（基础数学专业论文）yetterdrinfeld范畴中的hopf模余代数结构和hcleft扩张.pdf

摘要 在这篇论文中，我们主要进行两个方面的研究：一方面是y e t t e r d r i n f e l d 范畴中h o p f 模余代数；另一方面是y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h c l e f t 扩张 本文共分三章，其中第二章和第三章为本文的主要的内容和结论，结构安排如下； 在第一章中，我们简单介绍了h o p f 代数的研究背景及本文研究的问题的来源及意 义，并简要阐述了本文的基本思想 在第二章中，首先回顾了y e t t e r d r m f e l d 范畴中的一些概念，重点给出了y e t t e r d r i n f e l d 范畴中h o p f 模余代数的概念，并给出了h h o p f 模余代数基本结构定理，即： 设h 是l y d 中的h o p f 代数，b 为l y d 中的右h h o p f 模余代数，且为左b 一右h 一 双余模，令c = b h = b l z ( b ) = b 1 ) ，则作为l y d 中的右h h o p f 模余代数，有 且竺cxh 即y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数同构于y e t t e r d r i n f e l d 范畴中 的s m a s h 余积 在第三章中，首先给出了y e t t e r d r i n f e l d 范畴中h c l e f t 扩张的定义、性质及相关定 理，然后得到定理：设acb 是y d 中的h c l e f t 扩张，定义何在4 上的左作用： h - a = ，y ( ( 1 ) ) ( 危( 2 ) 一1 一n ) ，y 一( ( 2 ) o ) 和卷积逆映射口( h ，k ) = 7 ( ( 1 ) ) 7 ( ( 2 ) 一1 一 k o ) ) 7 。( ( 2 ) o 克( 2 ) ) 盯是可逆线性映射则可测代数a 并且可在a 4 上定义乘法： ( 血 ) ( 6 9 ) = a ( h l h 2 - 1 h a _ b ) o ( h 2 0 h 3 1 _ 9 ( 1 ) ) h 30 9 ( 2 ) 则acb 作为y e t t e r d r i n f e l d 范畴中h c l e f t 扩张有a b h 兰b 即y e t t e r d r i n f e l d 范畴 中h c l e f t 扩张同构于y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的交叉积 关键词：h o p f - 模余代数，s m a s h 余积，y e t t e r - d r i n f e l d 范畴，c l e f t 一扩张，交叉积 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et w oq u e s t i o n s ：t h ef i r s to d ei sh o p fm o d u l e c o a l g e b r a si ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y t h es e c o n do n ei sh - c l e f te x t e n s i o n si ny e t t e r - d r i n f e l dc a t e g o r y t h ed i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fh o p fa l g e b r a sa n dp r e s e n ts o m e b a s i cp r o p e r t i e sa n dt h em o t i v a t i o na n dm e a n i n go ft h i st h e s i sa r ei n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，f i r s t l y ，w er e c a l lt h ed e f i n i t i o n si ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y , a n d m a i n l yw ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fh o p fm o d u l ec o a l g e b r a ，t h e n ，w eg i v et h eb a s i cs t r u c t u r et h e o r e m t h a ti s ：i fhi