（大地测量学与测量工程专业论文）沉降预测方法在工程中的应用与研究.pdf

ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o 保密2 年 t o n g j iu n i v e r s i t yi nc o n f o r m i t yw i t ht h er e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo fm a s t e ro fe n g i n e e r i n g t h er e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no f s e t t l e m e n tp r e d i c t i o nm e t h o d s i n e n g i n e e r i n g s c h o o l d e p a r t m e n t ：s c h o o lo fc i v i le n g i n e e r i n g d i s c i p l i n e ：s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y o fs u r v e y i n g m a j o r ：g e o d e s ya n ds u r v e y i n ge n g i n e e r i n g c a n d i d a t e ：h a i q i n gp i n g s u p e r v i s o r ：p r o f y ic h e n m a r c h ，2 0 0 7 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 姗雩 一| 上卜7 ，j l 。u 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 牟：锄 1 2 , - o 年 1 只8e l 同济人学申请硕士学位论文 摘要 摘要 目前，沉降时间序列的预测方法有很多，主要分为两大类，一类是理论方 法，由于影响沉降的因素很多，土的物理性质和工程特性十分复杂，该类方法 在预测上很难做到及时快速；一类是以实测资料的数学特性建立数学模型的预 测方法，这类方法通过数据本身挖掘系统内部的规律，能够及时将实测数据的 变化规律纳入系统，现在已经得到了广泛的应用。但究竟哪种方法的预测精度 更高，哪种方法的适用性更强，本文主要做了如下研究工作： 对灰色模型建模时的初值条件和输入维数进行了分析和试算，根据试算结 果得出最佳的输入维数和确定最佳初值条件，并选用最佳的输入维数和初值条 件进行预测，在样本输入时考虑了数据的更新问题，并在对结果进行了比较； 在b p 神经网络建模时，分别对传递函数和训练函数进行了分析和讨试算， 根据试算结果求出合适的传递函数和训练函数，对模型的隐层节点数与预测结 果的关系也进行了研究； 根据时间序列模型和多层递阶算法原理，建立多层递阶时间序列预测模型， 首先对模型中的时变参数进行预测，然后再对时间序列进行预测，并对参数的 识别进行了分析研究； 结合两条隧道盾构施工过程中地面沉降的实测数据，对建立的三种模型进 行了验证，并对预测结果和实测数据进行了误差分析和关联分析，分析结果表 明三种方法在预测时各有长处，但多层递阶时间序列模型在一般情况下具有较 高的精度和更强的适用性。 关键词：沉降预测，时间序列模型，多层递阶方法，b p 神经网络，灰色系统 a b s t r a c t a tp r e s e n t ，t h et i m es e r i e ss e t t l e m e n tp r e d i c t i o nm e t h o d sa r ev e r ye x t e n s i v e , m a i n l yd i v i d e di n t ot w ob i gk i n d s ，o n ei st h et h e o r ym e t h o d ，b e c a u s eo f t o om a n y i n f l u e n c ef a c t o r s ，t h ec o m p l e xp h y s i c a la n de n g i n e e r i n gp r o p e r t y ，i ti sh a r dt op r e d i c t t h es e t t l e m e n tu s i n gt h e s em e t h o d s t h eo t h e ri sb u i l d i