3 )对v c o q ，存在r d 线性子空间： 0 ) = 矿。c o ) cv 0 ) c o ) c ，cy ( p ( ) = r d 4 ) 对v 壶，l o 记号垡表示它两边的过程有相同的有限维分布。若其还满足： x ( 6 + f ) 一x ( 6 ) 鲈( ，) 一x ( o ) ，v b 0 则称x 是指数h ( 0 ) 型平稳增量的自相似过程。 设( x ( t ) ，t 0 ) 是自相似过程，它的相关函数为r x ( t ，, 1 2 ) 。因为 如( ，乞) = e x ( ) x ( 乞) = e l x ( 1 ) z ( f 2 ) = e x ( 1 ) 石( 乞) ，所以r x ( t , ，f 2 ) 只与 ，乞的乘积( 乞) 有关，记为砟( 托) 或如( 饼) = e z ( r ) x ( 孚) = 峨( 厅) 。 定义1 1 设彳，以h , 7 1 如果照8 疋一x l l = 艘 e | 疋一x 1 2 j = o 即麓e 1 以一x 1 2 = o 则称随机( 变量) 序列 k ) 均方收敛于x ，记为l 是乎以= 彳或以 z 定义2 设 x ( f ) ，f 丁) 为二阶矩过程，f o 丁，如果1 ；i 吣m x ( f ) = 彳( 乙) ，即 t i m 。l l x ( t ) 一x ( 酬= 0 则称 x ( f ) ，f 2 ) 在f o 处均方连续 如果对丁中所有f ， x ( f ) ，r 丁 都是均方连续，则称 x ( 吐，丁) 在丁上均方连续 定义3 【1 4 j 设) 肛丁) 为二阶矩过程，f ，f + m ，如果极限1 凹坐等型存在， 则称 工( 吐f 丁) 在f 处均方可微并记此极限为( f ) 或兰笋， 五邑大学硕士学位论文 称x ( r ) 为x ( ，) 在f 处的均方导数 即x ( r ) = 1 毛兰掣， 如果 x ( o ，t 丁) 在丁上每一点都均方可微，则 称 石( ，) ，r 丁) 在r 上均方可微 定义4 1 1 4 】设 x ( f ) ，f r ) 为二阶矩过程 口，b 】ct ，将区间【口，6 用分点 a = t o f l 乞 o 在( o ，+ j ) 上均方连续，则它的相关函数如( 五) 在( o ，佃) 上处处连续。 证明：对任一h ，( 0 o ) 在t = r 1 上均方可微则对任一f r 1 ，有 机矽( 讣则， 证明：类似定理3 的证明( 略) 引理1 ( 均方可积准则) 二阶矩过程 x ( f ) ，r r 在【口，6 上均方可积的充要条件 是其相关函数r x ( j ，r ) 在方形区域 口，6 】【口，6 】上可积，即下列普通二重积 分rr 如( s ，f ) 出出存在，其【口，6 】c t 定理5 设 x ( ，) ，t o 为零均值均方可积自相似过程，厂( f ) 为( o ，佃) 上的分段连续 函数，则对任意有限区间【口，6 】，r 厂( f ) x ( f ) 出存在，且对任一分段连续函 数g ( 小有 c 。v 邢) x ( s ) 西，r g ( ，) 彳( r ) 衍 = rr 几) g ( 慨( s ，) 拗 证明：。e 厂( s ) 厂( f ) x ( j ) x ( f ) = 厂( s ) 厂( f ) 以( 盯) 在区域【口，6 】a ，6 】上可积， 由引理1 均方可积准，则知：r 厂( ，p ( f ) 西存在， 同理r g ( f ( ，) 西存在。 五邑大学硕士学位论文 - e x ( f ) 兰o c 。v e 厂( s ) x ( s ) 出，f g ( ，) x ( ，) 斫 = e r 厂( s ) x ( s ) 出r g ( ，) 彳( r ) 出 = rr 巾) g ( ，炫( s t ) a 哼a t 特别地，当f ( t ) - - g ( t ) - 1 ，且x ( ，) 为实时。则有 c 。v 眇( s ) a s ，r x ( 归hr 以( s ，) a s d r 五邑大学硕士学位论文 0 么】逦历任 3 2 1 均值遍历性 定理6 设 x ( ，) ， o ) 是均方连续的自相似过程，则x ( ，) 的均值具有遍历性的充 要条件是 l i m l r 2 如b 百t 2 帮p ：o 证明： 。，e ；f x ( r ) 西 2 = 7 1r e 彳( ，) 刃= “ e | ；r x ( r 砂一p 1 2 = 。 ；r x ( r ) 衍 = e ；r 彳( ，) 西 2 一肛2 = j 1e i r x ( s ) 出r x ( r ) 出 一p 2 = 予1 毫“b t 脚一p ( 钿地嘲测s = 扛。故享换雅砒式为：，= 耥= 去) 5 j if 2 睁4 寿如卜p 2 = 专f 2 尺( 五) h ( 丁) 一m ( 拿) 砌一p 2 = x 卜) 1 n 百t 2 叫p 。，l i m 。