sh o p fa l g e b r ai n i n2 y dd e f i n ey e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y , bi s r i g h th h o p fm o d u l ec o a l g e b r ai ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y a n dl e f tb r i g h thd o u b l ec o - m o d u l ei ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y 1 e tc = b c o 日= b l p ( b ) = b 1 ) ，t h e nbi sr i g h t h h o p fm o d u l ec o a l g e b r ai ny e t t e r d r i n f e l da n db 竺c xh s u b s e q u e n t l y , w eo b t a i n h o p fm o d u l ec o a l g e b r ai ss m a s hc o p r o d u c ti ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y i nt h et h i r dc h a p t e r w ef i r s t l yr e c a l lt h ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r i t i e st h eh c l e f te x - t e n s i o n si ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y t h e n ，w eo b t a i nt h et h e o r e m ：l e tacbi sh c l e f t e x t e n s i o n si ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y w ed e f i n eh a = 7 ( ) ( ( 2 ) - 1 _ n ) ，y 。1 ( ( 2 ) o ) a n dac o n v o l u t i o ni n v e r t i b l eo ( h ，k ) = 7 ( ( 1 ) ) 7 ( ( 2 ) _ 1 一) 7 _ 1 ( 危( 2 ) o ) t h e nh 、，、_ ，、，j、o ，、_ ， m e a s u r e sa na l g e b r aai ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y w ed e f i n ec o m m u t a t i v e ( o 危) ( 6 o 夕) = a ( h l h 2 1 h 3 2 _ b ) a ( h 2o ，h 3 1 _ 9 ( 1 ) ) h 3o 夕( 2 ) t h e n4 4 日竺b ，acb a sh c l e f t e x t e n s i o n si ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y t h a ti s ：h - - c l e f te x t e n s i o n si sc r o s s e dp r o d u c ti n y e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y k e yw o r d s ：h o p f - m o d u l ec o a l g e b r a ，s m a s hc o p r o d u c t ，y e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y , c l e f t e x t e n s i o n s ，c r o s s e dp r o d u c t i l l 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 签名：浚垦区邀日期：墅! 