n gm a t h e m a t i cm o d e l b a s e do n r e a lm e a s u r e di l a t a t h em o d e l ，w h i c hi st i m e l yi n t e g r a t e dt h em e a s u r e dd a t aa n d c o u l dr e f l e c tt h el a wo ft h es y s t e m s ，i sw i d e l ya p p l i e d t h em a i nr e s e a r c hr e s u l t sa r e a sf o l l o w s ： t h ei n i t i a lv a l u ec o n d i t i o na n di n p u td i m e n s i o no fg r a ym o d e la r cc a l c u l a t e d a n da n a l y z e d ，a n dt h e nt h eb e s ti n i t i a lv a l u ec o n d i t i o na n di n p u td i m e n s i o na r et ob e u s e di np r e d i c t i o n b pa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ss e l e c tt h eo p t i m a lt r a n s f e rf u n c t i o na n dl e a r n i n g f u n c t i o n t h em u l t i 1 a y e rr e c u r s i v et i m es e r i e ss e t t l e m e n tp r e d i c t i o nm o d e li sb a s e do n t i m es e r i e sm o d e la n dm u l t i - l a y e rr e c u r s i v et h e o r y ；t h et i m e d e p e n d a n tp a r a m e t e r s1 1 1 t h en e wm o d e la r ep r e d i c a t e di nt h es e c o n dl a y e r a n dt h ep a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o ni s s t u d i e d t h ec a s es h o w st h a tt h ep r e d i c t i o nm o d e l sd e v e l o p e di nt h i sp a p e re v e r ym e t h o d h a st h e i ro w na d v a n t a g e s ，b u tt h em u l t i l a y e rr e c u r s i v et i m es e r i e ss e t t l e m e n t p r e d i c t i o nm o d e lh a sh i g h e rp r e c i s i o na n db e t t e ra p p l i c a b i l i t y k e yw o r d s ：s e t t l e m e n tp r e d i c t i o n ，t i m es e r i e sm o d e l ，m u l t i l a y e rr e c u r s i v e ，b p a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，g r a ys y s t e m u 同济人学申请硕士学位论文 目录 目录 第一章绪论1 1 1 引言1 1 2 地面沉降预测的研究现状2 i 2 i 理论方法2 i 2 2 数值计算方法4 i 2 3 实测数据反推法4 1 3 本文的主要工作7 第二章灰色系统理论8 2 i 灰色系统理论概述8 2 2 灰色系统理论的研究内容8 2 3 邓聚龙灰色关联分析模型1 0 2 3 i 原始数据变换1 0 2 3 2 灰色关联模型1 2 2 4 灰色建模理论1 4 2 5 灰色预测1 5 2 5 ig u ( 1 ，i ) 模型基本原理1 5 2 5 2g m ( 1 ，i ) 模型的检验1 7 2 5 3 几种g m ( 1 ，1 ) 模型1 8 第三章人工神经网络理论2 0 3 1 人工神经网络的基本知识2 0 3 2 。