全等三角形判定的历史追溯.docx

八年级数学配合人教社教材r1丫1一豳i：p-i-一jj一二，j，j誊。，t；圈临沂大学徐传胜几何学兴起于公元前7世纪的古埃及。而成为此即我们现在教科书中的“角边角”定理至于 一门独立学科则是在古希腊时代古希腊的几何学泰勒斯如何证得了这一定理，我们不得而知但他的 达到了较高的发展水平，乃至2 000多年后的今天，“帽子定河宽”的故事却被流传了下来：为了测定一 全世界的中学生还都在学习着欧几里得几何，使用条河流的宽度，某人可站在岸边，将帽子戴得低到 着欧几里得创造的几何术语而数学家们则更是把能看见帽檐。使得眼睛恰好望着对岸某一点，这时视 古希腊的几何著作奉为科学典范线、河宽和身高构成了一个直角三角形保持身体姿一、泰勒斯和第一个全等三角形瓤蹇窟藩：e势不动转过身来，同样顺着帽檐看到此岸上的一点，则该点和此人的距离就是河宽古人对全等三角形的认识源于测量据史料记在该问题中身高是一条公共边，因帽子的形态载第一个应用全等三角形的人应该是古希腊学者始终未变则视线和身高的夹角相等，且所有直角都泰勒斯(约公元前625一公元前547)他出生于爱相等，故两个三角形全等，从而对应边相等奥尼亚的米利都城创建了古希腊最早的哲学学创造力丰富的科学家，往往都具备鲜明个性化派米利都学派他是西方第一个有记载的思想的学术思想和独创性的学术体系有关泰勒斯的轶家、数学家和哲学家事不少，现采撷其三以飨读者泰勒斯可谓是几何学的鼻祖，他开创了数学命题逻辑证明之先河他证明了若干个几何命题，如 “圆的直径将圆分成为两个相等的部分”，“等腰三角 形的两底角相等”，“两相交直线形成的对顶角相 等”，“半圆上的圆周角是直角”等也许古埃及、古巴 比伦人早已知道了这些几何命题，但泰勒斯不仅把 其整理成一般性的命题，还究其“所以然”，把演绎逻 辑思想引入数学他不仅严格证明之，而且在生活实践中广泛应用这些命题尤其值得称道的是，他泰勒斯的塑像欧几里得的画像证明了第一个全等三角形的判定定理：图1图2若一个三角形有两角、一边分别与另一个三角(1)挣钱很易泰勒斯因常去探索数学问题和 形的对应角和对应边相等则这两个三角形全等哲学问题故而家里很穷于是有人就说数学家是l笑话j一天，猪对熊说：“你猜我口袋里有几块糖?”熊说：。猜对了你给我吃吗7”猪肯定地点点头：。嗯，猜对了那两块都给你!。熊咽了咽口水 说：“我猜有五块”万方数据堂堡鳌壅丝匦圆圆i八年级数学配合人教社教材无用之人，赚不到任何钱财某年，泰勒斯预测到雅所对的角) 典的橄榄将会大丰收，就租下了当地所有的榨橄榄 的机器，并乘机垄断了价格，因此好好地赚了一把 不过，他后来把赚的钱都分给了穷人通过此事泰勒斯告诫人们：眼前功利只是靠人 类智慧最易获得的一部分，而他所从事的表面看来 没有实用价值的事业则有更深远的意义：在赚钱方 面他可以比别人赚得更多(2)愚蠢骡子泰勒斯曾用骡子运盐某次，一头骡子滑到在一条小溪中，致使盐被溶解掉了一部 阿拉伯文原本一页1482年原本一页 分，因而负担减轻了不少于是这头骡子每次过溪流图3图4 时就到水里打个滚儿泰勒斯为了改变其恶习，让它上面的叙述是沿用原本原文，故显得有些哕改驮类似海绵的东西，吸水后重量倍增之后这头骡嗦对于该命题的证明，欧几里得应用了叠置法。即 子再也不敢故伎重演了把一个三角形“移动”到另一个三角形上此前他给 (3)婚姻问题泰勒斯进入壮年时期，其母催促出了线段的重叠的定义但并未给出“角重叠”的定 他早日结婚他答日：“还没有到那个时候”当他步义，因而其证明显得有些勉强无异于假定存在着人中年后，母亲愈加担心其婚姻大事，但他却说：“已不改变几何图形形状与大小的运动经不是那个时候了”如图5设在abcd二、欧几里得和全等三角形判跫蹙鹫l一和a def中，ab=de，ac=dfbac=edf在欧几里得(约公元前330一公元前275)之前，c e则可证bc：efaabc竺。