xr 硼弦= 眦) h 熙朗砷) 出一斗 2 ：o 舰专r 2 l 以( 厅) - n 百z 2 一斗2b = 。 丁w7 0 由i ”7 向i 定理7 设 取，) ，r 0 为自相似过程， 果。l 。i m 。r x ( 办) h i t 2 ：旷，则 1 4 五邑大学硕士学位论文 舰专f 2 如( 办) b 百t 2 一p 2 p = 。， 即 x ( ，) ，f o ) 的均值具有遍历性。 证明：因为。l 叶+ i r a 。b ( 办) h 百t 2 = 斗2 ，所以，v s 。， j 瓦 。，使得 当办 瓦时，有k 咖百t 2 帮i 瓦时，有 弦h t 22 h 陆r 2 如c 厅，m i t 2 一p 2 砌l + l 毒辱 如c 枷n i t 2 一斗2 砌f 专r 2r x ( 向) h 百z 2 一“2 卜+ t 矿d h o ，| 兀 0使得 当丁 t o 时，恒有 于是当t t o ，有 l ) t - 1 5 - 壹= 1 巴( 玎2 ) s f 21 l f 刍r 。2 萎n - i 巴( v ) | + g ( v ) = 瓦+ 1v = o ( v ) + 吾量s + f 。未，s ( v ) - 1 6 ，一丁 熙 没 ，一r = 嘲严脚 2+ 、ii， 2 0 o 硝 巴 川 yc 州脚r 州 2 一r 州脚碧删 2 一r 一 c 川嘞学删 2 一严 +占2 。) 是均方连续的自相似过程，若对任意厅过程x ( f ) x ( 孚) 也 是均方连续的自相似过程，则x ( f ) 的相关函数如( 办) 具有遍历性的充要条 件是 熙m 胁) m 鲁卅k = 。 其中墨( 均) 是过程x ( ，) x ( 孚) 的相关函数。 证明：令y ( ，) = x ( r ) x ( 孚) ，则它的均值和相关函数分别为 e e y ( 明= 扣) x ( 讣咖) e y c r ，y ( 争) = 彳c r ，x ( 睾) x ( 争) x ( 筹) = 只，c 曩， 运用定理5 ，得y ( ，) 的均值即x ( f ) 的相关函数r x ( 厅) 具有遍历性的充要条件是( 枣) 式。 定理1 0 设 彳( f ) ，( 一，佃) ) 是一均方连续自相似过程，则有 ( 1 )x ( f ) 的均值具有各态历经性的充分必要条件是x ( ，) 的谱函数f ( 旯) 在 允= 0 处连续 ( 2 ) x ( f ) 的相关函数具有各态历经性的充分必要条件是x ( ，) 的谱函数，( a ) 是连续函数 证明：( 1 ) 记x ( r ) = x ( f ) 一，由x ( r ) 的均值各态历经性等价于义( ，) 的均值各态 历经性不失一般性，令= o ，又因x ( f ) 是均方连续自相似过程， x ( f ) = e 口朋记( a ) ( z ( 允) 为x ( f ) 的随机谱函数) 于是刍z ( ，) 西= 土2 t 亡忽( a ) 出= 土2 te e 扩a t a z ( 力) 令缈r ( a ) = 万1 扩破= 五邑大学硕士学位论文 则有万1 e 彳( ，) 出= e l f ，r ( a ) 忽( a ) 允0 a = 0 由于= 0 ，所以x ( ，) 的均值具有各态历经性等价于 。 恕删= e 怯砷) 一t a x i 2 刮l i m 刍l 硼) 西| 2 = o 考虑到i y r ( a ) ，对一致成立，_ 且r i i m 。y r ( 允) = 二二? 于是有氅e l 寺x ( r ) 前 2 = r l i m 。e le y 以) 理( a ) 1 2 = 舰三 e y r ( 允) 忽( a ) e y r ( z ) 忽( r ) = 溉ee l f ，r ( 允) 矿r ( , ) e e d z ( z ) d z ( t ) = l i m 1 - - - j 二l g r 2 ( 旯) 积( 九) z 1 j 山 l r l i 。m 。y r ( a ) 2d f ( 九) 刍 f ( o + ) 一f ( o 一) 如果，( a ) 在 故，( a ) 在a 推论 = 0 是等价的 过程，则x ( t 1 的均值具有各态历经 证明：由于熙刍以( 乃) 幽= r l 洫。