b p 神经网络2 3 第四章时间序列分析方法3 0 i l l 同济大学申请硕十学位论文 目录 4 1 时间序列分析方法3 0 4 1 1 臼回! 一模型3 0 4 1 2 时间序列模型识别3 2 4 2 多层阶梯方法分析3 4 4 2 1 基本数学模型和建模步骤3 5 4 2 2 时变参数的辨识准则及其估计算法3 8 4 2 3 参数估值算法的改进4 2 4 2 4 时变参数的预测方法，4 4 第五章三种模型在沉降序列中的应用与分析4 8 5 1g m ( 1 ，1 ) 模型建模方法4 8 5 1 1 初值条件的确定4 8 5 1 2g m ( 1 ，1 ) 模型建模方法4 9 5 2b p 人工神经网络建模方法4 9 5 3 多层递阶时问序列沉降预测模型5 0 5 3 1 沉降增鼙预测模型5 0 5 3 2 时变参数预测模型5 2 5 4 三种模型的预测结果5 6 5 5 预测结果分析7 7 第六章结论与展望8 4 6 1 结论8 4 6 2 展望8 5 致谢8 6 参考文献8 7 附表一1 9 0 附表一2 9 l i v 旦堕丕堂皇堕堡主兰垡笙奎旦 个人简历在读期间发表的学术论文：9 2 v 同济大学申请硕士学位t 论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 随着科学的发展，地面沉降的监测技术逐渐变得成熟：水准测量、g p s l 2 。、 i n s a r l 2 l 【3 l 、分层监测、自动化监测已经广泛应用到各个领域的地面沉降监测。 不论对地面沉降的机理的研究如何成熟，不论沉降监测的数据如何精确，能准 确或者比较准确的预测到未来地面沉降的结果才是地面沉降研究的关键所在。 由于对土的物理特性和力学特性研究理论还不是很成熟，目前对地面沉降的模 拟和预测大都采用不确定性预测模型。 人工神经网络模型具有较强的自组织、自适应、容错性以及很强的学习、 联想能力。e l m a n 模型n 7 3 可利用实测资料直接建模，避免了传统方法计算过程 中的各种局限性，简便易行，广泛应用于高速公路路基的沉降预测。小波神经 网络模型收敛速度快，为预测深基坑周围地表沉降量的一种实用而有效的方法。 灰色系统是指信息不完全不确知的系统，它是一种综合运用数学方法对信 息不完全的系统进行预测、预报的理论和方法。其基本思想是将与时间有关的 已知数据按某种规则加以组合，构成白色模块，然后按某种规则提高灰色模块的 白化度；其特点是应用维数不多的数据就能建摸。灰色预测是灰色系统的核心 部分，其基本三个环节为：模型识别( 建模) 、参数估计和预测。参数估计是指 由系统过去行为构成的数据序列反演确定模型下一步预测参数的过程，称为灰 色逆过程。参数确定以后就可以用灰色模型对目标进行预测、预报。俞亚南教 授n 町n 6 1 分别对等步长灰色时变参数模型和不等时距灰色模型进行了深入的研 究，并指出常规背景值取法在不等时距或者时间间隔较大的情况下，会产生较 大的滞后或者超前误差，从而使模型偏差较大。柳治国和陈善雄町根据灰色系 统理论的信息处理原则，建立了灰色系统沉降预测的等步长狄色时变参数模型， 并在求解过程中引入遗忘因子以修正预测结果。模型充分考虑了预测系统的时 变性和灰色性，从而降低对预测系统状态的预测误差。实例预测表明，灰色时变 参数模型可以将工后总沉降量的预测误差控制在7 o 以内。误差检验结果显示， 预测结果的精度等级较遗忘因子修正前有显著的提高。 同济大学中请硕十学位论文 第一章绪论 为了研究沉降模型中参数的时变特性，张仪萍n 6 3 提出了多层递阶时问序列 模型，该模型将沉降预测分为预测模型参数的预测和在此基础上的沉降预测两 部分。采用参数递推公式计算沉降时自j 序列模型的参数序列，并根据计算出的 参数序列构建其时间序列预测模型。依此类推，可建立多层参数的预测公式， ， 直至认为参数不随时间变化为止，然后根据参数预测结果来预测后期沉降。实 例分析和计算表明，多层递阶时间序列模型能较好地反映参数的时变特性，取 得较精确的沉降预测结果。 罗筱波酬采用多元线性回归分析法建立一个地面沉降和其产生的主要因素 之问的回归模型，对顶管施工引起的地面沉降进行了理论分析，并利用v c 编程 实现了这个回归模型。程序运行中与实测数据紧密结合动态更新回归模型，预 测的沉降结果与实测数据比较符合。 从以上的综述可以看出，目前国内外学者对于地面沉降预测的研究，在模型 选取方面多是根据所研究的对象自身的特点，从具体技术应用的角度构建预测 模型，据此对地面的沉降做了预测；另一类预测是以模型的数学原理通过改变 模型中的个别参数对模型进行修萨然后做出预测。