几何学中多是片断性的、零碎的知识，公理与公理图5厶def厶abc=厶def间、证明与证明间并无较强的联系，更不要说有对定厶acb=厶dfe理的严格论证了欧几里得敏锐地察觉到几何学的其证明如下：发展趋势着手把几何学知识加以条理化和系统化移动abc到adef上，使点a落在点d上且他一边收集数学专著和手稿一边著书立说，阐明对线段ab落在线段de上因ab=de则点b与点几何学的理解通过多年的努力，他最终完成了几何e重合，ab与de重合学的不朽之作原本因bac=edf，故线段ac落在射线df上“原本”的希腊文是指某一学科中具有广泛应用而a c=df故点c与点f重合性的最重要的定理欧几里得应用公理化体系对当时的几何知识作了系统总结，使几何学第一次实现可以推断，底bc与底ef重合(若点日与点e重合，且点c与点f重合时，而底bc与底ef不重了公理化和系统化原本分为13卷，包括5条公合，则两条线段就围成了一个空间，根据“公理4”，理、5条公设、119个定义和465个命题而关于全等这是不可能发生的)三角形的三个判定定理则分别是第一卷的命题4可得abc与adef完全重合，因而两者全(“边角边”定理)、命题8(“边边边”定理)和命题26(“角边角”定理)等故其余各对应角也重合，它们皆相等 1“边角边”定理在其证明过程中欧几里得应用了公理：彼此重合的图形是全等的命题4若在两个三角形中，有两条边分别对应相等，且相等线段的夹角亦相等，则其底边相2“边边边”定理命题8若在两个三角形中有两条边分别对等、两个三角形全等，进而其余对应角亦相等(等边笑话l小学生作文：我家有爸爸、妈妈和我三个成员早上我q-a就分道扬镶，各奔前程，晚上又殊途同归爸爸是建筑师。每天在工地上指手画脚；妈妈开了个商店，每天都是来者不拒：我是学生，每天在教室里呆若木鸡我们三人臭味相投，家中一团和气但我成绩不万方数据1匦画堂堡鳖塑丝八年级数学配合人教社教材应相等，且其底边亦相等，则夹在等边中间的角亦有些数学家不满意欧几里得的证明如阿拉伯数学 相等家阿尔奈里兹(865-922)在注释原本时，仍采用 为了证明命题8，欧几里得首先证得：了叠置法对于同一个问题，数学家们虽然会有不同 命题7在已知线段上，从其两个端点作出相的见解但在他们学术个性的背后仍存有共性，即甘交于一点的两条线段，则不可能在该线段的同侧作于寂寞、坚韧不拔的潜心钻研数学家的灵光一现， 出相交于另一点的另外两条线段，使得所作两线段根植于他对所研究对象本质的深人理解 分别等于前面两条线段在三个命题的证明过程中欧几里得试图利用然后欧几里得采用叠置法证明了命题8但其较为严密的逻辑推理去推证相关结论“直觉是不可 过程中应用了反证法靠的”和“几何中无王者之路”是他的名言数学家对设在出bc和adef中，有ab=de，ac=df，数学问题有着浓厚的兴趣甚至为之痴狂他们大bc=ef。则可证bac=ledf多都爱好挑战，喜欢解答未解决的问题在圆满解决 若移动abc到a def上使点日落在点e某个数学问题后就会享受到解谜时的那种单纯的上线段bc落在射线ef上则点c与点f重合满足感铡bc和ef重合故ab，ac分别与dedf重合 事实上，若底bc和底ef重合，且边a口，ac不国画与de，df重合，而落在其旁的ge，gf处(如图6)，则在已知线段上方有相 交于一点的两条线段，同时在同一线段的同侧c e图6又作出了交于另一点的 另外两条线段，而它们分别等于前面两条线段根据 命题7这是不可能的因此a日c兰adef 因而有bac和edf重合，即它们相等 不少人不满意欧几里得的上述证明而另辟蹊径如古希腊哲学家斐罗(约公元前2040)所给 的证明为：移动一个三角形，使其一条边与另一个 三角形的对应边重合，且使该边所对顶点与另一个 三角形的对应顶点位于重合的边的两侧连接这 两个顶点，则得到两个等腰三角形，故知重合边所 对的角相等(参见本期第36页)3“角边角”定理 命题26若在两个三角形中，有两个角分别对应相等，且有一条边亦相等(等角夹边或等角对边)， 则它们的其他边亦相等对于命题26的证明，欧几里得没有利用三角形 内角和定理而是