里，61 盘 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：退亟堡双导师签名：日期：旦! ! ：e ：量 4 1 第一章引言 在本章中，我们首先对h o p f 代数的背景知识及其发展过程加一简单的介绍，其次介 绍了一般范畴下的一些基本概念，从而引出本文所要研究的主要内容，即对l y d 中的 h o p f 模余代数的分解和h c l e f t 扩张 1 1h o p f 代数的背景知识 在上个世纪四十年代，h h o p f 在研究上拓扑群中的c o c h a i n s 时构造了既有代数结构 又有余代数结构的概念，即后来的h o p f 代数概念，而其中j w m i l n o r 和j c m o o r e 的开 拓性文章【1 】给h o p f 代数的研究奠定了基础，近二十年来，量子群理论的兴起，k a p l a n s k y 某些猜想的解决，以及h o p f 代数作用理论的兴起，使得h o p f 代数成为一本新的科学体 系h o p f 代数是数学中比较活跃的领域之一，其发展大致可分为五个阶段：第一阶段，积 分理论和m a s c h k e 定理的发现，第二阶段，l a g r a n g e 定理的证明，第三个阶段，h o p f 代 数作用的研究，这一阶段最重要的成果是文献【2 】在这一阶段m o n t g o m e n r y 和b l a t t e r 还证明了对偶定理，第四阶段，量子群的研究，著名的 f a n g b a x t e r 方程引出了量子群 理论第五阶段，辫子h o p f 代数的研究h o p f 代数广泛应用于各个领域，如被作为工 具来研究域k 上的l i e 代数八十年代，前苏联物理学家d r i n f e l d 深刻地揭示了量子群， h o p f 代数及量子y a n g - b a x t e r 方程的关系h o p f 代数不但与物理学中的量子力学等诸 多领域有着非常密切的关系，并且在数学领域也几乎无处不在，从形式群到仿射群概念， l i e 理论，伽罗瓦理论和可分域扩张，分次环理论，算子理论，局部进群理论，广义函数 论，组合数学表示论等等很多理论在h o p f 代数中，辫子m o n o i d a l 范畴是一个重要内 容，它在量子群，低维拓扑，三维流形，辫子理论，纽结理论，量子杨一b a x t e r 方程及场 论等领域都有许多重要应用辫子m o n o i d a l 范畴的一个重要背景是由f e d d v ，r e s h t i k i n 及t a k h a j a n 等构造的h o p f 代数上的表示范畴y e t t e r d r i n f e l d 模的定义且指出h 是 h o p f 代数，对极s 是可逆双射时，y e t t e r d r i n f e l d 模范畴l y d 是一个辫子m o n o i d a l 范畴，这样就使得y e t t e r d r i n f e l d 模范畴具有较好的性质 1 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数结构和h c l e f t 扩张 1 2 问题的提出 在1 9 7 1 年r g h e y n e m a n 和m e s w e e d l e r 两人首次提出了s m a s h 积的概念【引在 1 9 7 7 年r i c h a r dk m o n l a r 给出了s m a s h 积的对偶概念s m a s h 余积的概念，同时刻画了 s m a s h 积和s m a s h 余积的一些性质，自此它们成为h o p f 代数理论中的两个重要概念在 h o p f 代数理论中，h o p f 模结构定理，s m a s h 积和s m a s h 余积的定义是非常重要和经典 的，蔡芝敏，张良云在文献 5 】中引入了h o p f 模余代数的概念，并给出了h o p f 模余代数 结构定理及其性质，给出了s m a s h 余积的一种新的刻画在 4 】中推广了s m a s h 积，给出 了交叉积的定义及c l e f t 扩张的概念，导出了一些很好的结果。通过分析无论是h o p f 模 余代数给出的结果还是h c l e f t 扩张所给出的结论，都与通常所给出的h o p f 模的结构定 理有着本质联系1 9 9 0 年，y u k i od o i 给出了y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中的h h o p f 模的 概念，并给出了基本结构定理，即：若h 是l y d 中的h o p f 代数，m 是右h h o p f 模， 令m c o h = m m i p ( m ) = m 1 h ) ，则在范畴l y d 中，作为h h o p f 模m c o h 圆h 与m 同构受着一结果的启发，我们能是否将h o p f 模余代数结构定理及h c l e f t 扩张推 广到y e t t e r d r i n f e l d 范畴上? 并且能否讨论在其上的一些相关性质? 