具体的预测方法和模型各异， 其中灰色理论模型因为其需要的实测数据较少而运用较多。究竟哪种方法精度 更高? 哪种方法的适用性更强? 本文将利用工程实例对上述三种方法作出分 析。 1 2 地面沉降预测的研究现状 目前沉降预测方法很多，但总的可以分为两大类。第一类为理论方法，它 包括传统算法和数值算法。第二类是根据实测资料推算沉降量的实测数据反推 法。它包括确定性预测方法和不确定性预测方法。 1 2 1 理论方法 l 解析法( 弹性理论法) 解析法是把地基视为半无限空间弹性体，通过弹性理论求解地基在荷载作 用下的变形。采用该方法计算的困难之处是如何确定弹性系数。而且土体并不 是弹性体，该方法只是早期的一种粗略的计算方法，采用该方法很难得到合理 2 同济大学申请硕士学位论文 第一章绪论 精确的解答。 2 分层总和法 这类方法是在压缩层范围内的地基分成若干层，利用弹性理论计算附加应 力，采用一定的试验方法确定各层土体的应力一应变关系，分层计算竖向压缩 量，然后求和得到总的沉降量。下面的一些方法可以归为这类： ( 1 ) 单向压缩法 该方法应用弹性理论计算地基中的竖向附加应力，采用一维压缩试验确定 土的压缩系数，分层总和计算沉降量。 ( 2 ) 改进的单向压缩法 应用弹性理论计算地基中竖向附加应力，采用一维压缩试验确定土的压缩 系数，分层总和法计算沉降量，并采用经验系数加以修讵。 ( 3 ) 考虑先期固结应力的沉降计算方法 当地基土体先期固结应力与上覆土重不相符时，沉降计算中应考虑先期固 结压力的影响。在荷载作用下，地基土体可能处于超固结状态，也可能处于币 常固结状态。在这种计算方法中当土体处于不同状态时要求采用不同的压缩性 指标计算土体的压缩量。 3s k e m p t o n - b j e r r u m 法 s k e m p t o n b j e r r u m 分析了饱和粘土单元土体在荷载作用下剪切变形和固结 变形的应力路经，对一维固结沉降加初始沉降的计算模式提出了修正而发展的 沉降计算方法。 4 三维压缩非线性模量法 龚晓南n 建议采用非线性弹性模量方程，考虑土体三维压缩，采用分层总 和法计算地基沉降量。 5 应力路经法 应用弹性理论计算地基土体中各点应力路经，在试验室根据计算得到的应 力路径进行实验，测定土体压缩量，然后计算沉降，或应用应变等值线法计算 沉降。但与前面讨论的各种沉降计算方法一样，应力路径法仍然无法避免用弹 性理论来计算土体中的应力增量。应力路经法主要有下述两种： a ) l a m b e 应力路径法 应用弹性理论计算地基土体在荷载作用下的应力路径，在试验室中进行模 拟实验，确定参数或直接测定压缩量，通过试验结果计算总沉降量。 3 同济大学申请硕七学位论文 第一章绪论 b ) 应变等值线法 通过三轴试验在p ，q 图上做出一簇应力应变等值线图，然后再等值线图上 作出应力路经，分二段计算地基土体在不排水条件下和排水条件下的竖向变形， 求和得到总沉降量。 1 2 2 数值计算方法 沉降数值计算方法主要指有限元法，包括总应力分析法和有效应力分析法， 在沉降计算中常采用有限单元法和b i o t 固结理论有限单元法。 采用有限单元法计算地基在荷载作用下的变形在工程上得到越来越多的发 展应用。在有限单元计算中，可以结合地基土的变形特性选用各种本构模型： 包括弹性模型、弹塑性模型、粘弹性模型、内时模型等。可以比较方便的处理 几何形状不规则的地基，复杂的边界条件，以及非均质性和各向异性的土体。 也可以考虑地基中初始应力场以及上部结构的结构刚度对地基变形的影响。有 限单元法适应性强，可以处理各种复杂的问题。 采用有限单元法计算地基变形的精确度，在很大程度上取决于所选用的地 基土体本构模型的合理性以及模型参数选用的正确性。 为了得到地基的初始沉降，在有限元分析中需要采用建立在不排水条件下 的本构模型，以及不排水条件下的模型参数。为了得到地基的总沉降，则需要 采用建立在排水条件下的本构模型，以及排水条件下的模型参数。在总沉降分 析中最好采用有效应力分析，如采用b i o t 固结理论有限单元法分析。为了更好 的考虑蠕变变形对沉降的贡献，可采用粘弹性模型或弹塑性模型。 1 2 3 实测数据反推法 l 曲线拟合方法 将沉降看成时间的函数，并采用某一简单函数来表示，这类方法可归结为 曲线拟合方法，主要有： ( 1 ) 双曲线法 双曲线法认为沉降量s 是时间t 的双曲线函数，可以表示成下式： s(t)-so+犏(1-1)a o 十 i i 一n ， 4 同济大学申请硕十学位论文 第一章绪论 k c t 。为某一观测时刻；s o 对应于b 时刻的沉降量；a 、b 为待定系数。 此外，有不少学者通过对传统双曲线法进行了改进，提出了一些新的双曲 线形式，如泊松比双曲线法、修正双曲线法、复合双曲线法。 ( 2 ) 指数曲线法 指数曲线法认为沉降量s 是时间t 的指数函数，可表示为： s ( t ) 一s 。- ( s 。- s o 弘卜。佃 ( 1 2 ) 式中气为某一观测时刻；s o 对应o 时刻的沉降量；s 。为最终沉降量，町为参数。 ( 3 ) 三点法 从沉降时间关系曲线上，取最大恒载时段内的三点o t ，s - ) ( t 2 , s z ) ( t 3 , s 3 ) ， 且满足3 一22 厶- t 1 ，根据t c r z a g h i 一维固结理论可得： 小等等等争m 3 ， 用此法推测t 时刻的沉降，要求市在实测沉降曲线基本处于收敛阶段。 ( 4 ) h s a o k a 法m 1 a s a o k a ( 1 9 7 8 ) 根据m i k a s a ( 1 9 6 3 ) 一维固结方程推导出沉降预测的一维 微分方程： s + ca s 。d 班 ( 卜4 ) 式中s 为沉降，由于方程只取一阶，沉降中不宜包括次固结沉降，当数据 取自加载结束以后，瞬时沉降已经完成，所以沉降s 中可以包括瞬时沉降；t 为 时间；c 、d 为常数。将上式写成差分格式，时间步长取单位1 ，得： s j 一卢：+ 卢：s ，- l ( 1 5 ) 或者写成： s 卜1 卢；+ 卢i s ， ( 1 6 ) 式中s j 表示s ( f ，) ，风、卢，、雕、卢j 为常系数，与微分方程式中的系数c 、d 有关。 。 戌一一吾，肛了1 + c ，刷- 鬲d ，纠一c ， c ，i + c ， 上+ c 5 _ 同济大学申请硕十学何论文 第一章绪论 2 系统理论方法 系统理论方法主要有时间序列法、灰色理论方法、神经网络法等。 ( 1 ) 时间序列法 时间序列分析是对动态数据处理的一种方法，它不考虑观测值的各种力学 因素，只分析观测数据的统计模型，通过对时间序列数据统计规律的分析，构 造出这些规律的最佳数学模型，并给出预测时间序列的未来可能值，最后给出 预报结果的精度分析。这种方法在许多领域有着广泛的应用，在地基沉降预测 中也有应用。 ( 2 )灰色理论方法 自提出以来二十多年的时间晕，灰色理论在各个领域中得到了广泛的应用。 在沉降预测中，有关灰色理论的文章也时有出现。在沉降预测中，应用最多的 狄色模型是灰色伽( 1 ，1 ) 模型其原理如下： 设有等时问间隔的沉降观测数据序列( 氐，s 1 ，s 。) ，相应得沉降增量数据序 列为( 蝇，蝇，瓯) 。根据灰色建模理论，可以建立灰色伽( 1 ，1 ) 模型的一阶 微分方程： 查+ 甜；b 一+ n s ； d t ( 1 - 7 ) 式中a 、b 为常系数，根据灰色建模理论确定。狄色g m 1 ，1 ) 模型在形式上与a s a o k a 法相同。 此外，其它灰色模型也在沉降预测中得到了应用，如g m ( 2 ，1 ) 模型、灰色 v e r h u l s t 模型、多变量灰色删( 1 行) 模型。 ( 3 ) 神经网络方法 人工神经网络建模是人工智能的一个研究分支，它在复杂的非线性系统中 具有较高的建模能力和数据拟合能力，具有联想推理和自适应识别能力，具有 自组织性、自学习性、非线性动态处理及容错性强等特征。目前，神经网络原 理在许多领域得到了应用，在沉降预测中主要应用b p ( b a c kp r o p a g a t i o n ) 神经 网络模型，也有基于小波分析的小波神经网络模型。 6 堕堕奎堂皇堕堡兰垡笙壅二= 一 第一章绪论 1 3 本文的主要工作 1 运用m a t l a b 语言编写了灰色系统理论等维信息预测模型，b p 网络预测模 型以多：! 娄篙茎燃禾点的连续二十期的观测值构成样本，利用上述三 釉越凳竺鬻鬈票凳箸黛篙淼徽嚣焉籀荔 种模型进行沉降预测，并将预测结果和实际观测值迸仃误左万1 ：。删伏巴伏水川 7 同济大学申请硕士学位论文第二章灰色系统理论 第二章灰色系统理论 2 1 灰色系统理论概述 在现实生活中，由于事物本身的复杂性和人们知识的局限性，人们只能把 握研究对象的部分信息所呈现的大致范围，而不是其全部的信息或确切信息。 这种部分信息已知，部分信息未知的系统称为狄色系统( g r e ys y s t e m ) 。灰色系 统即为信息不完全的系统。所谓“信息不完全”，一般指：( 1 ) 系统因素不完全 明确；( 2 ) 因素关系不完全清楚：( 3 ) 系统结构不完全清楚；( 4 ) 系统的作用 不完全明了。灰色系统理论认为，系统的庞大性、复杂性仅仅是“标”，而不是 “本”，系统的“本是灰性。承认灰性，研究灰性，是灰色系统理论的宗旨。 信息不完全与非唯一性是“狄的主要含义，人们在认识世界与改造世界 的过程中常常自觉或不自觉地通过已经掌握的部分信息对事物进行整体剖析， 通过对少量已知信息的加工并延伸、扩展到对系统进行处理。