土2 t e e p h d f ( a ) 幽 1 9 咝m 虹一 k 1f 卜 矽 o 一 0 ，l 、 ， h x | i 、l， 一 叫上玎 ，ff 刖 e 肌 熙 续 与 连 续 处 连 0 上j 却 啦 似 o j = 市 ，7 卧 渺 续 连 方 ，0 卅 一l 玎 是 戆 川 能 卜 要 卟 馁 心 必 ，i 一、u h 琉 0 的 五邑大学硕士学位论文 = 熙e 陆p 且6 d h d f ( 允) = 舰e y r ( a ) 印( a ) = 肺现y ，( 旯) p ( a ) = f ( 0 + ) 一f ( 0 一) 因此由定理9 知推论成立 引理2 p 7 1 ( f ) 积分r 厂( f ) 考( ，) 出( 棚口6 佃) 存在的充分条件是r i e m 口刀玎积分 ff b ( 凇) 巾) 巧跏存在； ( f f ) 如令7 7 ( ，) = j ：厂p ) 考( f ) 卉，则 砸叼( ，) 丽 = ：b ( ) 巾) 不胁咖 这里b ( t ，s ) = e l 考( f ) 考( j ) i 引理3 ( f u b i n i 定理) 设( 墨x 五，s 最，“心) 是盯有限测度空间( 五，s ，“) 和 ( 五，s ，心) 的乘积，若h 满足下列两条件之一： i ) h 是( 置五，s 是，“x l x 2 ) 上的非负可测函数几乎处处相等的广义实函数， i i ) h 是( 墨五，s & ，“心) 上的可积函数， 则h 的两个叠积分均存在，且 ，办d ( h ：) = p hp ( 五，) d 心= p p ：，厅( 毛，恐) d 鸽 引理4 【惦1 ( 控制收敛定理) 设 z 是可测函数列，g 是可积函数，对每一自然数 刀，i l l - x ) = 尸 ( f ) x 而自相关函数为e y ( 孚) 】，c ， = 尸 = f c 五x ；办， 这里，( 五，恐；矗) 是x ( ，) 的二阶分布 现在构造时间平均耳= 彳1f y ( f ) 出 显然e ( 写) = ，( 工) ，利9 类似与讨论均值遍历性的处理方式，有下面的定譬 定理1 2 对于给定的x ， 则熙吾f 】，( f ) 出= f ( x ) 成立的充分必要条件为 t - - i r - - ，+ n * e z 乓zf 2 f ( x ，x ； ) h z f 2 一f 2 ( x ) 砌= 。 讦明：娄似帝坪6 ( 赂) 五邑大学硕士学位论文 参考文献 【l 】叶尔骅，张德平编著，概率论与随机过程，【m 】，科学教育出版社，2 0 0 6 ：1 1 9 - 1 2 7 【2 p r o o fo f t h eq u a s i e r g o d i ch y p o t h e s i s ，p r o c n a t a c a d s c i u s a18 ，19 3 2 ，7 0 8 2 【3 k a r lp e t e r s e n ，e r g o d i ct h e o r y ，【m 】，1 9 8 3 ：2 4 【4 】k a r lp e t e r s e n ，e r g o d i ct h e o r y ， m 】，1 9 8 3 ：2 6 【5 】w i e n e r , n o r b e r t ，n l ee r g o d i ct h e o r e m ，d u k em a t h ，j ，19 3 9 ：1 1 8 y o s i d a ，k o s a k ua n dk a k u t a n i ，s h i z u o ，b i r k h o f f se r g o d i ct h e o r e ma n dt h em a x i m a l e r g o d i ct h e o r e m ，p r o c j a p a na c a d 15 19 3 9 ：16 5 8 【6 】胡迪鹤著，随机过程论：基础理论应用，【m 武汉大学出版社，2 0 0 0 ：5 4 4 5 4 6 7 】钱敏平，龚光鲁著，随机过程论，【m 】，北京大学出版社2 0 0 0 ：8 7 3 3 8 8 】l a m p e r t i ，j s e m i - s t a b l e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s 【，】，t r a n s a m e rm a t h s o c ，1 9 6 2 ，1 0 4 ：6 2 7 8 【9 】9 m a j o rp m u l t i p l ew i e n e r i t oi n t e r g r a l s l e c t u r en o t e si nm a t h 8 4 9 【m 】，b e r l i n h e i d e l b e i gn e wy o r k ：s p r i n g e r , 19 81 【10 t a q q am s s e l f - s i m i l a rp r o c e s s e sa n dr e l a t e du l t r a v i o l e ta n di n f r a r e dc a t a s t r o p h e s m 】a m s t e r d a m ：a m s t e r d a m n o r t hh o l l a n d ，19 8 2 【11 】v e r r a a tw s a m p l ep a t hp r o p e r t i e s