本文就这一问题进 行了讨论，并给出确定的结果 1 3 预备知识 本文研究的对象均是在y e t t e r d r i n f e l d 范畴上的，因此我们首先给出y e t t e r d r i n f e l d 模的定义及其一些相关定义参见文献 6 ，7 ，8 ，9 在本文中如无特殊说明，我们一律用 k 表示一个确定的域所有的代数和余代数及线性空间都定义在k 上，用无下标的圆 代替0 七对于域七上的双代数日，它的乘法、单位、余乘、余单位分别记为：m 、 肛h 、a h 、e h ，我们将沿用文献 7 】和文献 1 0 】中的记法，并将h 中的余乘简记为 ：日一hoh ，a ( h ) = h i h 2 ，vh h ，用1 表示h 中的单位元并且在本文中 都有如下的条件： 1 l 是k 上的有限维结合代数，具有乘法m ：l0l _ l 和单位u ：k _ l ，并且 满足下列条件： 2 m o ( moi d ) = mo ( i dom ) 第一章引言 m0 ( u i d ) = i d = mo ( i d u ) 2 l 是k 上的余代数，具有余乘a ：l _ lol 和余单位e ：l _ k ，并且满足下 列条件： ( a i d ) 0a = ( i d a ) 0a ( eoi d ) 0a = i d = ( i do ) oa 下面我们来回顾一些y e t t e r d r i n f e l d 模的相关知识 定义1 3 1 z l 设l 是h o p f 代数，若m 既是左l 模，又是左l 一余模，其模作用 与余模作用分别为： u ( f m ) = f m ，p ( m ) = m 。1 。m o 并且满足下列相容性条件： l - m 。ol z _ m 。= ( f ，一m ) 1 2 。( 2 一m ) 。， ( 1 1 ) 对任意的f l ，m m 我们就称m 为左左y e t t e r d r i n f e l d 模 对任意的2 l ，m m ，条件( 1 1 ) 等价于： j d ( z _ m ) = 1 1 m 。1 s ( f 3 ) 。f 2 m o ， ( 1 2 ) 类似的，一个右l 一模，右l 一余模m 称为右一右y e t t e r d r i n f e l d 模，如果满足下列 相容性条件： m 。f m l f z = ( m 卜1 2 ) 。1 1 ( m 卜1 2 ) 1 ( 1 3 ) 条件( 1 3 ) 等价于： p ( m 卜f ) = m o 卜1 2o s ( 1 1 ) m l f 3 ， ( 1 4 ) 其中m m ，p ( m ) = m o 圆m 1 如果h 是具有双射对极s 的h o p f 代数，则h 本身为左一左y e t t e r d r i n f e l d 模，其 中日的左一模作用为左伴随作用，即对任意h ，f h ，w ( h f ) = h l l s ( h 2 ) ，h 的左 日一余模作用为a ，即对任意的h h ，p ( h ) = h 1oh 2 3 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数结构和h c l e f t 扩张 设h 是一个双代数，对于两个右日一模m 和，我们知道m on 也是右h 一模，其 中模作用：( r e o n ) h = ( m 1 ) ( 佗h 2 ) ，v m m ，n n ，h h 对于两个右日一余模v 和w ，v o w 也是右日余模，其余模作用为：p ( v o w ) = eu o o w o o v l w l ，v v vw 我们称这样的模( r e s p 余模) 结构为张量积模( r e s p 余模) 结构 我们容易得出下面的引理： 引理1 3 2 设日是h o p f 代数，b 是右- 右y e t t e r d r i n f e l d 模，假设e 既是右 h 一模又是右h 一余模那么e b 按照张量积模结构和张量积余模结构是一个右一右 h y e t t e r d r i n f e l d 模当且仅当e 是右一右y e t t e r d r i n f e l d 模 定义1 3 3 设y ，w 为y e t t e r d r i n f e l d 模，f ：v w 称为y e t t e r d r i n f e l d 模同 态，若它既是左l 模同态又是左上广余模同态 易证全体y e t t e r d r i n f e l d 模连同同态映射构成一个范畴，此范畴记为l y d 设l 是具有双射对极s 的h o p f 代数，uw 2y d ，定义v 圆w 的左l 模，左 厶余模结构为 f vo w ) = ( f 1 一 ) o ( f 2 _ w ) p ( vo w ) = 一1 w 一1o u oow o 则( v o w ) y d y e t t e r d r i n f e l d 模范畴的辫子砂m ，：m n 斗n o m 是c m ，( m o n ) = m 一1 _ nom o ，砂矗( nom ) = m o s f lm 一1 ) _ n v m m ，n n 则称 l y d 是辫子张量范畴 定义1 3 4 设日是h o p f 代数，a 为代数，( a ，) 为左日一模代数，如果有线性映 