人们在开创新局 面寻找优化对策时，往往有意无意地运用“非唯一性”来探讨对各种有效途径， 获得最佳效果。 灰色系统理论是邓聚龙教授位幻于1 9 8 2 年首先创立的一种新型理论，使现代 控制理论中一个新开辟的领域，经过2 0 多年的发展，现已经基本建立起- - f l 新 兴学科的结构体系。之后，刘思峰等人又对灰色系统理论做了进一步的探讨， 并广泛应用于工程实践。其主要内容包括以灰色朦胧集为基础的理论体系，以 灰色关联为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型 ( g m ) 为核心的模型体系，以评估、建模、预测、决策、控制和优化为主题的 技术体系。它把一般系统论、信息论以及控制论的观点和方法延伸到社会、经 济、生态等抽象系统，结合教学方法，发展成了一套解决信息不完备系统及灰 色系统理论和方法。 2 2 灰色系统理论的研究内容 灰色系统理论研究的主要内容有以下几个方面： 1 系统分析 8 同济大学申请硕士学位论文 第二章灰色系统理论 灰色系统理论提出关联分析方法，用来做系统因素与行为的量化与序化分 析。这是根据系统各因素之间或系统各行为之间发展态势的相似或相异程度， 来衡量关联程度的方法。在获得系统行为量化的映射后，运用关联度分析方法 就可以分析出哪些因素是主要的，哪些因素是次要的。 2 系统建模 用一般的方法只能建立差分方程模型，而在生命科学、经济学、技术科学等 许多研究命题或领域却希望建立微分方程模型。灰色系统理论认为，任何随机 过程都是在一定的幅值范围、一定时区内变化的灰色量，我们称随机过程为扶 色过程。灰色理论认为，尽管客观系统表象复杂，数据离散，但它总是有整体 功能的，总是有序的，因此它必然蕴藏着某种内在规律。关键在于如何用适当 的方法去挖掘它，利用它。灰色系统理论在数的处理方法上，灰色过程是通过 原始数据的整理来寻找数的规律，这叫数的生成，这是一种就数找数的现实规 律途径。j 下是由于灰色系统理论是将数据作累加生成，从而获得光滑离散函数， 基于这种函数的收敛性与关联空间的极限概念，以及微分方程背景的平射性和 有限与无限的相对性，定义出了指标拓扑空间的灰导数，+ 即灰导数，建立了微 分方程的动态模型灰色动态模型6 m ( 1 ，以) 模型。 3 灰色预测 狄色预测方法是基于单因素c m o ，凡) 模型作预测的，它包括数列预测、灾 变预测、季节灾变预测、拓扑预测与系统预测。 4 灰色决策 灰色决策是含有灰量的决策。它包含灰色局势决策、灰色线性规划、灰色非 线性规划、灰色大规模规划( 灰色非线性优化) 、灰色分派规划、灰色动态规划、 灰色背包规划、灰色层次决策等内容。 5 灰色控制 现有的控制器在运行机制上是事后控制，即已知系统的行为特征，然后根据 控制要求，对系统进行控制。这种控制事实上只是对已知发生行为的一种补救， 因此很难做到及时、准确，不可能防患于未然。灰色控制是以g m ( 1 ，冗) 为主体 的控制，是一种着眼于未来、立足于预测、事前控制的新型控制理论，通过它 可以预测系统行为的发展变化，根据系统行为的发展变化，对其进行预控制， 提高了控制的准确性和实时性，可以在一定程度上做到防患于未然。 9 同济大学申请硕士学位论文 第二二章灰色系统理论 2 3 邓聚龙灰色关联分析模型 最先提出灰色关联分析的邓聚龙先生，将关联分析的主要内容分为以下几 个部分：原始数据变换、计算关联系数、求关联度、排关联序、列关联矩阵。 2 3 1 原始数据变换 由于各因素数据的物理意义不同，其数据量纲也不一定相同，数据大小的 量级相差悬殊，这样，在比较时难以获得正确结果。故对原始数据要消除量纲 并变换为可比较的数据序列。常用的主要有四种方法：一是初值化处理，二是 均值化处理，三是区间值化处理，四是归一化处理。另外还有最大法、最小法、 原值法以及极差变换法等方法，最常用的是初值化处理和均值化处理法。 1 初值化处理 初值化处理就是对一个数列的所有数据用它的第一个数去除，从而得到一 个新数列的方法。这个新数列表明原始数列中不同时刻的值相对于第一时刻的 倍数。该数列有共同起点，无量纲，其数据值均大于0 。 设有原始数列k 。= x o ( 1 ) ，( 2 ) ，g ) 对工。作初值化处理得y 。，即 胪“y 舷卜执m 裂，矧，裂 治- ， 2 均值化处理 均值化处理就是对一个数列的所有数据用它的平均值去除，从而得到一个 新数列的方法。这个新数列表明原始数列中不同时刻的值相对于平均值的倍数。 该数列有共同起点，无量纲，其数据值均大于0 。 设有原始数列一k 。( 1 ) ，工。