射：日oa a 满足： ( 1 ) ( a ，) 为左h 一模 ( 2 ) h a b = ( h i o ) ( 2 6 ) ( 3 ) h 1 = e ( h ) l a 定义1 3 5 设日是h o p f 代数，c 为余代数，称( c ，u ) 为左日一模余代数，如果有 线性映射u ：h c _ c 满足： ( 1 ) ( c ，u ) 为左日一模 ( 2 ) a c ，e c 为左h 一模同态 4 第一章引言 注记： a c ，c 为左日一模同态当且仅当u 为余代数同态 定义1 3 6 设日是h o p f 代数，c 为余代数，称( c ，c ) 为左日一余模余代数，如 果满足以下条件： ( 1 ) c 为左日一余模 ( 2 ) x c ，e c 为左日一余模同态 定义1 3 7 设日是h o p f 代数，4 为代数，( a ，p ) 为左日一余模代数，如果有线性 映射p ：a _ ao 日满足： ( 1 ) ( 4 ，p ) 为左h 一余模 ( 2 ) p ( a b ) = a o b ooa l b l ( 3 ) p ( 1 ) = 1 1 定义1 3 8 设日是h o p f 代数，日既是右日一模又是右日一余模，如果对任意的 m m ，h h 有p ( m h ) = r t 0 h io 仇1 2 ，则称m 是右h h o p f 模 5 第二章y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数 在上个世纪末，随着y e t t e r d r i n f e l d 模范畴l y d 中的h o p f 代数概念的提出，前人 对其做了大量的研究，诸如将h o p f 代数上的模和余模，积和余积及拟三角等概念推广 到y e t t e r d r i n f e l d 模范畴y d 上，并得到了一系列有用的结果本章开始首先列出 一些与本章有关的概念和结果 2 1 相关定义 定义2 1 1 1 1 】日称为l y d 中的双代数，如果日既是k 一代数又是k 一余代数，余 乘为h ，余单位为e 日，且下面条件成立： ( 1 ) ( h ，p ，一) 是左一左l - y e t t e r d r i n f e l d 模，其中p ：h loh ，hh h - 1o h o ( 2 ) f _ ( a b ) = ( 1 1 _ 口) ( f 2 _ b ) ，f _ 1 h = ( f ) 1 日即h 是左l 一模代数 ( 3 ) p ( a b ) = a - 1 b - 1oa o b o = ( a b ) - 1o ( a b ) o ，p ( 1 h ) = 1 lo1 h 即h 是左l 广余模 代数 ( 4 ) a h ( i h ) = ( 1 1 一 1 ) ( 1 2 _ h 2 ) ，日( z h ) = e l ( 1 ) c h ( h ) 即h 是左l 广 模余代数 ( 5 ) h 1o h o1oh o2 = h 1 - 1 h 2 - 1o h lo h 2o ，h - i e n ( h o ) = e 日( ) 1 l 即h 是左l 余模余代数 ( 6 ) a h ( a b ) = a h ( a ) a h ( b ) = a 1 ( n i l _ b 1 ) oa 2o b 2 ，a ( 1 h ) = 1 ho1 h ，e ( a b ) = e ( 口) e ( 6 ) ，e ( 1 h ) = l k ，v a ，b h ，v l l 一个k 一代数日称为l y d 中的代数，如果它满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 一个耳一代数日称为l y d 中的余代数，如果它满足( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) h 称为l y d 中的h o p f 代数，若日有对极，其中s h ( 1 _ h ) = f s n ( h ) 即 勖为左l 一模同态，j 。( 翰( ) ) = h 。os h ( 胪) 即为左l 一余模同态，的卷 积逆是i d h ，s 日既是反代数映射又是反余代数映射，即： ( 1 ) s m = m t h ，日( sos ) ，即( x y ) = ( z 一1 _ s h ( 秒) ) s hx o ) ，z ，y 日，s h ( 1 ) = 1 ( 2 ) 日s = ( s s ) t h ，h a h ，即( s h ( z ) ) = ( z 1 一_ 鼢( z 2 ) ) o s ux 1o ) ，e h 岛= 7 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数结构和h c l e f t 扩张 定义2 1 2l a x 】设h 是2 y d 中的h o p f 代数，日既是左厶模又是左l 余模，其 模结构和余模结构分别表示为_ ，bh b - 1ob o ，一个对象a y d 中称为y d 中的 左日一模，如果存在七一线性映射j ：hqa _ a ，使得下面条件满足； ( 1 ) f 一( h o ) = ( 1 1 一h ) j ( f 2 _ n ) 即一是左厶模同态 ( 2 ) ( 九jo ) - 1o ( h j o ) o = ( _ 1 n - 1 ) oh o 一0 0 即j 是左厶余模同态 ( 3 ) h 一( h 一口) = ( h h ) 一n ，1 t t 一口= o 定义2 1 3 1 1 】设h 是y d 中的h o p f 代数，日既是左厶模又是左厶余模，其 模结构和余模结构分别表示为一，6h b - 1ob o ，一个对象4 2y d 中称为主y d 中 的右日一余模，如果存在七一线性映射p ：a _ aoh ，nh o oo0 1 ，使得下面条件 满足： ( 1 ) f _ ( o oj 口1 ) = ( f _ n ) oj ( f _ n ) 1 即p 是左l 模同态 ( 2 ) p 是左l 余模同态 ( 3 ) a 是右日一余模 定义2 1 4 1 1 】设日是y d 中的n o p y 代数，对m y d ，m 称为2 y d 中的右 h h o p f 模，若m 是右日一模并且是右日一余模，p a t ：m _ m 圆h ，p m ( m ) = m o m l ， 并且下列条件成立： ( 1 ) p m ( m h ) = m 0 ( m ? 1 一h i ) 圆m lo h 2 ，m m ，h h ( 2 ) 盯m ( m h ) = m 一1 h - 1om o 护，m m ，h 日 ( 3 ) m _ 1 m o0o m o1 = 仇i l m f lo m oo m lo lo mo h ，m m ( 4 ) f _ ( m ) = ( 1 1 一m ) ( f 2 _ ) ，2 l ，m m ，h h ( 5 ) p m ( i _ m ) = ( 1 1 _ m o ) ( 1 2 一m a ) ，f l ，m m 如果日是2 y d 中的右 h h o p f 模，如果y 乏y d ，那么voh 艺y d ，其中左l 模结构和左l 余模结构分 别为f _ ( h ) = ( 1 1 _ ) o ( 1 2 _ h ) ，p v 。h = _ 1 h - 1ov o h o 并且为右h h o p f 模，其中右日一模和右h 一余模结构分别为( u h ) x = 口oh z ，p v 。h = oh a h 2 定理2 1 5 设h 是y d 中的h o p f 代数，( m ，p m ) 为2 y d 中的右h h o p f 模，则 ( 1 ) m c o 日= m l p ( m ) = m 1 日) 是左l 子模和左l 一子余模因此m c d h 2y d ( 2 ) 令尸( m ) = m o s ( m 1 ) ，m m 那么p ( m ) m c o h 如果咒m c d h ，h h ， 那么p 肘( n h ) = n h loh 2 并且p ( n h ) = n ( ) 8 第二章y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数 ( 3 ) 映射f ：m h 日_ m ，f qh ) = n h 是h o p f 模同构它的逆映射为 g ( m ) = p ( m o ) m 1 证明：( 1 ) 设n m c d 日则p m ( 1 _ 扎) = ( f 1 _ n ) 圆( f 2 _ 1 h ) = ( z 1 _ 佗) e l ( 1 2 ) l h = ( 1 _ 佗) 1 h 因此l _ 礼m c o 日因此我们有 礼1 几0 。 1 = 礼1 。几。 1 h 这表明n 1on o lom o o n ( 2 ) 因为 1 。h e - 1 h io s n ( h 2o ) = ( h i 勖( 危2 ) ) = 1 loe ( h ) 1 日，我们有 p m ( p ( m ) ) = r n o ( 7 2 1 - 1 1 7 2 - 1 一岛( m 3 ) ) p m lo 翰( m 2o ) = m o s ( m 2 ) e ( m 1 ) l = p ( m ) 1 日 ( 3 ) f 是左l 一线性，因为f ( 1 _ ( n 危) ) = f ( ( z - _ n ) ( 1 2 一危) ) = ( z 1 _ n ) ( 2 2 _ h ) = z 一( n h ) = f _ f ( nq ) f 也是左l 一余线性明显地f 是右日一线性由( 2 ) 知它也是右日一余线性现在我们有 g f ( n 。 ) = g ( 行九) = p ( n h l ) 。忍2 = 死( ，) 。九2 = 礼 p c ( m ) = f ( p ( m 。) 。m - ) = p ( m 。) m = 仇。