( 2 ) ，0 ) ，令其平均值为五 对作均值化处理得y o ，则 胪m h ( 2 l 执悱降掣，掣 沿2 ， 3 区间值化处理 对于指标数列或时间序列，当区间值的特征比较重要时，采用区间值化处 1 0 同济大学申请硕十学位论文 第二章灰色系统理论 理。区间值化处理分纵向和横向区间值化处理。 设有m 个单位，每个单位用n 个指标描述，则组成指标列 x 。= k 。( 1 ) _ ( 2 卜，工。b ) ) x ：，仁：( 1 ) ，工：( 2 1 ，z ：g ) ) 工。一k ，似工。( 2 1 ，x 。g ) ) 上述指标按相同的单位又可组成数据列： x ( o 。仁。( 1 ) ，z ：( 1 l ，z 。( 1 ) 工( 1 ) = & 。( 2 x z ：( 2 1 ，x 。( 2 ) 工0 ) = 仁。g ) 工：0 ) ，工。g ) ) 对数据列采用区间值化处理，其对应的新数列记为： y ( 1 ) = y 。( a y ：( 1 1 ，y 。( 1 ) ) 荆= y ，( 2 州2 h y 。( 2 ) ) ( 2 3 ) y竺一xi(1)-rain,x,(1) y，(2)-=：；：；：!i：l!：；鹚r。l2，力懂；t；。l，2，。 y 川。裂擞 4 归一化处理 归一化处理就是在非时问序列中，同一序列有许多不同的物理量，且其数 值大小相差过分悬殊，为避免造成非等权情况，对这些数列作归一化处理，使 各指标转化成数量等级相同的非时问序列。 例如，某工程的整体情况若用几个主要指标描述，则组成非时间序列： x 。忸i ，x 2 ，工3 ，工4 ，工5 = 3 6 ，7 4 5 3 1 ，1 4 8 7 ，8 3 2 ，4 7 8 ) 1 1 同济大学申请硕士学位论文 第二章灰色系统理论 上述指标中各数据的大小相差很大，如3 6 与7 4 5 3 1 相差3 个数量级，为了 使各指标数量级相同，特作如下归一化处理： 毛除以1 0 ，则3 6 转化为3 6 ； x ，除以1 0 0 0 0 ，则7 4 5 3 1 转化为7 4 5 3 1 ； x ，除以1 0 0 0 ，则1 4 8 7 转化为1 4 8 7 ； x 。除以1 0 0 ，则8 3 2 转化为8 3 2 ： 石；除以1 0 0 ，则4 7 8 转化为4 7 8 。 由此j 转化成片 3 6 ，7 4 5 3 1 ，1 4 8 7 ，8 3 2 ，4 7 8 显然，使非时问序列中各指标数量级相同的方法很多，也可以得到： 黔 3 6 ，7 4 5 3 1 ，1 4 8 7 ，8 3 2 ，4 7 8 ) 2 3 2 灰色关联模型 如果令经过数据变换的母序列为工。，子序列为，i a 1 , 2 ，- ，n ，且 x 。= & 。似x 。( 2 ) g ) ) 鼍- 仁，( 1 ) ，毛( 2 ) ，t g 汁 则称： 洲一书糕哉罨拦铲 5 ， 为曲线工。与一在第k 点的相对关联系数。式中：i x , 0 ) 一毛仅l 。埘依) 称为第k 点x 。与t 的绝对差：呼n 哑n i x 。( k ) - x i 似) i 称为两级最小差，其中唧n l x 。伍) 一毛伍】 为第一级最小差，表示在t 曲线上各点与的最小差。唧n m i n k 以) 一t 似l 为 第二级最小差，表示在各曲线上找出的最小差基础上，在按f ；1 , 2 ，甩找所有曲 线的最小差。m p x m a x k ( k ) - x i 】为两级最大差，其意义与两级最小差相似。 p 为分辨系数，用来削弱am a x 数值过大而失真的影响，以提高关联系数之间差 同济大学中请硕十学位论文 第二章灰色系统理论 异的显著性。p 1 2 g 一1 1 1 2 】时具有最大信息量和最大信息分辨率，一般取 pa 0 5 为宜。 2 计算关联度 关联度分析，实质上是将时间序列数据进行几何关系的比较，如果两比较 序列在各时刻均重合在一起，即关联系数处处等于l ，则关联度也等于1 。对于 连个时间序列来说，关联系数均大于零，故关联度也大于零。因此，两比较序 列的关联度可以用两个序列各时刻的关联系数的均值来表示，其数学模型为： ，；= 三e # o , c k ) ( 2 6 ) ，i2 一 ， 厶u ， ，l 嗣 式中：) ，。为子序列i 与母序列的关联度，1 1 为两比较序列的长度( 即数据个 数) 。 3 排关联序 由上述可知，在灰色关联度分析中，关键是比较各子序列对同一母序列的 关联度的大小，所以，应将几个子序列对同一母序列的关联度按大小顺序排列， 组成关联序。这一关联序列直接反映了各子序列对母序列的相关性强弱的顺序。 4 列关联矩阵 若：1 1 个母序列：y l ，y 2 ，y ，y 。 1 3 乒1 i 1 1 个子序列：x i ，x 2 ，x 3 ，) ( i ，l ，l1 则各子序列对母序列的关联度分别为： ( y u , ，。