s g ( m ，) m z = m o e ( m 。) = m 定义2 1 6 设日是之y d 中的h o p f 代数，a 是2 y d 中的代数，称a 为y d 中 的右日一模代数如果有线性映射：aoh _ a 满足： ( 1 ) ( a ，) 是2 y d 中的右日一模 ( 2 ) m e ，p c 为2 y d 中的右日一模同态 其中m a ，弘a 为a 的乘法和单位 定义2 1 7 设日是2 y d 中的h o p f 代数，c 是2 y d 中的余代数，称c 为之y d 中的右日一模余代数如果有线性映射u ：coh _ c 满足v c c ，heh ，2 l ( 1 ) ( c ，u ) 是乏y d 中的右日一模 ( 2 ) g ，e c 为y d 中的右日一模同态即对任意的h h ，c c ，有下列两式成立： ( a ) a c ( c h ) = c 1 ( c i l _ h 1 ) c 2o h 2 ( b ) e c ( c h ) = e c ( c ) e 日( ) 其中a c ，e c 为c 的余乘和余单位 9 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数结构和h c l e f t 扩张 定义2 1 8 设h 是2 y d 中的h o p f 代数，a 为2 y d 中的代数，称a 为2 y d 中 的右日一余模代数，若a 满足以下条件： ( 1 ) a 为2 y d 中的右日一余模 ( 2 ) 1 7 2 a ，肛a 为之y d 中的右日一余模同态 其中m a ，肛a 为a 的乘法和单位 定义2 1 9 设日是y d 中的h o p f 代数，c 为2 y d 中的余代数，称c 为2 y d 中的右日一余模余代数，若c 为右日一余模余代数，即它满足以下条件： ( 1 ) c 为主y d 中的右日一余模 ( 2 ) c ，e c 为y d 中的右日一余模同态 其中a c ，e c 为c 的余乘和余单位 定义2 1 1 0 设c ，d 是2 y d 中的h o p f 代数，m 2y d ，称m 为2 y d 中的左 c 一右d 一双模，如果它满足以下条件： ( 1 ) m 为皇y d 中的左d 模 ( 2 ) m 为2 y d 中的右d 一模 ( 3 ) r o d ( m e i d ) = m e ( i co 价d ) ， 其中m e ，m d 分别表示m 的左c 模和右d 一模结构映射 如果m 是一个左d 右d 双模，常记为( m ，t t l c ，i n d ) 定义2 1 1 1 设c ，d 是2 y d 中的余代数，m y d ，称m 为2 y d 中的左d 右 d 一双余模，如果它满足以下条件： ( 1 ) m 为主y d 中的左c 一余模 ( 2 ) m 为皇y d 中的右口余槐 ( 3 ) ( | l d c i d ) p d = ( i e p v ) p c 其中j d c ，肋分别表示m 的左c 一余模和右d 一余模结构映射 如果m 是一个左c 一右d 一双余模，常记为( m ，p c ，肋) 下面给出2 y d 中右h h o p f 模代数和右h h o p f 模余代数的概念 设h 是圭】厂d 中的h o p f 代数，c 为y d 中的余代数，对任意的c c ，h h ，定 义u ：c h _ c 记u ( c oh ) = c h ，p ：c _ coh 记p ( c ) = c ooc 1 ，分别为c 的 右日一模和右日余模结构映射 1 0 第二章y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数 定义2 1 1 2 设日是2 y d 中的h o p f 代数，a 是f r d 中的代数，a 有如上给出 的右日一模，右日一余模结构，称a 是2 y d 中的个右h h o p f 模代数如果满足以下 条件： ( 1 ) 对于a 的左a 一余模结构7 a ：a a _ a ，a 是y d 中的左a 一右日一双模 ( 2 ) 4 是2 y d 中的右日一模代数 ( 3 ) a 是2 y d 中的右h h o p f 模 定义2 1 1 3 设日是2 y d 中的h o p f 代数，c 是之y d 中的余代数，c 有如上给 出的右日一模，右日一余模结构，称c 是f r d 中的一个右h h o p f 模余代数如果满足 以下条件： ( 1 ) 对于c 的左c 一余模结构c ：c coc ，c 是2 y d 中的左c 右日一双余 模 ( 2 ) c 是2 y d 中的右日一模余代数 ( 3 ) c 是乞y d 中的右h h o p f 模 定义2 1 1 4 设c ，d 是乏y d 中的余代数，线性映射，：c _ d 称为y d 中的余 代数同态，若，满足以下条件： ( 1 ) f 是左厶模同态 ( 2 ) ，是左l 余模同态 ( 3 ) f 是余代数同态即，( c ，) of ( c 2 ) = ，( c ) ，of ( c ) 2 定义2 1 1 5 设c ，d 均为y d 中的右h h o p f 模余代数，线性映射，：c _ d 称 为f y d 中的右h h o p f 模余代数同态，若它满足： ( 1 ) 厂是2 y d 中的余代数同态 ( 2 ) ，是2 y d 中的右h h o p f 模同态 2 2y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数的有关性质 引理2 2 1 设( h ，r y $ h ，p h ，a h ，e h ) 是f r d 中的h o p f 代数，( c ，a ) 是2 y d 中的 余代数，则( c ，a ，p ) 为左c 一右日一双余模兮在2 y d 中存在余代数同态咿：c _ 日 y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数结构和h c l e f t 扩张 证明：兮设p ：c _ coh ，p ( c ) = c ooc 1 是c 的右日一余模结构映射，使得c 成为左c 一右h 一双余模即 ( aoi ) p = ( ，op ) a ，( 2 1 ) 令妒有如下合成： c _ coh _ h 即对任意的c c ，妒( c ) = ( e c i ) p ( c ) = s c ( c oc 1 下证妒= ( - c coi ) p ：c _ 日为余代数同态，即证下面两个等式成立： n h ( i 口= ( 妒。妒) 对任意的c c ，一方面 a 日妒( c ) = a 日( e c ( c 0 ) c 1 ) = f e c ( c o ) 日( c 1 ) = c ( c o ) c 11o c 12 ( 妒。妒) ( c ) = ( ( e co ) p o ( c co ) p ) a ( c ) = ( e c ，) ( 占co 州p p ) a ( c ) = ( c 圆， e coo ( poi ，) ( ，op ) a c ( c ) 一m ( e c 圆i c co ，) ( p 圆，o ，) ( o ，) p ( c ) = ( e c 。，。c 。，) ( p 。， ，) ( ( c o ) 。c 1 ) = ( e 。，。e c ，) ( p ( c 。1 ) 。c 02 c 1 ) = ( e c 。0 p ( c 。c 1 ) = c ( c 0 。c o 1 oc 1 因为c 为右日一余模，则对任意的c c ，有( pox ) p ( c ) m m ( io ) p ( c ) 即： 1 2 c o oo c o 1 oc 1 = c o0c 1lo c 12 第二章y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数 两边用c ioi 得： cc oo ) c 0 1 。c 1 = cc o ) c 1 c 1z 所以何妒= ( 妒。妒) c 另一方面 日妒( c ) = 日( e c ( c 。) c 1 ) = c ( c 0 ) 日( c 1 ) = e c ( c ) 即e 日妒= e c 又因为妒为c _ coh _ 日的合成且c 为y d 中的双余模所以妒为左厶余 模同态 故存在艺y d 中的余代数同态妒：c _ 日 乍设妒：c _ 日为余代数同态，对任意c c 令p = ( ，圆妒) c ，p ( c ) = c 1 圆妒( c 2 ) 则由妒为y d 中的余代数同态易证( c ，p ) 为l y d 中的右h 一余模 下证p 使得c 为左c 一右日一双余模即证( aoi ) p = ( iop ) a 成立 因为对任意c c ( 。，) p ( c ) = ( ，) ( c 1 圆妒( c 2 ) ) = c 1 。c 2 妒( c 3 ) ( j p ) ( c ) = c 1 。c 2 。p ( c 22 ) = c 1 c 2 。妒( c 3 ) 所以c 为主y d 中的左d 右h 一双余模 口 引理2 2 2 设h 是l y d 中的h o p f 代数，c 是l y d 中的余代数，在2 y d 中 有一个右h 一余模结构p 和右h 一模结构映射u ，对任意的c c 令妒：c _ 日为 妒( c ) = ( e co ，) p ( c ) 若c 满足条件： ( 1 ) 对于c 的左c 一余模结构, 5 c ：c c c c 是y d 中的左c 一右日一双余模 ( 2 ) c 是i y d 中的右日一模余代数 1 3 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模余代数结构和h c l e f t 扩张 则c 是l y d 中的右h h o p f 模妒为l y d 中的右h 一模同态，其中日的右h 一 模结构为h 的乘法 证明：兮设c 是l y d 中的右h h o p f 模，则p ( c h ) = c o ( c 1 1 一h i ) oc lo h 2 妒( c h ) = ( e c i ) p ( c h ) = ( e c 。，) (