2 ，i 。) ( ) ，2 - ，2 2 ，2 j 一) ( 2 7 ) i ( ) ，。，) ，。：， ，肭) 将) ，。( f ；1 2 ，以；一1 2 ，历) 作适当排列， r = y l l，1 2 y 2 1y 2 2 ) ，* 1靠2 y 1 j ，i ) ，钿 ) ，。 或r ； 便得到关联矩阵： ) ，1 l y 1 2 y l ，| y 2 1) ，笠 ) ，2 。 ，_ 1) ，_ 2 ) ，枷 关联矩阵可以作为相关分析的基础。如果在关联矩阵中，第i 列满足： 同济火学申请硕十学位论文 第二章灰色系统理论 ，l j ，2 f ： ，删 y u y 2 ， ： ，可 j ：1 2 ，；j ，i 。 则称母序列y i 相对于其它母序列为最优，或者说从子序列x i 的关联度来看， 母序列y i 是系统得最优序列。 若：昙蹇，脑 昙薹，盯 l ，。t ，2 ，“，刀；，一j 则称母序列y i 相对于其他母序列或子序列x i 的关联度准最优。 2 4 灰色建模理论 灰色系统建模是利用较少的或不确切的表示系统行为特征的原始数据序列 作生成变换后建立微分方程。由于环境对系统得干扰，使原始数据序列呈现离 乱情况，离乱数列即为灰色序列，或称灰色过程，对灰色过程建立的模型成为 灰色模型( g r e ym o d e l ) ，简称g m 模型。该模型揭示系统内部事物连续变 化过程，所以灰色系统得模型般用微分方程来描述。 灰色理论其所以能够建立近似的微分方程的模型，是基于以下概念、观点、 方法和途径： ( 1 ) 灰色理论将随机变量当作是在一定范围内变化的灰色量，将随机过程 当作实在一定幅区和一定时区变化的灰色过程。 ( 2 ) 灰色理论将无规律的原始数据生成后，使其变为较有规律的生产数列 再建模。所以，灰色模型实际上是生产数据模型，而一般建模所得到的是原始 数据模型。 ( 3 ) 通过g m 模型得到的数据，必须经过逆生成作还原后才能使用。 ( 4 ) 灰色理论是针对符合光滑离散函数条件的一类数列建模。一般原始数 据作累加生成( a g o ) 后，可以得到光滑离散函数。 ( 5 ) 基于光滑离散函数的收敛性与灰关联空间的极限概念，定义了灰导数。 ( 6 ) 灰色理论认为微分方程是背景值与各阶导数( 灰导数) 的某种组合。 a 若组合是线性的，系数是常数，则称为线性常系数微分方程。 b 若组合是非线性的，则是非线性微分方程。 1 4 旦童盔堂皇堕堡主堂堡鲨塞 蔓三童垄鱼墨堕堡垒 。-_l-_-_-_-_-_-_。_-_-_-_-。_-_-_-_-。_-_。h-_-_-。_。_。一一 ( 7 ) 灰色理论通过灰数的不同生成，数据的不同取舍，不同级别残差g m 模型的补充、调整修正，提高模型的精度。 ( 8 ) 灰色模型在考虑残差g m 模型的补充后，变成了近似的差分微分方程。 ( 9 ) 灰色理论根据关联子空间某种特定的关联影射下的关联收敛，选择参 考模型。 ( 1 0 ) 关联收敛是种近似收敛，使离散函数的收敛。 ( 1 1 ) 一般采取三种方法，检测和判断g m 模型的精度： a 残差大小检验，这是逐点检验。 b 关联度检验，是模型曲线形状与参考曲线形状接近程度的检验。 c 后验差检验，是残差分布，残差统计特征的检验。 ( 1 2 ) 高阶系统，使由一阶的g m 模型群建立状态方程解决的。 2 5 灰色预测 灰色预测把预测数据序列看作随时间变化的灰色量或灰色过程，在建模前， 先对原始数据进行整理和处理，通过累加生成或相关生产逐步使灰色量白化， 使之呈现一定的规律性，从而建立相应于微分方程解得动态模型并做出预报。 2 5 1g m ( 1 1 ) 模型基本原理 定义2 1 ：设微分方程为塑d t + 似一b ，则称拿为j 的导数；x 为生d t d t 的背景 值；a ，b 为参数。 定义2 2 ：设a ，b 为集合，尺为a 与b 元素之间的一种运算，v a 。，a ：4 ， v 6 b ，如果口。肋，口：j r 6 ，则称b 对a l ，a 2 为平射。若尺为取绝对值运算，则 称为算术平射或简单平射。 定义2 3 ：设z ( f ) 为定义在时间集t 上的函数，若当址呻0 时，恒有 工o + f ) 一x q ) 0 ，则称戈( f ) 在t 上的信息浓度为无限大 使微分方程譬+ a x ：6 成立的工o ) 满足信息浓度无限大条件( 由导数的定义 d f 即知) 。 堕奎堂皇堕堡主堂堡垒窒蔓三童壅鱼墨堕望迨 - - _ - - _ _ _ _ _ i _ _ - - _ _ 。_ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - i 。_ -